Напряженное состояние упругопластического пространства с эллипсоидальной полостью тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

оа

В"

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ ЧУВАШСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. И.Я.Яковлева

на правах рукописи ЕФРЕМОВ ВЯЧЕСЛАВ ГЕННАДЬЕВИЧ

УДК 539.374

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА С ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ ПОЛОСТЬЮ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Чебоксары — 1996

Работа выполнена на кафедре математического анализа Чувашского государственного педагогического института им.И.Я.Яковлева

Научный руководитель - заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор Д. Д. ИВ ЛЕВ

Официальные оппоненты - заслуженный деятель науки ЧР,

Ведущая организация - Воронежская государственная архитектурно-строительная академия

Защита состоится « 24 » декабря 1996 года в 17.00 часов на заседании диссертационного Совета Д 113.67.01 в Чувашском государственном педагогическом институте им. И.Я.Яковлева по адресу: г. Чебоксары, ул. К.Маркса, д.38, ауд. 404.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного педагогического института им. И.Я.Яковлева.

доктор технических наук, профессор Е.Г.ИВАНОВ кандидат физико-математических наук, доцент А.В.РОМАНОВ

Автореферат разослан « г/ » ноября 1996 года.

Ученый секретарь диссертационного Совета кандидат физико-математических ]

Г.Е.ЧЕКМАРЕВ

Актуальность темы. Задачи определения напряженного и деформированного состояния тел вблизи различных концентраторов напряжений, в том числе полостей, принадлежат к числу актуальных в машиностроении, строительной механике, горном деле и др.

К числу классических задач теории упругости относится задача об определении напряженного и деформированного состояния пространства с эллипсоидальной полостью. В настоящей работе в линеаризированной постановке рассматривается упругопластиче-ское состояние пространства с эллипсоидальной полостью из упруго - идеальнопластического материала при трехосном растяжении на бесконечности.

Целью исследования является разработка алгоритма последовательных приближений для аналитического определения напряженно-деформированного состояния упругопластического пространства с полостями на примере эллипсоидальной полости.

Методологической основой исследования являются работы в области теории пластичности А.Ю.Ишлинского, А.А.Ильюшина, Л.И.Качанова, В.Прагера и Ф.Ходжа, Р.Хилла, В.В.Соколовского, Л.А.Галина, Д.Д.Ивлева, Л.В.Ершова, Б.Д.Аннина, М.И.Брхова, Б.А.Друянова, В.Д.Клюшникова, Н.М.Матченко, Р.И.Непершина, И.Г.Терегулова, Л.А.Толоконникова;Г.П.Черепанова и др.; в области теории упругости А.Лява, Г.Ляме, С.П.Тимошенко, Л.С.Лей-бензона, Н.И.Мусхелешвили, А.И.Лурье, П.Ф.Папковича, М.М.Фи-лоненко-Бородина и др.

Научная новизна. Получены решения для определения напряженного состояния и границы упруго-пластической зоны для упругопластического пространства с эллипсоидальной полостью в сферической системе координат.

Практическая ценность заключается в определении в аналитической форме напряжений и границы упруго-пластической зоны

-н-

для пространства, ослабленного поверхностью трехосного эллипсоида.

Достоверность полученных результатов следует из математической постановки задач и применяемых математических методов их решения, а также из сопоставления частных случаев полученных решений с известными результатами.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

- на Всероссийским семинаре "Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении". -Чебоксары, 2.06 - 5.06.96 г.

- неоднократно на семинаре по механике деформируемого твердого тела в Чувашском государственном педагогическом институте им. И.Я.Яковлева. Руководитель семинара - доктор физико-математических наук, профессор Ивлев Д. Д. -Чебоксары, 1996 г.

- на итоговой научной конференции сотрудников и преподавателей ЧГПИ им. И.Я.Яковлева. -Чебоксары, 1996 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-6].

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, списка литературы. Объем работы 56 страниц машинописного текста, список литературы содержит 57 наименований.

Основное содержание работы.

В первой главе диссертации исследуется возмущенное напряженное состояние идеальнопластического пространства вблизи осесимметричного состояния при условии пластичности Треска -Сен-Венана в предположении, что напряженное состояние соответствует ребру призмы Треска. В этом случае задача теории идеальной пластичности является статически определимой.

Возможны три случая:

1) + = 0, а»-а° + \к = О, О,

2К-<7°+|* = 0, а°-а° + \к = О, - <т° + ^ О, (1)

3) - <т° + ¡* = О, <т£ _ + = О,

где сг = <7р+(7^+<7у; & _ предел текучести.

