Об абстрактных дифференциальных уравнениях с отклоняющимся аргументом и случайными возмущениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Аль Зухаири Хам ид Кадим Давуд

Об абстрактных дифференциальных уравнениях с отклоняющимся аргументом и случайными возмущениями

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

13 МАЙ 2015 005568594

ВОРОНЕЖ-2015

005568594

Работа выполнена в Воронежском государственном педагогическом университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Каменский Михаил Игоревич Официальные оппоненты: Алиев Рзахан Гюльмагомедопич,

доктор физико-математических наук, профессор, Дагестанский государственный университет, кафедра математического анализа, профессор; Желтикова Ольга Олеговна,

кандидат физико-математических наук, Военный учебно-научный центр ВВС «Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», кафедра математики, преподаватель. Ведущая организация: Ростовский государственный строительный университет

Защита состоится 23 июня 2015 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 39493, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан ,2-2 апреля 2015 г.

Ученый секретарь Гликлих Юрий Евгеньевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Начиная с 50-х годов прошлого века дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом стали разделом теории дифференциальных уравнений. Отметим здесь лишь классические монографии Р. Беллмана и К. Кука, А.Д. Мышкиса, Л.Э. Эльсгольца, С.Б. Норкина, в которых приведены основные постановки задач для таких уравнений, указаны их приложения.

В работах А.Е. Родкиной, см. также работы X. Мао, показана важность изучения дифференциальных уравнений со случайным возмущением, содержащими запаздывания. Ею исследован конечномерный случай, в котором уравнение в наших обозначениях имеет следующий вид

Ы = а .....„тХ(0) А + Ь .....„тХ(0) (1)

где процесс — стандартный винеровский процесс со значениями в гильбертовом пространстве II. Операторы а и Ь определены на К1 х Нт и действуют соответственно в гильбертовом пространстве Нив пространстве ограниченных линейных операторов £(11,Н), Ь1,...,Ьт — отклонения аргумента, удовлетворяющие неравенствам 0 < Ь,(1) < 1, для всех / = 1 ,...,т и I 6 [0,Т].

Оператор .....Ьт сопоставляет функции X со значениями в Н функцию

со значениями в Нт по следующему правилу:

Бь».....ьтХ(0 = (ХСНКО).....Х(Ьт(0)).

Перенос постановок задач А.Е. Родкиной на уравнения в бесконечномерном пространстве '' рассматривавшиеся Дж. Да Парто, Дж. Забчиком, И. Врокачем приводит к уравнению

с!Х = (лх + а .....ьгаХ«)) Л + Ь (1.5Ь1.....„иХ(0) с1\Нь (2)

где А — производящий оператор сильно непрерывной полугруппы еж действующий в гильбертовом пространстве Н, операторы а: [О, Т] х -> /, и Ь: [О.Т] х ^ ->£(и,

Уравнения типа (2) возникают при изучении стохастических систем в популяционной динамике, распространения волн в случайных средах, задач нелинейной фильтрации и др. Однако для таких уравнений практически отсутствуют аналоги результатов связанных с существованием решений и зависимости от параметра, что делает тему диссертации важной и актуальной.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является:

1. Доказательство теорем существования и единственности решения начальной задачи для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и случайными возмущениями в случае отсутствия условия Липшица и бесконечномерного фазового пространства.

2. Доказательство теоремы о продолжимости решения начальной задачи для указанных дифференциальных уравнений (2) в случае подлинейного роста операторных коэффициентов.

3. Нахождение условий сильной сходимости по параметру, решений указанных дифференциальных уравнений в случае, когда операторы а и Ь зависят от параметра.

4. Доказательство слабой сходимости решений в случае интегральной непрерывности коэффициентов по параметру.

Научная новизна. Следующие результаты работы являются новыми:

1. Теорема существования, единственности и нелокальной продолжимости для дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах со случайными воздействиями и отклоняющимся аргументом.

