Некоторые вопросы теории слабо бесконечномерных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

механико-математический факультет

На правах рукописи УДК. 515.12

48464/1

Осипов Евгений Вячеславович

Некоторые вопросы теории слабо

бесконечномерных пространств

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 9 МАЙ 2011

Москва 2011

4846477

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии Механнко-мате-матпческого факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Федорчук Виталий Витальевич, доктор физико-математических наук, профессор Агеев Сергей Михайлович, кандидат физико-математических наук Редкозубов Вадим Витальевич. Московский городской педагогический университет.

Защита диссертации состоится 10 июня 2011 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М;В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, дом 1, МГУ им М.В.Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) Автореферат разослан 27 апреля 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д501.001.84 при МГУ . доктор физико-математических наук, профессор

А.О.Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Размерность является одним из важнейших инвариантом топологических пространств. Диссертация посвящена изучению различных подклассов класса слабо бесконечномерных пространств и размерностей определенных для этих классов.

Теория размерности конечномерных пространств как раздел общей топологии в целом сформировался к концу 30-х годов. Вспомним замечательную теорему о перегородках. Она утверждает, что нормальное пространство X имеет размерность сИт X < п, если для любой последовательности из п + 1 пар замкнутых непересекающихся множеств существую такие перегородки Р, с П^!1 — 0- Данная теорема послужила основой для создании теории слабо бесконечномерных пространств.

Понятие слабого бесконечномерного пространства впервые было рассмотрено П. С. Александровым 1 в 1948 г.

Нормальное пространство называется слабо бесконечномерным, если для любой последовательности дизъюнктных пар замкнутых в

X множеств существуют перегородки Pi между Р/ и Р? с Р* = 0. Пространство, не являющееся слабо бесконечномерным пространством, называется сильно бесконечномерным.

Несколько лет спустя Ю. М. Смирнов предложил другое определение слабой бесконечномерности. В нем требуется, чтобы пересечение конечного числа перегородок Рг было пусто. Такие пространства стали называть в-с-шбо бесконечномерными. В классе компактов понятия слабой и ¿'-слабой бесконечномерности совпадают.

Начало исследований в этом направлении было положено в 1959 г. работами Б. Т. Левшенко2 и Е. Г. Скляренко3.

Стало понятно, что слабо бесконечномерные пространства занимают важное место в классе бесконечномерных пространств. Была создана стройная внутренняя теория слабо бесконечномерных пространств и найдены соотношения с другими классами бесконечномерных пространств.

Важной и до сих пор нерешенной проблемой остается ответ на вопрос, поставленный в 70-ых годах, Б. А. Пасынковым:

Проблема 1. Будет ли слабо бесконечномерно произведение двух слабо бесконечномерных компактов.

'П. С. Александров. Предисловие к русскому переводу. В кп. В. Гурсвич, В. Волмен. Теория размерности. Москва. 1948.

2Б. Т. Левшенко. О силыш бесконечномерных пространствах. // Всстшж МГУ.сср. матсм. — 1959. — N0 5. - рр. 219-228.

!Е. Г. Скляренко. О размерностных свойствах бесконечномерных пространств. // Изв. Ан СССР, сер. матем. — 1959. — V. 23. — рр. 197-212.

Важным подклассом класса слабо бесконечномерных пространств является класс С-пространств. Свойство С для метрических пространств в 1973 г. ввел Хэйвер 4, доказавший, что локально стягиваемое пространство, пред-ставимое в виде объединения счетного числа С-пространств является ANR -пространством. В 1978 г. Адцис и Грэшем 5 предложили топологическую версию свойства С.

Нормальное пространство X называется С-пространством, если для любой последовательности его открытых покрытий существует последовательность {tiJ^ij дизъюнктных открытых семейств пространства X, такая что Vi вписано в щ для Vi е N, и X = ij{u Vj i € N}.

В последующие годы выяснилось, что С-иространства играют большую роль в различных разделах топологии. Так, Ансел6 доказал, что клеточнопо-добное отображение компакта на С-компакт является наследственной шэйпо-вой эквивалентностью. Отсюда вытекает, что бесконечномерный С-компакт имеет имеет бесконечную когомологическую размерность c-dimz

А. Н. Дранишников7 определил стабильную когомотопическую размерность c-dims и при помощи вышеупомянутой теоремой Ансела вывел равенство c-dimsX = dimX, для произвольного компакта X в предположении положительного решения следующей проблемы.

Проблема 2. Всякий ли слабо бесконечномерный компакт является С-пространством?

Отметим, что из положительного ответа на вторую проблему следует положительное решение первой.

В работах В. В. Успенского8, Валова и Гутева9 показано, что С-пространства играют большую роль в теории селекций многозначных отображений. А именно, известная &г-проблема Э. Майкла имеет положительное решение в тех и только тех случаях, когда область определения селекции есть С-пространство.