Решение ищется в виде разложения в ряд по степеням малого параметра 8:

ар = а°р + тр8 = + ¿т^, (р 0 у) (2)

где символ (р в означает, что остальные соотношения получаются круговой перестановкой индексов. Для первого случая (1) имеет место:

; = о'в = < = a', г^ = 0. (3)

Соотношения (3) позволяют уравнения равновесия записать в виде

да' 1 дт' 1 дт' 1 , n п

"о + —л- + —г-д-о^ + -r;9ctg0 = о,

dp р од р sm в оср р р дт>9 Ida' 3 5т; 1Й7' 3 _

If + pW + -+ ^ + {}

Введя функцию Ф=Ф(р, 0, <£>) так, чтобы выполнялись равенства

~ р2др1 Трв ~ р3 дв ' ~ рЧтвду' {}

из (4) получено уравнение для определения функции Ф:

1 32Ф 2 <9Ф 1 <Э2Ф 1 <92Ф 1 5Ф „

+ ЗТГГ + ^я«* ^ГТдо-? + = (б)

р2 др2 рг dp р4 д02 / sin2 0 я4 д9

Общее решение уравнения (6) найдено методом разделения переменных. Оно определяет решение для компонент напряжений в соответствии с (5).

Во втором случае (1)

= <г'о = К = о', = 0, (7)

и тогда уравнения равновесия запишутся в виде:

W , 1 | 1 Эг*>_0

др р sin 0 д<р ' дв sin в díp ' дт'п, 1 дт'вч> 1 да' 1 , ,

~W + VW + + р(3т- + T^ctg0) = (8)

В этом случае введем функцию Ф таким образом, чтобы выполнялись равенства:

дФ 5Ф <9Ф

= dj> = -'8in V' = (9)

Тогда (8) сводится к одному уравнению

2<92Ф , <9Ф д2Ф п Л<9Ф 1 <92Ф п

Аналогично определено общее решение для компонент напряжений.

В третьем случае (1)

а= а

= <г', т' = 0. (11)

р Ы tp 1 píp

Согласно (11) уравнения равновесия примут вид да' 1 (дт'рв , \ п drL 1 да' ,

дт'р9 \до> 1 дт>6 з

дР + Р дв + + р рв ~и'

Положим

,_ 1 ЭФ , ___1_ЗФ , ___1_/аФ_Ф\

~ /шпб зтЯ^ ^ - ( 3)

Согласно (12) и (13) будем иметь:

дЧ , 9Ф пт дЧ „5Ф 1 д2Ф п

р "<ГТ + 2Р 7Г - 2Ф + -Ш - - "^ТЕ!П = И

<9/>2 ор дв2 дв втг в д(р2

Общее решение для компонент напряжений определено аналогично.

Во второй главе диссертации исследуется напряженное состояние идеальнопластического пространства с эллипсоидальной полостью. Решение, как и в главе I, ищется в виде (2). Представляя границу эллипсоидальной полости в виде

/> = Ро + Х»„(0,¥>). (15)

71 = 1

Для эллипсоидальной полости определены р\ и р2, причем

1 //- . ч/о2/ „т о\ , С1 ~ °2 г>2/

МЗД = 2 + С2)(А2(соз0) - 2) + ^-у^Р22(со80)соз2У

(16)

Согласно (16) и условия отсутствия напряжений на границе полости, будем иметь

, 4 к , 2 кдР1{е,ч>) , 2 к дрг(в^)

= трв = = - —

(17)

Исходя из общих решений главы 1 и выражений (17), получены решения для компонент напряжений в пластической области:

3 к

о"„ = <гй = ст;л = - — ((С1 + с2)(Р|(соз 9) - 2)+

г'е-с'в-а'ч,- 2 3/2

С1 - С2 о2

3

к дРЦсозв)

Р2 (сое в) соэ 2ср ) ,

трв = Л¿ю" "' (3(С1 + С2) + (С1 -с2)соз2у>), (18)

В третьей главе рассматривается напряженное упругопласти-чекое состояние пространства с эллипсоидальной полостью и определена граница упруго-пластической зоны в первом приближении.

