Некоторые теоретико-числовые методы приближенного анализа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 511.9

СЮ34003 17

ДОБРОВОЛЬСКИЙ Михаил Николаевич

Некоторые теоретико-числовые методы приближенного анализа

01.01.06 —математическая логика, алгебра и теория чисел

2 2 о:;т

Автореферат ^

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Москва —2009

003480317

Работа выполнена на кафедре математического анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Чубариков Владимир Николаевич доктор физико-математических, наук, профессор Журавлев Владимир Георгиевич кандидат физико-математических наук, Кан Игорь Давидович Московский государственный педагогический университетет

Защита диссертации состоится 6 ноября 2009 г. в 16 час. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, дом 1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 6 октября 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ доктор фклик.о-математических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Возникновение метода тригонометрических сумм обычно связывают с основополагающей работой Г. Вейля [*], хотя впервые частный случай полных рациональных тригонометрических сумм встречается уже в первой половине XIX века в исследованиях К. Ф. Гаусса по квадратичным вычетам [2]. Он рассматривал суммы второй степени, называемые теперь суммами Гаусса. В указанной работе Г. Вейля, вышедшей в 1916 году, содержался интегральный критерий равномерного распределения последовательности по модулю 1 и были получены первые нетривиальные оценки тригонометрических сумм.

Теория равномерного распределения по модулю 1 и оценки А. Вейля полных рациональных тригонометрических сумм по простому модулю лежали в основе теоретико-числового метода в приближенном анализе, созданного Н. М. Коробовым в 1957 году Р].

Первым классом многомерных теоретико-числовых сеток были предложенные Н. М. Коробовым неравномерные сетки, обеспечивавшие детерминированные оценки погрешности приближенного вычисления многомерных интегралов вместо вероятностных оценок того же порядка точности, получающихся по методу Монте-Карло Д. фон Неймана. В отличие от равномерных сеток, качество которых быстро убываг ло с ростом размерности единичного s-мерного куба, основной области интегрирования, неравномерные сетки имели порядок убывания погрешности приближенного интегрирования в зависимости от числа узлов многомерной квадратурной формулы одинаковый для всех размерностей. С ростом размерности росла только константа в оценке погрешности.

Принципиальный прорыв в теории и практике вычислеиия кратных интегралов от гладких периодических функций многих переменных связан с методом оптимальных коэффициентов Н. М. Коробова. Важность оптимальных параллелепипедаль-ных сеток обусловлена их простотой и ненасыщаемостью алгоритмов приближенного интегрирования по соответствующим квадратурным формулам, заключающейся в росте точности квадратурных формул с ростом гладкости интегрируемых функций.

К наиболее важным направлениям исследований по методу оптимальных коэффициентов относятся получение алгоритмов вычисления оптимальных коэффициентов высокого качества для параллелепипедальных и комбинированных сеток и изучение гиперболической дзета-функции целочисленных решёток. Именно этим двум направлениям посвящена диссертация.

В процессе диссертационного исследования обнаружилась обратная связь теоретико-числового метода приближенного анализа с тригонометрическими суммами. А именно, этим методом удалось получить новые результаты о тригонометрических суммах, что является третьим направлением диссертационного исследования.

В соответствии с указанными актуальными направлениями были сформулированы следующие цели работы:

— цель первой главы — построение алгоритмов вычисления оптимальных коэффициентов и оценка их качества;

— цель второй главы — получение функционального уравнения гиперболической

1 Wey! Н. Über die Gleichverteilvmg von Zahlen mod. Eins. // Math. Ann. 1916. Bd. 77. S. 313-352 (пер. в кн.: Вейлъ Г. Математика, Теоретическая физика. М.: Наука, 1984)

2 Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. М.: Из-во АН СССР, 1959.

3 Коробов Н. М. Приближениое вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957. № б. С. 1062 - 1065.

дзета-фунции произвольной целочисленной решётки, как функции комплексного переменного;

— цель третьей главы — изучение нового класса тригонометрических сумм, квазиполных коротких рациональных тригонометрических сумм, а также получение для них нетривиальных асимптотических формул.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами диссертационной работы можно считать следующие:

— построено несколько новых алгоритмов вычисления наборов оптимальных коэффициентов и даны оценки их качества;

— получено функциональное уравнение для гиперболической деета-фунции произвольной целочисленной решётки;

— найдены асимптотические формулы для квазиполных коротких кубических рациональных тригонометрических сумм.

Методы исследования. В работе используются методы аналитической теории чисел и геометрии чисел.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в исследованиях по приложению методов теории чисел к вопросам приближенного анализа. Предложенные в диссертации алгоритмы могут использоваться для практического применения при составлении таблиц оптимальных коэффициентов и создании программ численного интегрирования функций многих переменных.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на:

— научно-исследовательском семинаре "Арифметика, алгоритмы, теория сложности вычислений"в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова;

— Всероссийской научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" в Тульском государственном университете. Тула, ноябрь 2002.

— международной конференции "Аналитические и комбинаторные методы в теории чисел и геометрии" в Московском государственном университете имени

М.В. Ломоносова. Москва, май 2006.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6], выполненных по грантам РФФИ 02-01-00584, 05-01-00672 и 08-01-00790.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 119 страницах и состоит из введения, трех глав, списка литературы, включающего 74 наименования, и приложения с таблицей оптимальных коэффициентов.

Краткая история вопроса

В книге Н. М. Коробова [4] излагается теоретикочисловой метод в приближенном анализе, созданный им в 1957 - 1963 годах. В частности, там дается теория квадратурных формул с параллелепипедальными сетками вида

(к— 1,2.....р), (1)

где 01,..., а, - целые числа, взаимно простые с р. Класс оптимальных параллелепи-

Гр — 1"

педальных сеток выделен следующим образом. Пусть р > 1 - целое, р1 —---

4Коробов Н. М. Теоретико-числовые метода в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

Р2 — Jgj, = av{p) - целые, взаимно простые с р и величина символа Коробова 5р(т) определена равенством

^ ^_ i 1, если т — 0 (mod р),

р 1 0, если т ф 0 (modp).

Если существуют константы ¡3 = /?(s) и В = B(s) такие, что для некоторого бесконечного множества значений р выполняется неравенство5

У*' 5r(aimi + • • ■ + a>mJ < j^P (2)

mi,...,m,=—pi

то целые Oi,..., а, называются оптимальными коэффициентами индекса /?, а соответствующие им сетки Мк — оптимальными параллелепипедалъными сетками.

