О пространствах, близких к секвенциональным тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет На правах рукописи

сявченко

ириня янятольевня

УДК 515.12

О ПРОСТРАНСТВАХ, БЛИЗКИХ К СЕКВЕНЦИАЛЬНЫМ

01.01.04—геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 1990

Работа выполнена на кафедре обкрй топологии и геометрии механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.И.Пономарёв.

Официальные оппонент: доктор физико-математических наук,

профессор В.И.Малыхин,

кандидат фиэико-штоматических наук Д.В. Ранчин. ,

Ведущее предприятие - Ленинградское отделение Математического института АН СССР.

Зашита диссертации состоится в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного Сове5а^ Д 053.05.05 по. математике при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские Горы, ШУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ / 14 этач /.

Автореферат разослан У / 1990 г./

Учений секретарь . . ,-<- • ,

специализированного Совета . • 'Г' Д оез.05.05 ' - .V' • Ь.П.ЧуСярикоь -.'■'.

ОБНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. В обпей топологии О'ольц^/ю роль играют пространства, топологическое строение которых определяется запасом схпдяглхся последовательностей ючек в них (ведь впервые абстрактные пространства с топологической структурой били введены Фрсшо имонно в терминах сходящихся последовательностей). К тагам пространствам относятся, например, секвенциальные пространства и пространства Фрешз-Урыоона. Оба эти класса пространств были широко известш почт со времени зарождения обсей топологии. Определения их восходят к работам^ Секвенциальные пространства были тщательно изучена в работах Франклина*^'^.

В настоящей работе изучаются пространства, определения которых так или иначе связаны о секвэщизльвши пространствами,

В 1961 году на Прахском топологическом симпозиуме П.С.Александров поставил обгую топологическую проблему изучения взаимной связи свойств непрерывных отображений 'топологических пространств, их образов и прообраиов.

Первые конкретные вопросы такого рода о'нли решены 60 - 70

PzccAetPj. Su'i fiicséaues potiàs câ^ cai'ctt£ iort.cti.on«e£. - Pend. c/e£ Cite. Mat cL Pafrt^o

2) Uzc/schn P. Su г Ces classes ,6 e/e tffbicAét. -Vaifi. 2S(iSS6)t ■

FtankLt.-i -S, R Spa с ci ¿tt ¿ofric/i upac/recs sxfpee.-

Fut и/. MA. sr (¿des), se?-su:

4) Franifcn S. P. Spaces c'n u>Aic/i seethe,-гс-es {¿ce I. - Fttncf.tfaM. 6t(iâ€Y), Î7--S6'. •

лет назад, а именно: теорема П.С.Александрова^ о представлении произвольного компакта как непрерывного образа канторо-ва совершенного множества; данная Хаусдорфом^ характеристика произвольных метрических пространств со счётной базой как открытых непрерывных образов подпространств пространства иррациональных чисел; описание локально связных континуумов как

ГЛ О)

непрерывных образов отрезка '' . .

В связи с этими задачами особо отметим теорему В.И.Поно-марёва^о том, что все Т^ -пространства, удовлетворяюще первой аксиоме счётности, - и только они, - являются образами метрических пространств при непрерывных открытых отображениях. Теория кардинальнозначных инвариантов, ухода своими корнями к началу развития обирй топологии, особенно активно стала развиваться-со второй половины шестидесятых годов. Появились новые методы и новые объекты исследования. Интересные результаты в данной области были получены Б.А;Ефимовым,В.Й. Малыхиным,В.И.Пономарёвым, М.Рудин, В.В.федорчуком. А.В.Ар-

Mexandtoff Р. síe¿¿oe <Jé¿¿¿cÁe/z?est. /osnfaé&i. £aurm/~Maz&.Jrts,.$6'{J2Ztr)> SSS' JrS.

