Некоторые вопросы в исследовании нелинейных явлений в теории спиновых волн тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

2 I) 1393 .

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ТАДЖИКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Специализорованный совет к 065.01.06

на правах рукописи УКД: 537.611.2

\

Вияд Рустам

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ В ИССЛЕДОВАНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЯВЛЕНИИ В ТЕОРИИ СПШОВЫХ ВОЛН

специальность 01.04.07 -физика твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Душанбе - 1ЭЭЗ г.

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Таджикского Государственного Университета

НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ: Хакимов Ф.Х. - доктор физико - математических' наук

член-корр. АН РТ, профессор Абдуллоев Х.О, - доктор физико-математических наук, доцент.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: Исмоилов И.И. - доктор физико-математических , наук, член-корр АН республики Таджикистан, Холмур^дов Х.Т. - кандидат физико-математических наук, доцент.

ведущая организация: Российский Университет Дружбы Народов.

защита диссертации состоится "Л- " ¿¿¿^/'"А _1993 г.

в /£^часов на заседании специализированного' совета к 065.01.06 при Таджикском Государственном Университете по адресу: 734025, г. Душанбе, пр. Рудаки 17. с диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Таджикского Государственного Университета. Автореферат разослан " _1993 г>

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических

наук, професорр фиг*9 Бобоев Т.Б.

ОБЩАЯ.ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность теш : математические исследования нелинейных явлений в магнитных системах являются одним из самых ; быстроразвивающихся направлений современной физики.

В последние годы сильно возрос интерес к исследованию одномерных магнитных систем. Особое внимание уделяются изучению ферромагнетиков со спином Э > 1, для которых точные результаты как правило не получены, а теоретическое исследования часто ограничиваются рамками классического подхода. О другой стороны, с помощью классического подхода нельзя полностью описать природу таких магнетиков, так как нельзя свести вклад различных взаимодействий в поведение магнетика к эффективным полям одного лишь вектора намагниченности (спина). С помощью классического подхода получают приемлимые результаты для магнетиков со спином Б > в то время как реальная ситуация при которой спин больагшстза •га,кг- г.скоз конечен по величине, Б £ 1, требует дополнительных исследований так же как и учет квантовой природы магнетиков-. .

В последнее время большое внимание уделяется исследованию нового типа коллективных возбуждений в магкито упоря- . доченных средах, так называемых частицеподобннх или соллто-ноподобных возбуждений. Обычно они появляются как локализованные решения классических уравнений таких, как нелинейное уравнение Щредингера (НУШ), синус - уравнение Гордона (СО), Ландау - Лифшица ДО) и т.д. С.другой стороны основой микроскопического изучения большого класса магнетиков являются квантовые модели Гейзенберга. • '

Естественно возникает вопрос об отношении коллективных -

нелинейных эффектов в классических и квантовых моделях, т.е. о формулировании достаточно последовательной "процедуры сведения" квантовых решеточных моделей Гейзенберга к -классическим полевым моделям. Это необходимо для более полного учета квантовой прироы ферромагнетиков в получаемых уравнениях.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ.

Целью диссертационной работы является теоретическое

исследование анизотропных магнетиков ГейзенОерга со спином 3

Б = -¿г- и в частности Б = 1. Процедура перехода к полуклассическому описанию.магнетика Гвйзенберга строится на основе метода пробных функций с последующей минимизацией "классического" гамильтониана, обобщенных когерентных состояний на группе БЩ2Б+1), учитыващих размерность пространства спиновых состояний. Построены нелинейные уравнения как в действи-. тельной так и в комплексной параметризации и исследованы полученные уравнения описывающие нелинейную динамику ферромагнетиков.

' НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ.

Для перехода от микроскопической (квантовой).модели к макроскопической (классической) используются построенные обобщенные когерентные состояния (ОКС) группы Би(2Б+1).

ОКС группы БЩ4). построены как в действительной, ; так и в комплексной параметризации. Построены гамильтоновы уравнения движения для Би(4) когерентных состояний как б . действительной, так и в комплексной параметризации и найде-. ны .уравнения описывающие' малоамплитудаше 'спиновые' волны' в магнетиках со спином Б > 1.,как с обменной, "так и с одноиои-;

ной анизотропией.

Усреднение квантового гамильтошгана по ЗЩ4) когерентных состояний показало, что сокращение Еектора классического спина происходит как за счет квадрупольного, так и за счет

октупольного взаимодействий.

