О пространствах, близких к секвенциальным тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОГДЕНА ТИПОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОЙОССВА

Механико-математический факультет.

На правах рукописи

САВЧЕНКО ИРИНА АНАТОЛЬЕВНА

УДК 515.12

О ПРОСТРАНСТВАХ, БЛИЗКИХ К СЕКВЕНЦИАЛЬНЫМ 01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание учёной сгеиени кандидата физико-математических наук

Москва 1990

Работа выполнена на кафедре общзй топологии и геометрии механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.И.Пономарёв.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Б.й.Малшсин,

кандидат физико-математических наук Д.В.-Ранчин.

Ведущее предприятие - Ленинградское отделение Математического института АН^ХСР.

Заиита диссертации состоится в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного Совета Д 053.05.05 по математике при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 113895, ГСП, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультету МГУ / 14 этаж /.

Автореферат разослан " /<£ . 1990 г.!

' Учёный, секретарь - '■ . •,•-.' • . '

специализированного Совета . -Д ОЬЗ.05.05 '*•/ ' Ь.Н.'^барикоп

ОБШ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В об ней топологии большую роль играют пространства, топологическое строение которых определяется запасом ехпдяшхея последовательностей точек в них (ведь впервые абстрактные пространства с топологической структурой бшш введены Фреше именно в терминах сходяпихся последовательностей). К таким пространствам относятся, например, секвенциальные пространства и пространства Фрешо-Урыоона. Оба эти класса пространств были широко известны почгл со времени за-

т\ п\

рождения обшей топологии. Определения их восходят к работам Секвенциальные пространства были тщательно изучены в работах Франклина'^ '4

В настоящей работе изучаются пространства, определения которых так или иначе связаны с секпенциальнши пространствами.

В 1961 году на Пракском топологическом симпозиуме П.С.Александров поставил общую топологическую проблему изучения взаимной связи свойств непрерывных отображений топологических пространств, их образов и прообразов.

Первые конкретные вопросы такого рода были решены 60 - 70

^ Fzccàet Al. Sc/'i aiX-éauesportés cûc- cat'cui ¿on.ctio*neê. - Pen et e/t-L' Cïie. Ataé. cil PaAcï^o '2?. (1506),

2) Uti/schn. P. Sut tes classes l e/e A/.Frecfot. -

&rbseïar>emestl. Aiaifi. 2Я(Ше), W-J.-?. d _ F га >г&¿ut S. P. Spacei ¿ti io&tcA seauc*ices office. -fund /Vatâ. 67 Cives), 10?-//37

> 0 f л) FinnUksi S. P. Spaces ¿гг uAicA stçue/iees s«/ -

fice I. -- Г-utv/. At'aé6. €{(i3£'0, tt-SG. '

лет назад, а именно: теорема П. С. Александрова^ о представлении произвольного компакта как непрерывного образа канторо-ва совершенного множества; данная Хаусдорфом^ характеристика произвольных метрических пространств со счётной базой как открытых непрерывных образов подпространств пространства иррациональных чисел; описание локально связных континуумов как

71 й)

непрерывных образов отрезка ' .

В связи с 8томи задачами особо отметим теорецу В.И,Пономарёва^ о том, что все Т^ -пространства, удовлетворяюще первой аксиоме счётности, - и только они, - являются образами метрических пространств при непрерывных открытых отображениях. Теория кардинальнозначных инвариантов, уходя своими корнями к началу развития общей топологии, особенно активно стала развиваться .со второй половины шестидесятых годов. Появились новые методы и новые объекты исследования. Интересные результаты в данной области были получены Б.А.Ефимовым,В.И. Ыалыхиным,В.И.Пономарёвым, М.^удин, В.В.федорчуком. А.В.Ар-

■5) Жехап^о//Р. Ü¿e* ¿teíioe JM¿¿£¿u*i ■>est ¿o/Tz/xixcet

Räume. - Ш&. J/i/t. Se {¿92?), SóS - S/S.

^ Hausclotff F. Üéez ¿nnet MSicWuneesi. - Fu/ic¿. MatL 23 (/#34), 3Y9-29J. . .

гЛ 1 *

Mazu-¿£leti/¿s¿ S. Su г ás ápnes e/e УоЫа/г. — Fuac/.tfatt. J (f980), Ш -¿Ж .

¿>¿ezpln<,f:¿ W. Setz £</(C CO/ic/i¿iC/¿ JOCCIV ßlt '¿¿/Í conitníc sott u/¡e coutfe: fe г c/a /и с/г/ге:. — fiesta/.

