Нетрадиционные задачи теории упругой устойчивости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.08 ВАК РФ

С

! I

' 0 ФЕЗ

На правах рукописи

НОВИКОВ ВАЛЕРИЙ ВЯЧЕСЛАВОВИЧ

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени-доктора физико-математических наук

Нижний Новгород 1998

На правах рукописи

НОВИКОВ ВАЛЕРИЙ ВЯЧЕСЛАВОВИЧ

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени-доктора физико-математических наук

Нижний Новгород 3998

Работа выполнена в Нижегородском государственном педагогическом университете

Научный консультант -

доктор физико-математических наук, профессор Г.Г.Денисов

Официальные оппоненты:

Доктор технических наук, академик РАЕН, профессор Ю.И.Ненмарк

доктор технических наук, профессор А.Н.Панченков

доктор физико-математических наук, профессор А.И.Потапов

Ведущая организация - Московский энергетический институт

(технический университет)

Защита состоится " ^ " о>-см>|<~ 1998г. в 4С час-, на заседании диссертационного совета Д. 063. 77.05. при ННГУ им. Н. И. Лобачевского по адресу: 603600, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 6

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного университета

Автореферат разослан " Д^ " января 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.063.77.05 к. т. н., доцент Б.В.Трухин

■ В данной работе изучаются стационарные состояния деформируемых систем и -их динамическое поведение ввда устойчивость -неустойчивость. Теория упругой устойчивости претерпевает в последние десятилетия интенсивное развитие, которое прежде всего стимулируется' запросами техники. Имеется обширная литература по устойчивости деформируемых систем, в том числе ставшие классическими книги В.В. Болотина, A.C. Вольмира, Э.Й. Гри-голюка, В.В. Кабанова, Ф.М. Диментберга, Я.Г. Пановко. Шесте с тем, непрерывное развитие теории и растущие потребности техники требуют постоянного уточнения исходных позиций для новых исследований, разработки новых направлений в теории, рассмотрения новых классов задач.

Характерная особенность рассматриваемых в работе объектов заключается в том, что их динамика во многом ыокет определяться малыми факторами: деформациями, внешней и внутренней диссипацией, несовершенствами формы, анизотропией упругих свойств, малыми внешними воздействиями и т.п. Такие системы обладают богатой динамикой. В их поведении обнаруживаются новые интересные явления, требующие пересмотра устоявшихся представлений и подходов к моделированию тех или иных классов объектов. Исследование устойчивости таких систем ввиду "чувствительности" результатов к малым поправкам в модели представляет весьма непростую проблему. Отсюда вытекает потребность в разработке новых методов определения границ областей устойчивости, которые базировались бы на результатах исследования более простых моделей. Эти обстоятельства дали основание назвать рассматриваемые задачи нетрадиционными.

Научная новизна работы состоит в следующем.

- Проведено систематическое исследование влияния упругих и вязких свойств тел на их свободные угловые движения, представляющее следующее после рассмотрения движений абсолютно твердого тела приближение в описании, динамики реальных тел. Полученные результаты являются существенным продвижением в

.изучении этого нового класса задач динамики деформируемого тела.

- Предложен новый для теории упругой устойчивости взрывной механизм нарушения устойчивости равновесия деформируемых систем, исходя из которого дан способ определения границы области устойчивости при расчетах конкретных объектов.

- Изучены новые аспекты динамики систем с подвижными нагрузками. Это - необходимость дополнительного краевого условия при учете внутреннего трения, особенности динамики и исследования устойчивости систем, моделируемых как движущаяся неоднородность - безграничная среда, возможность движения нагрузки по двумерной упругой системе без сопротивления.

Методы исследования. В работе использовались методы аналитической механики, математической физики, асимптотические методы, основные теоремы и методы теории устойчивости, систем с конечным числом степеней свободы и систем с распределенными параметрами, математический аппарат шаровых векторов.

Достоверность полученных результатов основывается на стро-' гом и обоснованном применении математических методов, согласии результатов с общими теоремами механики и свойствами симметрии задач.

Практическая ценность работы состоит в том, что ее результаты могут использоваться при проектировании конструкций и технических устройств; Результатам дана наглядная интерпретация, они изложены в форме, удобной для практических расчетов. Большая часть результатов может найти применение в учебной работе.

Результаты рассмотрения задач, составивших основу диссертации. докладывались на 71 Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (. Ташкент, 1986 > , конференциях по динамике твердого тела и устойчивости движения <. Донецк, 1981., 1990 ) , ЗУ симпозиуме "Теоретические вопросы магнитоупругости" ( Ереван, 1989 ) , на I и 1У конференциях "Нелинейные кол'еба-. ния механических систем" с Нижний Новгород, 1987, 1996 ) и др.

Диссертация написана по 12 статьям, опубликованным преимущественно в академических изданиях.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Содержание изложено на 170 страницах, включая список литературы из 54 названий.

(»ДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Огть темы "Нетрадиционный задачи теории упругой устойчивости" раскрыва8тся при обсуждении четырех различных классов задач динамики деформируемого тела. В первой части работы С глава I> речь вдет о свободных угловых движениях тел с учетом их упругих и вязких свойств. Вторая часть посвящена рассмотрению задач динамики систем, испытывающих внешнее воздействие : неконсервативных, т.е. нагруженных непотенциальными силами, ограниченных систем С Глава 2), ограниченных упругих систем, моделируемых обычно как консервативные, (.Глава 3) и безграничных систем с подвижными нагрузками ( Глава 4 )

I. О свободных угловых ( эйлеровых) движениях деформируемого твердого тела. Обычно при рассмотрении движений твердого тела его считают абсолютно твердым, т.е. не принимают во внимание деформации, происходящие при движении. Тогда скорость и положение ка-эдого элемента тела можно вычислить по известному движению системы координат, жестко с ним связанной. Угловые движения тала относительно центра масс характеризуются угловой скоростью связанной системы координат. Следующей после абсолютно твердого тела более сложной и богатой динамикой моделью реальных объектов является линейное вязко-упругое тело. Однако учет вязко-упругих свойств тела существенно усложняет задачу. Деформируемое тело совершает колебания и участвует в угловых движениях, причем само понятие "угловые движения вязко-упругого тела" нуждается в уточнении.