В частности в [4] с. 148-157, доказаны две теоремы Н. М. Коробова, дающие достаточно удобные алгоритмы построения оптимальных коэффициентов по простому модулю и по составному, равному произведению двух простых. Первый алгоритм основан на поиске минимума функции Hp(z), определенной равенством

(3)

где р — простое число, большее 5. Если при г = а достигается минимум функции Нр{г) на интервале 1 < .г < р — 1, то целые а1 = 1, а2 = а, ..., ая = а1'1 будут оптимальными коэффициентами по модулю р. Легко видеть, что этот алгоритм позволяет вычислять оптимальные коэффициенты по модулю р за 0(р2) элементарных операций.

При больших значениях р для вычисления оптимальных коэффициентов удобнее использовать второй алгоритм Коробова, позволяющий уменьшить число соответствующих элементарных операций до 0(р1+з). Для р = р'р", где р' и р" простые, большие причем р" имеет порядок л/р7 и целого а, вычисленного по первому алгоритму с заменой в нем р па р/, согласно второму алгоритму Коробова надо найти минимум функции Я (г), определеной равенством

Если при г = 6 достигается минимум функции Н(г) на интервале 1 < г < р" — 1, то целые а^ = р' +р", 02 = р'Ь + р"а,...,а,= р'Ь'-1 +р"а®-1 будут оптимальными коэффициентами по модулю р -- р'р/'. Легко видеть, что при этом способе нахождения оптимальных коэффициентов по модулю р = р'р" достаточно О элементар-

ных операций.

В 1992 году Н. М. Коробов ввёл новый класс сеток — комбинированные сетки, основы теории которых были опубликованы в работе [6]. В этой работе впервые Н. М. Коробов применил принципиально новую идею в методе усреднений,

5 Здесь и далее £]' означает, что из области суммирования исключен нулевой набор, для вещественного а: обозначаем х = тах(1, |х|).

6Коробов Н. М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические за-

метки. 1994. Т. 55. Вып. 2. С. 83 — 90.

которым ранее доказывались теоремы о существовании оптимальных коэффициентов. А именно, если имеется какая-то функция / от оптимальных коэффициентов, для которой среднее арифметическое значение а по множеству всех наборов коэффициентов заданного вида в количестве Р совпадает с каким-то критерием оптимальности, то перенумеровав все наборы этого вида в порядке возрастания значений этой функции, можно значение функции / от набора с номером [(Р +1)/2] оценить величиной 2<т, при этом данная оценка будет справедлива для [(Р + 1)/2] наборов, по которым можно усреднять значение другой функции. Особенно эффектно эта идея работает, когда / — целочисленная функция, а а < 1, тогда получаем более сильное утверждение о том, что для [(Р+ 1)/2] наборов значение / равно 0. В работе примером применения этой идеи являются доказательства теорем об алгоритмах построения оптимальных коэффициентов.

Пусть р > 2, п ^ 2, (п,р) = 1 и ах, ..., а, — оптимальные коэффициенты по модулю р. Комбинированными сетками называются сетки вида

(5)

к = 1, 2, ..., р; ки = 1, 2, ..., п (1 < и < в).

В [6] Н. М. Коробовым доказано, что для простого р большего а существуют оптимальные коэффициенты ах, ..., а, по модулю р такие, что для любого а > 1 оценки7

^ +а,ж.) <<; (ЬР)°'-" (г = 1,2.....в), (6)

'г (т1...т.)а р"

яч..

где сумма £г распространена на системы целых (шх,... ,т3), содержащие ровно г величин т.], отличных от нуля. Для погрешности квадратурной формулы

1 1

J ■■■ J • • • >

-¿Е ± '({£+¥}.....{£+т})-л»м я

А?—1 1

выполняется оценка

ЫЛ « [ % • (8)

Такие оптимальные коэффициенты можно найти с помощью функции опре-

деленной равенством

У «г=1 ».=13=1 4 1 У ■>/

(9)

где р — простое число большее !вл« 1пр, (п,р) = 1. Бели при г = а достигается минимум функции (г) на интервале 1 < г < р — 1, то целые а! = 1, Ог = а, ■.., а, — а°~г будут оптимальными коэффициентами по модулю р и для них справедлива оценка (8) в квадратурной формуле (7).

7Для переменных величин А и В > 0 запись Л <К В означает, что |А| < СВ с некоторой константой С > 0.

Заметим, что здесь используется комбинирование параллелепипедальной сетки по простому модулю и равномерной сетки из п' точек с небольшим значением п взаимно простым с этим модулем. Впервые комбинирование двух параллепипедаль-ных сеток по двум различным простым модулям встречалось во втором алгоритме Коробова. Операцию комбинирования сеток удобно называть произведением сеток (см. р], I9]).

О качестве оптимальных коэффициентов ai = 1, ü2 = a, ..., a„ = a' 1 можно судить по величине разности Нр(а) — 1, имеющей для наиболее хороших оптимальных параллелепипедальных сеток порядок р/р1). Аналогично, о качестве комбинированной сетки с теми же оптимальными коэффициентами можно судить по разности //£„.(a) — 1, имеющей порядок 0(ln2's_1'p/(pnJ)2).

Как было указано выше, квадратурные формулы с параллелепипедальными сетками вида:

1 1 N-1

J..Jf(xu...,x3)dx1...dXi = Y2±f^y...,{'f}yRN{f} (10)

о о

автоматически реагируют на гладкость интегрируемых периодических функций. Как показал Н. М. Коробов, если Дх) g Ef (a > 1), то для погрешности приближенного интегрирования по формуле (10) справедлива оценка:

< И/йиь* £' (11)

TTi——оо ^ ' в'

Здесь норма ||/(i)||js? на банаховом пространстве Ef задается через коэффициенты Фурье равенством:

||/(х)||в? = sup |C(m)(mi •... • т.)а\ < оо, (12)

тез-'

а пространство Ef состоит из периодических функций, для которых коэффициенты Фурье функции /(х)

Г Г

f(x)= J2 С(т) =/•••/ /(xle-^^dx (13)

1Й=-00 0 Q

удовлетворяют неравенству (12).