В работах В.В. Федорчука 10, п'12 для каждого т — 2,3,...,оо а так-

4W.E. Haver. A covering properties for metric spaces.//' Topology Conference at Virginia Polytechnic Institute, 1973, Lecture Notes in Nath, V. 375, pp. 108 113, 1974.

5D. F, Addis and J. H. Gresham. A class of infinite-dimensional spaces. I. Dimension theory and Alexan-droff'es problem. // Fund. Math. - 1978. - v. 101, No 3. - pp. 195-205.

CF. D. Anccl. The role of countable dimensionality in the theory of cell-like relations. // Trails. Amer. Math. Soc. - 1985. - v. 287, No 1. - 1-40.

7A. N. Dranishnikov. Generalized cohomological dimension of compact metric spaces. // Tsukuba J. Math. - 1990. - v.14 - 247-262.

8V. V. Uspenskii. A selection theorem for C-spaces.// Topol. and Appl. — 1998 — v.85 — 351-374.

°V. Gutev, V. Valov. Continuos selections and C-spaces. //' Proc. Amer. Math. Soc. — 2002 — v.130 — 233-242.

I0V.V.Fedorchuk. Questions on u-eakly infinite-dimensional spaces. Open Problems in Topology II (E.M.Pearl,

cd).// Elsevier, Amsterdam. — 2007. — pp. C37-C45.

"V.V.Fedorchuk. Weakly infinite-dimensional spaccs.// Russian Math. Surveys. — 2007. — v. 42. No 2. —

pp. 1-52.

,!V.V.Fedorchuk. Finite dimension modulo simplicial complexes and ANR-compact.a.// МатемятпческиП

же для класса симшшциальных комплексов 3? определены w-m-C, m-C-пространства и Sí-wid-пространства (соотв. S-w-m-C, S-m-C-иростраиства ii S-3í-wid-npocTpancTBa). Данные классы расположены между классами С и wíd-пространств. Оказалось (см. также13,14'15), что по своим структурным свойствам данные классы пространств похожи на слабо бесконечномерные пространства. Так, для них имеют место теоремы счетной и локально конечной суммы и теоремы типа Даукера. Данная работа посвящена дальнейшему изучению этих классов пространств.

В своей работе Борет 16 при помощи разработанного им метода, определил трансфинитную размерность dim2 для всех S-слабо бесконечномерных пространств. Данный метод оказался универсальным, и можно размерность определять для S-m-C и S-w-m-C-пространств, а также для S-K-wid-пространств15. В данной работе работе продолжено изучение свойств вышеуказанных размерностей.

Для лебеговой размерности dim хорошо известна теорема суммы, доказанная еще в 1921-1922г. Менгером и Урысоном независимо (см., например, 17). Она утверждает, что если пространство X представляется в виде объединения счетного числа замкнутых множеств, размерность которых < п, то ii dimX < п. Пример, построенный Левшенко 18, показывает, что такая теорема суммы не выполняется для трансфинитного случая. Именно, пространство Смирнова 5Ыо+1 можно разложить в сумму двух замкнутых подпространств, таких, что их большая трансфинитная размерность размерность равна, а значит и размерность Борста равна шо, в то время как dim2 = Ind SUo+1 = w0 + 1.

Борет для трансфинитной размерности dim2 доказал теорему конечной суммы. Данная теорема утверждает, что если пространство X = X1ÖX2, где Х\ и Xi замкнуты в X, то

dim2 X ^ max{dim2 Xt , dim2 Х2} © (dim2(Xi Л Х2) + 1).

Вопрос рассматриваемый в данной работе касается теорем суммы для размерностей dim,,, и tr-K-dim, где К симплициальный комплекс.

вестник. — 2009. - No 61. - pp. 25-52.

"V.V.Fcdorehuk, Questions raí dimensions modulo simplicial complexos. I. Infinite-dimensional spaces // Questions Answers Gen. Topology — 2010. — v.28, No 2.

,4V.V.Fedorchuk, Questions on dimensions modulo simplicial complexes. II. Infinite-dimensional spaces // Questions Answers Gen. Topology — 2010. — v.28, No 1.

,!V.V.Fedorchuk, Questions on dimensions modulo simplicial complexes. III. Infinite-dimensional spaces // Questions Answers Gen. Topology — 20X0. v.28, No 1.

10P.Borst. Classification of weakly infinite-dimensional spaccs. I. A transfinitc extension of covering dimension. // Fund. Math. - 1988. - v. 130, No 5. - pp. 1-25.

17П.С.Александров. Б.А. Пасынков. Теория размерности. Москва. "Наука". 1973

18БД\Лсш!1011КО. С) бесконечномерных проктрапстнах. // ДАН СССР 1901. - т. 139, No 5. pp. 286-289.

Хорошо известен классический результат о Лебеговой размерности произведения компактных конечномерных пространств. Размерность произведения не превосходит суммы размерностей множителей ( см.20). Для трансфп-ннтой размерности dim2 Борет доказал, что dim2psT х С) — сИгпг X, где X компактное пространство, a G канторово совершенное множество.

В данной работе рассматривается аналогичное равенство для размерности tr-K-dira.

