О некоторых классах систем интегро-дифференциальных уравнений и их приложении в теории параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ - АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Институт теоретической и прикладной математики

На правах рукописи УДК 517.968.78

Некрасова Татьяна Ваоильевна

О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ СИСТЕМ ИНТЕГРО-ДИ5Ш3ЕНЦИАЛЫШХ УРАШЕНИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИИ В ТЕОРИИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАШЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Алматы, 1997

Б&бота выполнена в Казахском национальном техническом университете

Научный руководитель - каццидат физико-математических наук,

профессор Е.М. Хайруллин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор С.И. Темирбулатов,

каццидат физико-математических наук, доцент С.Е. Базарбаева

Ведущая организация - Алматинский государственный

университет имени Абая

" & " UltlJ? IGS7 г. в^^ас

Защита состоится » (с? " 1957 г. в' часов

на заседании специализированного совета Д 53.04.01 при Институте теоретической и прикладной математики МНАН Ж 480021, г. Алматы, ул. Душкина, 125,

С диссертацией ыокно ознакомиться в библиотеке ИГПМ МНАН И

9

Автореферат разослан " " 1997 г>

Учёный секретарь сшциализированного совета -Лч кандидат физико-математических наук' А.Т. КУЛШЕТОВА

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

. Актуальность темы. В современной теории уравнений математической физики системы интегро-дифференциальных уравнений занимают особое место. С одной стороны, к ним'возрос интерес в связи с возрастающей ролыз их в приложениях, а с другой они представляют класс уравнений со своими специфическими особенностями.

Основополагающими в этом направлении являются работы А.Н. Тихонова, Я.В. Быкова, М.И. Иманалиева, Е.И. Кима и др. К системам интегро-дифференциальных уравнений приводится ряд задач математической физики, возникающих в теории тепло- и массообме-на. Для этих задач наряду с цроблемами существования и единственности обобщённого решения в различных функциональных классах, получения априорянх оценок решений, изучаются вопросы о явных аналитических решениях я нахождении условий однозначной разрешимости указанных задач в терминах заданных коэффициентов.

За последние годы получен ряд фундаментальных результатов по однозначной разрешимости начально-краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений и их систем. Большая часть этих результатов относится к интегро-дифференциальным уравнениям, когда порядок производной под знаком интеграла;не цревышает порядок производной вне интеграла.

Значительный интерес представляет исследование решений линейных интегро-дифференциальных уравнений и их систем в многомерном пространстве, когда порядок производной под знаком интеграла выше порядка производной вне интеграла. Таким' задачам посвящены работы Е.И. Кима и его учеников, в которых впервые для математических моделей технических задач ставится вопрос об условиях разрешимости, выраженных через заданные коэффициенты и находятся явные аналитические формулы решения.

К этому направлению примыкает и данное исследование. В работе рассмотрены системы интегро-дифференциальных уравнений, содержащих под знаком интеграла производные высокого порядка не только по пространственным переменным, но и по времени, когда заданные вектор-функции убывающие или'растущие. Такие классы

систем интегро-дифференциальных уравнений встречаются при решении граничных задач для параболических систем с кусочно-постоянными коэффициентами в многомерном пространстве для полосы, когда граничные условия и условия сопряаения содержат производные порядка, превышающего порядок уравнений.

Из вышеизложенного следует, что изучение систем интегро-дифференциальных уравнений в частных производных является актуальные

Целью работы является исследование вопросов разрешимости систем интегро-дифференциальных уравнений, когда под знаком интеграла порядок производной по пространственным переменным и по времени выше, чем порядок производной вне интеграла в многомерном случае, применение полученных результатов к изучению общих краевых задач для систем параболических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами, когда корни характеристических уравнений кратные.