Ряд, стоящий в правой части неравенства (11), является гиперболической дзета-функцией решётки Л(а1;...,a,;N) решений линейного сравнения

aimi + ... + a3ms = 0 (mod N) (14)

и является частным случаем общего понятия гиперболической дзета-функцией произвольной полной решётки.

Рассмотрим произвольную решётку Л С ff, s > 2. В работе под решёткой всегда понимается полная решётка.

'Быковский В. А. Экстремальные кубатурные формулы для анизотропных классов. Хабаровск, 1995. С. 1 — 13. (Препринт.)

9 Добровольский Н. М., Манохин Е. В., Реброва И. Ю., Аккуратова С. В. О некоторых свойствах нормированных пространств и алгебр сеток // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5. Вып. 1. Тула, 1999. С. 100 — 113.

Определение 1 Гиперболической дзета-функцией решётки Л называется функция Сд(Л|в), а = и + И, задаваемая при <т > 1 абсолютно сходящимся рядом

Ся(Л|а) = £'(*!•■ ■■■20"" (15)

з ел

Определение 2 Обобщенной гиперболической дзета-функцией решётки Л называется функция ^ Л + Ь| а^, а = сг + И, задаваемая при о > 1 абсолютно сходящимся рядом

Ся (Л + Ь | а) = (г, ..... 2.)-. (16)

гел+ь

Первоначально гиперболическая дзета-функция решёток изучалась только для целочисленной решётки решений сравнения (14) и для вещественных значений а > 1. Для этого случая были получены следующие результаты. Н. М. Коробов 1959 г. показал, что если целые а^..., а, — оптимальные коэффициенты индекса /3 по модулю ./V, то для решётки Л = Л(а1,... ,аа; /V) и ей гиперболической даета-функции Ся(Л|а) справедливо неравенство

Ся(АН<^ + -(1 + 2С(-Г2С(а)- (17)

С другой стороны, если N > 2' и аь..., а, — произвольные целые, то для решётки Л = Л(й1,..., а,; ТУ) и её гиперболической дзета-функции С//(Л|«) справедливо неравенство

Эта оценка снизу указывает наилучший возможный порядок погрешности для па-раллелепипедальных и комбинированных сеток. В настоящее время вопрос о достижимости такого порядка остается открытым. По теореме Шарыгина [10], доказанной в 1963 году, порядок погрешности квадратурной формулы с весами на классе Е° не может быть меньше О А?) при любом выборе сетки и весов в квадратур-

ной формуле с N узлами. Таким образом, из результатов Н. М. Коробова 1959-1960 годов следует, что известные оптимальные параллелепипедальные сетки дают порядок погрешности не более чем на (а — 1)в + 1 степень логарифма от числа точек сетки хуже оптимальной.

В работе [и] Н. С. Бахвалов в 1959 году установил важную связь между величиной параметра гиперболического креста, не содержащего ненулевых точек данной решетки, и погрешностью квадратурной формулы с параллелепипедальной сеткой (10) на классе Е£. Усеченной нормой называется величина д(я) = хх...хв,& гиперболический параметр решетки Л определяется равенством

?(Л) = шт а(х]. гел\{5}

Множество точек К(Т) — {х | д(х) Т} называется гиперболическим крестом, а величина Т — его параметром. Ясно, что при Т < д(Л) гиперболический крест К(Т) не содержит ненулевых точек решетки Л. Согласно Н. С. Бахвалову, если

10Шарыгин И. Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 7. 1963. № 4. С. 784 — 802.

11Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 3 - 18.

ау,..., а, — произвольные целые, то для решётки Л = Л(а1,..., а,; А^) и её гиперболической дзетагфункции 0/(Л|ог) справедливо неравенство

В этой же работе Н. С. Бахвалов показал, что для простых р существуют решётки

В 1976 году К. К. Фролов в работе [12], используя алгебраические сетки, порожденные чисто вещественным алгебраическим полем степени я, построил сетки для которых на классе достигается правильный порядок погрешности приближенного интегрирования и правильный порядок гиперболической дзета-функции решётки, то есть О (Л^к/^1 Щ. При этом исследования по методу оптимальных коэффициентов не потеряли своей актуальности, так как квадратурные формулы К. К. Фролова с алгебраическими сетками гораздо сложнее квадратурных формул Н. М. Коробова с параллелепипедальными сетками.

В 1984 году в работе [13| Н. М. Добровольский обобщил результаты Коробова и Бахвалова о гиперболической дзета-функции решеток на случай произвольной решётки. Из обобщенной теоремы Бахвалова как элементарное следствие получался результат К. К. Фролова о гиперболической дзета-функции решётки. Из работ [и] и [15] следует, что результаты Н. М. Коробова о параллелепипедальных сетках и К. К. Фролова об алгебраических сетках являются следствиями общей теории обобщенных параллелепипедальных сеток с весовыми функциями, в которой центральную роль играет гиперболическая дзета-функция решёток. Отметим, что весовые функции в этой теории выбраны таким образом, что для целочисленных решёток, они суммируются и получаются равные веса. В этом случае важную роль играют полные рациональные кратные тригонометрические суммы по обобщенным рациональным парралелепипедальным сеткам. Эти суммы играют такую же характеристическую роль, что и символ Коробова, поэтому их называют многомерным символом Коробова. Изучение гиперболической дзета-функция решёток было продолжено в работах [16], [17], [18],[19], [20] несколькими авторами.

Алгебраические поля сыграли важную роль в работах С. М. Воронина и Н. Те-

12 Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 231. 1976. № 4. С. 818-821.

13 Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решеток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, № 6090-84.

14Добровольский Н. М., Ванькова В. С., Козлова С. Л. Гиперболическая дзета-функция алгебраических решеток. Деп. в ВИНИТИ 12.04.90, № 2327-В90.

15 Добровольский Н. М. О квадратурных формулах на классах В°(с) и //"(с). Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, № 6091-84.

16 Добровольский Н. М., Реброва И. Ю., Рощеня А. Л. Непрерывность гиперболической Дзета-функции решёток // Мат. заметки. Т. 63. Вып. 4. 1998. С. 522-526.

17 Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О непрерывности гиперболической дзета-функции решёток // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 2. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 1996. С. 77 - 87.

18 Реброва И. Ю. Непрерывность обобщенной гиперболической дзета-функции решёток и ее аналитическое продолжение // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4. Вып.З. С. 99-108.

