Нелинейный анализ и синтез систем фазовой автоподстройки

Юлдашев, Ренат Владимирович

Нелинейный анализ и синтез систем фазовой автоподстройки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Юлдашев, Ренат Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.09 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Нелинейный анализ и синтез систем фазовой автоподстройки»

Автореферат диссертации на тему "Нелинейный анализ и синтез систем фазовой автоподстройки"

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Юлдашев Ренат Владимирович

НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ

01.01.09 - Дискретная математика и математическая кибернетика

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 5 ДПР

Санкт-Петербург 2013

005057696

Работа выполнена на кафедре прикладной кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научные руководители: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор ЛЕОНОВ Геннадий Алексеевич

кандидат физико-математических наук, доцент КУЗНЕЦОВ Николай Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

ГЕЛИГ Аркадий Хаймович (Санкт-Петербургский государственный университет, заведующий кафедрой теоретической кибернетики)

доктор физико-математических наук, профессор ЪУРКИН Игорь Михайлович (Тульский государственный университет, заведующий кафедрой математического анализа)

Ведущая организация: Институт прикладной физики Российской

Академии наук

Защита состоится 15 мая 2013 г. в 17 часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.29 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199178, Санкт-Петербург, В. О., 10 линия, дом 33-35, аудитория 74.

С диссертацией можно ознакомиться в Научмой библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.232.29 доктор физико-математических наук, профессор

В.М. Нежинский

Актуальность темы. Системы фазовой автоподстройки частоты (ФАП, phase locked loops - PLL) ширцко распространены в радиотехнике и компьютерной архитектуре. Первая система ФАП была изобретена в 1930-х годах фраПцузским инженером Анри де Беллисцизом. Первое широкое применение системы ФАП получили в системе передачи телевизионного сигнала. В девяностых годах прошлого века эти системы стали применяться в многопроцессорных кластерах при параллельной обработке информации и как синтезаторы частот в компьютерной архитектуре. Такое применение систем ФАП для синхронизации тактовых генераторов и синтеза частот импульсных последовательностей потребовало нового, более общего подхода к разработке математического описания систем ФАП.

Несмотря на то, что ФАП является нелинейной системой управления, основным направлением йзучения таких систем в современной инженерной литературе является анализ упрощенных линейных моделей. Строгий нелинейный анализ системы ФАП и различных ее модификаций является сложной задачей, поэтому на практике часто применяется компьютерное моделирование." Численное моделирование ФАП в пространстве сигналов является, как правило, очень трудоемким из-за нелинейности элементов ФАП и высоких частот рассматриваемых сигналов: обычно шаг моделирования, который должен' быть достаточно малым, чтобы отчетливо наблюдать динамику нелинейных элементов ФАП, делает трудным наблюдение за динамикой всей системы. Проведение моделирования в.'ч'астотно-фазовом пространстве позволяет преодолеть эти трудности, но требует построения соответствующих моделей ФАП и строгого обоснования перехода

К НИМ. :V:. . "

Цель работы. Целью работы является вывод, математическое обоснование и исследование нелинейных моделей систем ФАП для различных классов сигналов, специальных систем ФАП с квадратором и двухфазных систем. ФАП, а также численный анализ указанных систбм.

Методы и с следов а, н и я. В работе применялись асимптотические методы анализа высокочастотных колебаний, метод усреднения Крылова-Боголюбова и методы численного решения дифференциальных уравнений. Результаты, выносимые на защиту.

• Выведены нелинейные модели классических систем ФАП для кусочно-дифференцируемых сигналов;

• Выведены нелинейные модели систем ФАП с квадратором для кусочно-дифференцируемых сигналов;

• Разработан метод численного анализа систем ФАП в частотно-фазовом пространстве.

Достоверность результатов. Все результаты, выносимые на защиту, строго математически доказаны. Кроме того, достоверность результатов подтверждает численное моделирование.

Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты позволяют вычислять характеристики фазовых детекторов и могут использоваться для анализа устойчивости модификаций систем ФАП, позволяют существенно сократить время численного моделирования и определять важные характеристики систем, такие как время удержания, время захвата, область удержания, область захвата, что позволяет существенно сократить время разработки систем ФАП и их анализ.

Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на международных конференциях International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (St.Petersburg, Russia - 2012), IEEE 4th International Conference on Nonlinear Science and Complexity (Budapest, Hungary - 2012), 9th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics (Rome, Italy - 2012), 5-ая российская МультиКонференция по Проблемам Управления (Санкт-Петербург, Россия - 2012), International conference Dynamical Systems and Applications (Kiev, Ukrane - 2012), XII международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, Россия - 2012), IEEE 10-th International Symposium on Signals, Circuits and Systems (Iasi, Romania - 2011), 8th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics (Noordwijkerhout, The Netherlands - 2011), 4th IFAC Workshop on Periodic Control System (Antalya, Turkey - 2010), International Workshop "Mathematical and Numerical Modeling in Science and Technology" (Jyväskyla, Finland - 2010); на семинарах кафедры прикладной кибернетики СПбГУ и семинарах факультета информационных технологий (Jyväskyla, Finland).

На полученные в работе результаты были получены положительные заключения от профильных международных компаний, по результатам которых были оформлены патенты [9-10] и свидетельства об интеллектулаль-ной собственности [11-12].

Работа поддержана государственными контрактами в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 20092013 годы

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 19 печатных работах, в том числе: 8 публикаций [1-8], опубликованных в изданиях, рекомендованных ВАК РФ; 2 патента и 2 свидетельства на программу ЭВМ.

В работах [2,6,8,18] соавторам принадлежат постановка задачи, оценка интегральных высокочастотных слагаемых и численное моделирование, диссертанту принадлежат формулировки и доказательства теорем.

