Нелинейность Толмена в теории капиллярных волн тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Долгих Антон Владимирович Нелинейность Толмена в теории капиллярных волн

Специальность 01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2007

003064866

Работа выполнена в Воронежском государственном университете Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Б А Зон

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор В И Белявский доктор физико-математических наук, профессор Н Д Вервейко

Ведущая организация

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им проф М А Бонч-Бруевича

Защита состоится " 20 " сентября 2007_г в (J час 40 мин на заседа-

нии диссертационного совета Д 212 038 06 в Воронежском государственном университете по адресу 394000 Воронеж, Университетская пл , д 1

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан

200 ^г

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ -мат наук, профессор

С Н Дрождин

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Изучение структуры, фазовых переходов и свойств поверхностей является важной и интересной задачей, поскольку поверхности, будучи двумерными системами, обладают свойствами, отсутствующими в трехмерном мире Динамической и энергетической характеристикой жидкой поверхности является поверхностное натяжение Эта величина обуславливает протекание многих физических явлений смачивания, коагуляции, катализа, нуклеации, капиллярной конденсации и многих других Само поверхностное натяжение зависит от различных факторов, например, температуры, потенциала межмолекулярного взаимодействия, радиуса кривизны поверхности И если первые два фактора являются хорошо изученными и кажутся достаточно естественными, то зависимость от кривизны далеко не самоочевидна Явным образом эта зависимость была получена Р Толменом почти шестьдесят лет назад [1], но несмотря на это привлекает к себе внимание исследователей и в настоящее время Это объясняется тем, что учет размерной зависимости поверхностного натяжения становится необходимым при решении различных практических и фундаментальных задач [2-4] Например, в теории нуклеации главным параметром является критический размер зародыша, который может возникать в системе Размеры этого зародыша определяются величиной поверхностной энергии, которая при малых размерах зародыша становится достаточно резкой функцией его кривизны Учет размерного фактора важен и при исследовании тепловых флуктуаций на поверхности жидкости В многочисленных экспериментальных и теоретических работах было показано, что эти флуктуации хорошо описываются суперпозицией капиллярных волн и дают значительный вклад в толщину переходного слоя жидкость-пар Исследование свойств и строения межфазной границы жидкость-пар является одной из центральных задач физики конденсированных сред Важнейшая характеристика тепловых флуктуаций на поверхности жидкости - их спектр, так как именно свойствами спектра определяется отклик системы на внешнее воздействие, например, электромагнитное излучение Принимая во внимание, что длины волн флуктуаций очень малы, можно ожидать, что размерные поправки к дисперсионному соотношению (спектру) будут иметь значительную величину

При переходе к квантовой картине тепловых флуктуаций, оказывается, что кванты капиллярных волн, рипплоны1, удовлетворяют статистике Бозе-Эйнштейна Следовательно, капиллярно-волновые флуктуации на поверхности жидкости образуют двумерный Бозе-газ Известно, что в пространственно ограниченном двумерном Бозе-газе возможно образования когерентных состояний В связи с этим представляет интерес

'Квант капиллярных волн, по аналогии с фононом - квантом акустических волн

исследование системы двумерных рипплонов с целью выявления возможности образования такого состояния Такая задача носит фундаментальный характер, а ее актуальность связана с тем, что число доступных для экспериментального исследования двумерных бозонных систем сильно ограниченно, а рипплоны являются объектом, техника экспериментального исследования которого хорошо развита

Цель работы

1 Расчет волнового профиля и дисперсионного соотношения для капиллярных волн с учетом нелинейности Толмена

2 Расчет поверхностной энергии и длины Толмена для кластеров с плотной упаковкой

3 Установление возможности образования когерентных состояний рипплонов на поверхности жидкости

Научная новизна работы

• Впервые получены волновой профиль и дисперсионное соотношение для капиллярных волн с учетом размерной зависимости поверхностного натяжения

• Впервые дана оценка толщины переходного слоя жидкость-пар с учетом размерной зависимости поверхностного натяжения

• Рассчитана поверхностная энергия кластеров с плотной упаковкой с учетом размерных поправок

• Показано, что на поверхности жидкости возможно образование когерентных состояний рипплонов

На защиту выносятся

1 Математическая модель распространения капиллярных волн конечной амплитуды по поверхности идеальной жидкости с учетом нелинейности Толмена

2 Теоретический метод расчета толщины переходного слоя жидкость-пар с учетом нелинейности Толмена

3 Теоретический метод расчета поверхностной энергии кластеров с плотной упаковкой с учетом размерных поправок

4 Теоретический метод расчета волновой функции когерентных состояний рипплонов на поверхности жидкости

Плановый характер работы

Работа выполнена согласно тематическом планам НИР Воронежского госуниверситета, проводимых по заданию федерального агенства по образованию, 0120 0602133 "Исследование нелинейных явлений в малоатомных системах и наноструктурах непер-турбативными методами 0120 0405470 "Исследование распространения звука в нелинейных и нестационарных средах" Работа поддержана грантами 03-02-96400-р2003 цчр_а "Моделирование формирования нанорельефа с учетом нелинейности Толмена" (РФФИ), CRDF и Министерства Образования РФ (VZ-0-10-0)

Апробация работы

Результаты работы докладывались на следующих конференциях V международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002), семинар НОЦ Воронежского госуниверситета (Воронеж, 2003), международной конференции "Ломоносов - 2006"(Москва, 2006), международной конференции "Frontiers of nonlinear рЬуБ1С8"(Нижний Новгород, 2007)

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 9 работ в форме статей и тезисов докладов Из них 4 статьи, 3 в журналах перечня ВАК

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, библиографии и приложения Общий объем диссертации 104 страницы Диссертация содержит 4 таблицы, 11 рисунков и список литературы из 105 названий

Содержание диссертации

В первой главе обобщены сведения о зависимости поверхностного натяжения от радиуса кривизны поверхности (нелинейность Толмена) Описаны существующие методы по расчету длины Толмена - параметра, характеризующего данную нелинейность В результате анализа литературы по данной проблеме установлено, что нелинейность Толмена ранее не рассматривалась в теории капиллярных волн Показано, что учет нелинейности Толмена становится необходимым при рассмотрении капиллярно-волновых флуктуаций на поверхности жидкости Показано, что в теории переходного слоя жидкость-пар толщина переходного слоя является расходящейся величиной в длинноволновом пределе

Во второй главе определяется аналог длины Толмена для поверхностной энергии аргоноподобных кластеров с плотной упаковкой Расчет основывается на данных [5] о структуре и энергии таких кластеров, а аналог длины Толмена вводится также как в [6]

Поверхностную энергию кластера, состоящего из п атомов, введем, следуя [6]

иМ = (л - 1)" - Щп),

где 11(п) - энергия связи всех атомов в кластере, и - энергия связи приходящаяся на один внутренний атом Введем также удельную поверхностную энергию, приходящуюся на единицу площади поверхности

сгЕ = и,18, (1)

где 5- полная поверхность Данная величина похожа по определению и близка по значению к коэффициенту поверхностного натяжения, однако между ними есть различие, так как соответствующее выражение для коэффициента поверхностного натяжения содержит поверхностную часть большого термодинамического потенциала, а не поверхностную энергию Тем не менее, удельная поверхностная энергия сама по себе является физически содержательной величиной Следует отметить, что для веществ с кристаллической структурой значение сгЕ зависит от ориентации участка поверхности по отношению к кристаллографическим осям, однако мы далее будем понимать под и5 и 5 в (1) поверхностную энергию и площадь поверхности кластера в целом, так что се следует рассматривать как некоторую усредненную характеристику, относящуюся ко всей поверхности кластера Площадь поверхности кластера 5, фигурирующая в (1), также требует определенных пояснений Во-первых, кластеры с плотной упаковкой представляют собой, в общем очертании, многогранники, площадь поверхности которых сложным образом зависит от п Во-вторых, сама по себе поверхность кластера является понятием условным, зависящим от выбора межфазной границы, и для малых кластеров, вообще говоря, теряет смысл (более адекватной характеристикой для малых кластеров является, по-видимому, число поверхностных атомов) В диссертации в качестве эффективного значения 5 выбрана площадь сферы с эквимолярным радиусом

Я = г,п1/3,

где г; - радиус Вигнера-Зейтца атомарной ячейки, равный для кубической гранецен-трированной решетки

г,х О 553а,

а - расстояние между атомами в решетке

При анализе зависимости сгЕ от й для малых кластеров, с Я ¡» 5п и меньше, недостаточно учитывать только слагаемое порядка 1/Л, требуется учет слагаемых более

высоких порядков Аппроксимируем сгЕ зависимостью вида

/ту. „ 2<5g , ЪшЕ(28Е - шЕ)\

<гЕ(К) = Oe(oo) 11 - — +-—-1, (2)

