Нелинейные одно- и двухпараметрические задачи сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла в слое тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Валовик, Дмитрий Викторович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Пенза
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2014
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет»
Нелинейные одно- и двухпараметрические
задачи сопряжения на собственные значения для системы уравнений максвелла в слое
Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
На правах рукописи
Валовик Дмитрий Викторович
СЕН 2014
Пенза - 2014 005552704
005552704
Работа выполнена на кафедре математики и супсркомпьютерного моделирования Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет».
Научный консультант:
Официальные оппоненты:
Ведущая организация:
доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой «Математика и суперкомньютсрное моделирование» ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет» Смирнов Юрий Геннадьевич
Карчевский Евгений Михайлович, доктор физико-математических наук, ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) <]>сдсральный университет» (г. Казань), профессор кафедры «Прикладная математика»;
Тихонравов Александр Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова» (г. Москва), директор Научно-исследовательского вычислительного центра (НПВЦ);
Шестопалов Юрий Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики» (МГТУ МПРЭА) (г. Москва), ведущий научный сотрудник
Институт вычислительной математики (ИВМ) РАН (г. Москва)
Защита состоится 15 октября 2014 г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.43 ФГБОУ ВПО «Московский государственный университета им. М. В. Ломоносова» по адресу: г. Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр. 52, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики.
С диссертацией и авторефератом можно ознакомиться в Научной библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский государственный университета им. N1. В. Ломоносова», а также на официальном сайте факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова: http://es.msu.ru в разделе «Диссертации».
Автореферат разослан сентября 2014 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета ^ у
доктор физ.-мат. наук, профессор Захаров Евгений Владимиров!!
Общая характеристика работы
Актуальность темы
Задачи сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла возникают при изучении распространения электромагнитных волн в неоднородных волноведущих структурах. К таким задачам относится распространение поляризованных ТЕ- и/или TM-волн в плоских диэлектрических слоях и диэлектрических цилиндрических волноводах1 (интерес представляют в том числе и многослойные структуры2).
Задачи для сред с постоянной диэлектрической проницаемостью (слой, круглый цилиндрический волновод и др.) являются классическими в электродинамике и хорошо изучены3. На базе результатов этой теории разработано п функционирует множество волноведущих устройств в тсх-никс СВЧ и оптике.
Начиная с 60-х гг. прошлого века после создания лазера стали активно изучаться электромагнитные явления в нелинейных средах.
Актуальность исследования задач о распространении ТЕ- н/илн TM-волн в нелинейных волноведущих структурах обусловлена двумя обстоятельствами. Во-нервых, разработка новых методов исследования таких нелинейных задач на собственные значения актуальна с математической точки зрения, поскольку отсутствуют общие методы исследования указанного класса задач. В данной диссертации предложен общий метод исследования указанного класса задач. Эти нелинейные задачи сводятся к отысканию собственных значений (значений постоянной распространения), при которых волна может распространяться. Отметим, что рассматриваемые задачи являются нелинейными как но искомым функциям, так и по спектральному параметру (или парс спектральных параметров). Во-вторых, задачи с «простой» геометрией (плоские слои, круглые цилиндрические волноводы) имеют широкие практические приложения1. Центральной проблемой здесь является определение условий существования постоянных распространения. Знание постоянных распространения необходимо при конструировании волноведущих структур.
^хмедиев Н. II., Анкевич А. Солитопы, нелинейные импульсы и пучки. - М.: Физматлит, 2003 ; Шеи И. Р. Принципы нелинейной оптики. - М.: Паука, 19S9 ; Ponatll II.-Б., Stegeman G. I. (editors) Modem problems in condensed matter sciences. Vol. 29. Nonlinear surface electromagnetic phenomena. - North-Holland: Elsevier Science Publishers, 1991.
2Joannopoulos J. D. ct al. Photonic Crystals. Molding the flow of light. - Princctou and Oxford: Princeton University Press, 2008 ; Lourtioz J.-M. ct al. Photonic Crystals. Towards nanoHcalc photonic devices. - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005.
3Адамс M. Введение в теорию оптических волноводов. - М.: Мир, 1984 ; Вайнштейн JI. А. Электромагнитные волны. - М.: Радио и связь, 1988 ; Стрэттон Дж. А. Теория электроыагпегиз-ма. - Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1948.
В последние десятилетия предпринимались попытки обобщения известных результатов линейной теории на случай нелинейных задач. Первые фундаментальные результаты были получены В. М. Елеонским, JI. Г. Оганссьянцем и В. П. Силиным4. Первые математически строгие решения задач сопряжения на собственные значения для ТЕ-волн были нолучены в работах В. С. Серова, Ю. Г. Смирнова, Ю. В. Шестоиало-ва, H.-W. Schürmann'1. Также важные результаты нолучены в работах A. D. Boardman, D. N. Christodoulides, К. М. Leung6. Заметим однако, что общего метода исследования предложено не было, так же как не было получено общих результатов о существовании и локализации собственных значений.
Как известно, в линейной среде ТЕ- и TM-волны распространяются не взаимодействуя. Явление нелинейности приводит к новому, принципиально важному результату: существует режим распространения ТЕ- и TM-волн, в котором ТЕ- и TM-волны, распространяясь каждая со своей постоянной распространения и на своей частоте, взаимодействуют, но сохраняют структуру поверхностных волн, образуя связанную волну. Изучение связанных волн, с одной стороны, интересно с физической точки зрения, поскольку они описывают новые режимы распространения волн в волноведущих структурах, которые, в частности, могут оказаться полезными на практике. С другой стороны, возникает новый класс .математических задач на собственные значения. Постоянные распространения в такой задаче существуют дискретными парами, что соответствует парным собственным значениям, пли двухпараметричсской задаче на собственные значения7. Математические методы исследования таких задач пока также не разработаны.
Взаимодействие между ТЕ- и ТМ-волнамп в нелинейной волноведу-щей структуре с керровской нелинейностью рассматривалось как у нас8,
4EIeonskii Р. N., Oganes'yants L. G., Silin V. P. // Soviet Physics JETP. - 1972. - V. 35, ■V 1. - P. 44-47.
'Смирнов Ю. Г., Куприянова С. H. // Жур. выч. мат. и матсм. физ. - 2004. - Т. 44, 10. -С. 1850-1860 ; Schürmann H.-W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. // Phys. Rev. E. - 1998. -V. 58, № 1. - P. 1040-1050 ; Schürmann H.-W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. // .1. Phys. A: Math. Gen. - 2002. - V. 35, K' 50. - P. 10789-10801 ; Schürmann H.-W., Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu. V. // Phys. Rev. E. - 2005. - V. 71, № 1. - P. 016614-1-10 ; Serov V. S., Shestopalov Yu. V., Schürmann H.-W. // Dokl. Math. - 1999. - V. 60. - P. 742-744 ; Smirnov Yu. G., Valovik D. V. // ISRN Math. Phys. - 2013. - V. 2013. - P. 1-7.
6См., например, Leung К. M. // Phys. Rev. Ii. - 1985. - V. 32, .Y" 8. - P. 5093-5101 ; Joseph R. I., Christodoulides D. N. // Optics Letters. - 1987. - V. 12, № 10. - P. 826-828.
7 Atkinson F. V., Mingarelli A. B. Multiparameter eigenvalue problems. Sturm - LiouvilJc theory. -NW: CRC Press, 2011.
8Елеонский В. M., Оганесьянц JI. Г., Силин В. П. // Успехи физ. наук. - 1972. - Т. 107, ■V 3. - С. 516-518 ; Eleonskii V. М., Oganes'yants L. G., Silin V. P. // Soviet Phys. JETP. -1973. - V. 36, № 2. P. 282 285.
