Некоторые прикладные задачи статики тонких оболочек из эластомеров тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

ПЛАВА I. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

§ I* Нелинейные уравнения моментной теории осесиммет-ричного изгиба тонких оболочек вращения из эластомеров

§ 2. Нзлинейные уравнения безмоментной теории осесиммет-ричной деформации тонких оболочек вращения из эластомеров •

§ 3, Формулировка в векторном виде граничных одномерных задач для уравнений

§ 1,2 .•••.».

ПЛАВА П. МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГЛАВЫ I

§ Построение решения одномерных нелинейных граничных задач на основе сочетания метода продолжения по числовому параметру и итерационного метода линеаризации •

§ 5. Применение метода линеаризации Ньютона-Канторовича к нелинейной одномерной краевой задаче

§ 3.

§ б. Метод ортогональной прогонки и особенности его применения к одномерным краевым задачам метода линеаризации Ньютона-Канторовича.

ГЛАВА Ш. ЧИСЛЕННОЕ НЖНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ СТАТИКИ ТОНКИХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ СБШОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ИЗ ЭЛАСТОМЕРОВ

§ 7. Осесимметричное выворачивание сферических оболочек из эластомеров равномерным внешним давлением. . • •

§ 8# Осесимметричное выворачивание сферических оболочек при наличии односторонних ограничений (сферический вытеснитель).

§ 9. Шрекатывающаяся мембрана • •

ГЛАВА 1У. БШЫПИЕ ДЕФОРМАЦИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕШРАНЫ

§ 10, Вариационное уравнение Лагранжа для закрепленной по контуру безмоментной оболочки »•••«•••• I

§ II. Плоская мембрана в прямоугольной системе координат.М

Настоящая работа посвящена постановке и решению ряда практически важных задач нелинейной теории тонких оболочек из эластомеров. В настоящее время тонкие оболочки из эластомеров широко применяются в качестве элементов конструкций в судостроении, автомобилестроении, авиа и ракетостроении, вагоностроении, химическом машиностроении, медицинской технике. Дальнейшее развитие этих отраслей современной техники требует совершенствования существущих и создания новых более эффективных методов расчета, позволяющих выявить и использовать резервы прочности и долговечности тонкостенных оболочечных конструкций из эластомеров.

Условия работы многих оболочечных конструкций из эластомеров таковы, что перемещения могут превышать исходные размеры, а деформации достигать 100-300$. Это приводит к необходимости использования теорий, которые учитывают как большие перемещения, углы поворота и деформации (геометрическая нелинейность)» так и нелинейный характер зависимости напряжений от деформаций (физическая нелинейность).

Вопросам построения нелинейных уравнений теории оболочек и численного ре пения соответствующих нелинейных краевых задач посвящено большое число публикаций как в отечественной, так и в зарубежной литературе. Приводимый ниже краткий обзор касается, в основном, работ, в которых рассматриваются достаточно общие постановка задачи и численный алгоритм решения.

Внвод общих двумерных геометрически нелинейных уравнений теории тонких оболочзк, базирующихся на гипотезах Кирхгофа-Лява; содержится, например, в монографиях Лява C^J » В.В.Новожилова [78] , Х.Н.%штари и К.З.Галимова [7 б] , В.З.Вйасова [id] ,

А.С.Вольмира [2Q>] , в статье Л. А .Шаповалов а /"ll4/ и др. Уравнения общей физически нелинейной теории (упруго-нластический материал) строились в работах А.А.Ильюшина [Ь5] , Г.Каудерера [52.]

Особо выделим используемую в настоящей работе нелинейную теорию тонких оболочек из эластомеров, построенную К.Ф.Черных ^*I04,I06j . Отметим три характерные особенности предложенного варианта теории. Это, прежде всего, используется модифицированная гипотеза Кирхгофа, позволяющая без повышения порядка разрешающей системы уравнений учесть существенное для оболочзк из эластомеров деформационное утонение. Далее, применяется двойной тензор напряжений, что позволяет одновременно использовать преимущества материальных координат как в недеформированной, так и в деформированной конфигурациях* Наконец, принимается линейный закон распределения напряжений по толщине, что значительно упрощает связь между усилиями-моментами и компонентами деформации срединной поверхности.

При исследовании отдельных классов нелинейных оболочечных задач разрешающие системы уравнэний, в принципе нет руд но получить из имеюцихся общих двумерных уравнений нелинейной теории оболочек. Однако довольно часто вывод разрешающей системы проводится непосредственно для рассматриваемого класса задач, что позволяет быстрее и проще получить искомые уравнения, зачастую при меньших допущениях.

Например, для случая осесимметричной деформации оболочек вращения геометрически нелинейные уравнения при произвольных перемещениях и углах поворота, кроме первых в этой серии работ Э.Рейсснера [131,132.] , строились также в работах Н.А.Алумяэ [2J, Н.В.Валишвили /"15/, В.Ф.Терентьева /"87/ ; для сферических оболочек - в работах И.И.Воровича и Н.И.Минаковой [24] , В.И.Феодосьева [ 97] ; для пологих оболочек - в работах В.И.Фео-досьева [ 95] , Н.В.Валишвили [15] и др. авторов* Уравнения, в которых учитывалась лишь физическая нелинейность процесса упругой деформации материала оболочки (упруго-пластический материал), содержатся в работах И.А.Биргера [ 9] , Г.Каудерера [ 52] , И.А.Цур-пала [ 100] и др. Совместный учет указанных нелинейностей проводился в работах Н.А»Алумяэ [ 2] » И.И.Воровича и Н.И.Минаковой [2.5] , А.А.Курдюмова [&?] , С.С.Прасниковой [д5] , В.Ф.Теренть-ева [ 88,89/ , А.С.Щцина [ Ив] и др.