Методика исследования. В работе используются методы теории потенциала, интегральных преобразований, теории интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

Научная новизна полученных результатов состоит в том, что впервые в многомерном пространстве рассмотрены системы интегро-- дифференциальных уравнений, содержащих под знаком интеграла производные высокого порядка по пространственным переменным и по времени, получены достаточные условия разрешимости, получены матричные интегральные уравнения резольвенты для характеристических частей систем, дано обоснование решения при помощи интегральных уравнений резольвенты, получены явные аналитические решения, применены методы систем интегро-дифференциальных уравнений к решению общей краевой задачи для системы параболических уравнений с разрывными коэффициентами, когда граничные условия и условия сопряжения содераат производные порядка, превшаюцего порядок уравнений и заданные вектор-функции - растущие.

Теоретическая и практическая ценность» Полученные в работе результаты могут служить теоретической основой при решении начально-краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений параболического типа и общих краевых задач для параболических систем с разрывными коэффициентами. Они могут найти применение при исследовании конкретных математических моделей теплофизиче-ских процессов, к которым применимы численные методы.

Апробация работы. Т^зультаты работы обсуядались на Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики" (Красноярск, 1989), на IX-й Республиканской межвузовской конференции по математике и механике (Алма-Ата, 1989), на XII-й Мегзду-народной конференции по нелинейным колебаниям (Краков, 1990}, на Республиканской научной конференции "Теория приближения и вложения функциональных пространств" (Караганда, I99IJ, на конференции, посвященной 80-летию Е.И. Кима "Задачи для параболических уравнений и их приложения" (Алма-Ата, 1991), на конференции, посвящён-ной 70-летию Т.И. Аманова "Применение методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики" ( Алматы, I9SB), на ХХУ1, ХХУ11, XXIX-й научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (Москва, 1991, 1992, I9S3), на конференции "Актуальные вопросы современной науки и техники" (Алматы, 1994), на конференции, посвящённой 60-летию К.Ж. Наурызбаева "Актуальные вопросы математики и методики преподавания математики" (Алматы, 1994), на юбилейной научной конференции, посвящённой 50-летию развития математики в Академии наук Казахстана (Алматы, I9S6J, на Ме-здународной научно-технической конференции (Актау, 1996), на конференции по механике и её приложениям, посвящённой 70-летию Ш.А. Ернина (Алматы, 1996), на первом съезде математиков Казахстана (Шымкент, 1996), на Международной научно-практической конференции "Современные проблемы информатики, управления и создания информационных технологий и систем" (Алматы, 1997}, на научных семинарах член-корресповдентов HAH Ш С.Н. Харина, Н.К. Блиева, Ш. Смагулова, профессоров С.И, Темирбулагова, М.А. Абдрахманова, С.А. Алдалева, М.О. Орынбасарова, Сакабекова A.C., Хайруллина Е.М. САлматы, I996J.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах Г11 -С 9 ] .

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и напечатана на 130 страницах машинописного текста, включая список литературы из 99 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение посвящено обзору исследований, примыкающих к теме диссертации, изложению основных результатов работы.

В первой главе рассматривается система интегро-дифферен-циальнызс уравнений

<№« * £ ¿'г н„„*

(I)

с начальным условием

в области

б х

3десЬ И,.,,

г 7

Элементы матричного ядра Жс^) -удовлетворяют неравенству

о /Я*

(И1

- И - мерное евклидово пространство точек а: г ^

с нормой + ^ , .

- мультииндекс о неотрицательными координатами,

I £ I =• К, + , „ -г (С»

Т)*,*'

/л*

----- ,

-П.

^ - заданные постоянные величины, А~>о1 т)т1 еЛУ}

- гамма-функция, и (рсзг^) - соответственно задан-

ная и искомая вектор-функции высоты .

Для решения системы (I) рассматривается соответствующая ей характеристическая система

Чъа * £ з- V* ^ <4)

в которой

Система (4) решена методом интегральных преобразований Фурье-Лапласа. При этом получено условие разрешимости задачи

у(5)

где ^ ^ - корни с кратностями Л.,

(ц + + ^ - т^) характеристического уравнения

причём г*х = , коэффициенты ^ выражаются через

г»

заданные постоянные и ^ , - ^ ,.. ,г.ч ; % $/+.■.+^

Найдено решение характеристической системы (4) при выполнении условия (5)

= - <6)

ГДе и. 2

ГЛ. I

* ^>

Матричная функция

ад

являющаяся резольвентой системы (4), удовлетворяет матричным интегральным уравнениям

i1lr-lt-v1) = Htlx^Ji-f1) -Мн, (х-у-Г)41(м г_г w (7)

г, лч ' ' ' (>

i ¡г- = н, (x.h i^j - fdtjl (*-hi-?)H, г, r- (8)

7-. И n '

Tl tl

где

н, ад=II £ £• * (-Ц'" <>,« -.

