Некоторые вопросы теории разрешимости многоточечных краевых задач и её приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

0і

На правах рукописи

Катхим Аббас Хуссейн

Некоторые вопросы теории разрешимости многоточечных краевых задач и её приложения

01.01.02-дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1Я АПР 2013

ВОРОНЕЖ-2013

005057764

Работа выполнена в Дагестанском государственном университете Научный руководитель:

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Орлов Владимир Петрович, Воронежский государственный университет, профессор кафедры математического моделирования

доктор физико-математических наук, доцент Седаев Александр Андреевич, Воронежский государственный

архитектурно-строительный университет, профессор кафедры высшей математики Ведущая организация: Белгородский национальный исследовательский университет.

Защита состоится 16 апреля 2013 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038..22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл. 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «» марта 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 212.038.22 ГликлихЮ.Е.

кандидат физико-математических наук Эфендиев Ахмад Рамазанович, доцент Дагестанский государственный университет, доцент кафедры теории функций и функционального анализа

Официальные оппоненты:

Актуальность темы. Как известно, к изучению многоточечных краевых задач дифференциально-функциональных уравнений и их приложений приводят исследования многих вопросов автоматического регулирования, теории колебаний, прикладной математики, математической физики, биологии.

Поэтому большой интерес представляет собой поиск новых методов доказательства существования и единственности решения краевых задач, характера зависимости решений от краевых условий, от параметра, от преобразования аргумента и изменения правых частей системы.

Важным является также подход к обоснованию и развитию схем конечномерной редукции на основе многоточечных краевых задач.

Решение указанных выше задач дает возможность использовать их в анализе многомодовых бифуркаций экстремалей, т.е. решить вариационные краевые задачи. В свою очередь при изучении многомодовых бифуркаций экстремалей появляется возможность использования редукции Ляпунова-Шмидта, которая исходную задачу сводит к анализу (ключевой) функции на конечномерном пространстве, а в некоторых случаях, когда указанная редукция плохо согласуется с условиями задачи, например, с имеющимися симметриями, с ограничениями на область определения функционала действия в виде терминальных или интегральных неравенств, используется метод Морса-Ботта, тесно связанный с теорией многоточечных краевых задач.

Представленные в диссертации схемы исследования свойств решений дифференциально-функциональных уравнений основаны на методах качественного исследования динамических систем развитого в трудах В.В Немыцкого, Н.Н.Красовского, A.A. Шестакова, Ю.И. Сапронова, А.Д. Мышкиса, Л.Э. Эльсгольца, Г.А. Каменского, М.В. Келдыша, Ю.В. Покорного, C.B. Исраилова, В.Н. Скрипника и др.

Цель данной работы - описание многоточечной краевой задачи систем дифференциально-функциональных уравнений, непрерывной

зависимости решений от этих условий, их устойчивости в зависимости от изменения правых частей исследуемой системы, конечномерной редукции в бифуркационном анализе экстремалей, исследование некоторых свойств решений автономных систем дифференциальных и разностных уравнений.

Научная новизна.' Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке.

1. Новые условия существования и единственности многоточечной краевой задачи.

2. Перенос алгебраического метода последовательных приближений на дифференциально-функциональные системы уравнений.

3. Непрерывная зависимость решений от краевых условий, параметра и их устойчивость от изменения правых частей системы.

4. Некоторые вопросы качественного поведения решений указанных выше систем.

5. Приложения к бифуркационному анализу экстремалей метода конечномерной редукции на основе многоточечных краевых задач.

Методы исследования. В работе использованы качественные методы анализа многоточечных краевых задач, исследованы их структура и поведение. В зависимости от ситуации при анализе ключевой функции рассматриваемой задачи используется либо метод Ляпунова-Шмидта, либо Морсе- Ботта.

В настоящей работе излагается подход к обоснованию и развитию схем конечномерной редукции на основе теории многоточечных краевых задач.

Теоретическая и практическая ценность. Данная работа в основном носит теоретический характер, но представленные в ней результаты могут быть использованы при решении конкретных дифференциально-

функциональных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на V-Международной научной конференции, посвященной 80-летию

4

Дагестанского государственного университета, 26-29 сентября 2011г.; Международной конференции «Мухтаровские чтения» «Актуальные проблемы математики и смежные вопросы» Дагестанский государственный технический университет, Махачкала , 2012г.; 1У-я Международная научно-практическая конференция «Моделирование производственных процессов и развитие информационных систем», 28-29 сентября 2012 г., г. Ставрополь, СГАУ.

Публикации работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 9], из которых в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору. Работы [1-5] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных

ВАК Минобрнауки РФ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы (параграфы) и списка литературы из 58 наименований. Общий объем диссертации 95 страниц.

Содержание диссертации. Введение содержит краткое описание основных результатов диссертации и близкие результаты других авторов.