Геометрически и физически нелинейные уравнения безмоментной теории оболочек (мембран) рассматриваются в работах С.А.Алексеева [l] , В.Л.Бидермана [ д] (малые деформации), А.С.Григорьева [ъъ] W.H. Yanfy,K.H.Hsu [Ш] , В.И.Усюкина [92>]ъ др. авторов. В последней работе получена наиболее общая система уравнений, справедливая при произвольной начальной геометрии, больших деформациях и перемещениях (для неогуковского материала).

Вопросы существования решения нелинейных задач теории оболочек и обоснования методов решения рассматриваются, например, в работах И.И.Воровича /"227, Н.Ф.Морозова [74,75] , В.Ф.Кириченко и В.А.Крысько [%], .HB.tfeeZez, A.WШ/ Сш] и др.

Классификацию применяемых численных методов решения стати -ческих задач теории оболочек можно вести по двум направлениям: по способу дискретизации исходной континуальной задачи и по методу, обеспечивающему "движение" вдоль диаграммы "нагрузка-перемещение".

Так, говоря о способах дискретизации двумерных задач;прежде всего нужно выделить метод конечных разностей /*П,31,40,60,63,

66 J и вариационные методы [Г7,49,61,63,64/73,80,84,993 . В одномерных задачах отметим наиболее широко используемые методы: конечных разностей [7,11,30,51,87] , ортогональной прогонки [5, 26,27,29,51,65,983 , дискретные схемы возникающие в результате приме шния про из дур численного интегрирования задач Коши в рамках методов типа стрельбы [5,13,15,23,32,58,59,122], в том числе с разбиением отрезка интегрирования на промежуточные отрезки, вариационные методы [23,24,90,91] .

Среди способов движения вдоль диаграммы "нагрузка-перемещение" можно выделить процедуру итерационного продолжения по параметру [ 15,58,87,96,111,112] и методику дифференцирования по параметру [23,42,94,110,111,130] , а также методики, комбинирующие эти два подхода [ 80] • В рамках итерационного продолжения по параметру наиболее широко применяется метод Ньютона-Канторовича [6,16,46,50,56,87] , а также различные формы методов физической линеаризации (дополнительных нагрузок, переменных параметров упругости и др.) [8,45,51,98].

В настоящей работе для решения одномерных нелинейных краевых задач применяется метод решения,основанный на сочетании итерационного продолжения по параметру, линеаризации Ньютона-Канторовича и ортогональной прогонки. Он апробировался на большом числе задач и прежде всего на широко известной задаче об осесимметричном выворачивании сферического купола равномерным давлением. Эта задача исследовалась многими авторами [13,14,15,23,24,25,33,34,60,72, 83,96,98,100,115,124,1353. Однако еще и сейчас дискутируется вопрос о действительном значении верхней критической нагрузки для заделанного по краям сферического купола [з] . В основном, в перечисленных работах исследовались вопросы устойчивости жестких (металлических) оболочек и решение строилось в диапазоне изменения прогиба до нескольких толщин. Оболочки же из резиноподобного материала (эластомера); используемые, например, в качестве разделительных и вытеснительных диафрагм, в процессе работы испытывают значительные деформации и перемещения. Поэтому представляет практический и научный интерес исследование напряженно-деформированного состояния оболочек при значительных, порядка радиуса, перемещениях, проведенное в настоящей работе. Большие (порядка радиуса) осесимметричные прогибы существенно непологих сферических куполов из линейно-упругого материала рассматривались В.И.Фводосьевым fsnj, А.В.Коровайцевым /~58,59/ tKzLe.g£m&nn£.

1277 .

Использование в практике устройств, в которых оболочки из эластомеров в процессе нелинейного деформирования вступают в контакт с жесткими (металлическими) поверхностями /"127, требует разработки соответствующих методов расчета, которые позволят определить как величину зоны контакта, так и напряженно-деформированное состояние оболочки. Вопрос о возможности использования теории оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява, для решения упругих контактных задач обсуждается в монографии Э.И.Григолюка и В.М.Толкачева/" 357. Указывается, что, несмотря на некорректность в определении реакций со стороны ограничивавшей поверхности, напряженно-деформированное состояние теория определяет достаточно точно.

Количество публикаций, посвященных исследованию больших деформаций оболочек при наличии односторонних ограничений на перемещения, невелико С 54,71,91,IOI,109,II8-I2IJ. Это обстоятельство связано с тем, что ограничения вносят в систему уравнений дополнительную нелинейность - так называемую, конструктивную [69] , что в значительной степени усложняет постановку и решение этих задач. Почти во всех перечисленных работах рассматриваются задачи о раздувании безмоментных оболочек (мембран) из материала Муни, вступающих в контакт с гладкой поверхностью жесткого тела. Решение, в основном, строится вариационными методами, в частности, методами нелинейного программирования.

Большие прогибы квадратной безмоментной оболочки (мембраны) из неогуковского материала исследовались в работах VJ-M.YoLti^, С .Н. [139] и В.И.Кузнецова, А.С.Стрекозова [66] методом конечных разностей. Отметим также работы А.С.Григорьева, В.М.Трушиной, В.А.Шадрина [39,403 » где рассматриваются большие прогибы прямоугольных мембран из линейно-упругого материала. Представляет практический интерес разработка метода и алгоритма расчета прямоугольных мембран, не зависящего от выбора потенциала, описывающего упругие свойства материала.

