О геометрии касательного расслоения 2-го порядка T2Mn пространства аффинной связности Mn тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И.УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

ШУСТОВА Евгения Петровна

О ГЕОМЕТРИИ КАС АТЕ ЛЬ НО ГО РАССЛОЕНИЯ 2-го ПОРЯДКА Т1 ПРОСТ РА НСТВА

АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ Мл

01. 01. 04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискания ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

КАЗАНЬ - 1991

Работа выполнена на кафедре геометрии Казанского

государственного университета.

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки РСФСР,

доктор физико-математических наук, профессор А.П.Широков.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.В.Вишневский, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель Подольский В.Г.

Ведущая организация: Калининградский государственный университет.

Автореферат разослан " 24 " января_ 1992 года.

Защита состоится " 27 " февраля 1992 года, в 14 часов на заседании специализированного совета по математике К 053.29.05 Казанского университета по адресу: 420008, Казань, ул. Ленина 18, корпус № 2, аудитория 217.

Отзывы направлять по адресу: 420008, Казань, ул. Ленина 18, университет, научная часть.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета /Казань, ул. Ленина 18/.

Ученый секретар^специализированного совета

доцент _'¿¿'^с л- _/ Б.Н.Шапуков /.

/

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение касательных расслоений дифференцируемых многообразий является одним из наиболее быстро развивающихся направюний современной геометрии. Теория расслоений находит важные применения в геометрии, теории дифференциальных уравнений, анализе, теории групп. Методы расслоенных пространств интересуют механиков и физиков. Актуальность работы в этом направлении диктуется как самой логикой развития дифференциальной геометрии, так и многочисленными приложениями теории расслоенных пространств.

Исторически теория расслоенных пространств возникла в связи с изучением геометрии многообразий. Вначале появились работы по касательным расслоениям первого порядка. Изучение дифференциальной геометрии касательного расслоения ТЛ/1^ ритновых, а также произвольных дифференцируемых многообразий начало интенсивно развиваться с конпд 50-х годов, после

выхода работы Ш.Сасаки 111,2.], где он определил в Т/И^ ри-£

манову метрику jj- , названную впоследствии его именем, рассмотрел ряд вопросов, связанных с изометрией в ТМа , ввел понятия вертикального и полного лифтов векторных, ко-векторных полей с базисного многообразия в его касатель-

1. Sasaki Sh. On the differential geometry of tangent bundles of Rimannian manifolds.1.//Tohoku Math.J.-1958.-10.-Л 3.-P. 338-354.

2. Sasaki Sh. On the differential geometry of tangent bundles of Rimannian manifolds.2.//Tohoku Math.J.-1962,-14.-H 2.-P. 146-155.

ное расслоение. Общая теория продолжения аффинных связнос-тей, векторных и тензорных полей с дифференцируемого многообразия Mn, в его касательное расслоение Т получила дальнейшее развитие в работах К.Яно, Ш.КоЬаяси, А.Леджера r^f^J. Была построена и изучена метрика полного лифта ^ СЧ-J, линейная связность Г5"] в касательном расслоении, полный, вертикальный [}] и горизонтальный лифты векторных и тензорных полей с базисного многообразия в касательное расслоение. В C6J рассматривается диагональный лифт тензорного поля любого типа с многообразия с линейной связностЫз в его касательное расслоение. В настоящее время геометрия касательного расслоения изучается в различных направлениях [3].

С конца 60-х годов появляются первые работы по касательным расслоениям второго порядка С Is,IÛ и высших

3. Широков А.П. Геометрия касательных расслоений и пространств над алгебрами.-В кн. Итоги науки и техники.-ВИНИТИ: проблемы геометрии.-1981.-т. 12.-С. 61-95.

4. Yапо К.,Kobayachi S. Prolongations of tensor fields and connections to tangent bundles.2.Infinitesimal automorphisms. //J.Math.-Soo.Japan.-1966.-18.-N 3.-P. 236-246.

5. Yano K.,Ledger A. Linear connections on tangent bundles.//J. London Math.Soc.-1964.-V.39.-H 3.-P. 495-500.

6. Udriste C. Diagonal lifts from a manifold to tangent bundle.-Rend.mat.-1976.-9.-H 4.-P. 539-550.

7. Yano K..Kobayachi S. Prolongations of-tensor fields and connections to tangent bundles.1.General theory.//J. Math.Soc.Japan.-1966.-18.-N 2.-P. 194-210.

порядков С И, |5" , |б 3 , и тогда как касательные расслоения первого порядка изучены более-менее подробно, то исследования касательных расслоений второго и высших порядков еще только начинаются.

Настоящая диссертация по своей теме относится к теории касательных расслоений 2-го порядка пространств аффинной связности ГЛК .