•Задача об угловых движениях деформируемого тела поддается анализу, когда оно достаточно жестко: упругие колебания 'и движения тела как целого имеют существенно различные частоты, а внутренняя диссипация обеспечивает быстрое затухание колебаний. Этому новому классу задач динамики и устойчивости упругих систем посвящена первая часть работы. Рассмотрение включает постановку задачи об угловых движениях вязко-упругого тела, анализ связи симметрии формы и упругих свойств тела с его угловыми движениями, решение ряда задач динамики конкретных объектов, в поведении которых влияние вязко-упругих свойств проявляется наиболее отчетливо.

В такой постановке решали задачу Ф.Л. Черноусько и Н.Е.

Егармин в силу" чего их результаты и результаты данной работы имеют точки соприкосновения. Ф.Л. Черноусысо рассматривал угловые движения жестко соединенных твердого и деформируемого тел и нашел, что наличие собственной упругости и диссипации сводится к действию на тело возмущающих моментов, имеющих вид многочленов соответственно четвертой и пятой степеней компонентов угловой скорости твердого тела. Наблюдая за движением системы координат, связанней с абсолютно твердым телом, Н.Е. Егармин показал, что учет собственной упругости дает поправки в выражения для момента количества движения и кинетической энергии тела, характеризуемые тензором четвертого ранга.

Угловые движения деформируемого твердого тела это - движения: системы координат с началом в центре масс тела, в которой равен нулю обусловленный упругими деформациями момент количества движения, что математически выражается как интегральные условия для деформации оЛ^ ±) :

\ И<Ь/ -- о ¿V - О ' (I)

Уравнение движения элемента объема однородного изотропного тела в означенной системе координат 0зсэс2эса и условия отсутствия напряжений на его поверхности Б имеют вид

¿[й + С^г + аЯ + [3[(?(г+й>0 +2[3.а]} =

Здесь - компоненты вектора нормали к поверхности тела, и.рг - тензор деформации, х-->У , % ,£.г= % = .

) с Г* К*

^ - плотность, параметры Л и ^л характеризуют упругие, а £, и - вязкие свойства тела, V - его объем ,

- характерный размер тела, а - характерное вре-

мя движения тела как целого относительно центра масс, деформация тела и его угловая скорость ¿3(4) определя-

ются в результате решения задачи (I) , (.2) [ 2 ]]

Предполагается, что выполнены условия £. « 8 <:< 1 Физический смысл которых в том, что периоды упругих колебаний X. много меньше времени их затухания Т^ , которое, в свою очередь, много меньше периода вращательных двгасеняй :

« Т^ « . Заметим, что при некоторых формах тела

это ограничение делает интервал допустимых значений угловой скорости весьма малым. Так, для сильно вытянутого тела (стержня-) , второй характерный размер которого о. , имеем б =

(формулированные условия позволяют представить вектор смещения в ввде . и-С^Л-) = £о &")+....

Подстановка в СО, (2) приводит к квазистатичес-

кой задаче для О/ : ^ = ^

^эеа + дй' -

ВУ (зу + уо на

Решением задачи (З-) является вектор деформации и/ и угловая скорость <3 , отвечающая движению недеформируемо-го тела. Поправку к со , обусловленную упругостью, можно

о

найти, рассматривая следующее приближение по е, , но придется вычислять также и./// . Этого можно избежать.

Момент количества движения удовлетворяет векторному урав-ненио Й + С^Ю-О (4

которое нетрудно получить, умножив уравнение (2) на. + 1С и проинтегрировав _полученное соотношение по "V .в выражениях для К = <1)^ в отличие от абсолютно твердого тела элементы тензора инерции зависят от деформации:

Поскольку интересуемся поправкой к со , нет необходимости рассматривать задачу для г£/// . После решения задачи С 3) по и/ вычисляются поправки к компонентам тензора инерции

, которые в этом приближении имеют вид + Ь2!'-'..

Затем по ( 4 ) определяется угловая скорость ^СЗ $ учетом упругих свойств тела.

Наличие малых параметров позволило свести сложную задачу С I> , с2) к более простой квазистатической. Тем не менее, изучение конкретных систем остается сопряженным с большими трудностями. Некоторые заключения о движении деформируемого тела можно вделать, не решая задачу СЗ} и сходную квазистатиче скую задачу для и , а рассматривая интегралы движения 2 Компоненты вектора кинетического момента в консервативном

приближении имеют вид К■ = К° + иЭ, и)

а анергия тела Е определяется выражением

Очеввдна инвариантность К-с^.^ к перестановке индексов, поэтому число различных компонент К-^ I™ равно 15 и соответствующим выбором системы координат может быть уменьшено до 12. Симметрия К-ц-^ . отражает свойства симметрии тел, чем выше степень симметрии, теш меньше число различных компонент этого тензора. Для некоторых фигур число независимых компонент К^-е,^ приведено в следующей таблице. Л

форма тела : Число

Произвольная форма тела 12

Тело, обладающее симметрией эллипсовда, прямоугольный параллелепипед о, ф & ф. с 6

Прямоугольный параллелепипед о.« 6 ^ с 4

Круговой цилиндр, эллипсоид вращения, .

правильные призмы с числом боковых сторон и? 4 3

Октаэдр, куб, тетраэдр, тело, форма которого имеет сишетркю сферической функции V. (9^) с ¿=1,4 2

Шар, икосаэдр, додекаэдр, тело с поверхностью, имеющей симметрию с г >4 I

В консервативном случае с о) по двум интегралам Е = coMst и к = const можно найти траектории движения вектора to относительно тел и решить задачу об устойчивости стационарного вращения. Ввд полодий можно получить из следующих соображений. Направления стационарных вращений будут соответствовать осям симметрии тел. Следовательно, поверхность } имеет либо экстремумы, либо седловые точки вдоль этих направлений и в этом смысле как бы повторяет поверхность тела. Эти же соображения относятся в равной мере к К2 = сомь"Ь . в случае однородных тел, имеющих в не деформированном состоянии форму правильных многогранников и обладающих в недеформированном состоянии шаровым тензором инерции 10 . непосредственно из< выражений для 1С и Е можно получить сферическую поверхность ¿у. Е - = const .

w Cm q

Пересеченна двух интегральных поверхностей: оферичесхой и по-

добной форма тела, определяет траектории со в теле. Например,' поведение абсолютао твердого куба, движения которого, тривиальны, и куба при учете упругих свойств существенно различно. Вращениям вокруг главных направлений, ориентированных на центры граней и вершины, соответствуют особые точки типа центр. Вращениям вокруг направлений на середины ребер отвечают седловые точки.