Первая глава, состоящая из 7 параграфов, посвящена рассмотрению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений, когда правые части зависят от параметра, когда она является системой с отклоняющимся аргументом, изучаются непрерывная зависимость решений в зависимости от изменений правых частей системы и краевых условий, некоторые свойства автономных систем дифференциальных уравнений, примеры приложений.

Указанным исследованиям в §1.1 предшествуют вспомогательные предложения в виде лемм, которые используются в дальнейшем, но также представляют самостоятельный интерес.

Лемма 1.1.1. Если непрерывная и неотрицательная на [а,Ь] функция

и{{) удовлетворяет неравенству

п и '

1=2 I,

где Е{{), у(?), и>(г)> ^ = 1,и, непрерывная на [а,Ь\, причем

!=2,

1 + уу(г)|у(£)ехр ¡у{?])Мл)с1г] Ш

<> и ) .

то

и(г) < Е(()+|у(х)£(х)ехр |у(п)и'(т1^П '1

(/Г<1,

Чх

1 +И>(г)|у(г)ехр1 <1 Чт ^ 'К(г) '1

1-Е 'К(г) 1=2 т 1 + н-Ст) |у(^)ехр '1 Гг 1 " и / . ат

хехр

и

4

¿х

Доказательство леммы проводится введением обозначения

/

д(г)= |у(г) и(т>/т. '1

Следствие 1.1.2. Если непрерывная на [а,б] функция и(г)

л < _

удовлетворяет неравенству |и(*)| < а0 + ^ , где а; > О, I = 0, п,

»=1

а < *, < г < ¿7, то справедливо также неравенство

( " 1

V М у

№

2>5ехр к^а;

Если а3 = а, = (0, 5 = 1,п, то из следствия 1.1.2 получим известную лемму Гронуолла.

В § 1.2 излагается достаточные условия существования и единственности решения краевой задачи системы дифференциальных уравнений с параметром.

В §1.3 для системы с отклоняющимся аргументом

т

и краевых условий

где 5 = йг, к-1р, непрерывные на [а,Ь] функции , причем Ък ([°> *>]) <= [а,Ь\ , доказывается Теорема 1.3.1. Если:

1) функции /,(1,х1Ь),...хп{1),х1Ш*))'---хЛе1пк(1)))' 5 = 1,п, к = 1,р непрерывны в замкнутой области Я - < + г5, а<г<Ъ}\

2) в области Я правые части системы (1) удовлетворяют условиям

|л ((, .....хЦяхк (')).....*п (чпк (')))-

|_1=1

/=1Л=1

, 5 = 1,п,

где ),..., (г)). (г)) - системы значений, принадлежащие

области Л, а £,(*). 5 = 1 ,п непрерывны на [а,Ь\,

(

з)1<п(р4+1)<2'где4 = 8иР

а&йЬ

¿=1

¡ьЛт)С1Т

,р = Р+1;

¿-1 1-1,

4) В, + р--- < г,, где В, = М, + рЬ, 2 П +1).

2~П^+1) 1=1

= 8ир

5 = 1,п, В = ¿В,., 1=1

то краевая задача (1)-(2) в области Л имеет решение (д:^),-.., *„('))> принадлежащее классу функций определенных и

непрерывных в Я, причем в данном классе это решение единственно и последовательные приближения сходятся к этому решению со следующей скоростью:

|дс, - £К(Ь- а)Ыт~2 Ь, П +1)2 Р„,

4=1

где ¿Р„<в(ЛГ + 1), П(р^+1)<2,* = 1,и,^ = П(р£7+1)-1.

7=1 М

«=1

^ = Рк

'¿(в -1+1 )Рц П (рЬ +1)+(« - *+О

¿=1 У=1+1

5-1 ,

, число К > 0.

Доказательство теоремы 1.3.1 проводится последовательными приближениями вида

а,

В §1.4 рассматривается непрерывная зависимость решений систем (1) от краевых условий.

В §1.5 дается оценка разности между точным и приближенным

решениями краевой задачи для системы (1), устанавливаем условия

устойчивости решений системы по отношению к изменению ее правых частей.

В §1.6 в случае, когда система (1) консервативная с обобщенно-однородными правыми частями устанавливаем достаточные условия устойчивости и неустойчивости тривиального решения, существования 0+ и 0~ кривых.

В §1.7 в порядке приложений рассматриваем четыре примера, иллюстрирующие теоретический материал предыдущих параграфов.

1) Рассмотрим систему

Оценки третьих последовательных приближений системы (4) по Пикару и Зейделя имеют соответственно вид

Сравнение приведенных оценок приближений показывает превосходство метода Зейделя.

(4)

и краевые условия ^ (0, //) = 1, х2(і,//) = 1,где [0,і].

