Некоторые вопросы итеративных алгебр Поста непрерывных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Гаджиев, Фуад Аслан оглы АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ
1984 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.04 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Некоторые вопросы итеративных алгебр Поста непрерывных функций»
 
 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Гаджиев, Фуад Аслан оглы

ВВЕДЕНИЕ.3-Ю

ГЛАВА I. ТЕОРЕМЫ ТИПА КОЛМОГОРОВА-СЛУПЕЦКОГО ДЛЯ АЛГЕБР

ПОСТА И МЕНГЕРА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ.П

§ I. Основные определения.11

§ 2. Порождающие множества для алгебр Поста и

Менгера над некоторыми пространствами .15

§ 3. О строении алгебр Поста и алгебр Менгера над трехмерной сферой.18

ГЛАВА П. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА АЛГЕБР МЕНГЕРА.ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ

АЛГЕБРЫ ПОСТА И МЕНГЕРА.35

§ I. Алгебра Менгера как функтор. Определимость топологического пространства его алгеброй Менгера.

Конгруэнции.35

§ 2. Конечнопорожденные плотные подалгебры. 44

 
Введение диссертация по математике, на тему "Некоторые вопросы итеративных алгебр Поста непрерывных функций"

В 1957 году А.Н.Колмогоров показал [7] : любую непрерывную вещественнозначную функцию 71 переменных на отрезке I [0,1] можно представить в виде суперпозиции непрерывных функций одного переменного и одной функции двух переменных-сложения. В теореме

Колмогорова утверждается: для любого целого fl7/£ существует рф •

ПСЯпИ) монотонных и непрерывных функций ф \ Iтаких, что любая непрерывная функция И переменных на отрезке допускает разложение: где ^ 7?—>7? - непрерывные функции, зависящие от f . рс?,

Подчеркнем еще раз, что внутренние функции У^ в формуле (Я) зависят лишь от числа 11 и эффективно строятся с помощью некоторого предельного перехода.

Теорема Колмогорова допускает следующую геометрическую интер

Я "V претацию. Положим в (I) Ф - *ч ~ ^ У • Тогда набор функций (Фу.^Ф ) задает вложение 1п в T?3nfS. Теперь теорема Колмогорова означает, что каждая функция f , непрерывная на образе куба , есть сумма функций координат: f > ■ ■ ■ ЛпнУ• TCfn )■

Анализ доказательства теоремы Колмогорова показывает:

1) функции Ф^Сос) можно выбрать в классе Lzpti (G-iot^i) ( [30,чЛЦ) и даже в классе Lip i ([17 J , [38] ), но невозможно в классе С1 непрерывно дифференцируемых функций (LI8] , [IJ );

2) функции можно выбрать вида » где Я е R ( [29], [38] , [30, ч.И] );

3) функции ^ можно выбрать одинаковыми ( Г 29] ,[30,ч.И] ).

Существует прямое обобщение теоремы Колмогорова, полученное Острандом [33J : формула Ш верна, когда переменные OCi}, scn принимают значения, в конечномерных метрических компактах Xi а а пробегает значения iQmtl ,где m=2LoUmX0.

Теорема Колмогорова очень близка по формулировке к известной в алгебре логик теореме Слупецкого (см. Г22] ):

Если X - конечное множество, то существует функция двух пере

S л

• У, —>Х такая, что любая функцияX—^^представляется в виде суперпозиции одноместных функций и функции ^

Поскольку конечные множества суть пространства с дискретной топологией, то возникает вопрос: для каких топологических пространств - кроме конечных множеств - справедлива теорема Слупецкого, другими словами, существуют ли топологические варианты теоремы Слупецкого? Ответ: да. Например, компактные абелевы группы Ли Г10J Поскольку доказательства подобных результатов для некоторых пространств существенно используют либо саму теорему Колмогорова, либо ее модификацию, данную Острандом, то в дальнейшем будем называть их теоремами Колмогорова-Слупецкого о суперпозициях. Соответственно задачу о представлении функций ft переменных на пространстве X со значениями в X в виде суперпозиции функций меньшего числа переменных будем называть задачей о суперпозициях для пространства

X .