Matt. / (J920), 44- £0 ■

9)

' Пономарёв В.И. Аксиомы счётности и непрерывные отображения. - ßutt. С2сас/. Pó¿ort..ySUSet. /SosYA. 8, П./ i960 /, 127 - 133.. . ' ' \

х ангельский^ в 1969 году положительно решил гипотезу П.С.Александрова и П.С.Урысона о том, что бикомпакт с первой аксиомой счётности имеет мопность, не превосходягую мощности континуума.

Новые карцинальнозначныз инварианты часто порондают и новые результаты, связанные с аддиционной тематикой. Так, на-пр:йюр, в массе бикомпактов справедлива аддициоиная теорема для веса*^, в классе к. -пространств - для тесноты**^ и Т. д.

Отметим ещё одну обвую задачу, связанную с известной теоремой А. Стоуна*"^ о нормальности произведения метрического пространства и нормального счётно компактного пространства.

Какими близкими условиями можно заменить метризуемость и счётную компактность, чтобы произведение осталось нормальным ?

Весьма интересные результаты в этом направлении были получены Моритой*4), Даукерои1^ , А.П.Комбаррвым^'

^ Архангельский A.B. О мощости бикомпактов о первой аксиомой счётности. - ДАН СССР 187 /1569/, 967 - 970.

Архангельский A.B. Адциционная теорема для веса множеств, лежав?« в бикомпактах. - ДАН . СССР 126 / К59 /, 239 - 241.

Ранчин Д.В. Теснота, секвенциальность и замкнутые покрытия. - ДАН СССР 232 / 1977 /, 1015 - 1018.

SioneJ'M- fhbxcontjBaciness etoc/uci spacej.

ßu&Jme*. tfatt.Soc.S* {m<f),S?r-2<fe.

tMobiia. K. Ptcctucis cf sictmaf sp^ces wi meittc sjpaces. - /Yati.J**. /StfrfMj, 3£S-3<f2.

Dowb*- C.H. Ort eocatiaSä/ cazacorryiact spaees. - CknaJ. f. ef M. 3(Ж/), Ш-224.

res. —

В настояирй диссертации решаются задачи, примыкающие к перечисленным выше проблемам, для пространств, близких к секвенциальным.

Цель работ. Исследование свойств С -секвенциальных, р -секвенциальных, тух. - р-компактных и тл - р -секвенци-альшх пространств; изучение вопроса о В> -определённости пространства а *

Методы исследования. В диссертации широко используются метода таких разделов топологии как теория секвенциальных пространств и близких к ним. В частности, применяются и получают дальнейшее развитие конкретные методы исследования С -секвенциальных, р -секвенциальных, бикомпактно определённых пространств, пркнадлежас^е А.Бернштейну, А.П.Комбаро-ву, В.И.Малыхину," В.II.Пономарёву, Д.В.Ранчину.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и получены автором самостоятельно. Они заключаются в следувкрм:

1. Доказано, что С -секвенциальные пространства, и только они, являются наследственно неизолированными образами метризуешх пространств.

2. Доказано без дополнительных аксиоматических предположений, что прообраз С -секвенциального (р -секвенциального) бикомпакта при совершенном отображении является С -

' Комбаров А.II. О произведениях нормальных пространств. Равномерности на -произведениях. - ДАН СССР 205 / 1972 /, 1033 - 1035.

' Комбаров А.П. Об одной теореме А.Стоуна. / 1983 /, 38 - 40.

- ДАН СССР 270

секвенциальным ( р -секвенциальным) бикомпактом, если все слои отображения с -секвенциальны ( р -секвенциальны).

3. Показано, что моирость р-секвенциального сепарабель-ного бикомпакта не превосходит моиртости континуума.

4. Доказано, что произведение т- р-секвенциального паракомпакта и нормального -компактного пространства коллективно нормально.

5. Показано, что утверждение о & -определённости пространства не зависит от системы аксиом 2РС

(через обозначено пространство рациональных чисел, а че-

■К ч

рез Ь 1 - канторов дисконтинуум веса ) .

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Её результаты могут найти применение в обгей топологии, в частности, в теории секвенциальных пространств и близких к ним.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском сешшаре кафедры общзй топологии и геометрии Московского государственного университета им. 1.1. В. Ломоносова, на научно- исследовательском семинаре "Общая топология и дескриптивная теория множеств" под руководством профессора В.И.Пономарёва.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах, список которых представлен в конце автореферата.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех параграфов и списка цитированной литературы. Объём диссертации - 62 страницы машинописного текста. Библиография содержит 46 названии работ.

- б -

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается постановка задач и даётся обзор содержания диссертации. Па протяжении всой диссертации под пространством понимается хаусдорфово а в параграфах 2

и 3 - вполне регулярное пространство. В терминологии мы

181 ТсО РО) следуем книгам '' '' ' .

Изложим результаты диссертации по параграфам.

В первом параграфе рассматриваются С -секвенциальные (в другой терминологии - наследственно -пространства).