где <гЕ(оо) - значение сгЕ для плоской поверхности, дЕ - аналог длины Толмена для стЕ, ыЕ - дополнительный параметр аппроксимации, который связан с характеристиками переходного слоя, и может быть выражен, также как и дЕ, через микроскопические и макроскопические свойства вещества в рамках двухслойной термодинамической модели кластера Результаты аппроксимации для различных интервалов изменения п можно сравнить с результатами аналогичной (но более сложной) аппроксимации, полученные в [6] при обработке данных численного моделирования, проведенного методами молекулярной динамики В данной работе

<rE(oo)a2/s = 1 93 ± 0 03, 6Е/г, = -0 2 ± 0 1, ыЕ/п = 0 56 ± 0 03, в работе [6]

сгЕ(«,)а2/е = 1 9 ± 0 03, óE/r¡ = -0 17 ± 0 07, шЕ/г, = 0 89 ± 0 02

Таким образом найденные значения а-Е(са)а2/е практически совпадают, а 6Е и шЕ близки в обеих работах

Такая близость значений обращает на себя внимание, если учесть, что расчет энергии связи кластеров в [5], результаты которого были использованы нами, и расчет в [6] опирались на совершенно различные модели и различные условия задачи - расчет в [5] соответствует нулевой температуре, тогда как в [6] температура превосходит температуру плавления Отличия моделей ярко проявляются как для малых, так и для больших кластеров Так в пределе малого числа атомов кластеры в [5] представляют собой правильные компактные структуры с максимально возможным числом связей, тогда как в [6] это, напротив, цепочки атомов с минимальным числом связей п - 1 В пределе же большого числа атомов они приводят к разным состояниям вещества в [5] это твердый кристалл, а в [6] - жидкая капля Имеющая место, несмотря на эти различия, близость значений сгЕ(оо), 6Е и шЕ может рассматриваться как свидетельство общих, универсальных закономерностей зависимости поверхностной энергии от размера тела и кривизны поверхности

В главе 3 рассматривается краевая задача о капиллярных волнах с нелинейностью Толмена Решение проводится для случая идеальной жидкости Жидкость занимает область г < г), где t) - вертикальное смещение поверхности (ось г направлена вертикально вверх) Течение жидкости считаем потенциальным Тогда можно ввести потенциал скоростей <p(x,z,t), который будет удовлетворять уравнению Лапласа

А у> = о,

ду> рт = а(оо)

Н д(р

а/ Тг г=0

Система уравнений для капиллярных волн с нелинейностью Толмена в приближении бесконечно малой амплитуды имеет вид

где р - плотность жидкости Эти уравнения записаны с учетом зависимости коэффициента поверхностного натяжения от радиуса кривизны поверхности Я (нелинейность Толмена)

а{К)=а( °°)(1-|). (5)

где а(оо) - коэффициент поверхностного натяжения плоской поверхности

Перейдем в систему координат, движущуюся вместе с волной Этот переход осуществляется заменой переменных £ = х - сг, где с - скорость волны В новой системе координат краевая задача (4) принимает вид

д\ дЬр Г д£ _

Ы;г дгг ' [ д§ дг

, ди> д2ш

<гр— = а(оо)с—-— а(оо)

(6)

д&г

Будем искать периодическое решение (6)

<Р@ = <*>(£ +<*) (7)

в виде

оо оо

г) = £ спепН со «л*£) + £ ^ ш {пЦ\ (8)

п=1 п= 1

где Л - длина волны Очевидно, что соотношение между ^ и с\ зависит только от начальных условий £о<Ль Ь), где хо,(о - некоторые начальные значения координаты и времени Без выбора начальных условий краевая задача имеет бесконечно много решений Поэтому зафиксируем значения коэффициентов $ьСь тем самым полагая начальные условия заданными Без ограничения общности будем считать, что

= С!

Профиль поверхности ((£) может быть представлен в форме, аналогичной (8)

оо со

т = ]>>« СО ф&О + ]Гь„ зш(п^) (9)

У*

®

®

и

X

(р=0 ф=

ф=-27сс

Рис 1 Конформное отображение полуполосы в плоскости г во внутренность единичного

круга в плоскости £

Ограничиваясь первыми двумя гармониками в (8) и (9), для произвольной начальной фазы и амплитуды волны А решение принимает вид

где со - скорость капиллярной волны бесконечно малой амплитуды без нелинейности Толмена (6 = 0) Выразим параметр нелинейности у через амплитуду волны А и длину волны Л

5А

Г = (И)

Отметим, что коэффициент я2 « 9 87 перед нелинейным слагаемым в (10) достаточно большой, следовательно нелинейные эффекты могут быть значительными даже для длин волн Л больших длины Толмена 6

Влияние нелинейности Толмена на скорость волны определяется множителем (1 - -у2) и для достаточно больших значений параметра у нелинейность Толмена может оказывать ощутимое воздействие на дисперсионное соотношение для капиллярных волн

Задача о капиллярных волнах конечной амплитуды с нелинейностью Толмена является существенно более сложной, чем ранее рассмотренный случай волн с бесконечно малой амплитудой Для ее решения можно использовать метод конформных отображений с последующим численным решением получаемых уравнений Везде далее используется система единиц, в которой в качестве единицы длины используется Л/2тг, а в качестве единицы скорости с0

Отобразим конформно полуполосу с шириной равной одной длине волны и ограниченную сверху поверхностью жидкости, на внутренность единичного круга < 1 (Рис 1) Поверхность жидкости отображается на единичную окружность = 1 Следовательно, каждая точка £ = соэб + шпв в плоскости £ соответствует точке

С = соа-72), с0 = (а{оо)к/р)иг,

(Ю)

г = х(в) + Iу(в) в исходной плоскости г, 0 < в < 2л Таким образом, волновой профиль в исходной плоскости может быть задан с помощью двух функций х(0) и у(в) Неизвестные функции х(в) и у{в) удовлетворяют уравнению Бернулли

ml

= 0. (12)

л

dx R1

о

Радиус кривизны определяется следующим соотношением

1 я?у

(13)

R (X'2 +у2)3/2

В формулах (12), (13) штрих обозначает дифференцирование по углу в

Кроме того, х(в) и у(в) являются соответственно вещественной и мнимой частями периодической и аналитической функции в круге < 1 и, следовательно, удовлетворяют соотношению Гильберта

я

х'(в) = -1 + i- j-/(<p) [cot(>/2 - в/2) + cot((p/2 + 0/2)] dtp (14)

о

Интегрирование в (14) проводится по интервалу в е [0, л] Это связано с тем, профиль волны является симметричным и можно ограничиться поиском решения на интервале в € [0, л] Для определенности положим, что 0 = 0 соответствует минимуму, а в = л -максимуму волнового профиля Введем относительную амплитуду

а = *">-*°>. (15)

2л

Окончательно задача формулируется следующим образом требуется найти такие значения скорости волны с и такую функцию у(в) при заданном значении е, которые дают нетривиальное решение уравнений (12)-(15)

В общем случае, решение системы (12)-(15) не может быть получено в аналитическом виде Однако при условии еб «sc 1 оказывается возможным найти решение в виде ряда теории возмущений по параметру S

x(ß) = ХоЩ + <S*i (0), у(в) = уо(0) + 6у М,

с2 = 4+3си (16)

где хо(в),Уо(в),со известны, и представляют решение задачи при ¡5 = О В диссертации получены следующие выражения для первых поправок по 5 к волновому профилю и скорости волны

х,(0) =- i*Vsin(20), (17а)

У\(в) = ijiVcos(2e), (17b)

с, = ^ (17с)

Рис 2 Квадрат скорости волны как функция длины Толмена 5 для значений относительной амплитуды е = 0 1 Точки соответствуют значениям скорости, полученным путем численного решения системы Линия соответствует первому порядку теории возмущений (17с)

На Рис 2 представлен квадрат скорости волны как функция длины Толмена 6, рассчитанный в соответствии с (16), (17), а также полученный путем численного решения системы (12)-(15) Как можно видеть, асимптотическая формула (16) дает достаточно точное приближение для численного решения Чтобы оценить погрешность этой формулы мы можем сравнить значения со и со+&?1 со значением с, полученным из численного решения

До = \с - с0|/с, Д] = |с - с0 - 5с11/с

Для е < 0.1 и -0 1 < <5 < 0 1 имеем

До <0 011, Л, <0 001

Рассчитанный профиль волны также хорошо согласуется с численным решением Поправки к волновому профилю (17а), (17Ь) полностью совпадают с полученными для волн бесконечно малой амплитуды Однако выражения (16), (17с) для скорости волны содержат ненулевые члены линейные по 6 Это различие возникло из-за пренебрежения слагаемым (Уу>)2 в уравнении Бернулли в (4) Данное слагаемое было опущено в предположении малости амплитуды волны Тем не менее можно показать, что выражение (У<р)2 в точности пропорционально г25 и дает соответствующую линейную поправку по 3 в выражении для скорости волны