Уравнение

^ = ахт({)+Ьхт(д{) Ж

является частным случаем системы (1). Уравнение (5), где 0<^<1, при т = 1 встречается в теории радиоактивного распада и имеет своим решением семейство

V Л=1 П\ !=1 )

Если щ >1 и четно (нечетно), то тривиальное решение уравнения (5) неустойчиво (устойчиво при а < О, Ъ < О и имеет решения

1

т ( т 4

г

у J

т-1

В главе П рассматриваем краевые задачи интегро-дифференциальных и разностных уравнений, поведение решений автономных систем специального вида.

В §2.1, как и в главе I, используя алгебраический итерационный метод Зейделя получаем достаточные условия существования и единственности многоточечной краевой задачи для нелинейной системы интегро-дифференциальных уравнений

(6)

а

где ^^-(чН..-.^^"..^^....^-^)).

с краевыми условиями

лИ«?'1)-/*?'1.

где 1 = 1^1, /,= 0,^-1, 0<р,^п,.-1, а\1']е[а,Ь]. Теорема 2.1.1. Если:

7 = 1, т, непрерывны в области 2) в области Д выполняются неравенства

где Ц, М1 (г, .у) -непрерывные на [а,Ь] функции, I = 1, т;

О

3) 0 ^ т!,< 1, где Ь = тах (1 + рк

I 1

аШЬ [ „[1,^,-1]

где

¿Г'

1,-1,

4) ^ +

1 -тЬ

где

| с || = тах + Ц § П & + (1 + ,

В1 = ¿Мр'1, вир'

/,=о

.['(.4-11

^ 1 = м ^] + А- Е П [1+(1+л-у ].

то задача (6)-(7) имеет единственное решение в классе вектор - функций определенных на \а,Ъ\, ¿-е компоненты которых имеют непрерывные

производные щ -го порядка на [а, Ь], г = 1, т.

Доказательство настоящей теоремы сводится к исследованию системы разностных уравнений К(п)~ АК(п-1), причем из условия 3) теоремы следует: характеристические числа матрицы А меньше единицы по модулю.

В §2.3 проводится исследование краевой задачи для линейного разностного уравнения. Показано, что существует не равное нулю решение, обращающееся в нуль в заданных п точках, если задачу типа Балле -Пуссена рассматривать в пространстве неотрицательных чисел.

В §2.4, пользуясь функцией Ляпунова и ее производными первого и второго порядка, доказываем теоремы, устанавливающая параболичность, гиперболичность и эллиптичность траекторий автономной системы дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями.

Глава Ш посвящена редукции бифуркационного анализа экстремалей функционала

с лагранжианом £ в виде

О)

4

при краевых условиях

= (10)

и локализации параметров _ _

сг=а+<У„ кх = кх+81, кг = кг+6ъ.

Где («ЛЛ)Т <п2 + т2+1г,п2т2 + тН2 + п212,т2п212)Т

12

сводится (вблизи нуля), к изучению бифуркаций критических точек некоторого полинома четвертой степени от трех переменных.

Изложен подход к обоснованию и развитию схемы конечномерной редукции на основе теории многоточечных краевых задач.

В §3.1 приведено следующее общее утверждение: если на М задано действие группы Э с условиями #(а) = я, g{b) = b\/g&G и имеется инвариантность функционала действия относительно преобразований х(0 зЫО)^ е Сг, то ключевая функция \У,\У(д):= У(р(д)) будет инвариантной относительно преобразований {д\,...,

Здесь М - конечномерное компактное связное риманово С°° - многообразие без края и а, Ь -фиксированная пара точек на М.

В §3.2 рассматривается вариационная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка с трехмодовым вырождением, связанная с описанием некоторых вариантов возникновения стабильных и метастабильных состояний физической системы после трехмодовой потери стабильности в основной (нулевой) фазе.

Основное содержание §3.3 заключено в следующих двух утверждениях

Теорема 3.3.1. Для ключевой функции Ляпунова-Шмидта Мг,, (#,£)= М у(р,а+<5,1Д + <5г,*з + <53),

¿=1,2.3

имеет место следующее асимптотическое представление

« 4 й +

Д Й Й+- ЙЙ - - Й&+)+»(й4)+ 4 Ь(г).

К К Л Л )

где Л, = - <52 + 8Ъ, Хг=-8х-\652+Ад3,

^=-4-18^+94.

Переход от ключевой функции Ляпунова - Шмидта к функции Морса - Ботга Wмв не отражается на топологических и аналитических свойствах функции. Здесь

»('»)■» 2,3

= ТЙС/4.

Теорема 3.3.2. Ключевые функции и WLs гладко эквивалентны на некоторых окрестностях нуля в Я3 при достаточно малых вариациях прараметра 8 (как параметрические семейства): существуют локальное гладкое семейство локальных диффеоморфизмов £ = фе(Л) и локальный диффеоморфизм 8 = ц(е), такие, что М^феСл), Ц(е)) = \УмвСП.е). ц(0)=0.