19 Реброва И. Ю. Пространство решёток и функции на нем. Дис— канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 1999.

20 Рощеня А. Л. Аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решёток. Дис. ... канд. фиЗ;-мат. наук. Москва. МПГУ, 1998.

(19)

миргалиева [21], [22], р3], но были основаны на совсем других идеях и давали новые виды оптимальных коэффициентов параллелепипедальных сеток по простым модулям, связанным с порядком круговых полей.

Как уже отмечалось выше, первые работы Н. М. Коробова по применению методов теории чисел к построению многомерных квадратурных формул были основаны на оценках А. Вейля полных рациональных сумм по простому модулю или аналогичных оценках полных рациональных сумм по квадрату простого модуля (см. [24|, [25]). Таким образом, мы видим прямую связь между тригонометрическими суммами и теоретико-числовыми квадратурными формулами. А именно, результаты, например, о полных рациональных тригонометрических суммах такие как теорема А. Вейля дают результаты о квадратурных формулах.

Как правило, в вопросах связанных с числом решений сравнений возникают полные или короткие рациональные тригометрические суммы, а в вопросах о числе решений диофантовых уравнений появляются общие суммы Г. Вейля вида

(20)

где /(:с) = апх" + ...-(- a¡x + ог0 — произвольный многочлен с действительными коэффициентами.

Если мы на ряду с полной суммой

£

рассмотрим сумму вида

(21)

(22)

1=1 а:=1

где /р(х) = а,х' + а,_1рх"~1 + ■.. + 01 то получим короткую рациональную сумму по модулю р", которую надо исследовать методом Г. Вейля,' но здесь возникают определенные трудности. Итак, в случае, когда /(х) = апхп + ... + а1х + ао — многочлен с целыми коэффициентами, мы получаем короткую рациональную тригонометрическую сумму вида:

]Г е V ■+ Р +а°) = £ --Г" . (23)

1=1 1=1

Как известно (см.[29], с. 96), для такого класса сумм нельзя получить общей нетривиальной оценки методом Вейля, так как этот класс содержит суммы, модуль которых по порядку равен длине суммы.

В данной работе будет показано, что даже для простейшей суммы такого вида

¿е2'^ (24)

21 Воронин С. М. О квадратурных формулах // Изв. РАН. Сер. мат. 1994. Т. 58. № 5. С. 189 — 194.

22 Воронин С. М. О построении квадратурных формул // Изв. РАН. Сер. мат. 1995. Т. 59. № 4.

23 Воронин С. М., Темиргалиев Н. О квадратурных формулах, связанных с дивизорами поля гауссовых чисел // Мат. заметки. 1989. Т. 46. № 2. С. 34 — 41.

24 Коробов Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.

25 Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.

нельзя применить оценки Вейля.

Отметим, что тригонометрические суммы более общего вида

р п г» -fll 2тгг-

Ее (25)

рассматривались в работе А. А. Карацубы [2б]. Используя свои результаты из работы

р7], он показал: Пусть q = р', Р = qт. Если Р = а0р* + а^''1 + ... + а,_хр + а,, 1<ао<р-1, 0<о„<р — 1,1/^1, — р-ичное разложение числа Р, то имеет место асимптотическая формула

Р п

з = ХУ"'^ = Аа0р'-а + а0р-а+е + О(Р1-^), 1=1

где величины А, а, ¡3, определяются равенствами

р-1

A = Sn{t- 1)£У

а —

+ 1, P = 5n(t).

Здесь предполагались следующие соглашения: п, t,P,a — целые числа, п ¡i 20, г — вещественное число, 1 ^ г < O.ln, t ^ n, р — простое число, (а,р) = 1, Р > 1 .

В этом общем результате А. А. Карацуба выделял особенно простой вид асимптотической формулы при Р = р° и t = 0 (mod п), когда

S = ¿е2"2? = + 0(Р1-$), i=i

Для случая сумм вида (24) будет показано, что теорема А. А. Карацубы не применима по существу, а не только из-за несоответствия областей параметров.

В своей монографии [28 ]Монтгомери в пункте 8 на странице 194 сформулировал

к

следующую проблему: "Покажите, что если Р(х) = ]Г] atkXh, \a—a/q\ < 1/g2, (a, q) =

3=1

1, то2'

)1 /к

(26)

Или же постройте контрпример. Даже незначительные улучшения существующих границ были бы интересны. Например, при к = 3 и q ~ N3/2 получите верхнюю границу o(N3/4), скажем 0(NX) где к < 3/4." Ясно, что при f(x) — х3, рассматривая сумму

(27)

¿e(P(n))«tN^'fi-

п=1

26 Карацуба А. А. Асимптотические формулы для некоторого класса тригонометрических сумм // ДАН СССР. 1966. Т. 169. № 1. С. 9 - 11.

27 Карацуба А. А. Тригонометрические суммы специального вида и их приложения // Известия АН СССР. 1964. Т. 28 №1. С. 237 — 248.

28 Montgomeri Hugh L. Теп lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis. Providence, R.I. : Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences by the American Mathematical Society, 1994. (Заглавие серии: Regional conference series in mathematics, no. 84)

293десь e(P(n)) = e2lrip<">.

мы попадаем в случай N = р, q = р3 = N3. При д{х) = рх3, рассматривая сумму

1=1 Х=1

мы попадаем в случай N — р, д = р2 = /V2. Наконец, при /i(x) = р3х3, рассматривая сумму

(29)

»=1 Х=1

мы попадаем в случай N=p2,g — p3 = N 2. Таким образом, все эти три случая попадают в область гипотезы Монтгомери и не поддаются исследованию ни методом Г. Вейля, ни методом А. А. Карацубы.

Содержание работы Первая глава "Оптимальные коэффициенты комбинированных сеток" посвящена построению алгоритмов вычисления оптимальных коэффициентов и оценке их качества.

Цель данной главы — провести сравнение качества квадратурных формул с па-раллелепипедальными сетками и комбинированными сетками, используя величину погрешности приближенного интегрирования функции 3s(1 — 2{х\})2... (1 — 2{ха})2 по единичному s-мерному кубу [0,Данная функция принадлежит классу Щ.

В этой главе доказаны следующие две основные теоремы об оптимальных коэффициентах, дающие алгоритмы их вычисления.

