О наследуемости Холлова свойства Dπ подгруппами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Манзаева Номина Чингизовна

О НАСЛЕДУЕМОСТИ ХОЛЛОВА СВОЙСТВА ПОДГРУППАМИ

01.01.ОС — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

31 ИЮЛ 2014

005550946

Новосибирск — 2014

005550946

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет».

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, доцент Вдовин Евгений Петрович, доктор физико-математических наук, доцент Ревин Данила Олегович.

Официальные оппоненты: Маслова Наталья Владимировна

кандидат физико-математических наук,

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки

Институт математики и механики им. H.H. Красовского

Уральского отделения Российской академии наук,

старший научный сотрудник;

Шлёпкин Анатолий Константинович

доктор физико-математических наук,

профессор,

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева»,

профессор кафедры информационных экономических систем. Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова»

Защита состоится 18 сентября 2014 года в 16:00 на заседании диссертационного совета Д 003.015.02 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. C.JI. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: пр. Академика Коптюга 4, г. Новосибирск, 630090.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. C.JI. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, http: //math.nsc.ru.

Автореферат разослан « /6 » июля 2014 г.

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Стукачёв Алексей Ильич

Общая характеристика работы

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

В 1872 году норвежским математиком Л. Силовом [17] была доказана следующая теорема.

Теорема (Л. Силов). Пусть порядок конечной группы С? равен ра -т, где число р простое, ат не делится нар. Тогда справедливы следующие утверждения.

(£) Группа С? содержит по крайней мере одну подгруппу порядка ра (т.н. силовскую р-подгруппу).

(С) Любые две силовские р-подгруппы сопряжены.

(V) Всякая р-подгруппа группы О содержится в некоторой силов-ской р-подгруппе.

По мнению специалистов теорема Силова является краеугольным камнем теории конечных групп (см., например, [4]). В рамках этой теории получение теорем силовского типа сформировалось в большое самостоятельное направление, берущее свое начало в работах Ф. Холла и С. А. Чунихина [7-10,12-14]. В 1928 году Ф. Холл предложил вместо силовских р-подгрупп рассматривать более общий объект — 5,г-подгруппы или, как их впоследствии стали называть, 7г-холловы подгруппы. Напомним определение. Пусть -к — некоторое множество простых чисел. Через 7г' будем обозначать множество всех простых чисел, не лежащих в 7Г, через -к(п) — множество всех простых делителей натурального числа п, а для конечной группы С через 7г(С) — множество 7г(|С|). Натуральное число п, для которого 7г(п) С 7г, называется 7г-числом, а группа С, для которой 7г((3) С 7г, называется 7г-группой. Подгруппа Н группы (3 называется тт-холловой, если Н является 7г-группой и 7г(]<3 : Н|) С 7г'. Таким образом, если 7Г = {р}, то 7г-холлова подгруппа — это в точности силовская р-подгруппа. Также Ф. Холл [12] доказал полный аналог теоремы Силова для 7Г-подгрупп в разрешимых конечных группах.

Теорема (Ф. Холл). Пусть конечная группа О разрешима. Тогда для любого множества ж простых чисел справедливы следующие утверждения.

(£) Группа С содержит по крайней мере одну -к-холлову подгруппу.

(С) Любые две п-холловы подгруппы сопряжены.

(V) Всякая тт-подгруппа группы 6? содержится в некоторой тт-холловой подгруппе.

Для неразрешимых групп теорема Холла неверна. Существуют множество 7Г простых чисел и конечная группа С, для которых утвержде-

ния (£), (С) или (V) теоремы Холла неверны. Так, знакопеременная группа А5 не содержит {3,5}-холловых подгрупп. Полная линейная группа СЬ3(2) обладает двумя классами сопряжённых {2,3}-холловых подгрупп. В группе Л5 все {2,3}-холловы подгруппы сопряжены и изоморфны группе А4. При этом группа А5 содержит подгруппу порядка 6, а в группе Аа нет подгрупп данного порядка.

В соответствии с утверждениями (£), (С) и (V) теоремы Силова и теоремы Холла, в 1956 году Ф. Холл [14] ввёл следующие обозначения для конечных групп. Говорят, что группа С обладает свойством если в £7 имеется 7г-холлова подгруппа. Если при этом любые две 7Г-холловы подгруппы сопряжены, то будем говорить, что группа С? обладает свойством С*. Если, к тому же, любая 7г-подгруппа группы (7 содержится в некоторой 7г-холловой подгруппе, то будем говорить, что группа (3 обладает свойством Т^^. Группу со свойством (Сп, называют также (соответственно, Сп-, V,г-) группой. Для данного множества 7Г обозначим через и V^ классы всех Си

групп соответственно. Таким образом, запись <3 € Т>п означает, что для 7г-подгрупп группы С справедлив полный аналог теоремы Силова. Во введённых обозначениях, мы получаем, что группа не принадлежит классу £{з,5} 1 группа СЬ3(2) лежит в £{2,3} \С{2,з}> а группа А5 принадлежит С{2,з} \ ^{2,3} •

В литературе изучался вопрос: всегда ли нормальная подгруппа ©„•-группы обладает свойством VОн восходит к проблеме, впервые сформулированной X. Виландом [19] на XIII Международном математическом конгрессе в Эдинбурге в 1958 году: верно ли, что группа С? обладает свойством тогда и только тогда, когда этим свойством обладают факторы её некоторого нормального ряда. В частности, верно ли, что свойство Г>7г наследуется нормальными подгруппами. Этот частный вопрос был также отмечен в работе Ф. Гросса [15] и записан в «Коуровскую тетрадь» [11] В.Д.Мазуровым как проблема 13.33. Положительный ответ на вопрос о наследуемости свойства V.„ нормальными подгруппами был получен Е. П. Вдовиным и Д. О. Ревиным в 2006 году в работе [16], где была доказана

Теорема (Е.П. Вдовин, Д.О. Ревин). (тос! СГБО) [16, теорема 7.7] Пусть С? — конечная группа, А С? и тт — некоторое множество простых чисел. Тогда С? £ Т>^ если и только если А € Т>п и С/А Е Т>п.

