О геометрии специальных луп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ

ОРДЕНА ДРУЖБЫ НАРОДОВ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ имени ПАТРИСА ЛУЛУУМБЫ

На правах рукоппсп

ДАНЕЕВА Татьяна Васильевна

УДК 514.76(+512.54)

О ГЕОМЕТРИИ СПЕЦИАЛЬНЫХ ЛУП

(01.01.04 — геометрия и топология) о

4.7

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва

— 1990

Работа выполнена на кафедре геометрии ордена Трудового Красного Знамени Московского областного педагогического института имени Н. К. Крупской.

доктор физико-математических наук, профессор Л. В. Сабинин.

доктор физико-математических наук, профессор В. Ф. Кириченко,

кандидат физико-математических наук, доцент И. Л. Афанасьев.

Ведущая организация — ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени Казанский государственный университет имени В. И. Ульянова—Ленина.

Защита диссертации состоится « 1990 г.

в 15 часов 30 мин. на заседании специализированного совета К 053.22.23 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в ордена Дружбы народов Университете дружбы народов имени Патриса Лумумбы по адресу: 117198, Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Университета дружбы Народов имени Патриса Лумумбы по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан « » 1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Научный руководитель —

Официальные оппоненты:

В. Л. КЛЮШИН

05ЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В ичстояшеЗ диссертации рассматриваятся некоторые вопроси гоомвтрпи локальных специялыш луп. Бпарвш понятия специально1! лупн бичэ явелоно, по-втаг'.-ому, РД.Брууом (8 , 9] в 1940-Г'Г50-г годах. В дпльиеЗгаем алгебраическая теория спсци-ольных луп 1и-а развита г> рп1отох В.Д.Беюусова [I], Л.В.Са^кккна п других авторов.

'-'-¡чалом приклонил теории квазигрупп и луп п дгтЭДереншт-альпо!} гээугатрйй стала раПота О.Лооса [2], который показал, что епг?,<отртесноо пространство г/отао трактовать как глядкув квазигруппу с некоторыми тоадествага /пдемпотентную, левояист-рсбутктшу®, с ловки свойством обратимости/, На этом пути полу~ пчется "алгобр.'шчосхое'* определенно «^метрического пространства, которое не вовтркает в рассмотрение структуру многообразия. Слелушш пятом Знло понятие в -пространства и 5 -структур«, ппряпсяок Лрдчером [ 1,2]п допупгспга«5 интерпретацию на языке квазигрупп, Далее, Л.Е.СаЧянин [^.б] а независимо от него М.Клкквва [10]прелдо*ялп ноеоо определение пространств аффяяпоЯ связности р терминах совокупности гладких локачькьгх луп па мно-гсс'разм, по оагоЛ в кахдоЯ тотее, подчиненных некоторым условиям согласования /называемым тождествами- гооодулярности/. Такой локпчыч« гладких луп называется гооодулярноП структур.

Спадиальио следует отметить работы Л.В.Сабинина [3,4][ , п которых доулгчип пквквалвнтАэсть нятегорп!! левых луп а "<»внх едчороанн* пространств. Оказалось, что кядду» леву® лупу моадо "нч^лигь структурой однородного пространства, при атом

^ундй&энтально1* группой, действующе* на лупе, талдется группа, получаемая в результате дояугсряшго произведения лупы к ее rptusc-ассоцнанта J группы, однозначно порожденной лупоЪ/. У.Клкиава ас-пользовал ату конструкцию в частном случав в работе Ql^. В указанных работах Л.В.СаЗинина такке известные конструкции дифференциальное геометрии как локально редуктквные и локально сы««етри-ческие пространства подучили изящное истолкоЕ&яке на язико специальных луп. Полученная алгебраическая теория локально редук-тюлшх и локально симметрических пространств обладает рядом преимуществ, наггршдар, позволяет ограничиться изучением чисто алгебраических своЗств локально редуктивних и локально сгадаотркческвх пространств- , не вдаваясь в рассмотрение дифференциального есчйс-дания и топологии. Тако5 подход к редуктивныы и сшзаетрическю! пространствам вызывает естественный интерес к классу специальных луп, который исследуетя в настоящей работе. Из вышеизловенно-го следует, что тема настоящей диссертационноЯ работы яллкотся

£ классе спеииашшх луп иэкно выделить родуктивныо лутш -геодезические луш пространств редуктивиоа срязиоств (Л((у) . Родуктивлыо лупы занимают среди специальных луп исключительное положение, поскольку произвольная специальная лупа <Л1,*, О допускает представление /си. [VJ/:

где • Н *—& М - семейство автокорфизетв редуктЕвноЗ луш < /М, ь. , £ "> , такюс, что X ас *

( i-x)} - ^ * e Lol 0Lg „

б (М , > .