В настоящей работе для исследования больших прогибов прямо-угольных мембран используется метод Бубнова. Целесообразность и эффективность применения вариационных методов и, в частности, метода Бубнова для решения нелинейных двумерных задач теории пластин и оболочек подтверждается работами В.А.Крысько [63,64] и его учеников. В работе [63] на ряде задач показано преимущество (в смысле затрат времени ЭВМ) вариационных методов перед методом конечных разностей.

На защиту выносится: постановка и решение ряда новых практически важных задач нелинейной теории осесимметрич-ных оболочек из эластомеров, в том числе при наличии односторонних жестких ограничений на перемещения (сферический вытеснитель, перекатывающаяся мембрана) ; разработка общего вычислительного подхода к решению одномерных нелинейных краевых задач на основе метода ортогональной прогонки и создание универсального алгоритма решения указанных задач; создание метода расчета прямоугольных мембран для широкого класса упругих потенциалов.

Научная новизна работы. Даны постанов- • ка и решение новых практически важных задач деформирования оболочек из эластомеров при наличии односторонних ограничений на перемещения. Построены полные диаграммы "нагрузка-перемещение" для случая выворачивания существенно непологих сферических сегментов внешним давлением. Исследовано влияние упругих свойств материала на поведение квадратной мембраны, нагруженной равномерным давлением.

Дос товерность основных научных положений и полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задачи; сопоставлением части результатов численного решения с результатами, полученными другими авторами.

Практич еска я це нность. Полученные результаты имеют теоретическое и прикладное значение. В настоящее время результаты диссертационной работы используются при оценке прочности перекатывающихся и разделительных мембран в Ленинградском филиале научно-исследовательского института резиновой промышленности.

Апробация работы. Содержание диссертационной работы было доложено по частям: на Ш и 1У Всесоюзных школах-симпозиумах по мезанике деформируемого твердого тела (Куйбышев, 1976,1977), на I научно-технической конференции по методам расчета изделий из высокоэластичных материалов (Рига, 1977), на Ш и 1У выездных сессиях научного совета по проблемам прочности и пластичности АН СССР и секции механики, математики и астрономии Минвуза СССР по "термовязкоупругости эластомеров" (Краснодар, 1980, 1982), на Всесоюзной конференции по нелинейным задачам теории пластин и оболочек (Саратов, I98X), на Всесоюзном симпозиуме "Актуальные проблемы нелинейной теории упругости" (Ленинград, 1982), на научно-технической конференции Московского автомеханического института, посвященной 60-летию образования СССР (Москеэ, 1982), на ХШ Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек (Таллин, 1983), на 7-ой Дальневосточной конференции по мягким оболочкам (Владивосток, 1983), на конференции "Разработка и внедрение конструкций из эластичных материалов в народном хозяйстве" (Севастополь, 1984), на семинаре Ленинградского государственного университета по численным методам в механике сплошной среды под руководством профессоров Н.Ф.Морозова, Е.П.Товстика, К.Ф.Черных.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях и тезисах докладов [47,141-149] . В совместных публикациях соавторам принадлежат следующие результаты и положения. В работе [47] К.Ф.Черных принадлежит используемая при расчетах нелинейная теория тонких оболочек из эластомеров; Е.П.Колпаку - результаты расчета арочного амортизатора и расчет квадратной мембраны методом сеток; С.С.Прасниювой - результаты расчета конического амортизатора ; К.М.Кылытчанову - результаты решения задачи раскроя мягких оболочек и задачи о безотрывном обтекании мягкой цилиндрической оболочки несжимаемой жидкостью. В работах [ 145,149] В.Ф.Терентьеву принадлежит: классификация ситуаций, встречающихся при итерационном продолжении по параметру в нелинейных одномерных задачах; общие алгоритмы обхода предельных точек и перехода на бифуркационные ветви; решение классических задач об эластиках прямолинейных стержней. В работе [146] В.Ф.Терентьеву принадлежит идея о замене жестких ограничений упругим односторонним основанием винкиеровского типа. В работе [147] К.Ф.Черных принадлежит система нелинейных уравнений осесимметричной деформации оболочек вращения из эластомеров, идея постановки условия (8.5) в точке отрыва сферической оболочки от поверхности ограничения. В работе [148] М.В.Вакориной принадлежат физические модели задач о мембранных перегородках, результаты экспериментов; В.Ф.Терентьеву - формулировка системы безмоментных уравнений осесимметричных мембран вращения; А.П.Господарикову - конкретизация постановки, получение и анализ результатов на основе сеточного метода для плоских и кольцевых мембран вращения.

В первой главе диссертации дана общая математическая постановка в единой векторной форме одномерных краевых задач по определению осесимметричного напряженно-деформированного состояния оболочек вращения из несжимаемого нелинейно-упругого материала. Построение системы нелинейных моментных уравнений (§ I) основано на гипотезах тонких оболочек Кирхгофа-Лява, модифицированных на случай больших деформаций. В § 2 приведены нелинейные уравнения безмоментной теории осесимметрично-деформируемых оболочек вращения.