3

Для Б = -о- магнетиков были найдены классические "вакуумные" состояния соответсвующие для модели Гейзенберга как с обменной, так"и с однотонной анизотропией.

Исследование основного состояния легкоосных магнетиков

3

со спином Б = ~2~ с обменной и одноионной анизотропией при наличии- внешнего магитного поля показало существование двух дополнительных высокочастотных мод колебаний в магногоюм спектре легкоосного магнетика. Показано, что направление внешнего магнитного поля сильно действует на энергетические спектры магнонов.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ.

Построенные в диссертации обобщенные .когерентна состояния на 'группе 511(23+1) могут явиться ' инструментом для ■дальнейшего исследования широкого круга магнетиков о произвольным спином как в комплексной так и в•действительной параметризации. Надо отметить, что обнаруженные дополнительные высокочастотные' моды колебаний в магнонных спектрах 3 > 1 магнетиков могут представлять интерес для физиков - экспере-ментаторов. Полученные в диссертации-слстеш уравнений; опи-сыващие малоамплитудные волны в Б £ 1, моделях магнетиков с -обменной и одноионной анизотропией могув являтся базой для дальнейших исследований различных магнетиков типа СзН1Рэ.

• Основные результаты проведенных исследований доклады-

вались и обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической физики 'ГГУ, на республиканской конференции молодых ученых и специалистов (Курган - Тюбе, 1990), на всесоюзной конференции "Межчастичные взаимодействия в растворах" (Душанбе, 1990), на 28-29 научных конференциях факультета физико - математических и естественных наук УДН им. П.Лумумбы (Москва, 1991 - 1992) и на ежегодной научной апрельской конференции ТГУ (г. Душанбе).

ПУБЛИКАЦИИ.

По теме диссертации опубликованы 7 работ.

СТРУКТУРА РАБОТЫ.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка цитированной литературы из 72 наименовании. Объем составляет 115 страниц печатного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

В введении обсуждается состояние и актуальность проблем рассмотренных в диссертации, сформулирована цель диссертации, кратко изложено содержание работы.

В первой главе постороены обобщенные когерентные состояния группы SU(2S+1), с помощью которих исследуются магнетики с произвольным значением спина S.

ф > = ( 1 + Е 1<|\11) 2 ( Ю> + ¿V» <1>

1=1 1=1

где

Iо> = (о,....1) ; 11> = (0.....1, о,...,о)

I

Построены гамильтоновы уравнения движения на пространстве ср2® = 311(23+1) / 311(28) ® и(1), для произвольного спина Б.

6Н гв - ОН

14\ = ( 1 + I С I (1 + Ч11) — + 2 (аДф, — )]

1=1 1-1 Сф1 )=1 Оф.

' ■ (2)

где

"и

1 ; 3 - 1 о ; 3 = 1

Для полуклассического исследования фэрремагнэ ту:', е Гвй-3

зенберга со спином Б = было построено ОКб группы 311(4) которое соответствует точкам пространства ср,=зи(4)/311(3) » •0(1).

1

I ф > =( 1 +1ф11,+ 1ф21г+1фэ1г ) 2 (10>+ф111 >+фг12>+ф313>)

• (3)

■ » .. . 1 3

Квантовая система со спином Б = -*г живет в 6 - мерном

пространстве спиновых состояний, а гамильтониан усредненный по спиновым когерентным состояниям (КС) группы БЦ(2) описывает ее поведение в некотором двумерном сечении этого пространства. Нетрудно проверить, что это сечение есть . .

ф: «Й

: ^ ; Ф' = К7Т) (4)

На основе рассмотрения соответствующего (3) феймановс-го интеграла построен классический Лагранкиан :

Е ФА - ФА

Ь = lh ———--Н(ф1(ф.)' (5)

1 + £ |<Ь I2

Рассмотрены анизотропные модели Гейзенберга при наличии внешнего магнитного шля с обменной

А А "

Н = -JE ( 8Д..+ б S*S^+AS* ) (6)

и одноионной анизотропией

- - А А .

- Л А

Н - -J Е Г S.S + б S*S" +AS* ) (7) .

. " V) 1*1 ) i ) '

Получено их полуклассическое описание с помощью средних, парных и тройных корреляторов спиновых операторов. Показано, что в отличии от SU(3) версии здесь не только не имеет места закон , сохранения квадрата классического . спина, но и не сохраняется и сумма (S2+q2) т.е.