Данная теорема положительно решает упомянутую выше проблему Виланда и частный случай проблемы Виланда — проблему 13.33 из «Коуровской тетради». Таким образом, свойство наследуется нормальными подгруппами.

Естественно возникает вопрос, какими ещё подгруппами, кроме нормальных, наследуется свойство Т>1г. Этот вопрос является центральным в диссертации. Для того, чтобы сформулировать её результаты, следуя [1], определим следующие классы конечных групп.

Ыпг — класс всех Х^-групп, в которых всякая надгруппа 7г-холловой подгруппы обладает свойством Т>ж-,

— класс всех Р^-групп, в которых любая ¿„--подгруппа обладает свойством Т>-„\

У^тг — класс всех конечных групп, в которых любая подгруппа обладает свойством Т>ж.

Данные обозначения появились в работах [1,6] и дают удобную терминологию для изучения общей проблемы: наследуется ли холло-во свойство Т>ж теми или иными типами подгрупп? Как объект исследования элементы классов и Ж,- имеют давнюю историю. Группы из класса И^ были впервые введены в рассмотрение X. Виландом [20]. Он предложил изучать группы, для которых верна сильная п-тпеорема Силова: для любых двух 7г-подгрупп А и В существует £ £ (А, В) такой, что (А, В4) является 7г-группой. Легко показать, что (3 е Жг тогда и только тогда, когда для группы й верна сильная 7г-теорема Силова. Изучение групп из класса также восходит к Виланду. В частности, его знаменитая теорема 1954 года [18] утверждает, что для любой группы С, обладающей нильпотентной 7г-холловой подгруппой, выполнено (3 6 Т>ж. Из этой теоремы следует, что для любой такой группы справедливо даже более сильное утверждение, а именно С? £ V*. Очевидно, имеет место следующая цепочка включений:

Э э V* 2 У^. (1)

Существуют множества 7Г простых чисел, для которых все включения в данной цепочке являются равенствами. Например, ввиду теоремы Силова это так, если 7Г = {р}. Наша цель — исследовать вопрос о строгости каждого из включений (1) для произвольного множества 7г простых чисел и получить критерии принадлежности произвольной конечной группы каждому из классов Ыж, У*- и У\>ж. Более точно, мы изучаем следующие вопросы.

1. Пусть Э£ € {Ы7,., У*-, УУ7г}. Верно ли, что группа С принадлежит классу Е£ тогда и только тогда, когда классу принадлежит каждый композиционный фактор группы (3?

2. Верно ли, что для любого множества 7г простых чисел

(а) К = Жг?

(б) 14 = К?

(в) = и,

3. Какие конечные простые Х^-группы принадлежат

(а) классу

(б) классу У,г?

(в) классу ЫтР.

Некоторые из эти вопросов оказываются переформулировками на языке обозначений Ы^, и Ухорошо известных проблем. Так вопрос (в) из пункта 2 сформулирован в [1,3,6,11] в виде:

Проблема 1. ( [11, вопрос 17.44(6)]) Всегда ли в Т)^-группе над-группа ■к-холловой подгруппы является Т>^-группой?

Отметим, что аналогичная проблема 17.44(а) для С„-групп положительно решена в [2,3]. Вопросы (а), (б) из пункта 3 являются эквивалентными формулировками следующей известной проблемы [1,6,11].

Проблема 2. ( [11, вопрос 17.43]) В каких конечных простых группах Т)^-группой является

(а) любая подгруппа?

(б) любая подгруппа, обладающая ж-холловой подгруппой?

Проблема 2(а) эквивалентна проблеме Х.Виланда [20, открытый вопрос 9], поставленной в 1979 г. на знаменитой конференции по конечным группам в г. Санта-Круз: в каких известных простых группах верна сильная тг-теорема Силова?

Основные результаты диссертации.

1. Доказано (совместно с Е.П. Вдовиным и Д.О. Ревиным), что группа С принадлежит X € {Кп, ТЛг, И^} тогда и только тогда, когда классу 3£ принадлежит каждый композиционный фактор группы

2. Доказано (совместно с Е.П. Вдовиным и Д.О. Ревиным), что для любого конечного множества 7г нечётных простых чисел, содержащего не менее двух элементов, включения Ыж ¡2 Иг и У,г 2 Жг строгие.

3. Доказано, что в знакопеременных Х^-группах свойством XV обладает любая подгруппа, а в спорадических 2?я-группах — любая подгруппа. Также получена арифметическая характеризадия спорадических групп, в которых любая подгруппа является Х>1Г-группой. Тем самым для знакопеременных и спорадических групп решены проблемы 17.43(а) (проблема Виланда) и 17.43(6) из «Коуровской тетради».

4. Доказано (совместно с Е.П. Вдовиным и Д.О. Ревиным), что в XV-группах лиева типа над полем характеристики р, лежащей в 7г, свойством XV обладает любая подгруппа, содержащая 7г-холлову подгруппу всей группы. Тем самым для групп лиева типа над полем характеристики р £ тт доказана наследуемость свойства XV надгруп-пами 7Г-Х0ЛЛ0ВЫХ подгрупп.

5. Для любого множества простых чисел 7Г, содержащего 2, доказана наследуемость свойства XV надгруппами 7г-холловых подгрупп. Более точно, если 2 £ 7г, группа й обладает свойством XV и Н — 7Г-холлова подгруппа группы С, то любая подгруппа М группы С, содержащая Н, является Х>7Г-группой. Тем самым частично решена проблема 17.44(6) из «Коуровской тетради» и в случае 2 £ тг доказано равенство XV = Ы^. Поскольку все Х^-группы известны [5], для этого случая получено полное арифметическое описание групп из класса ип.