Цель работы состоит в том, чтобы: 1) установить, взаимосвязь между геометрическими объектами, возникающими в касательном расслоении 2-г^ порядка Т1М ^ , сумме Уитни Т1\Ла©ТМЛ двух экземпляров касательного расслоения (а при и в расслоении реперов 6(Мг) )• 2). С привлечением полученных результатов изучить вопрос о связях между движениями в М-^ ив , а также изучить упорядоченные пары

8. Капустина Т.В. Геометрия касательного расслоения второго порядка ркманова пространства.-Дисс. ... канд. физ.-мат. наук.-1980.-126 с.

9. Переломова Н.Н..Широков А.П. Касательное расслоение 2-го порядка проективной прямой и его приложения к геометрии Лобачевского./Казан. ун-т.-Казань.-1988.-21 с.-Деп. в ВИНИТИ 12.04.88.-J* 2746-В88,

10. Tong Van Duo. Sur la geometrie différentielle du fibre tangent d'ordre 2.-Rend.Сire.mat. Palermo.-1986.-35.-N 1.-P. 118-134.

11. Tong Van Duo. Tenseur covariant canonique sur le fibre cotangent d'ordre 2.-Bull.Soi.math.-1986.-110.-H 3.-

векторных позей на римановом пространстве М^ с точки зрения Т1 /И ^.

Работа выполнялась в соответствии с планом НИР Казанского университета в рамках темы "Геометрия обобщенных пространств и пространств со структурами, определяемыми алгебрами", имеющей государственный регистрационный № 0186.0123456.

Научная новизна. Получены в неголономном поле реперов (.см. параграф 2) основные формулы док геометрических объектов, возникающих в расслоениях Т2 , ТМц.® ТМ^ , Е С /Ма.) • Найдены необходимые и достаточные условия совпадения связностей полного лифта Г^ в Т и в ТМаФТМл. Установлены взаимосвязи меж^у другими найденными выше тензорными полями в "Г2Д/1Л, ТМ^ФТМ^ (а при ц,-2 и в £({Аг)). Выделен класс расслоений реперов ¿"(М^)

12. Движения в пространствах аффинной связности.-Ученые •записки.-Казань: Казан, ун-т.-1965.-206 с.

13. Catz Ghislaine. Sur le fibre tangent d'ordre deux.-Thèse doct.Univ.soi. et méd.-Grenoble.-1973.-64 p. .

14. Gancarsewicz J.,Mahi S. Géodésiques dans le fibre tangent d'ordre supérieur.-Cah.math.Univ. d'Oran.-19S6.-

. И 1.-P. 27-52.

15. Djaa Mustapha,Ganoarzewicz Jacek. f-structures sur le fibre tangent d'ordre r.-Cah.math.Univ. d'Oran.-19S6.-N 1.-P. 3-26.

16. Gancarzev/icz J. ,Mahi S.,Rahmani H. Horizontal lift of tensor fields of type (1,1) from a manifold to tangent bundle of higher order.-Rend.Circ.mat.Palermo.-1987.-

со связностями , в которых фундаментальные векторные

поля из £( М г) являются инфинитезимгльныьти аффинными кол-

линеациями. Установлена взаимосвязь этой .связности со свял,

зностями полных лифтов ^ру < У- 0 Т и "ТМ^®"^

соответственно. Получена классификация расслоений реперов

(а посредством отображения б" (см. параграф 4) и расслоений ТгМ2 и Т!\Аг©ТМг) в зависимости от классификации /по И.П.Егорову С12-3 / баз по возможным группам движений. Изучены упорядоченные пары векторных полей, заданных на римановом пространстве Мц, с точки зрения касательного расслоения Т^М^.

Теоретическое значение. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при изучении геометрии касательных расслоений как римановых, так и произвольных многообразий, для изучения упорядоченных пар конгруэнций прямых в аффинном пространстве. Вместе с тем, как известно, дифференциально-геометрические конструкции и результаты теории расслоений находят широкие приложения в механике и теоретической физике.

Методы исследования. Используются методы тензорного анализа, аппарат дифференцирования Ли и поднятия геометрических объектов с базы в касательное расслоение. Исследования носят локальный характер и ведутся в классе достаточно гладких функций.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях научно-исследовательского семи-

¡73б],зирр1. Я 14.-Р. 43-59.

/

нара при кафедре геометрии Казанского университета /руководитель профессор А.П.Широков/, на итоговой научной конференции Казанского университета, на семинаре при.кафедре геометрии и алгебры Калининградского университета /руководитель профессор В.С.Малаховский /.

Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех статьях, приведенных в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 133 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав, содержащих 15 параграфов, заключения и списка литературы из 62 наименований отечественной и зарубежной литературы. Нумерация параграфов сквозная.

2. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ-

Введение содержит краткий литературный обзор, обоснование темы диссертации и краткое содержание работы.