S2+q2 * const •'

■ а в данном случае имеет место тоздество

S2+q2+f2 = (—)2 . Ш)

где

Б2 = ( <3*><3~> + <8"><3*>) + <Бг32>

АЛ АЛ АЛ АА АА А А д АА ^

q2 = <г~32><ЗгЯ"><323~>+<3~3~>>+ (-д- - <3"32>)

£2 - нелинейная комбинация тройных корреляторов.

Из (8) видно, что сокращение длины классического сшгаа Б происходит как за счет квадрупольного так, и за счет окту-польного взаимодействия соответственно qг, Г2. Показано, что основные состояния легкоосного магнетика есть.

Ф4= Ф2= Фэ= О а легкоплоскостного магнетика есть.

ф, = Ф2 = Я , фэ = Г

и выявленно, что они совпадают с результатами феноменологического описания.

Найдены динамические 'уравнения, описквсгаш дянжику анизотропных ферромагнетиков типа (6) и (7). Для фзоттегнс-тиков типа (6) они'имеют вид :

Ф» = с <23 - А) Ф, - 4- а2 Ф1ЯМ] .

J

ф2 = -=-■[ 6(1 + 0) ф2 - 2 А ф2} . (9)

О

. J

фз = — [ 9(1 + б) фэ -'3 А ф,]

* * О '

Решив систему (9) в виде нелинейных спиновых, (плоских) волн получены магношше спекл и и выявлено существование двух дополнительных высокочастотных мод колебаний зависящих от константы обменной анизотропии (в) и величины магнитного

поля (А) и его направления.

А магнонные спектры ферромагнетиков типа (7) с точ-. ностыо до некоторого численного коэффйциета совпадают с маг-нонными спектрами типа (6).

Во второй главе в качестве инструмента исследования

3

. полуклассического поведения Б = магнетиков и на основе пробных функций, построены когерентные состояния группы БЩ4) в действительной параметризации.

I Ф > ■= е4* е"103У ,ц> (10)

где .... .

1

Q--T

О О О 1

о о о о

о о о о

-1' о о о

а параметр g - характеризует сокращение длины классического спина и октупольного момента, 9, <р - определяют ориентации вектора классического спина, 7 - характерезует вращение октупольного момента вокруг, вектора спина, |й> - референтный вектор. '

В параметризации (10) также имеет место тождество (8). Показано,-что усредненные операторы спина по КС (10) группы SU(4) отличаются от усредненных операторов спина по КС группы SU(3) лишь некоторой константой.

Построен Лагранжиан, соответствующий классическим системам группы SU(4)_.

3

L = — л соз 2g (7 + cos 9 ф ) - Н(ф, 9, 7, g) (11). .

.. Исследовались находящиеся во вношнем магнитном поле:

•Ю.

ферромагнетики типа (6), (7) и получено их полуклассическое описание с помощью средних, парных и тройных корреляторов спиновых операторов.

Получены системы уравнений, которые описывают динамику анизотропных ферромагнетиков типа (6), (7), где для ферромагнетиков' с обменной анизотропией (6) имеют вид :

1 . а

sin 8 ф е -2 öcos 2g cos 9 sin & + a* (cos 2g ви : 4 *

О

, 2

х sin 2g gx 9х-2 cos 2g cos 9 sin 9 ф^-д1 А соз ф cos 6 1 •

-"TT- 9 = a* (cos 2g sin 9 ф x+2 cos 2g cos 9 фх9 - 4 sin 2g *

О X* . x *

2

x sin 9 g^p„) + -g- A sin ф 1

— 7 = -2 cos 2g +a* [(2 sin 2g g^x+4 sin 2g ctg 9 g^9x) +

о ■

■" ' " . ч

- , , 2 cos ф + cos 2g (фх + вх + 4^ - ctg 9 9xx)] - -g- A -i5jrr

4-8=° <12>

о

Если в системе (12) положить g = О. то мы получим известное уравнение Ландау - Лившица.

Линеаризуя систему уравнений (12) вблизи основного состояния и после их решения получим магнонные спектры представляющиеся в. виде.: •

2 3

= (~з~ ао ^ " А) (36 " А + ао r2)

Ö2'= шо (3 ¥ А) (1-3)

где токе существует высокочастотная мода колебаний.