Еще одна затрагиваемая тема — вопрос о существовании универсальных пространств для данной размерности и веса (и в данном классе пространств). В теории размерности важен вопрос о существовании таких пространств.

Пусть дана размерностная функция d и заданы кардинальное число т ^ и)о, а также целое неотрицательное число п. Существует ли пространство П" веса г и размерности п, такое что любое пространство X размерности dX ^ п и веса т вкладывается в II"? Данный вопрос тесно связан с факторизационными теоремами. Факторизационные теоремы утверждают, что в определенных условиях для отображения /': X —> У существуют: такое пространство У и такие отображения д : X —► Y, h : Y —► Z, что / = gh, dY ^ dX, w(y) ^ u>(Z), и если Z принадлежит некоторому классу пространств Q, то и У £ 3.

Большая индуктивная транефшштная размерность Ind впервые была определена Смирновым19. Факторизационную теорему для нее доказал Пасынков20. Далее в 2007 году Федорчук рассмотрел индуктивную размерность Indm, являющуюся обобщением размерности Ind = Ind2, и для нее также доказал факторизационную теорему. Затем для любого класса, состоящего из симплициальных комплексов 3?, в частности для симплнциального комплекса К, Федорчук определил трансфинитную размерность tr-K-Ind. Данная размерность обобщает большую трансфинитную размерность и при К = S0 tr-K-Ind = Ind.

Естественно встает вопрос, поставленный В.В. Федорчуком, об существовании универсальных пространств для размерности tr-K-Ind.

'"Ю.М.Смирнов. Об универсальных пространствах для некоторых классов пространств. // ИАН СССР - 1959. - т. 23, N0 5. - рр. 185-196.

20Б.А.Пасынков. О размерности нормальных пространств. // ДАН СССР — 1971. — т. 201, N0 5. — рр. 1049-1052.

Цель работы.

1) изучить различные подклассы класса слабо бесконечномерных пространств;

2) изучить трансфинитную размерность но модулю заданного класса систем множеств;

3) изучить большую трансфшштную размерность по модулю заданного класса систем множеств.

Научная новизна,

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Доказывается совпадение классов \у-т-С-пространств (соотв. Б^-т-С-нространства) с классом слабо бесконечномерных пространств в смысле Алексндрова (соответственно в смысле Смирнова)

2. Для симплициального комплекса К и целого т (т > 2) доказывается теорема суммы для размерности ^-К-сНт и сИтт.

3. Для произвольного компакта X доказывается равенство 1г-К-сИт X = 1г-К-сИт(Х X С), где С канторово совершенное множество.

4. Доказывается факторизационная теорема для размерности <;г-К-1псЗ.

5. Положительно решается вопрос о существовании универсального компакта п компактном расширении для данного веса и данной размерности.

Основные методы исследования.

В работе используются топологические методы, методы теории обратных спектров, методы теории размерности. Также используется арифметика кардинальных чисел и метод апроксимации топологических пространств симплнциальными комплексами (нервами покрытий этих тополгических пространств).

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертации имеет теоретический характер. Изложенные в диссертации подходы и полученные результаты могут представлять интерес для специалистов в теории бесконечномерных пространств п теории размерности.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и конференциях:

• Международная конференция по Дифференциальным уравнениям и топологии, посвященная 100-летию со дня рождения J1.C. Понтрягина (Москва, 2008).

• Научно-исследовательский семинар по общей топологии им. П.С. Александрова под руководством профессоров В.В. Федорчука, Б.А. Пасын-кова, В.И. Пономарева и В.В. Филиппова (Москва, 2007, 2009).

• Международная конференция Topology and it's applications в Греции (Nafpaktos, 26-30 июня 2010 г.)

Публикации.

Основное содержание диссертации было опубликовано в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата [1]—[5].

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, 5 глав и списка литературы. Объем диссертации — 59 страниц, библиография включает 30 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во «введении» содержится сводка результатов, связанных с темой диссертации, дается постановка задачи, дается краткое изложение основных результатов полученных в диссертации.

В первой главе «Предварительные сведения» мы формулируем основные определения и факты из общей топологии и теории размерности необходимые нам для дальнейшей работы. Напомним конструкцию Борста.

Пусть L ' произвольное непустое множество. Обозначим семейство всех непустых конечных подмножеств L через Fin L. Пусть M С Fin L. Для a G {0} U Fin L. Полагаем

M" = {т£ Fin L и cr U т G M : ст П т = 0}.

Для a G L множество M^ будем обозначать М°. Определим порядковое число Ord M по индукции. 1) Ord M = 0, если M = 0.

2) Ord M ^ а, если Ord Ma < а для любого a G L.

3) Ord M = а, если Ord M (en неравенство Ord M < а не выполняется. 3) OrdM = oo, если Ord M > a\ для любого a.