Вычисление удается выполнить аналитически в

ряде задач: для однородного изотропного тела с поверхностью, близкой к сферической [ 3 1 . трехосного однородного изотропного эллшсовда [ 6 ] . шара, выполненного из анизотропно упругого материала [ 7 ]

Уравнение поверхности квазлшара имеет вад

где - сферические гармоники*, «¿^('ОЦ

Предполагается, что £. « в « \ . Задачу .об угловых

движениях квазишара удается разрешить благодаря тому, что для вычисления тензора К.с;^ необходимо знать лишь ту часть смещении и. , которая определяется 2-й и 4-й гармониками формы. В принятом приближении отклонения по ( другим гармоникам не влияют на динамику тела. Вычислены все 1?. компонент твнзопа К ■ ■ о

X,

'2

РИС. I

Рис. 2

Сосредоточимся на динамике квазишара с кубической симметрией поверхности. На Рис. I показан годограф вектора w относительно тела в консервативном приближении ( S" = о) . вся поверхность тела как бы разбита на ячейки консервативно устойчивых движений. Границами являются особые траектории - сепаратрисы, проходящие через неустойчивые состояния равновесия и являющиеся отрезками больших кругов. При фиксированной величине кинетического момента энергия Е минимальна при со ориентированном на вершины куба, используя соображения о диссипации энергии при движении тела, можно заключать, что асимптотически устойчивыми будут лишь стационарные вращения вокруг осей, проходящих через вершины куба, а вращения вокруг осей, проходящих через центры граней, неустойчивы.

для квазишара, обладающего симметрией тетраэдра и ориентированного относительно Охсс£ос.д как показано на Рис. 2 , годограф вектора to тот же, что в случае куба. Это объясняется тем, что экстремальные точки поверхности £ =const совпадают с экстремальными точками поверхности тела, если оно центрально симметрично,или с соответствующими точками поверхности, дополненной до центрально симметричной в противном случае . .

Решение задачи ( 3 ) в случае однородного изотропного эллипсоцда имеет вцц ^

< = аг=с + + с.г (

Найдены все коэффициенты, входящие в u^ , т.е. аналитическим путем получены решения, описывающие как вращательное движение тела, так и его напряженно-деформированное состояние. Известны решения задачи о напряженно-деформированном состоянии в небольшом числе частных случаев фиксированного положения оси вращения в теле и соотношения между полуосями аллипсовда. В данной работе задача решена в общей постановке.

Влияние собственной упругости на движения тела относительно центра масс может проявляться не только за счет несферичности тела, но и по причине анизотропии упругих свойств тела при идеально симметричной поверхности. Главные направления в теле (при которых направления кинетического момента и угловой скорости совпадают) отвечают осям симметрии анизотропных свойств

тела.

На Рис. з. 4а показаны траектории вектора 60 для шара, упругие свойства которого имеют соответственно плоскость симметрии и подобны свойствам кристалла кубической формы.

В первом примере с Рис. з } все направления в плоскостях, нормальных к Озс3 , эквивалентны в отношении упругих свойств, и тело наиболее податливо в этих направлениях, Вращению вокруг Ох^ отвечает

наибольшая энергия при фикси-—* ^

рованном К . Принимая во внимание диссипацию, заключаем, что устойчивыми будут вращения вокруг осей, лежащих в плоскости Осслссг .

Рис. 3 В примере с шаром, упругие

свойства которого обладают симметрией куба, оси системы координат Ож^ос^ проходят через • центры граней "куба", т.е. в направлениях этих осей тело наиболее податливо. Асимптотически устойчивыми будут вращения вокруг осей Оэс^ (. Рис. 4а ^ .

Другое качественное явление в динамике тел, связанное с их вязко-упругими свойствами, состоит в том, что с уменьшением скорости вращения возможна смена устойчивости оси стационарного вращения и последующий переход тела к новому положению оси устойчивого вращения £ 4, 10^ . Эта характерная особенность в поведении деформируемых-тел изучается на конкретных объектах.

Рассмотрим анизотропно упругий квазишар. Пусть его упругие свойства обладают кубической симметрией, причем направления на центры граней "куба" анизотропных свойств ( вращения вокруг Ох^ ) асимптотически устойчивы, а ось Оэс^ для тела в недеформированном состоянии является осью наименьшего момента инерции ( 1ьъ< I ) .

В случае анизотропно-упругого тела с близкими моментами . инерции в недеформированном состоянии положение главных на-

правлений определяется энергией тела ( скоростью вращения) и соотношением между эллипсоидальностыо и анизотропией.

Рис. 4

Выражения для интегралов задачи имеют ввд

Здесь эллипсоидальностъ представлена членами, пропорциональными ёторой степени компонентов угловой скорости, а анизотропия -четвертой степени (Д, , & - постоянные величины .

С 12

При вращении тела с большой скоростью определяющую роль в динамике играют его упругие свойства. Вид годографа ¿3 следует из решения задачи о движении шара с кубической анизотропией упругих свойств (.Рис. 4а) . Рассеяние энергии при вращении тела предполагается малым, поэтому оно не принимается во внимание в расчетах. Но в рассуждениях качественного характера следует иметь в виду, что со временем угловая скорость вращения уменьшается, и. на. движении тела в возрастающей степени начинает сказываться эллшсоидадьность. При' этом в силу симметрии главные направления по остаются неизменными

также, как и направления на центры ребер в плоскости Оогос.^ . Состояния равновесия типа центр, соответствующие вершинам куба, и расположенные в одной плоскости с ними седловые точки стягиваются к состоянию, отвечающему вращению вокруг , ^^ (. Рис. 46 ) . Когда энергия достигает величины Е^ эти девять состояний стационарного вращения сливаются. При Е< Е^. остается лишь стационарное вращение по Оэс^ . Причем переход через Е^ связан со сменой устойчивости вращения вокруг Оэс^ , что отражено на Рис.4в изменением направления траектории по сравнению с Рис. 46 . Дальнейшее уменьшение энергии приводит к тему, что определяющими будут первые члены в выражении для В . Вид годографа со показан на Рис. 4г . Анизотропия сказывается лишь вблизи кругового сечения эллипсоида С плоскость Оэсас^ .

Эти представления о годографе сЗ при различных значениях энергии тела свидетельствуют о возможности следующей ситуации. Начальное вращение происходит вокруг оси Оос. с большой —> ■->

скоростью со и является асимптотически устойчивым. Оэ временем диссипация приводит к уменьшению энергии до Е^ Вращение вокруг 0зс3 становится неустойчивым. Относительно тела ось вращения поворачивается, и оно переходит к вращению вокруг одной из осей Ose , Оос2 .

Первую часть работы завершает задача о свободных движениях вязко-упругого квазишара, рассматриваемая исходя из сообра- ' жёния, что для динамики тела существенны как его упругие, так и вязкие свойства.