Обнаружено, что при определенных условиях низкочастотная мода колебаний в действительной параметризации ) совпадает с низкочастотной модой в комплексной параметризации, а высокочастотная (ш2) равна разнице двух дополнительных высокочастотных мод колбаний в комплексной параметризации. Аналогичные условия обнаружены также для магнетиков с однои-онной анизотропией типа (7).

Показано, что основные состояния легкоосного магнетика с обменной анизотропией когда А = 38 соответствует значениям:

1с

Ф = 0 , 8 = 0 •, е = -2~,

а вектор спина лежит вдоль ОХ и совпадает с направлением магнитного поля.

В случае когда А = О основное состояние соответствует значениям

е = О, тс , g = о

Основное состояние легкоплоскостного магнетика (ЛПМ) при А = 36 аналогично основному состоянию легкоосного магнетика, а при А = 0 основное состояние (ЛПМ) соответствует значениям g =0, 6 = тс / 2.

Солитонные решения при отсутствии внешнего магнитного поля, когда зависимость от координаты и времени входит в единственную комбинацию £ - VI;; в = в(?-у1;), ф = ф(5-т1;), и граничных условий:

вф I

: . 6 = 0 ' "аГ|е**» <в

представляются в следующем виде:

d<p V 1

cos -g- cos 2$, (14)

de в / 9 7 2 Г

-reo

у~5Г = ztag-g-Kcos'-^- - С-^г-)

m cos которая легко интегрируется.

Например, интегрирование второго уравнения системы (14) дает :

9 (Хао)г \

tag'f-p-) = (-ТГ-) ---=-- (15)

^ 2 v 2ch % (6-vt) - (%ао)

ГД0 V 2ао0)о

Ха0 =' 1 - (-7-)

. ™ . ■ cos 2^

А уравнение для 7 при g = ^ имеет вид

2 1 / t

7 = -у cos g^(£-vt) + ^ ■ ^ - arcth —g- ch 2 +

1 Г ch z sh z 1 - 2b ■ / 1

+ 2ГТРБТ р^ГГГ + ^ K 1Т~ cth z

ch z - 1 к by-b)

где

г = .

Ь = (ха0)2

Заметим что при g=0, первые два уравнения системы (12) переходят в уравнения Ландау - Лифпяща.

В третьей главе первого параграфа исследуется модель

ферромагнетика Гейзенберга с двухосной обменной и одноион-

3

ной анизотропией для Б = -¿г .

А А Л Л А А А А А

Н = -У« БГв" + «ГЭГ. + ^Б.'З")- Тс 6 Б.-Б " +

¿У « 1 )*1 2 ) 3 J ¿Л Г1 ) }

} >

Л А

♦ р^Л (16)<

С помощью ОКС (10) получены динамические уравнения, которые описывают динамику анизотропных ферромагнетиков типа (16), линеаризуя эти уранения, вблизи основного состояния, получим линейную и однородную систему уравнений Решение этой системы, порождает следующие дисперсионные соотношения:

Ч V«1* 2

= + —2— СФЧ+ г.г,-тг <р1+

(17)

2 4.

шх = шоС"3" +

где также существует высокочастотная мода колебаний.

Во втором и третьем параграфе рассмотрены находящиеся во внешном магнитном поле ферромагнетики с обменной анизотропией для Б = 1, где магнитное поле направлено вдоль' оси

(ог) : • '

А А

.А А А А

Н = ^ Е С <5б Э^^+АЗ* ) (18)

и вдоль оси (ОХ) :

Н = -чГ Е.( ¿5.!3.м+ б Б^^+АЗ* ) ; (19)

• Усредняя гамильтониан (18) по обобщенным когерентным состояниям группы БЩЗ) получим ее классический аналог и после варьирования чего получим систему уравнений, описывающие слаболинейные спиновые волны'легкоосного (Б = 1) магнетика с обменной анизотропией, которая в малоамплитудном приближении сведется к системе уравнений вида :

С 26 е4 -45, Ё,- а* е,яГ дд

° (20)

ПГ [4(1+0) 5» - - 2А У

о

а в случае ферромагнетиков с одноионной анизотропией .(19) уравнения движения имеют вид :

44- с-Ф.™ - 4м<+ АУг (и - «5»»* -

о

1е21г)] ■ (21)

■1^= 4" С4(+0)5г - 21* * АУ? (Е4 - {¿Я

О

Исследование системы уравнения (20) и (21) показало, что направление внешнего магнитного поля сильно действует на спиновые волны, смешивающиеся между собой. Естественно это действие отражается на энергетические спектры и это видно из (21), которое имеет решение лишь в. случае А = 0, где учитывается вакуумное состояние / 2.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПОЛУЧЕННЫЕ В ДИССЕРТАЦИИ.