При доказательстве последней теоремы использованы общие утверждения Ю.И. Сапронова - С.Л. Царева о гладкой эквивалентности ключевых функций.

Публикации автора по теме диссертации

[1]. А.Х. Катхим .Существование и единственность решения интегро-

дифференнциальной системы / А. X. Катхим,А.Р.Эфендиев // Вестник ДГУ-2013-Вып.1 С. 91-102.

[2]. А.Х. Катхим . Краевая задача системы с параметром /А.Х.Катхим, А.Р Эфендиев // Вестник ДГУ -2013-Вып.1- С.103-110.

[3]. А.Х. Катхим. О краевой задаче дифференциально-функциональных уравнений / А.Х. Катхим, А.Р. Эфендиев // Вестник ДГУ-2012, Вып.6 - С 93-100.

[4]. А.Х. Катхим. Многоточечные краевые задачи и конечномерные редукциив бифуркационном анализе экстремалей / А.Х. Катхим, Ю.И. Сапронов, Н.С. Умарова, А.Р. Эфендиев // Вестник ДГУ-2012, Вып.6 - С.86-92.

[5]. А.Х Катхим .Законы распределения нулей решений линейного дифференциального уравнения 5-го порядка / С.А. Аль-Джоуфи,А.Х. Катхим // Вестник ДГУ-2012, Вып.1 - С.79-86.

[6]. А.Х. Катхим. Об одной краевой задаче / А.Х. Катхим, А.Р. Эфендиев //Материалы Международной конференции по ФДУ и их приложения, Махачкала, 2011, С. 153-156.

[7]. А.Х. Катхим . Краевая задача системы интегро-дифференциальных

уравнений / А.Х. Катхим, А.Р. Эфендиев // Моделирование производственных процессов и развитие инфосистем. Сб. научных статей по материалам 1У-й Международной научно-практическойконференции, г. Ставрополь, СГАУ, 28-29 сент. 2012г., С.152-160.

[8]. А.Х. Катхим. О свойствах одной нелинейной системы / А.Х. Катхим,С.А. Аль -Джоуфи, М. Д. Джасим, А.Р. Эфендиев// МатериалыМеждународной конференции «Мухтаровские чтения» «Актуальные проблемы математики и смежные вопросы», Махачкала, ДГТУ, 2012,С.100-104.

[9]. А.Х. Катхим. Изучение прогибов Кирхгофова стержня посредство

редукции Морса-Ботта / Ю.И. Сапронов, А.Х. Катхим,. // Материалы Международной конференции, Воронежская зимняя математическая / школа им. С.Г. Крейна, 25 января - 2 февраля 2012 г.- Воронеж: ВГУ. - 2012. С 196-201. Работы [1 - 5] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано в печать 07.03.2013 г. Формат 60 х 84/16 . Бумага офсетная. Усл. печ. л. 0,87 Тираж 100 экз. Заказ №712

Отпечатано в типографии Воронежский ЦНТИ - филиал ФГБУ «РЭА» Минэнерго России 394036, г. Воронеж, пр. Революции, 30

ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

со 8

О Я

СМ

3 °

Катхим Аббас Хуссейн

Некоторые вопросы теории разрешимости многоточечных краевых задач и её приложения

01.01.02-дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

диссертации

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ю см

Ю со

ю

Научный руководитель

Кандидат физико-математических наук,

доцент, Эфендиев А.Р

Махачкала - 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение................................................................................................................................................................................................3

I. ГЛАВА I: Многоточечная краевая задача и некоторые свойства систем

дифференциальных уравнений..................................................................................................................6

1.1 .Вспомогательные предложения..............................................................................................................................6

1.2. Система дифференцированных уравнений с параметром..................................................................11

1.3. Система дифференцированных уравнений с отклоняющимся аргументом..................20

1.4. Непрерывная зависимость решений от краевых условий и параметра........................30

1.5.Оценка решения и устойчивость по изменению правых частей системы

дифференцированных уравнений............................................................................................................................................33

1.6. Случай консервативной системы........................................................................................................................36

1.7. Примеры приложений..................................................................................................................................................41

II. ГЛАВА II: Интегро-дифференциальные и разностные уравнения......................48

2.1. Многоточечная краевая задача............................................................................................................................................48

2.2. Случай системы с отклоняющимся аргументом................................................................................57

2.3. Краевая задача типа Валес-Пуасеона..............................................................................................................62

2.4. О свойствах одной системы....................................................................................................................................66

III. ГЛАВА III: Приложение теории многоточечных краевых задач к бифуркационному анализу экстремалей................................................................................................................73

3.1. Краткое описание редукции Морса - Ботта в задаче о геодезической кривой на

многообразии..............................................................................................................................................................................................74

3.2.Вариационная краевая задача для ОДУ шестого порядка с трехмодовым вырождением ........................................................................................................................................................................................75

3.3.Схема Ляпунова - Шмидта, построение главной части ключевой функции 79

82

3.4. Изучение прогибов кирхгофова стержня посредством редукции Морса - Ботта

3.5. Редукция к эйлерову стержню............................................................................................................................83

3.6. Применение редуцирующей схемы Морса-Ботта......................................