^ Hausc/oz// F, IMei ¿nncz J/¿¿c'Munfen. — Рг-шс/. MaiL ёЗ(ШЬ), 3*9 -29J. " : .

r»\ ' ■ *

Ha-2u-¿¿¿eiy¿s¿ S, Saz ¿es áones dr Yozata/г. — Punc/.tfatt. 1(1920), d£€ ■ , . .

^ Si'etoí/i.íJrc W. Suz a/¡c eo/tiX?¿¿¿o/¿ y>ou'( fíu^rt COrdutu. so¿t arte cocnAe Sctafanienrtc:. — FuinS. Ha¿A. I. (/$20)} 44- eO

9) - . '

' Пономарёв В.И. Аксиомы счётности и непрерывные отображения. '- &u¿¿. Su ., ■Ьa. /f&tfA; в, KJ я / I960 /, 12? - 133.. . "

хангельский*^ в 1969 году положительно решил гипотезу П^С,Александрова и П.С.Урысона о той, что бикомпакт с партой аксиомой счётности имеет мощность» не превосходявув мощности нон-пщут.

Новно карцинальнозначныв инварианты часто пороядазот и новые результаты, связанный с аддиционной тематикой. Так, например, в классе бикомпактов справедлива адциционная теорема дм вееа*^, в классе & -пространств - для тесноты*^ и Т. д.

Отметим ещё одну обпую задачу, связанную с известной теоремой А, Стоуна* о нормальности произведения метрического пространства и нормального счётно компактного пространства.

Какими близкими условиями можно заменить метризуемость и счёту» компактность, чтобы произведение осталось нормальным ?

Весьма интересные результата в этом направлении были получены Моритой14\ Даукером15^ , Л.П.Комбаровым16^'

^ Архангельский A.B. О мощюсти бикомпактов о первой аксиомой счётности. - ДАН СССР 187 / 1969 /, 967 - 970.

Архангельский A.B. Адциционная теорема для веса множеств, лежащих в бикомпактах. - ДАН СССР 126 / 1959 239 - 241.

të) ранчин Д.В» lècrtOTa, секвенциальность и замкнутые покрытия. - ДАН СССР 232 / 1977 /, 1015 - 1016.

^ SioneJtf. fhtacpffusac^ness a/tciMocàtcà soaces. — Ba&.Jmet.4oc.5A(i94f),9?r-9<fâ. . •

Motiia K. Ptocdutés: of /ramai spacts wiiA, теЫе. sfctces. — //att.Jrw. JS4

Dou>&to. CM. . On. ceuniaéâs MïaecrttJxicà spaees. - CkftaitofMatl Jfiml Ш -224.

Б настояний диссертации решаются задачи, примыкающие к -перечисленным вше проблемам, для пространств, близких к секвенциальным.

Цель работа. Исследование свойств С -секвенциальных; р -секвенциальных, ггг. - р-компактных и - р -секвенциальных пространств; изучение вопроса о 8>-определённости пространства

Методы исследования. В диссертации широко используются метода таких разделов топологии как теория секвенциальных пространств и близких к ним. Б частности, применяются и получаат дальнейшее развитие конкретные методы исследования С -секвенциальных, р -секвенциальных, бикомпактно определённых пространств, принадлежащие А.Бернштейну, А.П.Комарову, В.Й.Малыхину, В.И.Пономарёву, Д.В^Ранчину.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и получены автором самостоятельно. Они заключаются в следуюпрм:

1. Доказано, что С -секвенциальные пространства, и только они, являются наследственно неизолированными образами метризуемых пространств.

2. Доказано без дополнительных аксиоматических предположений, что прообраз С -секвенциального ( р -секвенциального) бикомпакта при совершенном отображении является С -

Комбаров А.Н. 0 произведениях нормальных пространств. Равномерности на Щ. -произведениях. - ДАН СССР 205 / 1972 /, 1033 - 1035.

1<' Комбаров А.П. Об одной геореме А.Стоуна. / 1983 /,38 - 40.

- да СССР 270

секвенциальным ( р -секвенциальным) бикомпантом, если все слои отображения С -секвенциальны ( р -секвенциальны).