Во второй главе изложен метод численного решения одномерных нелинейных краевых задач. В § 4 дана общая формулировка метода продолжения по параметру. Обсуждаются вопросы, связанные с итерационным продолжением по параметру на основе метода линеаризации, и приемы смены параметра в окрестности предельной точки. В § 5 построен общий вид матриц и векторов метода линеаризации Ньвдона-Канторовича. Конкретизируются аналитические формулы для матрицы Якоби от вектор-функций определяющих уравнений § 1-2. В § 6 изложен метод ортогональной прогонки, предназначенный для решения возникающей последовательности линейных двуточечных краевых задач метода линеаризации. Здесь же описан общий алгоритм решения двуточечной нелинейной краегой задачи для системы дифференциальных и ассоциированной с ней системы трансцендентных уравнений. Рассмотрены специальные приемы, позволяющие значительно повысить точность вычислений без существенного увеличения затрат времени ЭВМ,

В третьей главе приведены полученные по составленным автором программам для ЭЦВМ серии ЕС результаты численного решения ряда нелинейных осесимметричных задач статики оболочек вращения из нелинейного несжимаемого упругого материала. В § 7 рассмотрены задачи об осесимметричном выворачивании сферичесrjjf 3 р— ких сегментов с углом полураствора Э~ (полусфера) и в-у^ под действием равномерного внешнего давления; проведена оценка применимости гипотезы о линейном распределении напряжений по толщине, принимаемой при построении определяющих уравнений. В § 8 поставлена и решена задача расчета сферической оболочки в случае осесимметричного выворачивания равномерным давлением при наличии жестких односторонних внешних ограничений на перемещения (сферический, вытеснитель). В § 9 приведены постановка и решение задачи об определении напряженно-деформированного состояния мембраны, помещенной между двумя жесткими соосными цилиндрическими поверхностями (перекатывающаяся мембрана),

В четвертой главе получено вариационное уравнение Лагранжа для случая закрепленной по контуру безмоментной оболочки из произвольного несжимаемого нелинейно-упругого материала, нагруженной равномерным давлением (§ 10). В декартовой системе координат рассмотрена задача о раздувании квадратной мембраны; решение представлено в виде рядов по тригонометрическим функциям, коэффициенты которых определяются из решения трансцендентной системы уравнений (метод Бубнова). Приведены результаты расчета квадратных мембран из различных материалов (§ II).

В заключении сформулированы полученные результаты.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения,четырех глав, заключения и списка литературы и содержит 119 страниц машинописного текста, включая 3 таблицы, и 42 рисунка. Библиография насчитывает 149 наименований.

Основные результаты диссертационной работы сводятся к следующему.

1. Дана математическая постановка одномерной краевой задачи для системы дифференциальных и трансцендентных уравнений по определению напряженно-деформированного состояния осесимметричных •оболочек вращения в моментной и безмоментной постановке в случае изотропного несжимаемого нелинейно-упругого материала (эластомера), обладающего упругим потенциалом общего вида. Построенная система нелинейных уравнений основана на гипотезах теории тонких оболочек Кирхгофа, предложенных К.Ф.Черных для случая больших деформаций.

2. Разработана универсальная методика численного решения сформулированной двуточечной нелинейной краевой задачи. Предложенный алгоритм основан на сочетании методов итерационного продолжения по числовому параметру, линеаризации Ньютона-Канторовича и ортогональной прогонки. Он реализован в пакете программ для ЭЦВМ серии ЕС.

3. Решена задача об осесимметричном выворачивании сферического существенно не пологого сегмента равномерным давлением при различных условиях закрепления. Диаграмма равновесных состояний доведена до перемещений полюса порядка диаметра сферы.

Сформулирована и решена практически важная задача об определении осесимметричного напряженно-деформироЕанного состояния выворачиваемого внешним давлением сферического сегмента, перемещения которого ограничены жесткой сферической поверхностью (сферический вытеснитель). Показано, что учет ограничений существенно повышает уровень напряжений,

5, Сформулирована и решена важная прикладная задача об определении напряженно-деформированного состояния мембраны, заключенной между двумя жесткими соосными цилиндрическими поверхностями и нагруженной равномерным давлением (перекатывающаяся мембрана). На основе численного исследования получены простые формулы для жесткостной характеристики.

6, Дана вариационная постановка двумерной задачи о раздувании равномерным давлением закрепленной по контуру мембраны из произвольного нелинейне-ynpyroro несжимаемого материала.

7, Разработана методика и построено решение сформулированной в п,6 задачи для случая квадратной в плане мембраны. ИсследоЕано влияние материала на поведение мембраны.

- 157 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Алексеев С.А. Основы общей теории мягких оболочек, В сб, "Расчет пространственных конструкций", в.1., М,, "Стройиздат", 1966, с.5-37.

2. Алумяэ Н.А. К теории осесимметричной деформации оболочек вращения при конечных перемещениях. ПШ, т. 16, & 1952.

3. Бабенко В.И., Причко В.М. Потеря устойчивости сферических оболочек при внешнем давлении. ДАН СССР, 198I, т.260, А 4, с. 831-833.

4. Бартенев Г.М., Хазанович Т.Н. О законе высокоэластичных деформаций сеточных полимеров. "Высокомолекулярные соединения", т. 2, Л I, I960, с. 20-28.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. М., "Наука", 1973, 632 с.5, Беллман Р,, Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М., "Мир", 1968, 184 с.

6. Березин И.С. и Жидков Н.П. Мзтоды вычислений. М., 1959: т.I, 464 е., т.П, 620 с.

7. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. М., "Машиностроение", 1977, 488 с.