Тело приведено во вращение вокруг главной оси Осх^ с уг-

ловой скоростью соо . в нем устанавливается стационарное напряженное состояние. Затем тело испытывает малое отклонение от этого состояния и далее совершает свободное движение.

В отличие от рассмотренных ранее задач здесь предполагается, что соотношение между и может изменяться в широких пределах. Иначе, параметр ^ = может принимать любые значения из интервала С о, ©о ) .В этом случае удобно в уравнении (2) ввести новый маляй параметр (ь = и представить вектор деформации в ввде ряда по : • По решению задачи для и' вычисляются поправки к компонентам тензора инерции, из»которых отличны от нуля'следующие:

В недеформированном состоянии тело представляет собой квазишар с компонентами тензора инерции

где величины а и с сопоставимы с изменениями компонент тензора инерции, связанными со стационарным вращением сд0 . Уравнения угловых движений тела с учетом его вязко-упругих свойств имеют вид ^

^ + (с - а^соои>2 + е-2с£и)о3с02 - е ]оЧ>е «Ь - о

а> - (с-а)сйви>, -е,г<£ц£и> + оДи^е"^ ^е^-с-о (5)

с. ) о

В предельном случае большой вязкости о это - уравнения движения абсолютно твердого эллипсоида, частота нутации которого = I .

Физическую интерпретацию решения задачи (5) удобно провести, отталкиваясь от случая большой вязкости -* о . При вращении вязко-упругого тела вокруг оси симметрии оно обретает форму эллипсовда вращения, определяемую начальной эллипсои-дальностыо тела и его упругими свойствами, далее при возмущении главного вращения движение тела существенно зависит от начальной эллипсовдальности и подразделяется на три случая:

Ь с а, ; сферически симметричное тело при вращении обретает форму двухосного эллипсовда, нутирующего в возмущенном- движении при -> о как твердое тело. Сростом часто-

та нутации остается неизменной, а затухание растет. При малой вязкости это движение вследствие быстрого затухания не наблюдается. Возможно также бесконечно медленное движение оси вращения относительно тела, которое не зависит от .

2. С > Л ; изначально сплющенное тело при вращении обретает большую разность между осевым и экваториальным моментами инерции. При возмущениях главного движения тело нутирует с частотой, уменьшающейся с ростом . Имеется'также круговое движение того же направления, что нутационное,.частота которого растет, с . Невозмущенное движение устойчиво.

3. о < О. ; вытянутый ПОКОЯЩИЙСЯ ЭЛЛИПСОИД С ростом сначала превращается в шар, а затем в эллипсовд. Главное вращение неустойчиво как при малых, так и при больших. , что обусловлено вытдаутостью эллипсоида инерции невращающегося тела.

Располагая столь широким набором решенных задач динамики вязко-упругих тел, интересно провести оценки, используя некоторые характеристики свойств Земли. Не отрицая и не подвергая соулению справедливость различных моделей Земли,- учитывающих в том или ином виде ее неоднородности и поверхностный слой жидкости, в данной работе показано, что заслуживают внимания и предлагаемые модификации модели деформируемой Земли, суть дела в том, что анизотропия упругих свойств и собственная диссипация могут занимать существенное или даже определяющее место в объяснении чандлеровской (наблюдаемой ) нутации Земли, с ними находят толкование и некоторые другие эффекты в ее динамике. В частности, в рамках модели Земли как анизотропно упругого квазишара возможно толкование глобальных перемещений е'е полюсов.

Проиллюстрируем сказанное, воспользовавшись результатами исследования угловых движений вязко-упругого квазишара. Предполагая сначала Землю обладающей очень большой вязкостью, имеем период так называемой эйлеровой нутации Тд -= 306 суток. Период Тэ вычислен по наблюдениям астрономических явлений и определяется.формой.Земли. Зная из наблюдений значение периода нутации Земли Тч,= 428 суток С период Чандлера") и добротность этих колебаний С} ~ 25 , можно по приведенным дан-

ним и найденной в последней задаче зависимости частоты нутации в случае"С > л от параметра вязкости и разности

с -г й- определить средний коэффициент вязкости Земли ^ Оказывается, что расчетное значение >> = 2- ю -^г согласуется с известными в литературе оценками этой величины, т.е. в рамках модели вязко-упругой Земли находит толкование чандле-ровская нутация. В этой же модели содержится возможность глобального перемещения полюсов. Пусть в исходном состоянии стационарное вращение тела вокруг оси симметрии устойчиво, т.е. начальная эллипсоидальность положительна (. с - <х >о ). Предположим, что со временем эта разность уменьшается, что может быть связано с не сезонным,вследствие изменения климата, накоплением льда в приполюсных областях или какими-либо другими причинами, меняющими соотношение между моментами инерции Земли. При изменении знака с - а устойчивость стационарного вращения нарушается, вследствие чего происходит глобальное перемещение полюсов. При длительном наблюдении за изменением частоты чандлеровской нутации со временем < если таковое имеется ) можно предсказать возможность нарушения устойчивости стационарного вращения.

2. О явлении дестабилизации трением в механике деформируемых систем.. Утверждение,о стабилизирующей роли сил трения является одним из укоренившихся представлений, и обычно при исследовании устойчивости упругих систем диссипацию исключают из рассмотрения. Однако существует класс упругих объектов -системы, нагруженные непотенциальными силами, для которых учет сил трения принципиален. Устойчивость неконсервативных систем может существенным образом зависеть от внешнего и внутреннего трения, причем соотношение между ними определяет критическое значение параметра нагрузки( Г. Циглер, в.В. Болотин, Н.И. Жинжер ) . в Главе 2 излагается графический метод определения критического значения неконсервативной нагрузки, основывающийся на известном из решения задачи без учета диссипации сяектре частот системы, с помощью предложенного метода ' анализируются смещения, границы области устойчивости при изменении соотношения между параметрами внешнего и внутреннего

грения. Увеличение внутреннего грения при постоянном внешнем сдвигает границу области устойчивости в сторону меньших нагрузок, т.е. внутреннее трение дестабилизирует систему. Увеличение внешнего трения при неизменном внутреннем увеличивает критическую нагрузку, т.е. стабилизирует систему.

Графический метод определения границы области устойчивости послужил основой кандвдатской диссертации автора. В данной работе глава 2 имеет обзорный характер. Для придания работе последовательности и цельности здесь, опираясь на графический метод, коротко изложены вопросы дестабилизации трением упругих систем.