ЛИТЕРАТУРА........................................................................................................................................................................90

ВВЕДЕНИЕ

К изучению многоточечных краевых задач дифференциально -функциональных уравнений и их приложений приводят исследования многих вопросов автоматического регулирования, теории колебания, прикладной математики, математической физики, биологии.

Поэтому большой интерес представляет собой поиск новых методов доказательства существования и единственности решения краевых задач, характера зависимости решений от краевых условий .

В работах [1]- [11] исследовались многие краевые задачи указанных выше уравнений разными методами с разными краевыми условиями, в том числе, когда преобразования аргумента зависят не только от времени, но и от самого решения.

В конце концов, эти различные комбинации краевых условий сводились к простейшим видам удобным для практического пользования.

Наша работа состоит из введения и трех глав.

В § 1.1. первой главы мы приводим вспомогательные предложения-леммы, являющиеся обобщениями леммы Гронуолла[12], которыми мы пользуемся в дальнейшем.

§1.2. посвящен многоточечной краевой задаче системы обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих от параметра. Доказательство существования и единственности краевой задачи проводим методом Зейделя[14], перенесенный нами из алгебры в теорию дифференциальных уравнений.

Этим же методом в § 1.3 мы доказываем теоремы существования и единственности решения краевой задачи систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, в виде следствия приводим классы систем дифференциальных уравнений, удовлетворяющих достаточным условиям основной теоремы.

В §1.4. показываем, что решения, существование и единственность которых доказываем, непрерывно зависят от краевых условий и параметра.

Оценка решения, установленная в § 1.5., показывает устойчивость по отношению изменения правых частей системы дифференциальных уравнений.

В § 1.6. рассматриваем свойства консервативной(автономной) системы, когда правые части являются обобщённо-однородными функциями.

В §1.7. приводим примеры, иллюстрирующие теоретический материал предыдущих параграфов.

ГлаваП посвящена исследованию поведения решений систем интегро-дифференциальных и разностных уравнений.

Нам известной литературе до нас рассмотренные нами вопросы не изучались. В главе III мы изучаем многоточечные краевые задачи и конечномерные редукции в бифуркационном анализе экстремалей. Полученные в этой главе результаты являются приложением к тому, что нами изложено в предыдущих параграфах.

Цель данной работы — описание многоточечной краевой задачи систем дифференциально-функциональных уравнений, непрерывной зависимости решений от этих условий, их устойчивости в зависимости от изменения правых частей системы, конечномерной редукции в бифуркационном анализе экстремалей.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке.

1. Новые условия существования и единственности многоточечной краевой задачи.

2. Перенос алгебраического метода последовательных приближений на дифференциально-функциональные уравнения.

3. Нерерывная зависимость решений от краевых условий, параметра и их устойчивость от изменения правых частей системы .

4. Некоторые вопросы качественного поведения решений указанных выше систем.

5. Приложения конечномерной редукции в бифуркационном анализе экстремалей к

многоточечным краевым задачам.

Методы исследования. В работе использованы качественные методы анализа многоточечных краевых задач, исследовано их структура и поведение. В зависимости от ситуации при анализе ключевой функции рассматриваемой задачи используется либо метод Ляпунова-Шмидта, либо Морса-Ботта.

В настоящей работе излагается подход к обоснованию и развитию схем конечномерной редукции на основе теории многоточечных краевых задач.

Теоретическая и практическая ценность. Данная работа в основном носит теоретический характер, но представленные в ней результаты могут быть использованы при решении конкретных дифференциально-функциональных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на V-Международной научной конференции , посвященной 80-летию Дагестанского государственного университета, 26-29сентября 2011г.; международной конференции "Мухтаровские чтения " , "Актуальные проблемы математики и смежные вопросы ", Дагестанский государственный технический университет, Махачкала, 2012г.; Ставропольская межрегиональная конференция , 2012г. и др.

Публикации работы. Результаты диссертации опубликованы в девяти работах. Из собственных публикаций в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору. Пять работы соответствуют списку ВАК РФ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы(параграфы) и списка литературы из 58 наименований. Общий объем диссертации 95 страниц

ГЛАВАI

МНОГОТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА И НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В этой главе рассматривается краевая задача для системы дифференциальных уравнений, когда правые части зависят от параметра, исследуем систему с отклоняющимся аргументом, изучаются свойства решений в зависимости от изменений правых частей системы и краевых условий.