8. Биргер И.А. Круглые пластинки и оболочки вращения. М., Обо-ронгиз, 1961, 368 с.

9. Болотин В.В, Нелинейная теория упругости и устойчивости в "большом". В кн. Еасчеты на прочность е машиностроении, М., 1958, в.З, с.310-354.

10. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М., Щ, 1963 , 488 с.

11. Вакорина М.В,, Антропова В.Н., Ерченко А.И. Исследование влияния некоторых конструктивных параметров на долговечность резиновых перекатывающихся мембран. В кн. Пятый дальневосточный семинар по мягким оболочкам. Владивосток, 1976, с.135-141.

12. Валишвили Н.В. Об одном алгоритме решения нелинейных краевых задач. ПММ, 1968, т.32, № 6, с. 1089-1091.14Валишвили Н.В. О конечных перемещениях осесимметричных пологих оболочек. Изв. АН СССР, МТТ, 1974, Л 2, с.125-132.

13. Валишвили Н.В, Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М., "Машиностроение", 1976 , 278 с.

14. Виленкин Н.Я. и др. Функциональный анализ, серия СМБ. М., "Наука", 1972, 544 с.

15. Г7. Власов В.З. Новый практический метод расчета складчатых покрытий и оболочек, "Строительная промышленность", 1932, № II, с,33-37; № 12, с.21-26,

16. Власов В.З, Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек. ПММ, 1944, т.8, $ 6, с. 109-140,

17. Воверис А,В. Опенка применимости некоторых допущений при большим изгибе несжимаемых пластин и оболочек. В тез.докладов на Всесоюзной научно-техн. конференции "Методы расчета изделий из высокоэластичных материалов". Rira, 1983, с. 18-19.

18. Вольмир А.С. Гибкие плстинки и оболочки. М., ГТИ, 1956, 420с.

19. Вольмир А.С, Устойчивость деформируемых систем. М., "Наука", 1967, 984 с.

20. Ворович И,И. О существовании решений в нелинейной теории оболочек. ДАН СССР, 1957, т.117, № 2, с.203-206.

21. Ворович И.И., Зипалова В,Ф, К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши, ПММ,- 161 -1955, т.29, Л 5, с.894-901,

22. Ворович И.И,, Минакова Н.И. Устойчивость непологого сферического купола, ПММ, 1968, т.32, JS 2, с,332-338.

23. Ворович И.И., Минакова Н.И. Уравнения осесимметричного напряженно -деформированного состояния непологой сферической оболочки из нелинейно-упругого материала при больших деформациях. ПММ, 1973, т.37, № 5, с.934-939.

24. Танеева М.С., Алексеева О.В. О применении методов численного интегрирования к уравнениям непологих оболочек вращения с полюсом, В трудах семинара по теории оболочек,Казанского физ,-техн, института АН СССР, Казань, 1975, вып.6, с.233-240.

25. Танеева М.С., Алексеева О.В. Об одном алгоритме численного решения геометрически нелинейных осесимметричных задач непологих оболочек вращения. В кн. Исследование по теории оболочек, Казань, 1976, вып.7, с. 120-127.

26. Годунов С.К, 0 численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. "Успехи мат.наук", 1961, т.16, № 399, с.Г71-Г74.

27. Гоцуляк Е.А., Паймушин В.Н., Пемсинг И. Расчет фрагмента оболочки вращения с неканоническим очертанием контура. -Статика и динамика оболочек. Тр. семинара по теории оболочек Казанск, физ.-техн. ин-та АН СССР, вып.12, Казань, 1979,с. 69-79.

28. Григолюк З.И., Мамай В.И. О методах сведения нелинейной краевой задачи к задаче Коши. Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький, 1979, $ II, с.3-19.

29. Григолюк Э.И., Мальцев В.П., МяченкоЕ В.И., Фролов А.Н.

30. Об одном методе решения задачи устойчивости и колебаний оболочек вращения. Изв. АН СССР, МГТ, 1971, л I, с.9-19.

31. Григолюк Э.И,, Мамай В,И., Фролов А,Н, Исследование устойчивости непологих сферических оболочек на оснэЕе различныхуравнений теории оболочек. Изв. АН СССР, МГТ, 1972, № 5, с. 154-165.

32. Григолюк Э.И., Толкачев В.М, Контактные задачи теории пластин и оболочек, М,, Машиностроение, 1980, 416 с,

33. Григолюк Э.И,, Шалашилин В.И, Метод, продолжения по параметру в задачах нелинейного деформирования стержней, пластин и оболочек. Успехи механики, т.4, вып.2, 1981, с.89-122.

34. Григоренко Я,М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. К., Наук.думка, 1973, 228 с.

35. Григорьев А.С, Равновесие безмоментной оболочки Еращения при больших деформациях. ПММ, 1961, т.25, № 6, С.Ю35-Ю39.

36. Григорьев А.С., Шадрин В.А, 0 равновесии квадратной мембраны при больших прорибах. Исследование по теории сооружений. М., 1980, № 24, с.115-120.

37. Григорьев А.С., Трушина В.М., Шадрин В.А. 1&вноЕесие прямоугольных и круглых ортотропных мембран при больших прогибах.-"Соврем. пробл. мех. и авиации". М., 1932, I05-IJ3.

38. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М., Мир, 1955.

39. Давиденко Д.Ф. О приближенном решении систем нелинейных уравнений. Укр. матем. журн., 1953, т.5, Л 2, с.195-205.

40. Задесов В.Н., Даев И.Ф. Пластическое деформирование Еытесни-тельных диафрагм. М., 1977, 72 с.