Прежде чем перейти к изложению результатов нам необходимо формализовать само понятие суперпозиции. В диссертации для этой цели используются два языка: итеративные алгебры ' Поста и алгебры Менге-ра Приведем соответствующие определения, следуя CI3J , [32] , £41]. Для любого множества X пусть Р (X) - совокупность всех к -местных функций X , Т(Х) — U РкСХ) . На множестве P CX J определим четыре одноместные операции } A S7 и двуместную операцию * : для любых -fsJ^CX) и ^el^(X) положим

12 7,2. и при /W, и при п=

Af) при П 7/ 2.- и 4/=f при /7 = 2, сyf)(0CLf(&sr'' >осп+Л>

9':> ) = f (g (ff,. О Л^Л Я n1+n^i)

ДЛЯ всех 0С1 ; . • ' ; ^tn+h-l G

X.

Алгебраическая система ФСХ) — {PCX) с основным. множеством РСЮ и сигнатурными операциями С) з % называется итеративной алгеброй Поста [13] . if

В некоторых случаях удобно работать в алгебре 9 (X)* (Р(Х); называемой предытеративной алгеброй Поста, поскольку, во-первых, в ее подалгебре 6"= (X)'^4?*|операции ^^Т^ А тривиальны, а * совпадает с обычной композицией отображений, что позволяет смотреть на подалгебру С в некотором смысле как на полугруппу $ (X) отображений X в себя; во-вторых, наличие в й рассматриваемой подалгебре функции Я (ос^У) = У приводит к выра5 зимости операции 7 через X : Vf-f.

Теория итеративных алгебр Поста над множеством была разработана А.И.Мальцевым в [13] .

Теперь дадим определение алгебр Менгера. Пусть /? - конечное или счетное множество индексов, {сМ^ , i}семейство непересекающихся множеств, <JH = U^<M; и набор (шг/-i) -арных частичных операций на JC таких, что каждому элементу из М^ и всякому набору m -L элементов изУ^тображение сопоставляет элемент из сЖу . Алгебраическая система jJH'? ierfj называется суперассоциативной, если

A* для всех гДе/? и для всех ТдеЖ^ , и ,

Ит , где ij^ke/i . Скажем, что алгебра left] содержит полный набор селекторов, если для каждого существуют f^l элементов Т4 ? . . tJ Im SM- такие, что для всех .6 i г J и для всех (Т I 7е ) =Т it

Суперассоциативная алгебраическая система ^Mj 2 J ) содержащая полный набор селекторов, называется кратной абстрактной алгеброй Менгера.

Если ff = {i J , то алгебра (J\i'} называется - местной простой абстрактной алгеброй Менгера; при Щ =i получаем опреС деление полугруппы.

Теория абстрактных алгебр Менгера достаточно хорошо разработана. Имеется подробный обзор f35] .

ПустьР^Х) как и выше множество всех функций X —*)( по всем . Определим операции , t~ формулами для всех Fe ^ (X), %,., • e £ (X) , 0C± ,. ., 3Cm e X, Очевидно, алгебраическая система удовлетворяет свойству суперассоциативности и содержит полный набор селекторов. Алгебра»/^(X)называется кратной алгеброй Менгера над множествомX T4lJ . к к'

Нам понадобятся также подалгебры cJHp (X)cjji (Х\

I^-k -П » состоящие из /у - местных функций, и подалгебра UH^ (Х)^-М(Х) 9 состоящая из не более чем fl - местных функций.