Указанным исследованиям предшествуют вспомогательные предложения в виде лемм и их следствий. § 1.1. Вспомогательные предложения

В этом параграфе мы приводим леммы, которые используются нами в дальнейшем.

Лемма 1.1.1. Если непрерывная и неотрицательная на [а, Ь] функция и(1:) удовлетворяет неравенству

(1.1.1)

где Е(г) , V (?), у(?), г»(0 ,5 = 1, и , непрерывны на [а;Ь], причём

(1.1.2)

I I

то и^) <Е(?) + гу(?)]^(г)£(г)ехр ^у(т])а>(г})с1г/ с1т +

¿к«

5=2 ,

л

Е(т) + Е{£) ехр ^(лУоШч ^

с1т

1-Е Ь«

5=2 ,.

л

1 + бу(г)|у(^)ехр } у{г])т(т1)аг1 Доказательство[ 12 ]. Введём обозначение

I '1

Тогда =

Так как неравенство (1.1.1.) в этом случае имеет вид

п

) < +Х | V, (г)м(г) ¿/г + £у(г) )

¿/Г

5=2

п

то Д'С) < у(?) Е^) + v{t)YJ I V, {т)и(т)с1т + v(t)cд(t)R(t)

5=2 ,,

( г

Умножая обе части последнего неравенства на ехр - |у(г)гу(г)б/г и интегрируя от до ?, получим:

V '1

^)< \у(т) Е(т)+£1уХг))иШт,

|_ 1=2 '1

Далее, введя обозначение:

С = 1Ыг)и(гУг ,

ехр

с1т

5=2

неравенства (1.1.4) и (1.1.5) можно переписать в виде

Я(/)< |у(г)£(г)ехрГ}у(^)£у(^У^1й?Г + С | у(г)ехрГ | у(?])й)(т])с177

(1.1.3)

(1.1.4)

(1.1.5)

¿/г

(1.1.6)

(1.1.4') .(1.1.5')

Из (1.1.6.), (1.1.4'), (1.1.5') с учётом условия (1.1.2), получим

С<

П ts ЕЬ(г) -2 ,, Е(т)+ш(т) f vfe) E{Ç)exp i J vfa) a,{Tj)drj v i Л У dr

1-Êiv,(r) s=2 T 1 + co(t)$ v(£) exp 'l fr Л J v{tj) û)(rj) drj \ i y h

. (1.1.7)

Из неравенств (1.1.4'), (1.1.5') и (1.1.7) получим утверждение леммы . Следствие 1.1.1. Если со{{) = \ и Е^) = а>0 , то из (1.1.1.) следует неравенство

u(t)<

а exp |v(r)i/r

А

(1.1.8)

dr

причём неравенство (1.1.2.) всегда верно, если

£ ехрИ811рК(0-Ч0]^ ]<"

*=2 V 'I 2SvSn

Ь

или } sup [v (i), v(/)\dt < ln ——

a 4 1

Аналогично лемме 1.1.1 доказывается следующая. Лемма 1.1.2. Если непрерывная на [а;Ь] функция и(1:) удовлетворяет неравенству

/.

(1.1.9)

где v(t) - непрерывная, а Я(t) - неотрицательная, интегрируемая на [а;Ь] функция, то

f Л

*Ej£(r)|v(r)|exp -n]\v(Ç)\dÇ

I «(01 * —-/ \

dr

(1.1.10)

^ exp -гг ^\v(z)\dr

I -,

Лемма 1.1.3. Если непрерывная на [а ; Ь] функция и(1:) удовлетворяет неравенству

5=1

где Е(1:) - неотрицательная и интегрируемая на [а ; Ь] функция , то

(1.1.11)

п [ п \ 1 п

ЕехРКЕ \as а]\Е{т)ехР- лт

у " /—^^--— (1.1.12)

Ё aJ ехР к Ё

7=1 V У

Следствие 1.1.2. Если непрерывная на [а;Ь] функция и^) удовлетворяет неравенству

" г

м(/)| < а0 а, 11 и(т)\с1т ,

4=] ,

(1.1.13)

где аг > О, I = 0,п, а < < £ < Ь, то справедливо также неравенство

п I п

«оЕ^ єхр 1 Иа,

ш <-

( п } «=1 V 7=1 /

(1.1.14)

Так как доказательство неравенства (1.1.14) представляет самостоятельный интерес, то мы его здесь проведём. Введём обозначение

п •

<=і і.