Результаты 1, 2 и 4 получены в неразделимом соавторстве с научными руководителями Е.П. Вдовиным и Д.О. Ревиным. Результаты 3 и 5 получены автором лично.

Отметим также, что в диссертации в качестве дополнения к основным результатам приведено положительное решение проблемы 17.44(6) из «Коуровской тетради» в случае, когда 2 ^ 7Г. Т. е. в диссертации доказано, что для любого множества 7г простых чисел если (3 £ XV и Н — 7Г-холлова подгруппа группы С?, то М £ XV для любой подгруппы М группы С, содержащей Н. Тем самым проблема 17.44(6) из «Коуровской тетради» полностью решена, и для любого тг установлено равенство Ы„ = XV. Данный результат также получен автором лично и опубликован в [31].

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [21-31]. При этом основные результаты диссертации опубликованы в [21-23] в изданиях, входящих в перечень ВАК рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидата

наук.

Новизна и научная значимость работы. Все результаты диссертации являются новыми.

Методы исследования. В работе используются теория конечных простых групп, техника линейных алгебраических групп, строение и свойства групп лиева типа, классификация холловых подгрупп в простых группах, классификация простых Р^-групп.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 50-й и 51-й Международной научной студенческой конференции «Студент и научный прогресс» (Новосибирск 2012, 2013), Международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск 2012, 2013), Международной конференции по алгебре и комбинаторике, посвящённой 60-летию А.А. Махнёва (Екатеринбург, 2013), семинарах «Теория групп» и «Алгебра и логика» в Новосибирске.

Структура и объём диссертации. Диссертация изложена на 88 страницах, состоит из введения, б глав и списка литературы. Библиография содержит 56 наименования.

Содержание диссертации

Общая структура диссертации. Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. В начале некоторых глав приведены вспомогательные результаты, используемые лишь в этих главах. Все утверждения (теоремы, следствия, леммы) имеют тройную нумерацию: номер главы, номер параграфа в главе и номер утверждения в параграфе. Нумерация таблиц в диссертации сквозная.

Глава 1. В данной главе даны основные необходимые определения и предварительные результаты. Приведен список используемых обозначений. Представлены известные утверждения о холловых свойствах £х, С-п ш Даны предварительные сведения о классах Щи УУ,,-.

Глава 2. Основные результаты этой главы следующие.

Теорема 2.1.1. Пусть п — некоторое множество простых чисел, 5С е {Ы,г, Ух, УУтг}. Пусть У — класс конечных групп, замкнутый относительно нормальных подгрупп и гомоморфных образов. Предположим, что любая простая группа из 'З/ПТ)^ принадлежит 95. Тогда

^п^ с ¿гг.

В частности, исследование самих классов ЫУ*- и полностью сведено к изучению простых Т>ж-групп.

В главе 2 доказано также следующее важное утверждение, сводящее вопрос о равенстве классов 2^ и Ь1Щ к простым группам.

Теорема 2.1.4. Для множества ж простых чисел следующие утверждения эквивалентны:

(1)

(2) в любой простой Т>п-группе все максимальные подгруппы, содержащие ж-холлову подгруппу всей группы, обладают свойством Т)^.

Во втором параграфе данной главы доказана следующая

Теорема 2.2.2. Пусть ж — некоторое конечное множество нечётных простых чисел такое, что \ж\ ^ 2. Тогда имеют место следующие утверждения.

(1) \ К ф 0;

(2) 0.

С учётом теоремы 6.2.2 (см. ниже) теорема 2.2.2 даёт примеры множеств ж простых чисел, для которых включения 3 К и 2 Жг являются строгими. Так, для ж = {3,5} из доказательства теоремы 2.2.2 следует, что РЗЬ3(121) е ^ \ V« и РЗЬ2(16) £ ИД Ж-

Результаты главы опубликованы в [21,23].

Оставшиеся главы диссертации посвящены изучению простых V,г-групп и их максимальных подгрупп и имеют общей целью, прежде всего, доказательство равенства = £>„. с помощью теоремы 2.1.4. Это изучение представляется также важным в свете проблемы 2 (см. выше).

Глава 3. В третьей главе рассматривается случай знакопеременных и спорадических Х^-групп. Основными результатами главы являются следующие утверждения.

Теорема 3.2.1. Знакопеременные ТУ^-группы, принадлежат классу Ж-

Теорема 3.2.2. Пусть ж — некоторое множество простых чисел, С — спорадическая Т)^-группа. Тогда группа (? принадлежит классу Ут. При этом группа О принадлежит классу Ж,• если и только если выполнено одно из условий:

(1) [тгПтг(С?)| < 1;

(2) тт{С) с ж;

(3) пара (С, 7г П 7г(С)) представлена в таблице 1.

Таблица 1. Спорадические группы, принадлежащие классу Жг

в ж П в Ж П тг((?) №

Ми {5,11} 5 • 11 О'Ы {5,11} {5,31} 5-11 5-31

м12 {5,11} 5 • 11

М2 2 {5,11} 5 • 11 В.и {7,29} 7- 29

М2 3 {5,11} {11,23} 5 • 11 11 ■ 23 Ьу {11,67} 11 • 67

Со\ {11,23} 11 • 23

м24 {5,11} {11,23} 5 • 11 11 • 23 Со2 {11,23} 11 • 23

Соъ {11,23} 11-23

■Л {3,7} {3,19} {5,11} 3-7 3 • 19 5 ■ 11 -Рггз {11,23} 11 • 23

{11,23} 11 -23

{11,23} {23,47} 11-23 23-47

Л {5,11} 5 • 11л Л {23,47} 23-47

{5,31} 5-31 {29,59} 29 • 59

{7,29} 7-29

{7,43} 7-43

Таким образом, для знакопеременных и спорадических групп получено решение проблемы 17.43 из «Коуровской тетради» (проблемы 2) и проблемы Виланда.

Результаты главы опубликованы в [21,22].