Для численного решения поставленной задачи перейдем к конечно-разностной записи уравнений (12)-(15) С этой целью возьмем N точек в, на интервале ве [0,7г] и

х(9)

Рис 3 Сравнение волновых профилей со значением относительной амплитуды е = 0 5 и длины Толмена 6 1) <5 = -0 07, 2) 3 = 0, 3) 5 = О 1

будем рассматривать у, = у(вд как независимые переменные Все производные в (12)-(14) заменяем пятиточечными конечно-разностными формулами После дискретизации уравнения (12)-(14) переходят в систему N нелинейных алгебраических уравнений для N переменных у„ г = 1,2 , Л^ Однако имеется еще одна неизвестная величина -скорость волны с Следовательно, для того, чтобы система была разрешима, необходимо добавить еще одно уравнение В качестве этого уравнения используем уравнение (15) В итоге получаем систему N4- 1 нелинейных алгебраических уравнений для N + 1 неизвестных у„ г = 1,2, ,N4 с

Решение этой системы производилось с помощью метода доверительных интервалов, основанного на алгоритме Ньютона, и метода сопряженных градиентов

Все вычисления были проведены для значений относительной амплитуды, лежащих в интервале 01<£<06и значений длины Толмена |<5| < 0 1 (в единицах Л/2л) На Рис 3 представлен волновой профиль для е = 0 5 и д = -0 07, 0, 0 1 Как можно видеть, нелинейность Толмена слабо изменяет волновой профиль Тем не менее, для деформаций профиля выполняется следующее правило для <5 > 0 долины волновых профилей расширяются, а пики становятся уже Для <5 < 0 деформации носят противоположный характер Величина описанных деформаций увеличивается с ростом амплитуды волны Такая зависимость волнового профиля от длины Толмена 5 согласуется с (5) В долинах 1/Л < 0 и из (5) следует, что для 6 > 0 коэффициент поверхностного натяжения увеличивается Это в свою очередь приводит к росту сил поверхностного натяжения, которые расширяют профиль в окрестности долин В окрестности пиков 1 ¡Я > 0, поверхностное натяжение уменьшается (для б > 0) и волновой профиль становится более

и

узким

На Рис 4 изображен квадрат скорости с2 как функция длины Толмена 6 для £ = 03ие = 05 Как можно видеть скорость волны является возрастающей функцией 5 Следует отметить, что в отличие от волнового профиля скорость волны существенно изменяется в зависимости от 5 даже для относительно небольшой амплитуды е

Рис 4 Квадрат скорости волны как функция длины Толмена для относительной амплитуды е = 03 (кривая 1) и е = 0 5 (кривая 2)

В главе 4 рассматриваются теория переходного слоя жидкость-пар в модели капиллярно волновых флуктуации, а также микроскопическая (квантовая) теория капиллярных волн

Рассмотрим систему с межфазной поверхностью в виде квадрата на плоскости х,у с площадью 3=1? Плоская форма поверхности поддерживается гравитационным потенциалом 1/(г) = - г Термически индуцированные флуктуации поверхности в произвольный момент времени могут быть представлены в форме суперпозиции капиллярных волн

п,т

где п,т = 1, N = ЬЦ, I - эмпирическая константа, приблизительно равная ха-

рактеристическому межмолекулярному расстоянию Для оценки пренебрежем зависимостью (5) поверхностного натяжения а(К) от кривизны Тогда работа У/, необходимая

для создания этих флуктуаций, вычисляется по формуле

У/ = аА8= J jdxdy[(i\+g+фi|г-l]

» Н Г С ОхОу + Ф = ^ I; („2 +

и вероятность флуктуации пропорциональна множителю Больцмана ехр(-№/квТ), кв - постоянная Больцмана, а Т - температура среды На основании теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы получаем следующее выражение для среднеквадратичной амплитуды

/д* ) = 4квТ

К ^ апКгА + т1)

Чтобы оценить параметр нелинейности у, определенный в (11), заметим, что он представляет собой характеристическое значение средней кривизны (£<*+йу)/2, умноженное на длину Толмена, следовательно

<Г2>~<52((& + &)2), (18)

где черта сверху означает усреднение по х,у

которое дает

п2б2квт А /, _ тР-бЧвтгк

2_,(» +тг) "

г4

аи ' аЬ* 3

Выражая а через глубину межмолекулярного потенциала е, получаем

Затем, принимая, например, квТ/е ~ 0 5, д/1 ~ 1 получим (у2) ~ 0 5

Очевидно, что эти выражения дают только грубую оценку, т к основной вклад в (-у2) вносит длина волны ~ I, для которой описание в терминах капиллярных волн становится неадекватным Тем не менее, эта оценка предполагает существенную роль рассматриваемой нелинейности в динамике термокапиллярных волн В частности, это означает, что эффективное значение поверхностного натяжения ае// для термокапиллярных волн может существенно отличаться от ог(оо) Действительно, среднее изменение поверхностного натяжения для ансамбля капиллярных волн может быть оценено как

&а/а(оо) ~ Л/<У2>, (19)

и, следовательно, может достигать значений, равных 0 7

В свою очередь, это изменение аец будет приводить к соответствующему изменению среднеквадратичной амплитуды термокапиллярных поверхностных флуктуа-ций [7]

В сумме с толщиной внутреннего профиля <гр , величина которой имеет порядок молекулярного радиуса, сгс дает полную толщину переходного слоя на поверхности жидкости

Значения сг, могут быть получены из экспериментальных данных по отражению рентгеновского излучения жидкими поверхностями [8,9] Достигнутая в настоящее время точность экспериментальных данных составляет около 1 -3%, что намного лучше, чем требуется для того, чтобы найти вышеуказанное изменение эффективного поверхностного натяжения Таким образом, вышеприведенный теоретический анализ, в принципе, является доступным для экспериментальной проверки путем измерения значений а2, и сравнения их с теоретическими значениями Однако на практике достаточно трудно четко выделить вклад нелинейности Толмена, так как он частично скрывается за хорошо известными проблемами выбора подходящих Лтп и сгр

Тем не менее, различие между экспериментальными и теоретическими оценками (без учета нелинейности Толмена), полученными для метанола в [10] оказываются более заметным Соответствующие значения для метанола следующие экспериментальное значение сг, =4 80±0 ОбА, теоретическое значение сгс, вычисленное для ае// = а(ро), <гс = 474 ± 008А, тогда как в (21) дается для сгр » 0 7А, что существенно ниже, чем теоретически ожидаемое значение вблизи молекулярного радиуса гм = 2 52А Авторы работы [10] предположили, что такое различие может быть объяснено большими значениями аге// по сравнению с а(оо), в полном соответствии с нашими рассуждениями С другой стороны, сходные экспериментальные и теоретические оценки для воды и четыреххлористого углерода, проведенные в той же работе не показали никаких отчетливых различий Авторы работы [10] предполагали, что сильная пространственная зависимость поверхностного натяжения и, следовательно, большая разница между аец и а(со) являются характеристическими только для метанола в связи с особой анизотропией его молекул и не столь важны для воды и четыреххлористого углерода с их более изотропными молекулами Последнее предположение также косвенно подтверждается экспериментальными результатами, представленными в [И], которые дают большие значения длины Толмена для метанола, 6/1 ~ 2 7 3 5, чем для воды, 6/1 ~ 1 7 2 8

Рассмотрим далее микроскопическую теорию капиллярных волн на поверхности раздела жидкость-пар Квантовая теория капиллярных волн рассматривалась в многочисленных работах, посвященных изучению строения и свойств поверхности жидкого

(20)

(21)

гелия [12,13] Было установлено, что корреляционная функция капиллярных волн имеет длинноволновую расходимость Наличие это расходимости приводит к тому, что становится невозможной Бозе-конденсация в бесконечной двумерной системе капиллярных волн Это вывод доказан для общего случая двумерного бозонного газа, независимо от конкретного типа частиц [14] Таким образом, длинноволновая расходимость корреляционной функции свидетельствует о том, что мы имеем дело с двумерной системой и, видимо, не имеет серьезных последствий для теории капиллярных волн, а именно для расчета толщины переходного слоя жидкость-пар Однако, если Бозе-конденсация в бесконечной двумерной системе невозможна, то в ограниченной системе такая вероятность существует

