О биокомпактификациях непрерывных отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Непрерывные отображения топологических пространств можно естественным образом рассматривать как обобщение понятия топологического пространства, отождествляя топологическое пространство X с постоянным отображением С : X -> { •} /либо с отображением ¡А : X X /. Естественно при этом предполагать, что многие понятия и результаты, определенные и верные в классе топологических пространств, также будут иметь аналоги в классе непрерывных отображений. И действительно, на класс непрерывных отображений были распространены аксиомы отделимости £4.0] , определено понятие базы, отображения СА/следовательно, появилась возможность задания топологии на отображении/, веса отображения [10] ; различным образом определялась также размерность отображения /см., например, / и т.д.

В классе топологических пространств особое место занимают бикомпактные пространства, обладающие многими "хорошими" свойствами и потому давно активно изучаемые. В то же время существует класс непрерывных отображений, называемых совершенными, которые выполняют во многих случаях роль бикомпактов в классе непрерывных отображений. Не случайно поэтому такие отображения первоначально были названы /впервые, по-видимому, И.А.Вайнштейном Е^З / бикомпактными. Естественно в связи с этим возникает задача бикомпактификации произвольного /хаусдорфова Е отделимого/ непрерывного отображения X , то есть построения такого хаусдорфова/ непрерывного бикомпактного отображения чтоЬ}|^—и[ХЗцх = Ь^Х . Видимо, впервые понятие бикомпактификации отображения было введено ом Ш он же первым и исследовал проблему бикомпактификации отображения. В дальнейшем этим вопросом занимались различные авторы, в том числе: G. Cain L&1 Н.Кролевец [6] , В.М.Ульянов ,

Б.А.Пасынков L1C0 и другие. В частности, было доказано существование у произвольного тихоновского отображения тихоновской би-компактификации ню-] . В этой связи представляется интересной задача описания всех бикомпактификаций произвольного отображения. Эта задача является обобщением старой задачи П.С.Александрова описания всех бикомпактификаций произвольного тихоновского пространства, которая была успешно решена в 1952 году Ю.М.Смирновым Lli] . Решению этой задачи способствовало введение в 1951 году В.А.Ефремовичем L 53 понятия близости, при помощи которого было установлено взаимно однозначное соответствие между всеми биком-пактификациями пространства X и всеми близостями на X, согласованными с данной на нем топологией. Таким образом, понятие близости органически вписалось в общее "здание" топологии и дало возможность по-новому взглянуть на некоторые вопросы.

В случае отображений естественно идти аналогичным путем.

В первой главе диссертации следующим образом вводится понятие близости для отображений - пг-близости /таррЬи<|-близости/:

Определение I. Пусть •$•: Y -отображение множества X в пространство Y бТ4 . Будем говорить, что^на^Х задана YYI-близость, если определено отображение , удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. UA,B)=i => fft(B,A)-i.

2. 5j.(A, Ви С) = i <i=> 5,(А,В) = 1л 5j(A,C) = i .

3. Если fx4 = , то 6±( £0С.±1, 1хгу = 0 Х4 = Х-г .

4. 5j(X ,А) = 1.

5. С А , В) = 1 для каждой точки V найдутся открытая окрестность и множества с такие, что

6. Если существует открытое покрытие ¿^^{О^} пространства У такое, что Aní , для каждого 0Л € СО , то ^ (А, В)=1.

Это понятие является обобщением понятия близости в смысле Ефремовича, а в случае, когда У одноточечно, оно в точности совпадает с обычной близостью. Аксиомы I - 5 в определении I суть полные аналоги соответствующих аксиом близости для пространств, а аксиома 6 является необходимой новой аксиомой, отражающей / большую общность рассматриваемой ситуации.

Любая Иг-близость порождает на X топологию Т^ следующим образом: 0 € Тг , если любая точка Х£ О пг-далека от т

X 4 0 • В этой топологии отображение ■} непрерывно, более того, оно будет также регулярным. Топология является Т^-топологией, индуцирующей на каждом слое тихоновскую топологию. В случае, когда У хаусдорфово /регулярно/, - хаусдорфова /регулярная/ топология.

Для бикомпактного отображения *• X У регулярных пространств существует единственная УП-близость , согласованная с топологией пространства X /следствия За и 36/. Эта Ш.-близость определяется так:

Небезынтересно напомнить, что точно таким же соотношением определяется единственная близость на бикомпакте. Единственность указанной Юл-близости на пространстве X можно доказать /следствие 36/ без предположения регулярности пространств X и У , потребовав лишь хаусдорфовость пространства У и отображения £ . Пока не ясно, как в предположениях лишь хаусдорфовости У и { доказать существование этой единственной кл- -близости.