Так как Д'(0=| "(0|Е ^ и I >

?=і

то *'(*) •

(1.1.15)

(1.1.16)

Л = 1

Интегрируя (1.1.16) в пределах от до I, получим:

s=1

(1.1.17)

Полагая в (1.1.15) t = tJtj = l,n, умножая полученные равенства соответственно на a.j и складывая их получим

Я , ч Я Я 'у

7=1 7=1 y,s=l

Нетрудно проверить, что второе слагаемое правой части последнего равенства равно нулю. Следовательно,

fjaJR{tJ)=a,±aj . (1.1.18)

7=1 7=1

Переписав неравенство (1.1.17) в виде

Л(0ехр (*,-/)£ as<R(tJ ,

*=i

умножая последнее на и суммируя с учётом (1.1.18), получим:

R(t) X a exp(i -1) X as< а0 £ а

или

«о Ё Я, ехр[ Î X

S = 1

» / л;

Z «7 еХР X Я,

7=1 V i=l

(1.1.19)

Из неравенств < и (1.1.19) получим требуемое (1.1.14).

При оценке разности между точным и приближёнными решениями краевой задачи нам нужна будет

Лемма 1.1.4. Имеет место равенство:

я-v+l

I (и-5+1)

S=1

Г/1 + П

= V vV + l ,

Доказательство. Осуществляя в тождестве

±(т + к)(т + к-1)..(к + 1)={т + П + 1){т + П )-(" + 1)

к=О

m +1

замену тп = V и и на п — р получим

П-У+1

I

5=1

П~У+\

Е {п-8+ 1)

с П-Б^

V

V — 1

^ Л-У+1

/

(у-1)! (и +1 )п(п -!)...(« - V +1)

(у-1)!(У + 1)

Как известно [13, с. 298] имеет место лемма 1.1.5. Лемма 1.1.5. Если правые системы

-V

¿¿с,

Ж

(1.1.20)

являются непрерывными функциями переменных I, х1,х2, -.., хп и параметра ¡1 в области

/?={|/-/0|<<2, X, -Х;° <Ь , 1=1, п , //,<//<//2} и если в той же области (1.1.21) непрерывны частные производные

5/

(1.1.21)

дх.

¿,к=\,п

является

то решение, определённое начальными данными (/^х^х® ,...,х°) непрерывной функцией параметра ¡л при //,<//< //2

§ 1.2. Система дифференциальных уравнений с параметром

В этом параграфе мы решаем многоточечную краевую задачу, а именно имеется непрерывное решение ( л:,(?,//),..., системы (1.1.20) на отрезке [а ; Ь] и

/лх</л< /л2 , удовлетворяющее условию

Х1(г;,//) = Х,° , (1.2.1)

где 1 = 1 ,п, г, е[а,б] , . Доказательство существования и единственности

задачи (1.1.20) ,(1.2.1) проводится методом последовательных приближений системы

дифференциальных уравнений аналогичным методу Зейделя Л. [14] решения линейных систем алгебраических уравнений.

Именно[15], вычисление последовательных приближений ведётся по формулам:

/-1

X

= X Ъп + Ё К + 8, (вместо = £ ач + в методе

)=1 у=, 7=1

последовательных приближений), т.е. настоящий одношаговый циклический процесс (метод Зейделя) напоминает процесс последовательных приближений с той разницей, что при вычислении К-го приближения для ¡-й компоненты учитываются вычисленные уже ранее К-е приближения для компонент ,...

Пользуясь указанным здесь методом нами даются достаточные условия существования и единственности решения многоточечной краевой задачи системы дифференциальных уравнений, зависящих от параметра и без параметра.

Теорема 1.2.1 Если:

1) функции /¡(¿,Х\,Х2,...,Хп,\\), 1—\,п непрерывны по переменным 1,х1,х2,...,хп и параметру |и в области

Я = [а < £ < Ь,< ^ < ¡12,— г1<х1< х-0) +Г1,1 = 1,п}, и в этой же области непрерывны частные производные

ик = хГп

д/л дхк '

а значит имеют место неравенства

1

к=1

Хк

где / = 1, п, (х], Х2,..., Хп ) И , х2, •. •, хп | суть две какие-нибудь системы

значений, принадлежащих области Я, а 1 = \,п непрерывные на \а,Ь\ и

[щ,ц2] функции;

2) 1*П&+1)<2,4= ?ир

к=1

а<1<Ь цх<ц<цг

I

Ч

к — \,п ;

1-1

к-1

3) В1+--<П, где

2-П(4+1) *=1 5=1

к=1

М(. = 8ир

а<1<Ь, цх<ц<цг

1 = 1,п,В=^Вк, к=1

то краевая задача (1.1.20)-( 1.2.1) в области Я имеет решение

принадлежащее классу функций

//), ,Ф„({,/л)) определенных и непрерывных в Я, причем в данном классе это решение единственно и последовательные приближения сходятся к этому решению со следующей скоростью:

/-1

х,_х(т)

к=1

и=1

I—

и=1 к=1 к—\

Доказательство. Искомое решение будем искать последовательными приближениями вида

