Нелинейные математические модели схем Костаса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

¡й'^/Н

Юлдашев Марат Владимирович

НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СХЕМ КОСТАСА

01.01.09 - Дискретная математика и математическая кибернетика

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени • ДПР ¿013

кандидата физико-математических наук - -1

Санкт-Петербург 2013

005057697

005057697

Работа выполнена на кафедре прикладной кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научные руководители:

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

профессор ЛЕОНОВ Геннадий Алексеевич

Официальные оппоненты:

кандидат физико-математических наук, доцент КУЗНЕЦОВ Николай Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор ГЕЛИГ Аркадий Хаймович (Санкт-Петербургский государственный университет, заведующий кафедрой теоретической кибернетики)

доктор физико-математических наук, профессор БУРКИН Игорь Михайлович (Тульский государственный университет, заведующий кафедрой математического анализа)

Ведущая организация:

Институт прикладной физики Российской Академии наук

Защита состоится 15 мая 2013 г. в 18 часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.29 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199178, Санкт-Петербург, В. О., 10 линия, дом 33-35, аудитория 74.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.232.29 доктор физико-математических наук, профессор

Актуальность темы. Работа посвящена нелинейному анализу и синтезу математических моделей, описывающих динамику различных схем Костаса.

Классическая схема Костаса была изобретена известным американским инженером компании General Electric Джоном П. Костасом в 1950х годах. Эта схема предназначена для демодуляции сигналов двоичной фазовой модуляции (BPSK) "и восстановления несущей. В настоящее время указанная схема и её модификации широко применяются для цифровой передачи данных в системах телекоммуникаций, глобального позиционирования (GPS), сотовой связи и в компьютерных архитектурах.

Математическое описание и исследование математических моделей схем Костаса является трудной задачей. Прямое описание этих схем приводит к анализу нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений, содержащих как высокочастотные, так и низкочастотные элементы в их правых частях. В настоящее время используются различные классы сигналов, которые еще больше усложняют исследование таких дифференциальных уравнений. Преодоление этих трудностей оказалось возможным на основе разработки методов высокочастотного асимптотического анализа "расщепляющего" высокочастотную и низкочастотную составляющую в математических моделях схем Костаса.

Настоящая работа посвящена построению и анализу математических моделей схем Костаса методом асимптотического высокочастотного анализа.

Цель работы. Целью работы является строгий математический вывод моделей классической схемы Костаса для сигналов общего вида, модификации схемы Костаса для квадратурной модуляции для синусоидальных сигналов и численный анализ указанных схем.

Методы исследования. В работе применялись методы математического анализа и дифференциальных уравнений (анализ рядов Фурье, метод усреднения Крылова-Боголюбова, методы численного решения дифференциальных уравнений).

Результаты, выносимые на защиту.

• Построена нелинейная модель классической схемы Костаса для различных классов сигналов: синусоидальных, импульсных, кусочно-линейных, полигармонических.

• Разработаны эффективный метод численного анализа классической схемы Костаса и программа ЭВМ на его основе.

• Обоснована нелинейная модель для квадратурной схемы Костаса.

Достоверность результатов. Все результаты, полученные в диссертации, строго математически доказаны.

Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут использоваться для анализа устойчивости различных модификаций схем Костаса, позволяют существенно сократить время численного моделирования и определить такие важные характеристики схем, как полоса удержания, полоса захвата, что позволяет существенно сократить время разработки схем Костаса и упростить их анализ.

Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на международных конференциях International Congress on Ultra Modem Telecommunications and Control Systems and Workshops (St.Petersburg, Russia - 2012), IEEE 4th International Conference on Nonlinear Science and Complexity (Budapest, Hungary - 2012), 9th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics (Rome, Italy - 2012), 5-ая российская МультиКонференция по Проблемам Управления (Санкт-Петербург, Россия - 2012), International conference Dynamical Systems and Applications (Kiev, Ukrane - 2012), XII международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, Россия - 2012), IEEE 10-th International Symposium on Signals, Circuits and Systems (Iasi, Romania - 2011), 8th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics (Noordwijkerhout, The Netherlands - 2011), 4th IFAC Workshop on Periodic Control System (Antalya, Turkey - 2010), International Workshop "Mathematical and Numerical Modeling in Science and Technology" (Jyvaskyla, Finland - 2010); на семинарах кафедры прикладной кибернетики СПбГУ и семинарах факультета информационных технологий (Jyvaskyla, Finland).

На полученные в работе результаты были получены положительные заключения от профильных международных компаний, по результатам которых были оформлены патенты [9-10] и свидетельства об интеллектулаль-ной собственности [11-12].

Работа поддержана государственными контрактами в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 20092013 годы

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 19 печатных работах, в том числе: 8 публикаций [1 - 8], опубликованных в изданиях, рекомендованных ВАК РФ; 2 патента и 2 свидетельства на программу ЭВМ.

В работах [1,4,5,14] соавторам принадлежат постановки задач и оценка интегральных слагаемых для разрывных функций, диссертанту при-

надлежат формулировка и доказательство теорем. В работах [2,6,8,18] соавторам принадлежат постановки задач, формулировка и доказательства теорем, диссертанту принадлежит оценка интегральных высокочастотных слагаемых. В работе [13] соавторам принадлежат постановки задач и анализ схемы ФАП, диссертанту принадлежит анализ схемы Костаса. В работах [9,10] соавторам принадлежат постановки задач и описание патента, диссертанту принадлежит формула патента. В работе [11,12] соавторам принадлежат постановки задач и программный код интерфейсов и ввода-вывода, диссертанту принадлежит программный код основного алгоритма. В работах [7,19] соавторам принадлежат постановки задач и вывод характеристик фазового детектора, диссертанту принадлежат вывод и анализ динамической модели. В работе [3] соавторам принадлежат постановки задач, теоретическое обоснование, диссертанту принадлежит построение программной модели.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, списка литературы, включающего 103 наименования, изложена на 80 страницах машинописного текста и содержит 48 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается история исследования схем Костаса, представлен обзор литературы по теме работы, прикладные задачи, которые призваны решать классическая схема Костаса и её модификации, а также описаны подходы к исследованию схем Костаса, применяемые в современной литературе. Приведены статистические данные, подтверждающие актуальность тематики, которой посвящена диссертация. Кроме того, обосновываются научная новизна, практическая и теоретическая ценность результатов работы.