Всюду в дальнейшем X - топологическое пространство, И Л ОС)

- алгебры непрерывных функций. Как итеративные алгебры Поста так и алгебры Менгера являются алгебраическими системами, в которых описываются суперпозиции функций. В итеративной алгебре Поста любая формула, составленная из элементов алгебры, является результатом применения сигнатурных операций к заданным элементам, а в алгебре Менгера мы вынуждены привлекать дополнительно функции проектирования - очевидное следствие определения операций •

Теперь можно на языке алгебр Поста и алгебр Менгера сформулировать теоремы типа Колмогорова-Слупецкого. Первый результат в этом направлении был получен А.А.Мальцевым в 1969 году в CIO J : пусть X - одно из следующих пространств: т - мерный куб т т ft

X , 12 - мерный тор / , произведение куба и тора, канторов дисконтинуум D . Существует функция f^^(X) такая, что алгебраическое замыкание множества [fJuT совпадает с9СХ) .

Затем А.А.Мальцев доказал, что аналогичное утверждение верно и для произведений указанных конечномерных компактов и конечной дискретной абелевой группы, в частности, для компактных абелевых групп Ли [Ш] .

Роль двуместной функции играет в этих случаях групповая опера

- 8

77 ция, если -л - группа, либо полугрупповая - еслиХ=£ или X - конечная дискретная абелева группа.

В дальнейшем подобные результаты были получены для некоторых нульмерных и бесконечномерных пространств (теоремы 1.2Л, 1.2.2. или [15] , [16] ). Однако, аппарат, используемый в С16] работает почти только в нульмерном и бесконечномерном случае; двуместная функция - это просто гомеоморфизм X на X .

Сформулируем теперь "менгеровский" вариант этих результатов: Теорема 1.2.4. Пусть X - одно из следующих пространств: либо Jk , Т™, , (г , где G - конечная дискретная абелева группа, либо их произведение, либо гильбертов куб I гильбертово пространство К , пространство рациональных чисел Q пространство иррациональных чисел i?-6? . Существует элемент /еР (X)» порождающий вместе с одноместными функциями и соответствующими

1 ) к /с проектированиями алгебры Jfc (X), (X) и сЖ^ 3 1 (X)

В конечномерном некомпактном случае теорем типа Колмогорова-Слупецкого неизвестно. Однако Досс 123] в 1977 году доказал: л р для любого 17,7/2, существуют 4/? функций ф i 7? —такие, что для любой функции f 7? —> 7\ справедливо разложение:

2ЛИ a 4П где I 7?—? 7? - непрерывные функции, зависящие от f .

В диссертации показано, что в конечномерном пространстве, снабженном неабелевой групповой структурой, теорема Колмогорова-Слупецкого может не иметь места. Именно, доказана следующая ct э

Теорема 1.3.3. На трехмерной сфере о существует функция с 3 четырех переменных со значениями на ^ , не представимая никакими суперпозициями функций меньшего числа переменных.

Напротив, справедлива з з з

Теорема 1.3.2. Существует функция двух переменных -fttfxS-^S такая, что дгабую функцию двух или трех переменных на со значениями в 8 можно представить в виде суперпозиции функций одной переменной, функции ^ и умножения на сфере.

Доказательство этих утверждений существенно опирается на знание образующих гомотопических групп IT S и на условие нильпотентносз к 3 i ти группы гомотопических классов [(S ) % S J

Анализ доказательства этих теорем показывает, что стандартное рассуждение - сведение задачи о суперпозициях к аналогичной задаче для гомотопических классов отображений с последующей редукцией задачи о представимости произвольного отображения к задаче о представимости гомотопного нулю отображения - при известных условиях может привести к доказательству неразрешимости задачи о суперпозициях, например, когда задача в полной общности на гомотопическом уровне неразрешима, но решается положительно в малых арностях.

С другой стороны, если задача о суперпозициях разрешима на гомотопическом уровне, то для некоторого класса пространств, скажем, для компактных групп Ли, разрешима также собственно задача о суперпозициях.

Таким образом, задача о суперпозициях в общем случае имеет гомотопическое происхождение.

Перейдем теперь к некоторым результатам главы П.

Теорема 2ЛЛ. утверждает, что при довольно жестких ограничениях полугруппа (X) многозначных замкнутых отображений ЭС в себя может рассматриваться как функтор из некоторой подкатегории категории топологических пространств.