так н за рубежом9. В указанных работах отсутствуют результаты о разрешимости такой задачи. Использование предложенного в диссертации метода позволило доказать существование дискретных пар собственных значений, а также предсказать и теоретически обосновать существование нового волноводного режима для нелинейных волноведущих структур.
Цель работы
Основной целью диссертации является разработка общего математического аппарата для исследования нелинейных одно- и двухпара-метрических задач сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла в слое.
Методы исследования
Проведенные исследования опираются на методы решения краевых задач на собственные значения для уравнений в частных производных; классические результаты теории обыкновенных дифференциальных уравнений; методы теории интегральных уравнении; методы функционального анализа; численные методы исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Научная новизна работы
Результаты работы являются новыми и получены автором лично. В работе предложен и развит новый математический подход, позволяющий исследовать нелинейные одно- и двухнарамегричеекпе задачи сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла. Разработанный подход обладает большой теоретической общностью и позволяет исследовать широкий класс нелинейных задач.
Основные результаты диссертации
Результаты диссертации состоят в следующем:
• предложен и развит новый математический подход - метод интегральных дисперсионных уравнений, позволяющий исследовать нелинейные одно- и двухнарамстричсские задачи сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла;
• введены понятия собственного значения и парных (пли связанных) собственных значений для некоторых классов нелинейных задач сопряжения на собственные значения;
9Воаг(1тап А. Б., Т\уаг<1(т'вИ Т. // Л. Ор1. Бос. Лш. 13. - 1988. - V. 5, .V 2. - Р. 523-528 ; Воаг(1тап А. Б., Ти^агастзЫ Т. // РЬув. Г1ст. А. - 1989. - V. 39, № 5. - Р. 2481-2-191.
• доказаны теоремы об эквивалентности соответствующей однопара-мстричсской задачи сопряжения на собственные значения и дисперсионного уравнения, о существовании и локализации собственных значений, о распределении нулей и периодичности собственных функций в однопарамстрпческих задачах, исследованы некоторые конкретные тины нслннсйностсй, а также связь между решениями нелинейных задач и решениями соответствующих линейных задач;
• доказаны теоремы об эквивалентности соответствующей двухпара-метрпчсской задачи сопряжения на собственные значения и дисперсионного уравнения, о существовании и локализации парных собственных значений в двухнараметричсской задаче, исследована связь между решениями нелинейной задачи и решениями соответствующей линейной задачи, предложены и обоснованы численные методы нахождения приближенных собственных значении;
• в результате исследования найдены новые типы нелинейных волн (ТЕ-, ТМ-, ТЕ-ТМ-волн) в изученных волноведущих структурах.
Теоретическая и практическая ценность
Работа носит теоретический характер. Ее теоретическая значимость заключается в создании н обосновании принципиального нового математического метода для изучения нелинейных спектральных задач теории волноводов. Введены понятия собственного значения и парных собственных значений для некоторых классов нелинейных спектральных задач. Также предложен, обоснован и реализован численный метод нахождения приближенных собственных значений в рассматриваемых задачах. Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях по теории нелинейных спектральных и краевых задач.
Практическая значимость работы состоит в том, что построенный математический аппарат позволил доказать существование нелинейных режимов распространения электромагнитных волн и предсказать существование новых типов нелинейных волн.
Обоснованность и достоверность результатов
Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается корректной постановкой задач, применением строгих математических методов, полными математическими доказательствами, сравнением результатов с простейшими модельными задачами.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:
• семинаре кафедры физики Osnabrück University, руководитель -проф. H.-W. Schürmann (Германия, г. Оснабрюк, 2010, 2011);
• семинаре но электродинамике факультета ВМК, МГУ им. М. В. Ломоносова, руководители проф. Е. В. Захаров и проф. А. С. Ильинский (Россия, г. Москва, 2012);
• семинаре кафедры «Прикладная математика» Казанского (Приволжского) федерального университета, руководитель - проф. Н. Б. Пле-щинскнй (Россия, г. Казань, 2013);
• семинаре кафедры Elcctrical, Electronic, and Communication Engineering университета Chuo, руководитель - проф. К. Kobayashi (Япония, г. Токио, 2013);
• семинаре кафедры Elcctrical Engineering университета Nilion, руководитель - проф. Т. Yamasaki (Япония, г. Токио, 2013);
• семинаре Computational and Applied Mathematics университета Chalmers, руководитель - проф. S. Larsson (Швеция, г. Гстеборг, 2013);
• семинаре «Вычислительная математика н приложения», Институт вычислительной математики РАН, руководитель - чл.-корр. РАН, проф. Е. Е. Тыртышииков (Россия, г. Москва, 2013);
• научно-методологическом семинаре НИВЦ МГУ им. М. В. Ломоносова, руководитель - д.ф.-м.н., проф. А. В. Тихонравов (Россия, г. Москва, 2013);
• семинаре, руководимом акад. РАН, проф. В. А. Ильиным и акад. РАН, нроф. Е. И. Моисеевым (факультет ВМК, МГУ им. М. В. Ломоносова, Россия, г. Москва, 2013);
• международных конференциях «Days on Diffraction» (Россия, 1'. Санкт-Петербург, 2007, 2011, 2013);
• 13-й и 14-й международных конференциях «Mathematical Methods in Electromagnetic Theory» (Украина, г. Киев, 2010; г. Харьков, 2012);
• международных конференциях «Progress in Electromagnetic Research Symposium» (Китай, г. Сучжоу, 2011; Малайзия, г. Куала Лум-пур, 2012; Россия, г. Москва, 2012);
• международном семинаре «Workshop on Largc-Scale Modeling» (Швеция, г. Сунне, 2012);
• международной конференции «International Symposium on Electromagnetic Theory» (Япония, г. Хнрошнма, 2013).
Работа была поддержана грантами РФФИ (.V 06-07-89063а, 20082009; № 12-07-97010-р_А, 2012-2013; № 11-07-00330-А, 2011-2012), ФЦП
7
(Л* 2.1.1/1647, 2009-2011; № 14.В37.21.1950, 2012-2013), программы ^эЬу (2012-2013, Швеция), Грантами Президента РФ (МК-2074.2011.1, 20112012; МК-90.2014.1, 2014-2015).
Публикации
Основные результаты диссертации отражены в 29 научных работах (2 монографии; 27 статей, из них 7 публикаций без соавторов). Все указанные статьи опубликованы в реферируемых журналах (статьи [3-25] опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК РФ, в которых рекомендуется публиковать основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук), обе монографии также прошли рецензирование. В совместных работах профессору Ю. Г. Смирнову принадлежит первоначальная постановка задач, аспирантам Е. В. Зарембо и Е. Ю. Смолькину - программная реализация некоторых численных методов, Д. В. Валовику - получение конкретных результатов и их доказательства.
Структура и объем работы
Диссертация изложена на 155 страницах, включающих 11 рисунков, и состоит из введения, трех глав, списка литературы, содержащего 127 наименований, и четырех приложений.
Краткое содержание работы
Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель и дан обзор работ по теме исследований, изложено краткое содержание и сформулированы основные результаты диссертации.
В главе 1 исследуется нелинейная однопараметричсская задача сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла, оннсывающая распространение поверхностных электромагнитных ТЕ-волн в слое, диэлектрическая проницаемость которого является произвольной функцией от модуля напряженности электрического поля.
Рассматриваются монохроматические ТЕ-волны Ее~гш(, Не~,ш<, распространяющиеся вдоль границы однородного, изотропного, немагнитного диэлектрического слоя Е := {(ж, у, г) е М3 : 0 ^ х ^ /¿}, здесь
Е = (0, Еу, 0)т, Н = (Нх, О, Н,)т— (1.1)
комплексные амплитуды; ш - круговая частота.
