Некоторые экстремальные задачи теории приближения функций сплайнами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Основные обозначения.

Введение.

I глава. Асимптотически оптимальный выбор узлов при приближении функций сплайнами

§1.1.Предварительные результаты.

§1.2.06 оптимальном выборе узлов при приближении функций локальными L -сплайнами.

§1.3.06 уклонении интерполяционных сплайнов от локальных . 3?

§1.4.0 выборе узлов для интерполяционных сплайнов минимального дефекта.

§1.5.0 выборе узлов при приближении функций сплайнами наилучшего приближения. . . 0.

П глава. Оптимальное восстановление функций и функционалов.

§2.1.Постановка задач. Предварительные результаты.

§2.2.06 асимптотически оптимальном восстановлении интеграла на классах \к/р

§2.3.06 оптимальном восстановлении интеграла.

§2.4.06 оптимальном восстановлении функций на клас-~ f сах W>

§2.5.0 восстановлении функций с использованием дополнительной информации.

Диссертационная работа посвящена исследованию задачи выбора последовательности асимптотически оптимальных разбиений при приближении функций сплайнами и задаче оптимального и асимптотически оптимального восстановления функпдй и функционалов.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

- указан выбор последовательности асимптотически оптимальных разбиений при приближении функций локальными L -сплайнами, интерполяционными сплайнами минимального дефекта и сплайнами наилучшего приближения;

- получена асимптотически наилучшая весовая квадратурная формула на классах "Wp ( г = 3,5 )и исследована задача оптимального восстановления интеграла на некоторых классах функций, задаваемых модулем непрерывности;

- решена одна задача оптимального восстановления функций по информации, использующей значения функции и её производных в точках. Г--k , — v

Функцию Set (к= 1,г ) называют сплайном порядка г дефекта к по разбиению

К-tM-ct(,„ -С. Ct ,,,^-i}. если на каждом интервале (tU{ n^tL п ") она совпадает с алгебраическим многочленом степени не выше р

Через Srl< ( А п) обозначим множество всех сплайнов порядка г» дефекта к по разбиению Д^ . Заметим, что Sr,K(Aa) - множёство функций вида

L=0 i=i j-j

Наиболее часто применяются интерполяционные сплайны минимального дефекта. Сплайн s г (х, е S ^ 4 (Дп ) назовем интерполяционным для функции ос , если при r= 4Д5,,,.

Дn,tLiJ = х (tin) CL = IjiTi) , и для

5,feA„,(iu(,(I + t,„)/2) = x((ti.(,n+tt,JA) а-ГЮ, I с граничными условиями x(v)(0 0 = 0, LC^-D/a], U0.O, где 152 Л - целая часть числа <2 ) или с периодическими граничными условиями

Существование и единственность таких сплайнов доказаны в монографиях Дж.Алберга, Э.Нильсона, Дж. Уолша Г2] и С.Б.Стеч-кина, Ю.Н.Субботина [43J .

На практике широко применяются локальные сплайны, характерным представителем которых являются эрмитовые сплайны.

Сплайн Р^ (х, Дп) Sг (Ап) называется эрмитовым, если ч

Р^Сх.ЬпЛ^-х- aif„) 0>-0,м, = 0,i

Простейшие сплайны давно известны в математике, например, хорошо известен метод ломаных Эйлера. Лебег использовал ломаные для промежуточного приближения при доказательстве теоремы Вейер-штрасса. Позже промежуточные приближения сплайнами успешно применялись Н.П.Корнейчуком [22]

В теории экстремальных задач сплайны нередко являются экстремальными функциями.

Естественным путем сплайны возникли в работах С.М.Никольского, А.Сарда и др., посвященных наилучшим квадратурным формулам.

В качестве самостоятельного объекта исследований сплайны рассматривались в работах И.Шенберга, Н.П.Корнейчука, Ю.Н.Субботина, Ю.С.Завьялова и др.

Позже получило распространение обобщение полиномиальных сплайнов - L -сплайны. Функция S&C ™ называется

L - сплайном дефекта К , порожденным дифференциальным оператором

1x60 ^^МЛ) С^вС1, ат^а i=0 если

L*Ls(i)=0 (te Lii-i,nti,J (иГп)Х где m а,

L'xCi) = £С-01 W0*U)}.

Uo

Теорию L -сплайнов развивали Ю.С.Завьялов, Р.Варга и др. Пусть |Ргк (;, йп)} некоторая последовательность операторов, отображающих С в Ьгк и п) ( Р ^ f ~ к ).В частности, Р~ „ (ос, может быть интерполяционным сплайном ми' I N нимального дефекта, эрмитовым сплайном и пр.

