Об уплотняющих возмущениях сюръективных операторов

Афонина, Светлана Николаевна

Об уплотняющих возмущениях сюръективных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Афонина, Светлана Николаевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Об уплотняющих возмущениях сюръективных операторов»

Автореферат диссертации на тему "Об уплотняющих возмущениях сюръективных операторов"

На правах рукописи

¿г

Афонина Светлана Николаевна

Об уплотняющих возмущениях сюръективных операторов

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

16 МАЙ 2013

Воронеж - 2013

005058758

Работа выполнена в Воронежском государственном педагогическом университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент Гельман Борис Данилович, Воронежский государственный университет, профессор кафедры теории, функций и геометрии Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Садовский Борис Николаевич, Воронежский государственный университет, профессор кафедры функционального анализа и операторных уравнений

доктор физико-математических наук, профессор Арутюнов Арам Владимирович, Российский университет дружбы народов, заведующий кафедрой нелинейного анализа и оптимизации Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится 28 мая 2013 года в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета, Д 212.033.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл. 1, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан "¿2." апреля 2013 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.22 Гпиклих Ю.Е.

Актуальность темы. Исследование новых классов нелинейных задач, построение и изучение разрешимости адекватных им классов операторных уравнений и включений традиционно включается в нелинейный функциональный анализ.

При изучении вопросов, связанных с разрешимостью различных нелинейных уравнений и включений, важную роль играют качественные методы, в частности, теоремы о неподвижной точке, принципы продолжения решений по параметру и топологические методы.

Теория уплотняющих отображений представляет собой теорию операторов, свойства которых характеризуются как промежуточные между свойствами сжимающих и вполне непрерывных отображений. Впервые операторы такого типа были рассмотрены в работах М.А. Красносельского, G. Darbo и Б.Н. Садовского.

Свойства мер некомпактности изучались К. Куратовским, A. Ambro-setti, М. Fun, A. Vignoli, R.D. Nussbaum, Б.Н. Садовским, Ю.Г. Борисовичем, Ю.И. Сапроновым я многими другими.

В Воронеже изучение уплотняющих отображений было начато работой Б.Н. Садовского в 1967 г. В дальнейшем изучением уплотняющих отображений в Воронеже занимались Б.Н. Садовский, Ю.Г. Борисович, Ю.И. Сапронов, P.P. Ахмеров, А.Е. Родкина, A.C. Потапов, М.И. Каменский, В.В. Обуховский и многие другие.

В результате изучения уплотняющих отображений были опубликованы монографии и несколько обзоров. В 1980 г. был опубликован обзор Б.Н. Садовского "Уплотняющие операторы", библиография которого содержала 426 источника.

Отметим также работы, связанные с обобщением понятия уплотняющего отображения па случай многозначных отображений. В Воронеже изучением таких отображений занимались В.В. Обуховский, его ученики и М.И. Каменский. Эти работы были подытожены в монографии В.В. Обуховского, М.И. Каменского и P. Zecca.

екая классификация таких возмущений и на этой основе строились новые топологические инварианты. Отметим работы G. Het2;er, в которых изучались возмущения, у которых главной частью являлся линейный фредгольмов оператор.

С другой стороны, в 1997 г. появилась работа В. Ricceri, посвященная изучению компактных возмущений линейных непрерывных сюръектив-ных операторов. В дальнейшем в работах Б.Д. Гельмана рассматривались липшицевы и вполне непрерывные возмущения замкнутых линейных операторов и рассмотрены приложения полученных теорем к проблеме разрешимости операторных уравнений и включений:.

Естественно возникает идея изучить уравнения, главной частью которых является замкнутый линейный сюръективный оператор А, а отображение / является уплотняющим относительно этого оператора. Заметим также, что в этом случае гомотопическая классификация, построенная в работах Ю.Г. Борисовича, В.Т. Дмлтриенко, В.Г. Звягина, G. Hetzer, оказывается неприменимой. Изучению таких уравнений и посвящена данная работа.