Слои £ расположен в декартовой системе координат Охуг между двумя полупространствами х < 0 и х > Н. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянные
диэлектрические проницаемости £i J: £q и £3 ^ £0 соответственно, где £о > 0 - диэлектрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду fi = Цо, где /хо >0 — магнитная проницаемость вакуума.
Диэлектрическая проницаемость £ волновода И описывается следующим выражением: е = е2 + Д|Е|2), где £г > max(ei, £3), /бС1 [0, +ос), /(s2) ^ 0 и /(0) = 0.
Комплексные амплитуды (1.1) удовлетворяют стационарным уравнениям Максвелла
rot H = —iweЕ,
(1.2)
rotE = гш/iH, ;
условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границах раздела сред х = 0, х = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле затухает как 0(|ж|-1) при |а:| —> оо.
Доказано, что компоненты ТЕ-волн, распространяющихся вдоль границы слоя имеют представление
Еу = E„(a:)ei72, Нх = Y{x(x)eilz, Я, = Hz{x)élz, (1-3)
где 7 - неизвестный (действительный) спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).
Обозначим А-ц := ur/4)£о- Подставляя компоненты (1.3) в систему (1.2), выполняя нормировку в соответствии с формулами х = кцх, S = 7 = ëj = = 1.2,3), обозначая Y(x) := Еу(х) и
опуская значок тильды, получаем
Y"(x) = (j2-s)Y(x), (1.4)
где
£i, х < 0;
£ = £2 + f(Y2), О^х^ h; (1.5)
гз, х > h.
Функция Y дифференцируема так, что
Y{x) б С\-оо, +00) п С2(—оо, 0) п С2(0, h) П C2(h, +00). (1.6)
Условия сопряжения для функции Y следуют из условий непрерывности касательных компонент электромагнитного поля и имеют вид
MUo = 0, MU = 0, [y']U = 0, [Y']\x=h = о, (1.7) .'Ac[/lU0 = xUm_o/(x-)- Jm+o/(x).
Определение 1.1. Число 7 = 7 такое, что при фиксированном значении У(0) ^ 0 (без потери общности можно считать Y(0) > 0) существует не равная тождественно нулю функция Y(x; 7), которая удовлетворяет уравнению (1.4), условиям (1.6), (1.7) и затухает как 0(|а.'|-1) при |ж| —» оо, будем называть собственным значением, а функцию У (ж; 7), соответствующую этому собственному значению, собственной функцией.
Задача Ре'- доказать существование собственных значений 7, удовлетворяющих определению 1.1.
Разыскиваются такие положительные значения 7, что справедливо max(ei,£3) < 72 < е2- Это условие соответствует классической задаче распространения ТЕ-волн в слое с постоянной диэлектрической проницаемостью1, поэтому мы придерживаемся его при изучении задачи Ре-Пусть к\ := Т -£i> 0, fcf := г2 - 72 > 0, к\ := -у2 - £3 > 0. При i < О II х > h уравнение (1.4) является линейным. Учитывая условие на бесконечности, получаем, что решения уравнения (1.4) в указанных областях имеют вид
Y(x) = {Х<°; (18)
Постоянная А в (1.8) отвечает значению F(0) (см. определение 1.1) и предполагается фиксированной (известной).
Постоянная В определяется условиями сопряжения (1.7). Внутри слоя £ уравнение (1.4) принимает вид
У" = - (k¡ + f(Y2)) Y. (1.9)
Первый интеграл рассматриваемого уравнения имеет вид
Y'2 + k¡Y2 + ifi{Y2) = С, (1.10)
где íp(Y2) = /0Г f{u)du\ С - постоянная.
Постоянная С вычисляется из первого интеграла (1.10) с использованием решения (1.8) и условий сопряжения (1.7) и равна
С= (£2-£l)A2 + v(A2). (1.11)
Неизвестная постоянная В определяется из уравнения
(£2 - £3)В2 + р(В2) = (£2 - £1)А2 + <р(А2), (1.12)
которое имеет два действительных решениях ±В'.
'Вайнштейн J1. А. Электромагнитные волны. - М.: Радио и связь, 1988.
10
Постоянные В и С не зависят ни от точки х = h, ни от спектрального параметра 7; кроме того, С > 0.
Доказано, что дисперсионное уравнение задачи Ре имеет вид
Ф(г,п) :=Tl + nT2 = h, (1.13)
где
к\ +СО
Ti= wdr], т2= wdr¡ и w = —-;
J J Щ + /(т) + rf
-ос
функция г s т(г)) определяется из уравнения (if + fc|)r + (р(т) = С; С определена формулой (1.11); п = 0, 1, 2,...
Важно отметить, что дисперсионное уравнение (1.13) не зависит от решений уравнения (1.12).
Фактически уравнение (1.13) является семейством (но не системой) уравнений для различных п. Необходимо решать относительно 7 каждое из получающихся уравнений. Другими словами, пусть а^ множество решений дисперсионного уравнения (1.13). Тогда ст^ = (Jío0"^ где (Tj содержит все положительные решения (н только их) уравнения Ф(7; j) — h = 0. Кроме того, cr¿ П crj = 0 для всех возможных i / j.
Пусть аЕ - совокупность всех собственных значений задачи Ре- Справедлива следующая теорема об эквивалентности, которая, в частности, утверждает, что cíe = <7е ■
Теорема 1.1 (об эквивалентности). Значение 7 = 7 является собственным значением задачи Ре тогда и только тогда, когда существует целое число п = п ^ 0 такое, что 7 = 7 удовлетворяет уравнению Ф(7;п) - h = 0.
Кроме того, собственная функция Y(x; 7) имеет в точности ri пулей при х G (0, К); если x¡ является i-м нулем функции Y(x;7), то
Теорема 1.2 (о периодичности). Пусть 7 собственное значение задачи Ре- Если собственная функция У(х; у) имеет более двух пулей при х 6 (0,/¿), тогда функция У(х;у) периодическая с периодом 2То.
Пусть Г = (max(el5 £3), £2) « '4f = illf h* = зирФ(7;А;).
72е Г 72еГ
Величина h¡ní всегда существует. Указанная sup существует не всегда,
например, sup не существует, если / = 0. Когда мы пишем /j£u мы
предполагаем, что указанный (конечный) sup существует.
Теорема 1.3. Пусть для некоторого р выполняется /ifnf < hgup, f 6 С1 [0,+оо) и h таково, что h?nf < h < h%up, тогда задача Ре имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).
Теорема 1.4. Пусть Ф(7;/с) неограничепа при 72 6 Г, / Е С1 [0,+оо) и h таково, что для некоторого р выполняется hfn{ < h, тогда задача Ре имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).
В теоремах 1.3, 1.4 утверждается существование собственных значений; в теоремах 1.5, 1.6 - их изолированность.
Теорема 1.5. Пусть для некоторого р выполняется h\ní < hgup, функция f(u) является аналитической функцией в С (как функция комплексного переменного и = Y2) и h таково, что h\ní < h < h^up, тогда задача Ре имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).
Кроме того, если условие /ífnf < h^np справедливо для всехр, то множество собственных значений Ое задачи Ре является дискретным на D = {7 G R : 72 € Г}, т.е. на каждом отрезке I С D содерэюится не более конечного числа (изолированных) собственных значений.
Теорема 1.6. Пусть функция Ф(7;А;) неограничепа при 72 € Г, функция f(u) является аналитической функцией в С (как функция комплексного переменного и = Y2) и h таково, что для некоторого р выполняется h?n{ < h, тогда задача Ре имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).
Кроме того, если условие h-mí < h%ap справедливо для всехр, то множество собственных значений ag задачи Ре является дискретным на D = {7 б R : 72 £ Г}, т.е. на каэ/едом отрезке I С D содержится не более конечного числа (изолированных) собственных значений.