В работах [1,4,5,14] соавторам принадлежат постановка задач, формулировка и доказательство теорем, диссертанту принадлежит оценка интегральных слагаемых для разрывных функций.

В работе [13] соавторам принадлежат постановки задач и анализ системы Костаса, диссертанту принадлежит анализ системы ФАП.

В работах [9,10] соавторам принадлежат постановка задачи и формула патента, диссертанту принадлежит описание патента.

В работе [11,12] соавторам принадлежат постановка задачи и программный код основного алгоритма, диссертанту принадлежит программный код интерфейсов и ввода-вывода.

В работе [7,19] соавторам принадлежат постановки задач, вывод и анализ динамической модели, диссертанту принадлежит вывод характеристик фазового детектора.

В работе [3] соавторам принадлежат постановки задач и построение программной модели, диссертанту принадлежит теоретическое обоснование.

Объем и структура д и с с ер та ц и и. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, списка литературы, включающего 101 наименование, изложена на 75 страницах машинописного текста и содержит 70 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается история систем фазовой автоподстройки (ФАП) и методов их исследования. Представлен обзор литературы, обосновываются актуальность и научная новизна диссертации, формулируются задачи, решаемые в диссертации.

1. Постановка задачи.

Рассмотрим блок-схему классической схемы ФАП на уровне электронной реализации, Рис. 1.

>0- ФНЧ

ПГ

Рис. 1. Блок-схема классической системы ФАП на уровне электронной реализации

Схема состоит из следующих блоков: перемножитель, фильтр низких

частот (ФНЧ) и управляемый подстраиваемый генератор (ПГ). Сигналы с подстраиваемого и эталонного генераторов поступают на перемножитель (®) — нелинейный элемент, выход которого, проходя через фильтр низких частот, формирует управляющий сигнал подстраиваемого генератора. Работа ФАП заключается в автоматической подстройке фазы (частоты) сигнала подстраиваемого генератора к фазе (частоте) сигнала эталонного генератора (ЭГ).

Рассмотрим прохождение произведения высокочастотных колебаний через фильтр (Рис. 2). Здесь и /2(02(*)) — высокоча-

ФНЧ

8(0

/2(в!0)

Рис. 2. Перемножитель и фильтр

стотные колебания (сигналы эталонного и подстраиваемого генераторов соответственно), д{Ь) — выход фильтра. Функции /1,2(0) являются периодическими кусочно-дифференцируемыми. в1($),02(Ь) — монотонно возрастающие функции, производные (частоты) которых удовлетворяют неравенствам

0р(т) > шЫп » 1, р= 1,2,

(1)

где шт(п — некоторое положительное число. Отметим, что в современных устройствах частоты генераторов могут достигать десятков гигагерц. Рассмотрим блок-схему, изображенную на Рис. 3.

Рис. 3. Фазовый детектор и фильтр

Зд|сь ФД — нелинейный блок с выходом <р(в*(£) - в2(€)), а характеристики и начальные данные фильтров на Рис. 2 и Рис. 3 совпадают.

Определение. Схемы на Рис. 2 и Рис. 3 называются асимптотически эквивалентными, если на достаточно большом фиксированном интервале времени [0,Т] выполнено

6(4) - = 0(<5), <5 = ¿К™), Ме[0,Т],

(2)

где д(и>пип) -> 0, при оо.

Рассмотрение асимптотически эквивалентных схем позволяет переходить от анализа моделей ФАП на уровне электронной реализации к анализу моделей ФАП в частотно-фазовом пространстве (Рис. 4)

Г№))

8(0

ФИЧ |—

пг

С(0

Рис. 4. Асимптотическая эквивалентность моделей ФАП на уровне электронной реализации и в частотно-фазовом пространстве.

Эквивалентность схем на Рис. 2 и Рис. 3 была показана А. Витерби и Ф. Гарднером (1966) без строгого математического обоснования для синусоидальных сигналов. В работах Г.А. Леонова и С.М. Селеджи (2005) приведены строгие условия высокочастотности и доказана асимптотическая эквивалентность схем на Рис. 2 и Рис. 3 для сигналов вида вт(0) и sign(sin(0)). При этом для синусоидальных сигналов характеристика фазового детектора является синусоидальной, в то время как для сигналов типа sign(sin(#)) характеристика является непрерывной кусочно-линейной функцией.

В данной работе была поставлена задача вычисления характеристики фазового детектора для сигналов общего вида, так чтобы схемы на Рис. 2 и Рис. 3 были асимптотически эквиваленты.

2. Основные предположения.

р оо

т = у + £ (a?cos(i0) + ЩМЩ, Р = 1,2, ¿=1

7Г

ар0 = ^ J fp(x)dx, (3)

—7Г

7Г 7Г

J fPix) cos(ix)dx, Щ = IJ fP(x) sin{ix)dx, i e N.

—7Г —7Г

Соотношение между входом и выходом фильтра имеет вид

ф{1) = ao(t) + J lit- T)£(r)dr, (4)

где Q'o(i) — экспоненциально затухающая функция, линейно зависящая от начального состояния фильтра в момент £ = 0, 7(i) — импульсная переходная функция линейного фильтра. Далее будем предполагать, что 7(£) — дифференцируемая функция с ограниченной производной. Тогда, согласно (4) функция git) имеет вид

* t

git) = a0(i) + J lit- r)f(e'ir))f(e2ir))dT. (5)

Будем предполагать, что разность частот равномерно ограничена на рассматриваемом промежутке времени

I^W-^Wl < Aw, Vre [0,Т], (6)

где Аи! — некоторая константа.