При этом с одно? и той яо рвдуктпвной лупоЗ могут быть связали различные специальные лупы. , \ .

Расслаивая /Л на орбиты относительно действия грушш, fto^ роадеянов преобразованиями t(a.,i), можно построить требуемые . '. ' ,, функция Лх • 0ЯЙ Должны быть заданы произвольным гладким обра- / rom на некотором сечении орбит, при дополнительном условии, что подгруппа стационарности в заданной точке орбиты х. но изплзт значения А^.. Значения в точках вне сечения определяются КЗ условия i

Цель работы состоит в описании всех таких операторов "X х я соответствующих специальных лекальных луп, связанных с редук-тггашжи лупами - геодезическими лупами классических компактных 1 неприводимых ошметрическях римаиовых пространств.

Методы исследованияt Используются методы ноассоцийтивноЗ" алгебры, теории симметрических пространств, дифференциальной геометрии, тоории групп и алгебр Ли.

Научная норизна. На матричных моделях геодезических луп <At, *классических компактных неприводимых римановых симметрических пространств М=сз/И в явном виде построены функции о : М |—, позволяющие описать всевозможные специальные лупы, которые можно задать на пространстве А\ ,

Теоретическая п практическая значимости.Работа имеет тоо- • ретическиЯ характер. Порученные результаты мэгут найти применение в дифференциальной геомчтрии, теории квазигрупп и луп, а также в различных приложениях к физике и механике.

Апробация работы.Результаты исследований докладывались в 1985 - 11:86 годах на заседаниях семинара по геометрии кафедры

- ( I V <. Г *

.математического анализа Университета другбы народов имэнп *П,4уиум<5ы и на ежегодных научных конференциях факультета физв-■ ^-математических в естественных наук УДН им. Л.Лумумбы, А так' ,ко на заседаниях семинара кафедры геометрии Московского областного педагогического института им» Н.К.Крупской и па П Всесоюзной гооиэтричаской конференции в г.Кишиневе.

Публикации Основные результаты диссертации отраяены в че— тцрех ошлакованных работах список, которых приведен !

ч Я, конце автореферата.

; ; > V ; ÇîPm.YPn В О0ИН Д^дшшя. Диссертация выполнена на J<

страницах ыашянопноного текста и состоит нз введения, двух ' глав, спЕска литературы, который насчитывает 51 наименование.

С0ДЕР1/НИЕ РАБОТЫ

V ^ ^

, ,; ; »Во введении изложена история вопроса/ цели и методы иссло-• дования, описаны полученные результаты. Глава I состоит ад трех параграфов.

. В § I "Необходкшо сведения из теории одулей, луп и одно- ; ;". родни* вроотранств," приведены основные понятия и терминология : теории луп ж однородных пространств.

В § 2 "Постановка..вадачн" сформулирована постановка задачи, Доказана, что в случае, когда М= О/Н - симметрическое • ¿^юстранстЕО и^ - специальная лупа, заданная на прос-

•традгетве А\ » закон композиции О, ¿в в конечном объ-

' вктс , дяагря«ш киже - локальной левомоноальтврнативноы одуле

• . •■ - б - - • •• • в точке» £ касательной связности V

совпадает с операцией канонической редуктивной лупы стлгстрячяеЦ^ кого пространства М - ^¡Ц /каноническая редуктивная лупа -геодезическая лупа «метрического пространства М /. Опираясь на свойство функций ;

.обосновывается способ построения этих функций на канонических лупах симметрических пространств.