Для того, чтобы перейти к квантовой теории капиллярных волн построим полный ортонормированный набор гидродинамических мод в жидкости со свободной поверхностью Пусть невозмущенная жидкость расположена в полупространстве г < О В приближении линейной гидродинамики краевая задача для для звука в жидкости со свободной границей имеет вид [15]

= (22) где х - скорость звука в жидкости Граничные условия на поверхности имеют вид

дг(р(г, I)

ЗА

г=0 Р

(23)

2=0

где VII = д2/дз?+дг/дуг Таким образом, требуется найти полный набор ортонормирован-ных собственных функций, удовлетворяющих (22) и (23) Функцию () будем искать в виде

= (24)

где Гц - вектор в плоскости (х,у), ч - волновой вектор параллельный поверхности, а I - индекс, обозначающий зависимость от г Функции ^/(г) удовлетворяют следующему уравнению

Мд = (25)

с граничным условием

дг

= <26> г=0 аЧ

Решение краевой задачи (25), (26) имеет вид

2хЬ(1

Мг) = -7=<?\ V«?2 + ь2

Мг) = (27)

\1/2

/ иле/

Шф

- т •

р ж = -л + («т2 + &2)1,

= ^-ь*2)' , (28)

ь =

где 1(дк - коэффициент отражения звука от поверхности

~ «Ч-Р + ЪЬ* (29)

Здесь к - г-компонента волнового вектора акустической волны (к> 0) В соответствии со свойствами задачи Штурма-Лиувилля функции ^(г),^(г) образуют полную орто-нормированную систему Как видно, спектр краевой задачи щ содержит две ветви с I = 0 - капиллярную, и с I ф 0 - акустическую

Чтобы проквантовать уравнения движения (22)-(23) введем Фурье-разложение потенциала г)

<р(г,() = '£ет<Ря(ъ*) (30)

ч

Перейдем к формализму вторичного квантования, используя преобразование

Аналогичные разложения для функций ¿'(гц,/) и у(г, <) имеют вид

(32)

ь® = Е + (33)

Ъхф

где е^ - единичный вектор в направлении г

Невозмущенный гамильтониан Я0 в представлении вторичного квантования имеет вид [13]

ч'

Операторы С* р Сч, удовлетворяют известным бозевским коммутационным соотношениям Оператор С* 1 является оператором рождения квазичастицы с волновым вектором Ч и индексом I При I = 0 этой квазичастицой является квант капиллярных волн -рипплон, в случае 1ф О квазичастица является фононом

= (34)

а/ ' '

Рассмотрим теперь возможность образования когерентных состояний рипплонов на поверхности жидкости Под когерентным состоянием здесь понимается такое состояние, которое характеризуется одной волновой функцией с заданной фазой Наличие когерентного состояния в системе можно определить по виду оператора Гамильтона Так, для гармонического осциллятора гамильтониан должен иметь вид [16]

Н = СГС-¡¡{С + С1), (35)

где /3 является с-числом Это гамильтониан смещенного осциллятора Как было показано в [16], когерентное состояние гамильтониана (35) могут быть построены из собственных функций несмещенного осциллятора Будем обозначать это новое состояние как |/3> В качестве определения этого состояния выберем следующее уравнение [16]

С|/3> = ДО), (36)

Щ = е-^У-Ё1|л> (37)

„ У"*

Привести гамильтониан рипплон-фононной системы к виду (35) можно включив какое-либо взаимодействие в этой системе [17] Простейшим и наиболее естественным выбором такого взаимодействия является взаимодействие рипплонов и фононов Взаимодействие фононнной и рипплонной подсистем описывается следующим гамильтонианом, известным в квантовой гидродинамике [13]

со

У)]:

(38)

г=0

6К (х,у) = -Ч\Цх,у).

где И(х,у) - кривизна поверхности Второй член в скобках возникает из-за учета зависимости коэффициента поверхностного натяжения от радиуса кривизны поверхности, то есть нелинейности Толмена С точки зрения возможности образования когерентного состояния рипплонов этот член не несет никакой новой информации однако значительно усложняет решение поставленной задачи, поэтому в дальнейшем мы исключим его из рассмотрения

Полный гамильтониан системы представляет собой сумму невозмущенного гамильтониана Н0 и гамильтониана взаимодействия Нт,

Н = Н0 + НШ (39)

После подстановки (31), (32), (34) и (38) в (39) гамильтониан системы принимает вид суммы произведений трех операторов рождения и уничтожения Наша цель - получить когерентное состояние для рипплонов Когерентное состояние станет возможным, если гамильтониан системы будет иметь вид гамильтониана смещенного осциллятора С

этой целью необходимо в каждом произведении выделить рипплонный оператор Этого можно достигнуть, усреднив гамильтониан по фононным состояниям

Я =<n^|#|n|p, (40)

где |<>, h Ф0 - фононное состояние, содержащее nj, частиц с волновым вектором q; и /i

В результате процедуры усреднения полный гамильтониан рипплон-фононного поля приведется к гамильтониану смещенного осциллятора со следующим значением параметра ß

ßil-1)--gt» (41)

exp \ha>qlkBT\

Явный вид f(q, i) слишком громоздкий и здесь не приводится

Тем самым показано, что в системе, состоящей из рипплонов и фононов возможно образование когерентных состояний С точки зрения квантовой механики когерентное состояние это состояние по свойствам максимально близкое к классическому Экспериментально обнаружить образование когерентного состояния можно при рассеянии излучения на поверхности При этом должны наблюдаться локальные яркие пятна, соответствующие области существования когерентной фазы Еще раз подчеркнем, что образование такого состояния возможно только в пространственно ограниченной области Наблюдение когерентных состояний двумерных бозонов уже было осуществлено для экситонов Тем не менее, число двумерных бозонных систем доступных для наблюдения ограничено Таким образом, может оказаться, что рипплоны будут хорошим объектом для исследования подобных систем

В главе "Заключение" приводятся основные выводы, сделанные на основе полученных в работе результатов

1 На основании характера зависимости поверхностной энергии кластеров с плотной упаковкой от радиуса кластера рассчитан аналог длины Толмена бе для поверхностной энергии Найденные значения 6s близки к результатам, полученным на основании расчета поверхностной энергии кластеров в жидкости Такая близость значений обращает на себя внимание, если учесть, что эти расчеты опирались на совершенно различные модели и различные условия задачи Имеющая место, несмотря на эти различия, близость значений 6Е может рассматриваться как свидетельство общих, универсальных закономерностей зависимости поверхностной энергии от размера тела и кривизны поверхности

2 Построена теория капиллярных волн на поверхности жидкости с учетом нелинейности Толмена Сформулированная краевая задача о капиллярных волнах с нелинейностью Толмена допускает аналитическое решение в виде ряда теории

возмущений только в двух предельных случаях для волн малой амплитуды Л и случая Ад 1 Решение краевой задачи для волн конечной амплитуды было найдено численно Результаты полученные с помощью теории возмущений и путем численного решения совпадают в пределах точности расчета Это позволяет сделать вывод, что использованный численный алгоритм работает правильно Получены волновые профили и дисперсионное соотношение для капиллярных волн с учетом нелинейности Толмена Нелинейность Толмена слабо изменяет волновой профиль Тем не менее, для деформаций профиля выполняется следующее правило для 8 > 0 "долины" волновых профилей расширяются, а "гребни" становятся уже Для 8 < 0 деформации носят противоположный характер Описанные деформации становятся более выраженными для волн с большей амплитудой Скорость волны является возрастающей функцией 8 и, в отличие от волнового профиля, существенно изменяется в зависимости от 8 даже при относительно небольшой амплитуде волны

3 Учитывая зависимость поверхностного натяжения от радиуса кривизны поверхности рассчитана среднеквадратичная амплитуда капиллярно-волновых флуктуации, то есть толщина переходного слоя жидкость-пар Показано, что для некоторых жидкостей (метанол) значения толщины переходного слоя, рассчитанные с учетом нелинейности Толмена, согласуются с экспериментальными значениями толщины лучше, чем аналогичные значения полученные, без учета нелинейности Толмена Однако не для всех жидкостей учет нелинейности приводит к улучшению согласия с экспериментом Это, по-видимому, связано с тем, что при расчете поверхностного натяжения требуется учитывать также специфические свойства межмолекулярного потенциала конкретной жидкости

4 Показано, что в системе рипплонов на поверхности жидкости возможно образование когерентных состояний Образование таких состояний обусловлено взаимодействием рипплонов с фононами Существование когерентной фазы возможно только в ограниченной в пространстве области, что связано с фундаментальными свойствами двумерного бозонного газа