Если пространство X является тихоновским, то помимо ЩП-близостей на X существуют классические близости, согласованные с топологией пространства X . Каждая такая близость 8" порождает некоторую WI-близость на X следующим образом /утверждение 2/: 6^(А,В) = для каждой точки найдется открытая окрестность и^ такая, что При этом топология на X , порожденная Yd -близостью , совпадает с исходной.

Интересно отметить следующее. Если рассмотреть два "экстремальных" отображения U : и ta . Л"9л для тихоновского пространства X , то паре (X,ld) соответствует ровно одна Wt-близость, которая определяется только топологией пространства X , так что в этом смысле данную YYI-близость можно считать совпадающей с топологией пространства X • Для пары же (X , С») всякая m-близость является близостью, так что в этом случае всякую YYI-близость можно считать совпадающей с классической близостью. Таким образом, в классе тихоновских пространств понятие Wl-близо-сти обобщает и понятие топологии, и понятие близости, занимая, так сказать, "промежуточное" положение между ними. Эта промежуточность" понятия МП-близости подтверждается еще и тем, что, с одной стороны, может существовать несколько т.-близостей, порождающих одну и ту же топологию, а с другой стороны, некоторые из VYi-близостей могут порождаться несколькими близостями /примеры I и 2/.

Укажем еще, что даже на тихоновских пространствах существуют KYI-близости, не являющиеся близостями; например, если рассмотреть не нормальное тихоновское пространство X и его тождественное отображение ld'«X~^X 9 то единственная существующая для этого бикомпактного отображения М--близость , не является близостью. Однако, для отображения тихоновского пространства X в паракомпакт V всякая im-близость является близостью /утвервдение 4/. Обратное, кстати, не верно даже для бикомпакта У , то есть даже в этом случае могут существовать близости, не являющиеся Иг-близостями /пример 3/. В связи с изложенным естественным образом возникает следующий Вопрос I. Верно ли, что существует 1г1-близость, которая не порождается никакой близостью /в случае тихоновского X /?

Для отображения тихоновского пространства А в паракомпакт У среди всех близостей, порождающих фиксированную Ш-близость, существует максимальная. Однако, остается открытым Вопрос 2. Всегда ли среди всех близостей, порождающих данную 1ГП-близость, существует максимальная?

Основным результатом главы I является следующая теорема, дающая описание всех бикомпактификаций фиксированного непрерывного отображения регулярного пространства А в пространство с помощью Лп-близостей.

Теорема 5. Существует взаимно однозначное соответствие между всеми Пг-близостями на X, согласованными с топологией пространства X , и всеми такими бикомпактификациями отображения 4 , для которых Ь^Х регулярно.

Следствие. Для произвольного отображения регулярных пространств существует взаимно однозначное соответствие между всеми -близостями на X , согласованными с топологией пространства X , и всеми бикомпактными хаусдорфовыми продолжениями Ь|: Ь^Х—> У отображения £ .

В формулировке теоремы 5 можно также потребовать вместо условий ХеТ3и условия хаусдорфовости отображения и регулярности пространства У. Здесь, как и в следствии За, хотелось бы избавиться от условия регулярности пространства У . Построение соответствующих бикомпактификаций отображения при доказательстве теоремы 5 проводится с помощью центрированных систем специального вида, называемых -концами, аналогично тому, как это делалось еще П.С.Александровым для построения бикомпак-тификаций пространств, а позднее Ю.М.Смирновым для построения -расширений пространств.

В силу теоремы 5 и того, что для каждого отображения Х-^ У , обладающего хотя бы одной бикомпактификацией, существует максимальная бикомпактификация [153 , среди всех КУА--близостей на регулярном пространстве /если таковые существуют/ существует максимальная УЛ.-близость.

Вернувшись к рассмотрению взаимоотношений близостей и т.-близостей, отметим, что если взять близость 5" и соответствующую ей бикомпактификацию ьх пространства а , а также кп-близость , порожденную близостью & , и соответствующую ей бикомпактификацию М:Ь^Х У , то вовсе не обязательно выполнение условия /пример 3/, что указывает на нетривиальность отношений близостей и т.-близостей. В связи с этим фактом естественным образом возникает

Вопрос 3. Пусть 8" - максимальная близость, порождающая данную т-близость /если таковая существует/ и

5Х - соответствующая близости 5" бикомпактификация пространства X , а -^Б^Х-^У -соответствующая т.-близости бикомпактификация отображения £ : X У . Верно ли, что 5^Х с 5Х ?