Глава 4. В четвертой главе рассматривается случай Д^-групп лиева типа над полем, характеристика которого принадлежит ж. Основным результатом главы является

Теорема 4.2.1. Пусть (7 — простая группа лиева типа над конечным полем характеристики р, ж — некоторое множество простых чисел такое, что р 6 ж. Предположим, что С? 6 Тогда группа ¿7 принадлежит классу Ы^.

Результаты главы опубликованы в [21].

Глава 5. В пятой главе рассматривается случай Р^-групп лиева типа над полем характеристики р в ситуации, когда 2 £ ж, а р ф. ж. Основным результатом главы является

Теорема 5.2.1. Пусть С? — простая группа лиева типа над конечным полем характеристики р, ж — некоторое множество простых

чисел такое, что 2 е тг, р -к. Предположим, что С е V-,Т и Н — 7Г-холлова подгруппа группы С. Тогда любая максимальная подгруппа М группы С?, содержащая Н, обладает свойством Т>ж.

Важным следствием теоремы 5.2.1 является следующее утверждение.

Следствие 5.2.2. Пусть множество тг простых чисел содержит 2. Тогда Т>ж =

Результаты главы опубликованы в [23].

Глава 6. В шестой главе завершается доказательство равенства Т>ж = Ыж. Рассматривается последний оставшийся случай: изучаются Х^-группы лиева типа над полем характеристики р в ситуации, когда 2,р £ 7г. Основным результатом главы является следующая

Теорема 6.2.1. Пусть С? — простая группа лиева типа над конечным полем характеристики р, тт — некоторое множество простых чисел такое, что 2,р £ -к. Предположим, что С? £ Т>п и Н — -к-холлова подгруппа группы С. Тогда любая максимальная подгруппа группы С, содержащая Н, обладает свойством Т>7г.

В качестве следствия из теоремы 2.1.4 и результатов глав 3-6 получаем следующую теорему.

Теорема 6.2.2. Пусть 7г — некоторое множество простых чисел и группа обладает свойством Т>ж. Предположим, что Н — -к-холлова подгруппа группы <3. Тогда любая подгруппа М группы содержащая Н, является Т>7Г-группой. Другими словами =

Данное утверждение полностью решает проблему 17.44(6) из «Ко-уровской тетради» (проблема 1).

Результаты главы опубликованы в [31].

Автор выражает глубокую признательность своим научным руководителям Евгению Петровичу Вдовину и Даниле Олеговичу Ревину за постановку задачи, за чуткое руководство и неоценимую поддержку в работе над диссертацией.

Литература

[1] Вдовин, Е.П. Теоремы силовского типа / Е.П. Вдовин, Д.О. Ре-вин // Успехи математических наук. — 2011. — Т. 66, вып. 5. — С. 3-46.

[2] Вдовин, Е.П. Пронормальность холловых подгрупп в конечных простых группах / Е.П. Вдовин, Д.О. Ревин // Сиб. матем. журн.

— 2012. — Т. 53, № 3. — С. 527-542.

[3] Вдовин, Е.П. О пронормальности холловых подгрупп / Е.П. Вдовин, Д.О. Ревин // Сиб. матем. журн. - 2013. — Т.54, № 1. -С. 35-43.

[4] Каргаполов, М.И. Основы теории групп: учебное пособие / М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков. — 5-е изд., стер. — СПб.: Изд-во «Лань», 2009. — 288 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература).

[5] Ревин, Д. О. Свойство Т>п в конечных простых группах // Алгебра и логика. - 2008. - Т. 47, № 3. - С. 364-394.

[6] Ревин, Д.О. Вокруг гипотезы Ф.Холла // Сибирские электронные математические известия. — 2009. — Т. 6. — С. 366-380.

[7] Чунихин, С. А. О разрешимых группах // Изв. НИИММ Том. унив.

— 1938. - Т. 2. — С. 220-223.

[8] Чунихин, С.А. О силовски-правильных группах // ДАН СССР. -1947. - Т. 60, № 5. - С. 773-774.

[9] Чунихин, С.А. О 7г-свойствах конечных групп // Матем. сб. — 1949. — Т. 25, № 3. - С. 321-346.

[10] Чунихин, С.А. О существовании и сопряженности подгрупп у конечной группы // Матем. сб. - 1953. - Т. 33, № 1. - С. 111-132.

[11] The Kourovka notebook. Unsolved problems in group theory / editors: V.D. Mazurov and E.I. Khukhro. — 17th. ed. — Novosibirsk: Russian Academy of Sciences Siberian Division, Sobolev Institute of Mathematics, 2010.

[12] Hall, P. A note on soluble groups // J. London Math. Soc. — 1928. — V. sl-3, iss. 2. - P. 98-105.

[13] Hall, P. A characteristic property of soluble groups // J. London Math. Soc. - 1937. - V. 12. - P. 198-200.

[14] Hall, P. Theorems like Sylow's // Proc. London Math. Soc. — 1956.

- V. s3-6, iss. 2. — P. 286-304.

[15] Gross, F. On the existence of Hall subgroups //J. Algebra. — 1986.

- V. 98, iss. 1. — P. 1-13.

[16] Revin, D.O. Hall subgroups of finite groups / D.O. Revin, E.P. Vdovin // Contemporary Mathematics. - 2006. - V. 402. - P. 229-265.

[17] Sylow, M.L. Théorèmes sur les groupes de substitutions // Math. Ann.

- 1872. - V. 5, iss. 4. - P. 584-594.

[18] Wielandt, H. Zum Satz von Sylow // Math. Z. - 1954. - V. 60, iss. 1.

- P. 407-408.

[19] Wielandt, H. Entwicklungslinien in der Strukturtheorie der endlichen Gruppen / Proc. Intern. Congress Math., Edinburg, 1958 // London: Cambridge Univ. Press, 1960. - P. 268-278.