Величины h¡ní и h^up можно находить численно.
Условие 72 < £о является точным. Действительно, для функции / = О получаем линейную задачу. В такой линейной задаче необходимо 72 < е2.
Также в первой главе исследованы две задачи для конкретных функций нелинейности: задача Ргл / = «К2 (закон Ксрра); задача РЕ2: / = (нелинейность с насыщением). Эти нелинейности находят ши-
рокое применение в нелинейной оптике.
В теоремах 1.7, 1.8 используются следующие обозначения для собственных значений 7 задач Peí, Ре2'■ 7i значит, что все собственные значения упорядочены по возрастанию; 7(771) значит, что это собственное значение является решением дисперсионного уравнения (1.13) при
п = т; значком P¿n обозначается линейная задача с постоянным е = е2, такая задача имеет не более конечного числа собственных значении, обозначаемых 7
Теорема 1.7 (Задача Peí)- Пусть rriiii(er1, > е0, тах(е1,ез) < г2, а > 0 и У(0) 0. D этом случае для любого h > 0 задача Ре\ имеет бесконечное число положительных собственных значений 7,- (с точкой накопления на бесконечности).
Собственные значения 7,- имеют следующие свойства:
1) сели 7i,72, ■■. все решения задачи Ре\, то
7и 7г. • • ■ е (шах(£Ь е3), +оо) и lim 7? -> со;
J—>оо J
2) если задача Pl¿" имеет р решений 7i < 72 < ... < 7Р, ото существует Qo > 0 такое, что для любого а = а' < а0 справедливо
if 6 (тах(еьез),£2) и Нш 7; = 7;, i = Т~р,
a'—>Q
где 7ь ... ,7j, - первые р решений задачи Peí при а = а'; 2 У если q > р, то lim 7^ = +00;
а'->+0
3) для больших значений 7 и произвольно малого Д > 0 енухшедливо следующее асимптотическое двойное неравенство:
(1 - Д)7.(т) ^ 7(т) < >/2(1 + А)у.(т +1),
гдеу1{т) = £2+(/_1 (j^))2, /_1 есть обращение функции f (t) = Iní; 3') если \/'2aC < 1, где С = (е2 — £i)A2 + 0,5аЛ4, то для больших значений 7 справедливо более простое асимптотическое неравенство 7М ^ 7о(ш), где 7о2(т) = е2 + (f Ih(2qC))2;
4) если собственное значение 7,- —> оо, то max |У(а;;7,)| —¥ оо.
хе(0М)
Теорема 1.8 (Задача Рк)- Пусть miii(ei,£r3) ^ е0, max(ei,6.¡) < е2, а, ß > 0 и К(0) ф 0. Тогда существует hm\n > 0 такое, что для любого h > /¿mill задаем Ре2 имеет конечное число (и не менее одного) полоо/си-тельных собственных значений 7, .
Для всякого собственного значения 7; задачи Ре2 справедливо, что
тах(£Ь e-¿) < 7f <е2 + aß~\
кроме того, для всяких допустимых т и т + 1 справедливо
max 7(771 + 1) < шах 7(т),
где max берется среди всех положительных решений уравнения (1.13) с заданным п = т.
В главе 2 исследуется нелинейная однонараметрпческая задача сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла, описывающая распространение поверхностных электромагнитных ТМ-волн в анизотропном слое, заполненном средой, диэлектрическая проницаемость которой является произвольной функцией от модуля напряженности электрического поля.
Рассматриваются монохроматические ТМ-волны Ее"'"', Не~!Ш<, распространяющиеся вдоль границы однородного, изотропного, немагнитного диэлектрического слоя Е := {(ж, у, z) R3 : 0 ^ х ^ /г}, здесь
Е = (Ех, 0, Ez)'r, Н = (0, Ну, 0)т— (2.1)
комплексные амплитуды; ш - круговая частота.
Слой Е расположен в декартовой системе координат Oxyz между двумя полупространствами х < 0 и х > h. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянные диэлектрические проницаемости е = Е\ ^ £о и £ = £3 ^ £q соответственно, где га > 0 - диэлектрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду ц = //о, где /хо > 0 - магнитная проницаемость вакуума.
Диэлектрическая проницаемость е волновода Е описывается следующим диагональным тензором 3x3:
е = diag (ехх, £уу, ezz), (2.2)
элементы £хх, £,, имеют вид
£хх = £/ + £of (а\Ех\2 + b\Ez\2) , е„ = £д + £09 (с\Ех\2 + d\Ez\2) , (2.3)
где £; > max(£i,£3), £q ^ 0 - постоянные (вещественные) составляющие диэлектрических проницаемостей ехх, £zz; a, b,c,d- неотрицательные постоянные, не все равные нулю;
/еС1 [0,+оо), рбС^О.+оо), f(s2)> 0, g(s2)> О
и
/(0) = ,9(0) = 0.
Кроме того, функции / и д являются таковыми, что выполняется соотношение щщ = К0Т0Р0МУ удовлетворяют многие типы нели-нейностей1. В главе 2 доказано, что без этого условия можно обойтись. Элемент еуу не оказывает влияния на распространение ТМ-волн.
"Joseph R. I., Cliristodoulides D. N. // Optics Letters. - 1987. - V. 12, .V 10. - P. 826-828.
Комплексные амплитуды (2.1) удовлетворяют стационарным уравнениям Максвелла
rot Н = —г'шеЕ,
2.4
rot Е = wj/iH,
условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред х = 0, х = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное ноле затухает как 0(\х\ при —> оо.
Доказано, что компоненты ТМ-волн, распространяющихся вдоль границы слоя Е, имеют представление
Ех = Ех{х)е^, Ег = Vz{x)eilz, Ну = Н^К^, (2.5)
где 7 - неизвестный (действительный) спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).
Обозначим кц := иР^фо. Подставляя компоненты (2.5) в систему (2.4), выполняя нормировку в соответствии с формулами х = кдх,
~JZ — h
7 = Ь ёг = * (г = 1,2), = = *
-f-, обозначая
(2.0)
(2.7)
(1х
Z(x) := Ег, Х{х) := гЕг и опуская значок тильды, получаем
-г" + =
где с учетом предыдущего
£1, х < 0;
£; + /{аХ2 + Ьг2),
^£3, X > /г;
(£ь х < 0;
£д + д{сХ2 + аг2), 0 < X ^ к; £з, х > к.
Функции X, Z дифференцируемы так, что Х(х) £ С1 ( оо, 0] П С1 [0, /г] П С1 [/г, +оо),
г{х) € С(—оо, +оо) П С1 ( оо, 0] Г) С^О, Л] п С1 [/г, +оо) П (2.8)
П С2(—оо, 0) П С2(0, к) П С2(Н, +оо).
Условия сопряжения для функций X, Z следуют из условий непрерывности касательных компонент электромагнитного поля и имеют вид
VfX — Z']\x=i) = 0, [Z]\r=Q = 0, bx-z'\\x=h = о, [Z]u = o.
(2.9)
Определение 2.1. Число 7 = 7 такое, что при фиксированном значении Х(0) ф 0 (без потери общности можно считать АГ(0) > 0) существуют не равные тождественно нулю функции Х(х;7), ^(а:;7), которые удовлетворяют системе уравнений (2.6), условиям (2.8), (2.9) и затухают как О(|д:| !) при \х\ оо, будем называть собственным значением, а функции Х(х;у), ^(ж;7), соответствующие этому собственному значению, -собственными функциями.
Задача Рм'- доказать существование собственных значений 7, удовлетворяющих определению 2.1.
Разыскиваются такие положительные значения 7, что справедливо неравенство тах(е1,е3) < 72 < £¡. Это условие соответствует классической задаче распространения ТМ-волн в слое с постоянной диэлектрической проницаемостью (см. Вайнштспн Л. А.), поэтому мы придерживаемся его при изучении задачи Рд/.