Следующий вопрос, рассмотренный в § I, касается определимости топологического пространства X алгеброй МенгерасМп(Х).

Формулировки результатов и их доказательства во многом аналогичны имеющимся полугрупповым результатам, (см. Г8] , [9J , [12] , Г14] , 12] , L~2l] , [31] ), что вполне понятно.

Теорема 2.1.4 выявляет конгруэнции на алгебре Менгера сМп(Х) приХ=Х,2)С . Под конгруэнцией на алгебре понимается, как обычно, отношение эквивалентности,сохраняемое сигнатурными операциями. Как и в случае алгебр Поста, конгруэнции тривиальны, т.е. на имеются две конгруэнции: а) ~F=Q тогда и только тогда, когда Т7= &, б) ~F —G ПрИ любых V, & е Лп (X).

В § 2 изучается вопрос о существовании конечнопорожденных подалгебр в топологических алгебрах Поста и Менгера. В f€ij это вопрос исследован для отрезка, канторова дисконтинуума и окружности. Используя идеи, предложенные в [ИЗ , доказана, в частности,

Теорема 2.2.? .Топологические алгебры 9 СХ) и сЛ^ОО над абелевой компактной группой Ли -X обладают конечнопорожденными плотными подалгебрами.

 
Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Гаджиев, Фуад Аслан оглы, Москва

1. Витушкин А.Г.Доказательство существования аналитических функций многих переменных, не представимых линейными суперпозициями непрерывно дифференцируемых функций меньшего числа переменных.- ДАН СССР, 1964,156,6,с.I258-I26I.

2. Гаврилов М. О полугруппе непрерывных функций Годишн.Софийского ун-та, матем. ф-т,1974, с.377-380.

3. Гаджиев. Ф.А., Мальцев А.А.Конечнопорожденные подалгебры в алгебрах Менгера и Поста непрерывных отображений. В кн.:Ленинградская международная топологическая конференция.- Л.:Наука, 1982, с.148.

4. Гаджиев Ф.А., Мальцев А.А. О плотных подалгебрах в алгебрах Поста и Менгера непрерывных отображений. В KH.:Abstacts Colloquium on topology* August 9-13, 1983, Eger, Hungary,p.35«

5. Гаджиев Ф.А. Об алгебрах Менгера. Труды МИАН СССР, 1984, 163, с. 78-80.

6. Гаджиев Ф.А.Теорема Колмогорова-Слупецкого для трехмерной сферы- УМН, 1984, 39, 5, с.51-54.

7. Колмогоров А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиции непрерывных функций одного переменного и сложения. ДАН СССР, 1957, 114, с.953-956.

8. Мальцев А.А. Полугруппы непрерывных функций. I Тираспольский симпозиум по общей топологии.-М.: Наука, 1965.

9. Мальцев А.А. Замечание об одной теореме Гаврилова.-Труды Таш.ПИ, Математика, 1966, 37, с.30-32.

10. Мальцев А.А. Топологический вариант теоремы Слупецкого для некоторых компактов. ДАН СССР, 1969, 188, I, с.33-36.

11. Мальцев А.А. Докторская диссертация, М., 1981.

12. Мальцев А.А., Нурутдинов Б.С. Об интеративных алгебрах непрерывных функций. Математически весник, 1975, 12 (27), с.203-215.

13. Мальцев А.И. Итеративные алгебры Поста. Изд-во НГУ,Новосибирск, 1976 г.

14. Нурутдинов Б.С. Топологии пространств, описываемые полугруппами отображений. Вестник МГУ, сер. "Математика,Механика", 1973, 4, с.24-29.

15. Перфильева И. Г. О представлении функций из Р^ в виде суперпозиции некоторых одноместных функций и сложения.-Мат.заметки,1983, 34,5, 727-734.