[20] Wielandt, H. Zusammengesetzte Gruppen: Holders Programm heute / The Santa Cruz Conference on Finite Groups, Santa Cruz, 1979 // Proc. Sympos. Pure Math, 1980. - V. 37. — P. 161-173.

Публикации автора по теме диссертации1

[21] * Вдовин, Е.П. О наследуемости свойства Т*ж подгруппами / Е.П. Вдовин, Н.Ч. Манзаева, Д.О. Ревин // Труды ИММ УрО РАН. - 2011. - Т. 17, № 4. - С. 44-52.

1 Символом «*> отмечены публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидата наук.

[22] * Манзаева, Н. Ч. Решение проблемы Виланда для спорадических групп // Сибирские электронные математические известия.

- 2012. - Т. 9. - С. 294-305.

[23] * Манзаева, Н. Ч. Наследуемость свойства £>„■ надгруппами 7Г-холловых подгрупп в случае, когда 2 6 7г // Алгебра и логика.

- 2014. - Т. 53, № 1. - С. 26-44.

[24] Манзаева, Н.Ч. Решение проблемы Виланда для спорадических групп // Материалы Юбилейной 50-й Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. Новосибирск, 13-19 апреля 2012 г. — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т., 2012. — С. 15.

[25] Манзаева, Н. Ч. Решение проблемы Виланда для спорадических групп // Теория групп и её приложения: тезисы IX Международной школы-конференции по теории групп, посвящ. 90-летию со дня рождения профессора З.И. Боревича. Владикавказ, 9-15 июля 2012 г.; Сев.-Осет. гос.ун-т им. К.Л. Хетагурова. — Владикавказ: Изд-во СОГУ, 2012. - С. 82.

[26] Манзаева, Н. Ч. Решение проблемы Виланда для спорадических групп // Международная конференция «Мальцевские чтения», тезисы докладов. Новосибирск, 12-16 ноября 2012 г. (электронное издание). — Новосибирск, 2012. — С. 68. — Режим доступа: http://www.math.nsc.ru/conference/malmeet/12/malmeet_2012.pdf

[27] Манзаева, Н.Ч. О наследовании свойства Т>ж надгруппами 7г-холловых подгрупп // Современные проблемы математики: тезисы Международной (44-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. Екатеринбург, 27 января-2 февраля 2013 г. — Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2013. - С. 45.

[28] Манзаева, Н.Ч. Наследуемость свойства Т>ж надгруппами 7Г-хол-ловых подгрупп в случае 2 £ тг // Материалы 51-й Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. Новосибирск, 12-18 апреля 2013 г. — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т., 2013. — С. 16.

[29] Манзаева, Н. Ч. О наследуемости свойства Т>ж надгруппами 7Г-холловых подгрупп чётного порядка // Алгебра и комбинаторика: тезисы Международной конференции по алгебра и комбинаторике, посвящ. 60-летию А.А. Махнёва. Екатеринбург, 3-7 июня 2013 г. — Екатеринбург: Изд-во «УМЦ-УПИ», 2013. - С. 99.

[30] Манзаева, Н.Ч. Наследуемость свойства надгруппами 7г-хол-ловых подгрупп чётного порядка // Международная конференция «Мальцевские чтения», тезисы докладов. Новосибирск, 11-15 ноября 2013 г. (электронное издание). — Новосибирск, 2013. — С. 95. — Режим доступа: http://www.math.nsc.ru/conference/malmeet/13/ maltsevl3.pdf.

[31] Манзаева, Н. Ч. Наследуемость свойства надгруппами 7г-хол-ловых подгрупп // Материалы конференции «Алгебра и математическая логика: теория и приложения» (г. Казань, 2-6 июня 2014 г.) и сопутствующей молодежной летней школы «Вычислимость и вычислимые структуры». — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 2014. - С. 102.

Манзаева Номина Чингизовна

О НАСЛЕДУЕМОСТИ ХОЛЛОВА СВОЙСТВА V* ПОДГРУППАМИ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Формат 00 х 84 Уч.-изд.л. 1,0 Тираж 100 экз.

Подписано в печать 14.07.2014 г. Заказ Л"3154

Редакционно-издательский центр НГУ 030090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет»

О НАСЛЕДУЕМОСТИ ХОЛЛОВА СВОЙСТВА ПОДГРУППАМИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

04201460502

Манзаева Номина Чингизовна

Научные руководители д.ф.-м.н., доцент Е.П. Вдовин д.ф.-м.н., доцент Д.О. Ревин

Новосибирск — 2014

Содержание

Введение 3

Глава 1. Предварительные результаты 15

§ 1.1. Используемые обозначения и известные леммы.........15

§ 1.2. Известные результаты о холловых свойствах..........20

§ 1.3. Предварительные результаты о классах ¿^тг, Утг и УУтг......26

Глава 2. Свойства классов ¿4, и У\?ж 28

§ 2.1. Критерий принадлежности классам И,- и И^........28

§ 2.2. О включениях Ыж 3 и Уп 2 И^................30

Глава 3. Знакопеременные и спорадические группы 33

§ 3.1. Вспомогательные результаты...................33

§ 3.2. Основные результаты главы ...................34

Глава 4. Группы лиева типа. Случай р е 7г 45

§ 4.1. Известные результаты.......................45

§ 4.2. Доказательство теоремы 4.2.1 ..................46

Глава 5. Группы лиева типа. Случай 2 е 7г, р ф -к 48

§ 5.1. Вспомогательные результаты...................48

§ 5.2. Доказательство теоремы 5.2.1 ..................53

Глава 6. Группы лиева типа. Случай 2,р $ -к 64

§ 6.1. Известные результаты.......................64

§ 6.2. Доказательство теоремы 6.2.1 ..................70

Литература 82

Введение

Общая характеристика работы

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

В 1872 г. норвежским математиком Л. Силовом [40] была доказана следующая теорема.