2. Теорема о непрерывной по норме зависимости от параметра решений указанных выше дифференциальных уравнений.

4

3. Теорема о слабой сходимости по параметру решений дифференциальных уравнений со случайными воздействиями и запаздыванием в случае интегральной непрерывности операторов, входящих в эти уравнения.

Методы исследования. Основные методы исследования связаны с приложениями теории уплотняющих операторов в специальных функциональных пространствах случайных процессов. Такой подход позволяет установить компактность множества решений для уравнений, зависящие от параметра и обосновать результаты о непрерывной зависимости в различных смыслах.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при изучении задач описываемых дифференциальными уравнениями со случайными воздействиями.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Воронежских зимних математических школах в 2012 г., 2013 г., 2014 г., на научных семинарах кафедры высшей математики ВГПУ (руководитель проф. В.В. Обуховский) и кафедры нелинейных колебаний ВГУ (руководитель проф. В. Г. Задорожный).

Публикации работы. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [1]-[6]. Доказательства всех результатов получены лично автором.

Работы [4]-[6] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитируемой литературы, включающего 62 наименования. Общий объем диссертации 83 стр.

Содержание диссертации

Нумерация приводимых ниже определений и утверждений совпадает с нумерацией в диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы, описываются методики исследования, приводятся используемые определения и факты в удобной для дальнейшего изложения форме.

Первая глава посвящена теорема существования, единственности и продолжимости решений начальной задачи для дифференциальных уравнений в бесконечномерном пространстве со случайным воздействием и отклоняющимся аргументом.

Первый параграф этой главы носит вспомогательный характер. В нем приводятся теоремы о непрерывной зависимости от параметра, начальных данных и интегральные неравенства для следующего интегрального уравнения с отклоняющимся аргументом:

где Ь:[0,Т] х '/х [ОД] -»К1 — непрерывная функция, О— некоторая область пространства Кт, непрерывные функции Ь1(..., Ьт, действуют из [О, Т] в [О, Т] и удовлетворяют неравенствам Ьг(1) < 1, для всех 1 = 1, ...,т, а оператор .....ьт: е([0,Т], К1) -» е([0,т], Кт) задан по следующему правилу:

Теорема 1.1. Пусть при [1 = 0 все решения уравнения (3) продолжимы на [О ,Т\, и уравнение (3) имеет единственное непрерывное решение 2°, определенное на отрезке [0, Г].

Тогда для любого £ > 0 существует 8 > 0 такое, что при ц 6 [0,5) все непрерывные решения 2^ уравнения (3) определены на отрезке [0,7"] и удовлетворяют неравенству

(3)

о

.....нт2(з) = (гоч^)).....г(ьтсз))).

2(0 = г0(у) +11 ($. .....Ьтг(5>) й5, (4)

0

при V = у0 имеет единственное непрерывное решение 2°. на отрезке [0, Г], на который продолжимы все решения уравнения (4), при V = у0.

Тогда для любого £ > 0 существует 5 > 0 такое, что при V € В(у0,6) все решения 2У уравнения (4) продолжимы на отрезок [0, Т] и справедлива оценка

— 2°ИссЮ Л.к1) < £-

Теорема 1.3. Пусть непрерывная функция у 6 С([0 ,Г], К1) удовлетворяет неравенству

х.

у(0 < г0 + 11 5Н1,...Д1ту(з)) (5)

о

и интегральное уравнение

1

2(0 = г0 +11 (з, (6)

о

имеет единственное непрерывное решение 7.° на отрезке [0.7*]. на который продолжимы все решения уравнения (б). Тогда

у(0 < г0(О, 1Е[0.Т]. (7)

Близкие к затронутым в первом параграфе вопросы изучались различными авторами. Изложение отличается от указанных здесь по форме и некоторыми условиями. Так в диссертации используется только условие единственности решения интегрального уравнения, а не конкретные условия такого факта, что требует некоторой модификации доказательств.