При фиксированных г* , 9 и р последовательность 11 00 1

1. Азарин B.C., Бармин В.И. Аппроксимация кусочно-линейными функциями.- В кн.: Матем. сборник, Киев, 1976, с.25-26.

2. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её при ложения.- М.: Мир, 1972.

3. Ш&еяп 2 Ж, Mson Е. Ж, "Walsh ЯL Fundamental pwpezues of genctalixed splines, Jlotices Лт. Math. Soc., /9ь4.4. bozsak K. Dzel saize и£ег die n- dime/diomt eufclidishe Sphoze. Fund, fflodh/935, го, p. /77-/9/.

4. Боянов Б.Д. Наилучшие методы интерполирования для некоторых классов дифференцируемых функций.- Матем. заметки, 1975, 17, М, с.511-524.

5. Sojanoti B.J). Existence and ckazactezLfalcon of monosplines of leait Lp deviation. Pzoceedlnps of ihe tfntetn. Conf.on. Cosisiiuctiee Fiinc. Theory, blacpevgzad, 1977,p. ZU9 -261

6. В ojanov &.Д Uniqueness Ike Optimal ft nodes of ouadzataze Fovnule.- math, of Сотр., /981,36, Hf&> p. 532- 546.

7. Василенко А.В., Лигун A.A. Одна задача оптимального восстановления дифференцируемых функций с использованием дополнительной информации.- Деп. в ВИНИТИ 18 апреля 1980 г.,1532-80.

8. Великин В.Л. Оптимальная интерполяция периодических дифференцируемых функций с ограниченной старшей производной.-Матем. заметки, 1977, 22, Ш>, с.663-670.

9. Великин В.Л. Точные значения приближения эрмитовыми сплайнами на классах дифференцируемых функций.- Изв. АН СССР, сер. матем., 1973, 37, Ж, с. 165-185.

10. Гребенников А.И. О выборе узлов при аппроксимации функций сплайнами.- Ж. вычисл. матем. и матем. фаз., 1976, 16, Ж, с. 219-223.

11. Гребенников А.И. О выборе узлов при интерполировании функций L -сплайнами.- В кн.: Вычислительные методы и программирование, М., МГУ, 1977, вып. 26, с.168-175.

12. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближения.-М., МГУ, 1983.

13. Douqtas Н On ike Choice of Segments in Pieceurtse approximations. X Inst. math . and (Lppt., M2, 9, ti2.

14. Доронин В.Г., Лигун А.А. О точном решении некоторых экстремальных задач на классах функций, определяемых интегральным модулем непрерывности.- ДАН СССР, 1980, 251, Ж, с. 16-19.

15. Qzeoitte Т. Н.Е, Humeucat pwceduzes fot inieг -polaiion Su sptine functions. math. Яез. Ceniez Tech. . Summazy Rept., №, US dzmy, №4.

16. Женсыкбаев А.А. Моносплайны минимальной нормы и наилучшие квадратурные формулы.-Успехи матем. наук, 1976, 36, вып.4 (220), с.107-159.

17. Женсыкбаев А.А. Наилучшая квадратурная формула для некоторых классов периодических дифференцируемых функций.- Изв. АН СССР, сер. матем., 1977, 41, Jffi, c.IIIO-1124.

18. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методысплайн-функций.- М.: Наука, 1980.

19. Зуховицкий С.И. Об одной задаче кусочно-линейного программирования.- Ж. вычисл. матем. и матем. фаз., 1963 , 3, $3, с.599-605.

20. Киндалев Б.С. Асимптотическое представление погрешности приближения интерполяционными сплайнами нечетной степени.-Тезисы докладов на международной конференции по теории приближения функций, Киев, 1983, с.94.

21. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения.-М.: Наука, 1976.

22. Корнейчук Н.П. Оптимальное восстановление функций и их производных в метрике hp Труды конференции по дифференциальным уравнениям и вычислительной математике, Новосибирск, 1978, с.152-157.

23. Корнейчук Н.П. Поперечники в Lp классов непрерывных и дифференцируемых функций, и оптимальные методы кодирования и восстановления функций и их производных.- Изв. АН СССР, сер. матем., 1981, 45, 112, с.266-290.

24. Kotneicuk H.V. (oxact егюг Sounds of appzoximcrtLon Ьи IntezpotatCnQ splines in L-metzic on ihe c£ass$sl^p ^ oo) of peziodic functions,-£no£. math. > 1Я77, 5, p. /09- /a

25. Корнейчук Н.П. О приближении локальными сплайнами минимального дефекта.- Укр. матем. ж., 1982, 34, J®, с.617-621.

26. Корнейчук Н. П., Лушпай Н.Е. Наилучшие квадратурные формулы для классов дифференцируемых функций и кусочно-полиномиальное приближение.- Изв. АН СССР, сер. матем., 1969, 33, ЖЗ, с. I4I6-I437.