В первой главе описывается математическая модель высокочастотных сигналов и выводятся нелинейный модели классической схемы Костаса и схемы Костаса для квадратурной модуляции (QPSK Костас).

1. Описание блок-схемы классической схемы Костаса.

Классическая схема Костаса для синусоидальных сигналов после переходных процессов изображена на Рис. 1. Она предназначена для восстановления несущей и данных из входного сигнала, полученного двоичной фазовой модуляцией (BPSK). Фазомодулированный входной сигнал имеет следующий вид

m(i) sin(uit),

где m(t) = ±1 — передаваемые данные, asin(ui) — несущая с частотой ш. После переходных процессов частота и фаза синусоидального выхода подстраиваемого генератора (ПГ) совпадают с частотой и фазой несущей. На

Рис. 1. Блок -схема классической схемы Костаса для синусоидальных сигналов несущей и подстраиваемого генератора

нижней ветви (Q) после перемножения сигнала ПГ, сдвинутого по фазе на -90°, на входной фазомодулированный сигнал образуется сигнал следующего вида

Q = sin(0) — m(t) sin(2wi)) = -\m{t) sin(2wi).

^ 2

С инженерной точки зрения высокочастотный сигнал — \m(t) sin(2w£) может быть отфильтрован низкочастотным фильтром (Фильтр 3). Таким образом, после низкочастотной фильтрации сигнал Q позволяет определить момент окончания переходных процессов.

На верхней ветви (I) входной сигнал умножается на выход ПГ

1 = \ (™(t) cos(O) - m(t) cos(2ojî)) = i (m(i) + m(t) cos(2ut)).

Высокочастотная составляющая cos(2wt) также может быть отфильтрована. Так как cos(0) = 1, то на верхней ветви после фильтрации можно получить передаваемые данные m(t). Сигналы обеих ветвей перемножаются и после дополнительной низкочастотной фильтрации образуют управляющий сигнал g(t) для подстройки ПГ. После переходных процессов частота несущей и сигнала ПГ совпадают, и управляющий сигнал g(t) равен константе.

Далее рассмотрен случай до момента синхронизации (Рис. 2), т.е. фазы несущей 9х (t) и ПГ 92{t) различны.

2. Предположения и обозначения.

Введем понятие высокочастотности сигналов f1,2{t) = /1,2(01,2(i)) (где функции /1,2(0) называются формами сигналов) следующим образом: пусть для частот

= èl'2{t)

существует достаточно большое число u>min такое, что на фиксированном

Г®

j(m(t)cos(92(t)-8'(t))-m(t)sin(02(t)+0'(t)))i

m(t)sin(0(t))

Фильтр 1 —

1 sin(9(t)) g(t)

пг Фильтр 2

f

ЕШ

m(t) sin(02(t)-0'(t)>m(t)sin(9(t)+0'(tt

Фильтр 3

Рис. 2. Классическая схема Костаса с ненулевой расфазировкой02(і)-01(і)

интервале времени [О, Т] выполнено

uh2{t) > iomin > О,

(1)

где Т не зависит от итт- Предполагается, что разность частот равномерно ограничена

< Д", V* 6 [0,Т]. (2)

Пусть <5 = wjn, тогда

|wp(t)-wp(r)| < ДП, р = 1,2, \t-r\<5, Vi,r€[0,T],

(3)

где ДП не зависит от ö.

Далее, следуя реализации классической схемы Костаса в GPS [Kaplan and Hegarty, 2006], рассматривается упрощенная схема (Рис. 3), где отсутствуют Фильтры 1, Фильтр 3 и m(t) = 1 в отличии от схемы, изображенной на Рис. 2. Для случая кусочно-дифференцируемых форм сигналов /1,2(0),

fW(t))fWt))

та))

fW(t))

Гэсл

f'(0'(t))fW(t)-9ff)

Фильтр

g(0

Рис. 3. Упрощенная схема Костаса.

которые можно представить в виде рядов Фурье

оо

Р{в) = f + Y.{api сов(гв) + Щ віп(і0)), 9 > О ¿=1

< = ~І Іртв, а? = і / р(0) со8(»0)<й>, ь?^/-„/"(*)*тдае, Р = і,2,

найдем характеристику фазового детектора. Предположим, что для линейного фильтра выполняется

<т(£) = Q0(i) + /7(i_r)^(T)dr, |7(r)-7(i)| =0(<5), |i - т| < 6, Vr, £ Є [О, Т],

(4)

где £(£) — вход фильтра, <т(£) — выход, — импульсная переходная функция с ограниченной производной, — экспоненциально затухающая функция, зависящая от начальных данных фильтра. Из (4) функция д(Ь) имеет следующий вид

і

g(t) = a0(t) +J 7(t - r)/1 {Є\т))!\в\т))

о

f\9\r))f\e\r)-l)dr.

(5)

Рассмотрим блок-схему на Рис. 4. Здесь фазовый детектор (ФД) —

в'Ю

ФД ШіШІ Фильтр

т

Рис. 4. Фазовый детектор и фильтр

нелинейный блок с выходом ip{el(t) - e2(t)) (характеризует работу трех перемножителей); G(t) — выход фильтра.

Пусть фильтры и их начальные данные на Рис. 3 и Рис. 4 совпадают,

тогда

t

G(t) = ao(t) + У 7(i - т^Ит) - e2(r))dr. (6)

о

Рассмотрим 27г-периодическую функцию ір(9) вида

а1 а2 i.00. / М) = ^р + І £ ( (ЛМ? + 5/В2) С0В(»)+

^ (7)

(Л^-Б/Л^іп^) ,

где коэффициенты Л[, выражены через коэффициенты Фурье функции /1,2(0) следующим образом

Л

а и 1

:= '^Г + + <4-і) + ЬЖ+І + &-/)],

т=1 1»1 - оо

?п=1

^2^2 ^ 00 л + ^ + + ^

т=1

2 /о2 і 00

т=1

(8)

где

Г А = 4р, Г б2, к = 4р,

2 І Ь\ к = Ар + 1 2_ І -аі к = 4р+1,

-а\, к = 4р + 2, к ~ | -б2, А; = 4р + 2, ^

1, /с = 4р + 3, [ А: = 4р + 3.