Пусть Щ := 72 - £1 > 0, к'1 := -у2 - е3 > 0.
При х < 0 и х > /г система (2.6) является линейной. Учитывая условие на бесконечности, получаем, что решения системы (2.6) в указанных областях имеют вид
уы = \Аекхх' * < 2(х) = х <
(Дс"^«"*), х > /г; ^ {-Ву^кзе-^1^, х>к.
(2.10)
Постоянная А в (2.10) отвечает значению А'(0) (см. определение 2.1) и предполагается фиксированной (известной), а постоянная В определяется условиями сопряжения (2.9).
Внутри слоя Е система (2.6) принимает вид
(2.11)
-г" + 1х' = {еа + д)г,
Система (2.11) может быть переписана в нормальной форме
х, = 72(е,„ + .9) + 2(£/-72 + /)*2/^
7 (2*2/^+ £/ + /) ' (2.12)
Первый интеграл системы (2.11) имеет вид
Х\е; - 72 + I? + 72 (От/ - 72)А'2 + ед2Г2) + 72С = С, (2.13)
где с ^ с(х2, ^2) ЕЕ £ ¡с%2+'122 д{з)аа; С ■
постоянная.
Обозначим через
Л'о := Л"(0 + 0), Хк := Х{к - 0), := Я(0 + 0), Я,, := г {к - 0)
предельные значения функции Л' и Z на границах слоя £ изнутри. Справедливы формулы
е1А = (е/ + ПаХ?}+ЪкЪ-2А°-))Х( ,, = £3В=(е1 + 1(аХ1 + ЪкЬ-1В2))Х,„ гк = -У~1к3В,
которые получены из условии сопряжения (2.9) и решений (2.10).
Поскольку постоянная А предполагается известной, то Л'о определяется из первого уравнения (2.14).
Обозначим /о := / (аХЦ + Ьг^) и (Зо := (? (Х$, Тогда, используя первый интеграл (2.13), подставляя х = 0, найдем
С = Х2(£/ - 72 + /„)2 + 72 ((£/ - 72)Х2 + еаг%) + С0. (2.15)
Неизвестные значения X/, и Еь определяются из системы уравнений
- -уезк^г,, = (е/ + //,)А'„;
(е} - 72 + ЬШ + Г ((*/ - Т)Х1 + ея2%) + С„ = С,
где /„, := ДаХ2 + и С„. := С(Х2, Я2).
При известном значении постоянная В определяется но формуле В =
Доказано, что дпснсрспонное уравнение задачи Рд/ имеет вид
Ф(7; п) := -Т1 + пТ2 = /г, (2.17)
где
4(0) +со
П = I Т2 = ^ -шс1т],
Тх =
V СО
величины ч(0), 77(/г) определяются формулами
Ч(0) = ^1>0 и ч(Л) = -^<0; л-Х п-'з
а функция ы; имеет следующий вид:
ш =_+ я_
72(е/ + /)(£я + .д) + (£/-72 + /)г72'
где
Г- f< \ - ( cr]2 + d(sf + f)2\ f = f(r), (J = g [т , J );
функция r = r(7j) определяется из уравнения
- Г + /)2 + 72(£/ - 7=У + 7Ч(Е/ + /)2 , , . _ г Т-aí?2 + 6(£/ + /)2-+ 7 <?(М) = С,
ГДС s = an2+b(e1+j)l' í = ar?+£j+f)*> а функции / И 0 имеют ТОТ ЖС СМЫСЛ, что и выше; постоянная С определяется формулой (2.15); тг = 1,2,3,...
Важно отметить, что дисперсионное уравнение (2.17) не зависит от решений системы (2.16).
Фактически уравнение (2.17) является семейством (но не системой) уравнений для различных п. Необходимо решать относительно 7 каждое из получающихся уравнений. Другими словами, пусть af¡ -- множество решений дисперсионного уравнения (2.17). Тогда = где <jj содержит все положительные решения (и только их) уравнения Ф(7; j) — h = 0. Кроме того, cr¿ П <jj = 0 для всех возможных i ф j.
Пусть - совокупность всех собственных значений задачи P\¡. Справедлива следующая теорема об эквивалентности, которая, в частности, утверждает, что ом = af¡.
Теорема 2.1 (об эквивалентности). Значение 7 = 7 является собственным значением задачи Рм тогда и только тогда, когда существует целое число п = ñ ^ 0 такое, что 7 = 7 удовлетворяет уравнению Ф(7;п) - h = 0.
Кроме того, собственная функция Z(x; 7) имеет в точности п нулей при х е (0 ,h); если x¡ является i-м нулем функции Z{x\ 7), то
+оо
xi = / wdri+ (г - 1)Т2.
ч(о)
Теорема 2.2 (о периодичности). Пусть 7 - собственное значение задает Рм. Если собственная функция Z(x; 7) имеет более двух нулей при х G (0, h), тогда функция Z(x; 7) периодическая с периодом 2
Пусть Г - (max(ei, £3),£f) и /¿fnf = iiif Ф(7,k), h* = sup Ф(у,к).
гег 7зеГ
Be
личина всегда, существует. Указанная sup существует не всегда, например, sup не существует, если / = 0, g = 0. Когда мы пишем /4ир, мы предполагаем, что указанный (конечный) sup существует.
Теорема 2.3. Пусть для некоторого р выполняется к'(п! < к?ир, / € С1 [0, +оо), д 6 С1 [0,+оо), система (2.16) имеет действительное решение (Х/,,^/,) и /г таково, что < к < кЦир, тогда задача Рм имеет по крайней мерс одно решение (собственное значение.).
Теорема 2.4. Пусть Ф(7, к) неог]хтиченна при 72 £ Г, / £ С1 [0, +ос), д Е С1 [0,+оо), система (2.16) имеет действительное решение (X/,, И/,) и к таково, что для некоторого р выполняется < к, тогда задача Р\1 имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).
В теоремах 2.3, 2.4 утверждается существование собственных значений; в теоремах 2.5, 2.6 - их изолированность.
Пусть правые части системы (2.12) являются аналитическими функциями (как функции комплексных переменных (и, и) = (А2,.^2)) в некотором шаре 13(0, П) с центром в нуле и радиусом Л > 0. Шар выбран таким образом, что |2Х2/у2 + /| < е/ — Д, где Д > 0 - фиксированное достаточно малое число. В силу непрерывности функции / такое число Л всегда существует, поскольку /(0) = 0 и /' ограничена на В(О, Л). Теорема 2.5. Пусть для некоторого р выполняется к?п1 < /г£пр, система (2.16) имеет действительное решение (А/,, .£/,), щмвыс части системы (2.12) являются аналитичеекгши функциями (как функции комплексных переменных (и, и) = (А-2, 22)) в некотором шире В(0,П), где Я > 0, число М является наибольшим из модулей максимумов правых частей системы (2.12) и к ^ т^ таково, что < к < /гЦ?1ф, тогда задача Рм имеет по крайней .мере одно решение.
Кроме того, если условие /¡?пГ < справедливо для всехр, то множество собственных значений ам задачи Рм является дискретным на И = {7 € II '. 72 € Г}, т.е. па каждом отрезке I С. И содержмтся не более конечного числа (изолированных) собственных значений.
Теорема 2.6. Пусть Ф(-у,к) пеог]мничснпа при 72 6 Г, система (2.16) имеет действительное решение (А/,,.!?/,), пщвые части системы (2.12) являются аналитическими ф/ункциями (как функции комплексных переменных (и, и) = (X2, Я2)) в некотором шаре. Л(0, Л), где Л > 0, число М является наибольшим из модулей максимумов правых ■частей системы (2.12) и /1 ^ тщ таково, что для некоторого р выполняется к?п{ < к, тогда задача Рм имеет по крайней мере одно решение.