Теорема 15. Пусть р — простое число. Если при z\ = а.) достигается минимум функции Нр{ 1, Zi) на интервале 1 ^ Zy < р— 1, и при найденных oi,..., при Zk = а* достигается минимум функции Нр( 1, ai,..., ajc_i, zt) на интервале 1 < z* ^ р — 1 (1 ^ к < s— I), то целые аь аг,..., as_i будут оптимальными коэффициентами по модулю р.

Теорема 16. Пусть р ^ 17 — простое число ип ^ 1пр. .Если при zi = ai достигается минимум функции H^t(l,zi) на интервале 1 < z\ ^ р— 1, и при найденных Oi,..., a/t_i при Z)с = ajt достигается минимум функции //^,+1.(1, aj,..., a^-i, z/ь) на интервале 1 ^ z/, ^ р — 1 (1 < fc < я — 1) , то целые аь 02,..., a,-i будут оптимальными коэффициентами по модулю р для комбинированной сетки из N = рп" точек.

На основании этих алгоритмов составлены таблицы оптимальных коэффициентов для параллелепипедальных и комбинированных сеток, приведенные в приложении к диссертации, и дается сравнение их качества. Из анализа этих таблиц можно сделать вывод о сопоставимости величин погрешностей для обоих типов сеток.

Вторая глава "Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции" посвящена получению функционального уравнения для гиперболической дзета-фуккции целочисленных решеток, как функции комплексного переменного.

Как обычно через N(x) = [xj... х,\ будем обозначать мультипликативную норму вектора х. Она отлична от нуля только для точек общего положения, то есть точек, не имеющих нулевых координат. Используя мультипликативную норму, в этой главе даются новые определения.

Определение 3 Дзета-функцией решётки А называется функция £(A|a), а = а + it, задаваемая при а > 1 рядом

С(Л|а)= ¿2 1*1 (30)

Вообще: говоря, дзета-функция решётки существует не для всякой решётки Л, так как соответствующий ряд может расходиться для любого значения а = с + И, но для произвольной декартовой решётки Л она очевидно существует при а > 1.

Нетрудно видеть, что гиперболическая дзета-функция целочисленной решётки Л непосредственно выражается через сумму дзета-функции решётки Л и дзетам функций соответствующих целочисленных решёток меньших размерностей, которые получаются отбрасыванием нулевых координат.

Заметим, что гиперболическая дзета-функция не является однородной, как функция решётки, а дзета-функция решётки является: • Л|ог) = Т-аоС(Л|<*).

Определение 4 Обобщенной дзета-функцией решётки Л называется функция С ^Л ■+■ б| а^ а = а 4- И, задаваемая при сг > 1 рядом

С (л + б|а) = £ ¡Х!-...-^-". (31)

гел+ь,лг(2)/о

При получении функционального уравнения гиперболической дзета-функции использовался новый подход. Если ранее для доказательства существования аналитического продолжения гиперболической дзета-функции произвольной декартовой решётки использовалось только разложение целочисленной решётки Л по подрешёт-ке сМ Л • Ъ" и затем функциональное уравнение Гурвица, то теперь использовались тригонометрические суммы решётки, что позволило использовать известные свойства рядов Дирихле с периодическими коэффициентами.

В этой главе получены следующие основные результаты о функциональных уравнениях для дзета-функции и гиперболической дзета-функции целочисленных решеток, как функций комплексного переменного.

Теорема 21. Для дзета-функции произвольной целочисленной решётки Л в левой полуплоскости <х < О справедливо функциональное уравнение

С(Л | а) = ~(М(а)/^1-"УС (Л«| 1 - а) .

Теорема 22. Для гиперболической дзета-функции произвольной целочисленной решётки Л в левой полуплоскости а < О справедливо функциональное уравнение

Ся(Л |«) = ]£ £ (Л£>| 1 - а) .

1=1 Л ел,.

Здесь Л^ — присоединенная решётка, которая определяется через взаимную решётку А* соотношением Л^ = с1е1;Л-Л* и Л^ — "присоединеная" ¿-мерная решётка

из координатной гиперполуплоскости, заданной вектором — номеров ненулевых координат.

В третьей главе "Квазиполные тригонометрические суммы" оценки погрешности приближенного интегрирования периодических функций от одной переменной применяются для получения асимптотических формул для величины квазиполной рацинальной тригонометрической суммы. Суть этого подхода заключается в следующем. Пусть д(х) — где дважды непрерывно дифференцируемая

вещественнозначная функция /(х) удовлетворяет условию

/(1) - /(0) — целое число. (32)

В силу этого условия р(0) = <?(1) и функцию д(х) можно на отрезке [0; 1] разложить в абсолютно сходящийся ряд Фурье:

Г Г

д(х) = J2 C(m)e2"'mx) С (m) = / д{х)е-2*"пхdx = / е2"^'-"«)^. (33)

m=-oo 0 0

Если F„ — шах {у = 1,2), то для коэффициентов Фурье дважды непрерыв-

1

но дифференцируемой функции д(х) = е27""1' при т^О справедлива оценка:

Таким образом, в обозначениях H. М. Коробова д(х) е Е\ (см. [4]).

Рассмотрим квадратурную формулу правых прямоугольников для функции д(х):

[ e2*Wdx =-¿ e2W/(p) - Д,,!/]. (35)

о Р 1=1

Для погрешности приближенного интегрирования R,\í] справедливо равенство

+ 2тп 6р2

Тригонометрическую сумму вида

(37)

будем называть квазиполной, если для дифференцируемой функции /(х) выполнено условие (32), которое будем называть условием квазиполноты. Очевидно, что выполняется тривиальная оценка

<р. (38)

Из оценки для погрешности приближенного интегрирования и квадратурной формулы правых прямоугольников для функции д{х) следует асимптотическое равенство

для квазиполной тригонометрической суммы:

= р + ^ + (39)

1-1 0

где для величины б(/,р) справедливо неравенство \в(/,р)\ < 1.

Заметим, что любая полная рациональная тригонометрическая сумма по модулю р является квазиполной короткой рациональной тригонометрической суммой. Действительно, если /(х) = апх" +...+й1Х + ад — многочлен с целыми коэффициентами

и /р(х) = <црп~1а:п + ... + а2рх + (1\х + —, то справедливо равенство

Р

Очевидно, что в этом случае применить формулу (39) невозможно, так как Р\ ^ пр"-1!^! и ^ п{п - 1)рп_2|а„|.