Разобьем промежуток [0,Т] на небольшие интервалы длиной S

V min

Будем предполагать, что

|0"(т) -9Pit)\ < АП, р= 1,2, \t — r\ < 5, Vr,t е [0,Т], (8)

где константа ДГ2 не зависит от t и т. Из соотношений (8) и (7) следует, что на малых интервалах времени функция врЦ) является "почти константой".

Из ограниченности производной 7^) следует существование константы С, такой что

|7(г)-7(01<СЯ, 1*-т|<Я, Ут,*е[0,Т]. (9)

3. Доказана теорема, показывающая асимптотическую эквивалентность систем на Рис. 2 и Рис. 3.

Теорема 1 Если выполнены условия (1), (3), (6) - (9), то система на Рис. 2 асимптотически эквивалентна системе на Рис. 3, где

I 2 -1 00 / \

^в) = ^ + ± £ (^а? + Ь\Щ) со5{1в) + (а}Ь? - Ь}а?) 1»(И)) . (10)

4. Характеристики ФД для различных классов сигналов.

Следующая таблица содержит характеристики фазового детектора для различных типовых классов сигналов.

сигналы, ¡1'2{в)

/^(0) = яп(0)

характеристика, ¡р(в)

0 2 4 6 в 10 12 14

<р(в) = ^соз(б)

0 2 4 6 8 10 12 14

/!.2(0) = 81§п(8т(0))

№

оо

¿Е^соз ((2п-1)0)

О 2 4 6 8 10 12 14

71=1

0 2 4 6 в 10 12 14

/1,2(0) = £Е етсоз ((2п-1)0)

П=1

Е (2^соз((2П-1)0)

п=1

0 2 4 6 в 10 12 14

/1,2(0) = Е И

п=1

<Р(0) = 7гЕ'&С03 И

П=1

О 2 4 6 в 10 12 14

0 2 4 6 8 10 12 14

/\0) = яп(0), Р(в) = и§пзт((?)

О г 4 б 8 10 12 14

Ц,(в) = ±СО8(0)

О 2 4 6 8 10 12 14

/2(0) - 5т"Й

Ч>(0) = 4,8111(0)

0 2 4 б в 10 12 14

0 2 4 6 8 10 12 14

ПО)

п=1

= -ЬЕ

П=1

(2п-1)2

0 2 4 6 8 10 12 14

О 2 4 6 8 10 12 14

П=1

Е (2^1)5 СОЗ ((2п-Щ

п=1

= Е

71= 1

=—I-1-1-1-1-1—Г"

0 2 4 6 8 10 12 14

п=1 * '

/2(б) =з1епзт(0)

<р(в) = $ Е 5'п((2п"1)9)

п=1

(2п—I)3

О 2 4 6 8 10 12 14

5. Анализ систем системы ФАП с квадратором

Рассмотрим блок-схему специальной схемы ФАП с квадратором на уровне электронной реализации, Рис. 5.

фильтр!

т(1)Г(в<(0)

\г'(в'т

квадратор

ФНЧ

ГЧШ

ПГ

8(0

Рис. 5. Система ФАП с квадратором на уровне электронной реализации

Схема состоит из следующих блоков: перемножитель, фильтр низких частот (ФНЧ), квадратор и управляемый подстраиваемый генератор (ПГ). Здесь т(£) = ±1 — передаваемые данные, а = — сигнал эта-

лонного генератора (несущей). ПГ генерирует колебания /2^) = /2(02(4)). Блок квадратора умножает входящий сигнал на себя

Пв\г)) = гп{г)!\в\1))т{г)!\в\1)) = 1\е\1))!\о\1)), (п)

а следующий за ним фильтр убирает постоянную составляющую. Таким образом, сигнал данных тп(£) не влияет на изменение частоты подстраиваемого генератора. Сигналы с подстраиваемого генератора и фильтра (фильтр1) поступают на перемножитель, выход которого, проходя через фильтр низких частот, формирует управляющий сигнал подстраиваемого генератора. Работа ФАП с квадратором заключается в автоматической подстройке фазы (частоты) сигнала управляемого генератора к фазе (частоте) сигнала поступающего на перемножитель после фильтра (фиЛьтр1).

Рассмотрим прохождение произведения высокочастотных колебаний через линейный фильтр (см. блок-схему на Рис. 6)

Рис. 6. Система ФАП с квадратором на уровне электронной реализации Пусть д(£) выход ФНЧ. Тогда, согласно (4) имеем

5(0 = "<>(*) +/о7(* -т)Г{01(т))Г{б2(т))йт. (12)

Теорема 2 Если выполнены условия (1), (3), (6) - (9), то схема на Рис. 6 асимптотически эквивалентна схеме на Рис. 3, где

¥>(*) = \ Е ((А1«/ + В}Щ) С08(16) + (А\Щ - В]а}) 8Ш(Ю)),

Л1 = |Е «(Си + + + ь1т_к)) (13)

т~ 1

оо

В} = * Е - &-/) - +

тп=1

6. Характеристики ФД систем ФАП с квадратором для различных типовых классов сигналов._

сигналы, ¡1'2(9)

Р(в) = 8ш(0), Р(в) = 8ш(20),

характеристика, ¡р(0) ¥>(0) = -±зт(20)

О 2 4 6 8 10 12 14

У1 (0) = £ Е ^¿тр С08 ((2п - 1)6),

П=1

оо

/2(0) = &Еи*со8((4п-2)0),

п=1

ОО

^Е (4^008 ((4п-2)0)

П=1

Т I—г—г

О 2 4 6 8 10 12 14

= Е^ш И,

П=1

С—Г"

п=1

-1—I—I—I—I—г

О 2 4 6 8 10 12 14

/Чб) = вт(б), р(в) =ЯЕП8Ш(20),

^¡ТГЖШ

р(0) = -±8т(20)

О 2 4 6 8 10 12 14

/2(Я) = 8ШП(20),

¥>(#) =-£вш(20)

О 2 4 6 8 10 12 14

7. Вывод дифференциальных уравнений.