3. О взрывной неустойчивости механических систем. Теория устойчивости консервативных упругих систем берет начало от par боты Эйлера по устойчивости сжатой колонны. Статический критерий Эйлера и энергетический критерий Лагранжа определили успешное развитие теории.

Исследование устойчивости упругих систем, моделируемых обычно как консервативные, проводимое в рамках линеаризованных статических моделей, позволяет указать интервал нагрузок С о , Т^ , при которых равновесие системы устойчиво в малом. Результатом решения задачи устойчивости в большом (нелинейная статическая модель ) является нижняя критическая нагрузка Т2 . Имеется широкий класс упругих систем (к нему относится, например, сферическая оболочка, находящаяся под гидростатическим давлением ) , для которых Т и Т^ ■ существенно различаются, к тому же нагрузка Т2 очень чувствительна к малым поправкам в модели, учитывающим начальные несовершенства.

Три характерные особенности отличают системы этого класса:

- они чувствительны к малым несовершенствам (. начальный прогиб, неоднородность свойств и т.п. ) ,

- критическая нагрузка сильно зависит от характера нагружения, о чем свидетельствуют широко представленные в литературе результаты экспериментальных исследований,

- с увеличением нагрузки, начиная с некоторого,ее значения

Т , в системах обнаруживаются внутренние резонансы

( впервые эта особенность оболочек, нагруженных потенциальными силами, и предположение о нарушении устойчивости равновесия оболочек как проявлении внутреннего резонанса высказаны в работе [ I 3 ) . Этими особенностями объясняется, почему исследование устойчивости таких систем в малом или нелинейной статической постановке задачи не достигает цели. К задачам устойчивости упругих систем означенного класса необходим нелинейный динамический подход.

Отмеченные три особенности при определенных условиях совместно могут приводить к нарастанию отклонений от положения равновесия до очень больших значений за конечное время, называемому взрывной неустойчивостью. Этот новый для механических систем механизм нарушения устойчивости демонстрируется на простых дискретной и распределенной системах [" 8 , II 3

Изучена динамика системы, состоящей из трех сосредоточенных масс и безмассовых жестких стержней, в местах шарнирного Т+дТ соединения которых действует упру-"гий восстанавливающий момент. Имеется начальный изгиб ( Рис.5) . Конструкция нагружающего устройства не столь важна в рассмотрении. Оно может представлять собой, например, заполненный газом цилиндр с двумя поршнями, один из которых прикреплен к верхней массе. Нагрузка Т отвечает определенному зазору между поршнями. Изменение координаты верхней массы в силу инерционности устройства отслеживается вторым поршнем с запаздыванием. Существенно, что на систему наряду с консервативной нагрузкой Т воздействует малая неконсервативная сила-ЛТ , которая в линейной и нелинейной статических моделях отсутствует.

■ Параметры системы подобраны так, чтобы в линейной модели

выполнялось условна внутреннего резонанса, представляющее собой связь частот: tO^ + <^>2 = ^ъ

В отсутствие начального прогиба или (. и ) малого неконсервативного воздействия сообщенная системе энергия сохраняется. Возможен лишь обмен энергией между формами колебаний. Начальный прогиб и малая неконсервативная сила совместно создают условия, когда амплитуды резонансно связанных форм нарастают С Рис. 6 ) и становятся неограниченными за конечное время tM , подобно (Доо - "t у1 . Опенка вре-

ае

\У~/ et

5

Рис.

10

мени

+

показывает, что оно

отвечает~ 5-Ю циклам колебаний на нижней частоте. Уравнения для амплитуд и фаз колебаний, полученные в результате осреднения по быстрым движениям уравнений колебаний системы, решались численно.

Устойчивость равновесия стержня, нагруженного на одном из концов постоянной по величине и направлению силой Т. и покоящегося на упругом основании, изучалась ранее в линейной статической постановке задачи. Показано, что наименьшая нагрузка, при которой прямолинейная форма стержня теряет устойчивость , может в. зависимости от жесткости основания к отвечать формам с весьма большим числом полуволн. Эта особенность данной задачи означает, что при увеличении нагрузки Т частоты собственных колебаний стержня на упругом основании уменьшаются так, что наибольшее' изменение претерпевают не нижние частоты С что более привычно ) , а частоты, которым соответствуют формы с большим числом полуволн вдоль длины стержня. Такое поведение спектра частот указывает на возможность появления внутренних резонансов. Условия внутреннего резонанса для частот и отвечающих им форм имеют вид

<V °Ч

и

( И , t • Я- ~ номеРа Форм-).

В работа показано, что эти условия выполняются- для стержня на упругом основании в зависимости от параметра нагрузки и жесткости основания.

Рассматриваемая модель показана на Рис. 7 . В исходном недеформированном состоянии стержень имеет малый прогиб, поэтому равновесное состояние не будет прямолинейным. Предполагается, что стержень не обрывается в месте положения верхнего шарнира, а имеет малую выступающую часть, через которую осуществляется взаимодействие с нагружающим устройством. Изменение длины проекции выступающей части на вертикальную^ось

составляет где

а - длина выступающей части,

поперечное отклонение, стерж-

ня. В силу этого, а также

Рг,

из-за

усадки стержня ( Зх)

при его колебаниях изменяется нагрузка Т . Полагая, что нагру-Рис. 7 жакицее устройство представляет со-

бой пружину.с демпфером, имеем для приращения нагрузки дТ =- , где ^ь и

1л - постоянные величины, характеризующие жесткость пружины и демпфирование, а = ДО-+д£ #

Отклонения стержня от равновесного положения определяется в результате решения следующей задачи:

(зс-0

_ 2

У = 1-Уг = ° при эс = О ; >1 I •> -а ее*

где о (ос-О - производная по ас от 5* - функции. В приращении нагрузки (. дТ , полученном после подстановки

У = У, + У • с°хранены лишь нестационарные члены',"линейные по отклонениям от равновесного положения.

Учет стационарного прогиба стержня у ( следовательно,

начального прогиба ) принципиален, т.к. "резонансный"-вклад в нелинейную часть уравнения движения вносят члены, ему пропорциональные.

При 1>=о стержень находится под действием лишь потенциальных сил, поэтому при возбуждении колебаний по формам, образующим резонансную тройку, возможен:лишь обмен энергией между модами. Если при увеличении нагрузки'Появляются другие ре-зонансы, включающие рассмотренные моды; то возможна ситуация, когда в результате взаимодействия мод энергия, сообщенная системе при возмущении ее равновесия,концентрируется в одной из форм колебаний. Это может стать причиной выхода системы из области притяжения положения равновесия. Однако такое развитие событий маловероятно.