27. Лигун А.А., Малышева А.Д. Об оптимальном выборе узлов при наилучшем приближении функций сплайнами.- В кн.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям,Днепропетровск,ДГУ, 1980, с.31-35.

28. Лигун А.А., Сторчай В.Ф. О наилучшем выборе узлов при приближении сплайнами в метрике Ьр Матем. заметки, 1976, 20, М, с.611-618.

29. Лигун А.А., Сторчай В.Ф. О наилучшем выборе узлов при интерполировании функций эрмитовыми сплайнами,- Anal, rnalk., 1976, 2, с.267-275.

30. Лигун А.А., Сторчай В.Ф. Об интерполировании функций кубическими эрмитовыми сплайнами.- Изв. вузов. Математика, 1982 , 241, №, с.26-29.

31. Лигун А.А., Сторчай В.Ф. О наилучшем выборе узлов при приближении функций локальными эрмитовыми сплайнами.- Укр. матем. ж., 1980, 32, JS6, с.824-830.

32. Лигун А.А. Об одном свойстве интерполяционных сплайн-функ-ций.-Укр. матем. ж., 1980 , 32, М, с.507-514.

33. Лигун А.А. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве L2 Матем. заметки, 1978 , 24, J&6, с.785-792.

34. Лигун А.А. О поперечниках некоторых классов дифференцируемых периодических функций.- Матем. заметки, 1980, 27, М, с.61-75.

35. Моторный В.П. О наилучшей квадратурной формуле видап2 pKf Схк) для некоторых классов дифференцируемых периодических функций.- Изв. АН СССР, сер. матем., 1974, 38, J&3, с.583-614.

36. Моторный В.П., Рубан В.И. Поперечники некоторых классов дифференцируемых периодических функций в пространстве L .■ Матем. заметки, 1975, 17, М, с.531-543.

37. Никольский С.М. Квадратурные формулы.- М.:Наука, 1979.

38. Пахнутов И.А. Лакунарные сплайны с дополнительными узлами.-В кн.: Методы сплайн-функций. Вычислительные системы, Новосибирск, 1979, вып. 81, с.21-30.

39. Смоляк С.А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них.- Дис. . канд. физ.- матем. наук, М., МГУ, 1965.

40. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике . М.: Наука, 1976.

41. Стечкин С.Б. Одна оптимизационная задача.- MumezLoske tyethoden dez dpp^ooci/пa.icons tiozie, Sa^d /„ VStiM , voL 16, 1972, p. 90S'208.

42. Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Порядок наилучших сплайн-приближений некоторых классов функций.- Матем. заметки, 1970 , 7, ЖС, с. 31-42.

43. Тайков Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модули непрерывности из Lz .- Матем. заметки, 1976, 20, ЛЗ, с.433-438.

44. Wall СЛ., Weyez WW. Optimal еггог Sounds, foz cubic spline interpolation. & dpptox.irn TheotuJ 1976, 16, p. Ю5-Ш.

45. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства.- М.: ИМ, 1948.

46. Sckumakez JL. Spline, functions : Sasie iheow. -JVeui Уогк, У.Шеу & Son's, 1981.

47. Шумилов Б.М. Локальная аппроксимация и наилучшее равномерное приближение сплайнами.- Дис. . канд. физ.- матем. н., Новосибирск, 1983.

48. Лигун А.А., Шумейко А.А. Оптимальный выбор узлов в сплайн-аппроксимации и квадратурах.- Тезисы докладов на международной конференции по теории приближения функций, Киев, 1983, с. 112.

49. Лигун А.А., Шумейко А.А. Об оптимальном восстановлении функций на классах Wp .- Изв. вузов. Математика, 1982, 245, МО, с.37-39.

50. Лигун А.А., Шумейко А.А. 0 выборе узлов при приближении функций сплайнами типа Рябенького.- В кн.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям, Днепропетровск, ДГУ, 1982, с.26-34.

51. Лигун А.А., Шумейко А.А. Об оптимальном выборе узлов при приближении функций двумерными сплайнами.- В кн.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям, Днепропетровск, ДГУ, 1982, с.193-200.

52. Шумейко А.А. Интерполирование функций эрмитовыми JL -сплайнами.- В кн.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям, Днепропетровск, ДГУ, 1979, с. I26-I3I.

53. Шумейко А.А. О приближении функций локальными L -сплайнами.- В кн.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям, Днепропетровск, ДГУ, 1982, с.72-79.

54. Шумейко А.А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов.- В кн.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям, Днепропетровск, ДЕУ, 1983, с.54-68.