Приведен вывод дифференциальных уравнений для систем ФАП на уровне электронной реализации и в частотно-фазовом пространстве. С математической точки зрения линейный фильтр описывается системой линейных дифференциальных уравнений

с[х

— = Ах+ът,т = с*х, (14)

решение которой имеет вид (4), где

- т) = с*еА^Ъ, а„(*) = с*емх0. (15)

Здесь £(£) и -^(£) — соответственно вход и выход фильтра. Закон изменения частоты подстраиваемого генератора обычно принимается линейным

в2=и%ее + Ьс'х(1), (16)

где ш^гее — собственная частота подстраиваемого генератора. Тогда для системы на Рис. 1 получим систему дифференциальных уравнений

¿2 = + Ьс*х. (17)

Отсюда, полагая частоту эталонного генератора постоянной в1{{) = и!1 и вводя обозначение

= 02(£) - шН, ,Л' (18)

получаем

х = Ах + Ь{\иЧ)12(в + иЧ),

в = ш)гее - ш1 + Ьс*х. ^

Используюя теорему об асимптотической эквивалентности схем на Рис. 2 и Рис. 3 и метод усреднения Крылова-Боголюбова можно перейти к анализу более простой автономной системы дифференциальных уравнений

х = Ах + Ь(р(в),

9 = + (20)

где <р{0) — соответствующая характеристика фазового детектора. Здесь для исследования полученной системы хорошо разработаны эффективные методы качественного анализа.

Рассуждая аналогичным образом, можно вывести уравнения для системы ФАП с квадратором.

Во второй главе приведены результаты численного моделирования систем ФАП в на уровне электронной реализации и в частотно-фазовом пространстве.

Далее будем рассматривать сигналы ."треугольный" и "пила". Для формы сигнала "пила" коэффициенты Фурье имеют вид

2 00' 1 ■ - 2 ' 11(0) = -Т-зт(гв), а\= О, Ъ\ =-, . (21)

7Г *—' г ?,7Г

¿=1

"Треугольный" сигнал имеет следующее представление ^ •

О 00 1 о

/2(«> - - ш = (22)

4 = 0, Ь? = 0, ....

Проведено сравнение результатов моделирования в частотно-фазовом пространстве и пространстве сигналов. ......

Реализация моделей в Матлаб (частота ПГ — 99Гц; частота ЭГ — 100Гц; передаточная функция фильтра — 157); усиление на входе ПГ — 10; промежуток времени — 20 с; М = 10. ' - •

Рис. 7. Модель в частотно-фазовом пространстве. Время моделирования 0.3 с

Моделирование в частотно-фазовом пространстве, оказалось здесь в сто раз быстрее. Данный подход представлен в патенте [9]. .

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в журналах и изданиях, рекомендованных ВАК.

1. Леонов Г.А., Кузнецов Н.В., Юлдашев М.В., Юлдашев Р.В. Дифференциальные уравнения схемы Костаса // Доклады Академии Наук. 2012. Сер. Математика, т. 446, вып. 2, С. 149-154.

2. Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Analytical method for computation of phase-detector characteristic // IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs. 2012. Vol. 59, issue 10, P. 633-637

3. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Neittaanmaki P., Seledzhi S.M., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Simulation of phase-locked loops in phase-fiequency domain / International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops. 2012. P. 351-356

4. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Neittaanmaki P., Seledzhi S.M., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Nonlinear mathematical models of Costas Loop for general waveform of input signal / IEEE 4th International Conference on Nonlinear Science and Complexity, NSC 2012 - Proceedings. 2012. P. 75-80.

5. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Nonlinear analysis of Costas loop circuit / ICINCO 2012 - Proceedings of the 9th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. 2012. Vol. 1, P. 557-560.

6. Леонов Г.А., Кузнецов H.B., Юлдашев M.B., Юлдашев Р.В. Вычисление характеристик фазового для сигналов общего вида // Доклады Академии Наук. 2011. Сер. Математика, т. 84, вып. 1, С. 586-590.

7. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Analytical methods for computation of phase-detector characteristics and PLL design / Proceedings of IEEE 10-th International Symposium on Signals, Circuits and Systems. 2011. P. 7-10.

8. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Neittaanmaki P., Seledzhi S.M., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. High-frequency analysis of phase-locked loop and phase detector characteristic computation / ICINCO 2011 - Proceedings of the 8th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. 2011. Vol. 1, P. 272-278.

Патенты и свидетельства

9. Кузнецов Н.В., Леонов Г.А., Селеджи С.М., Юлдашев М.В., Юлдашев Р.В. Патент РФ на полезную модель. Модулятор параметров фазового детектора, R.U 2449463 С1. 2011.

10. Кузнецов Н.В., Леонов Г.А., Селеджи С.М., Юлдашев М.В., Юлдашев Р.В. Патент РФ па изобретение. Способ для определения рабочих параметров фазовой автоподстройкп частоты генератора и устройство для

его реализации. RU 11255 U1. 2011.

11.Кузнецов Н.В., Леонов Г.А., Селеджи G.M., Юлдашев М.В., Юл-дашев Р.В. Свидетельство на программу для ЭВМ. Программа для определения и моделирования основных характеристик систем фазовой автоподстройки частоты (MR). №2011613388. 2011.

12. Кузнецов Н.В., Леонов Г.А., Селеджи С.М., Юлдашев М.В., Юлдашев Р.В. Свидетельство на программу для ЭВМ. Программа для определения и модлеирования основных характеристик систем Costas Loop (CLMod). №2011616770. 2011.