В Приложении приводится подробный вывод процедуры усреднения гамильтониана

рипплон-фононного взаимодействия по фононным состояниям

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1 Долгих, А В Поверхностная энергия кластеров с плотной упаковкой / А В Долгих, Д Л Дорофеев, Б А Зон // Химическая физика -2003 -Т 22 -С 113-115

2 Dolgikh, A V Tolman's nonhnearity of capillary waves / A V Dolgikh, D L Dorofeev, В A Zon // Physical Review E-2003 -V65 -Pp 056311-1-056311-5

3 Долгих, А В Капиллярные волны конечной амплитуды с нелинейностью Толмена / А В Долгих, Д JI Дорофеев, Б А Зон // Известия РАН Серия "Механика жидкости и газа" -2007 -Т 2 -С 148-153

4 Долгих, А В Нелинейная теория капиллярных нановолн / А В Долгих, Д JI Дорофеев, Б А Зон // Полупроводниковые гетероструктуры сб науч тр посвященный памяти Б И Сысоева -Воронеж, 2005 - С 148-153

5 Dolgikh, А V Capillary waves of arbitrary amplitude with Tolman's nonhnearity / A V Dolgikh, D L Dorofeev, В A Zon, A F Klmskikh // Proc International Conf "Frontiers of nonlinear physics" -N Novgorod Inst Appl Phys , 2007 -Pp 141

6 Spitsin, D I Electrohydrostatic instability of liquid metal surface / A V Dolgikh, D L Dorofeev, В A Zon and D I Spitsin // III International Conference "Frontiers of nonlinear physics", June 3-10, 2007, N Novgorod Proceedings -N Novgorod Inst Appl Phys RAS, 2007 -Pp 70-71

7 Долгих, А В Нелинейная теория капиллярных нановолн / А В Долгих // Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2006" Москва, 12-15 апреля 2006 г Тез докл - М Изд-во МГУ - С 105

8 Зон, Б А Эффект Толмена в физике капиллярных явлений / Б А Зон, Д Л Дорофеев, А В Долгих // Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах Материалы семинаров науч -образоват центра - 2003 — С 217-221

9 Dolgikh, А V Tolman's nonhnearity of capillary nanowaves / A V Dolgikh, D L Dorofeev, В A Zon // V International Congress on Mathematical Modelling, September 30-0ctober 6, 2002, Dubna Book of Abstr - 2002 - Vol 1 - P 196

20

Литература

1 Tolman, R С The effect of droplet size on surface tension / R С Tolman // Journal of Chemical Physics - 1949 - Vol 17 - Pp 333 - 337

2 Electrohydrodynamic phenomena on the explosive-emission liquid-metal cathode / L M Baskin, A V Batrakov, S A Popov, D I Proskurovsky // IEEE transactions on Dielectrics and Electrical Insulation — 1995 - Vol 2 — Pp 231-236

3 Microcapillary waves on liquid electrodes m high electric fields / A L Kovalev, L M Baskin, G I Fursey, L A Schorchm // IEEE transactions on Dielectrics and Electrical Insulation - 1995 - Vol 2 - Pp 288-291

4 Zon, В Л On electrohydrostatic instability of liquid metal / В A Zon // Physics Letters A - 2001 - Vol 292 - Pp 203-206

5 Смирнов, Б M Кластеры с плотной упаковкой и заполненными оболочками / Б М Смирнов // УФН - 1993 - Т 163 - С 29-56

6 Жуховицкий, Д И Энергетические характеристики поверхности малых кластеров / Д И Жуховицкий // Журнал физической химии — 2001 — Т 75 — С 1157-1166

7 Роулинсон, Д Молекулярная теория капиллярности / Д Роулинсон, Б Уидом, Под ред А И Русанова — М Мир, 1986 — 376 с

8 Mora, S X-ray synchrotron study of liquid-vapor interfaces at short length scales effect of long-range forces and bending energies / S Mora, J Daillant, К Mecke // Physical Review Letters - 2003 - Vol 90 - Pp 216101-1-216101-4

9 X-ray study of the liquid potassium surface structure and capillary wave excitations / О Shpyrko, P Huber, A Grigoriev et al // Physical Review В — 2003. - Vol 67 — Pp 115405-1-115405-7

10 Capillary waves on the surface of simple liquids measured by x-ray reflectivity / A Braslau, P S Pershan, G Swislow et al // Physical Review A — 1988 — Vol 38 - Pp 2457-2470

11 Stepanov, S V The determination of microscopic surface tension of liquids with a curved interphase boundary by means of positron spectroscopy / S V Stepanov, V M Byakov, О P Stepanova // Russian Journal of Physical Chemistry — 2000 — Vol 74 - Pp S65 - S67

12 Saarn, W F Damping of ripplons m superfluid 4He at t = 0 / W F Saarn // Physical Review A - 1973 - Vol 8 - Pp 1918-1920

13 Saarn, W F Quantization of the hydrodynamic modes m superfluid 4He with a free surface / W F Saarn // Physical Review В - 1975 - Vol 12 - Pp 163-168

14 Hohenberg, P С Existence of long-range order in one and two dimensions / P С Hohenberg // Physical Review - 1967 - Vol 158 - Pp 383-386

15 Ландау, JI Д Теоретическая физика учебное пособие в 10 т / Л Д Ландау, Е М Лифшиц — 4-е, стер изд — М Наука Гл ред физ -мат лит, 1988 — Т VI Гидродинамика — 733 с

16 Glauber, R Coherent and incoherent states of the radiation field / R Glauber // Physical Review - 1963 - Vol 131 - Pp 2766-2788

17 Хакен, X Квантовополевая теория твердого тела / X Хакен, Под ред Г С Жданова — М Наука Гл ред физ -мат лит, 1980 — 341 с

Формат 60x84 1/16 Уел печ л 1.4 Тираж 80 экз Заказ 1698

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул Пушкинская, 3

Введение

1 Обзор литературы

2 Размерная зависимость поверхностной энергии кластеров с плотной упаковкой

3 Капиллярные волны с нелинейностью Толмена

3.1. Капиллярные волны в отсутствии нелинейности Толмена

3.2. Природа нелинейности Толмена.

3.3. Капиллярные волны бесконечно малой амплитуды с нелинейностью Толмена.

3.4. Капиллярные волны конечной амплитуды с учетом нелинейностью Толмена

3.4.1. Капиллярные волны конечной амплитуды в отсутствии нелинейности Толмена (¿) = 0).

3.4.2. Асимптотическое решение для предельного случая

3.4.3. Численное решение и его анализ

4 Микроскопическая теория капиллярных волн с нелинейностью Толмена

4.1. Статистический подход к описанию капиллярных волн на поверхности раздела жидкость-пар.

4.2. Расчет толщины переходного слоя с учетом нелинейности Толмена в приближении капиллярных волн малой амплитуды

4.3. Экспериментальное измерение толщины переходного слоя жидкость-пар.

4.4. Квантование капиллярных волн как задача квантовой гидродинамики

А Усреднение гамильтониана рипплон-фононного взаимодействия

В Иллюстрации

Актуальность темы. Изучение структуры, фазовых переходов и свойств поверхностей является важной и интересной задачей, поскольку поверхности, будучи двумерными системами, обладают свойствами, отсутствующими в трехмерном мире. Динамической и энергетической характеристикой поверхности является поверхностное натяжение. Эта величина обуславливает протекание многих физических явлений: смачивания, коагуляции, катализа, нуклеации, капиллярной конденсации и многих других. Само поверхностное натяжение зависит от различных факторов, например, температуры, потенциала межмолекулярного взаимодействия, радиуса кривизны поверхности. И если первые два фактора являются хорошо изученными и кажутся достаточно естественными, то зависимость от кривизны далеко не самоочевидна. Явным образом эта зависимость была получена почти шестьдесят лет назад, но несмотря на это привлекает к себе внимание исследователей и в настоящее время. Это объясняется тем, что учет размерной зависимости поверхностного натяжения становится необходим при решении различных практических и фундаментальных задач. Например, в теории нуклеации главным параметром является критический размер зародыша, который может возникать в системе. Размеры этого зародыша определяются величиной поверхностной энергии, которая при малых размерах зародыша становится достаточно резкой функцией его кривизны. Учет размерного фактора важен и при исследовании тепловых флуктуаций на поверхности жидкости. В многочисленных экспериментальных и теоретических работах было показано, что эти флуктуации хорошо описываются суперпозицией капиллярных волн и дают значительный вклад в толщину переходного слоя жидкость-пар. Исследование свойств и строения межфазной границы жидкость-пар является одной из центральных задач физики конденсированных сред. Важнейшая характеристика тепловых флуктуаций на поверхности жидкости - их спектр, так как именно свойствами спектра определяется отклик системы на внешнее воздействие (например, облучение электромагнитным излучением). Принимая во внимание, что длины волн флуктуаций очень малы, можно ожидать, что размерные поправки к дисперсионному соотношению будут иметь значительную величину.