Напомним определение нижней суммы ординалов. Пусть а, /3 ординалы. Представим их в виде а = а'+р и ¡3 — /З'+g, где а', /3' предельные ординалы, а р и q целые положительные числа, тогда нижняя сумма ординалов а и /3 равна:

Во второй главе «Слабо бесконечномерные пространства и размерность dimш,n» определяются \v-m-C и 8-\\г-т-С-пространства. Именно, пусть X — топологическое пространство и т — целое число ^ 2 или т — оо.

Семейство, состоящее из попарно-непересекающихся замкнутых множеств числом не более тп, будем называть т-системой. Семейство, состоящее из конечного числа замкнутых попарно-непересекающихся замкнутых множеств, будем называть оо-системой. Определим

<рт(Х) = {Ф : Ф является т — системой в X}.

В дальнейшем будем предполагать, что т целое ^ 2 или т = оо.

Если Ф = является т-системой в X, то окрестностью

ОФ системы Ф мы называем любое семейство {О.Р\,..., 0Ет} попарно-непересекающихся окрестностей множеств Г^. Множество

будем называть перегородкой системы Ф в X.

Говорят, что семейство <р = {Фа : а 6 А} С ¡р^ несущественно , если существуют такие окрестности 0Фа, а е А, что О^а ~ Х- В противном случае семейство <р мы будем называть существенной.

Нормальное пространство X называется т-т-С-простраством (или кратко X € тс-т-С), если любое бесконечное семейство р С рт{Х) несущественно. Если любое бесконечное семейство <р С <рт содержит конечное несущественное подсемейство <ро С р, то X мы называем Я-ю-тп-С-простраством (или кратко X 6 Б-тс-т-С). Очевидны включения:

т

P = X\\j0Fi

(a) S-w-m-C С w-m-C;

(ft) S-C с S-oo-C С ... С S-w-3-C С S-w-2-C = s-wid; (с)С с S-oo-C С ... С w-3-C с w-2-C = wid.

Пусть Fin ipm{X) множество всех конечных подмножеств множества Ч>т{Х) и

Мт(Х) — {а е Fin<pm(X) : а существенно} С Fin^,n(X).

Воспользуемся конструкцией Борста и для нормального пространства X полагаем

dim^m X = Ord Мт{Х).

Заметим, что dim^ X совпадает с размерностью Борста dim2 X.

Федорчук доказал, что dinwX определена тогда и только тогда, когда X е S-w-m-C.

В силу включение (а) (с) можно было бы предположить что все классы перечисленные в (а)—(с) различны, и отсюда следовал бы отрицательный ответ на проблему 2.

Однако, в диссертации доказывается следующий результат.

Теорема 1. Для каждого m имеем:

(1) w-m-C = wid;

(2) S-w-m-C = swid.

Из леммы и Теоремы 1 следует, что размерности dim^ определены для любого слабо бесконечномерного пространства.

Следующий основной результат:

Теорема 2. Пусть X - S-слабо бесконечномерное пространство. Тогда все размерности dimumX, m = 2, ...оо определены и

dim1J2 X = dim^n X.

Похожим способом, в классе коллективно-нормальных пространств определяется понятие w-C-пространством, а также размерность dim^.

Для них можно показать анологичные теореме 1 и 2 результаты, именно:

Лемма 6. Для каждого коллективно-нормального пространства X имеем:

(1) X е w-C тогда и только тогда, когда X € wid;

(2) X € S-w-C тогда и только тогда, когда X Е swid.

Теорема 3. Пусть X коллективно-нормальноое 5-слабо бесконечномерное пространство. Тогда все размерности dim^ X определены и

dimW2 X = dimd X.

Третья глава «Теорема суммы для размерностей dimm и tr-K-dim» посвящена теоремам суммы для для размерностей dim,n и tr-K-dim, где К сим-нлициальный комплекс.

Открытое покрытие и = {U\,..., Uk}, пространства X будем называть т-покрытием, , если и состоит из не более, чем m элементов. Через cov,n(X) будем обозначать семейство всех m-покрытнй пространства X.

Последовательность покрытий {ui}iSu будем называть несущественной, если существует такая последовательность {«¡}геи дизъюнктных открытых в X семейств, что Vi вписано в щ для любого г € ш и выполнено следующее условие: U,-6lJ(UVi) = X, в противном случае такую последовательность будем называть существенной .

Нормальное пространство X называется т-С-пространствол1 (соотв. S-т-С-пространством), если всякая последовательность 1 его т-

покрытий несущественна ( соотв. существует такое N, что последовательность {wj}^! несущественна ).

Семейство замкнутых множеств {F\,..., F^} будем называть К-системой, если нерв этой системы (как комплекс) принадлежит спмплициальному комплексу К. Окрестностью if-системы Ф = {Fi,...,Fn} будем называть такое открытое семейство ОФ = {OFh..., OFk}, что F{ С ОР{ и ЩОФ) С N($), соответственно перегородкой if-системы Ф будем называть такое замкнутое множество Р, что Х\Р есть тело некоторой if-окрестности Ф.

Через Exp7i(X) будем обозначать множество всех if-систем в X.