Определенно I (Д.Р.Ршшин^ )■ Топологическое простран-• ство налагается С-секвенциальным, если для любого замкнутого множества Ь — ЗС и любой неизолированной в Р точки ос существует нестационарная последовательность [. П £ М ] — р1 , сходящаяся к точке ' ОГЛ .

Основными результатами ртого параграфа являются теоремы 1.2 и [.4.

В -у ^

Теорема Г.^, Пусть ^ ' -А. ' I - совершенное отобрат.е-ниа пространства УС на С -секвенциальный бикомпакт ^ • Тогда, если все слои отображения - С -секвенциальны, то ^Х. - С-секшнциалышй бикомпакт.

^ Александров П.С., Пасынков Б,А. Введение в теорию размерности. - 'Л., "Паука", 197:-.

. Архангельский А.В., Пономарёв В.И. Основы обшей топологии в задачах и упражнения*. - М., "Наука", 1974.

^ Энгелькинг Г. Обшая топология. - М., "Мир", 15.с'(>.

Отметим, что аналог этой теоремы для секвенциальных пространств доказать "наивно" не удаётся. А.И.Бадшировым ' аналогичный результат получен только в дополнительных аксиоматических предположениях. А именно, справедлива

Теорема 1.1 ( С Н") . Если все слои совершенного отображения I: _Х.—, где У' - секвенциальный бикомпакт, -секвенциальны, то X. также секвенциальный бикомпакт.

Следующая теорема даёт характеристику С -секпенци-алыгнх пространств как образов метризуемнх пространств.

Теорема 1.4. С -секвенциальные пространства, и только они, являются наследственно неизолированными образ,'лги кетри-зуешх пространств.

С помочью этой теороын таете установлена связь С -секвенциальных пространств с секвенциаинкмц.

Следствие 1.5. С -секвенциальные пространства (и только они ) являются образами секвенциальных пространств при уплотнениях.

В § 2 исследуются р -секвенциальные ( и, наряда с ними, р -компактные ) пространства.

Пш-тпю р -компактности в явном виде о'нло впервые введено А.БарнзтоРном^^ .

Определение '»?.. Хаусдор[огю прострлнстьс. _Х. назшаетсн р -компактам, если любая последовательность [ ОСг1 •'1'1 б N ]

?т\

' ' Ьаикиров /..И. О классификации дакторшх отображений и секвенциальных бикоммктэл. - ДАН СССР 217 /К74/, 745-74У.

^ ?х1и$1с '1.ц ЛИ. с/ /гг'«б7 /ссш^ со/я/лк^печл /о г

. ^ре/дам/ ¿расе*. -Галс/.АШ. 66 (МЫ),

Г <7 /

— Х- имеет р -продельную точку JC £ Х^ .

Напомни?/, что для ультрафильтра р ep.IV \ N последовательность {Л п'НG.hl} р-сходится к точке ОС , если для любой окрестности Осе множество i П: ОС„ dOxiGp.

Определение р -секвенциальности было дано А.П.Комбаро-

Определение 3. Хаусдорфово пространство X называется р -cei енциальным, если для ка-кдого незамкнутого множества .М. ^ ЗС существует такая точка ое0 6 С МЛ 44 М и такая последовательность { Э£'.п : П £ N } ~ JM , которая р -сходится к точке ОС 0 .

Получен ряд результатов, показывающих, как ведут себя свойства р -секвенциальнооти и р -компактности при переходе к образу и прообразу, при переходе к подпространству и т. д.

тр\

Д.В.Ранчинш ' б дополнительных аксчоматическмх предположениях доказана авдиционная теорема для секвенциальных пространств. А именно, справедлива

Теорема 2.7. ( 2 < 2 Sl или А И ) . Если бикомпакт

X-.UX; , где X; - замкнутые секвенциальные V

подмножества У\ , то vY также секвенциален.

Для р -секвенциальных пространств аналогичный результат получен "наивно" (то есть без дополнительных аксиоматических предположений) ^

Теорома 2.S. Цусть бикомпакт X ~ X. ^ , где X - замкнутые р -секвенциальные подшожестза X • Тогда X такте р -секвенциален.

Заметим, что аналогичной результат для С -секвенци-

тгЛ

альных пространств доказан Д.В.Ранчиным ' "наивно".

Взз дополнительных аксиоматических предположений доказана таккз и теорема 2.10, аналог теоремы 1.1 для р -секвенциальных пространств.

Теорема 2.10. Пусть /:Х -Г - совершенное отображение хаусдорфова пространства X на р -секвенциальный бикомпакт У , все слои которого р-секвенциальны. Тогда X также р -секвенциальный бикомпакт.

В этом же параграфе доказана теорема о моп?юсти еепа-рабельного р -секвенциального бикомпакта.