Кроме того, если условие к?п1 < к? справедливо для всехр, то множество собственных значений &м задает Рм является дискретным па В = {7 £ К : 72 £ Г}, т.е. па каждом отрезке / С О содерлсится не более конечного ''тела (изолированных) собственных значашй.
Величины hinl и h¡fup можно находить численно.
Заметим, что условие -у- < £f является точным. Действительно, для функций / = 0, д = 0 получаем линейную задачу. В такой линейной задаче необходимо 72 < e¡.
В главе 3 исследуется нелинейная двухнараметрпческая задача сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла, описывающая распространение связанных электромагнитных ТЕ-ТМ-волн в слое с ксрровской нелинейностью.
Рассмотрим электромагнитные волны
ew-»r = + Ел/е-;ы»(,
= НЕе-пк* + Нл/е--»(, 1 ' >
распространяющиеся вдоль границы однородного, изотропного, немагнитного диэлектрического слоя £ {{x,y,z) € R3 : —h íj х ^ h}, здесь
Ея= (0,ЕУ,0)>\ Елг= (Ех,0,Егу\
П,.: = (НХ,(1 Hz)'\ НЛ/= (0, Ну, 0)т - (3.2)
ТЕ-волны ТМ-волны
комплексные амплитуды; u¡e,ojm - круговые частоты; ( • )т - операция транспонирования.
Слой Е расположен в декартовой системе координат Oxyz между двумя полупространствами х < 0 и х > h. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянные диэлектрические проницаемости £ = £\ £q п £ = е^ ^ £ц соответственно, где £о > О - диэлектрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду ц = fia, где ¡iо > 0 - магнитная проницаемость вакуума.
Диэлектрическая проницаемость £ волновода £ описывается законом Ксрра1, который имеет вид £ = е2 + а|ЕШьШЛ,|2, где £2 > max(ei,e3), а > 0.
Поля (3.1) удовлетворяют сйстеме уравнений rot (Еве-'"*' + Еме-^>') - í/íwbHec-^-' +
rot (НЕеЧи»* + = -ieus^Ee4""1 - i£UJhlЕд/е^'4, ( ' '
условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границах раздела сред х = —h, х = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле затухает как 0{\х\~1) при \х\ —> ос.
'Делоне II. Б. Взаимодействие лазерного излучения с веществом. — М.: Наука, 1989 ; Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: учеб. пособ. для вузов: 10 т. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. - М.: Физматлит, 2001 ; Шен И. Р. Принципы нелинейной оптики. -М.: Наука, 198!).
Доказано, что компоненты ТЕ-ТМ-волн, распространяющихся вдоль границы слоя имеют представление
Ех = Е1(ж)е*7л'-, Еу = Ev(a:)e'7';", Ez = Ег(з;)е'^,
Нх = Вх(х)е^=, Ну = Яу(х)с^'=, Н: - [6Л)
где 7е, 7л/ ~ пара неизвестных (действительных) спектральных параметров (пара постоянных распространения связанной ТЕ-ТМ-волны).
Пусть А'5 = Подставляя ноля (3.2) с компонентами (3.4) в
систему (3.3), нормируя в соответствии с формулами х = кцх, ^ = fcojj, IE = 1м = £j = %,a = f0, обозначая X := iEx, У := Е„', Z := е!,
9 —2
т := oj^uj^ и опуская значок тильды, получаем
7л/- Z') = еХ,
ГЕУ - У" = теУ, (3.5)
%мХ' - Z" = eZ, где
х < —к;
s= <£2 + a(X2 + Y2 + Z2), -к^х^к;
x > к.
Функции X, Y, Z дифференцируемы так, что
Х(х) е С1 (-оо, 0] П С^О, к] П С1 [к, +ос), У (ж) 6 С^—оо, +оо) П С2(-оо, 0) П С2( 0, к) П С2{к, +оо), Z{x) е С(—оо, +оо) П С1 ( оо, 0] П С1 [0, к] П С1 [к, +оо) П
П С2(—оо, 0) П С2(0, /г) П С2(к, +оо).
Условия сопряжения для функций Л', У, Z следуют из условии непрерывности касательных компонент электромагнитного ноля и имеют вид
[Z' - 7.UA1U±/, = 0, [У]|Х=±Л = 0, [У']|Х==Л. = О, [Z\\x=±h = 0. (3.7)
Определение 3.1. Пару чисел (7е,7м) такую, что при заданных значениях Л'(0), У(0) существует не равный тождественно нулю вектор W = (Л', У, Z)T такой, что функции X, У, Z удовлетворяют системе уравнений (3.5), условиям (3.6), (3.7) и затухают как 0(|ж|-1) при |ж| —» оо, будем называть парным собственным значением. Вектор IV, который соответствует парному собственному значению, будем называть собственным вектором, а компоненты X(x;%,%j), Y(x;je,1m), Z(x;je,7m) вектора W - собственными функциями.
Задача Р: доказать существование парных собственных значений (7е, 7л/), удовлетворяющих определению 3.1.
Пусть кгЕ1 := 71-теи к2Е-л := Те-те3, к\п := 7л/к2ш := 7л/ Решения (линейной) системы (3.5) при х < —Н и х > /г в соответствии с условиями излучения имеют вид
' Х(х) = С^е^-^'»», У (я) = С^е-^-'1^, (3.8)
Х(х) = cj^c^*»», У (я) =
где c[jh\ CE h\ off и CE^ - постоянные интегрирования. Постоянные СЕ' предполагаются заданными (они отвечают значениям Х(0), Y{0) в определении 3.1), а постоянные С\,Н\ Сопределяются пз условий сопряжения.
Пусть fc| = Г£2 - 7|, к2, = £2 - и fx = (X2 + Y2 + Z2)X, fY = (X2 + У2 + Z2)Y, fz = (A'2 + Y2 + Z2)Z, тогда внутри слоя К систему (3.5) можно записать в виде
х = --умк^г' - akrffx, Y" + &|У = -ат/у, (3.9)
Z" + A^Z = -ae^khfz - ае^Ум/'х-
Обращая линейные части второго и третьего уравнений в системе (3.9), перейдем к интегральным уравнениям.
Пусть Le = ¿2 + к%, Lm = + k\j. Тогда функции Грина для следующих краевых задач
Г LeGe = —6{х — s), Г
I OxGe|х=_„ = OxGEU = 0; 11 \
LmGm = —5(х — s), gm\x=-h = GA,\x=h = 0
(3.10)
имеют вид
COskp;(x+fl) COS kf.;(s~h) ^ h
Ge(x,s)={ ^t^t,(3.11)
kKsu\2kKh ' s < x n,
sin км(x+li) sin км(s-h) ^ ,
n,,(rc.)-J kMSm2kMh ' ' /о 19")
UM{X,b) — ^ sinki,(x-h) sinkM(s+h) „__.
км sin 2/,'д//(
s < х < h.