Для. рациональных тригонометрических сумм первой степени верно обратное: любая квазиполная рациональная тригонометрическая сумма первой степени является полной тригонометрической суммой.

Для достаточно широкого класса квазиполных коротких рациональных тригонометрических сумм можно получить асимптотическую формулу вида:

¿е2™>(;) =р / (40)

1=1 °

1

если ! е2*'"1^! ф 0 и Др[/] = о (1). (41)

о

Для простоты изложения в диссертации рассматривается только случай квазиполных коротких кубических рациональных сумм с /(х) = ах3, где а — целое число, хотя аналоги многих из доказанных ниже утверждений будут справедливы и для /(х) = аа:" при любом п > 2.

В нашем случае а = 1,4=п,г = пи теорема А. А. Карацубы, как будет видно из

дальнейшего, в форме 5= перестает быть верной, хотя для большинства

1

значений коэффициента а будет справедлив более сильный результат |5| < 2Р2.

В этой главе получены следующие основные результаты для квазиполной короткой кубической тригонометрической суммы

р ахъ

г=1

где а — целое, и для квазиполной короткой рациональной кубической тригонометрической суммы

N

e2"í i=i

S(pm~\pm) = J2 е7*^- = £ е2"^ = £ 1=1 ®=1 :

Теорема 25. Справедливо асимптотическое равенство

. /Bi + tBj Si(a) + 10г(а)\ тгга , 04(a)23a3

= -----J + + '

1 OO

1.241 < Bi = 3 У eos (2ttz3) dx + J < 1-242 4- ^,

o i

1 oo

0.570 + i- < B2 = 3 /sin (2ТГХ3) de + f ^^dt < 0.571 +

47Г J ' J бтг

0 1

oc

П П , \ 3/"o / C0S (2?rí) 7

0 < 01 (а) = д/^у < 24Í'

a

oo

Теорема 26. Справедливо асимптотическое равенство

+ 0(рт-З) Прит = 1,...,9, + О (р7) при т = 10,

0(рт-3) прит^П.

Сравним полученный результат с гипотезой Монтгомери. Согласно этой гипотезе для тригонометрической суммы

Л, ,»

т>-1

справедлива оценка

(1 \

$+1Ь) ■ (43)

При N = рт, д — р2т+1 = получаем

1

д)| « | ^х + ] « ЛГз+'+зк. (44)

По теореме 26 справедливо асимптотическое равенство

'вх^^+^+О^1"^) при т = 1,... ,9,

+ при т = 10, . (45)

О при т ^ 11.

Отсюда следует, что при тп = 1,..., 10 гипотеза Монтгомери — неравенство (26) справедливо. При ш < 11 получается оценка с к. < 3/4. При то < 13 соотношения (45) лучше, чем общая оценка методом Вейля (см. [29] с. 96)

(46)

При т > 13 предложенный метод дает оценку хуже, чем метод Вейля. В заключение выражаю благодарность своему научному руководителю профессору Чубарикову Владимиру Николаевичу за постановку задачи.

Литература

В журналах из списка ВАК:

[1] Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзетам функции целочисленных решеток // ДАН. Т. 412, № 3, Январь 2007. С. 302-304.

[2] Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток // Весты. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2007. № 5. С. 18-23.

[3] Добровольский М. Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Изв. Тул-ГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9. Вып. 1. С. 82 — 90.

В прочих изданиях:

[4] Добровольский М. Н. Об оптимальных коэффициентах комбинированных сеток // Чебышевский сборник 2004. Т. 5. Вып. 1(9). Тула, Из-во ТГГГУ им. Л.Н.Толстого. С. 95-121.

[5] Добровольский М. Н. Ряды Дирихле с периодическими коэффициентами и функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток // Чебышевский сборник 2006 Т. 3. Вып. 2(4). Тула, Из-во ТИТУ им. Л.Н.Толстого. С. 43 — 59.

[6] Добровольский М. Н. Квазиполные короткие кубические тригонометрические суммы // Чебышевский сборник 2009 Т. 10. Вып. 1(29). Тула, Из-во ТГГГУ им. Л.Н.Толстого. С. 4 — 25.

Подписано в печать Об.

Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. /,Р

Тираж -¡00экз. Заказ 36

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

Указатель обозначений

Введение

§ 1. Общая характеристика работы.

§ 2. Краткая история вопроса

§ 3. Содержание работы

§ 3.1. Оптимальные коэффициенты комбинированных сеток

§3.2. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции.

§ 3.3. Квазиполные тригонометрические суммы

Глава 1. Оптимальные коэффициенты комбинированных сеток

§ 1. Оценки сумм по гиперболическому кресту

§ 2. Алгоритм последовательного вычисления оптимальных коэффициентов по простому модулю

§ 3. Алгоритм последовательного вычисления оптимальных коэффициентов по простому модулю для комбинированных сеток.

§4. Результаты численного эксперимента сравнения качества сеток.

Глава 2. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции

§ 1. Введение

§ 2. Тригонометрические суммы решеток

§3. Дзета-функция Гурвица.

§ 4. Ряды Дирихле с периодическими коэффициентами.

§ 5. Аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции целочисленной решетки.

Глава 3. Квазиполные тригонометрические суммы

§ 1. Введение

§ 2. Случайные величины и квазиполные короткие кубические тригонометрические суммы

§ 3. Дисперсия квазиполных коротких кубических тригонометрических сумм.

§ 4. Асимптотическая формула для квазиполной короткой кубической тригонометрической суммы

§ 5. О гипотезе Монтгомери относительно суммы Вей ля

§ 1. Общая характеристика работы

Диссертация выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова и затрагивает ряд вопросов аналитической теории чисел, геометрии чисел и их приложения к проблемам численного интегрирования.

Возникновение метода тригонометрических сумм как универсального инструмента при решении многих задач аналитической теории чисел обычно связывают с основополагающей работой Г. Вейля [68], хотя впервые частный случай полных рациональных тригонометрических сумм встречается уже в первой половине XIX века в исследованиях К. Ф. Гаусса по квадратичным вычетам [12]. Он рассматривал суммы второй степени, называемые теперь суммами Гаусса. В указанной работе Г. Вейля, вышедшей в 1916 году, содержался интегральный критерий равномерного распределения последовательности по модулю 1 и были получены первые нетривиальные оценки тригонометрических сумм.