Теорема 2.11. Мощность р-секвенциального бикомпакта, удовлетворяютрго условию Суслнна (в частности, сепарабель-ного) , не превосходит с.

В третьем параграфе диссертации рассматривается вопрос

¿/Э

о коллективной нормальности' произведения гЯ. - -компостных и 7гг.- ^—секвенциальных пространств

Отметим, что в теореме А.Стоуна (см. стр. 3) произведение метрического пространства и нормального счётно компактного пространства не только нормально, но и коллективно нормально.

И работах А.П.Коыбарова16) получен ряд обобирний этого результата.

В частности, им доказано, что произведение секвенциального паракомнактного простренства и нормального счётно компактного пространства коллективно нормально; произведение паракомпакта счётной теснотн и нормального

сильно счётно компактного ( со -ограниченного) проотранотва коллективно нормально.

Вти же результаты получены для произвольного кардинального числа п* Яа с заменой секввнциальности на п*е-секзснциальность, счётной тесноты - на тесноту ^ тЛ- ± (сильной) счётной компактности - на (сильную) Ш-компактность .

А.П.Комбаров*^ ввёл понятая сильной и слабой о^-сек-венциальности и сильной и слабой -компактности.

Определение 4. Хаусдорфово пространство X лазывается слабо ^^-коипактньш, если для наждой последовательности { ССп еХ : П € /V} существует такая точка ¿с ¿X < что для любой её окрестности ОесХ множество { П : сг^ £ еОсЗ содержится в некотором р € ^ .

Определение 5. Хаусдорфово пространство X называется сильно -компактным, если оно р -компактно для каждого

Р«*• у

Определение 6. Хаусдорфово пространство у\_ называется слабо (сильно) у?*- секвенциальным, если для любого незамкнутого множества Ф Е X сущзствует точка <32бХ\Ф , которая является р-предельной для некоторой последовательности { ОСп : П £ N} яф для некоторого (каждого)

В этой же работе им доказана

Теорема 3.7. Произведение сильно (слабо) ^-секвенциального паракомпакта и нормального слабо (сильно) компактного пространства коллективно нормально.

■ Основным результатом третьего параграфа является тер-рема 3.1, которая одновременно обобщает перечисленные выше результаты.

Теорема 3.1. Произведение сильно (слабо) -Щ-секвенциального паракомпакта и нормального слабо (сильно) тУг. - -компактнрго пространства коллективно нормально.

В § 4 рассматриваются В> -определённые пространства. Этот ?шасс пространств введён по аналогии с бикомпактно '' определёнными пространствами, которые были определены Д.Б.Дойчиновым23) .

Определение 7. Хаусдорфово пространство

X

называется

бикомпактно определённым, если для любого всюду плотного, множества М — XI и любой точки сс'„бХ существует такое множество М0 — М , что С£0 £

1М03 и £М01-

бикомпакт.

Ясно, что пространства с первой аксиомой счётности являются бикомпактно определёнными. Но каждое пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счётности, является секвенциальным пространством.

"Вообще, пространства, топология которых определяется через собственные бикомпактные•подмножества, близко примыкают к секвенциальным пространствам и прост!)анствам Фреше-Урысо-на. Так, хорошо известны следую кзиз результаты:

Оо1Ыкспоо Т>. В. Сотрае//у ¿/е^еамг/ге^ ем1епо/ '¿сро/о^са? ¿умсел. --

гв<? -¿¿е.

1) каздое секвенциальное хаусдоррово пространство - и, в частности, к&тдое хаусдорфово пространство с первой аксиомой счётности, - является !с -пространством^^ ;

2) хаусдорфово пространство является наследственно -пространством, в том и только том случае, если оно яв-

ос)

ляется пространством Фреше-Урысона ' .

В четвёртом иарагрфе решается вопрос о В> -определённое ги произведения . стот вопрос для бикомпактно определённых пространств был предложен Д.В.Дончиповым (является ли бикокпактно определеншы произведение пространства с первой аксиомой счётности и бикомпакта?).

Справедлива следутчгя

Теорема 4.6. Утверждение о Е; -определённости пространства Q * Х)^ не нависит о? слстеьк аксиом 2 РС •

Пользуюсь возыолюстью выразить глубокую благодарность профессору В.И.Пономарёву за руководство работой, внимание и поддчркку.

."О. C0m.0Q.ct леЬ о! funst¿ons^ 0.пс1 /ап^соп - Р*сс. сЬгех. Зое.

I (1950), ЗОЗ -30$.

Л1ссАсиг$е£&£:</ а/,¿л ¿1 сЛа с-1е г с'г а ¿Сог,

о/с^у ¿-%эасЪ. - Сгес/г. А/а1Л.У. 392/