При учете даже малых неконсервативных сил поведение системы кардинально изменяется. Уравнения для амплитуд взаимодействующих форм допускают "взрывное" решение. Показано, что это решение устойчиво, малые возмущения не'разрушают его, т.е. "взрывное" решение реализуется.

Необычно проявление диссипации в этой задаче. Известна дестабилизирующая роль трения в задачах устойчивости нексзнсер-вативных систем ( Глава 2 ) , но трение как фактор взрывной неустойчивости системы отмечается впервые. Энергия, запасенная системой в статическом состоянии, при наличии внутреннего резонанса благодаря трению переходит к быстрорастущему возмущенному движению.

Влияние на устойчивость малых факторов, часть из которых следует рассматривать как случайные, затрудняет расчеты критических параметров нагрузок и делает эти расчеты малоэффективными. Однако, если исходить из того, что наличие внутренних резонансов является необходимым условием взрывной неустойчивости, то можно по поведению спектра частот при изменении параметра нагрузки, определенному из линейной задачи, указать области изменения нагрузок, при которых проявление предлагаемого механизма нарушения устойчивости наиболее вероятно.

Результаты исследования простых моделей имеют непосредственное отношение к задачам устойчивости нагруженных осоли-

чек. При рассмотрении линеаризованных моделей таких систем С исследовании устойчивости в малом ) также обнаруживается, что устойчивость нарушается на формах, отвечающих частотам с достаточно большим номером. Например, для многих нагруженных оболочек наибольшее изменение претерпевают частоты с ь -- и ( толщина оболочки, Я -радиус кривизны нор-

мального сечения срединной поверхности ) . Обычно и~.(о-моо. Здесь и далее для. упрощения изложения говорится лишь о номере формы -ь . На самом деле частота и соответствующая ей форма колебаний оболочки характеризуются двумя величинами ь и ^ , а условия внутреннего резонанса'состоят из трех равенств. Однако это не меняет существа обсуждаемого явления.

В практических расчетах в качестве критической нагрузки следует принять нагрузку Т^. , при которой впервые пересекаются ветви частот, в работе предлагается способ оценки нагрузки Т^ : рассматривая со как непрерывную функцию параметра. г , следует найти максимальную нагрузку, при .которой ^ О для всех г . Если для некоторых I

< О , то возможны малоразличимые частоты, отвечающие соседним номерам.форм, которые вместе с малой нижней частотой и соответствующей „формой колебаний удовлетворяют условиям резонанса.

Глава, посвященная взрывной неустойчивости, завершается обсуждением задач устойчивости ряда нагруженных оболочек: цилиндрической оболочки, сжатой вдоль образующей, цилиндрической оболочки при изгибе, продольно сжатой цилиндрической обо- ■ лочки, с упругим заполнителем, цилиндрической оболочки, подвергающейся внешнему давлению, конической оболочки при осевом сжатии, сферической оболочки под гидростатическим давлением.

... Сопоставление экспериментальных данных Т с вычислен-

7» З^си.

+ приводит во всех рассмотренных случаях к выводу, что Т^ . близка к нижней границе области .

В качестве примера на Рис. 8 показаны область экспериментальных, данных по устойчивости сферической оболочки под гидростатическим давлением и отношение Т^ к верхней критической нагрузке: ( при коэффициенте Пуассона 6"-0,ь).

Рис. 8

Предложенный подход к задачам устойчивости нагруженных оболочек дополняет статические исследования и позволяет объяснить поведение реальных оболочек в ряде необычных случаев, для систем данного класса в интервале нагрузок 0<Т<"Т^ наряду с исходным имеется еще одно устойчивое состояние равновесия. Ему отвечает конечный прогиб оболочки. В идеализированной модели переход к этому состоянию совершается при нагрузке .С точки зрения установившихся представлений при Т < Т, малые отклонения не выводят оболочку из области ' притяжения положения равновесия. Наличие внутреннего резонанса, малых несовершенств и малой неконсервативной силы могут привести к быстрому нарастанию этих отклонений, за которым последует скачкообразный переход к новому состоянию равновесия.

4; 0 некоторых аспектах динамики систем с подвижными . ; нагрузками С границами ") .

а. Учет внутреннего трения, даже малого, часто существенный в задачах устойчивости деформируемых систем, связан с введением в уравнения и динамические граничные условия членов, содержащих смешанные пространственно-временные производные. Число граничных и начальных условий пря этом остается прежним, т.к. порядок дифференцирования по пространственным и временной переменным в отдельности не повышается. Иначе обстоит дело в задачах динамики систем с подвижными

границами. Их удобно рассматривать, перейдя в систему координат, в .которой границы неподвижны. В этом случае введение в модель системы внутреннего трения повышает порядок дифференцирования по пространственным переменным,и возникает вопрос о дополнительном краевом условии.

На простом примере бесконечной балки, вдоль которой с постоянной скоростью перемещаются два ограничителя, рассмотрен один из путей получения дополнительного краевого условия^9 ] . Без учета внутреннего трения поведение балки в движущейся вместе с ограничителями системе координат описывает следующее урав- ■ нение: , ^1У + чГ2^;" - 2чГЧЛ/'+, $ = О

и условия "защемления" балки ограничителями

где штрих означает дифференцирование по пространственной координате = ос-тУ-к (,-!)"- скорость ограничителей ) , а точка -по времени

После введения в рассмотрение малой диссипации по Фохту уравнение принимает вид

+ У/™ +1Г2\\/"-2лпУ+ Й - О

где ^ ~ коэффициент трения.

Для получения недостающего для однозначного решения задачи пятого краевого условия:рассматривается система, состоящая

из бесконечной балки, которая при О < < 4 свободна, а вне этого интервала упруго с погонным коэфг фициентом • связана с основанием ( Рис. 9 ) . Суть такого изменения модели сострит в том, что, рассматривая эту задачу на

интервалах-°°<^ О < ^ . *

и требуя определенной гладкости решения при ¿;='о;4 , можно

пни/,

Ш

2ЩЗ» „

//////// ^- о

¿^=4 ¡77777

Рис. 9

при

и

получить недостающее краевое условие. Таким пу-

тем появляется краевое условие в месте входа балки в систему протяжки V/" С4,) = ° . дополняющее условия "защемления".

б. Особенности динамики объектов, моделируемых как некоторая среда, в которой движется неоднородность, обсуждаются на примере безграничной подпружиненной балки, вдоль которой перемещается точечная масса, находящаяся в поле силы тяжести [ 5 3 .