В § 3 "Некоторые факты из теории симметрических пространств"' гртаодонн необходимые результаты аз теория симметрических прося- ; ранств. Операция канонической лупы сведена к операция группы , Приводен- способ построения сечений орбит канонической лупы для ' симметрического пространства С/ц относительно действия ва .' ней группы Н •

Глава 2 состоит из четырех 'параграфов, В § I "Гладкие специальные лупы с симметрической касательной связностью ранга I" функция : Л1»—построен« ва канонических лупах <1 симметрических пространств типа

&0(т)/£О(*.) /гиперсфера евклидова пространства ¡ЯЛ** /, ?

х1/{1)) /комплексное проективное пространство/, проективное пространство/, ^/ЗОС^ /эллиптическая октавная плоскость Кэли/. Доклеено следуплае предложение

Предложение 2.1,1 Цусть Л1« - симметрическое пространство ранга I, причем группы С, Н - простыв. Тогда каноническая лупя симметрического пространства Л\ является едияот-2-384 •

- о - - ......... 1

;донноа специальной локальной лупой, заданно» на пространстве Ai. У:* Из предложения 2,1.1 следует, что для канонических луп • < ft;*, iy симметрических пространств $0(М1)1$0(*} при Л- * 5 $р(п<о/Зр(*-)*5р(1)я F*/$0(?) функции Лх : М имеют •. - 2d V хе < М, a, t > . .Отдельно рассмотрены канонические лупы двумерной сферы socsj/sa и трехмерной сферн , Для канонической лупы даунер-

,. ной сферы функции Я определяются слодуищш образов :

; ' - произвольная ортогональная двумерная ыатрица. 'Щ формуле Vx lAMiJ]*. х' вычислен реэультируадва

. кои композиции. В случае трехмерной сферы в также построена функция Яд М ГЛ , действуидая на канонической лупе . ' < At, Вычислено результирующее выражение X* У' .

- ' Для комплексного проективного пространства SVt*-*1)f*>VW\)»Mi таквё построена матричная модель канонической лупы и определены

' функции Я*... Получено результирующее выражение А* У? Л

В § 2 ^Гладкие специальные лупы с симметрической касатель-' ной связностью типов SOCpp)/SOCf)xSOCpX SV(pp)/S(ttp*Dft)

SpffifO/SfCptSpif) Функция .Яд построены для канонических < луп этих пространств. Доказаны предложения *" Предложение 2.2.I Любая специачьная локальная лупа

оаданиая на веяесчвенном'грассмаяовом многообразия Ai- SO(ftf>. • , fSO(f)xSOCf\('!,p> о) кшет вад ? где & )

- - операция каионическоЯ лупы , а Я у определяются ■^следуйШ1 образов Л>\Х1>~* РГ.УГ < Я>л> £

V 0

0 11

- 7

е> о'

0 в Л

V7 о"

0 К/

гдо У}11 - ортогональные матрицы порк,.коз со--, ;

ответственно, завпсяаиа от У иатрнцы V

следугаиы образом: вактор-столбпь

образуют ортонормирований бязяс нэ норынроваяных 1) собственных векторов спммэгричвскоЗ -матрицы 5»' 5/ ^ ' ! а вектор-столбцы катрвдц 11, составляют ортоноркгрсвшпшЯ базна,

, 1

из нормированных собственных векторов саммвтрпчесяо!! |»*р -маг-; ряцы • ■ '

< '

где

При ^-р Ли действует на 1Л по правилу Л.уА

— 1 " V о 1А с? Ут 0

> 6 0 1С

Ас

(Ьбзоср).;

Здесь 11,V описаны вше, а М векторное.проотринст- ¡'

во всех прямоугольных вещественных матрвд с ^ строками я р столбцами. - *'",'.:'■!

В этом ге параграфе функции Хж постровни для канонячдс»)Й V лупы комплексного грассианов® иногообразяя

■ 1 ■ !