Интересно отметить, что класс отображений, обладающих хотя бы одной бикомпактификацией, недостаточно широк: так, скажем, "вполне хорошее" на первый взгляд отображение регулярного, но не тихоновского пространства X не обладает бикомпактификацией. Вообще, если

- непрерывное отображение в паракомпакт У , то всякая УЛ,-близость на пространстве X , как было сказано выше, является близостью, а, стало быть, пространство X обязано быть тихоновским, чтобы на нем существовала хотя бы одна П^-близость. Таким образом, те и только те отображения где I - паракомпакт, обладают бикомпактификациями, для которых пространство X является тихоновским. В непосредственной связи со сказанным выше стоит

Задача. Топологически /с помощью аксиом отделимости для пространства X и пространства У , и отображения 4- / описать отображения, обладающие хотя бы одной бикомпактификацией.

В связи с изложенной в первой главе тематикой возникает ряд вопросов /частично уже поставленных/, не решенных и представляющих, как мне кажется, существенный интерес.

Вопрос 4, /уже упоминавшийся/. Можно ли в теореме 5 избавиться от условия регулярности пространств?

Вопрос 5. В каком случае бикомпактификация отображения будет тихоновской?

Во второй главе диссертации вводится и изучается понятие 9 -ПП-близости, являющееся обобщением понятия Пг-близости, с одной стороны, и В -близости в смысле Федорчука С163 , с другой.

Определение I /нумерация определений и утверждений не "сквозная" во всей диссертации, а своя собственная в каждой главе/. Пусть £ X У - непрерывное отображение топологических ^-пространств. Будем говорить, что на X задана 0-Иг-близость, если

XX 1 задано отображение 9^ : <И -^{О,!} , удовлетворяющее аксиомам:

I. %(А,В)=1

3. е*(х,х) = о .

4. е,(х,л)«1 .

5. в^СА, В) - А. =т> для каждой точки найдутся открытая окрестность и канонически открытое в X множество С такие, что С г\ Г Оу Э А 4 Оч . в4(СлГ'оч, Влг -1 , е^АлГ'Оу, ГОучим)» 1.

6. Если существует открытое покрытие пространства У такое, что для каждого б 60 выполнено условие в^Ап-г'си, ВпГо^ 1, то .

7. = ссе[А1.

В случае, когда У одноточечно, 0 -т-близость в точности совпадает с 0 -близостью /отделимой/ в смысле Федорчука. Если пространство X экстремально несвязно, то любая 0 -Пг\-близость на нем является пг-близостью.

Включение в приведенном выше определении аксиомы 7, аналога которой нет в определении Уп-близости, обуславливается тем, что в аксиоме 5 используются топологические понятия, и поэтому В -Ш-близости имеет смысл рассматривать лишь на топологических пространствах, в силу чего необходимо задание соотношения топологии и 0 -т.-близости. Так же как и в случае Уп.-близости все аксиомы, кроме шестой, новой, аналогичны аксиомам 0 -близости.

Изложение результатов этой главы происходит параллельно изложению результатов главы I, поэтому будем здесь более краткими. Рассматривается взаимосвязь 0-близостей и 0-т.-близостей на X /при условии их совместного существования/. Так, например, каждая 0-близость порождает некоторую б-Щ-близость. Если У -паракомпакт, то все 0-ьг-близости на X являются б -близостями. Однако, как и в случае У\\ -близостей, могут существовать /на тихоновском не нормальном пространстве/ 8-^.-близости, не являющиеся 8-близостями.

Вопросу о возможности задания 0-йп-близостей посвящена

Теорема I. Пусть 1 : X ¥ и X У - непрерывные отображения топологических Т^-пространств и - бикомпактное неприводимое отображение на X такое, что ^ = • Если на X задана яг-близость , согласованная с топологией на X, то порождает 0-пг-близость 8$. на X следующим образом: для А,В с X / 0}(А,В) = 1 ^(Ч-'А^ВН

Основным результатом второй главы является следующая Теорема 4. Для непрерывного отображения } Т^-пространства X в регулярное пространство У существует взаимно однозначное соответствие между всеми В-Ш-близостями на X и всеми биком-пактификациями хаусдорфовых отображений ^ X таких, что I существует бикомпактное неприводимое отображение Ч* X —> X , удовлетворяющее условию ^ - о ^

В конце главы рассмотрена взаимосвязь 0-шп-близостей и локальных близостей и ]. Оказывается /теорема 5/, что если рассматривать тождественное отображение 1с1:Х"^Х регулярного пространства, то можно установить взаимно однозначное соответствие между всеми б-Иг-близостями на X и всеми локальными близостями на X . Проводя параллель со случаем ^.-близостей, отметим, что, рассмотрев два отображения С-Х и 1А : X X / X регулярно/, имеем: для пары (X , всякая б-Ьг-близость является 0 -близостью, а для пары всякая 0-т.-близость является локальной близостью. Таким образом, локальная близость является обобщением понятия топологии, и, возможно, стоило бы ее называть 9 -топологией.