Второй параграф посвящен анализу интегрального оператора, возникающего при изучении начальной задачи для дифференциального уравнения следующего вида (2) с начальным условием

Х(0) = <р, (8)

Ниже мы будем предполагать, что выполнены следующие оценки

О На&х,.....

11Ь0,*г.....х*)||<С^1+]Г|х,|^

ЮНаЛ*!.....хк)-а(ЬУ1.....ук)||" <

НЬЛ*!.....хк) -ЬаУ1.....ук)Г < Ь^^Нж,

где функция Ь невозрастающая и выпуклая по второму аргументу такая, что

ш) для любой константы С > 0 интегральное неравенство

I

2С0<С|Ь(5,5Ь1.....ьтг(5)) с1в

о

имеет единственное решение 2(1) = 0.

Основными результатами параграфа являются следующие леммы Лемма 1.1. Пусть выполняется условие /), тогда оператор г с

СХ(Г) = е"ср + I еи(^а(5,5(11....,НтХ(5))С^5 + | е^'Ь (5> 5„,.....hmX(s))dWs

о о

действует в пространстве У\0,Т]; Н).

Лемма 1.2. Пусть выполняются условия i), ii), iii). Тогда оператор G уплотняет относительно меры некомпактности, задаваемой формулой

[<«")]« =XtOU (9)

где Xt мера некомпактности Хаусдорфа в пространстве n£( ^ [0, t]; Н), а

Ut = {xt|[01|:Xeu}cNcp(.^[0.t];H),

здесь U — ограниченное множество из У\0, t]; Н).

В третьем параграфе с использованием классической теоремы Б.Н. Садовского о неподвижной точке уплотняющего оператора, переводящего в себя ограниченное выпуклое замкнутое множество, доказана глобальная теорема существования решения задачи (2), (8).

Обозначим через В^(0, г) шар, радиуса г с центром в нуле в пространстве снабженном нормой

1

||Х||*, = (Е sup e-2Ps||X(s)||{'iy

с \ 0<s<T /

Лемма U. Пусть выполняется условие i) (см. праграф 1.1). Тогда существуют И и г такие, что оператор G переводит шар В2 (0, г) в себя.

Теорема 1.4. Пусть выполняются условия i). ii), iii). Тогда уравнение (2) с начальным условием (8) имеет решение на отрезке [О, Т].

В четвертом параграфе, доказана теорема о единственности решений начальной задачи для стохастического дифференциального уравнения с запаздыванием в бесконечномерном гильбертовом пространстве.

Теорема 1.5. Пусть выполняются условия i), ii), iii). Тогда уравнение (2) с нача!ьным условием (8) имеет на отрезке [0,Т] единственное решение.

Вторая глава посвящена исследованию зависимости от параметра решений начальной задачи.

dXa = (¿Xa(s)+a„(s.Shi.....hmXa(s)))ds + ba(s,Shi.....hmXa(s)) c(Ws, (10)

с начальным условием (8).

Операторы аа: К1хНга-»Н, ba: R1 х Hm -» £(U, H), зависят от параметра а £ [0, а0].

Ниже мы будем предполагать, что для некоторого р > 2 выполнены следующие оценки

(О lla„(s,*)||" < CCI + 11*11"). ||be(s.*)F < C(1 +1\x\n

и

(ii) ||aa(s.x) - aa(s,y)|P < L(||* -y||"),

llb„(s,x) - ba(s,y)||p < L(||x - y|P) . где функция L невозрастающая и выпуклая функция такая, что

(ш)для любой константы С > 0 интегральное неравенство

t

Z(t) < СI L(shl.....hmZ(s)) ds

о

имеет единственное нулевое решение, (¡v) Начальная функция^) 6 £Р(П; Н).