Цель работы. Целью данной работы является изучение разрешимости операторных уравнений вида А(х) = f(x) в банаховых пространствах, где А - линейный сюръективный оператор (главная часть), а / - уплотняющее отображение относительно главной части, и применение доказанных теорем к изучению разрешимости некоторых новых классов дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимы«; из них перечислены в следующем ниже списке.

1. Дано определение и изучены примеры уплотняющих возмущений линейных непрерывных сюръектлвных операторов.

2. Доказаны теоремы о разрешимости операторных уравнений, главной частью которых является линейный непрерывный сюръективный оператор. Получены приложения доказанных теорем к проблеме существования решений задачи Коши для дифференциальных уравнений неразрешенных относительно производной.

3. Дано определение и изучены примеры уплотняющих возмущений

линейных замкнутых сюръективных операторов.

4. Доказаны теоремы о разрешимости: операторных уравнений, главной частью которых является линейный замкнутый сюръективный оператор.

5. Опираясь на доказанные теоремы, исследованы новые классы задач для уравнений нейтрального типа и вырожден ных дифференциальных уравнений.

Методы исследования. В работе использованы методы функционального анализа и дифференциальных уравнений в конечномерном и бесконечномерном банаховом пространстве.

Теоретическая и практическая ценность. Данная работа носит теоретический характер. Представленные в ней результаты могут быть использованы для изучения новых классов операторных и дифференциальных уравнений в конечномерном и бесконечномерном банаховом пространстве.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научной конференции по итогам работы за 2011 г. в Воронежском государственном педагогическом университете, в Воронежских зимних математических школах (2012 г., 2013 г.), на семинаре профессора В.В. Обу-ховского в Воронежском государственном педагогическом университете (2013 г.).

Публикации по теме диссертации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах [1] - [7]. Работы [1], [2] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобриауки РФ. Из совместных работ [1], [6] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на пункты, и списка литературы, содержащего 51 наименование. Объем работы составляет 91 страницу текста.

Краткое содержание диссертации.

Во введении дается краткий обзор работ, близких к теме диссертации, и излагаются основные результаты диссертации.

Первая глава содержит сведения ;п теории замкнутых операторов и уплотняющих отображений необходимые в дальнейшем.

В пункте 1.1 излагаются некоторые свойства замкнутых линейных сюръективных операторов, приводятся примеры вычисления нормы многозначного отображения обратного к замкнутому линейному сюръектив-ному оператору.

Определение 1.2. Число

Р-Ч1 = МГ'Н = < ОС

уб е2 ПУМ

называется нормой многозначного отображения А~х.

В пункте 1.2 коротко сформулированы основные теоремы о неподвижной точке: принцип сжимающих отображений С. Банаха и теорема Ю. Шаудера.

В пункте 1.3 этой главы дается определение меры некомпактности, рассматриваются основные свойства мер некомпактности и примеры мер некомпактности: меры некомпактности Хаусдорфа и Куратовского. Здесь же дается определение «¿-уплотняющего оператора и приводится теорема Б.Н. Садовского (Теорема 1.5) о неподвижной точке уплотняющего отображения.

Вторая глава диссертации посвящена изучению операторных уравнений вида А(х) = f{x), где А - линейный непрерывный сюръективный оператор, а / - уплотняющее возмущение оператора А. Результаты этой главы опубликованы в работах [1], [4].

В пункте 2.1 данной глаЕЫ изучены свойства меры некомнактности индуцированной линейным непрерывным сюръективным оператором.

Пусть Ei, Е2 - банаховы пространства, А : Е\ —> Е% - ограниченный линейный оператор. Пусть в Е^ задана монотонная, несингулярная, алгебраически иолуаддитивная, вещественная, правильная мера некомпактности ф.

Тогда отображение фл : Р{Е\) — R, определенное следующим образом:

фА(П) = ф(А(П))

обладает следующими свойствами:

1. Это отображение является монотонным, то .есть для любых ПиП2 е P{Ei), fii С выполнено неравенство Фа^-х) < Фа^Ь)-

2. Это отображение инвариантно относительно взятия выпуклой оболочки, то есть для любого Q € P(Ei) выполнено равенство фА(0) = Мсо{П)).