3. Доказана следующая теорема, позволяющая обосновать переход от схемы на Рис. 3 к схеме на Рис. 4.

Теорема 1. Если выполнены (1)-(4), то

\д(і)-С(і)\ = 0(6), УієМ. (10)

4. Характеристики ФД для типовых сигналов.

Ґ-2(в)

<р(в)

о -0.2 -0.4

г—і—і—і—І—І—І—ГТ

- ' ' і ■ '_' '

0 2 4 б 8 10 12 14

0 2 4 б 8 10 12 14

/^) = -2ЕІ3іп (пв),

і=і

^соз{їв), і = 4р, рєм

(їв), 1 = Ар + 2, рЄП0

Ґ'г(0):

<р(0) о

-0.05 -0.1

-і—і—і—і—І—і—г

і , і_і_і—і—і—і-

0 2 4 б 8 10 12 14

0 2 4 6 8 10 12 14

= £ £ етС08 ((2п~1)в)

п=1

оо

№

Ґ-2(в)

о

-0.05 -0.1

і—і—і—і—і—і—г

Е\ЛЛЛЛ1

і '_і_і_і_

0 2 4 б 8 10 12 14

0 2 4 6 8 10 12 14

71=1

/г(0) = -!Е£8іпН

1 Г + і = 4р,

г=1 [о, г = 2р + і, рєм0

Ґ(в)

і2 т :

о

-0.05 -0.1

-т—і—і—і—і—і—г

тт

11_і_і—і_і—і-

0 2 4 б 8 10 12 14

0 2 4 б 8 10 12 14

5. Описание схемы QPSK Costas.

Схема QPSK Costas изображена на Рис. 5. QPSK сигнал на входе m1(t)cos(9l(t))-m2(t)sin(e1(t))

Рис. 5. С^РЭК схема Костаса. схемы имеет следующий вид

т^О соз(611(0) - т^вт^1^))),

где т1,2(£) = ±1 — передаваемые данные, а и соэ(<?1(<)) — несу-

щие. Рассматривается синусоидальный сигнал ПГ сов(02(<)). Входной сигнал и сигнал ПГ полагаются высокочастотными, т.е. дляЯ1^) и в2(Ь) выполняются условия (1)-(3).

На нижней ветви (/) произведение входного сигнала и сигнала ПГ образуют сигнал г/(£)

и1 {Ь) = (т^сов^)) - т2{вт{в\1)))) сов(02(О),

который после фильтрации низко-частотным фильтром (Фильтр 3) формирует сигнал

/(*) = / А(4 - тУ^Т, Jo

где /г.(£ - т) — импульсная переходная функция фильтра. Сигнал /(¿) позволяет определить одну из несущих входного сигнала.

На верхней ветви (<2) произведение входного сигнала и сигнала ПГ, сдвинутого по фазе на —90°, образуют сигнал

и«(£) = (шЧОсоз^1^)) - т2(вт(01(О))) зт(в2(Ь)),

который после фильтрации низко-частотным фильтром (Фильтр 1) формирует сигнал

Q(t)= f h(t-r)uQ{T)dTy

Jo

позволяющий определить вторую несущую. Далее сигналы I(t) и Q(t) проходят через ограничители, образуя сигналы sign(/(í)) и sign(Q(í)), два перемножителя и вычитаются, согласно Рис. 5. Результирующий сигнал, после прохождения через Фильтр 2, образует управляющий сигнал g(t) для корректировки частоты и фазы сигнала подстраиваемого генератора. Фильтр 2, как и в случае с классической схемой Костаса, удовлетворяет условиям (4).

5. Предположения.

Основываясь на применениях схемы QPSK Costas [Kaplan and Hegarty, 2006], рассматривается упрощенная схема (Рис. 6), где m1,2(t) = 1.

cos(0' (t))-sin(0' (t))

Рис. б. Упрощенная схема QPSK Costas Пусть для Фильтров 1 и 2 выполнены условия

Г1 1

/ hit - т) sin(wr)dr = 0(—), Vw > wmin,

Jo ш

Г1 1

/ h(t - т) sin(wr)d,T = sin(wr) + O(-), Vw

Jo w

< Au.

(И)

Рассмотрим блок-схему изображенную на Рис. 6, где Фильтр 2 совпадает с Фильтром на Рис. 4.

Рассмотрим 27г-периодическую функцию ip(0) вида

<р(в) =0.5\/2 sin(0(í)) sign(sin(é>(í))) —

-sin(0(í))sign(sin(0(í)) ^ '

6. Доказана следующая теорема позволяющая обосновать переход от схемы на Рис. 6 к схеме на Рис. 4.

Теорема 2. Если выполнены (1)-(4) и (11) тогда

\g(t) - G(t)\ = 0(6), Vi б [О,Г]. (13)

7. Вывод дифференциальных уравнений.

Выведена система дифференциальных уравнений классической схемы Костаса в пространстве сигналов

X = Ax + bfl{e\t))f\Q\t))f\e\t))f\9\t) -92 = cj2free + Lc*x, (14)

Здесь А — постоянная матрица фильтра, x(t) — вектор состояния фильтра, бис постоянные векторы — параметры фильтра, L — некоторая постоянная, определяющая обратную связь системы, ш2тее — собственная частота подстраиваемого генератора, * — оператор транспонирования.

Выведена система дифференциальных уравнений схемы QPSK Costas

¿i = Агхi + ^(cos^Xcos^1) - sin^1))),

¿2 = А2х2 + 62(sign(cjari)(с^жз) - sign^^c^i)),

¿з = А3х3 + 63(sin(í)2)(cos(01) - sin^1))), (15)

в1=ш\

в1 = W/ree + Lc*2X2,

где j4i,2,3i ^1,2,3. ci,2,3 — параметры фильтров, axii2,3(í) — состояния фильтров.

Выведена система дифференциальных уравнений схем Костаса в пространстве фаз

х = Ах + 6<р(0д),

в а = ш}„е - w1 + Ых, (16)

вл = в2-в1.

где <р (в) — характеристика фазового детектора, зависящая от типа (формы) сигналов.