Теорема (Л. Силов). Пусть порядок конечной группы С равен ра • т, где число р простое, а т не делится на р. Тогда справедливы следующие утверждения.

{8) Группа С содержит по крайней мере одну подгруппу порядкарп (т.н. силовскую р-подгруппу).

(С) Любые две силовские р-подгруппы сопряэ/сены.

{ТУ) Всякая р-подгруппа группы С содержится в некоторой силовской р-подгруппе.

По мнению специалистов теорема Силова является краеугольным камнем теории конечных групп (см., например, [5]). В теории конечных групп получение теорем силовского типа сформировалось в большое самостоятельное направление, берущее свое начало в работах Ф. Холла и С. А. Чунихи-на [10-13,20-22]. В 1928 г. Ф. Холл предложил вместо силовских р-подгрупп рассматривать более общий объект — ^-подгруппы или, как их впоследствии стали называть, 7Г-холловы подгруппы. Напомним определение. Пусть 7г — некоторое множество простых чисел. Через -к' будем обозначать множество всех простых чисел, не лежащих в 7г, через 7г(п) — множество всех простых делителей натурального числа п, а для конечной группы С через 7г(б?) — множество 7г(|Сг|). Натуральное число го, для которого тт{п) тг, называется 7г-числом, а группа С, для которой тг(С) £ 7г, называется 7г-группой.

Подгруппа Н группы С называется тх-холловой подгруппой, если Н является 7г-группой и 7г(|С : Н|) с У. Таким образом, если 7г = {р}, то 7Г-холлова подгруппа — это в точности силовская р-подгруппа. Также Ф. Холл [20] доказал полный аналог теоремы Силова для 7г-подгруип в разрешимых конечных группах.

Теорема (Ф. Холл). Пусть конечная группа С разрешима. Тогда для любого множества к простых чисел справедливы следующие утверждения.

(£) Группа С содержит по крайней мере одну тг-холлову подгруппу.

{С) Любые две и-холловы подгруппы сопряжены.

(Т>) Всякая тт-подгруппа группы С содержится в некоторой ж-холловой подгруппе.

Для неразрешимых групп теорема Холла неверна. Существуют множество 7г простых чисел и конечная группа С, для которых утверждения (£), (С) или (Т>) теоремы Холла неверны. Так, знакопеременная группа А5 не содержит {3, 5}-холловых подгрупп. Полная линейная группа СЬз(2) обладает двумя классами сопряжённых {2, 3}-холловых подгрупп. В группе все {2, 3}-холловы подгруппы сопряжены и изоморфны группе^. При этом группа Л5 содержит подгруппу порядка 6, а в группе А4 нет подгрупп данного порядка.

В соответствии с утверждениями (£), (С) и (Т>) теоремы Силова и теоремы Холла, в 1956 г. Ф. Холл [22] ввел следующие обозначения для конечных групп. Будем говорить, что группа С? обладает свойством £-,г, если в Ст имеется 7г-холлова подгруппа. Если при этом любые две 7г-холловы подгруппы сопряжены, то будем говорить, что группа С обладает свойством Сж. Если, к тому же, любая 7г-подгруппа группы содержится в некоторой 7г-холловой подгруппе, то будем говорить, что группа С обладает свойством Т>ж. Группу со свойством £ж (С,Г, Т>ж) будем называть также £ж- (соответственно, Сж~, Т>ж~) группой. Для данного множества тг обозначим через £ж, Сж и Т>ж классы всех £ж~, Сж и Т)ж-групп соответственно. Таким образом, запись С е Т>ж означает,

что для 7г-подгрупп группы G справедлив полный аналог теоремы Силова. Во введённых обозначениях, мы получаем, что группа Л5 не принадлежит классу £{з;5}, группа СЬз(2) лежит в £{2,з}\С{2,з}, а группа принадлежит C{2,3}VP{2,3}-

В литературе изучался вопрос: всегда ли нормальная подгруппа Т>п-группы обладает свойством Т>ж. Он восходит к проблеме, впервые сформулированной X. Виландом [43] на XIII Международном математическом конгрессе в Эдинбурге в 1958 г.: верно ли, что группа G обладает свойством Т>ж тогда и только тогда, когда этим свойством обладают факторы её некоторого нормального ряда. В частности, верно ли, что свойство наследуется нормальными подгруппами. Этот частный вопрос был также отмечен в работе Ф.Гросса [29] и записан в «Коуровскую тетрадь» [14] В.Д.Мазуровым как проблема 13.33. Положительный ответ на вопрос о наследуемости свойства T>iг нормальными подгруппами был получен Е. П. Вдовиным и Д. О. Ревиным в 2006 г. в работе [38], где была доказана

Теорема (Е.П. Вдовин, Д.О. Ревин). (mod CFSG) [38, теорема 7.7] Пусть G — конечная группа, А ^ G и 7Т — некоторое множество простых чисел. Тогда G е Т>ж если и только если А е и G/A е Т>п.

Данная теорема положительно решает упомянутую выше проблему Ви-ланда и частный случай проблемы Виланда — проблему 13.33 из «Коуровской тетради». Таким образом, свойство Т>п наследуется нормальными подгруппами.

Естественно возникает вопрос, какими ещё подгруппами, кроме нормальных, наследуется свойство Этот вопрос является центральным вопросом диссертации. Для того, чтобы сформулировать результаты диссертации, следуя [2], определим следующие классы конечных групп.

Ыж — класс всех XVrpynn, в которых всякая надгруппа 7г-холловой подгруппы обладает свойством Т>п;

У,г — класс всех Дг-групп, в которых любая ¿^--подгруппа обладает свойством

Ж — класс всех конечных групп, в которых любая подгруппа обладает свойством Т>п.