Другие публикации

13. Леонов Г.А., Кузнецов Н.В., Юлдашев М.В., Юлдашев Р.В. Фазовая синхронизация в аналоговой и цифровой схемотехнике / Материалы пленарного заседания. СПб:5-ая российская МультиКонфереиция по Проблемам Управления (Санкт-Петербург, Россия). 2012. С. 24-31.

14. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Nonlinear analysis of analog phase-locked loop / Proceedings of International conference Dynamical Systems and Applications. 2012. P. 21-22.

15. Юлдашев Р.В. Нелинейный анализ систем фазовой автоподстройки с фазовым детектором реализованным виде перемпожителя / Тезисы докладов XII международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». 2012. С. 350-352.

16. Юлдашев Р.В. Эффективное моделирование систем фазовой автоподстройки / Материалы 3-й межвузовской научной конференции по проблемам информатики. 2012. С. 459-460.

17. Юлдашев Р.В. Вычисление характеристики фазового детектора-перемножителя для синусоидального и импульсного сигналов / Материалы 2-й межвузовской научной конференции по проблемам информатики. 2011. С. 391-392. '

18. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Neittaanmaki P., Seledzhi S.M., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Nonlinear Analysis of Phase-locked Loop / Abstract of Mathematical and Numerical Modeling in Science and Technology. 2010. P. 4.

19. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Neittaanmaki P., Seledzhi S.M., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Nonlinear Analysis of Phase-locked loop / 4th 1FAC Workshop on Periodic Control System. 2010. Vol. 4, PART 1, P. 34-38.

Подписано к печати 08.04.13. Формат60x84 '/и. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ 5761.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-6919

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Юлдашев, Ренат Владимирович, Санкт-Петербург

Санкт-Петербургский Государственный Университет

На правах рукописи

НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ ФАЗОВОЙ

АВТОПОДСТРОЙКИ

01.01.09 - Дискретная математика и математическая

кибернетика

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Леонов Г.А.,

кандидат физико-математических наук,

доцент Кузнецов Н.В.

04201356879

Юлдашев Ренат Владимирович

Санкт-Петербург 2013

Оглавление

Введение 4

1 Системы ФАП 13

1.1 Нелинейный анализ и синтез классических систем ФАП ... 13

1.1.1 Основные предположения................................16

1.1.2 Основной результат ......................................17

1.1.3 Характеристики фазового детектора ФАП ............32

1.2 Нелинейный анализ и синтез систем ФАП с квадратором . . 36

1.2.1 Асимптотически эквивалентная схема для ФАП с квадратором ....................................................36

1.2.2 Характеристики фазового детектора ФАП ............38

1.3 Нелинейный анализ и синтез двухфазных систем ФАП ... 40 1.3.1 Двухфазная система ФАП................................40

1.4 Вывод уравнений системы........................................41

1.4.1 Предположения............................................42

1.5 Метод усреднения................................................43

1.5.1 Теорема H.H. Боголюбова................................44

1.5.2 Применение теоремы H.H. Боголюбова к схемам ФАП 45

2 Моделирование 48

2.1 Описание программной модели..................................48

2.2 Результаты моделирования......................................51

Выводы 61

Литература 62

Введение

Схемы фазовой автоподстройки (ФАП) были изобретены в начале двадцатого века [1,2] и широко применялись в радио и телевидении (демодуляция и восстановление несущей, синхронизация и синтез частот). В настоящее время существуют различные модификации схем ФАП (аналоговые, аналогово-цифровые, цифровые, программные), предназначенные для работы с различными типами сигналов (синусоидальный, импульсный и т.д.). После реализации в виде отдельного чипа, ФАП получили широкое распространение в современном телекоммуникационном оборудовании [3-16], распределенных компьютерных архитектурах [3,17-19]. Системы ФАП также применяются в различных механических устройствах, в локации и навигационных системах.

Для изучения устойчивости требуемых рабочих режимов, оценок областей притяжения этих режимов и оценок времени переходного процесса при проектировании инженерами в основном применяются [20] численные и аналитические методы анализа математических моделей ФАП. Здесь необходимо отметить, что описание принципов работы ФАП содержит рассмотрение работы нелинейного элемента (фазового детектора, ФД). Несмотря на это, как было отмечено известным экспертом по ФАП Д. Абрамовичем на пленарном докладе American Control Conference 2002 [20], основным направлением в современной литературе, посвященной анализу устойчивости и синтезу ФАП, является применение методов линейного анализа,

эмпирических правил и моделирования [21-23,23,24,24-29]. Однако, хорошо известно, что применение методов линейного анализа к нелинейным системам без строгого математического обоснования может приводить к неверным результатам [30,31].

Для проведения качественного анализа работы ФАП используют переход от неавтономной модели ФАП на уровне электронной реализации к автономной динамической модели ФАП на уровне частотно-фазовых соотношений [3,20]. Здесь для построения адекватной нелинейной математической модели ФАП в частотно-фазовом пространстве необходимо: 1) определять характеристику фазового детектора, которая зависит от конкретной реализации ФД и типов рассматриваемых сигналов; 2) обосновывать корректность перехода от модели на уровне электронной реализации к модели в частотно-фазовом пространстве. Характеристика для синусоидальных и импульсных сигналов хорошо известна инженерам (см. например [3,20,32-35]). Однако, для ряда приложений необходимо рассматривать несинусоидальные (Рис. 0.1 - Рис. 0.3) сигналы [9,13].

3.5 О

Э.5 -1

0 2 4 6 8 10 12 14

Рис. 0.1: "Треугольный " сигнал

3.5 О 3.5 -1

Рис. 0.3: Импульсный сигнал

В работе на примере системы ФАП с фазовым детектором реализованным в виде перемножителя и системы ФАП с квадратором обсуждаются общие принципы вычисления характеристики фазового детектора и обоснования перехода к частотно-фазовым соотношениям, основанные на строгом математическом анализе высокочастотных колебаний [36-48] и методе усреднения Крылова-Боголюбова [49,50].