Основываясь на методе усреднения, обоснована близость решений систем дифференциальных уравнений в пространстве фаз и в пространстве сигналов.

Во второй главе проведено численное моделирование рассмотренных схем Костаса для различных значений параметров в пространстве сигналов и пространстве фаз, подтверждающее теоретические результаты. На Рис. 7 проиллюстрированы результаты моделирования для классической схемы Костаса и QPSK Costas, причем для одних и тех же параметров схем, моделирование в пространстве фаз более чем в 500 раз быстрее моделирования в пространстве сигналов. Также обоснован метод моделирова-

0 24 б 8 10 12 классическая схема Костаса

; управляющим: »¡ сигнал ПГ : \

Ч,..-""......

г-'--.-."] VWWд(,)

моделирование в пространстве сигналов

-----G(í)

моделирование в пространтсве фаз

t - время 0 12 3 4 QPSK Костас

Рис. 7. Численное моделирование схем Костаса.

ния цифровых схем Костаса, пример такого моделирования изображён на Рис. 8.

О 0.4 0.8 1.2 1.6

0.44 0.48 . 0.52 0.56

Рис. 8. Пример моделирование цифровой классической схемы Костаса

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в журналах и изданиях, рекомендованных ВАК.

1. Леонов Г.А., Кузнецов Н.В., Юлдашев М.В., Юлдашев Р.В. Дифференциальные уравнения схемы Костаса // Доклады Академии Наук. 2012. т. 446, вып. 2, С. 149-154.

2. Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Analytical method for computation of phase-detector characteristic // IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs. 2012. Vol. 59, issue 10, P. 633-637.

3. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Neittaanmaki P., Seledzhi S.M., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Nonlinear mathematical models of Costas Loop for general waveform of input signal / IEEE 4th International Conference on Nonlinear Science and Complexity, NSC 2012 - Proceedings. 2012. P. 75-80.

4. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Neittaanmaki P., Seledzhi S.M., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Simulation of phase-locked loops in phase-frequency domain / International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops. 2012. P. 351-356

5. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Nonlinear analysis of Costas loop circuit / ICINCO 2012 - Proceedings of the 9th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. 2012. Vol. 1. P. 557- 560.

6. Леонов Г.А., Кузнецов H.B., Юлдашев M.B., Юлдашев Р.В. Вычисление характеристик фазового для сигналов общего вида // Доклады Академии Наук. 2011. Сер. Математика, т. 84, вып. 1, С. 586-590.

7. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Analytical methods for computation of phase-detector characteristics and PLL design / Proceedings of IEEE 10-th International Symposium on Signals, Circuits and Systems. 2011. P. 7-10.

8. Kuznetsov N.V., Leonov G.'A., Neittaanmaki P., Seledzhi S.M., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. High-frequency analysis of phase-locked loop and phase detector characteristic computation / ICINCO 2011 - Proceedings of the 8th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. 2011. Vol. 1, P. 272-278.

Патенты и свидетельства

9. Кузнецов Н.В., Леонов Г.А., Селеджи С.М., Юлдашев М.В., Юлдашев Р.В. Патент РФ на полезную модель. Модулятор параметров фазового детектора. RU 2449463 С1. 2011.

10. Кузнецов Н.В., Леонов Г.А., Селеджи С.М., Юлдашев М.В., Юлдашев Р.В. Патент РФ на изобретение. Способ для определения рабочих параметров фазовой астоподптройки частоты генератора и устройство для его реализации. RU 11255 U1. 2011.

11.Кузнецов Н.В., Леонов Г.А., Селеджи С.М., Юлдашев М.В., Юл-дашев Р.В. Свидетельство на программу для ЭВМ. Программа для определения и моделирования основных характеристик систем фазовой автоподстройки частоты (MR). №2011613388. 2011.

12. Кузнецов Н.В., Леонов Г.А., Селеджи С.М., Юлдашев М.В., Юлдашев Р.В. Свидетельство на программу для ЭВМ. Программа для определения и модлеирования основных характеристик систем Costas Loop (CLMod). №2011616770. 2011.

Другие публикации

13. Леонов Г.А., Кузнецов Н.В., Юлдашев М.В., Юлдашев Р.В. Фазовая синхронизация в аналоговой и цифровой схемотехнике / Материалы пленарного заседания. СПб:5-ая российская МультиКонференция по Проблемам Управления. 2012. С. 24-31.

14. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Nonlinear analysis of analog phase-locked loop / Proceedings of International conference Dynamical Systems and Applications. 2012. P. 21-22.

15. Юлдашев M.B. Нелинейный анализ схемы Костаса / Тезисы докладов XII международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». 2012. С. 348-350.

16. Юлдашев М.В. Нелинейный анализ устройства двоичной фазовой манипуляции / Материалы 3-й межвузовской научной конференции по проблемам информатики. 2012. С. 457-458.

17. Юлдашев М.В. Вычисление характеристики фазового детектора-перемножителя для двух импульсных сигналов / Материалы 2-й межвузовской научной конференции по проблемам информатики. 2011. С. 389-390.

18. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Neittaanmaki P., Seledzhi S.M., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Nonlinear Analysis of Phase-locked Loop / Abstract of Mathematical and Numerical Modeling in Science and Technology. 2010. P. 4.

19. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Neittaanmaki P., Seledzhi S.M., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Nonlinear Analysis of Phase-locked loop / 4th IFAC Workshop on Periodic Control System. 2010. Vol. 4, PART 1, P. 34-38.

Подписано к печати 08.04.13. Формат 60x84 '/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00. _Тираж 100 экз. Заказ 5760._

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043,428-6919

Санкт-Петербургский Государственный Университет

НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СХЕМ КОСТАСА

01.01.09 - Дискретная математика и математическая

кибернетика

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Леонов Г.А.,

кандидат физико-математических наук,

доцент Кузнецов Н.В.