Теория равномерного распределения по модулю 1 и оценки А. Вейля полных рациональных тригонометрических сумм по простому модулю лежали в основе теоретико-числового метода в приближенном анализе, созданного Н. М. Коробовым в 1957 году [38].

Первым классом многомерных теоретико-числовых сеток были предложенные Н. М. Коробовым неравномерные сетки, обеспечивающие детерминированные оценки погрешности приближенного вычисления многомерных интегралов вместо вероятностных оценок того же порядка точности, получающихся по методу Монте-Карло Д. фон Неймана. В отличие от равномерных сеток, качество которых быстро убывало с ростом размерности единичного s-мерного куба, основной области интегрирования, неравномерные сетки имели порядок убывания погрешности приближенного интегрирования в зависимости от числа узлов многомерной квадратурной формулы одинаковый для всех размерностей. С ростом размерности росла только константа в оценке погрешности.

Принципиальный прорыв в теории и практике вычисления кратных интегралов от гладких периодических функций многих переменных связан с методом оптимальных коэффициентов Н. М. Коробова. Важность оптимальных параллелепипедальных сеток обусловлена их простотой и ненасыщаемостью алгоритмов приближенного интегрирования по соответствующим квадратурным формулам, заключающейся в росте точности квадратурных формул с ростом гладкости интегрируемых функций.

К наиболее важным направлениям исследований по методу оптимальных коэффициентов относятся получение алгоритмов вычисления оптимальных коэффициентов высокого качества для параллелепипедальных и комбинированных сеток и изучение гиперболической дзета-функции целочисленных решеток. Именно этим двум направлениям посвящена диссертация.

В процессе диссертационного исследования обнаружилась обратная связь теоретико-числового метода приближенного анализа с тригонометрическими суммами. А именно, этим методом удалось получить новые результаты о тригонометрических суммах, что является третьим направлением исследования.

В соответствии с указанными актуальными направлениями были сформулированы следующие цели работы:

• цель первой главы — построение алгоритмов вычисления оптимальных коэффициентов и оценка их качества;

• цель второй главы — получение функционального уравнения гиперболической дзета-фунции произвольной целочисленной решетки как функции комплексного переменного;

• цель третьей главы — изучение нового класса тригонометрических сумм, квазиполных коротких рациональных тригонометрических сумм, и получение для них нетривиальных ассимптотических формул.

Результаты работы являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами, полученными в диссертации, являются следующие:

• даны новые оценки качества наборов оптимальных коэффициентов для нескольких алгоритмов их вычисления;

• получено функциональное уравнение для гиперболической дзета-фунции произвольной целочисленной решетки;

• найдены ассимптотические формулы для квазиполных коротких кубических рациональных тригонометрических сумм.

В работе используются методы аналитической теории чисел и геометрии чисел.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в исследованиях по приложению методов теории чисел к вопросам приближенного анализа. Предложенные в диссертации алгоритмы могут использоваться для практического применения при составлении таблиц оптимальных коэффициентов и создании программ численного интегрирования функций многих переменных.

Результаты диссертации докладывались автором на: научно-исследовательском семинаре «Арифметика, алгоритмы, теория сложности вычислений» в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова;

Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в Тульском государственном университете. Тула, ноябрь 2002. международной конференции «Аналитические и комбинаторные методы в теории чисел и геометрии» в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова. Москва, май 2006.

Результаты диссертации опубликованы в работах [69]-[74], выполненных по грантам РФФИ 02-01-00584, 05-01-00672 и 08-01-00790.

Диссертация изложена на 119 страницах и состоит из введения, трех глав, списка литературы, включающего 72 наименования, и приложения с таблицей оптимальных коэффициентов.

1. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 3 — 18.

2. Бахвалов Н. С., Коробов Н. М., Ченцов Н. Н., Применение теоретико-числовых сеток к задачам приближенного анализа // Труды Четвертого Всесоюзного математического съезда. JL: Наука, 1964. Т. II. С. 580 587.

3. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.

4. Быковский В. А. Дискретное преобразование Фурье и циклическая свертка на целочисленных решетках. // Математический сборник, 136(178), 4(8), 1988. С. 451 467

5. Быковский В. А. Экстремальные кубатурные формулы для анизотропных классов. Хабаровск, 1995. С. 1 — 13. (Препринт.)

6. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.

7. Воронин С. М. О квадратурных формулах // Изв. РАН. Сер. мат. 1994. Т. 58. № 5. С. 189 194.

8. Воронин С. М. О построении квадратурных формул // Изв. РАН. Сер. мат. 1995. Т. 59. № 4.

9. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. М.: Физ-МатЛит, 1994.

10. Воронин С. М., Темиргалиев Н. О квадратурных формулах, связанных с дивизорами поля гауссовых чисел // Мат. заметки. 1989. Т. 46. № 2. С. 34 41.

11. Вронская Г. Т., Добровольский Н. М., Родионова О. В. Сравнения, суммы и произведения по приведенной системе вычетов //Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 8. Вып. 1. Тула, 2002. С. 10-28.

12. Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. М.: Из-во АН СССР, 1959.

13. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.

14. Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник. Т. 9, Вып. 1(25), 2008. С. 185-223.

15. Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решеток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, № 6090-84.

16. Добровольский Н. М. О квадратурных формулах на классах Е£(с) и Щ{с). Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, № 6091-84.

17. Добровольский Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Тула, 1984.

18. Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решетки и их приложения: Дис. . док. физ.-мат. наук. Тула, 2000.

19. Добровольский Н. М., Бочарова JI. П. Пятьдесят лет теоретико-числовому методу в приближенном анализе / / Наукоемкое образование. Традиции. Инновации. Перспективы. Сборник межвузовских научных статей. Тула, АНОВО «ТИНО» 2006. С. 189-198.

20. Добровольский Н. М., Ванькова В. С. О гиперболической дзета-функции алгебраических решеток. // Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. республик, конф. Ташкент, 1990. С. 22.

21. Добровольский Н. М., Ванькова В. С., Козлова С. JI. Гиперболическая дзета-функция алгебраических решеток. Деп. в ВИНИТИ 12.04.90, N 2327-В90.

22. Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Реброва И. Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для решеток // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5 Вып. 3. Тула, 1999. С. 38 — 51.

23. Добровольский Н. М., Клепикова Н. JL Таблица оптимальных коэффициентов для приближенного вычисления кратных интегралов // ИОФАН СССР. 63. Москва, 1990. (Препринт.)