Соответствующий результат сформулировал в предяогоизи 2,2.2 ( , И Продлозстиие,2^.2 Любая специальная локальная.лупа <.Л1 ,*,£>' ( заданная на комплексной грассмаповом многообразии /Л - 1

./¿да* ад

йкэвт вид = А ' , гдо ¿л) _ операция-'.I1'

канояичвскоД луга <А\а,£> симметрического щ^ляраясзгва, а Ху определяются формулами Х А ; здесь

- В -

>

! ' •

V 0

0 » и

Го1Ь

е**

—Р

ь> I. . ■ 0

0 н

где V) Ц- ~ УКИтаРКН0 матрицы порядков <^>р соответственно, , сркчбм вектор-отолбцы матрицы V образуют ортонормирований . ;баэкс т нормированных собственных вектороа »рмитовоЯ -

катршш ' , а вектор-столбцы матрицы IX, образуют

ортонорнарованный базис па нормированных собственных векторов срмзтсвой катрнаы О) * 01 порядка р

- векторное пространство всех комплексных прямоугольных матриц с 4 стрскакз в р столбцами,

В $ 2 для построения овченв* орбит канонической лупы </4,0/> кватернкояного грассианова многообразия /Мг относительно

действия группы И доказана вспомогательная лемма о е'кнгуляр-ком разложении произвольно!! прямоугольной кватерншнноВ матрицы р" VI' ЬС> где - диагональная прямоугольная итряаа развара ^ * р с вешвственнынк неотрицательными невоа-ряетаяанми влвквнтами на диагонали, а V, Я _ некоторые сиип-лектичвские кватврииошшв матрицы порядков р соответственно.

Докааано

'Адояложднив 2.2.3 Каноническая луга ввятернионного грас-сманоюа многообразия Л1 = является единстпеп-

ноЯ специальной локальной лупо*, заданной на пространстве М .

В $ 3 "Гладкие специальные лупы с симметрической касательной связностью типов

> ЬОС^ОСъ) построены функции на канонических лупах оставшихся классических компактных симметрических пространств» • Доказаны предложения 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3 и 2.3,4. ' ,

Предложение 2.3Л Любая специальная локальная лупа</^ДС>! заданная на симметрическом пространстве /Ч ~ 5СЛЯ,)/«?^г) кмоет > 1 вид У*Х - У X , где (л) - операция канонической лупи пространства М , а функции Л у определяются формулами = /\ Х А} А* О-б О"* б» в ЗО(ъ) , О - ортогональная катр:ша|. вектор-столбцы которой суть нормированные собственные вэктора унитарной симметрическо! матрицы У .

Предложение 2.3.2 Каноническая лупа сигаотрпчеокого прогт-у^ ранства 1Л ~ £0(гь.)1£рСп} является единственной специальной дояадь*-; ? .ной лупой, заданной на пространстве

/Л . '

Цреддояение 2.3.3 Любая специальная локальная лупа «С/Ч,*,^. заданная на симметрическом пространство А\т2р(*.)/1}(и.) иузет, сад Х*У * , где С») - операция канонической лупв,'«.

¿М, , а функции Я ^ определяются формуламиА'У;А'у

где А5» \У->\/\Г , а вектор-столбцы матрицы \Д/ является,?! •{\ I собственных® векторами матрицы X • Л) - произвольная ЛИ>Ы¡>

тарная матрица порядка п. *

* ' *' * • ; .

Предложение 2.3.4 Любая специальная локальная лупа заданная на симметрическом пространстве йй^бТ 'У-'!"'

вид У* Яу 2 операция канонической лупы < Мр Ь £ .)

а !Ху определяются формулами **в 2-В ^"М'С'ТУ'^ТЖ}-, вектор-столбцы матрицы V/ являются нормированными собствзпшдаи^ векторами матрицы У , С имеет вид::■»•

- о -е'-Ч'-Г

Ь Л П. » 2. 4

• - ' ■ •

|( Г

С= с/лЛ^

в^* О

о

в

ш

.С*

о " 0 А а**

0 есч у ... . 0 е4* . ч-

1 м

*. О

В § 4 "Гладкие специальные лупы с екшетричеоко'? касательной звйзностьв, веданные иа некоторых особых симметрических п гтрая-отвах" рассмотрены два класса особых сишаг-ическях пр^-траиств: симметрические пространства максимального ранга /к нкм ^ткосят-5п сдедушие тары (^»брГУ))) ( > )э

г симметрические пространства расцеплюго ранга /к ним относится . единственная пара > ) /. Доказаны следувдие предложения Предложение 2.4^1-Пусть М а С/ - симметрическое пространство максимального ранга. Любая специальная локальная лупа , ааданлая на имеет вид * * & ,

гдо - операция канонической лупы <СМ,ь, £> , о «функции Ху определяются следующим образом

где к. - произвольный элемент га Н , у« к., * , гс* А ' - сечение орбят пространства пря действии яа М группы , Рс^длож^нио Каноническая лупа симметрического пространства раааепншго ранга является единственно!! специальной локальной лупой на пространстве М .