На правах рукописи

04201356364

Юлдашев Марат Владимирович

Санкт-Петербург 2013

Оглавление

Введение 4

1 Нелинейные модели схем Костаса 7

1.1 Нелинейный анализ анализ и синтез классической схемы Костаса ................................................................7

1.1.1 Описание блок-схемы классической схемы Костаса . . 7

1.1.2 Предположения и обозначения..........................9

1.1.3 Основной результат ......................................13

1.1.4 Характеристики фазового детектора для типовых сигналов ........................................................30

1.2 Нелинейный анализ и синтез QPSK Costas....................32

1.2.1 Описание схемы QPSK Costas............................32

1.2.2 Предположения............................................34

1.2.3 Основной результат ......................................34

1.3 Нелинейный анализ анализ и синтез квадратурной схемы Костаса ................................................................38

1.4 Вывод уравнений схем Костаса..................................39

2 Численный анализ 43 2.1 Моделирование классической схемы Костаса..................43

2.1.1 Описание программной модели..........................43

2.1.2 Результаты моделирования..............................48

2.1.3 Замечание для цифровых схем..........................58

2.2 Моделирование QPSK Costas.................. 61

Выводы 66

Литература 67

Введение

Классическая схема Костаса была изобретена известным американским инженером компании General Electric Джоном П. Костасом в 1950х годах [1,2]. Эта схема предназначена для демодуляции сигналов двоичной фазовой модуляции (BPSK) [3] и восстановления несущей [4-8]. В настоящее время указанная схема и её модификации широко применяются для цифровой передачи данных [9-14] в системах телекоммуникаций [12,15-24] и глобального позиционирования (GPS) [18,25-34], в медицинских имплан-тах [35-37] и других приложениях [38-44].

Несмотря на то, что схема Костаса является нелинейной, в современной литературе, посвященной анализу схем, основанных на фазовой автоподстройке [4-7,40,45-57], главными направлениями являются: анализ упрощенных линейных моделей, линейный анализ цепей, эмпирические правила и численное моделирование [58]. Однако, попытки строго доказать надежность заключений, основанных на инженерных подходах, встречаются достаточно редко [48,50,52,55,59-61]. Хорошо известно, что метод линеаризации и анализ линейный моделей систем управления часто ведет к неверным заключениям: "использование линейный макромоделей может вести к существенно неверным прогнозам важных явлений" [перевод с английского [62]] (см. также контрпримеры к гипотизам Айзермана и Калмана об абсолютной устойчивости [63-67], и эффекты Перрона [68]).

Строгий нелинейный анализ нелинейной схемы Костаса и её модификаций является трудной задачей. Поэтому на практике для анализа схем, основанных на фазовой автоподстройке, широко распространено использование численного моделирования. Но как было отмечено Д. Абрамовичем на пленарном докладе [58], физические модели схем в пространстве сигналов описываются нелинейными системами неавтономных дифференциальных уравнений, что делает полное численное моделирование очень сложным [69,70]. Это обусловлено тем, что требуется одновременно исследовать высокочастотную составляющую входных сигналов схемы и медленно протекающие процессы в пространстве фаз. Таким образом, достаточно малый шаг процедуры численного моделирования не позволяет рассматривать важные переходные процессы для высокочастотных сигналов за разумное время.

Для преодоления обозначенных выше сложностей, был предложен метод [71,72] построения математической модели схем Костаса в пространстве фаз сигналов, описываемой динамической системой нелинейных дифференциальных уравнений. Этот метод позволяет рассматривать лишь медленно меняющиеся сигналы в пространстве фаз. Но для применения метода, требуется определять характеристику фазового детектора (нелинейного элемента, который используется для синхронизации эталонного сигнала и подстраиваемого) [73-83]. Использование результатов анализа математических моделей для определения поведения рассматриваемой физической модели требует строго доказательства [83,84]. Для этого, в свою очередь, естественно применять методы усреднения [85,86].

В целом, требование сходимости в нелинейных неавтономных системах управления со входом [87] для вычисления предельных решений и также открытие скрытых колебаний [67,88-94], (колебаний, которые не могут быть найдены стандартными методами численного моделирования) в нелинейных динамических моделях схем фазовой автоподстройки [67], показали ненадежность применения простых методов моделирования и важность разработки и применения аналитических методов для анализа нелинейных моделей схем Костаса.

Актуальность диссертации, ко всему прочему, подтверждается статистическими данными по количеству публикаций по данной тематике за последние 5 лет (информация взята с сайта www.sciencedirect.com):

• 2008 - 503 публ.

• 2009 - 500 публ.

• 2010 - 512 публ.

• 2011 - 607 публ.

• 2012 - 680 публ.

В настоящее время используются различные классы сигналов, которые еще больше усложняют исследование нелинейных моделей схем Костаса. Настоящая работа посвящена построению и анализу математических моделей схем Костаса методом асимптотического высокочастотного анализа.

1. Нелинейные модели схем Костаса

В данной главе рассматриваются три наиболее широко применяемые на практике схемы Костаса: классическая схема Костаса, QPSK Costas и двухфазная схема. Выводятся нелинейные модели указанных схем и обосновывается вывод динамических систем, соответствующих указанным схемам.

1.1. Нелинейный анализ анализ и синтез классической схемы Костаса

1.1.1. Описание блок-схемы классической схемы Костаса

Классическая схема Костаса для синусоидальных сигналов после переходных процессов изображена на Рис. 1.1. Она предназначенной для восстановления несущей и данных из входного сигнала, полученного двоичной фазовой модуляции (BPSK). Фазомодулированный входной сигнал имеет

Рис. 1.1. Блок схема классической схемы Костаса для синусоидальных сигналов несущей и подстраиваемого генератора.

следующий вид

m(t) sin{eut),

где m(t) = ±1 — передаваемые данные, a sin (ut) — несущая с частотой и. После переходных процессов частота и фаза синусоидального выхода подстраиваемого генератора (ПГ) совпадают с частотой и фазой носителя. На нижней ветви (Q) после перемножения сигнала ПГ, сдвинутого по фазе на —90°, на входной фазомодулированный сигнал, образуется сигнал следующего вида

1 1

Q = ~(m(t) sin(O) - m(t) sin(2ut)) = -~m(t) sin(2ut).

Zà

С инженерной точки зрения, высокочастотный сигнал — \m(t) sin(2cdi) может быть отфильтрован низкочастотным фильтром. Таким образом, после низкочастотной фильтрации сигнал Q позволяет определить момент окончания переходных процессов.