Движение неоднородности в среде сопровождается волнообразованием. Волновая картина представляет собой стационарную часть - "замороженные" волны в система координат, связанной с неоднородностью, и нестационарные волны, возникающие при при-переходных процессах или порождаемые неустойчивостью системы. При исследовании устойчивости линейных однородных безграничных систем обычно исходят из дисперсионного уравнения, связывающего частоту волны и волновой вектор, имеющий вещественные компоненты. Неоднородность не позволяет ограничиться рассмотрением дисперсионного уравнения. Решение становится негладким в месте нахождения неоднородности.

Ответ на вопрос о реализации стационарных состояний рассматриваемой системы дает решение следующей нестационарной задачи: , 2 ,

«^(о,^ = МУ/.Са/И 2

.

-зУ-(0,-Ь) _ (о, О _ р м

"ъ ^ ^ ^ -Э-Ь2

где и - решения справа и слева от точки = О -местоположения массы М , параметр 1л характеризует трение в основании балки, Р - сила тяжести. Последнее из приведенных соотношений означает, что движение массы по балке считается безотрывным.

При задача в отклонениях не имеет особенности в

точке ^ = о , и поэтому упругая балка устойчива как ненаг-руженная диссипативная система. В случае К 4 0 спектр со<5-

25

2>0

1 1 (м^КГ) Угг

1 \ч 1 -III

ственных частот системы смешанный. Исследование точечной части спектра, определяемой величиной И , разрешает вопрос об устойчивости системы. Б данной задаче оно проводится с помощью метода В - разбиения.

На £>ис. 10 показана граница области устойчивости на плоскости ыасса-скЬрость при различных значениях параметра диссипации и : иг <. и5

боплгп- Область устойчивости

располагается левее кривой М^С-сг). при малых значениях массы система устойчива в широком интервале скоростей [ тТ^") . с увеличением М область устойчивости сужается, при этом тЗ"^. -> \ \ 2. Ь Интересно, что в закри-

Рис. 10 тической' области

возможно обеспечение устойчивости. Это имеет свои преимущества: меньший стационарный прогиб под действием веса тела и, следовательно, меньшее по сравнению с докр'итическим случаем сопротивление движению тела со стороны пути. Здесь имеется глубокая аналогия с гибким валом, когда его прогиб за счет дебаланса существенно уменьшается в закритической области вместе с ростом угловой скорости.

й. О возможности движения нагрузки по двумерной упругой системе без энергетических затрат [ 12 ^ • Изучаются установившиеся малые деформации мембраны , перпендикулярные ее плоскости ( у) , обусловленные силовой нагрузкой, равномерно перемещающейся со скоростью "О" , превышающей ско -рость распространения волн в мембране, особенность обсуждаемых задач состоит в том, что для них имеются аналитические решения, расширяющие возможности исследования. ■

В случае нагрузки, движущейся вдоль одной из осей, после перехода в систему координат, в которой картина деформирова-

ния не зависит от времени,

задача принимает ввд

о. - г • '"»и. „г^и

• О2 т/

где Ъ- tjî.qî . сс^

т.е. в переменных X

_ 5 - vT *=-<> " L ° '

"Э и.

I ОС. > >S"

- ее по-

Т - натяжение мембраны, верхностная плотность, £ - плотность распределения нагрузки. В такой постановке задача о деформировании мембраны совпадает с известной задачей о колебаниях безграничной струны, не деформированной в начальный момент времени, точкам которой сообщена одинаковая начальная скорость. Поэтому для ее решения достаточно воспользоваться известными результатами изучения динамики струны.

В частности, показано, Что имеются условия размещения и движения нагрузок, • при которых они не встречают сопротивления. Этот эфЬект имеет место как в случае мембраны, ограниченной в однсм направлении, так и для безграничной мембраны, для осуществления его необходимы соответственно не менее двух и четырех нагрузок. На Рис. II показана картина деформирования при сосредоточенных нагрузках.

тт^тттиппптп.

11 III 11 I ! I 11 I I I h

РИС. II

Возмущения испытывает лишь ромбовидная область мембраны между нагрузками. Вне этой области отклонения отсутствуют. Точкой и крестиком в кружках обозначены направления нагрузок.

Отметим, что для одномерных систем' возможность движения нагрузок без совершения работы по преодолению сил волнового сопротивления ранее установлена C.B. Крысовым и Л.В. Филатовым.

При движении по окружности обсуждаемый эффект осуществим и одной нагрузкой. В работе рассматривается неограниченная мембрана, к которой жестко прикреплен недеформируемый диск. По окружности, концентричной диску, с постоянной скоростью перемещается силовая нагрузка. Во вращающейся с угловой скоростью 10 системе координат, в которой нагрузка неподвижна, задача формулируется следующим образом:

Л "За.

+ V/1 ) 7)Яг и , ^я

"ЭЧ«.-,

■эй.

ЪЧГ

Эт.

с)9г"

0=+о

Л

р о )

в—О

о и-Й» >0

(Д.

На контуре диска = о .

Считается, что параметр С »^о-радиус диска )

т.е. для всех точек мембраны задача является гиперболической. Задача решается с помощью метода характеристик. В отличие от случая прямолинейного движения нагрузки, где линии распространения возмущений ( характеристики > были прямыми, - здесь два семейства характеристик являются крщюлинейными.

*ь

Картина деформирования мембраны определяется скоростью движения нагрузки. На Рис. 12 для

•О".

¿•О^-сО^ показан ее воз-

Рис. 12

мсжный вид. Кроме представленных на рисунке, имеются и другие ситуации, когда выходящая из точки 7 = 1? характеристика достигает диска после одно-

го, двух и т.д. оборотов вокруг него. .Общим для всех случаев, включая показанные на Рис. 12 а, в , является наличие областей с различным характером деформирования <. отражено штриховкой на рисунках ) . •'

Отдельного рассмотрения заслуживает случай, показанный на Рис. 12 б ( и подобные ему ) , когда прогиб мембраны постоянен во всех точках ъ > . Физически это означает, что отсутствует поток энергии через любую кривую, охватывающую невозмущенную область, т.е. нагрузка не совершает работы.

При заданном положении нагрузки & имеется дискретный спектр скоростей, при которых ее движение происходит без энергетических затрат: тГ^ ^ и Ко- • Другая интерпре-э тация выражения для -Сг^ состоит в том, что при заданной скорости и} имеется счетное множество окружностей й ~ иЗСс^ > двигаясь по которым нагрузка

¥ и

не совершает работы.