Последовательность tp = {Фх,..., Ф,-}, Ф; S Ехр^(Х), называется несущественной , если существуют такие перегородки Pi систем Ф*, что (~1-=1 Pi — 0, в противном случае такую последовательность назовем несущественной .

Нормальное пространство X называется K-wid-пространством (соответственно S-K-wid-пространством), если всякая последовательность {Ф;}»£ш К-снстем несущественна (соответственно, существует такое N, что последовательность {Ф,;}^=1 несущественна ).

Через Fincovm(X) обозначим семейство всех конечных последовательностей m-нокрытпй пространства X и рассмотрим его подмножество:

Мт(Х) = {cr е Fincovm(X) : а существенно}.

Воспользуемся теперь конструкцией Борста, описанной выше и положим L = Fin covm(X) и M = Мт(Х).

Полагаем

dira,n X = Ord Мт(Х).

Через Fin Ехр^(Х) обозначим семейство всех конечных последовательностей if-систем пространства X и рассмотрим его подмножество

Тк(Х) — {a G Fin Exp/S-(X) : а существенно}.

Воспользуемся теперь конструкцией Борста, описанной выше и положим V = Fin Expm(X) и М' = ТК{Х). Полагаем

tr-K-dim X = OrdTA-(X).

В диссертации доказывается

Теорема 4. Пусть X = Х\ и Х2, где Х\ и Хч замкнуты в X и К симилнциальный комплекс. Тогда:

1) (11т,„X ^ тах{с!1ттХ1 , dimmX2} ® П Хг) + 1);

2) к-К-атК тах^г-К^шХь ПХ2)+1).

Как следствие, для С-пространств получаем.

Следствие 3. Если X является С-пространством и X = Х\ иХг, где Х\ и Х2 замкнуты, то

dimcX < тах:^т1сХ\,(ИтсХ2) ® П X2) + 1).

В четвертой главе Доказывается монотонность по замкнутым множества размерности ^-К^т.

Теорема 5. Пусть Р замкнуто в X. Тогда

ЫК^ппР < tr-K-dim X.

Пусть С — канторово совершенное множество. Верен следующий результат.

Теорема 6. Если X компакт, то

^-К^тХ = ^-К-Шт^ х С).

В пятой главе Мы доказываем факторнзационную теорему для размерности tr-K-Ind.

Пусть К симилнциальный комплекс. Размерность 1;г-К-М определяется следующим образом.

Для произвольного пространства X полагали:

1) 1;г-К-МХ = — 1 тогда и только тогда, когда X = 0;

2) ^-К-МХ < а, если для любой К-системы Ф, существует перегородка Р. такая, что 1;г-К-11^ Р < а;

3) к-К-М-Х" = оо. если 1г-К-МХ > а для любого ординала а.

Теорема 7. Пусть даны непрерывное отображение / : X —> 2 компакта X в компакт Z, а также замкнутое подмножество ^ С X размерности к-К-М.Р = а. Тогда существует такой компакт У н такие непрерывные отображения что:

1) / =

2) шУ <

3) к-К-Ш д(Г) <а = Ь-К-Ы Р.

Теорема 8. Для любого нормального пространства X размерности ^-К-МХ ^ п, существует компактификация ЬХ, такая, что

и)ЬХ = ь)Х, tr-K-Ind ЬХ ^ п.

Теорема 9. Пусть т кардинал ^ ujq, К снмилнциальный комплекс, п 6 и>. Существует компакт Щ", такой, что гиЩ" = г, и ЩJ1 топологически содержит любое нормальное пространство X, такое, что wX ^ т, tr-K-Ind X ^ п.

Если комплекс К * К нестягпваемый, то из теорем Федорчука следует, что для любого п существует т, что tr-K-Ind In = п. В этом случае теорему 9 можно дополнить, написав, что размерность

tr-K-Ind Щ" = tr-K-dim П™ = п.

Благодарности.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Виталию Витальевичу Федорчуку за постановку задач, постоянное внимание, многочисленные плодотворные обсуждения и помощь в работе. Автор выражает благодарность всему коллективу кафедры общей топологии и геометрии Механико-математического факультета МГУ имени М. В Ломоносова.

Список публикаций по теме диссертации.

[1] V.V. Fedorchuk, E.V. Osipov. Certain classes of weakly infinite-dimensional spaces and topological games.// Topology and its Applications — 2008. — v.156, Issue 1. — Pages 61-69

[2] Е.В.Осипов. Теорема суммы для dimm.// Современные проблемы математики и механики 2009. т 3, математика, вып. 2 pp. 164-167.

[3] Осипов Е.В. Теорема суммы для dimm.// Дифференциальные уравнения и топология: Международной конференции Дифференциальных уравнений и топологии, посвященную 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина: Тезисы докладов. - М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ имени М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2008, 478стр.

[4] Е.В.Осипов. Теорема суммы для dim,,,.// Современные проблемы математики и механики — 2009. — т 3, математика, вып. 2 — pp. 164-167.