На верхней ветви (/) входной сигнал умножается на выход ПГ

I = -i(m(i) cos(O) - m(t) cos(2ut)) = \ (m{t) + m(t) cos(2a;t)).

Zj Zl

С инженерной точки зрения, высокочастотная составляющая cos(2o;i) может быть отфильтрована. Так как cos(0) = 1, на верхней ветви, после фильтрации можно получить передаваемые данные m(t). Сигналы обеих ветвей перемножаются и после дополнительно низкочастотной фильтрации образуют управляющий сигнал ПГ g(t) для подстройки ПГ по частоте и фазе. После переходных процессов частота и фаза носителя и сигнала ПГ совпадают, и управляющий сигнал g(t) равен нулю.

Далее рассмотрим схему Костаса до момента синхронизации (Рис. 1.2), т.е. в случае, когда фазы несущей dl(t) и ПГ 62{t) различны.

г®

5(ш(1)со8(0Ы(О)-т(1)8т(02(О+01(ф

т(фт(е(0)

у к

вш(92(0) дГО г

ПГ

> г

Фильтр 1

Ь

ш

Фильтр 2

40

Фильтр 3

Рис. 1.2. Классическая схема Костаса с ненулевой расфазировкой 92{Ь) — в1 №

Это значит, что либо начальные частоты несущей и ПГ различны, либо начальные фазы сигналов отличаются на ненулевую величину.

1.1.2. Предположения и обозначения

Введем понятие высокочастотности сигналов /1,2(£) = У"1'2^1'2^)) (функции /1,2(0) называются формой сигнала) следующим образом. Пусть для частот

ы1'2^) = в1'2^)

существует достаточно большое число сотгП такое, что на фиксированном интервале времени [О, Т] выполнено

Ш1,2(!) > Штгп > 0, (1.1)

где Т не зависит от шт1П. Предполагается, что разность частот равномерно ограничена

- и2{Ь)\ < Аш, Ш 6 [0,Т]. (1.2)

Пусть

_ 1

<5 = ь>Лп> (1-3)

(1.4)

тогда

\шр{£)-шр{т)\ <АП,р= 1,2, |£-т| < 8, е [0,Г],

где ДГ2 не зависит от

Далее, руководствуясь применениями классической схемы Костаса [25], рассмотрим упрощенную схему (Рис. 1.3), где отсутствуют фильтры 1 и 3 на схеме изображенной на Рис. 1.2.

/гетто)

/хеш

|-90°|

Г(ешґ№)-т

Фильтр

Рис. 1.3. Упрощенная схема Костаса.

Рассмотрим задачу анализа схемы Костаса для произвольной формы сигналов (примеры различных применений таких сигналов в схемах, основанных на фазовой синхронизации, приведены в [95-100]). Пусть /1,2(в) — ограниченные 27г-периодические кусочно-дифференцируемые функции Такое предположение верно для большинства рассматриваемых классов сигналов (гармонические, импульсные, зуб пилы, полигармонические).

1 Функции с конечным числом точек разрыва первого рода, гладкие на промежутках непрерывности.

Рассмотрим описание таких сигналов в виде рядов Фурье

00

fp(0) = ? + Е (a?cos(i0) +b%sin(i0)),

г=1

< = У1 рте,

qP = - ] fP(e)cos(ie)de, ТГ-тг

Ц = fp(0) 8in(iO)dB, Р= 1,2, в>0.

Соотношение между входом и выходом линейного фильтра согласно [101] имеет следующий вид

<7(f)=aoW + /7(*-T)£(r)dT,

о

b(r)-j(t)\ = 0(6), (L5)

\t-r\< 6, Vr, t G [0,74, где £(t) — вход фильтра, cr(t) — выход, 7(t) — импульсная переходная функция с ограниченной производной, ао(^) ~~ экспоненциально затухающая функция, зависящая от начальных данных фильтра при t = 0.

Из (1.5) следует, что функция g(t) имеет вид

t

g(t)=ao(t)+[ ■y(t-r)f1(e\r))f(e^(r))

{ (1.6)

f(e\T))f(P(T)-l)dT. Рассмотрим блок-схему на Рис. 1.4. Здесь фазовый детектор (ФД) — нелинейный блок с выходом y)(Ql(t) — 92(t)), a G(t) — выход фильтра.

Пусть фильтры и их начальные данные на схемах Рис. 1.3 и Рис. 1.4

совпадают, тогда выход фильтра имеет вид

t

G(t) = ao(t) + Jl{t~ тМе\т) - в2{т))йт. (1.7)

Рис. 1.4. Фазовый детектор и фильтр

Рассмотрим 27г-периодическую функцию ср(9) вида

<№ = + ((¿М? + в1в?)соВ{1в)+

1=1

(1.8)

(А}в!-в}А1)Бш(1е)у

где коэффициенты Лр ВI выражены через коэффициенты Фурье Р'2(9) следующим образом

і "о

А =

ака} 1

оо

т=1

оо

а1Ъ1 1 00

+ Ту [ат (^т+1 ~ Ьт-1) — &т (аш+г ~ ат-і)] >

" 2 Н Н2

2 2 ь

2 ' 2?

т=1

оо

т=1 а2р2 ^ 00

Рт-1 Рт(ат+1ат-|)1 •

771=1

Здесь

а

/с'

А; = 4р,

<

Ъ2к, к = 4р+1, -а|, /с = 4р + 2, -Ъ2к, к = 4р + 3,

Р1 =

Ь2к: к — 4 р, -а2к, /с = 4р + 1, -Й, /с = 4р + 2,

а

7с'

к = Ар + 3.

(1.9)

(1.10)

1.1.3. Основной результат

Следующая теорема позволяет обосновать переход от схемы на Рис. 1.3 к схеме на Рис. 1.4.

Теорема 1. Если выполнены (1.1)—(1.5) тогда

|д(і)-С(і)\=0(6), те [О,Т]. (1.11)

Доказательство. Пусть £ Є [О, Т]. Рассмотрим разность і

ds.