В первом параграфе этой главы предполагается, что выполнено условие: (v) существует Д0> 0 такое, что для всех х G Hm и t1(t2 6 [0,Т] таких, что О < ti < t2 < tj + Д0> полугруппа непрерывна по норме операторов при

t > 0, кроме того пусть выполнены соотношения: t2

Lim Г [aa(s,x) - a0(s,x)]ds = 0 (11)

J

ti t2

Lim f tr{[ba(s,x) - b0(s.*)] Q[ba(s,x) - b0(s.x)]*}f ds = 0 (12)

a-*0* J ti

для любых tj, t2 e [0,T].

Теорема 2.1. Пусть выполняются условия (i) - (v). Тогда ф({Ха: a G [0,1]}) = 0, т.е. решения {Ха} образуют компактное множество в пространстве N" (. [0, T]; Н).

Теорема 2.2. Пусть выполняются предположения (i) - (v). Тогда для любого Т>0

Lim sup ||Xa(t)-X0(t)||p = 0 а-° te[o,Tl

где ||*(0llp = (E||X(t)||p )р, 1 < р < +00.

Во втором параграфе в отличие от условия (v) предполагается, выполненным следующее. Пусть Т > 0 произвольное, фиксированное число и

t t UmjeA(t-s)aa(s,x)ds= J eA(t-s)a0(s,x)ds (13)

о 0

Lim

a-»0+

= 0, (14)

N

j e^(t-s)U0(s,x)eA'<x-^ds о

для всех х £ Hm,t е [О, Т], где

Ua(t,x) = ba(t.x)Qb;(t.*) - b0(t,x)QbJ(t,х). Кроме того, в этом параграфе А производящий оператор аналитической полугруппы. Основным результатом является следующая теорема. Теорема 2.3. Пусть выполняются условия (i) - (iv) и (13), (14). Тогда Ха(-. <р) -> Х0(-, <р) слабо в С ([О, Т], Н) при а 0+. Такая сходимость решений в случае конечномерного пространства и уравнений без запаздывания отмечалась A.B. Скороходом, Р.З. Хасьминским, и А.Д. Венцель.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Аль Зухаири X. К. Об интегральном операторе для дифференциальных уравнений в бесконечномерном пространстве со случайными возмущениями и запаздыванием / Аль Зухаири X. К. // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весен. Мат. Шк. "Понтрягинские чтения ХХШ" (дополнительный выпуск). — Воронеж, 2012. — С. 14-15.

[2] Аль Зухаири X. К. О тереме существования и единственности для стохастических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Аль Зухаири X. К. // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весен. Мат. Шк. "Понтрягинские чтения XXIV". — Воронеж, 2013. —С. 208-210.

[3] Аль Зухаири X. К. К теореме о непрерывной зависимости решений в принципе усреднения для дифференциальных уравнений со случайными возмущениями / Аль Зухаири X. К. // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весен. Мат. Шк. "Понтрягинские чтения XXV" (дополнительный выпуск). — Воронеж, 2014. — С. 5-6.

[4] Аль Зухаири X. К. О стохастических дифференциальных уравнениях с запаздыванием в бесконечномерном гильбертовом пространстве / X. К. Аль Зухаири // Вестник ВГУ, серия: физика, математика. - 2014. - №3, - С. 190-199.

[5] Аль Зухаири X. К. О принципе усреднения для стохастических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Аль Зухаири X. К. // Вестник ВГУ, серия: физика, математика. - 2014. - №3, - С. 182-189.

[6] Аль Зухаири X. К. О слабой сходимости решений в принципе усреднения для стохастических дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Аль Зухаири X. К. // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. — 2015. — № 1. — С. 160-170.

Работы [4]-[6] соответствуют списку ВАК РФ.

Подписано в печать 17.04.2015. Формат 60Х84'/1Й. Печать трафаретная. Гарнитура «Тайме». Усл. печ. л. 0,75. Уч.-изд. л. 0,69. Заказ 86. Тираж 100 зи. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Воронежский государственный педагогический университет» Отпечатано в типографии университета. 394043, г. Воронеж, ул. Ленина, 86.