3. Показано, что мощность р-секвенциального сопарабель-ного бикомпакта не превосходит моврости континуума,

4. Доказано, что произведение т- р -секвенциального пзраксмпакта и нормального т- р> -компактного пространства коллективно нормально.

5. Показано, что утверждение о 2> -определённости про-

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа, носит теоретический характер. Её результата могут найти применение в общей топологии, в частности, в теории секвенциальных пространств и близких к ним.

Апробация работа. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре кафедры общей топологии и геометрик Московского государственного университета им. Ы.В.Ломоносова, на научно- исследовательском семинаре "Об!цая топология и дескриптивная теория множеств" под руководством профессора Б.И.Пономарёва.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырёх работах, список которых представлен в кснцо автореферата.

Структура диссстугачкк. Работа состоят из введения, четырёх параграфов и списка цитированной литературы. Объем диссертации - 62 страницы машинописного' текста. Библиография содершг 46 названий работ.

странства

ц * в5- не зависит от системы аксиом ггс обозначено пространство рациональных чисел, а че-- канторов дисконтинуум веса ) .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается постановка задач и даётся обзор содержания диссертации. Ua протяжении всей диссертации под пространством понимается хпуодорфово а в параграфах 2 и 3 - вполне регулярное пространство. В терминологии мы следуем книгам^ .

Изложим результаты диссертации по параграфам.

В первом параграфе рассматриваются С -секвенциальные (в другой терминологии - наследственно "¿6.-пространства).

Определенно I (Д.С.Ратин^ ). Топологическое пространство JC называется С -секвенциальным, если для любого замкнутого множества Р— -X н любой неизолированной в К* точки ОС существует нестационарная последовательность i -"Xi '■ nel\lj£P, сг.одяпаися к точке ' ОС .

Основными розулыатами »того параграфа являются теоремы ].2 и 1.4.

Теорема 1.2. Пусть / •' А. ~* 4f - совершенное отображение пространства У\, на С -секвенциальный бикомпакт Y , Тогда, если все слои отображения :j - С -секвенциальны, то - С -секвенциальный бикомпакт.

Александров Ii.С,, Пасынков Б.А, Введение в теорию размерности. - '<!,, "Наука", 19?:-. ТсЛ

'. Архангельский A.B., Пономарев В,И. Основы обшей топологии в задачах и упражнениях. - Ы., "Паука", 1974.

^ Энгелькинг Г. Обшая топология. - М., "Мир", 19Г-6.

Отметки, что аналог етой теоремы для секвенциальных

от\

пространств доказать "наивно" не удаётся, Л.И.Башкировш,Гi> аналогичный результат получен только в дополнительных аксиоматических предположениях. А именно, справедлива

Теорема. 1.1 (С И ) . Если все слои совершенного отображения j: JC—>-V , где Y" - секвенциальный бикомпакт, -секвенциальны, то .X. также секвенциальный бикомпакт.

Следующая теорема даёт характеристику С -ееквеицн-альгах пространств как образов метризуешх пространств.

'Георама 1.4. С -секвенциальные пространства, U только они, являются. наследственно нвиэолированнкми образами матри-зуешх пространств.

С помолчи отой теорем! также устанонлена связь С -секвенци&тыгих пространств с секвенциальными.

Следствие 1.5. С -секвенциальные пространства (и только они ) являются образами секвенциальных пространств при уплотнениях.

В § '?, исследуются р -соквгшшальпые ( и, наряду с ними, р -компактные) пространств*.

Понлгш; р -компактности в явном виде о'нло впервке вве-депо А.Бернитогшс!/'^ .

Определение Хаусдоррояо пространство называется р -компактным» если любая последовательность [оСп .')Х 6 M i ^

рт\

' Банкиров А.й. О классификации факторных отображений и секвенциальных бикомпактах. - Jl£Н СССР 21? /1974/, 745-748.

fcnnsictnJ.fi. J! McC (Lind of co/tip-ieifwss foz iojxitaj'uai spaces. -Fun(/M£. 66(i9$0), US- Ж.