Численное моделирование ФАП может быть проведено для модели на уровне электронной реализации (в пространстве сигналов/времени) или частотно-фазовом пространстве. Полное моделирование ФАП в пространстве сигналов/времени является, как правило, очень трудоемким и про-

О 2 4 6 8 10 12 14

Рис. 0.2: Сигнал "Зуб пилы"

1-1 1 -Г

' I _I ' I _' '

0 2 4 6 8 10 12 14

водится редко из-за нелинейностей фазовых детекторов и высоких частот рассматриваемых сигналов. Согласно Д. Абрамовичу [51,52] "Обычно, шаг моделирования, который должен быть достаточно малым, чтобы отчетливо наблюдать динамику фазового детектора, делает трудным наблюдение за динамикой всей системы." Существует другой подход, позволяющий моделировать ФАП в частотно-фазовом пространстве, который использует только большой шаг дискретизации, тем самым уменьшая время моделирования. Однако, моделирование в частотно-фазовом пространстве требует построения соответствующих моделей ФАП и строгого обоснования перехода к ним. Так, в 1961 году Н. Губарь [53] аналитически показала возможность существования скрытых колебаний [31,54,55] в двухмерной модели ФАП: в рассмотренной системе с вычислительной точки зрения все траектории стремятся к состояниям равновесия, но в действительности область притяжения состояний равновесия является ограниченной (Рис. 0.4).

Также сложные бифуркационные эффекты, изучение которых требует развития и применения специальных аналитических и численных ме-

тодов [45,54,56-62], могут наблюдаться даже в простейших дискретных одномерных моделях ФАП.

В последнее время системы ФАП стали широко применяться в системах цифровой обработки сигналов и многопроцессорных (многоядерных, Рис. 0.5) системах [43,45,63,64]. Например, в процессорах DSP 56000 и DSP 56 К (Motorola) [65]. Системы ФАП показали свою высокую эффективность как генераторы тактовых импульсов и как устройства для коррекции расфазировки [63-65].

Рис. 0.5: Схема материнской платы с чипом ФАП

Основным требованием к системам ФАП применяемых для цифровых сигнальных процессоров (Digital signal processor, DSP) является полное устранение расфазировки. В [66] рассмотрен эталонный генератор(ЭГ)

передающий импульсы по шине на процессоры Пк (Рис. 0.6).

ЭГ _ -►

Г > Г у *

П1 П2 ПЗ

Рис. 0.6: Эталонный генератор передает импульс по шине к процессорам П1, П2, ПЗ.

При исполнении параллельных программ на многопроцессорной (многоядерной системе) системе, процессоры должны выполнить определенную последовательность операциий одновременно. Выполнение этих операций должно быть начато в момент поступления импульсов ЭГ на процессоры. Так как длины путей, которые пробегает импульс от ЭГ до каждого из процессоров различаются, они не смогут начать вычисления синхронно. Этот феномен называется сдвигом фазы или "расфазировка". Ликвидация сдвига фазы является одной из важнейших проблем в параллельных вычислениях и параллельной обработке информации.

Существует несколько подходов к решению проблемы устранения сдвига фаз. Одним из решений является применение специальных топологий соединения процессоров "Н^гее", Рис. 0.7. При такой топологии, длины путей, по которым проходит импульс от ЭГ до каждого из процессоров одинаковы.

Рис. 0.7: Соединение процессоров по топологии "Н-^ее"

Однако, в этом случае сдвиг фаз не ликвидируется полностью из-за гетерогенности проводников [66]. Кроме того, для большого числа процессоров топология проводников становится очень сложной, что ведет к техническим трудностям при их реализации.

Другим решение проблемы сдвига фаз (на программном уровне) стало изобретению протоколов асинхронной связи, которые корректируют рас-фазировку с помощью введения задержек [66]. Другими словами, использование таких протоколов позволяет избегать искажения результатов вычислений откладывая обработку информации во время работы алгоритма. Недостатком такого подхода является падение производительности выпол-

нения параллельных алгоритмов.

Кроме проблемы сдвига фаз, существует еще одна важная проблема. Увеличение количества процессоров в системе приводит к увеличению мощности эталонного генератора импульсов. Но ЭГ высокой мощности приводят к существенным электромагнитным помехам.

Примерно 20 лет назад был предложен новый метод для устранения сдвига фаз и уменьшения мощности ЭГ. Он заключается во введении специальной распределенной системы генераторов, управляемых ФАП, Рис. 0.8.

Рис. 0.8: Эталонный генератор передает импульс по шине к процессорам ПІ, П2, ПЗ используя системы ФАП

Приемуществом этого метода, по сравнению с протоколами связи, является отсутствие искусственных задержек в работе параллельных программ. Этот подход так же позволяет значительно уменьшить мощность генераторов.

Далее следуя [37,38,45,67-69,69-75], на примере классической системы ФАП и ФАП с квадратором [21-24,76,77], рассмотрены основные принципы вычисления характеристики фазового детектора для различных

классов сигналов, основанные на строгом математическом анализе высокочастотных колебаний.

1. Системы ФАП

1.1. Нелинейный анализ и синтез классических систем ФАП

Рассмотрим блок-схему классической схемы ФАП [22,78-80] на уровне электронной реализации, Рис. 1.1.

Рис. 1.1: Блок-схема классической системы ФАП на уровне электронной реализации

Схема состоит из следующих блоков [21,32,33,63,81-86]: перемножитель, фильтр низких частот (ФНЧ) и управляемый подстраиваемый генератор (ПГ). Сигналы с подстраиваемого и эталонного генераторов поступают на перемножитель (®) — нелинейный элемент, выход которого, проходя через фильтр низких частот, формирует управляющий сигнал подстраиваемого генератора. Работа ФАП заключается в автоматической подстройке фазы (частоты) сигнала управляемого генератора к фазе (частоте) сигнала эталонного генератора (ЭГ) [64,67,87-92].