Данные обозначения появились в работах [2,9] и дают удобную терминологию для изучения наследования теми или иными подгруппами холлова свойства Т>ж. Как объект исследования элементы классов и И^ имеют давнюю историю. Группы из класса УУп были впервые введены в рассмотрение X. Виландом [44]. Он предложил изучать группы, для которых верна сильная 7Г-теорема Силова: для любых двух 7г-подгрупп А и В существует Ь е (А, В) такой, что (А, В*} является 7г-группой. Легко показать (см. лемму 1.1.3), что (9 е \Утг тогда и только тогда, когда для группы (9 верна сильная 7г-теорема Силова. Изучение групп из класса также восходит к Виланду. В частности, его знаменитая теорема 1954 г. [42] утверждает, что для любой группы (2, обладающей нильпотентной 7г-холловой подгруппой, выполнено С б Т>п. Из этой теоремы следует, что для любой такой группы справедливо даже более сильное утверждение, а именно С £

Очевидно, имеет место следующая цепочка включений:

Яз^зКз Ж. (1)

Существуют множества тг простых чисел, для которых все включения в данной цепочке являются равенствами. Например, ввиду теоремы Силова это так, если 7Г = {р}. Наша цель — исследовать вопрос о строгости каждого из включений (1) для произвольного множества тт простых чисел и получить критерии принадлежности произвольной конечной группы каждому из классов 1А1г, У,г и УУБолее точно, мы изучаем следующие вопросы.

1. Пусть е {Ы7г, Кг, "Ж}. Верно ли, что группа С принадлежит классу тогда и только тогда, когда классу ЗС принадлежит каждый композиционный фактор группы С?

2. Верно ли, что для любого множества 7Г простых чисел

(а) = Ж?

(б) ¿4 = К?

(в) Эп = ¿4?

3. Какие конечные простые 1\-группы принадлежат:

(а) классу Ж?

(б) классу К?

(б) классу Ытр.

Некоторые из эти вопросов оказываются переформулировками на языке обозначений и хорошо известных проблем. Так вопрос (в) из пунк-

та 2 сформулирован в [2,4,9,14] в виде:

Проблема 1. ( [14, вопрос 17.44(6)]) Всегда ли в Т>п-группе надгруппа 7т-холловой подгруппы является Т>п-группой?

Отметим, что аналогичная проблема 17.44(а) для С^-групп положительно решена в [3,4]. Вопросы (а), (б) из пункта 3 являются эквивалентными формулировками следующей известной проблемы [2,9,14].

Проблема 2. ( [14, вопрос 17.43]) В каких конечных простыхТ)^-группах является Т>ж-группой:

(а) любая подгруппа?

(б) любая, подгруппа, обладающая тт-холловой подгруппой?

Проблема 2(а) эквивалентна проблеме X. Виланда [44, открытый вопрос 9], поставленной в 1979 г. на знаменитой конференции по конечным группам в г. Санта-Круз: в каких известных простых группах верна сильная тт-теорелш Силова?

Основные результаты диссертации.

1. Доказано (совместно с Е.П. Вдовиным и Д.О. Ревиным), что группа С принадлежит е {Ыж, УУЖ} тогда и только тогда, когда классу принадлежит каждый композиционный фактор группы С.

2. Доказано (совместно с Е.П. Вдовиным и Д.О. Ревиным), что для любого конечного множества 7Г нечётных простых чисел, содержащего не менее двух элементов, включения Ыж ¡2 Уж и Уж 3 У\}ж строгие.

3. Доказано, что в знакопеременных Х^-группах свойством Т>ж обладает любая подгруппа, а в спорадических Х^-группах — любая ¿^--подгруппа. Также получена арифметическая характеризация спорадических групп, в которых любая подгруппа является ^-группой. Тем самым для знакопеременных и спорадических групп решены проблемы 17.43(а) (проблема Виланда) и 17.43(6) из «Коуровской тетради».

4. Доказано (совместно с Е.П. Вдовиным и Д.О. Ревиным), что в ^-группах лиева типа над полем характеристики р, лежащей в тт, свойством Т>ж обладает любая подгруппа, содержащая 7г-холлову подгруппу всей группы. Тем самым для групп лиева типа над полем характеристики р е 7г доказана наследуемость свойства Т>ж надгруппами 7г-холловых подгрупп.

5. Для любого множества простых чисел тг, содержащего 2, доказана наследуемость свойства Т>1г надгруппами 7Г-холловых подгрупп. Более точно, если 2 е 7г, группа обладает свойством Т>ж и Н — 7г-холлова подгруппа группы С, то любая подгруппа М группы С, содержащая Н, является Т>п-группой. Тем самым частично решена проблема 17.44(6) из «Коуровской тетради» и в случае 2 е 7Г доказано равенство Т>ж = Ыж. Поскольку все Т>ж-группы известны [8], для этого случая получено полное арифметическое описание групп из класса 1ЛЖ.

Результаты 1, 2 и 4 получены в неразделимом соавторстве с научными руководителями Е.П. Вдовииым и Д.О. Ревиным. Результаты 3 и 5 получены автором лично.

Отметим также, что в диссертации в качестве дополнения к основным результатам приведено положительное решение проблемы 17.44(6) из «Коуров-ской тетради» в случае, когда 2 ф тт. Т. е. в диссертации доказано, что для любого множества тг простых чисел если G е и Н — 7г-холлова подгруппа группы g, то м е т>ж для любой подгруппы м группы g, содержащей Я. Тем самым проблема 17.44(6) из «Коуровской тетради» полностью решена, и для любого 7г установлено равенство Ыж = Т>п. Данный результат также получен автором лично и опубликован в [56].

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [46-56]. При этом основные результаты диссертации опубликованы в [46-48] в изданиях, входящих в перечень ВАК рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидата наук.

Новизна и научная значимость работы. Все результаты диссертации являются новыми.

Методы исследования. В работе используются теория конечных простых групп, техника линейных алгебраических групп, строение и свойства групп лиева типа, классификация холловых подгрупп в простых группах, классификация простых Х^-групп.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 50-й и 51-й Международной научной студенческой конференции «Студент и научный прогресс» (Новосибирск 2012, 2013), Международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск 2012, 2013), Международной конференции по алгебра и комбинаторике, посвящённой 60-летию A.A. Махнёва (Екатеринбург, 2013), семинарах «Теория групп» и «Алгебра и логика» в Новосибирске.