1. Построены обобщенные когерентные состояния (ОКС) группы БЩ2Б+1) для полуклассического описания магнетиков с произвольным значением спина Б.

2. Построены гамильтоновы уравнения движения на основе' ОКС группы БЩ2Б+1).

3. Построены ОКС и гамильтоновы уравнения движения группы

БЩ4) в комплексной и действительной параметризации для по-

3

луклассичэского описания магнетиков со спином Б = Про- . ведено усреднение спиновых операторов'с помощью ОКС и обнаружено, что сокращение классического спина происходит как за счет квадрупольного, так и за счет октупольного взаимодействия.

4. Получены и исследованы классические основные состояния 3

Б = ~2~ магнетиков с обменной и одноионной анизотропией. При исследовании линейных колебаний вблизи основного состояния легкоосного магнетика найдены две дополнительные высокочастотные моды колебаний в комплексной параметризации и одна в действительной, которая при определенных условиях равна разнице двух высокочастотных мод колебаний в комплексной параметризации.

5. Получены уравнения в действительной параметризации,. описывающие динамику феррромагнетиков со спином Б = 3/2. Показано, что эти уравнения в действительной параметризации при отсутствии.октупольного взаимодействия '(£ - О) переходят в уравнения Ландау - Лийдица.

6. Исследованы находящиеся во внешном магнитном поле фер- . . рома гнетшей с двухосной обменной и одноионной шшзогротаей и ,

обнаружена одна дополнительная высокочастотная мода колебаний.

7. Проведено Исследование ферромагнетиков со спином Б = 1 при наличии внешнего магнитного шля,направленные либо вдоль оси (ОХ) либо вдоль (Ог). Показано, что направление внешнего магнитного поля сильно действует на спиновые волны и естественно на энергетические спектры.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ :'

1. Х.О. Абдуллоев, Зияд Рустам, А.Т. Максудов. Полученные

системы уравнений, описывающие динамику спиновых волн маг-

3

нитных систем со спином Б = —. ДАН Тадж. ССР, 1993, № I, том 36.

2. Х.О. Абдуллоев, Зияд Рустам, Ф.Х. Хакимов. Легкоосный

3

магнетик Гейзенберга со спином Б = при наличии внешнего магнитного поля. ДАН Тадж. ССР, 1992, № 7, том 35.

3. Х.О. Абдуллоев, Зияд Рустам, А.Т. Максудов, Х.Х. Муми-

3

нов. Описание магнитной цепочки со спином Б = -у, с обменной анизотропией. Вестник ТГУ, 1991, стр.. 158 - 163.

4. Х.О. Абдуллоев, Зияд Рустам, Ф.Х. Хакимов.Решение системы уравнений с обменной и одноионной анизотропией в одномерном ферромагнитке. в виде стационарных солитонов. УДН, 1992. В сб. тезисы докладов 28-ой научной конференции факультета физико-математических и естественных наук. М. УДК, 1992.

5. Зияд Рустам, А.Т. Максудов, Х.Х. Муминов. Общие динами-

ческие уравнения в пространстве произвольной размерности и легкоосный магнетик с различными значениями спина. Тезисы докладов республиканской конфзренции молодых ученых и специалистов, Курган - Тюбе, 1991, стр. 3.

6. Х.О. Абдуллоев, Зияд Рустам. Обобщенные когерентные состояния (ОКС) группы 8и(2Б+1), В. СБ. тезисы докладов 27-научной конференции факультета физико - математических и естественных наук, (УДН), Москва, 1991.

7. Зияд Рустам, А.Т. Максудов, Х.Х. Муминов. Общие динамические уравнения в пространстве Зи(2Б+1 )/Зи(2Б) * Щ1) и

3

легкоосный магнетик со спином-Б = Вестник ТГУ, 1991, стр. 24. ¿аецАО

0/У1-1883 г. Закаа 60. Тарам 100 м Ротшфшт ТГУ,Душв»бв,у«_П«адт» 2.