Пусть га Є N U {0} такое, что t Є [m5, (га + 1)6]. Согласно (1.3)

т

га < — + 1. о

(1.12)

(1.13)

Из условия непрерывности следует, что функция 7(t) — ограничена на [0, Т]. Кроме того, функции f1(0),f2(e) и (р(в) ограничены на R. Тогда

верны следующие оценки (ш+1)(5

7(t - s)fl(e\s))f{e\s))!\e\s))f{e\s) - Ї)ds = o(S),

t

(m+l)(5

(1.14)

j j(t - s)ip(e1(s) - e2(s))ds = 0(5). t

Отсюда следует, что (1.12) можно представить в виде g{t) - G{t) =

m р

к=0

2} (1.15)

[kS,(k+l)S\

- <р(в\з) - e\s))

ds + О (6).

Далее, покажем, что на каждом из промежутков [кб, (к + 1)5] соответствующие интегралы равны 0(52), что с учетом (1.71) влечет утверждение теоремы.

Из условий (1.5) следует, что на каждом из промежутков [кб, (к + 1)5] справедливо соотношение

7(t -s)= 7(t - кб) + 0(5), t> s, s £ [кб, (k + 1)5]. (1.16)

Причем данное соотношение выполнено равномерно по i и 0(5) здесь не зависит от к. Тогда, воспользовавшись (1.15), (1.16) и ограниченностью функций ¡1(в),/2(в),(р(в), получим

g(t) - G(t) =

т р г

к=0 [к6,(к+1)6]

-V(e\s)-e\s))

ds + 0(5).

(1.17)

Обозначим

врк(в) = вр(к5) + 9р(кб)(з - кб), р = 1,2. (1.18)

Тогда из условия (1.4) при в € [кб, (к + 1)5] имеем

9р(з)=9р(з) + 0(б). (1.19)

Из (1.2) и ограниченности производной ср(9) на К, имеем

I И^ОО - 92(з)) - <р{01(8) - 92к(з)) |йз = 0(52). (1 20)

По предположению о сигналах, /1,2 (9) — кусочно-дифференцируемы и ограничены. Если /1,2(#) к тому же непрерывны на Ж, то для

fl{fP(s))fHe^.sy)fl(e4s))f((l2is) - f) выполнено

/ /1(91W)/2(e2W)/1(e1W)/2(«2W - \)ds = www {121)

[fc<5,(fc+l)(5]

Лемма 1 и Лемма 2 дают оценку аналогичную (1.21) для случая, когда у /1(0) и /2(#) есть хотя бы одна точка разрыва.

т

Из (1.71) ясно, что ]Г 0(52) = 0(5). Тогда, используя (1.21) и (1.20),

к=О

(1.17) можно переписать следующим образом g(t) - G(t) =

т Г Г

=^7(t-fci) / m^m«))/1^)/^«-*)-

i—п «/ L z

-v^W-**«)

ds + 0(5) =

m г / oo ч

= ^ 7(t-кб) J ]T a) cos (je\{s)) + b) sin (^(s)) J

k~° [Ы,(к+1)б]

3 =1

00 ч ✓ OO 4

a) cos (¿0£(S)) + 6} sin (^(5)) ) ( E S2 cos (№(*)) + b) sin {j9l(s)) )

j=i ' S=i '

OO ч

E cos W - i\) + Щ sin - j!L))

.7 = 1 '

ГШ ~ eli*))

3=

ds + 0(6) .

(1.22)

Введем обозначения для коэффициентов Фурье для /2(в — как в формуле (1-Ю)

2тг

2тг

а2к = - [ f(92 - ^)cos (kß2)dß2 = - [ f2(ß2)cos(kß2 - k-)dß2 = 7Г J 2 IT J 2

а

к = 4p,

— <

b2, fc = 4p+l,

-a2, fc = 4p + 2, -Ь2 fc = 4p + 3,

(1.23)

b2, к = 4p,

-a2, k = 4p+1,

-b2k) £ = 4p + 2,

^ a|, k = 4p+ 3.

Тогда

m p

g(t)-G(t) = J2l(t-kS) /

fc = 0 г» r / 7 , i

oo

£aj cos (j^(s)) + bj sin (^(S)) Es1 cos (Äs)) + sin И(5))

j=i 00

J=1

oo

Es2c°sWM)+sm(i^(S)) Es2cosим)+sin(jeKs))

3=1

3=1

ds + 0(5)

(1.24)

Согласно Лемме 1 можно выбрать достаточно малые интервалы, вне которых функции /1,2(#1,2(i)) непрерывны. Тогда на каждом из промежутков, который не содержит точек разрыва, ряд Фурье функции /х(0) сходится равномерно. Значит, существует такое число М = М{5) > 0, что вне достаточно малых окрестностей точек разрывов f1,2(01,2(t)) сумма первых М

членов ряда приближает исходную функцию с точностью 0(6). Следовательно, используя равенство (1-24) и ограниченность f1,2(0) на R, имеем

g(t) - G(t) =

т Г Г

= D7(t-W) J f(Ol(s))f(el(s))f\ei(s))f(el(s)-l)-

к=О

[кд,{к+Щ

v(el(s) - el(s))

ds + 0(6) =

т Г [ / М ч

= ]Г7 (t-kS) J ^flJcos(^J(5)) +bjsin(^i(s))j

k=0 [fc5,(fc+l)5] j=1

k=0 M

M 4 , M ч

£ a\ cos (гб£(*)) + 6J sin (i0l(s))J ( £ a2 cos + 62 sin

м

S +^sin (j02(S)) ) - - 0\{s))

3=1

¿5 + 0(<5).

(1.25)

Тогда

m r Г M M M M

g(t)-G(t) = ^7(t-k6) / EEEE

fc=0 f, W, ,-.ЧП Lj=l г=1 ¿=1 r-=l

a} cos (^J(s)) + b) sin (¿0j(s)) J (a} cos (гй£(*)) + bj sin (i9l(s) a2 cos (¿02(s)) + b2 sin (^(s))) (a2 cos (гв2к(з)) + p2 sin

(1.26)

Раскрыв скобки, получим

т „ г М М М М

!>-**) / ЕЕЕЕ

к=0 „г,; ,1и1 1 7=1 1=1 1=1 г=1

а) с об (зв\(з)

+ Ь}вт(^(в + а) сое (^(в

+ а) соэ + Ь}вт(^(в + а) соэ («5

+ а) сое (^(в + Ь}вт (з61к(з + а] сое (^(я

+ а] сое (^(в + &)вт

К

ь!