При переходе к квантовой картине тепловых флуктуаций, оказывается, что кванты капиллярных волн, рипплоны1, удовлетворяют статистике Бозе-Эйнштейна. Следовательно, капиллярно-волновые флуктуации на поверхности жидкости образуют двумерный Бозе-газ. Известно, что в пространственно ограниченном двумерном Бозе-газе возможно образование когерентных состояний. В связи с этим представляет интерес исследование системы двумерных рипплонов с целью выявления возможности образования такого состояния. Такая задача носит фундаментальный характер, а ее актуальность связана с тем, что число доступных для экспериментального исследования двумерных бозонных систем сильно ограничено, а рипплоны являются объектом, техника экспериментального исследования которого хорошо развита.

Цель работы

1. Расчет волнового профиля и дисперсионного соотношения для капиллярных волн с учетом нелинейности Толмена.

2. Расчет поверхностной энергии и длины Толмена для кластеров с плотной упаковкой.

3. Установление возможности образования когерентных состояний рипплонов на поверхности жидкости.

Квант капиллярных волн, по аналогии с фононом - квантом акустических волн.

Научная новизна работы.

• Впервые получены волновой профиль и дисперсионное соотношение капиллярных волн с учетом размерной зависимости поверхностного натяжения.

• Впервые дана оценка толщины переходного слоя жидкость-пар с учетом размерной зависимости поверхностного натяжения.

• Рассчитана поверхностная энергия кластеров с плотной упаковкой с учетом размерных поправок.

• Показано, что на поверхности жидкости возможно образование когерентных состояний рипплонов.

На защиту выносятся.

1. Математическая модель распространения капиллярных волн конечной амплитуды по поверхности идеальной жидкости с учетом нелинейности Толмена.

2. Теоретический метод расчета толщины переходного слоя жидкость-пар с учетом нелинейности Толмена.

3. Теоретический метод расчета поверхностной энергии кластеров с плотной упаковкой с учетом размерных поправок.

4. Теоретический метод расчета волновой функции когерентных состояний рипплонов на поверхности жидкости.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 работ в форме статей и тезисов докладов. Из них 4 статьи, 3 в журналах перечня ВАК.

Плановый характер работы. Работа выполнена согласно тематическом планам НИР Воронежского госуниверситета, проводимых по заданию федерального агенства по образованию, 0120.0602133 ("Исследование нелинейных явлений в малоатомных системах и наноструктурах непертурбативными методами"), 0120.0405470 ("Исследование распространения звука в нелинейных и нестационарных средах"). Работа поддержана грантами 03-02-96400-р2003цчра "Моделирование формирования нанорельефа с учетом нелинейности Толмена"(РФФИ), CRDF и Министерства Образования РФ (# VZ-0-10-0)

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях: V международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002), семинар НОЦ Воронежского госуниверситета (Воронеж, 2003), международной конференции "Ломоносов - 2006"(Москва, 2006), международной конференции "Frontiers of nonlinear рИузшБ'ЧНижний Новгород, 2007).

Заключение

Сформулируем основные результаты исследований, изложенных в диссертации:

1. На основании характера зависимости поверхностной энергии кластеров с плотной упаковкой от радиуса кластера рассчитан аналог длины Толмена 6Е для поверхностной энергии. Найденные значения 6е близки к результатам, полученным на основании расчета поверхностной энергии кластеров в жидкости. Такая близость значений обращает на себя внимание, если учесть, что эти расчеты опирались на совершенно различные модели и различные условия задачи. Имеющая место, несмотря на эти различия, близость значений 5е может рассматриваться как свидетельство общих, универсальных закономерностей зависимости поверхностной энергии от размера тела и кривизны поверхности.

2. В работе построена теория капиллярных волн на поверхности жидкости с учетом нелинейности Толмена. Сформулированная краевая задача о капиллярных волнах с нелинейностью Толмена допускает аналитическое решение в виде ряда теории возмущений только в двух предельных случаях: для волн малой амплитуды А и случая А6 1. Решение краевой задачи для волн конечной амплитуды было найдено численно. Результаты, полученные с помощью теории возмущений и путем численного решения, совпадают в пределах точности расчета. Это позволяет сделать вывод, что использованный численный алгоритм работает правильно. Получены волновые профили и дисперсионное соотношение для капиллярных волн с учетом нелинейности Толмена. Нелинейность Толмена слабо изменяет волновой профиль. Тем не менее, для деформаций профиля выполняется следующее правило: для 6 > 0 долины еолновых профилей расширяются, а "гребни"становятся уже. Для 6 < 0 деформации носят противоположный характер. Описанные деформации становятся более выраженными для волн с большей амплитудой. Скорость волны является возрастающей функцией 6 и, в отличие от волнового профиля, скорость волны существенно изменяется в зависимости от 5 даже при относительно небольшой амплитуде волны.

3. С учетом зависимость поверхностного натяжения от радиуса кривизны поверхности, рассчитана среднеквадратичная амплитуда капиллярно-волновых флуктуаций, то есть толщина переходного слоя жидкость-пар. Оказалось, что для некоторых жидкостей (метанол) значения толщины переходного слоя, рассчитанные с учетом нелинейности Толмена, согласуются с экспериментальными значениями толщины лучше, чем аналогичные значения полученные, без учета нелинейности Толмена. Однако не для всех жидкостей учет нелинейности приводит к улучшению согласия с экспериментом. Это, по-видимому, связано с тем, что при расчете поверхностного натяжения требуется учитывать также специфические свойства межмолекулярного потенциала конкретной жидкости.

4. Показано, что в системе рипплонов на поверхности жидкости возможно образование когерентного состояния. Существование когерентной фазы возможно только в ограниченной пространственной области. Это условие связано с фундаментальными свойствами двумерного бозонного газа, которым и является газ рипплонов.

1. Бор, Н. Избранные научные труды / Н. Бор. — М.: Наука, 1970. — Т. 1. — 584 с.

2. Лифшиц, Е. М. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. / Е. М. Лифшиц, JI. П. Питаевский. — 3-е, доп. изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978.— Т. V. Статистическая физика, ч. 1.

3. Tolman, R. С. The effect of droplet size on surface tension / R. C. Tolman // Journal of Chemical Physics. — 1949. — Vol. 17. — Pp. 333 337.

4. Blokhuis, E. Fluctuation route to the bending rigidity / E. Blokhuis, J. Groenewold, D. Bedeaux 11 Molecular Physics.— 1999. — Vol. 96. — Pp. 397-406.

5. Molecular dynamics of the surface tension of a drop / M. J. P. Nijmeijer, C. Bruin, A. B. van Woerkom et al. // Journal of Chemical Physics. 1992. - Vol. 96. - Pp. 565 - 576.

6. Haye, M. J. Molecular dynamics study of the curvature correction to the surface tension / M. J. Haye, C. Bruin // Journal of Chemical Physics. 1994. - Vol. 100. - Pp. 556 - 559.

7. Zhukhovitskii, D. I. Molecular dynamics study of cluster evolution in supersaturated vapor / D. I. Zhukhovitskii // Journal of Chemical Physics. 1995. - Vol. 103. - Pp. 9401 - 9403.

8. Zakharov, V. Surface tension of water droplets A molecular dynamics study of model and size dependencies / V. Zakharov, E. Brodskaya, A. Laaksonen // Journal of Chemical Physics. — 1997. — Vol. 107. — Pp. 10675-10683.

9. Zhukhovitskii, D. I. Structural transition in hot small clusters / D. I. Zhukhovitskii 11 Journal of Chemical Physics. — 1999.— Vol. 110.- Pp. 7770 7778.

10. The Tolman length: is it positive or negative? / Y. A. Lei, T. Bykov, S. Yoo, X. C. Zeng // Journal of American Chemical Society.— 2005.-Vol. 127.-Pp. 15346-15347.

11. Blokhuis, E. Pressure tensor of a spherical interface / E. Blokhuis, D. Bedeaux // Journal of Chemical Physics.— 1992.— Vol. 97.— Pp. 3576-3586.

12. Blokhuis, E. Derivation of microscopic expressions for the rigidity constants of a simple liquid—vapor interface / E. Blokhuis, D. Bedeaux // Physica A. 1992. - Vol. 184. - Pp. 42-70.

13. Computer simulation of a gas-liquid surface. Part 1 / G. Chapela, G. Saville, S. Thompson, J. Rowlinson // Journal of Chemical Society, Faraday Transaction. 1977. - Vol. 2. - Pp. 1133-1144.