24. Добровольский Н. М., Коробов Н. М. Оптимальные коэффициенты для комбинированных сеток. // Труды IV Международной конференции „Современные проблемы теории чисел и ее приложения" Чебышевский сборник Тула. 2001. Т. 2. С. 41 — 53.

25. Добровольский Н. М., Коробов Н. М. Об оценке погрешности квадратурных формул с оптимальными параллелепипедальными сетками // Чебышевский сборник. Научные труды по математике. Т. 3. Вып. 1(3). Тула, 2002. С. 41 48

26. Добровольский Н. М., Манохин Е. В. Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Т. 4. Вып. 3. Тула, 1998. С. 56 — 67.

27. Добровольский Н. М., Манохин Е. В., Реброва И. Ю., Аккурато-ва С. В. О некоторых свойствах нормированных пространств и алгебр сеток // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5. Вып. 1. Тула, 1999. С. 100 — 113.

28. Добровольский Н. М., Реброва И. Ю., Рощеня A. JI. Непрерывность гиперболической дзета-функции решеток // Мат. заметки. Т. 63. Вып. 4. 1998. С. 522-526.

29. Добровольский Н. М., Родионова О. В. Квадратурные формулы с обобщенными параллелепипедальными сетками // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Т. 2. Вып. 1. Тула, 1996. С. 71 77.

30. Добровольский Н. М., Родионова О. В. Об одном конечном ряде Фурье и его приложениях // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т. 4. Вып. 3. С. 68 — 79.

31. Добровольский Н. М., Рощеня A. JI. Об аналитическом продолжении гиперболической дзета-функции рациональных решеток // Современные проблемы теории чисел и ее приложения: Сб. тез. докл. III Междунар. конф. Тула, 1996. С. 49.

32. Добровольский Н. М., Рощеня A. JI. О непрерывности гиперболической дзета-функции решеток // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 2. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 1996. С. 77 87.

33. Карацуба А. А. Тригонометрические суммы специального вида и их приложения // Известия АН СССР. 1964. Т. 28 №1. С. 237 — 248.

34. Карацуба А. А. Асимптотические формулы для некоторого класса тригонометрических сумм // ДАН СССР. 1966. Т. 169. № 1. С. 9 -11.

35. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука. ФизМатЛит, 1983.

36. Касселс Д. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965.

37. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

38. Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957. № 6. С. 1062 — 1065.

39. Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 19 — 25.

40. Коробов Н. М. О некоторых теоретико-числовых методах приближенного вычисления кратных интегралов. Резюме докл. на заседании Моск. мат. об-ва. // УМН. 1959. Т. 14. Вып. 2(86). С. 227 — 230.

41. Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124. № 6. С. 1207 1210.

42. Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР 132. 1960. № 5. С. 1009 1012.

43. Коробов Н. М. О применении теоретико-числовых сеток // Вычислительные методы и программирование: Сб. Моск. ун-т. 1962. С. 80 102.

44. Коробов Н. М. О теоретико-числовых методах в приближенном анализе / / Вопросы вычислительной математики и вычислительной техники. М.: Машгиз. 1963.

45. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

46. Коробов Н. М. О некоторых вопросах теории диофантовых приближений // УМН. 1967. Т. 22, 3(135). С. 83 118.

47. Коробов Н. М. О вычислении оптимальных коэффициентов // ДАН СССР. 267. 1982. № 2. С. 289 292.

48. Коробов Н. М. Об одной оценке А. О. Гельфонда // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика, механика. 1983. № 3. С. 3 — 7.

49. Коробов Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.

50. Коробов Н. М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические заметки. 1994. Т. 55. Вып. 2. С. 83 — 90.

51. Коробов Н. М. О теоретико-числовых методах приближенного интегрирования // Историко-матем. исследования. СПб., 1994. Вып. XXXV. С. 285 301.

52. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.

53. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.

54. Реброва И. Ю. Непрерывность гиперболической дзета-функции решеток Тез. докл. III Междунар. конф. // Современные проблемытеории чисел: Тула: Изд-во ТГПУ, 1996. С. 119.

55. Реброва И. Ю. Непрерывность обобщенной гиперболической дзета-функции решеток и ее аналитическое продолжение // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4. Вып.З. С. 99-108.

56. Реброва И. Ю. Пространство решеток и функции на нем. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 1999.

57. Рощеня A. JI. Аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решеток. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 1998.

58. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. М.: Из-во И.-Л., 1953.

59. Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 231. 1976. N 4. С. 818-821.

60. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Мир, 1974.

61. Чудаков Н. Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. М.: ОГИЗ Гостехиздат, 1947.

62. Шарыгин И. Ф. О применении теоретико-числовых методов интегрирования в случае непериодических функций // ДАН СССР. 132. 1960. № 1. С. 71 74.

63. Шарыгин И. Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 7. 1963. № 4. С. 784 802.

64. Шнирельман Л. Г. Простые числа М.-Л.: Гостехиздат, 1940.

65. Gauss С. F. Untersuchungen iiber die Eigenschaften der positiven ternaren quadratischen Formen von Ludvig August Seeber // Got-tingische gelehrte Anzeigen. 1831. Juli 9.

66. Hua Loo Keng. Applications of Number Theory to Numerical Analysis, Springer-Verlag Berlin, 1981.

67. Weyl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. // Math. Ann. 1916. Bd. 77. S. 313-352 (пер. в кн.: Вейль Г. Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984)

68. Добровольский М. Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9. Вып. 1. С. 82 90.

69. Добровольский М. Н. Об оптимальных коэффициентах комбинированных сеток // Чебышевский сборник 2004. Т. 5. Вып. 1(9). Тула, Из-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого. С. 95-121.

70. Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решеток. // Доклады АН. Т. 412, № 3, Январь 2007. С. 302-304.

71. Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решеток. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2007. К2 5. С. 18-23.

72. Добровольский М. Н. Ряды Дирихле с периодическими коэффициентами и функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решеток. // Чебышевский сборник 2006 Т. 3. Вып. 2(4). Тула, Из-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого. С. 43 — 59.

73. Добровольский М. Н. Квазиполные короткие кубические тригонометрические суммы // Чебышевский сборник 2008 Т. 9. Вып. 2(26). Тула, Из-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого. С. 43 — 59.