Третья глава диссертации посвящена вопросам теории размерности. Рассматривается непрерывное отображение £ пространства в хаусдорфово пространство У с заданной на X т.-бли-3 остью . Пусть

- бикомпактификация отображения , соответствующая Иг-близости Требуется выяснить, как по свойствам пространства X и отображения {■ охарактеризовать размерность нароста и отображения на наросте, причем размерность отображения С|: 24~г^2понимается в одном из следующих вариантов:

I/ дллуъ С| ^ КЬ сЛиги ^ К для любой точки послойная размерность отображения/;

2/ ¿¿т^ ^ У1 <*=> для любой точки £2 € 2 2 , любой ее окрестности СЫ2 и произвольного конечного открытого покрытия £*Э множества ^О^г найдется такая окрестность 0х2 и открытое покрытие ^ множества О кратности ^ 1 , вписанное в покрытие ¿0 /окрестностно-послойная размерность отображения/.

Результаты подобного рода для пространств впервые в общем виде были получены в работах Ю.М.Смирнова сиз, № з.

Для решения нашей задачи на пространстве X вводятся три размерностные характеристики: г I- V в/ о^силги а . Эти характеристики являются аналогами краевой размерности

12] и определяются аналогичным образом. Не описывая подробно все три введенные размерности /подробное изложение, естественно, есть в третьей главе/, остановимся более внимательно на случае б/.

Определение 4. Система ¿0 ={0^} открытых в X множеств называется ^-покрытием пространства X над точкой у , если существует такая комбинаторно вписанная в система открытых в X множеств такая, что для некоторой окрестности имеем:

I/ V* иЛ£ э г10у ;

2/ 6", СЧ А , ГОср 00 = 1 .

Определение б. Система (Л - открытых в X множеств называется окрестностно продолжаемым окаймлением отображения ^ над точкой ^ , если существует окрестность такая, что для множества ВО^ 4 .6 Г, отображение • ВО^ —* О^ бикомпактно, и для любой окрестности П> множества ВО^ система = образует ^-покрытие X над любой точкой

Так введенные окрестностно продолжаемые окаймления являются аналогами покрытий при определении размерности X . Основным используемым свойством окрестностно продолжаемых окаймлений является то, что при максимальном продолжении элементов его на нарост 4 X образуется покрытие "нароста" ^О^ 4 ^ .

Определение 10. Будем считать, что X < И, , если в каждое окрестностно продолжаемое окаймление и отображения £ над точкой ^ можно вписать окрестностно продолжаемое окаймление V отображения над точкой ^ кратности ^ и. + 4. . Считаем

Оказывается /теорема 2/, что Б^сАхт/" = «¿ить^^^^ . Это равенство доказывается в предположениях нормальности отображения ^^ относительно отображения ^ . А это означает /определение 8/, что для любой точки 6 У и любых двух замкнутых в наросте множеств С^ и С2 , дизъюнктных над точкой /то есть таких, что для некоторой окрестности Оу выполняется соотношение

С.пС^Оя = А найдутся открытые в ОгЛ множества ос, и ос, такие, что, соответственно, ОС, и 0Сг , С.иУХ^ОС,, дизъюнктны над точкой у . Теорема 2 является аналогом результата, доказанного Ю.М.Смирновым : "Краевая размерность пространства близости совпадает при надлежащих относительно этого пространства предположениях с размерностью нароста относительно соответствующей биком-пактификации пространства."

Помимо упомянутого выше результата в третьей главе доказаны еще два соотношения.

Теорема I. При условии, что отображение •fjJ^ послойно нормально относительно отображения , верно следующее равенство:

Теорема 3. <5^.cUm-X = dim N При условии, что N нормально относительно 5jX .

Основные результаты диссертации опубликованы в l? us j.

В заключение несколько слов о некоторых обозначениях, используемых в тексте диссертации и о порядке изложения материала.

В каждой главе имеется собственная нумерация. При ссылках внутри главы указывается только номер соответственного определения /утверждения, теоремы/. Если же ссылка производится на утверждение из другой главы, то к тому же указывается, естественно, и номер главы. Номер утверждения, цитирующегося во введении, совпадает с номером соответствующего утверждения в тексте главы. Результаты первой главы используются в последующих главах; главы же вторая и третья независимы друг от друга.