41. Зипалова В.Ф., Ненастьева В.М. Исследование в высоких приближениях устойчивости сферического купола при различных способах нагружения и закрепления. Изв. АН СССР, МГТ, 1955, $ 5.4 5. Илыапин А.А, Пластичность. M.-JI., Гостехиздат, 1948, 375 с.

42. Исаев В.И., Сонин В.В. Об одной модификации метода Ньютона численного решения краевых задач. ЖВМ и МФ, 1953, т.З, Л 5, с. 12-18.

43. Кабриц С.А., Колпак Е.П,, КылытчаноЕ К.М., Прасникова С.С., Черных К.Ф. Нелинейная теория оболочек из эластомероЕ. -В трудах ХШ Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек, ч.З, Таллин, 1933, с.7-12.

44. Кантор Б.Я, Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. К., "Наукова думка", 197I, с.135.

45. Канторович Л.В. Один прямой метод приближенного решения задачи о минимуме двойного интеграла. Изв. АЯ СССР, ОМЕН, 1933, № 5, с,547-552.

46. Канторович Л.В., Акилое Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М., ФМ, 1959, 584 с.- 164

47. Кармишин А.В. и др. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М,, "Машиностроение", 1975, 376 с.

48. Каудерер Г. Нелинейная механика. М., Щ, 1961, 778 с.

49. Кириченко В.Ф., Крысько В,А. Некоторые методы сведения многомерных задач механики к одномерным и их обоснование. Устойчивость пластин и оболочек. Саратов, 1981, с.51-58.

50. Князев А.А., Лежнега А.А. Применение методов нелинейного программирования к контактным задачам раздувания плоских резиновых мембран. Напряж. дефор, состоян. и прочность конструкций. Свердловск, 1982, с.71-74.

51. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. м., ИИ, 1953, 460 с.

52. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М., "Мир", 1969, 448 с.

53. Коровайцев А.В. О численном решении нелинейных уравнений осесимметричных оболочек вращения. Изв. ВУЗов Машиностроения, й 2, 1978, с.13-Г7.

54. Коровайцев А.В. Исследование нелинейного поведения оболочек вращения при произвольной геометрической нелинейности. В кн. Устойчивость деэстин и оболочек, Саратов, 1981, с.62-64.

55. Коровайцев А.В, йсчет напряженно-деформируемого состояния подкрепленных сферических оболочек при выворачивании. Изв. Машиностроения, 1932, $ 3, с.II-16.

56. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М., "Наука", 1964, 192 с.

57. Корнишин М.С., Файзулина М.А. Большие прогибы треугольных и четырехугольных пластин. В кн. Теория и методы расчета нелинейных пластин и оболочек. Саратов, 1931, с.28-30.

58. Красносельский М.А, и др. Приближенное решение операторных уравнений. М., "Наука", 1969, 456 с.

59. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Изд-во Саратовского университета, 1976, 214 с.

60. Крысько В.А., Амельченко В.В. К расчету гибких ортотропных пластинок модифицированном методом Власова-Канторовича с использованием ЭВМ. "За технический прогресс", Баку, 1968,$7,

61. Крюков Н.Н, Численное решение нелинейной краевой задачи о деформации замкнутой сферической оболочки. Прикя.механика 1983, 19, № 8, с. III-II3.

62. Кузнецов В.И., Стрекозов Н.П. О равновесии квадратной мембраны при больших перемещениях и деформациях. Тезисы докладов ХШ Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек,ч.З, Таллин, 1983, с.112

63. Курдюмов А.А. К теории физически и геометрически нелинейных задач изгиба и устойчивости пластин и оболочек. Труды ЛКИ, в.34, Л., 1961.

64. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972, 588 с.

65. Лукаш И,А. Конструктивно-нелинейные системы. В кн. Труды МИСИ им.В.В,Куйбышева, Ш 5^, М., 1967,

66. Ляв А, Математическая теория упругости. ОНТН, М.-Л., 1935, 674 с.

67. Магула В,Э. Судовые эластичные конструкции. Л., 1978, 254 с.

68. Мамай В.И. О форме кривых "нагрузка-прогиб" пологих сферических оболочек. В кн. Прочность авиационных конструкций. М., 198I, с.21-28.

69. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М., Физматгиз, 1957, 512 с.

70. Морозов Н.Ф. О приближениях Галеркина к решению нелинейной задачи о равновесии круглой симметрично загруженной пластины. "Изв.ВУЗов Математика1; 1967, № 6, с.97-100.

71. Морозов Н.Ф. Существование и единственность решения нелинейной задачи о колебании прямоугольной пластины. Тр. Ленингр. технол.ин-та целлвдозно-бум. пром-ти, 1969, № 22, с.358-361.

72. Муштари Х.Г., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань, Таткнигиздат, 1957.

73. Муштари Х.М., Суркин Р.Г. Поперечный изгиб квадратной пластинки при нелинейной зависимости между деформациями и напряженияг?ми. Изв. Казанского филиала АН СССР, сер. физика, матем., мех., 1966, т. 14.

74. Новожилов В,В. ©сновы нелинейной теории упругости, ГТИ, М., 1948, 211 с.

75. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Судпромгиз, Л., 1951, 344 с.

76. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механики сплошных сред. М., Мир, 1976, 464 с.

77. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М., "Наука", 1967, 420 с.

78. Погорелов А.В. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. Вестн, АН СССР, 1930, № 9, с.17-20.