3. Это отображение инвариантно относительно взятия замыкания множества, то есть Фа{Щ — Фл{Щ д.гя любого Q е P(Ei).

4. Отображение фА является песччгулярньил. то есть фА{а U fi) = Фа{&) для любых а е Еи П € Р{Е{).

5. Отображение фА является алгебраически полуаддитивпым, то есть фА(П 1 + П2) < фА($1 j) + фА{02) Лиг любых Пь П2 6 Р{Ег).

6. £сли оператор А является сюрьективным, то Фа{®) — 0 тогда и только тогда, когда существует такой компакт К С Е\, что Q С К + Кег(А).

Таким образом, отображение фА является монотонной, несингулярной, вещественной, алгебраически полуаддитивной мерой некомпактности. Однако эта мера некомнактности не является правильной.

В пункте 2.2 этой главы дало определение (Л, ^-уплотняющего отображения.

Определение 2.1. Отображение f : D(f) С Ei Е2 называется (Л, ф)-уплотчяющим, если для любого ограниченного множества Q с £>(/) из неравенства ip(f(Q)) > фА{С}) вытекает равенство фА(д) = 0.

В этом же пункте второй главы рассмотрены примеры (А, ф)-уплотняющих отображений.

В пункте 2.3 доказывается теорема о разрешимости уравнений, содержащих уплотняющие возмущения линейных непрерывных сюръек-тивных опера,торов.

Пусть Ei, Е-2 - банаховы пространства. Пусть А : Ei —* Е2 - ограниченный линейный сюръективный оператор. Пусть в Е2 задана монотонная, несингулярная, алгебраически полуаддитивная, вещественная, правильная мера некомпактности ф. Пусть х0 € Ех - некоторая точка, Яд [.г о] - замкнутый шар радиуса R с центром в х0. f : Вд[х0] —> Е2-непрерывное (А, ^-уплотняющее отображение.

Рассмотрим уравнение

А{х) = j(x). (2.5)

Теорема 2.1. Если существует такое число к > ||Л 1||, что для любой точки х Є Вя[хо| справедливо неравенство

- /(*)|| < р

то уравнение (2.5) имеет решение.

В работе рассмотрено следствие из этой теоремы.

Пусть / : —> Еч - непрерывное (Л, ^-уплотняющее отображение.

Следствие 2.1. Пусть выполнены следующие условия: (г) существуют такие константы с > 0 и сі > 0, что для любой точки х Є Еі справедливо неравенство ||/(ж)|| < с||х|| + д.; (іі)с\\А~Ц |<1.

Тогда уравнение (2.5) имеет, решение.

В заключении главы полученные утверждения применяются для исследования разрешимости одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений, неразрешенных относительно производной.

Третья глава диссертации посвящена исследованию разрешимости и изучению свойств множества решений операторных уравнений, содержащих уплотняющие возмущения замкнутых линейных сюръективных операторов. Результаты этой главы развивают и дополняют результаты исследований, полученных в предыдущей главе. Они опубликованы в работах [2], [3], |5].

В пункте 3.1 данной главы дается определение (Л, з/>)-уплотняющего отображения и вводится понятие подчиненности одного линейного оператора другому замкнутому линейному оператору.

Пусть Ех, Е2 - банаховы пространства, А : В (А) с Ех —» £2 ~ замкнутый линейный сюръективный оператор, Г(Л) С Е1 х Еъ - график оператора Л, і : Г(Л) —♦ Е\ - проекция на область определения оператора Л, то есть Цх, у) — х.

Пусть в задана монотонная, несингулярная, алгебраически полуаддитивная, вещественная, правильная мера некомпактносги ір.

Определение 3.1. Будем говорить, что отображение / : £>(/) С Е\ —» Е2 является (А, -уплот няющим, если:

1) для любого ограниченного множества Г2 с (О(А) П £>(/)) из неравенства ^(Л(П)) < г/»(/(Г!)) следует, что ф(А(0)) = 0;

2) если X — t~1(D(f)), то композиция fot: X -* Е2 является непрерывным отображением.