[5] Осипов Е.В. Равенство размерности по модулю симплициальных комплексов компактного пространства X и X х С.// Известия Тульского государственного университета Естественные науки. Вып. 2, 2010. с. 24-31.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ¡ОС экз. Заказ N2 31

Введение

1 Предварительные сведения

2 Слабо бесконечномерные пространства и размерность сНт^

2.1 Введение.

2.2 Размерность (йт^.

2.3 Вспомогательные результаты.

2.4 = \v-m-C и с11т2 = <11тшт

2.5 Размерность сИт^.

3 Теорема суммы для размерностей сИтто и ^-К-сНт

3.1 Я-т-С и т-С-пространства.

3.2 8-К-"шс1-пространства.

3.3 Размерность сНтт.

3.4 Размерность tr-K-dimm.

3.5 Вспомогательные результаты.

3.6 Теоремы суммы.

4 Равенство 1г-К-а1т(Х) = 1;г-К-(11т(Х х С)

4.1 Монтонность 1;г-К-сНт по замкнутым множествам.

4.2 Следствия из монотонности.

4.3 Вспомагательные результаты.

4.4 Доказательство равенства размерностей.

5 Факторизационная теорема для размерности 1;г-К-1пс

5.1 Размерность ^-К-1пс1.

5.2 Факторизационная теорема для ^-К-1пс1.

5.3 Основная лемма.

5.4 Т^-разделяющее семейство.

5.5 Основная конструкция.

5.6 Доказательство Факторизационной теоремы

5.7 Следствия из факторизационной теоремы.

В 1948 г. в Предисловии к русскоязычному переводу монографии Гуревича и Волмэна [1] П.С. Александров рассмотрел понятие слабой бесконечномерности (или кратко \у!с1-пространства).

Определение 1 Нормальное пространство называется слабо бесконечномерным, если для любой последовательности {Р/, дизъюнктных пар замкнутых в X мноэюеств существуют перегородки Р^ между Р/ и с пустым пересечением. Пространство, не являющееся слабо бесконечномерным пространством, называется сильно бесконечномерным.

Несколько лет спустя Ю.М.Смирнов предложил другое определение слабой бесконечномерности. В нем требуется, чтобы пересечение конечного числа перегородок было пусто. Такие пространства будем называть ¿У-слабо бесконечномерными. В классе компактов понятия слабой и ¿'-слабой бесконечномерности совпадают.

Спустя 10 лет из работ Б.Т.Левшенко [4] и Е.Г.Скляренко [9] стало понятно, что слабо бесконечномерные пространства занимают важное место в классе бесконечномерных пространств. Была создана стройная внутренняя теория -шс1-пространств, построены примеры демонстрирующие связь этого класса с другими классами пространств. Отметим теорему Хэндерсона [20] о том, что всякий сильно бесконечномерный компакт содержит континуум, любой подконтинуум которого бесконечномерен, а также пример Поля [29] несчетномерного "шс1-компакта.

Важным подклассом класса слабо бесконечномерных пространств является класс С-пространств. Свойство С для метрических пространств в 1973 г. ввел Хэйвер [19], доказавший, что локально стягиваемое пространство, пред-ставимое в виде объединения счетного числа С-пространств является ANR-пространстврм. В 1978 г. Аддис и Грэшем [15] предложили топологическую версию свойства С.

Определение 2 Нормальное пространство X называется С-пространством, (соотв. S-C-пространством), если для любой последовательности {^г}^ 620 открытых покрытий существует последовательность дизъюнктных открытых семейств пространства X, С-вписанная в последовательность {щ}^ (соотв. S-C-вписана).

С-вписанность (соотв. S-C-вписаность) означает, что Vi вписано в щ, и X = UiU^i : г £ N} (соотв. существует А7", такое, что X — UiU^i : г ^ N}).

В последующие годы выяснилось, что С-пространства играют большую роль в различных разделах топологии. Так, Ансел [11] доказал, что кле-точноподобное отображение компакта на С-компакт является наследственной шэйповой эквивалентностью. Отсюда вытекает, что бесконечномерный С-компакт имеет имеет бесконечную когомологическую размерность c-dim^ А. Н. Дранишников [16] определил стабильную когомотопическую размерность c-dims и доказал, что c-dimz ^ c-dims X ^ dim X для произвольного компакта X. Потом он показал [17], что c-dimsX = сю. Отсюда и из упомянутой выше теоремы Ансела А. Н. Дранишников вывел равенство c-dims X = dim X для произвольного компакта X в предположении положительного решения следующей проблемы.

Проблема 1. Всякий ли слабо бесконечномерный компакт является С-пространством?

В работах В. В. Успенского [30J, Валова и Гутева [18] показано, что С-пространства играют большую роль в теории селекций многозначных отображений.

Отметим также следующую, до сих пор открытую проблему.

Проблема 2. Будет ли слабо бесконечномерно произведение двух слабо бесконечномерных компактов.