Переходя от системы дифференциальных уравнений (3.9) к интегральным (используя найденные функции Грина и вторую формулу Грина) и затем используя условия сопряжения (3.7) в полученной системе
интегральных уравнений, получаем систему дисперсионных уравнений
ФвЫти) := = О,
ФЕЫЛМ) ■= С^кши^ги) - a^tolM) = о, ^ ) где
SE{h, 7е) ■= (к% - kEikE3) sin 2kEh - кЕ (кЕ1 + кЕЯ) cos 2kEh\ (3.14) f)Ai{h, 7л/) := (е^зА-л/ - е\кткм3) sin 2kÁIh-
-е2км [£\кш + е3кмi) cos 2kMh,
Qe{K 7e, 7л/) := т{кЕI cos 2/j£/í - kE sin 2kEh) cos kE(x + h) fYdx—
~ ткЕi /Д cos kE(x - h)fYdx, Qm{Kie,1m) '•= —2r¡l¡(e\k\i sin iksih - e2A\m cos 2kMh)fx(h -0)x x sin 2кмН + км{£\км sin 2k±\¡h — £2&лл cos 2kÁ\¡h) x x [iMkirfz sin км(х + h) - 7л//л- cos км{х + /¿)] dx~ - 2-yl¡eo км ifx{—h + 0) sin 2 kMh+ + еЖшкм /Д [lMkMfz sin k.,u(x - /г) - 7j,fx cos kM(x - /г)] dx. Доказано, что в интегральной форме система дифференциальных уравнений (3.9) может быть записана в виде
u = qNj (|u|2u) + h, (3.16)
где u = (X, Y, ZY и |u|2 = X2 + Y2 + Z2, \\ufc = \\Xfc + ||Y||2; + ||Z||2, и IHIc = max |u(x)|, а С[-/г,/г] = C[-h,h] x C[-h,hJ x C[-h,h\-
линейный оператор Ni имеет вид
N := qN] H Ni := К + J + К + J,
где
KS = f-h K(a;, s)g(x)dx, Kg = fhh K(x, s)g(x)dx, g = (.91, .92, <73 )T, матрицы ядер K(a;, s) и К(ж, s) имеют вид
(qnD2sGu 0 qi3daGni\ 0 q22GE 0
Q-JAGM 0 Q-MG.M J
9u = 4l"ñ¡ku, 9i3 = Чм, 922 = т, 9з1 = -e^Ju, Ф»з =
К (x,s) =
((/и lim dz,G \¡ 0 r/13 lim OsGm\
s-i-h+0 s->-/i+0
0 922 G£|s^_/i+0 0
<731 lim dxGu 0 (}i 3 lim Gm
Я-+-Л+0 s—»—/j+0
911 = 1mPi(s), Qi3 = -kl,pi{s), (¡22 = q(s), q31 = ~^P2(s), № = k\iP2{s)
.. „ /.Л _ ^..klLL_cosk-M(s-h)_ , ч _ А-д/i amkst(s-ll)
" Viy*) k'i, E-ifrA/sm2A-,uft-E-2fcjíi<-os2A-4,/i> W) — ьтЗАгд/Л-Ыдп cos2/.A/ft>
( \ A'l-i coakf. (s - h) T T
q(s) = tk¡:Án2kt:h_kmC0¡2kEh, а операторы J, J предсташшы следующим образом:
«,2 . _ /1 0 0\ fAipiis) 0 0\
j = _2íl+Ü о oo,j= о оо
\0 О 0/ \27л/^-/Р2(б') О О/
и h = (/ii, /¿2, /¿з) ', где
. _ СЙ'^Ч/з Г E2kmcosk„(a-h)__, , , ,ч"|
— kuam2kuh [^км sin2kMh-e2kM1 cos2kK,h ^ Lub ^ ^ '^J '
I _ fк/:?, Г COS kf;(s — h) I 7 / I ; ч"|
rt2 ~~ л [i,.;sin2i-t;a-te1 cos2k,.jh + cos (s + ft)j ,
. -cffí-ш Г_sinfcAf(s-/!)__, 4inI. /„ , /л]
"3 lMsm2kMh [скм^кмк- £2кшав2кы1г + bill ЛДДб -f fljj .
Операторы К, К, J, J являются линейными.
Теорема 3.1. Пусть В,ъ = {и : ||и|| ^ го} шар радиуса г о с центром в нуле. Также пусть выполняются два условия:
q := 3arg||Ni|| < 1, m-gHN^ + ||h|| ^ г0. (3.17)
Тогда существует единственное решение и 6 ВТа уравнения (3.16). Справедлива следующая теорема единственности. Теорема 3.2. Если а ^ А2, где А = п10г^а уравнение (3.16)
имеет единственное решение и в шаре Вг, = {и : ||и|| ^ г»} и и € 6 С [-h,h], ||и]| ^ г„ где г. = "^=cos (l arceos (§ ||h|| уЩЩ) - f).
Отметим, что Л > 0 не зависит от а.
Также справедлива теорема о непрерывной зависимости решения операторного уравнения (3.16) от спектрального параметра.
Теорема 3.3. Пусть ядра матричного оператора N и правые части h уравнения (3.16) непрерывно зависят от параметра 7 € Го, где Гц некоторый действительный отрезок. Пусть также ||h|| ^ Тогда
решение 11(7) уравнения (3.16) для 7 е Го существует, единственно и непрерывно зависит от параметра 7 G Го.
Переходя к пределу при а —» 0 в системе дисперсионных уравнении (3.13) для нелинейного слоя, получаем известные уравнения для линейных задач о распространении ТЕ- и TM-волн в слое с постоянной диэлектрической проницаемостью, а именно: .9я(/г, 7е) = 0, <ш(Л,7.и) = 0, где функции (/в(/г,7£), <ш(Л,7д/) определены формулами (3.14), (3.15) (эти дисперсионные уравнения, определяющие собственные значения, хорошо известны и полностью изучены).
Для собственных значений je и 7м указанных линейных задач справедливы неравенства:
inax(TE:i, тез) <j%< те2, max(¡rb е3) < jj¡ < е2. (3.18)
В задаче разыскиваются решения, удовлетворяющие этим же неравенствам. Обозначим
■2 /2 -2 -2
\Е .__Js,m ХЕ _ Jc.tn .Ц _ Js.tn .д/ Je,til
1 — T£°- 4/г2 ' Ас,"> '— Т£2 - . Km "— £2_ 4/¡2' Ac,m '— 62 ~ '
Ще js¡m = 7Гm - тп-й неотрицательный корень уравнения sin ж = О,
, • 7r(2m+l) „ _
ft Je,ш = —2— _ m'n положительны!! корень уравнения cos ж = 0; m = 0,1,2,...
Доказано, что если уравнение c¡E[h,jE) = 0 имеет 1е корней 7^', . ■ .,jgh\ то существует целое число 0 < тле < 1е такое, что
7Г} €
1е+1) 6 ' ¿ = rnE,lE-l.
Доказано, что если уравнение дм(И,7.1/) = 0 имеет 1М корней 7^', ) су] II
(¡+i)
... то существует целое число 0 < < l4\¡ такое, что
= пгм,1м ~ 1-
Мы предполагаем, что уравнения яе(Л.,7е) = 0 и д.и(/1,7м) = 0 имеют 1е и 1м корней соответственно (выбором /г всегда можно добиться того, что оба уравнения будут иметь корни, а одно из них будет иметь заданное число корней).
Точки ^ ^, г = 0,1е, ] = 0являются простыми полюсами функций Грина (3.11), (3.12). Пусть 5f > 0 и 6-' > 0, г = 0,1е,
j = 0, /д/, - достаточно малые числа такие, что локализация собственных значений 7^', г = 1,1е и 7^', j = 1,1м, линейных задач, указанная выше, не нарушается.
Построим отрезки
г = 0, ше — 1; I = гпЕ, 1е - 1; г = 0,тм - 1; г = гпм, 1м - 1-
При наших предположениях функция дЕ (7е) имеет различные знаки на концах отрезков Tf и обращается в нуль в точках 7^'. Тот же самый вывод имеет место для функции дм ('уд/)• Обозначим Г : — Гь х Гл/, где
:= 11!=!^, г" := и!=1 г£'.
Основным результатом третьей главы является следующая
Теорема 3.4. Пусть е2 > гпах(£1,£3) > О и уравнения <?£(/1,7в) = О, 5л/(Л, 7л/) = 0 имеют 1е и 1м решений соответственно. Тогда найдется значение а0 > 0 такое, что для всякого 0 < а ^ «о существует по крайней мере 1е-1м парных собственных значений Е^хГ^,
г = 1, 1е, j = 1,1м, задает Р.