14. Tail corrections to the surface tension of a Lennard-Jones liquid-vapour interface / E. Blokhuis, D. Bedeaux, C. Holcomb, J. Zollweg // Molecular Physics. 1995. - Vol. 85. - Pp. 665-669.

15. Atkins, K. R. Liquid Helium Films / K. R. Atkins // Physical Review1953,- Vol. 92.- Pp. 1571-1572.

16. Ismail, Л. Capillary waves at the liquid-vapcr interface and the surface tension of water / A. Ismail, G. Grest, M. Stevens // Journal of Chemical Physics. 2006. - Vol. 125. - Pp. 014702-1-014702-10.

17. Triezenberg, D. Fluctuation theory of surface tension / D. Triezenberg, R. Zwanzig // Physical Review Letters.— 1972. — Vol. 28.- Pp. 1183-1185.

18. Weeks, J. Implications of the Triezenberg-Zwanzig surface tension formula for models of interface structure / J. Weeks, W. van Saarlos // Journal of Physical Chemistry. 1989. - Vol. 93. - Pp. 6969-6975.

19. Evans, R. Density functional in the theory of nonuniform liquids / R. Evans // Fundamentals of Inhomogeneous Fluids / Ed. by D. Henderson. New York: CRC, 1992.- Pp. 85-175.

20. Bykov, Т. V. A patching model for surface tension and the Tolman length / Т. V. Bykov, X. C. Zeng // Journal of Chemical Physics. — 1999.-Vol. 111.-Pp. 3705-3713.

21. Mikhin, К. V. Formation of the Ps bubble in liquid media / К. V. Mikhin, S. V. Stepanov, V. M. Byakov // Radiation Physics and Chemistry. 2003. - Vol. 68. - Pp. 415-417.

22. Byakov, V. M. Microscopic surface tension of liquids with curved free boundary studied by positron annihilation / V. M. Byakov, S. V. Stepanov // Radiation Physics and Chemistry. — 2000. — Vol. 58,- Pp. 687-692.

23. Nakanishi, H. Positron and Positronium Chemistry / H. Nakanishi, Y. C. Jean. Amsterdam: Elseveir, 1988. - Vol. 58. - Pp. 687-692.

24. Зон, Б. А. Эффект Толмена в физике капиллярных явлений / Б. А. Зон, Д. JI. Дорофеев, А. В. Долгих // Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах: Материалы семинаров науч.-образоват. центра. — 2003. — С. 217-221.

25. Жуховицкий, Д. И. Позитрониевые микрополости в жидкостях / Д. И. Жуховицкий // Коллоидный журнал. — 2005. — Т. 67. — С. 790 799.

26. Жуховицкий, Д. И. Исследование микроструктуры межфазной поверхности жидкость-газ методом молекулфрной динамики / Д. И. Жуховицкий // ЖЭТФ. 2002. - Т. 121. - С. 396-405.

27. Ландау, JI. Д. Теоретическая' физика: учебное пособие в 10 т. / Л, Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — 4-е, стер. изд. — М: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — Т. VI. Гидродинамика. — 733 с.

28. Dolgikh, А. V. Tolman's nonlinearity of capillary waves / A. V. Dolgikh, D. A. Dorofeev, B. A. Zon // Physical Review E. — 2003.- Vol. 67.- Pp. 056311-1-056311-5.

29. Мандельштам, JI. И. Полное собрание трудов / Л. И. Мандельштам. Л.: АН СССР, 1948. - Т. I. - 352 с.

30. Diffusing light photography of containerless ripple turbulence (in microgravity) / W. B. Wright, S. J. Putterman, W. M. Duval, T. P. Jacobson // Conference and Exhibit on International Space Station Utilization. 1997.- Vol. 107,- Pp. 10675-10683.

31. Aarts, D. G. A. L. Direct visual observation of thermal capillary waves / D. G. A. L. Aarts, M. Schmidt, H. N. W. Lekkerkerker // Science. 2004. - Vol. 304. - Pp. 847 - 850.

32. Sides, S. Capillary waves at liquid-vapor interfaces: A molecular dynamics simulation / S. Sides, G. Grest, M.-D. Lacasse // Physical Review E. 1999. - Vol. 60. - Pp. 6708-6713.

33. Buff, F. P. Interfacial density profile for fluids in the critical region / F. P. Buff, R. A. Lovett, F. H. Stillinger // Physical Review Letters. — 1965.- Vol. 15.- Pp. 621-623.

34. Widom, A. Ripple theory of surface tension in superfluid helium / A. Widom // Physical Review A. 1970. - Vol. 1. - P. 216.

35. Cole, M. W. Width of the surface layer of liquid 4He / M. W. Cole // Physical Review A. 1970. - Vol. 1. - Pp. 1838-1840.

36. Биррелл, H. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени / Н. Биррелл, П. Девис; Под ред. . А. Смородинского. — М: Мир, 1984.- 356 с.

37. Capillary waves on the surface of simple liquids measured by X-ray reflectivity / A. Braslau, P. S. Pershan, G. Swislow et al. // Physical Review A. 1988. - Vol. 38. - Pp. 2457-2470.

38. Mora, S. X-Ray synchrotron study of liquid-vapor interfaces at short length scales: effect of long-range forces and bending energies / S. Mora, J. Daillant, K. Mecke // Physical Review Letters. — 2003. — Vol. 90.- Pp. 216101-1-216101-4.

39. Френкель, . И. Кинетическая теория жидкостей / . И. Френкель.— М: Изд-во АН СССР, 1945. 424 с.

40. Фольмер, М. Кинетика образования новой фазы / М. Фольмер. — М: Наука, 1986.- 208 с.

41. Жуховицкий, Д. И. Энергетические характеристики поверхности малых кластеров / Д. И. Жуховицкий // Журнал физической химии.- 2001.-Т. 75,- С. 1157-1166.

42. Electrohydrodynamic phenomena on the explosive-emission liquid-metal cathode / L. M. Baskin, A. V. Batrakov, S. A. Popov,

43. D. I. Proskurovsky // IEEE transactions on Dielectrics and Electrical Insulation. 1995.- Vol. 2.- Pp. 231-236.

44. Microcapillary waves on liquid electrodes in high electric fields /

45. A. L. Kovalev, L. M. Baskin, G. I. Fursey, L. A. Schorchin // IEEE transactions on Dielectrics and Electrical Insulation. — 1995. — Vol. 2.- Pp. 288-291.

46. Zon, B. A. On electrohydrostatic instability of liquid metal /

47. B. A. Zon 11 Physics Letters A. 2001. - Vol. 292. - Pp. 203-206.

48. Reduction in the surface energy of liquid interfaces at short length scales / C. Fradin, A. Braslau, D. Luzet et al. // Nature. — 2000. — Vol. 403.- Pp. 871-874.

49. Елецкий, А. В. Углеродные нанотрубки / А. В. Елецкий 11 Успехи физических наук. — 1997. — Т. 167. — С. 945 972.

50. Смирнов, Б. М. Кластеры с плотной упаковкой и заполненными оболочками / Б. М. Смирнов // Успехи физических наук. — 1993.-Т. 163.-С. 29 56.

51. Сретенский, Л. Н. Теория волновых движений жидкости / JI. Н. Сретенский.— 2-е, перераб. и доп. изд.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977.— 816 с.

52. Седов, JI. И. Механика сплошных сред / JI. И. Седов. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. — Т. 2. — 536 с.

53. Милн-Томсон, Л. М. Теоретическая гидродинамика / JI. М. Милн-Томсон; Под ред. Н. Н. Моисеева. — М: Мир, 1964. — 655 с.

54. Giessen, А. Е. v. Mean field curvature corrections to the surface tension / A. E. v. Giessen, E. M. Blokhuis, D. J. Bukman // Journal of Chemical Physics. 1998. - Vol. 108. - Pp. 1148-1156.

55. Helfrich, W. Elastic properties of lipid bilayers. Theory and possible experiments / W. Helfrich // Zeitschrift fur Naturforschung C. — 1973.-Vol. 28.-Pp. 693 703.

56. Дубровин, Б. А. Современная геометрия: методы и приложения / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. — 4-е, испр. и доп. изд. М: Эдиториал УРСС, 1998. - Т. 1. - 336 с.

57. Schwartz, L. W. Numerical solution of the exact equations for capillary gravity waves / L. W. Schwartz, J.-V. Vanden-Broeck // Journal of Fluid Mechanics. 1979.- Vol. 95.- Pp. 119-139.

58. Highly nonlinear standing water waves with small capillary effect / W. W. Schultz, J.-M. Vanden-Broeck, L. Jiang, M. Perlin // Journal of Fluid Mechanics. 1998. - Vol. 369. - Pp. 253 - 272.