В этом параграфе кратко приведена теория хорневюс систем оюаттрйческих пространств и диаграммы Сатпке для особых компактных рймановых пространств.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, ¡;нт,!РУт)Ч в ABTOPBÎEPATË ,

1. Боло усов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. - М. : Наука, 196?. - 223 с.

2. Лоос 0. Стпзетрпческиэ пространства. - U, ; Еаукг.. 1985, -

2Ш с. -, ■

3. Сабинин Л.В. К оквквалэнтиостя категория луп а одиородши пространств // Докл. АН СССР. - 1972. - Т. 205. - Û 3. -С. 533. - 536.

4. Сабпнсш Л.В. О гоонэтри» луп // ^тематические заглртгш. - , ' 1972. - Г. 12, - П 5. - С. 605 - 616.

5. Сабинин Л,В, 0дули как новый подход к геоштрил со сэяэноотыц/f • Докл. АИ СССР. - 1977. - Т. 233. - П 5. - С. 800 - 803, " »

6. Сабинин Л,В. Мэтоды неассоциатннноЯ алгебры в лиф^еретшальвей геометрии, - Добавление К кн.; Ковалев Ш,, Номидзу К, Основы ' дифференциальной геометрии. - T. I. - М. : Наука, IS8I. ». С,. ;, , 293 - 339.

7. Сабинин Л,В. О касательных связностях лунускулярных структур// Ткана и квазигруппы. - Калинин: КГУ, 1966. - С. 86 - 89, ■ ; ''

8» 5i>u,c4 R H.-у potelé. L .3. Loops игколе. и^ел. тлхр У , puvgs алл // Arur^cJL&oJ- ТЯмЛА,'. \

-v. 63.- 19s&. - р. зо^-згз . •

9. р.. И . Со ta ika. iAsuxu^ o:f ' ; Loops Ц Тъсиъз. hmxTL . lïbcviA.. Soc . - V. 60. -

1946 . - p Z4S--3S4 . /

10. [¿еккал/а M . On- bor xt Coops о ru O-cTicn^. . m.cuvi.JoC.o( s // J. Su.. И.ии>ьКот\.o„ ЪСплл/, -л*а A -1э6ч. - V.2P - P. f99 --zoï.

Oiloaou/a. M, tfeoигоЛЛ^ of korrvoc^uLCM^

// шла&)шп£к 'шомъ . 3. - i9-7s.-A/S. - P /Vf - Í?S>.

12. lüxiqtn. A3. бьрвЛАл oit йл^гпххтг £-0>трт.е£-

•tW^tt^S. // с. X , Ас/ХЫ. . т^сс. - г. -

V - . -

сиюок ojvy£flkkoda}!n»x глж>т по теш; диссеггаш»

1. Л-'шееза T.D. Гдадкво Апяуды с с метрической карательной сшдаоетью ранга I // Ткшш в квазигруппа, - Калшшн: КГУ, I960. - С. 155 - I5Ô,

2. Ддяевпо T.B, 0 гвадккя сбивальных луп*« с симмэтрйческо! касательной свяэплстыэ тигз» SU(*)/SOC*) t SfK*.) fU(n) SVfaytfx«-), &O(AnbJtS0slft Натер. И Kcnh mn. учения Ун-та друяЗы народов. И. - 15-1? юрта I9dô. Ч. 2. - Университет яружЗм »прогонt С, -14?. Дрп. s ВИКИТИ 01.0?.BÖ. ß 5305 - Boo,

3. Дднеова T.B. К класскфикаэдв редуктявны* однородных пространств // Те», докл. IX Всесоюзной геометр, коиф, Кишинев; 20 - 22 C0HT. I9B8 г. Втгянад, I960. - С. Ï3 - 54.

4. Âiuieenn Т.Б, Гладкие А-%иупн с симметрической пс-ч-р.чы связностью типов SoftVOJSOrç)*SCfcl

£p{ftp)И ^''-такякпя явМ'еренциаяьной г etwa граи. - Воронов: ВГШ, - 1989. - С. 61 - 07.