79. Погорелов А.В. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. М., "Наука", 1967, 256 с.

80. Постнов В.А.,Слезина Н.Г. Учет физической и геометрической нелинейности в задачах изгиба оболочек вращения при использовании МКЭ. Изв. АН СССР, МТТ, № 6, 1979, с.78-85.

81. Прасникова С.С. Статический расчет амортизатора вращения. В кн. Механика эластомеров, № 3, 1980, с.24-29.

82. Северов С.П. К расчету выворачивающихся оболочек. Изв. ВУЗов Машиностроения, № 9, 1971, с.31-37.

83. Терентьев В.#. О расчете осесимметричной деформации оболочек вращения из нелинейно-упругого материала с учетом изменения формы срединной поверхности.Изв.ШИИГ, 1969,т.91, с.239-253.

84. Терентьев В.Ф.,Господариков А.П. Влияние изменения толщиныв задачах о больших осесимметричных деформациях тонких оболочек вращения из нелинейно-упругого материала. Прикладная механика, К., 20, № 5, 1984, с.109-115.

85. Терентьев В.§.,Стрелковская В.И. Об учете основных типов няи-линейностей процесса упругой деформации в некоторых задачах осесимметричной статики оболочек вращения.В кн.Исследования по упругости и пластичности, №14Д.,ЛГУ,1982, с.51-64.

86. Троценко В.А. Осесимметричная задача о равновесии круговой мембраны под гидростатическим давлением. 13 кн. Физико-технические приложения краевых задач. К.,Наук.думка,1978, с.126-140.

87. Троценко В.А. Применение вариационного метода в контактной . задаче нелинейной мембраны с круговым цилиндром. В кн. Математическая физика. К.,Hayк.думка, 1981,в.29, с.54-59.

88. Трошин В.Г. Об одном подходе к решению геометрически нелинейных задач технической теории оболочек. Прикладная математика и механика, 1983, т.47, № I, с. I0I-I07.

89. Усюкин В.И. Об уравнениях теории больших деформаций мягких оболочек. Изв. АН СССР. МГТ, 1976, № I, с.70-75.

90. Усюкин В.И,, Коровайцев КВ. Об одном алгоритме решения задач деформирования мягких оболочек из высокоэластичных материалов. Механика эластомеров, Краснодар, 1931, II 4.

91. Феодосьев В.И. Об устойчивости сферической оболочки находящейся под действием внешнего равномерного давления. Прикладная матем. и механика, 1954, т. 18, № I.

92. Феодосьев В.И, Об одном способе решения задач устойчивости деформируемых систем. ПММ, 1963, т.27, № 5, с.833-841.

93. Феодосьев В.И, Осесимметричная эластика сферической оболочки, ПУМ, 1969, т.33, № 2, с.280-286.

94. Фролов А.Н, Нелинейная деформация оболочек вращения. М., "Изв. АН СССР Мех. тверд, тела", 1973, № I, с.157-165.

95. Фролов В.М, 0 применении вариационного метода Л.В.Канторовича к задачам прикладной теории упругости. Инженерный сборник, 1956, т.24, с.174-182.

96. Цурпал И.А. Расчет элементов конструкций из нелинейно-упругих материалов. К., Техн ка, 1976,

97. Челюбеев А.А. К расчету мягких оболочек на контактные и статические нагрузки. Изв. ВУЗое Машиностроени, 1973, ffi 2, с.35-42.

98. Черных К.Ф. Линейная теория оболочекч. I Л., изз^во ЛГУ, 1962, 274 е.; ч.П, 1964, 395 с,

99. Черных К.Ф. Основные зависимости нелинейной теории упругости. В сб.: Актуальные проблемы нелинейной механики сплошных сред. Изд-во ЛГУ, Г977, с.52-67.

100. Черных К.Ф. Нелинейная теория изотропно упругих тонкшх оболочек. Известия АН ССОР, МГТ, № 2, 1980, с. 148-159.

101. Черных К.Ф. О двойном тензоре напряжений в механике твердого деформируемого тела. В сб. Исследования по упругости и пластичности. 13 Актуальные проблемы механики сплошных сред. Изд-во ЛГУ, 1930, с.217-223.

102. Черных К.Ф. Теория тонких оболочек из эластомеров резино-подобных материалов. Успехи механики, т.6, в, 1/2, с.III-127, 1983.

103. Ю7. Черных К.Ф. 0 нелинейной теории тонких упругих оболочек из эластомеров. Вопросы механики и процессов управления, -Л: ЛГУ, 1934, в.б, с.3-25.

104. Черных К.Ф., Шубина И.М. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов. В кн. Шханика эластомероЕ, л> I, 1977, с.54-64.

105. Шалашилин В.И. Алгоритм метода продолжения по параметру в одномерных нелинейных краевых задачах теории деформируемых систем. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 16 марта 1981 г.,1052-81.

106. Шаповалов Л,А. Уравнения эластики тонкой оболочки при не-осесимметричной деформации, М., Изе. АН СССР, МГТ, 1976,3, с,62-72,

107. Шилькрут Д,И. Некоторые задачи нелинейной теории оболочек и пластин, РИО АН Молд. ССР, Кишинев, 1967.

108. Щп,ин А,С. Большие осесимметричные деформации физически нелинейных оболочек вращения (полулинейный материал). Изв. Сев. Кавказского научного центра высш. школы, серия естест. науки, 1977, й I, с.18-22.