Рассмотрим прохождение произведения высокочастотных колебаний через линейный фильтр (Рис. 1.2). Здесь и /2(#2(£)) — высо-

кочастотные колебания (сигналы эталонного и подстраиваемого генера-

ФНЧ

ї2(02(Ф

Рис. 1.2: Перемножитель и фильтр

торов соответственно), д{£) — выход фильтра. Функции /1,2(в) являются 27г-периодическими кусочно-дифференцируемыми. 01(£),(92(£) — монотонно возрастающие функции, производные (частоты) которых удовлетворя-

ют неравенствам

0р(г) > штіп » 1, р = 1, 2,

(1.1)

где шт1П — некоторое положительное число. Отметим, что в современных устройствах частоты генераторов могут достигать десятков гигагерц. Рассмотрим блок-схему, изображенную на Рис. 1.3.

в'(О

Рис. 1.3: Фазовый детектор и фильтр

Здесь ФД — нелинейный блок с выходом — #2(і)), а характе-

ристики и начальные данные фильтров на Рис. 1.2 и Рис. 1.3 совпадают.

Определение. Схемы на Рис. 1.2 и Рис. 1.3 называются асимптотически эквивалентными, если на достаточно большом фиксированном ин-

тервале времени [О, Т] выполнено

С(і)-д(і) = 0(6), 6 = 6(штіп), те [О,Т],

(1.2)

где 6(штЫ) -> О, при шт1п оо.

эг

ФНЧ

пг

Е(0

эг т) ФД

<р(Є<(0-&(0)

ФНЧ

пг

0(1)

/ \ С(і) -

, , ,

10 о 1

9 10

Рис. 1.4: Асимптотическая эквивалентность моделей ФАП на уровне электронной реализации и в частотно-фазовом пространстве.

Эквивалентность схем на Рис. 1.2 и Рис. 1.3 была показана А. Ви-терби [32] без строгого математического обоснования для синусоидальных сигналов. В работах Г.А. Леонова и С.М. Селеджи [43] приведены строгие условия высокочастотности и доказана асимптотическая эквивалентность схем на Рис. 1.2 и Рис. 1.3 для сигналов вида зіп(0) и sign(sin(0)).

В данной работе была поставлена задача вычисления характеристики фазового детектора, так чтобы схемы на Рис. 1.2 и Рис. 1.3 были асимптотически эквиваленты.

1.1.1. Основные предположения

р 00

fP(0) = ^ + £ cos(¿61) + Щ sin(¿0)) ,

z г=1

7Г

(1.3)

аР{ = — / /р(х) cos(z:r)Gte, тг J

-7Г 7Г

= I J fP(x) sm(ix)dx, i e N.

—7Г

Соотношение между входом и выходом фильтра имеет вид

ф(г) = aoW + J l{t - тШт)с1т, (1.4)

где ao(t) — экспоненциально затухающая функция, линейно зависящая от начального состояния фильтра в момент t = 0, 7(t) — импульсная переходная функция линейного фильтра. Далее будем предполагать, что 7(t) — дифференцируемая функция с ограниченной производной. Тогда, согласно (1.4) функция g{t) имеет вид

g(t) = a0(t) + J7(i - r)fl{e\T))f2{e\r))dT. (1.5)

Будем предполагать, что разность частот равномерно ограничена на рассматриваемом промежутке времени

\в\т)-в2{т)\ < Аш, Vr G [О,Т], (1.6)

где Acj — некоторая константа.

Разобьем промежуток [О, Т] на небольшие интервалы длиной 5

(1.7)

\в?(т)-вЩ\ < ДП,р=1,2, |*-т| < 6, Ут,* Є [0,Т],

(1.8)

где константа ДГ2 не зависит от £ и г. Из соотношений (1.8) и (1.7) следует, что на малых интервалах времени функция 0Р(£) является "почти констан-

«-»55

той .

Из ограниченности производной 7(2) следует существование константы С, такой что

1.1.2. Основной результат

Докажем теорема, показывающаю асимптотическую эквивалентность систем на Рис. 1.2 и Рис. 1.3.

Ь(т) - <у(і)\ < С6,

|£ - т| < 5, Ут,і Є [0,Т].

(1.9)

Теорема 1.

Если выполнены условия (1.1), (1.3), (1.6) - (1.9), то система на Рис. 1.2 асимптотически эквивалентна системе на Рис. 1.3, где

№ =

оо

(KV + Ь]ЬЪ cos (18) + (a}bf - Ь}а}) sin(W)J. Доказательство.

Пусть t Є [О, Т]. Рассмотрим разность g(t) - G(t) =

(1.10)

/7(i - ') [/Ч^))/2^)) - 4>{e\s) - «'(«))

(is.

(1.11)

Пусть m Є N U {0} такое, что t Є [m<5, (т +1)<5]. Согласно (1.7)

Т п

m < — + 1. д

(1.12)

Из условия непрерывности следует, что функция 7(£) ограничена на [0, Т], кроме того функции Р{0),/2(0) и (р(9) ограничены на К. Тогда верны

следующие оценки

(m+l)S

J 1(t-s)fl(61(s))f(92(s))ds = 0(6)., t

(m+l)5

J j(t - s)ip(e2(s) - 6l(s))ds = 0(5). t

Отсюда следует, что (1.11) можно представить в виде

g(t) - G(t) =

m р

£ J 1 (t-s) }\e\s))j\e\s))

(1.13)

fc=0

(1.14)

[fcc5,(A;+l)<5]

ds + 0(6).