16. Садыхов З.Г. О конгруэнциях и порождающих множествах алгебр непрерывных функций. Тезисы сообщений ХУЛ Всесоюзной алгебраической конференции, ч.2, стр. 204, Минск 1983.

17. Фридман Б.Л. Улучшение гладкости функций в теореме А.Н.Колмогорова о суперпозициях.-ДАН СССР, 1967, 177, 5, с. I0I9-I022.

18. Хенкин Г.М.Линейные суперпозиции непрерывно дифференцируемых функций.-ДАН СССР, 1964,157, с.288-290.

19. Ху-Сы Цзян. Теория гомотопий.-М.: Мир, 1964.

20. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства.-М.:Мир, 1970.

21. Шнеперман Д.Б. Полугруппы непрерывных преобразований топологических пространств. Сиб. Матем. Журн. 1965,6,1, с.221-229.

22. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику.-М.:Наука, 1979.

23. Doss R. A superposition theorem for unbounded continuous functions.» Trans.AMS, 1977,233, p.197-203.24» Gadjiev P.A., Mal'cev A.A., On dense subalgebras of Post algebras and Menger algebras of continuous functions.-beet. Notes in Math., v.1060,

24. Hilton P.J. A certain triple Whitehead product.-Proc. Cambridge Phil. Soc., 1954, 50, p. 189-197.

25. James I.M. On the homotopy groups of certain pairs and triads.Quart.J. Math. Oxford Ser., 1954,5,2, pp. 260-270,

26. James I.M. Note on cup-products.-Proc. AMS, 1957,8,2, p.374-383.

27. James I.M. Multiplications on spheres (II).-Trans.AMS, 1957, 84, p. 545-558.

28. Kahane J.-P. Sur le Theoreme de Superposition de Kolmogorov. J.of Approximation Theory, 1975,13, 229-234.

29. Lorentz G.G. "Approximation of Functions™. Holt, Reinhart and Winston, Hew York, 1966.

30. Magill K.D. Homomorphic images of Certain Semigroups of continuous functions.-Math. Japonicae, 1968,13,2,p.133-141.

31. Menger K. General algebra of analysis. Reports Math. Coll., Hotre Dame Univ., 1946,7, p.46-60.

32. Ostrand P.A. Dimension of metric spaces and Hilbert's problem 13.-Bull.AMS, 1965, 71, 619-922.

33. Samelson H. Groups and spaces of loops.-Comment.Math.Helv., 1954,28, 4, p.278-287.

34. B.M.Schein, V.S.Trohimenko.Algebras of multiplace functions.-Semigroup Forum, 1979,17,1-64.

35. J.Schreier,S.Ulam.Uber topologische Abbildungen der euklidi-chen Sphare.-Found.Math., 1934,23, 102-118.

36. Serre J.-P. Groupes d»homotopie et classes de groupes abeliens. -Ann.Math.,1953,58,2, 258-294 (см. русский перевод в сб. "Расслоены пространства".-М.: ИЛ, 1958,с.124-162).

37. Sprecher D. An improvement in the superposition theorem of Kolmogorov.- J.Math. Anal, and Appl., 1972, 38,p.208-213.

38. S* Subbiah.Some finitely generated subsemigroup of S(X) -Fund. Math*, 1975, 87, 221-231.

39. Whitehead G.W.-On mappings into group-like spaces.-Comment. Math. Helev., 1954, 28, 4, p. 320-328.

40. Whitlock H.I. A composition algebra for Multiplace Functions. -Math.Annalen, 1964, 157, 167-178.

41. S.lT.Young.Finitely generated semigroups of continuous functions on 0,1. .-Fund.Math., 1970, 68, 297-305.

42. Мошер P., Тангрра M. Когомологические операции и их приложения в теории гомотопий.-М.: Мир, 1970.

43. Стинрод Н., Эпстейн Д. Когомологические операции.- М.: Наука,1983.0в

44. Porter G.J. Homotopical nilpotence of Ъ .- Proc.Amer.Math. Soc« 1964, 15, 5, p. 681-682.