109. Budianslcy В. Notes on nonlinear shell theory. J. Appl. Mech, 35, p.393-401, 1968.

110. Peng W.W.,Huang P. On the Inflation of Plaine Nonlinear Membrane. J. Appl. Mech., 41, 1974, pp. 767-771»

111. Peng W.W.,Huang P. On the General Contact problem of an inflated nonlinear plane membrane. J. of Solids and Structures, 11, No.4, 1975, pp. 437-448.

112. Peng W.W.,Tielking J.T.,Huang P. The Inflation and Contact Constraint of a Retangular Membrane. J. Appl. Mech., 41, 1974, pp. 491-498.

113. Peng W.W.,Yang W.H. On the Contact problem of an Inflated Spherical Nonlinear Membrane. J. Appl. Mech., 40, 1973, pp. 209-214.

114. Kalnins A. Analysis of shells of Revolution to Symmetrical and Nonsymmetrical loads. J. Appl. Mech., 31, 1964,1. PP. 467-476.

115. Keller H.B. Numerical methods for Two-point Boundary-value Problem.- Blaisdell, 1968, 315 p.

116. Keller H.B.,Wolfe A. On the Non-unique Equilibrium States and Buckling Mechanism of Spherical Shells. J. Soc. Indust. and Appl. Math., 13, No 3, pp. 674-705.

117. Klingbeil W.,Shield R. Some Numerical Investigations on Empiric Strain Energy Functions in the Large Axisymmetric Extensions of Rubber Membranes. ZAMP, 15, Fasc.6, 1964, pp. 608-629.

118. Koiter W.T. On the Nonlinear Theory of Thin Elastic Shells. Proc. Koninkl. Ned. Acad. Wetenschap., Ser.B, 69, 1966,pp. 1-54.

119. Kriegsmann G.A.,Lange C.G. On Large Axisymmetrical Deflection States of Spherical Shells. J. of Elasticity, 10, No 2, 1980, pp. 179-192.

120. Lahaye M.E. Solution of system of transandentel equation. "Acad. Roy. Belg. Bufl., CI. Sci." 1948, 5, 805-822.

121. Naghdi P.M.,Nordgren R.P. On the Nonlinear theory of Elastic Shells under the Kirchhoff Hypothesis. Quart. Appl. Math., 21, 1963, pp. 49-59.

122. Radhamohan S.K.,Seltur A.V.,Goldberg I.E. Stability of Shells by Parametric Differentiation. J. of the Struct. Div., 97, No 6, 1971, pp. 1775-1790.

123. Reissner E. On the Theory of Thin Elastic Shells. H.J. Reissner Anniversary Volume, Contributions to Applied Mechanics. Ann Arbor, Michigan, 1949.

124. Reissner E. On Axisymmetrical deformation of Thin Shells

125. Revolution, Proc. Sympos. Appl. Math,, 3, New York, Mc, Graw-Hill, 1950.

126. Rentrop P. Stability Curves for Thin Spherical Caps and Hemispheres. Ing. Arch., 48, No 3, pp. 197-203.

127. Riks E. The Application of Newton*s Method to the problem of Elastic Stability. Trans. ASME, E 39, No 4, 1972,pp. 1060-1065.

128. Thurston G.A. A Numerical Solution of the Nonlinear Equations for AxLsymmetrical Bending of Shallow Spherical Shells. Trans. ASME, Б 28, No 4, 1961.

129. Tielking J.T. General deformation of Membrane Structures. Kautschuk und Gummi, Kunststoffe, 30, N 11, 1977,pp. 814-822.

130. Treloar L.R.G. The elasticity of a Network of Long Chain Molecules (I,II). Frans. Faraday Soc., 39, 1943, pp. 59-70.

131. Truesdell C.,Noll W. The Nonlinear fields Theories of Mechanics. Ins Handbuch der Physik, Bd 111/3, Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag, 1965.

132. Yang W.H.,Lu C.H. General Deformations of Neo-Hookean Membranes. Trans. ASME, E40, No 1, 1973, pp. 7-12.

133. Yang W.H,,Hsu K.H. Indentation of a Cicular Membrane. J. Appl. Mech., 38, No 1, 1971, pp.227-230.

134. Кабриц G.A. Об одном алгоритме упругостатического расчета перекатывающихся мембран.- В кн. Механика эластомеров. Краснодар, 1978, с.63-68.

135. Кабриц С.А. Расчет осесимметричных тонких оболочек вращения из эластомеров.- В кн.:Теория и методы расчета нелинейных пластин и оболочек. Саратов, 1982, с.36-39.

136. Кабриц С.А. Осесимметричная закритическая деформация рези-ноподобных оболочек.- В кн.:Вопросы механики и процессов управления, № 6, Изд-во ЛГУ, 1984, с.37-42.

137. Кабриц С.А.,Терентьев В.Ф. О численном построении диаграмм нагрузка-перемещение в одномерных нелинейных задачах теории стержней и оболочек.-В кн.:Актуальные проблемы нелинейной механики сплошных сред. Изд-во ЛГУ, 1977, с.155-171.

138. Кабриц С.А.,Терентьев В.Ф. О численном решении одномерных нелинейных задач статики упругих стержней и оболочек при наличии односторонних жестких ограничений.-Прикл.механика, 1984,20, № 7, с.96-100.

139. Кабриц С.А.,Черных К.Ф. Выворачивание сферических резинопо-добных оболочек при наличии односторонних ограничений.- В кн.:Судовые мягкие и гибкие конструкции. Владивосток, 1983, с. 51-55.