При помощи интегральных уравнений резольвенты (7) и (8) доказано, что вектор-функция из (6) является реше-

нием характеристической системы (4).

Методом регуляризации система (I) приводится к системе интегральных уравнений

£

^ -г-] = <5 сг,ь) (9)

О

в которой

ср0 вд = /ад ^ «-а^НЪЪ,

о л

.ь

Решение системы (9) получено методом последовательных приближений

= %i*,i) ?ofr,tJi (I0)

причём элементы матрицы имеют оценку

¡ifMl <МЪГ ^ е^Г

JUb , - положительные постоянные. Имеет место

- заданные постоянные величины, т^ еМ/} Г('■£

- гамма-функция, и - соответственно задан-

ная и искомая вектор-функции высоты ^ .

Для решения системы (I) рассматривается соответствующая ей характеристическая система

♦ £ £ х- V* ^ = ^ <4,

в которой

Система (4) решена методом интегральных преобразований Фурье-Лапласа. При этом получено условие разрешимости задачи

где ^ - корни с кратностями /Ч/^,

(ц + + а - т^) характеристического уравнения

♦Г'а- „ — /3

причём =:&//(г., коэффициенты выражаются через

заданные постоянные и <^-77,,

Найдено решение характеристической системы (4) при выполнении условия (5)

где ^

Матричная функция

£ ад

являшаяся резольвентой системы (4), удовлетворяет матричным интегральным уравнениям

X, 1 1 ' ' <>

{^ -г,; = н, ^^ Д-Д {(Г г^ (8)

V. и « 3

Т1 л

где

л г

С0 =0 ¿--I

При помощи интегральных уравнений резольвенты (7) и (8) доказано, что вектор-функция Ч!1х,-Ь) из (6) является решением характеристической системы (4).

Методом регуляризации система (I) приводится к системе интегральных уравнений

£

^ -Ь) - срй (Г,Ь) -¡кгх-г^щ?,) (9)

о

в которой

ъ ед = /ад ^

с

* 7* /1 к

¿, Л"

Решение системы (9) получено методом последовательных приближений

^ Ч- цо)

причём элементы матрицы ) имеют оценку

е^С-Я у- 7

оЛЛ, , - положительные постоянные.

Имеет место

Теорема I. Если вектор-функция Ь) принадлежит классу С (&) » то Щ?и выполнении условия (5) в

0 т ' 4

классе С (<Я ) существует единственное решение ^(^-б-)

задачи (I), (2), определяемое по формуле (10).

Во второй главе в области ~ а6 6

рассматривается система интегро-дифференциальных уравнений с различными ядрами, когда под знаком интеграла содержатся производные высоких порядков по пространственным переменным и по времени от неизвестной вектор-функции, а заданная вектор-функция -- растущая по пространственным переменным

(И)

с начальным условием

где

Ь Ч = о

1 - единичный оператор, - матричный, интегро-

дифференциальный оператор вида

Н1КА )»>,*' - 2 ^ Ч «

Здесь элементами матрицы Нко Сх^)

А/

являются функции

О

I ( + Ь0>)

/•у/-2- 7

1ч

"2 ^Со-^

Хи

Элементы батрачного ядра удовлетворяют неравен-

ству (3).

Сначала рассматривается характеристическая часть системы (II) ¡зао^яуч'ед = {хЛ)> (13)

где

= - К* (14)

Для решения системы (13) применяется преобразование Зурье обобщённых функций, определяемых линейными непрерывными функционалами вида

(Т7Ч>) = тщчч^^.

Здесь УС?*) - основная функция из класса обобщённых функций , £. Совокупность всех обобщённых функций Т(^) , действующих в и ¿? \ , обозначена через 51 (Зсл ; .