Далее покажем, что на каждом из промежутков [кб, (к 4- 1)5] соответствующие интегралы равны 0(52), что с учетом (1.12) влечет утверждение теоремы.

Из условий (1.9) следует, что на каждом из промежутков [кб, (к + 1)5] справедливо соотношение

7(í - s) = 7 (t - кб) + 0(6), t> s, se [кб, (к + 1)0]. (1.15)

Причем данное соотношение выполнено равномерно по í и 0(5) здесь не зависит от к. Тогда, используя (1.14), (1.15) и ограниченностью функций f1(9)J2(e),(f(0), получим

g(t) - G(t) =

т „

= $>(« - ks) J [/Ч^))/2(02(*)Ь (U6) k=o [fcj,(jb+i)¿]

- v(e2(s) - e\s)) ds + 0(5).

Обозначим

0¡(s) = 6p(k5) + ép(k5)(s - k5), p = 1,2. (1.17)

Тогда, из условия (1.8) при s G [кб, (к + 1)5] имеем

П^ВД + ОД- (1.18)

Из (1.6) и ограниченности производной ip(9) на R имеем

J \v(e\s) - в^з)) - v(el(s) - 9l(s))\ds = 0(62). {119)

[kS,(k+l)S\

По условию f1(d),f2(6) — кусочно-дифференцируемые функции на R. Если f1(0),f2(9) к тому же непрерывны на Ш, то для f1($1(s))f2(e2(s)) вы-

полнено

[к6,(к+Щ

(1.20)

= J fieKs^fieKs^ds + OiS2).

[k5,(k+l)8]

Лемма 1 и лемма 2, доказанные ниже, дают ту же оценку для случая, когда у и f2(9) есть хотя бы одна точка разрыва. Тогда, используя (1.20) и (1.19), равенство (1.16) можно переписать следующим образом

g(t) - G(t) =

т „

Х> (t~kS) J ^(el(e))f(el(S))

к=0 [ks,(k+1;

-<p(0l(s)-OUs))

ds + 0(5) =

k=0

(1.21)

/ [(| + Е1а<со8 ИМ) +з1п И(«)))

[кб,(к+1)б\

/ 2 00 \ (| + Есо8 («))+$Им))

- Ц>(в1(8) - в\(8)) ¿8 + 0(6) .

Согласно Лемме 1 можно выбрать достаточно малые интервалы, вне которых функции /Р(0Р(£)) и /р(#^(£)) непрерывны. По признаку Жордана о равномерной сходимости рядов Фурье [93], на каждом из промежутков, который не содержит точек разрыва, ряды Фурье функций /1{9), 12(0) сходятся равномерно. Тогда существует такое число М = М(5) > 0, что вне достаточно малых окрестностей точек разрывов функций fp(вp(t)) и сУмма первых М членов ряда приближает исходную функцию с

точностью 0(5). Следовательно, используя равенство (1.21) и ограниченность Р(9) и Р{9) на К, имеем

д{і) - = - кб)

к=О

/-, I м

(т+Е со8 К м)+$8іп Им)

[к6,(к+Щ

(2 М

| + £ О? СОв (,<*(«)) 8 ІПЙ(8))

І=1

¿5 + 0(5).

Таким образом,

т „

/с=0 Г, І/,, 1

І=1 2 ^

+ I С08 (г^(5)) + 6; 8ІП «(*)) +

г=1

М М , ,

+ £ £ К со8 Им)+8іп И м)

г=1 7=1 ^ ^

а? сов (і^(5))+6728іп (^(в))

сів+ 0(6).

(1.22) (1.23)

1.24)

1.25)

1.26)

1.27)

1.28) 1.29)

Ясно, что (1.25) и (1.26) являются ^^у-периодическими функциями на промежутке [к5, (к + 1)5] с нулевым средним. Тогда их интегралы по проме-

жутку [к5, (к -I- 1)6] малы

Г Г 1 м

1-j-lUl 3=l

[к6,(к+Щ

al Л , ......, . .....(1-30)

as —

+ f Х>1со8И00) +6!sin(^(s))

i=i

= 0(5').

Рассмотрим одно из слагаемых суммы (1.28). Используя формулы произведения синусов и косинусов, получим

[а] софв1) + Ъ] sin (ie1)) (a2 eos {je2) + b] sin (je2)) = = а\а) cos(ie1) cos(j#2) + a]b2 cos^fl1) sin(j92)+

+ b]a) sin^fl1) соs(j6>2) + b]b) sin^fl1) sin(j(92) 1 2*

= iaja^cos^1 - j92) + cos(¿é'1 + je2)) +

i.a¡b2( - sin(Í91 - je2) + sin{i9l + je2)) + + ibja^sin^1 -je2) + sin(# + je2))+ (1.31)

¿a

^2(cos(ie1-je2) - eos(ie1 +je2)) =

= l((ala2 + blb2)cos(iel-je2)+ + b]a2) sin(z^1 — je2)) +

+ + cos (ie1 + je2)+

(a}b23+b]a23)sm(iel+je2)).

Обозначим

MvjOO = (1-32)

i ((aja2 + bjbj) cos(# - je2) + (-а]Ь] + bja*) sin^1 - je2)+ (1.33)

+ (-b]b2 + a]a2) eos (ie1 + je2) + (a¡b2 + b\a2) sin^1 + jfl2)) . (1.34)

Тогда, используя (1.30) и (1.24), имеем g(t) - G(t) =

ТП р

Y,4{t-k8) J

к=0

аУ2

(1.35)

мм 1

Е Е м*) - - он*)) ds+о(5).

i=1 3=1 -1

Из (1.1) следует, ЧТО ДЛЯ произвольной ПОСТОЯННОЙ Со