В [21], [22], [23] для каждого т = 2, 3, .,оо а также для класса симп-лициальных комплексов 9ft определены w-m-C, m-C-пространства и Sft-wid-пространства (соотв. S-w-m-C, S-m-C-пространства и S-3ft-wid-пространства). Данные классы расположены между классами С и wid-пространств.

Для w-m-C и S-w-m-C-пространств верен следующий результат.

Теорема 1 Для каждого т имеем:

1) w-m-C = wid;

2) S-w-m-C = swid.

В своей работе Борет [12] определил трансфинитную размерность dim2 для всех 5-слабо бесконечномерных пространств. Данный метод оказался универсальным, и можно размерность определять для S-m-C и S-w-m-C-пространств, а также для S-K-wid-пространств (см. [23]).

Для S-w-m-C-пространств верен следующий результат.

Теорема 2 Пусть X - ¿'-слабо бесконечномерное пространство. Тогда все размерности dimwmX, т, — 2, .оо определены и dimw2 X = dirnwm X.

Для лебеговой размерности dim хорошо известна теорема суммы, доказанная еще в 1921-1922г. Менгером и Урысоном независимо (см., например, [2]). Она утверждает, что если пространство X представляется в виде объединения счетного числа замкнутых множеств, размерность которых ^ п, то и dimX < п. Пример, построенный Левшенко [3], показывает, что такая теорема суммы не выполняется для трансфинитного случая. Именно, пространство Смирнова можно разложить в сумму двух замкнутых подпространств, таких, что их размерность Борста равна в то время как dim2 = uj0 + 1.

Борет для транстфинитной размерности dim2 доказал теорему конечной суммы. Данная теорема утверждает, что если пространство X = XiUX2, где Х\ и Х2 замкнуты в X, тогда dim2 X ^ max{dim2 Х\ , dim2X2} Ф (dim2(Xi П Х2) + 1).

Естественно, встает вопрос о теореме суммы для размерностей dimm и tr-K-dim, где К симплициальный комплекс.

Верна следующая теорема.

Теорема 4 Пусть X = Х\ U Х2, где Х\ и Х2 замкнуты в X и К симплициальный комплекс. Тогда:

1) dimmX ^ max{dimmXi , dimmX2} ф (dimm(Xi П Х2) + 1);

2) tr-K-dim X ^ max{tr-K-dim Х\ , tr-K-dim Х2} Ф (tr-K-dim(Xi П Х2) +

Хорошо известен классический результат о Лебеговой размерности произведения компактных конечномерных пространств. Размерность произведения не превосходит суммы размерностей множителей ( см.[2]). Для трансфи-нитой размерности dim2 Борет доказал, что dim2(X х С) = dim2X, где X компактное пространство, а С канторово совершенное множество. Для размерности tr-K-dim верен аналогичный результат.

Теорема 6 Если X компакт, то tr-K-dimX = tr-K-dim(X х С).

Отметим, что ответ на вопрос о размерности dim2(X х /), где I — [0,1], X компакт, пока не получен.

В теории размерности важен вопрос о существовании универсальных пространств для данной размерности и веса (и в данном классе пространств). Пусть дана размерностная функция (1 и заданы кардинальное число т ^ и>о, а также целое неотрицательное число п. Существует ли пространство П" веса т и размерности п, такое что любое пространство X размерности йХ ^ п и веса т вкладывается в Щ? Данный вопрос тесно связан с факторизационны-ми теоремами. Факторизационные теоремы утверждают, что в определенных условиях для отображения / : X —> У существуют: такое пространство У и такие отображения д : X —> У, К : У —» что / = дк, (1У ^ йХ, ш{У) ^ и если Z принадлежит некоторому классу пространств то и

У € 3?.

Большая индуктивная трансфинитная размерность 1пс1 впервые была определена Смирновым в [10]. Факторизационную теорему для нее доказал Пасынков [8]. Далее в 2007 году Федорчук рассмотрел индуктивную размерность 1пс1т, являющуюся обобщением размерности 1пс1 = 1пс12, и для нее также доказал факторизационную теорему. Затем для любого класса, состоящего из симплициальных комплексов в частности для симплициального комплекса К, Федорчук определил транстфинитную размерность 1;г-К-1пс1. Данная размерность обобщает большую трансфинитную размерность и при К = 5° ^-К-1пс1 = 1пс1 и для 1т-К-1пс1 верна фаторизационная теорема.

Теорема 7 Пусть даны непрерывное отображение / : X —> Z компакта X в компакт Z. а также замкнутое подмножество ^ С I размерности {т-К-Ьк!^ = а. Тогда существует такой компакт У и такие непрерывные отображения g:X—^YvLh:Y—>Z, что:

1) / = Ьд

2) иУ <

3) Ъг-К-Ш д(Р) <а = Ъг-К-М

Теорема 8 Для любого нормального пространства X размерности 1т-К-1пс1 X ^ п, существует компактификация ЬХ, такая, что ъиЪХ = изХ, 1;г-К-1пс1 ЬХ ^ п.