Напряженное состояние в упругой области пространства с эллипсоидальной полостью в линеаризированной постановке можно представить как сумму двух напряженных состояний - напряженного состояния трехосно растягиваемого пространства, ослабленного сферической полостью и напряженного состояния пространства с эллипсоидальной полостью, свободного от внешних усилий: в линеаризированной постановке задача о пространстве с эллипсоидальной полостью сводится в любом приближении к задаче о пространстве со сферической полостью, влияние эллипсоидально-сти участвует за счет напряжений на сфере согласно граничным условиям.

Решение об упругой сфере исследовано в форме А.И.Лурье (Пространственные задачи теории упругости. -М.: Гостехиздат, 1955). Напряженное состояние трехосно растягиваемого пространства со сферической полостью было решено Т.Д.Семыкиной (О трехосном растяжении упругопластического пространства, ослабленного сферической полостью // Изв. АН СССР, Механика и машиностроение. -1963. -К 1. -С.174-177).

В упругопластических задачах особый интерес представляет определение положения упругопластической границы. Возникновение пластических зон ведет к перераспределению напряженного состояния, максимум напряженного состояния достигается на

границе упруго-пластической зоны. В этой главе, используя условие сопряжения компоненты напряжения а$ в первом приближении определена величина - граница упруго-пластической зоны.

В четвертой главе рассматривается задача об определении компонент деформированного состояния вблизи осесимметрично-го состояния полой сферы из идеальнопластического материала.

Предположив, что в исходном состоянии имеет место

„О _ ПК _о _ о о _ о _ >

ав — а9 — а«п трв — ТРЧ> — Т1

О,

(19)

используя условие полной пластичности Треска - Сен-Венана для компонент скоростей перемещений получены

е' + е'в + е' = О,

О,

^ = о.

(20)

Переходя к компонентам скоростей перемещений имеем следующие соотношения

£р =

2

ди' / 1дь'

V £в ~~рдв'

5 ( 1 ду'' + рдв

др V Р)

1

£<р ря'тв дц>

дю' и' V'

+ - + в,

Р Р

' грч>

1 ди' д_ /V

рэтв дц> ^др \ р

(21)

Согласно (20) и (21) получим статически определимую систему из трех уравнений, которая сводится к одному уравнению

др2

если положим

дЧ л 5Ф <92Ф <9Ф л 1 <92Ф п

и' = -р2

др дв2 дФ

дв

др

V = р

9Ф

дв '

т' =

зш2 в «V

_р_дФ эт в д<р

(22)

(23)

Общее решение уравнения (22) найдено методом разделения переменных. Оно определяет решение для компонент перемещений

в соответствии с (23).

Основные результаты исследования

1. Определено напряженное состояние упруго - идеальнопла-стического пространства с эллипсоидальной полостью.

2. В первом приближении определена граница упруго - пластической зоны для пространства с эллипсоидальной полостью.

3. Определены компоненты деформированного состояния вблизи осесимметричного состояния полой сферы из идеальнопласти-ческого материала.

По теме диссертационного исследования опубликованы

нижеперечисленные работы:

1. Ефремов В.Г. Напряженное состояние идеально пластического пространства, ослабленного эллипсоидальной полостью //Чебоксары, Известия ИТА ЧР, -N1(2), -1996,-0.61-67.

2. Ефремов В.Г. Идеальнопластическое состояние тел вблизи сферической полости //Чебоксары, Известия ИТА ЧР, -N2(3), -1996, -С.8-14.

3. Ефремов В.Г. Напряженное состояние упругого пространства с эллипсоидальной полостью //Чебоксары, ЧГПИ им. И.Я.Якот лева: Сб. научных трудов студентов и аспирантов, -1996, -С.5-11.

4. Ефремов В.Г. Пластическое состояние пространства вблизи эллипсоидальной полости. /ЧГПИ им. И.Я.Яковлева, -Чебоксары, 1996. -9 с. -деп. в ВИНИТИ, 19.04.96 Ш285-В96.

5. Ефремов В.Г. Напряженное состояние упруго - пластического пространства с эллипсоидальной полостью./ЧГПИ им. И.Я.Яковлева, -Чебоксары, 1996. -15 с. -деп. в ВИНИТИ, 14.06.96 N1975-896.

6. Ефремов В.Г. Определение компонент скоростей перемещений возмущенной осесимметричной полой сферы из иде-альнопластического материала //Чебоксары, ЧГПИ им И.Я.Яковлева: Проблемы воспитания и образования молодежи в национальной школе (Сб. научных трудов аспирантов и преподавате-

лей), -1996, -С.50-52.

Формат 60x84/16 Объем 0.75 п.л. Тираж 100 экз.