Б основу определения преобразования Фурье для любой обобщённой функции положено равенство

Искомая вектор-функция У^г*) в (13) истолковывается как обобщённая вектор-функция с элементами } ^ - у,

зависящими от параметра и принадлежа шиш по х. некоторому фиксированному пространству Правая часть (х, -6)

считается временно известной вектор-функцией.

После применения к (13) преобразования Оурье по X в классе обобщённых функций и преобразования Лапласа по ± в классе обычных функций получена система алгебраических уравнений

Х(5>Р) р) (15)

•"1

Если О , то

"Ч -ч „ ? (16)

ЬР) 4о(ЬР),

где

Ц (ь, Р) Ум/М

Г'с*,Р) = —^---

Л Р)

1-г

г М ([ Г/г + £ Д^

А <1 (.5,/^ - алгебраические дополнения элементов ^Л* латрицы £ (¿3 р) .

Для определения полюсов матричной функции ^ ^ /V исследуются корни иррационального уравнения

(18)

после рационализации которого получено характеристическое уравнение Л , ,

^ С.О-р г = О,

Г=0 ^ ' ' Ц9)

в котором коэффициенты ^ выражаются через заданные постоянные и £ = = ^

Из совокупности корней уравнения (19) выберем только те, которые удовлетворяют уравнению (18). Пусть такими корнями будут

Р. (Ч, , . •., Рх с кратностями /Л, , ..

причём у^, + -ь

Если эти корни удовлетворяют условию

& Р* о {<*.= &*-), (20)

то они называются устойчивыми.

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 2. Если элементы вектор-функции /о^ из (14) удовлетворяют условию

/¿V + ci Сс ■/*/7,

Ъю, с?о} с,70 , -у, { ¿= /7^,

то при любом О существует единственное решение ^^ ^ системы (13), принадлежащее классу обобщённых функций

Теорема 3. Если элементы вектор-функции <[0 (х> 1) из (14) удовлетворяют условию

/ Д/ 1*^)1* С, елр [С. /х/*],

СУО^.уо, = У, ¿л/,

то система (13) имеет единственное решение Ус^-б) в классе обоб

щёнкых вектор-функций Ж**.).

Теорема 4. Если элементы вектор-функции у о -¿) из (14) удовлетворяют неравенству

№ /у ± С^С С-1X1*1,

С-УО; С^О , /С / = > /= ^

и корни характеристического уравнения (19) устойчивы, то система (13) имеет единственное решение в классе обычных вектор-функций

для всех {: <■ С Со? о, Л = *1,) .

далее методом регуляризации система (II) сведена к системе интегральных.уравнений, допускающих применение метода последовательных приближений.

Доказана следующая 0

Теорема 5. Если-вектор-функция ^ * <

то при выполнении условия (20) существует решение системы интегро-

-дифференциальных уравнений в С ^^ ( &).

. В качестве приложения систем интегро-дафференциальных уравнений (I) к (II) в третьей главе рассмотрена параболическая система уравнений

^ К'« (21)

с начально-краевыми условиями

2/ - (22)

и уоловйяйй сопряжения

/г и> г <г)

'г. I

^(К)и^! = ^(Юи'^м!^ (25)

'л.

в области (2 - & и 0.4

где <?,= {(х'.^.-и-. х>ея'-', О, * * Щ

Корн:: характеристических уравнений г/^ НЛ'^-Л, Е1\-0 положительные и кратные, то есть

Л,И = Л^' = ... = ^ = , но Л1 / ,

элементы ьсатрпчных диЖеренцкальных операторов

= // (^)Пмки

определяются следушиы образом

= г. С**', "V-,

Ул/ ^ га

Л - квадратные матрицы порядка ^ с постоянными элемента™

Лд; заданные постоянные, причём ^^

у?'"' , -6) - известные непрерывные вместе сс свои;,а частными производными до второго порядка по х' Еектор-функции с элементам:;, удовлетворяющими неравенствам

уКо , 20 - положительные постоянные, причём Я0 < -

для решения задачи (21)-(25) введена неизвестная вектор-пункция оо(х^) таким образом, чтобы в силу (25) имели место равенства

I Г 'V

'л

Тогда задача (21)-(25) распадается на две задачи В^^-ь^-). В области найти решение параболической системы (21) с усло-

виями (22), (23) и

= »с*'-*). (26)

л

Ищется решение , непрерывное шесте со своими

частными производными до порядка щ-шх по г в

замкнутой области

■'г

удовлетворяющее неравенству

/V 6 ^ елр ^ (27)

№ = м-тех {«Ъ, Пц}, /^о, 7 О.