Основные результаты изложенного в диссертационной работе анализа ряда новых аспектов теории упругой устойчивости можно кратко сформулировать следующим образом.

I. Проведено систематическое изучение влияния упругих и вязких свойств тел на их свободные угловые движения. Представлена общая постановка задачи об угловых движениях вязко-упругого тела. Проанализирована связь симметрии формы и упругих свойств тел с их угловыми движениями. Аналитическим путем получены решения, описывающие как вращательные движения, так и напряженно-деформированное состояние однородных изотропных квазишара и эллипсоида, анизотропно-упругого шара.

Предельно отчетливо упругие свойства проявляются в свободных движениях тел, имеющих в жестком представлении шаровой или близкий к шаровому тензор инерции. Упругие свойства тел обуславливают их богатую динамику и, в первую очередь, ввделя— ют направления стационарных вращений. Учет собственной диссипации позволяет разрешить вопрос об устойчивости этих стационарных вращений.

На конкретных системах продемонстрировано качественно новое явление в динамике тел, связанное с их упругими свойствами,- возможность смены устойчивости главного вращения и как следствие этого переход к новому положению оси стационарного вращения.

Изучены движения квазишара в случае большой вязкости, когда его деформации, а следовательно, динамика, определяются как упругими, так и вязкими свойствами. В частности, возможны нутационные движения с малым затуханием, период которых определяется наряду с эллипсоидальностью тела в недеформиро-ванном состоянии его вязкими свойствами.

Результаты рассмотрения использованы для интерпретации чандлеровской нутации Земли. В рамках различных моделей упруго-вязкой Земли также обсуждается возможность глобального перемещения полюсов.

2. Предложен новый для механических систем взрывной механизм нарушения устойчивости равновесия. Речь вдет о системах с внутренними резонансами, которые моделируются обычно как консервативные и изучаются статическими метод шли. Однако статический подход к задачам устойчивости таких систем неправомерен: необходим динамический нелинейный анализ.

На простейших моделях дискретной и непрерывной систем ( трехмассовый маятник и стержень, нагруженные постоянными по величине и направлению силами ) продемонстрированы принципиальные стороны явления. Внутренний резонанс, начальные несовершенства, малое внешнее неконсервативное воздействие совместно могут приводить к очень большим отклонениям систем от положения равновесия за конечное время, т.е. к взрывной неустойчивости.

■Предложено в расчетах конкретных систем ориентироваться на нагрузку, отвечающую появлению первого внутреннего рвзо -нанса в системе, как на предельно допустимую - критическую нагрузку. Это значение нагрузки определяется в результате исследования спектра частот линейной модели.

Результаты рассмотрения используются при исследовании устойчивости нагруженных оболочек. Предложен способ вычисле-

ния в практических расчетах предельно допустимых нагрузок. Представлена интерпретация экспериментальных данных по устойчивости ряда оболочек. Наблкщается хорошее совпадение расчетных критических нагрузок с нижними границами областей экспериментальных данных.

3. Изучены некоторые аспекты динамики и устойчивости упругих систем с подвижными границами л нагрузками 5 . ■ >

Рассмотрен не.обсуждавшийся ранее вопрос о дополнительном краевом условии, которое необходимо вводить в задачу пои учете внутреннего трения. На примере безграничного стертая с двумя движущимися ограничителями продемонстрирован один из путей получения такого дополнительного условия.

На другом примере подпружиненной балки, вдоль которой с постоянной скоростью перемещается точечная масса, находящаяся в поле силы тяжести, рассмотрены проблемы исследования устойчивости систем со смешанным спектром. Особенности динамики объектов, моделируемых как некоторая среда, в которой движется неоднородность, впервые проанализированы столь детально.

Изучена динамика двумерной упругой системы'- мембраны, находящейся под действием подвижных нагрузок. Показана, в частности, возможность движения нагрузки без сопротивления. Для двумерных упругих систем режимы движения нагрузки без сопротивления указаны впервые.

Диссертационная работа выполнена на основе следующих . статей:

1. Новиков В.В. Внутренние резонансы и устойчивость упругих оболочек// ЖПМ1Ф. 1980. №4. С. 162-164.

2. Денисов Г.Г., Новиков В.В. 0 близких к эйлеровым движениях деформируемых тел // Механика гироскопических систем. Респ. межвуз. научно-техн. сб. Киев-: Вища школа. 1983. Вып. 2. С. 23-29.

3. Денисов Г.Г., Новиков В.В. О свободных движениях деформируемого твердого тела, близкого к шару // Изв. АН СССР. МТТ. Й83. I 3. С. 43-50.

4. Денисов Г.Г., Новиков В.В. К задаче об устойчивости стационарных вращений деформируемого твердого тела // В кн. Устойчивость движения. Под ред. Матросова В.М., Иртего-

ва В.Д. Новосибирск: Наука. СПб. отд. 1985. С. 115-119.

5. Денисов Г.Г. . Кугушева £.К., Новиков В.В. К задаче об устойчивости одномерных безграничных упругих систем //

,. ЛММ. 1985. Т. 49. Вып. 4. С.. 691-696.

6. Денисов Г.Г., Новиков В.В. О свободных движениях эллипсоида // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. Я 6. С. 69-74.

7. Новиков В.В. Анизотропно-упругий шар в свободном движении // ПММ. 1987. Т. 51. Вып. 5. С. 767-774.

8. Новиков В.В. О неустойчивости упругих оболочек как проявлении внутреннего резонанса //ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 6. С. 1022-1029. •/'

9. Денисов Г.Г., Кугушева Е.К...Новиков В.В. К задаче о динамике вязкоупругих систем с подвижными границами // Динамика систем, динамика, стохастичность, бифуркации. Межвуз. темат. сб. научн. тр. Под,ред. КЬИ. Неймарка: Горький. Горьк. гос. ун-т. 1990. С. 101-110. .

Ю- Ьеиъьои Ст.£г., Мэуг1<Оу V-V-.- Т1ле иоп^сиАгЬсок-лоХ рто^тз ^ехбсЕл-Ц} о^- еХссеГЬ^с. &у?,-Ьглуль //иуиотгсь о^ • оэъ. /V Р. <-20.

11. Денисов Г.Г., Новиков В,В. О взрывной неустойчивости механических систем '// Изв. РАН. МТТ. 1997. Л 2. С. 169-175.

12. Денисов Г.Г., Новиков В.В. О деформировании мембраны подвижной нагрузкой // ГОШ. 1997. Т. 61. Вып. 4. С. 647-653.'