Аффинная связность Р]^ , заданная на Мц, , позволяет определить взаимно-однозначное отображение б": ^ ^бТ'.М^ -г по формуле ; и.а

т. е. 2-струе ^¿С^Т^М^ стазится в соответствие при -Ь-о в рассматриваемой точке два вектора X

касательных к Ма в рассматриваемой точке же/Цц.

В первой главе посредством этого отображения устанавливается взаимосвязь мезду геометрическими объектами, возникающими в касательном.расслоении второго порядка ТгМ^, сумме Уитни ТМ^ФТМ^, а при ив £(Мг) .

В параграфах 1,2,3 получены формулы для лифтов век-

торных, ковэкторных, тензорных и полей и связности , заданных на базе . в Т^Мп-• Т^ц®

соответственно. В рассматриваются фунда-

ментальные Е 1 ^ и базисные £к векторные поля,которые возникают в этом расслоении.

В параграфе 4 установлена взаимосвязь между полными лифтами "ГД , , в ТМЛ® ТМц, а

при ц=2 и в соответственно. Находится тензор аффин-

ной деформации и связн°сти Г^к

без кручения устанавливается взаимосвязь тензора аффинной деформации Т^ с тензором кривизны ^•«с*' связности Г^ , заданной на базе М^. А именно, доказано следующее

Предложение 4.4. Если тензор кручения связности Г,-к

<( •"■л <=М

нулевой, то тензор аффинной деформации Т-^.- Т. ^ - Г^ связан с тензором кривизны ^«е1, связности Г^ , заданной на базе , и в неголономном поле реперов с^ имеет вид:

м цм-Р„м-<7 ( ~ I о о ^ \

гп+1 00 0 п>г р с

1 1 ц+к j ~ <1 ^Рк >

~г<< ^ остальные I ^ - 0 .

ёп-м.^/?^1 , ^-локальные координаты в

су юле Уитни 7~,М

Получено необходимое и достаточное условие для того, « . я ^

чтобы Г ~ .А именно, тензор аффинной деформации

Т* = ^¿о - Г?г равен ну.ш тогда и только тогда, когда гбг^г'

тензоры кривизны и кручения связности Г^ -нулевые (см.

предложение 4.5).

Выяснен вопрос о том, чем отличаются лифты в ТгМ;1,,

ТМ^ФТМц, указанных выше тензорных полей (а при п. = а.

устанавливается взаимосвязь и с геометрическими объектами,

гс 2

возникающими в £(МгУ). Например, полный лифт 1Г в Т М^ векторного поля , заданного на М^ , отличается от псл-ного лифта V в сумму Уитни ТМр.ЭТМ,,. на вектор (0-, О;

■) . Отмечается взаимосвязь полей• слоевой гомотетии 2 , <2 , возникающих в сумме Уитни ТМг@ТМг, с фундаментальными векторными полями .

В параграфе 5 найдены пространства £ ГМг) со связно-стями Сг^У , в которых фундаментальные векторные поля являются инфинитезимальными аффинными коллинеациями. Устанавливается взаимосвязь этой связности с указанными выше

сс * «I с «I

лифтами Г^ , , ^ру

В таблицах 1,2,3 показаны взаимосвязи геометрических объектов, возникающих в указанных расслоениях, и в параг-. рафе 4 делаются те выводы из этих таблиц, которые не видны непосредственно из них.

В параграфе 6 приведена таблица 1, в которой записаны всевозможные скобки лифтов векторного поля тГ и фундаментальных векторных полей £г|" и базисных векторных полей £

V К

соответственно. Например, в голономном поле реперов

имеем: С Г \X Г Ч- Г~ Г Зг Г Щ ]0)

В параграфе 7 приведена таблица 2, в которой даны производные Ли от лифтов тензора , заданного на М^ , вдоль лифтов векторного поля V , заданного на (VI и вдоль векторных полей с . . В этой же таблице помещены и

- и -

г

сг

производные Ли от структурных аффиноров , , ^ возникающих в Т^М^ и сумме Уитни ТМц фТМ^ соответственно, вдоль этих же векторных полей.

В параграфе 8 помещена таблица 3, в которой приводятся ковариантные производные от структурных аффиноров в связностях ъра . i •

Все результаты, приведенные в этих таблицах, записаны в неголономном поле реперов .

Приведем сейчас один из выводов из таблицы 1, который приводится в параграфе 4 и существенно используется в главе 2.

Предложение 4.14. Пусть база М^ обладает группой аффинных - коллинеаций с базисом операторов { ... ЧЛ, ,с а^со ассг) , Ч н •

тогда f, ---П ) I ■■ \ ; базис

операторов (3& + Ч) -параметрической группы Ли.