Пусть даны две системы множеств 60 = | (к 6 0L } и ^ г {V|3 : р е пространства X и Ас X . Тогда считаем:

CJnV = {I/:U€60 A U € V ] ; Ос^пЩ*: «U 0t\ CcjIx ={[ОЛх : 0*6 ; СОЛХ ^ 10/Х : оL€Ol]

0<^>={0<0el> : d 6 0t\ .

И, наконец, несколько определений, данных в работе

С ¿оЗ, и, по-видимому, еще недостаточно широко известных.

Определение. Непрерывное отображение -J-: XY топологических пространств назовем Tj-отображением, ¿ = 0,1,2., если для любых двух различных точек ос', X таких, что выполняется условие, соответственно, при / = 0 : хотя бы у одной из точек х', х" в X найдется окрестность, не содержащая другую точку; при ¿-£ : у каждой из точек ос.', х" в X найдется окрестность, не содержащая другую точку; при : у точек х! и х" в X существуют дизъюнктные окрестности.

Будем называть -отображения также хаусдорфовыми или отделимыми.

Подмножества А и В пространства X назовем, соответственно: а/ отделимыми, б/ функционально отделимыми - во множестве X С X , если множества А Л X и ВпХ а/ имеют в X дизъюнктные окрестности, б/ функционально отделимы в X .

Отображение ^ назовем вполне регулярным /соответственно, регулярным/, если для любой точки и любого замкнутого в Л множества Р Э X найдется такая окрестность 0 точки ^Х , что в прообразеточка СС и множество Р функционально отделимы /соответственно, в прообразе го точка X и множество г отделимы/.

Под тихоновским отображением будем понимать вполне регулярное Т^-отображение.

Определение. Пусть дано непрерывное отображение 4 Х"-^ ¥ топологических пространств. Система £*3= множеств пространства X называется базой отображения , если система СЛ и • (Х|сУ}является псевдобазой пространства X .

1. Александров П.С.»Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.,Наука,1973.

2. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.,Наука, 1968.

3. Вайнштейн И.А. О замкнутых отображениях метрических пространств. ДАН СССР, 1947,т.57,с.319-321.

4. Вайнштейн И.А. О замкнутых отображениях. Ученые записки МГУ, 1952,т.155,с.3-53.

5. Ефремович В.А. Инфинитезимальные пространства. ДАН СССР,1951, т.7б,с.341-343.

6. Кролевец Н. О локально совершенных отображениях. ДАН СССР, 1967,т.175,с.1008-1011.

7. Норин В. О близостях для отображений. Вестник Московского Университета, серия Математика,1982,4,с.33-36.

8. Норин В. О размерности наростов отображений. Вестник Московского Университета, серия Математика,1982,5,с.17-21.

9. Пасынков Б.А. Факторизационные теоремы в теории размерности. Успехи математических наук,т.36,вып.3,с.147-175.

10. Пасынков Б.А. О распространении на отображения некоторых понятий и утверждений, касающихся пространств. Отображения и функторы. Сборник. М.,Изд. МГУ,1984.

11. Смирнов Ю.М. О пространствах близости. Математический сборник, 1952,т.31,вып.3,с.543-574.

12. Смирнов Ю.М. О размерности наростов бикомпактных расширений близостных и топологических пространств. Математический сборник ,1966,т.69,I,с.141-160.

13. Смирнов Ю.М. О размерности наростов бикомпактных расширенийблизостных и топологических пространств,II. Математический сб орник,1966,т.71,4,с.454-482.

14. Стреколовская Н.С. О ©-совершенных неприводимых прообразах хаусдорфовых пространств. Вестник Московского Университета, серия Математика,1980,5,с.54-57.

15. Ульянов В.М. О бикомпактных расширениях счетного характера и абсолютах. Математический сборник,1975,т.98,2,с.223-254.

16. Федорчук В.В. Совершенные неприводимые отображения и обобщенные близости. Математический сборник,1968,т.76,вып.4, с.513-536.17. Ссилъ- альсС,МаЬЬ. ¿¿пи., !$Ч!, т. /£/, с. 333-336.

17. Саи>п, (э.Ь.,^-. Сопг^л^^^^аЛло^ уукхрр^п^/л.Ргос. ЛоМ. . Ъ-ос., /969, т. 23 , с. 292 -303 .

18. УЬуУил*, <?. Т. иьУи^иЛ ^сп- тарри^у* .Псиил. ¿»л*,. /9?3,т. 74 , С. 344-350.