59. Crapper, G. D. An exact solution for progressive capillary wave of arbitrary amplitude / G. D. Crapper 11 Journal of Fluid Mechanics. — 1957.-Vol. 2.- Pp. 532 540.

60. Wehausen, J. V. Surface waves / J. V. Wehausen, E. V. Laitone // Encyclopedia of Physics.— New York: Springer Verlag, 1960.— Vol. IX.- Pp. 446-778.

61. Stokes, G. G. Mathematical and Physical papers / G. G. Stokes. — Cambridge University Press, 1880. — Vol. 1.

62. Levi-Civita, T. Détermination rigoureuse des ondes permanentes d'empieur finie / T. Levi-Civita // Mathematica Annalen.— 1925.— Vol. 93.- Pp. 264-314.

63. Некрасов, A. И. Точная теория волн установившегося вида / А. И. Некрасов. М.: АН СССР, 1951.- 95 с.

64. Смирнов, В. И. Курс высшей математики: в 4 т. / В. И. Смирнов. — 10-е, стер. изд. — М: Наука. Физматлит, 1974. — Т. 3, 4.1. — 323 с.

65. Quarteroni, A. Numerical mathematics / A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri. — New York: Springer-Verlag, 2000. — 654 pp.

66. Джеффрис, Г. Методы математической физики. Вып. 3 / Г. Джефф-рис, Б. Свирлс; Под ред. В. Н. Жаркова. — М: Мир, 1970. — 344 с.

67. Rowlinson, J. S. Translation of J. D. van der Waals "Structure and thermodynamics of the liquid-vapor interface" / J. S. Rowlinson // Journal of Statistical Physics. 1979. - Vol. 20. - Pp. 197-200.

68. Weeks, J. Structure and thermodynamics of the liquid-vapor interface / J. Weeks // Journal of Chemical Physics.— 1977. — Vol. 67,-Pp. 3106-3121.

69. Bedeaux, D. Correlation functions in the capillary wave model of the liquid-vapor interface / D. Bedeaux, J. Weeks // Journal of Chemical Physics. 1985. - Vol. 82. - Pp. 972-979.

70. Mecke, K. Effective Hamiltonian for liquid-vapor interfaces / K. Mecke, S. Dietrich // Physical Review E. 1999.- Vol. 59.-Pp. 6766 - 6784.

71. Surface structure of liquid metals and the effect of capillary waves: X-ray studies on liquid indium / H. Tostmann, E. DiMasi, P. S. Pershan et al. // Physical Review В.- 1999.- Vol. 59.-Pp. 783-791.

72. X-Ray measurements of noncapillary spatial fluctuations from a liquid surface / M. Fukuto, R. K. Heilmann, P. S. Pershan et al. // Physical Review Letters. 1998. - Oct. - Vol. 81, no. 16.- Pp. 3455-3458.

73. Wavelength dependence of liquid-vapor interfacial tension of Ga / L. Dongxu, Y. Bin, L. Binhua et al. // Physical Review Letters. — 2004.- Vol. 92.- Pp. 136102-1-136102-4.

74. Wertheim, M. Correlations in the liquid-vapor interface / M. Wertheim // Journal of Chemical Physics. — 1976.— Vol. 65.— Pp. 2377-2381.

75. Evans, R. The role of capillary wave fluctuations in determing the liquid-vapour interface / R. Evans 11 Molecular Physics. — 1981.— Vol. 42.- Pp. 1169-1196.

76. John, M. The origin of surface waves / M. John, R. Desai, J. Dahler 11 Journal of Chemical Physics. — 1978. — Vol. 68. — Pp. 5615-5625.

77. Goldstone, J. The origin of surface waves / J. Goldstone, A. Salam, S. Weinberg // Physical Review. 1962. - Vol. 127. - Pp. 965-970.

78. Bernstein, J. Spontaneous symmetry breaking, gauge theories, the Higgs mechanism and all that / J. Bernstein // Reviews of modern physics. 1974. - Vol. 46. - Pp. 7-48.

79. Kohn, W. Two kinds of bosons and bose condensates / W. Kohn, D. Sherrington // Reviews of modern physics. — 1970. — Vol. 42. — Pp. 1-11.

80. Bardeen, J. Theory of superconductivity / J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer // Physical Review. 1957. - Vol. 108. - Pp. 11751204.

81. Боголюбов, H. Собрание научных трудов в 12 т. / Н. Боголюбов. — М.: Наука, 2006. — Т. VI. Равновесная статистическая меаника. — 519 с.

82. X-ray and neutron scattering from rough surfaces / S. K. Sinha, E. B. Sirota, S. Garoff, H. B. Stanley // Physical Review B. 1988. -Vol. 38.- Pp. 2297-2311.

83. X-ray-scattering study of capillary-wave fluctuations at a liquid surface / M. Sanyal, S. K. Sinha, K. G. Huang, B. M. Ocko // Physical Review Letters. 1991. - Vol. 66. - Pp. 628-631.

84. Heilmann, R. K. Quenching of capillary waves in composite wetting films from a binary vapor: An X-ray reflectivity study / R. K. Heilmann, M. Fukuto, P. S. Pershan // Physical Review B. — 2001.- Vol. 63.- Pp. 205405-1-205405-16.

85. X-ray study of the liquid potassium surface: structure and capillary wave excitations / O. Shpyrko, P. Huber, A. Grigoriev et al. // Physical Review B. 2003. - Vol. 67. - Pp. 115405-1-115405-7.

86. Surface Roughness of Water Measured by X-Ray Reflectivity / A. Braslau, M. Deutsch, P. S. Pershan et al. // Physical Review Letters. 1985,- Vol. 54. - Pp. 114-117.

87. Thermal diffuse x-ray-scattering studies of the water-vapor interface / D. K. Schwartz, M. L. Schlossman, E. H. Kawamoto et al. // Physical Review A. 1990. - Vol. 41. - Pp. 5687-5690.

88. Kayser, R. Effect of capillary waves on surface tension / R. Kayser // Physical Review A. 1986. - Vol. 33. - Pp. 1948 - 1958.

89. Saarn, W. F. Damping of Rippions in Superfluid 4He at T = 0 / W. F. Saarn // Physical Review A. 1973,- Vol. 8.- Pp. 19181920.

90. Saarn, W. F. Quantization of the hydrodynamic modes in superfluid 4He with a free surface / W. F. Saarn // Physical Review B. — 1975. — Vol. 12.- Pp. 163-168.

91. Reynolds, M. W. Energy transfer between ripplons and phonons in liquid helium at low temperatures / M. W. Reynolds, I. D. Setija, G. V. Shlyapnikov // Physical Review B.- 1992.- Vol. 46.-Pp. 575-577.

92. Saarn, W. F. Excitations and thermodynamics for liquid-helium films / W. F. Saarn, M. W. Cole 11 Physical Review B. 1975. — Vol. 11.— Pp. 1086-1105.

93. Roche, P. Interpretation of the low damping of subthermal capillary waves (ripplons) on superfluid 4He / P. Roche, M. Roger, F. I. B. Williams // Physical Review B.- 1996.- Vol. 53.-Pp. 2225-2228.

94. Hohenberg, P. C. Existence of long-range order in one and two dimensions / P. C. Hohenberg // Physical Review.— 1967.— Vol. 158,- Pp. 383-386.

95. Андо, Т. Электронные свойства двумерных систем / Т. Андо, А. Фаулер, О. Стерн; Под ред. Ю. В. Шмарцева. — М: Мир, 1985. — 416 с.

96. Хакен, X. Квантовополевая теория твердого тела / X. Хакен; Под ред. Г. С. Жданова. — М: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. — 341 с.

97. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. / JI. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.- Т. I. Механика. 215 с.

98. Марч, Н. Проблема многих тел в квантовой механике / Н. Марч, У. Янг, С. Сампантхар; Под ред. Ю. В. Зубарева, Н. М. Плакиды. — М: Мир, 1969.-496 с.

99. Lee, Т. D. The motion of slow electrons in polar crystal / T. D. Lee, F. E. Low, D. Pines // Physical Review.- 1953.- Vol. 90.-Pp. 297-302.

100. Glauber, R. Coherent and incoherent states of the radiation field / R. Glauber // Physical Review.- 1963.- Vol. 131,- Pp. 27662788.

101. Лифшиц, E. M. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. / Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат, лит., 1978. — Т. IX. Статистическая физика, ч. 2. — 448 с.

102. Давыдов, А. С. Физика твердого тела / А. С. Давыдов. — М: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976.— 639 с.

103. Timofeev, V. В. Collective state of the Bose gas of interacting dipolar excitons / V. B. Timofeev, A. V. Gorbunov // Journal of Applied Physics. 2007. - Vol. 101. - Pp. 081708-1-081708-5.