Решение задач В/ находится в виде суммы тепловых потенциалов двойного слоя

(28)

3"= -Г

ГДе /X/*

Т Г 1+1 7

g'Vj = Ч > =(™"iJ J>

и л"'-¿„eil* с-j,

ЦЛ ' -Л,Е ^ - присоединённая матрица к матрице ИЛ 1 - Л,/1 ^

Установлена лемма о скачке тепловых потенциалов двойного слоя в окрестности гиперплоскостей , > .

С помощью этой леммы и граничных условий (23), (26) получены системы интегро-дифференциальных уравнений, рассмотренные в первой главе, главные части которых решены при выполнении условия (5), причём решения выражены через заданные вектор-функции (z', ii и неизвестную вектор-функцию с^Сх',^) . Для определения вектор-функции и)(х'} i) использовано условие сопряжения (24). В результате получена система интегро-дифференциальных уравнений относительно , решение которой найдено при выполнении условия (20) с учётом результатов второй главы.

После исключения вектор-функции система интегро-

-дифференциальных уравнений методом регуляризации приведена к системе интегральных уравнений

где элементы блочных матриц У^о^ь)- 11^ь<х1ьЦ имеют оценку

I I < ^ 1

сАд, и ^о* - положительные постоянные,

г ыс% "и',и. <£ , %

вектор-функции (х'-и выраяаются через интегральные операторы с регулярными ядрами от заданных вектор-функций ) ('=^-1).

Имеет место

Теорема 6. Если координаты вектор-функций

г= соеа'г^С^ы

а) принадлежат классу С (а1), <2'= ¿>,4/; сс'с-^"', ¿ею/)}

б) удовлетворяют условиям согласования

4/'(х',с» = о) - о,

в) удовлетворяют неравенствам

Арш?0, /*'/ = О^зГ, то при выполнении условия (20) в классе Еектор-функций 2/'"'и, /J с элементам, удовлетворяющими условию (27), существует единствек-ное решение краевой задачи (21)-(25)

б с

выраженное формулой (28), в которой неизвестные вектор-функции 4>у1">Сх'^ ) (^зТ- определяются из систем интегральных

уравнений (29).

3 заключение автор Екражает искреннюю признательность своему научнску руководителю кандидату физико-математических наук, профессору ЕХ Хайруллину за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а такие сотрудникам лаборатории уравнений математической физики яри ИЛИ *.НАН РК за полезные замечания и моральную поддержку.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Хайруллин Е.М., Некрасова Т.В. Решение одной системы интегро-дифференциальных уравнений в //£"• .//Теория функций, уравнения математической физики и их приложения. Алма-Ата: КазГУ. -

- 1987. - С. 66-72.

2. Г. VI £е,кег&1 iound.OL.ry. уаНие ргаОш. /ог «. рагабо&с. oUscoh.iCrvu.ous Сое^{исееп.Ьз. // Тке

I Сп1егн^сопа£ Сон^егепсе- оп, ПОП&'шаг osLClta.ii: Сгсио*. - 1ЭЭО. - Р. 45- 463. Некрасова Т.В. О построении резольвенты системы интегро-дифференциальных уравнений.//Задачи для параболических уравнений и их приложения. Тезисы докладов конференции, посвященной 80-летию Кима Е.И. Алма-Ата. - 1991. - С. 34.

4. Некрасова Т.В. Об одной системе интегро-дифференциальных уравнений в частных производных./Дед. в КазНИИНТИ от 24.12.91,

Л 3582, Ка91. - 28 с.