Видное место в геометрии П-мерных пространств аффинной связности занимает учение о движениях в этих пространствах. Естественно поставить вопрос о связях между движениями в % и в указанных расслоениях. И.П.Егоров [11] провел классификацию 2-мерных пространств аффинной связности по группам движений. В основу классификации пространств аффинной "связности Мг /без кручения/ по возможным группам движений он попожил укороченные группы преобразований, которым подвергаются системы импримитивности, и привел соответственно четыре типа возможных групп движений среди им-примитивных групп в зависимости от того, является ли группа движений интранзитивной или система импримитивности испытывает преобразования одночленной группы или эти преобразования, перемещающие линии системы импримитивности, составляют

2-членную ели 3-членную непрерывные группы Ли.

В главе 2 проводится классификация расслоений (а посредством отображения СГ и расслоений ТгМг и ТМг®ТМг) в зависимости от указанной выше классификации баз М^ по возможным группам движений. А именно, получается классификация расслоений ¿(Мг) в зависимости от указанной выше классификации баз М^ , так, чтобы это расслоение допускало

бы (3 6+4)-параметрическую группу движений с базисом опера. се £5 зс.") ассо уй?) уС(2) I г ' г. > торов • ^ 1

В параграфах 9,10,11,12 изучаются соответственно эти четыре типа пространств £(Мг) . Здесь существенно используются результаты параграфа 5.

В главе 3 с привлечением результатов главы 1 изучаются упорядоченные пары векторных полей, заданные на римановом многообразии М^с точки зрения касательного расслоения

тХ.

3 параграфе 13 получено естественное оснащение сечения в , соответствующего упорядоченной паре векторных полей, заданных на римановом пространстве М ц, , и найдена мзтрика Н^ на этом сечении, индуцированная мат-

сс -

рикой полного лифта ^ из Т Мц •

В параграфе 14 найдены второй фундаментальный тензор оснащенного сечения и внутренняя связность на нем, индуцированная связностью Г^ полного лифта в Т (И л связности Г)к , заданной на М ^ .

В параграфе 15 с привлечением результатов параграфов 13,14 изучаются специальные упорядоченные пары векторных полей на римановом пространстве М^ с точки зрения касательного расслоения Т^М^ . Отметим здесь лишь один из

типов упорядоченных пар векторных полей, А именно, если упорядоченная пара такая, что первое векторное поле является нулевым, второе - произвольное (за исключением таких вторых векторных полей иГ , для которых ¿et ( X «г flij)^0 )> то метрика Н— , возникающая на этом сечении,-есть не что иное н£к тензор бесконечно-малой деформации на М ^ , соответствующий этому второму векторному полю иГ . С^З , Замечание. В работе используется правило суммирования Эйнштейна. Индексы, если не оговорено специальное, изменяются в пределах: L , J' , К , ^ , w , р I , 1 , S = (rv ^' Jь i i i ^ i ) • Первая цифра в нумерации

предложений и формул означает номер параграфа, вторая -номер по-счету в этом параграфе.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Александру Петровичу Широкову за внимание и постоянную поддержку, оказываемую автору во время выполнения работы.

3. РАБОТЫ АВТОРА ПО TIME ДИССЕРТАЦИИ

1. Шустова Е.П. О связях между расслоениями Т2Дг , ТДъ ®Т Aj_ , £(F\Z) и о группе Ли инфинитезимальных аффинных преобразований в Т2Дг ./Казан, ун-т.-Казань.-1990.-15 с.-Деп. в ВИНИТИ 13.06.90.3377-В90.

17. Лаптев Б.Л. Дифференцирование Ли и его приложения в теории упругости. Итогов, научн. конф. Казан, ун-та за 1961 год.-Секции:мат.наук.-Казань.-1962.-С. 172-173.

2. Шустова Е.П. Группы Ли движений в с базисом операторов { ^ . - . , Е 3 наД базой А г с интранзи-тивной группой движений с базисом операторов {^ •/ Казан, ун-т.-Казань.-1990.-21 с.-Деп. в ВИНИТИ 18.12.90.Л 6289-В90.

3. Шустова Е.П. О связи касательного расслоения 2-го порядка Т2Ма с суммой Уитни Т М^® ТМ^ ./Казан. ун-т.-Казань.-1991.-24 с.-Деп. в ВИНИТИ 06.05.91.1835-В91.

4. Шустова Е.П. Пары векторных полей на многообразии М^

с точки зрения касательного расслоения Т2 М ^ и линейчатая геометрия./Казан, ун-т.-Казань.-1991.-12 с.-Деп. в ВИНИТИ 30.09.91.-й 3826-В91.

Сдано в набор 17.01.92 г. Подписано в печать 22.01.92 г. Форм.бум. 60 х 84 I/I6. Печ.л.1. Тираж 100. Заказ 27. Бесплатно

Лаборатория оперативной полиграфии КГУ 420008 Казань, Ленина, 4/5