Из теоремы 3.4 следует, что при указанных предположениях существуют поверхностные связанные ТЕ-ТМ-волны, распространяющиеся вдоль границы изотропного слоя с керровской нелинейностью. Так как в линейном слое связанных волн не существует, то из утверждения теоремы следует, что в нелинейном слое существует новый режим распространения волн. При доказательстве теоремы 3.4 получена теоретическая оценка величины »о через нормы соответствующих операторов.
В главе 3 предложен и обоснован (доказана сходимость) итерационный метод нахождения приближенных парных собственных значений задачи Р.
Публикации по теме диссертации
Монографии
[1] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Распространение электромагнитных волн в нелинейных слоистых средах. Пенза : Изд-no ПГУ, 2010. 264 с.
[2] Smirnov Yu. G., Valovik D. V. Electromagnetic wave propagation in nonlinear layered waveguide structures. - Penza : PSU Press, 2011. — 248 p.
Публикации в журналах, рекомендованных ВАК
[3] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. К задаче о распространении нелинейных связанных электромагнитных ТЕ-ТМ-волн в слое // Жур. вычнел. матем. и матсм. физ. - 2011. - Т. 54, № 3. - С. 504-518.
[4] Smirnov Yu. G., Valovik D. V. Problem of nonlinear coupled electromagnetic TE-TE wave propagation // J. Math. Phys. - 2013. - V. 54, 8. - P. 083502-1-13.
[5| Валовик Д. В., Смолькин Е. Ю. Расчет постоянных распространения неоднородных нелинейных двухслойных круглых цилиндрических волноводов методом задачи Коши // Радиотехн. и электроника. - 2013. - Т. 58, № 8. - С. 759-707.
[6] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г., Смолькин Е. Ю. Нелинейная задача сопряжения на собственные значения, описывающая распространение ТЕ-волн в двухслойных цилиндрических диэлектрических волноводах // Жур. вычнел. магем. и матсм. физ. - 2013. - Т. 53, № 7. - С. 1150-1161.
[7] Smirnov Yu. G., Valovik D. V. Coupled electromagnetic transvcrsc-elcctric-transverse magnetic wave propagation in a cylindrical waveguide with Kerr nonlinearity // J. Math. Phys. - 2013. - V. 54, .V 4. - P. 043500-1-22.
[8] Valovik D. V. On the problem of nonlinear coupled clcctromagnctic transverse electric-transverse magnetic wave propagation // Л. Math. Phys. - 2013. - V. 54, № 4. -P. 042902-1-14.
[9] Валовик Д. В., Зарембо Е. В. Решение нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТМ-волн, распространяющихся в слое с керровской нелинейностью, методом задачи Коши // Радиотехн. и электроника. -2013. - Т. 58, Л'' 1. - С. 69-72.
[10| Валовик Д. В., Зарембо Е. В. Метод задачи Коши решения нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для ТМ-волн, распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью /,/ Жур. вычнел. матем. и матсм. физ. - 2013. -Т. 53, № 1. - С. 74 89.
[11] Smirnov Yu. G., Valovik D. V. Coupled electromagnetic TE-TM wave propagation in a layer with Kerr nonlinearity //J. Math. Phys. - 2012. - V. 53, S' 12. - P. 123530-1-24.
[12) Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. О распространении связанных электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн в плоском слое с керровской нелинейностью // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физ.-матем. науки. - 2012. - № 4(24). -С. 21-48.
[13] Валовик Д. В., Смолькин Е. Ю. Численное решение задачи о распространении электромагнитных ТМ-волн в круглом диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физ.-матем. пауки. - 2012. - № 3(23)'. - С. 29-37.
|14] Валовик Д. В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейной среде с насыщением // Радиотехп. и электроника. - 2011. - Т. 56, X® 11. - С. 1329-1335.
[15] Валовик Д. В. Задача о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое с произвольной нелинейностью // Жур. вычисл. матсм. и матем. физ. -2011. - Т. 51, 9. - С. 1729-1739.
[1С] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Нелинейные эффекты в '¡адате о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое с ксрровской нелинейностью // Радиотехн. и электроника. - 2011. - Т. 56, № 3. - С. 309-314.
[17) Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Распространение ТМ-ноляризованных электромагнитных волн в диэлектрическом слое из нелинейного метаматериала // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физ.-ыатсм. науки. - 2010. -■V 3(15). - С. 71-87.
[18) Валовик Д. В. Задача о распространении электромагнитных волн в слое с произвольной нелинейностью (II. ТМ-волны) // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физ.-матем. науки. - 2010. - № 2(14). - С. 54-65.
[19) Валовик Д. В. Задача о распространении электромагнитных волн в слое с произвольной нелинейностью (I. ТЕ-волны) // Известия высших учебных заведений. Пополжский регион. Физ.-матем. науки. - 2010. - № 1(13). - С. 18-27.
[20) Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Расчет постоянных распространения и нолей для поляризованных электромагнитных ТМ-волн в нелинейном анизотропном слое // Радиотехн. и электроника. - 2009. - Т. 54, Л'! 4. - С. 411-417.
[21) Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. О распространении ТМ-иоляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра // Жур. вычисл. матсм. и матсм. физ. - 2008. - Т. 48, № 12. - С. 2185-2194.
)22) Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Нелинейная задача на собственные значения для ТМ-иоляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое // Изв. вузов. Математика. - 2008. - № 10. - С. 70-74.
[23] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Расчет постоянных распространения ТМ-иоля-ризованных электромагнитных волн в нелинейном слое // Радиотехн. и электроника. - 2008. - Т. 53, .V 8. - С. 934-940.
[24) Валовик Д. В. О существовании решений нелинейной краевой задачи на собственные значения для ТМ-иоляризованных электромагнитных волн // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физ.-матем. науки. - 2008. - № 2. -С. 86-94.
[25] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Распространенно ТМ-ноляризованных электромагнитных волн в нелинейном анизотропном слое // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физ.-матем. пауки. - 2007. - № 4. - С. 51-59.
Публикации в других журналах
[26| Smirnov Yu. G., Valovik D. V. Boundary eigenvalue problem for Maxwell equations in a nonlinear dielectric layer // Appl. Math. - 2010. - № 1. - P. 29-36.
[27] Smirnov Yu. G., Valovik D. V. Nonlinear effects of electromagnetic TM wave propagation in anisotropic layer with Kerr nonlincaritv // Adv. Math. Pliys. - 2012. -V. 2012. - P. 1-21.
[28] Valovik D. V. Electromagnetic wave propagation in nonlinear layered waveguide structures. Computational approach to determine propagation constants // Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, Volume 52: Inverse Problems and Large Scale computations. - 2013. - P. 71-91.
[29] Smirnov Yu. G., Smol'kin E. Yu., Valovik D. V. Nonlinear Double-Layer Bragg Waveguide: Analytical and Numerical Approaches to Investigate Wavcguiding Problem // Adv. in Numer. Anal. 2014. V. 2014. P. 1-11.
Научное издание
Нелинейные одно-и двухпараметрическне
задачи сопряжения на собственные значения для системы уравнений максвелла в слое
Специальность 01.01.02 Диффереициальиые уравнения, динамические системы и оптимальное управление
Редактор А. Г. Тсыникова Технический редактор А. Г. Тсыникова Компьютерная верстка Д. В. Валовика
Подписано в печать 04.07.2014. Формат 60x84-^. Усл. нсч. л. 1,03. Заказ № 008474. Тираж 100.
Пенза, Красная, 40, Издательство ПГУ Тел./факс: (8412) 56-47-33; e-mail: iic@pnzgu.ru