Ь}вт (г0£(в))а?сов (^(в))а?сов (г0£(з)) + )а} сое (г0£(в))Ь? вт (162к(з))а2г сов (г0£(я)) + а,1 сов «(*))&? зт (¿02(*))а2соз (г02(з)) + К сое (¿0£(*))а? соз (¿0^))$ вт К(5)) +

+ а) сое (^£(5

аг со8 (¿0£МКсов (162к(з))а2 СОЗ (г0^)) +

а* сое

(¿0£(в))а?сов (Ш2(8))аг2со8 (г02(*)) + вт (г0£(в))а? соз (/0^5))а?сов (г0?(я)) + зт (г0^(в))а? сов (162к(з))а2г сов (г0£(з)) +

,1

К

а

к к

Ь\

К

вт вт

вт

{101(8))С

1(192(з))$ вт К(5)) + соз (/02(5))/?28т (г02(5)) + 1 (161(8))Р2Г вт К(5)) + ;г0г(в))а?сов (/02(5))&2вт (г02(*)) + з (г0&))Ь?вт (г0^))#вт (г02(*)) + *(г0£(*))Ь?вт (161(8))Я 8т (г02(з)) + а (г0£(в))Ь?вт (¿0^))а2сов (г02(*)) + 1 (¿0^))Ь?вт (/02(5))а?сов (г62к(з)) + п (г0^))Ь?вт (г02(5))/32зт (г02(*)) + 1(^(5))б2зт(/02(5))/?28т(г02(5))^

вт (г0^))< вт (г0£(в))< сов сов вт

(1.27)

¿8 + 0(5).

Заметим, что слагаемые в (1.27) состоят из произведения четырех коэффициентов и четырех тригонометрических функций. Далее, применим формулы произведения синусов и косинусов к каждому из указанных слагаемых,

и воспользуемся леммой 3, учитывая условия высокочастотности (1.1)-(1.3)

и введенные обозначения (1.18). Ясно, что слагаемые в (1.27) аналогичны

и конкретный вид функций (sin или cos) и коэффициентов (а, Ь, а, (5) не

влияют на заключение леммы 3, а следовательно и на ход доказательства.

Рассмотрим к примеру следующее слагаемое полученной суммы: м

Y, a)cos (jel(s)) a] cos {i9lk{s))a2 cos (W2k(s))a2 cos {r92k(s)). (1.28)

3,г,1,г=1

Используя формулы произведения косинусов

cos(^) cos(02) = ^(cos^1 + в2) + cos^1 - в2)), (1.29)

получим м

J2 a] eos (j9l(s))a] cos (¿0¿(s))a? cos (W2k{s))a2 cos (r92k(s)) =

3,i,l,r=1

M 112 2

= E ^^(coeÜÍÍ + ^ + ooeÜÍÍ-i^))

J,l,l,r=1

(cos(^ + r© + cos(^-r©) =

M 112 2

+ cos((i + l)9\ + (-г + r)9¡) + cos((j + Z)0j - (-i + r)02)+ + cos((j + l)0\ + (г - r)02) + cos((i + l)9\ - (г - r)02) + + cos(Ü + + H - r)0l) + cos((j + O^i - H - r)92k)) =

M 112 2 j,i,l,r=l

+ cos((j + O0Í - (г - r)92) + cos ((j + + (г - r)02)).

(1.30)

Найдем интеграл полученного выражения по промежутку [кд, (к + Для этого заметим, что согласно (1.1) выполнено

J cos(ujmins + ijj)ds = О (52) .

[k6,{k+l)S\

Тогда для произвольных натуральных р, q получим

[ 1 / / О(52) / - cos {p{umins + ip))ds =-.

J q pq

[к6,{к+1)5]

Применяя (1.18), имеем

j cos(epk{s))ds = О (ё2) , p = 1,2. [fc5,(fe+l)J]

Учитывая (1.31) и (1.1) имеем оценку

J tfcos (j$P(s))ds = ^p-t p = 1,2. (1

Тогда, проинтегрировав первое слагаемое из (1.30) по промежутку

[кб, (А; + 1)Я],

получим

/J^ а]а}а?а2 / , „ \

Е (U + i)0l + (i + r)el))ds =

[kS,{k+l)S] ^

= " 0(52)

ijlrmax.(j + l,i + r)'

j,i,l,r—1

Так как ряд

уу_1_

ijlг + г)

сходится + I > 2у/]1 и г + г > 2уДг), интегрируя (1.30), получим Г ^ а)а}а}а1 / ,, ч , ч 0

У Е + + +

+ С08(У + " + т)в\) + С08(Ц + - (г - г)в2к) +

= / Е + +

+ С08(У + - (г - г)02) + соз(0' + 0*4 + (г ~ г)е2к))йз + 0(<52) Из (1.2) и леммы 4 следует, что

I Е ^т^ со8(с?+о** + - о® =

[М,(£+1)(5]

М / 1 \ = Е 0(..?|. -г) = 0(52).

Аналогично

Г " аЫа?«?

У Е + - (< - г)е2к)(1з = 0(<52),

/ Е ^т^СО8(0'+^ -(г+г)® ^ =

[Щк+щ

Оставшиеся слагаемые в (1.33) входят в определение (р(в) (1.8).

Заметим, что равенства (1.31) и (1.32) останутся верными, если заменить cos на sin. Тогда

/ £ {{j + l)ei + (i-r)el)ds = 0(ó>),

[ы,(*+!)«]

/ £ ^^MÜ + l)0l-(i-r)el)ds = O(S\ (136)

J £ ±M^sin{{3 + l)el-{i + r)el)ds = 0(S^ [M,(t+i)J] 5'i'f-1;

Ясно, что замена а1'2 на б1'2 и а1 на /31 так же не меняет равенств в (1.36). Таким образом часть слагаемых из (1.27) удовлетворяют равенствам, аналогичным (1.36), а оставшиеся входят в y(s). Теорема доказана. ■

Основные рассуждения следующей леммы вошли в публикации [81, 83,102].

Лемма 1.

Покажем, что можно выбрать достаточно маленькие окрестности точек разрыва /(#(í)), в которые так же попадают и точки разрыва