у0») _ у(0) , Г Г^ ГМ у0») у(и) у(«-0 ГИ) „Ь/ — < — / ^Л1» 1 'л2 »•••>л1_, >А( ,/л)ш ^ 1 =(1.2.2)

л

За нулевое приближение возьмем Приближения первого

^ 1 2 п '

порядка х(1)=4°)+ Г (г, ..., , ..., ц)^, 1 =

•''12 1-\ I п '

являются

непрерывными функциями на [а,Ь\ и [ц.],^]» причем при выполнении условий 1)-3) теоремы они не выходят из области Я,

так как

I I

1-1 к-\

< м, + ц X мх_к п (а--, +1)=Я/ * п

к=1 7=1

Аналогично вторые приближения

х>

имеют смысл, непрерывны при ^ е[а,/>] и це [ц],]±2] удовлетворяют неравенству

У=1

1-1

I /

причем

I I

+

*0)_х(о)

7=1

Используя третье приближение

Х^ ^ — Х^ ^ У/ ^' ^'' ' '' |' ^'' ' '' ^' ^ '

получим причем

-*<2> < ВЦп(ь, +1± +1),

( I

^ Ч^^К 1 1 V / у=1 *=1 7=1

г(3)_х(0)< ¿3)^(2)

+ 1-1

/-1

п к-1

<вц\

7=1 к=1 7=1

+ В1 + ВЦ П + 1) = В1 + ВЦ П [ь ; + + 1) :

7=1

7=1

= так как

7=1 7=1 7=1

<

7=1

И £-1

2"ПМ)

7=1 Л=1 7=1

Далее, следуя методу полной математической индукции можно доказать, если

(т — \) — е приближения являются непрерывными функциями переменной t и

параметра |_1, то ТП — е приближения как неопределенные интегралы от непрерывных

функций, также непрерывны и для их разности имеет место оценка

/-1

а также

<

т—2

(1.2.3)

+ \х

7 =1

(ш-1) (0)

7=1

+ Л^/и"3+... + Л^ + 1)<г/,ибо 1 + + + < 1

1-7У

Следовательно, оценки (1.2.3) справедливы для любого натурального т. Итак, все последовательные приближения (1.2.2) принадлежат области Я при ? е [я, Ь\ и

Замечание. Так как по условию правые части системы (1.1.20) непрерывны и непрерывно дифференцируемы по параметру ц, то решения системы (1.1.20) непрерывны и имеют непрерывные производные по параметру, причем параметр ц определен на конечном отрезке [ц] 9 М-г]» поэтому параметр ц не помещает

последовательным приближениям принадлежать области Я и образовать равномерно

15

сходящуюся последовательность х\т\х,\\),1 = \,п на \а,Ь\ и [щ,^]- Для этого достаточно доказать сходимость рядов

*=1 '

Для рядов (1.2.4) при хе[а,б]и це ,jll2используя (1.2.3), получим

/-1

*<°> 00 + 1 <

i к=1 г / i

7=1 к=2

к-2

Так как N < 1, то

-(о)

i-i

Хо)

едМ1)

+ В1 +

j=1 1-N

j=1 к-2

Следовательно, ряды (1.2.4) сходятся абсолютно и равномерно, т.е. для сумм рядов (1.2.4) имеем lim x^m\t, ц) = хt(t, ц), i = 1, п.

т—>оо

Из равномерной сходимости последовательностей на [a,b] и [jlxj , 1

следует непрерывность функций Xj (t, jj.), i = 1, n по t и по параметру |_i на указанных отрезках.

Покажем, что вектор-функция (xj(t, ju\...,xn(t,ju)) является решением краевой задачи (1.1,20)-(1.2.1). Так как при любом ТП и р. е , Jli2] верно

< ri, то

< г,-, i = 1,п. Для указанных значений t и jli имеем

xi\fi{t,xx,x2,...,xn,\x)dx

<

/

+

jA-fcn)

I

к=1

т

хк ~хк

+

+ Х

k=i

ч-*(Г])

>dt

В силу равномерной сходимости последовательностей на [а,Ь] и [ц],|12]5

для любого 8 > 0 найдется такой номер N, что если только т > N +1, то

Х^ ОС

(т-1)

<

2л+ 1

Таким образом, имеем:

/

для всех £ е [а,Ь] и р.е [щ,^]-

в 2пг

<-+

2п + \ 2п + \

<8,

так как

< 1 в силу условия 2) теоремы.

В силу произвольности 8, отсюда получим

' (Л

г, Ж

причем Х1 (г,, /л) = Х^ ,1=1, п.

Итак, мы доказали, что в условиях теоремы задача (1.1.20)-( 1.2.1) имеет решение (х^, М-),..., ц)), принадлежащее классу непрерывных функций (ф!^,)!),..., ф„(/,|и)} при t &\а,Ь\, ц е [м-1»] - Пок