5. Хайруллин Е.М., Некрасова Т.В. О разрешимости системы линейных интегро-дифференциальных уравнений в классе обобщённых функций. //Деп. в КазНИИНТИ от 18.02.92, & 3633, Ка92. - 26 с.

6. Хайруллин Е.М., Некрасова Т.В. Построение регуляризатора для системы интегро-дифференциальных уравнений в Я*" .//Актуальные вопросы математики и методики преподавания математики. Материалы межвузовской конференции, посвященной 60-летию Наурызбаева К.Е. Алматы. - 1994. - Ч. I. - С. 134-138.

7. Хайруллин Е.М., Некрасова Т.В. Обоснование решения одной системы линейных параболических интегро-дифференциальных уравнений. // Тезисы Международной научно-технической конференции. Актау. - 1996. - С. 140-141.

8. Некрасова Т.В. Общая краевая задача для параболической системы с кусочно-постоянными коэффициентами. // 1-сьезд математиков Казахстана. Тезисы докладов. Шымкент. - 1996. - 0. 131.

9. Хайруллин Е.М., Некрасова Т.В. Общая граничная задача для параболической системы с разрывными коэффициентами. // Вестник КазНТУ. - 1996. - КЗ. - С. 53-59.

A.u '.••sjiTi.-mw irn:';« •ru!a.'j:-,u utu: or! ;jTe;»i iiiinaMfUMJiap moh yaiiur O'^JiLi::: »..¿'apu perrl 'ryUfW-iflpHMfUJ VJTap Oip^oii ¡tane

ipTVp,:;' JJ.. M a«;-« .»m'MW;; HC-Mi-ce -ten?';:: BeKTop^fiyHK-

uaaxap i-jJii'Hii xaivtaiuwi'u a-m-.'pwuBi ¿»Jifcp&Mruiruwit Tt-iwcyxop cjK"№Miu;apunr: «fiiif!Jii'?.<ii. dip .uapT c-pHanaJU'iirwa cHOTOMaimu

xfipsKTopa-";: 4 .-tea:!?« iEirei-pfi/jaii? Typ^tiw;py ejucjMSH

THOU/MII, pciLH/4i>nniiTi!'ttiu MiiTpaaojiu« Mimu'piuwu« Towyi KYpuJsraii Bec-wingi iiuTv.rpfuoiUi'; vo-taoyAep mcTfcMfccu K\%ny: jrt'i tvpre- Kejm • ;jnm r-ta:h:r .wanTTOp: itepctJT,".n,eH.

3fpnw!.'iM eac-TCMiiittiit K-vi/uiiiUv-iyu pCfTiiuie e:otti.!{ njapTTapu mp:! wit!nam '.i.i'p'i'T.MpAHi'ii ct: k ^»HMHrni^pu frnaraffia Tyua -jUiJ'.Mpu a vyutwycu»aiH peT* noil ».-rapt» (KMU'HII JKai'AaiOiKru

vaijucT! Koaiiifaiw^flTT! nupafosiiit TPiwcy;:op .••HCTttMacHnun scamm luott.'k octtrt: iVipJ!c:rHpHJn'f)H.

¿urinary

?his vvorK ¿3 devoted to the re^-arch of ¡.he Integral-differencial equation's eystexn. containing under the nign of integral derivatives of high orders on spatial variables and on lLie witfc equal arid different: nucleases when given vector fundions are ¿rosing or lowing. Py ..he meJtod of iniu^ral '.ransfornmioruj is obtained the solutions of character!-~t leal part:": 0;" cystes» under the term of solvabi1'ty. were built xatrlc Integral equal lorn of resolvent. By the .method of re giilarizacion she Iniiial systems are cabalated In 10 -.he sya->.xs of integral equations and differentLai character:cc >i solutions are i;nabl ished.

Lz the -vupplexenl of studied sys teats the general regional problex for the systes. of parabolic equations with broken coefficients for cfce a tripe, when border condi tions and con jugation eonditloac contain che derivatives on opal Lai va riableo of the order excleding the order of equations is considered.

Подписано в печать 1997 г.

Издание Казахского напионалшого технического университета, печатно-шожителышй участок КазНТУ, Алматы, Сатпаева, 22