Структура и объём диссертации. Диссертация изложена на 88 страницах, состоит из введения, б глав и списка литературы. Главы подразделяются на параграфы. В начале некоторых глав приведены вспомогательные результаты, используемые лишь в этих главах. Все утверждения (теоремы, следствия, леммы) имеют тройную нумерацию: номер главы, номер параграфа в главе и номер утверждения в параграфе. Библиография содержит 56 наименования.

Содержание диссертации

Глава 1. В данной главе даны основные необходимые определения и предварительные результаты. Приведен список используемых обозначений. Представлены известные утверждения о холловых свойствах £Ж) Сж и Т>ж. Даны предварительные сведения о классах Ыж, Иг и УУЖ.

Глава 2. Основные результаты этой главы следующие.

Теорема 2.1.1. Пусть 7г — некоторое множество простых чисел, е {¿4-, Ул-, У\?ж}. Пусть <3/ — класс конечных групп, замкнутый относительно нормальных подгрупп и гомоморфных образов. Предположим, что любая простая группа из ^ п Т>ж принадлежит &. Тогда & п Т>ж с ^Г.

Тем самым исследование классов ¿4, Уж и УУЖ полностью сведено к изучению простых Х^-групп. ^ главе 2 доказано также следующее важное утверждение, сводящее вопрос о равенстве классов Т>ж и Ыж к простым группам.

Теорема 2.1.4. Для множества п простых чисел следующие утверждения эквивалентны:

(1) V* = иж;

(2) в любой простой Т>ж-группе все максимальные подгруппы, содержащие 7Т-холлову подгруппу всей группы, обладают свойствомТ>ж.

Во втором параграфе данной главы доказана следующая

Теорема 2.2.2. Пусть 7г - некоторое конечное множество нечётных простых чисел такое, что |7г| ^ 2. Тогда имеют место следующие утверждения.

(1) ДДК Ф 0;

(2) УДУ\/, Ф 0.

С учётом теоремы 6.2.2 (см. ниже) теорема 2.2.2 даёт примеры множеств 7Г простых чисел, для которых включения Ыж 2 Уж и Уж 2 У\?ж являются строгими. Так, для 7г = {3,5} из доказательства теоремы 2.2.2 следует, что Р8Ь3(121) е ЫЖ\УЖ и РЗЬ2(16) е УДУ^.

Результаты главы опубликованы в [46,48].

Оставшиеся главы диссертации посвящены изучению простых Х^-групп и их максимальных подгрупп и имеют общей целью, прежде всего, доказательство равенства 1АЖ = Т>ж с помощью теоремы 2.1.4. Это изучение представляется также важным в свете проблемы 2 (см. выше).

Глава 3. В третьей главе рассматривается случай знакопеременных и спорадических Х^-групп. Основными результатами главы являются следующие утверждения.

Теорема 3.2.1. Знакопеременные Т>ж-группы принадлежат классу У\?ж.

Теорема 3.2.2. Пусть 7г — некоторое множество простых чисел, С — спорадическая Т>ж-группа. Тогда группа С принадлежит классу Уж. При этом группа С принадлежит классу У\?ж если и только если выполнено одно из условий:

(1) |тг о тг(С)| < 1;

(2) тг(С) £ 7г;

(3) пара (С, 7Г п 7Г(С)) представлена в таблице 2.

Таблица 2. Спорадические группы, принадлежащие классу УУ„-

С 7Г П 7г((х) С 7Г П 7г(Сг)

Мп {5,11} 5 • И О'Ы {5,11} 5 • 11

м12 {5,11} 5 • 11 {5,31} 5-31

м22 {5,11} 5 • 11 Яи {7,29} 7-29

М-а {5,11} 5 • 11 Ьу {11,67} 11 ■ 67

{11,23} 11-23 Сох {11,23} 11 • 23

м24 {5,11} 5-11 соч {11,23} 11 • 23

{11,23} 11-23 СоЛ {11,23} 11-23

•л {3,7} 3-7 -£"¿23 {11,23} 11 • 23

{3,19} 3-19 ^24 {11,23} 11 • 23

{5,11} 5 • 11 {11,23} {23,47} 11 • 23 23-47

{5,11} 5 • II3 f1 {23,47} 23-47

{5,31} 5-31 {29,59} 29-59

{7,29} 7-29

{7,43} 7-43

Таким образом, для знакопеременных и спорадических групп получено решение проблемы 17.43 из «Коуровской тетради» (проблемы 2) и проблемы Виланда.

Результаты главы опубликованы в [46,47].

Глава 4. В четвертой главе рассматривается случай Х^-групп лиева типа над полем, характеристика которого принадлежит тт. Основным результатом главы является

Теорема 4.2.1. Пусть С — простая группа лиева типа над полем характеристики р, тт — некоторое множество простых чисел, такое, что р е тт. Предположим, что С е XV Тогда группа С? принадлежит классу Ыж.

Результаты главы опубликованы в [46].

Глава 5. В пятой главе рассматривается случай Х^-групп лиева типа над нолем характеристики р в ситуации, когда 2 е тт и р ф тт. Основным результатом главы является

Теорема 5.2.1. Пусть — простая группа лиева типа над полем характеристики р, тт — некоторое множество простых чисел такое, что 2 е -к, р ф тт. Предполоэюим, что С е Т>ж и Н — тт-холлова подгруппа группы С. Тогда любая максимальная подгруппа М группы С, содержащая Н, обладает свойством Т>ж.

Важным следствием теоремы 5.2.1 является следующее утверждение.

Следствие 5.2.2. Пусть множество -к простых чисел содерэ/сит 2. Тогда Т>ж = Ыж.

Результат