— X имеет р -предельную точку СС € У\_ .

Напомним, что для ультрафильтра р ер/У \ N последовательность {ссп '• не К/} р-сходится к точке ¿С , если для любой окрестности Ох. множество { П : Хп £ Осе } О-р .

Определение р -секвенцкальноста было дано А.П.Комбаро-

I?) • '

ши ' .

Шредэлекиа 2. Хаусдорфово пространство X называется р -се! енциальным, если для каждого незамкнутого множества М еХ существует такая точка ОС0 и такая последовательность { Хп : П € N $ — 1М , которая р -сходится к точке ос 0 .

Получен ряд результатов, показывающих, как ведут себя свойства р -секвенциальности и р -компактности при переходе к образу и прообразу, при переходе к подпространству и т. д.

Д.В.РгЮТИШм'"^' б дополнительных аксиоматических предположениях доказана адциционная теорема для секвенциальных пространств. А именно, справедлива

Теорема 2.7. ( 2 < 2 или А М ) . Если бикомпакт

Х*\) X :

, где X,- - замкнутые секвенциальные

с"*у V" подмножества У\ , то у\. таете секвенциален.

Для р -секвенциальных пространств аналогичный результат получен "наивно" (то есть без дополнительных акскома-пшзских предположений) ^

Тоорома ?..й. Пусть бикомпакт X ~ .и X • , гдо X ^ - замкнутые р -секвенциальшо подмножества X • Тогда УС также р -соквенциален.

Заметим, что аналогичный результат для С-сенвенци-

ТгЛ

альных пространств доказан Д.В.Ранчиным' "наивно".

Без дополнительных аксиоматических предположений доказана также и теорема 2.10, аналог теореш I.I для р~ секвенциальных пространств.

Теорема 2.10. Пусть f:X -У - совершенное отображение хаусдорфова пространства X на р -секвенциальный бикомпакт "V , все слои которого р-секвенциальны. Тогда X также р-секвенциальный бикомпакт.

В этом же параграфе доказана теорема о мог^ости сепа-рабельного р -секвенциального бикомпакта. •

Теорема 2.1I. Мощность р -секвенциального бикомпакта, удовлетворяющего условию Суслпиа (в частности, сепараболь-ного) , не превосходит с.

В третьем параграфе диссертации рассматривается вопрос

о коллективной нормальности'произведений rtt- -компакт-

бР

них и ггг. - о -секвенциальных пространств

Отметим, что в теореме А.Стоуна (си. стр. 3) произведение метрического пространства и нормального счётно ком-пактнбго пространства не только нормально, но и коллективно нормально. :

Б работах А.П.Н'омбарова^ получен ряд обобпрний стого результата.

В частности, им доказано, что произведение секвенциального паракомпактного пространства и нормального счётно компактного простракств&,:коля<зктивно нормально; произведение паракомпакта счётной теснотн и нормального

сильно счётно компактного ( со -ограниченного) пространства коллективно нормально.

Эта же результаты получены для произвольного кардинального числа тЛ 5= Н0 с заменой секвенциальности на tYt-секвенциалыюсть, счётной тесноте - на тесноту тУг- , (сильной) счётной компактности - на (сильную). -компактность.

А.П.Комбаров17^ ввёл понятия сильной и слабой ^-секвенциальности и сильной и слабой -компактности.

Определение 4. Хаусдорфово пространство X лаэывается слабо ,^-компактным, если для каждой последовательности { € X : П € N) существует такая точка СС , что для любой её окрестности ОхеХ множество еОя} содержится в некотором р fc

Определение 5. Хаусдорфово пространство X называется сильно -компактным, если оно р -компактно для каждого

Определение 6. Хаусдорфово пространство

называется

слабо (сильно) -секвенциальным, если для любого незамкнутого множества Ф £Х существует точка сОСХ"\Ф , которая является р -предельной для некоторой последовательности { ССп : п€ N} ^ф для некоторого (каждого,)

В этой же работе им доказана

. Теорема 3.7. Произведение сильно (слабо) J -секвенциального паракомпакта и нормального слабо (сильно) компактного пространства коллективно нормально.