Теорема 9 Пусть т кардинал ^ и>0, К симплициальный комплекс, пбы. Существует компакт П™, такой, что и>П™ = т, и П^ топологически содержит любое нормальное пространство X, такое, что 1иХ ^ г, ^-К-сНтХ ^ п.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Виталию Витальевичу Федорчуку за постановку задач, постоянное внимание, многочисленные плодотворные обсуждения и помощь в работе. Автор выражает благодарность всему коллективу кафедры общей топологии и геометрии механико-математического факультета МГУ им. М. В Ломоносова.

1. П.С.Александров. Предисловие к русскому переводу. В кн. В.Гуревич, В.Волмен, Теория размерности. Москва. 1948.

2. П.С.Александров. Б.А. Пасынков. Теория размерности. Москва. "Наука". 1973

3. Б.Т.Левшенко. О бесконечномерных пространствах. // ДАН СССР — 1961. т. 139, No 5. - pp. 286-289.

4. Б.Т.Левшенко. О сильно бесконечномерных пространствах. // Вестник МГУ,сер. матем. — 1959. — No 5. — pp. 219-228.

5. Б.А.Пасынков. О размерности нормальных пространств. // ДАН СССР 1971. - т. 201, No 5. - pp. 1049-1052.

6. Е.Г.Скляренко. О размерностных свойствах бесконечномерных пространств. // Изв. Ан СССР, сер. матем. — 1959. — v. 23. — pp. 197-212.

7. Ю.М.Смирнов. Об универсальных пространствах для некоторых классов пространств. // ИАН СССР 1959. - т. 23, No 5. - pp. 185-196.

8. F.D. Ancel. The role of countable dimensionality in the theory of cell-like relations. // Trans. Amer. Math. Soc. — 1985. — v. 287,No 1. 1-40.

9. P.Borst. Classification of weakly infinite-dimensional spaces. I. A transfinite extension of covering dimension. // Fund. Math. — 1988. — v. 130, No 5. — " pp. 1-25.

10. R.Engelking. General Topology. Berlin. 1989.

11. R.Engelking. Theory of Dimension. Finite and Infinite. Lemgo: Helderman. 1995.

12. D.F.Addis and J.H.Gresham. A class of infinite-dimensional spaces. I. Dimension theory and Alexandroff'es problem. // Fund. Math. — 1978. — v. 101, No 3. pp. 195-205.

13. A.N. Dranishnikov. Generalized cohomological dimension of compact metric spaces. // Tsukuba J. Math. 1990. — v. 14 — 247-262.

14. A.N. Dranishnikov. Stable cohomotopy dimension and weakly infinite dimension spaces. // Topol. and Appl. — 1992 — v.47 — 79-81.

15. V. Gutev, V. Valov. Continuos selections and C-spaces. // Proc. Amer. Math. Soc. 2002 - v.130 - 233-242.

16. W.E.Haver. A covering properties for metric spaces.// Topology Conference at Virginia Polytechnic Institute, 1973, Lecture Notes in Nath, V. 375, pp. 108-113, 1974.

17. D.W.Henderson. Each strongly infinite-dimensional compactum contains a hereditarily infinite-dimensional compact subset. // Amer. Journ. of Math. 1965. - v. 89. - pp. 122-123.

18. V.V.Fedorchuk. Questions on weakly infinite-dimensional spaces. Open Problems in Topology II (E.M.Pearl, ed).// Elsevier, Amsterdam. — 2007. — pp. 637IJ645.

19. V.V.Fedorchuk. Weakly infinite-dimensional spaces.// Russian Math. Surveys. — 2007. — v. 42, No 2. — pp. 1-52.

20. V.V.Fedorchuk. Finite dimension modulo simplicial complexes and ANR-compacta.// Математический вестник. — 2009. — No 61. — pp. 25-52.

21. V.V.Fedorchuk, Questions on dimensions modulo simplicial complexes. III. Infinite-dimensional spaces // Questions Answers Gen. Topology — 2010. — No 2. —submitted.

22. V.V.Fedorchuk, Questions on dimensions modulo simplicial complexes. II. Infinite-dimensional spaces // Questions Answers Gen. Topology — 2010. — No 1. —submitted.

23. V.V.Fedorchuk, Questions on dimensions modulo simplicial complexes. I. Infinite-dimensional spaces // Questions Answers Gen. Topology — 2010. — No 1. —submitted.

24. W.Olszewski. Universal spaces in the theory of transfinite dimension, I.// Fund. Math. 1994. - v. 144. - pp. 243-258.

25. R.Pol. A weakly infinite-dimensional spaces which is not countable-dimensional. // Proc. Amer. Math. Soc. — 1981. — v. 82. — pp. 634-636.

26. V. V. Uspenskii. A selection theorem for C-spaces.// Topol. and Appl. — 1998 v.85 - 351-374.Работы автора по теме диссертации

27. Осипов Е.В. Равенство размерности по модулю симплициальных комплексов компактного пространства X и X х С.// Известия Тульского государственного университета Естественные науки. — 2010. — Вып. 2.с. 24-31.