- и -

Основным результатом третьего параграфа является теорема 3.1, которая одновременно обобщает перечисленные выше результата.

Теорема ЗЛ. Произведение" сильно (слабо) .. секвенциального паракомлакта и нормального слабо (сильно) уУг. - -компактного пространства коллективно нормально. В § 4 рассматриваются В> -определённые пространства. Этот рласс пространств введён по аналогии с бикомпактно определёнными пространствами, которые были определены Д.Б.Дойчиновш23) .

Определение 7. Хаусдорфово пространство

X называатся бикомпактно определённым, если для любого всюду плотного, множества М ~Х и любой точки

существует такое множество М0 'ё М ,что и £М01- би- ^

компакт. . ■

Ясно, что пространства с первой аксиомой счётности являются бикомпактно определёнными. Но каждое пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счётности, является секвенциальным пространством.

"Вообще, пространства, топология которых определяется через собственные бикомпактные подмножества, близко примыкают к секвенциальным гч.остралстпам и пространствам Фреше-Урысо-на. Так, хорошо известны следуюи^е результаты:

яз) Г)о1[сАспо& Р. 3. ¿ЪгграсМу ¿/е^еа'юиге^ ем1еп$1Ъп£ о/ {о^о/Ь^са? ¿умсел. -- би/рапс-г/. ти^&етайеа/ лиёА(са¡¿о/га /У 269

I) каздое секвенциальное хаусдорфово пространство - и, в частности, каждое хаусдорфово пространство с первой аксиомой счётности, - является 1с-пространством*^ ;

'¿) хаусдорфово пространство является наследственно к. -пространством, в том и только том случае, если оно является пространством Фреше-Урысона ' .

В четвертом нарагрфе решается вопрос о -определённости произведения

) . стот вопрос для бикомпактно определённых пространств был предложен Д.Б.Дончиновым (является ли бикомпактно определенным проиэве-дешо пространства с первой аксиомой счётности и бикомпакта?).

Справедлива следующая

Теорема 4.6. Утверждение о В -определённости пространства Q х Ху4-1 не зависит от системы аксиом '¿РС >

Пользуюсь возможностью выразить глубокую благодарность профессору В.И.Пономарёву за руководство работой, внимание и поддержку.

^ (Зчй/г .О. Сот.оас1 ле/з о/ о/г^

0.пс( /и/ге^соп — Р-чос. р^/пс?, Зое.

/ {¿950), 303~3с?$.

Л'ссАсигое^ё'у 61 сАа та ъс ¿а /сог-

с{ оеи/ ¿Арасее. ~ СгесЛ. А/яМ.}'. /¿[I 393 -"¿Ж У °

список агажовлншх РАБОТ

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Савченко И.А. О пространствах, явлшэнлхся наследственно неизолированными образами штризуе}шх. - В кн.: V Тираслольский симпозиум по обпей топологии и сё приложениям ,. Кииинё. в, "Е'тиинца", ЗХ 65, с. 210.

2. Савченко И.А. О К-определённых пространствах. - Б кн-.: Бакинская международная топологическая конференция, те- • эисы / часть 2 /., Ёаку, 1&Ь7,. с.2С5.

3. Савченко И.А. Сходимость по ультрафильтрам и коллективная нормальность произведений. - Вест: Мсс.к. унив., сер. матом., мех., КЕБ, К" '¿, с. 73 - 76.

4. Савченко И,А. Сходимость по ультрафильтрам и р -секвенциальные пространства. - Москва, Т£88,-20 стр., рукопись доп. в ШШ'ГИ (¡5 С6Ь2-В 86.