Пусть Ei, i?2 и Ез - банаховы пространства, А : D(A) С Ei —> Еъ -замкнутый сюръективиый линейный оператор, В : D(B) С. Ei Е3-произвольный линейный оператор.

Определение 3.2. Будем говорить, что оператор В подчинен оператору А, если:

1) D(A) С! D(B);

2) для любого х е D{A) справедливо неравенство ||Л(а:)|| > ||В(.т)||.

В этом пункте ташке рассматривается определение .А-вполне непрерывного оператора.

Пусть отображение g : X с D(A) —< Ео.

Определение 3.3. Будем говорить, что отображение g - вполне непрерывно по модулю отображения А (или А-вполне непрерывно), если оно непрерывно и для любого ограниченного множества Q С E-¿ и любого ограниченного множества М С X множество д(М П A~l(Q)) является компактным в E'¿. Пустое множество по определению считается компактным,

Пусть пространство Е -- это множество D{A) снабженное нормой графика.

Очевидно, что отображение вложения j : Е ~> Е\ является непрерывным. Обозначим X = j~1(X) и рассмотрим отображение g : X —» Е3, = 9(j(x))-

Предложение 3.1. Непрерывное отображение g является А-вполне непрерывным тогда и только тогда, когда отображение g является вполне непрерывным.

Здесь же представлены некоторые примеры отображений, уплотняющих относительно замкнутого линейного сюръективного оператора.

Пример 3.1. Предположим, что оператор В подчинен оператору А, множество X - ограниченное подмножество в D(A) такое, что множество А(Х) также ограничено в Е*. Пусть ip : X х Ез —» Еъ - непрерывное отображение, удовлетворяющее следующим условиям: 1) существует такое число к 6 (0,1), что для любой точки х 6 X и

любых у\, уч € E-i справедливо неравенство

\\<р(х, Ы - Ч>(х,Уг)II < k\\Vi - Í/2II;

2) для любого у е Ез отображение ¡p(-, у) : X Е2 является А-вполне непрерывным.

Рассмотрим отображение / : X —» Е2. /(.т) ==■ ip(x, В(х)). Пусть в пространстве Е2 задана мера некомпактности Хаусдорфа

Предложение 3.2. При сделанных предположениях отображение f является (А, х)-уплотняющим отображением..

Пример 3.2. Пусть А : D(A) С Ei —* En ~ замкнутый сюръективный линейный оператор, оператор В : D{B) С Е\ —► ЕЛ подчинен оператору А. Пусть в пространстве Ео задана мера некомпактности Куратовского а, а множество X является ограниченным подмножеством в D(A) таким, что множество А(Х) также ограничено в Е2. Предположим, что непрерывное отображение fx •. X —* Е\ удовлетворяет следующему условию:

существует тате число к € (0,1), что для любых точек хх, х2 € X справедливо неравенство

ll/i(xi) - ЛЫН < - В(х2) ||.

Пусть /2 : X — ► Еъ - А-вполне непрерывное отображение. Рассмотрим отображение f(x) = fx(B(x)) + /2(ж).

Предложение 3.3. При сделанные предположениях отображение / является (А, а)-уплотняющим отображением.

В пункте 3.2 доказанные теоремы применяются при исследовании разрешимости уравнений с отображениями, уплотняющими относительно замкнутых линейных еюръективиых операторов.

Пусть хо € D(A) - некоторая точка, Вд[.то] С Е\ - замкнутый шар радиуса R с центром в zq. Пусть множество

Р={хе D(A) р|Яд[х0] I Р(*) " Л(*о)Н £

где т некоторое положительное число. Пусть отображение / : Р —> Е2 является (Л, ^-уплотняющим отображением. Рассмотрим уравнение

А(х) = f{x). (3.4)

Теорема 3.1. Если существует такое число I > тах{ ||А_1||, что для любого х Є Р справедливо неравенство

1ИЫ-/(.Г)||< J,

то уравнение (3.4) имеет решение.

Опираясь на эту теорему можно доїшзать следующее следствие. Пусть В : D(B) с Е1 —> Е3 - линейный оператор, подчиненный оператору A,&ip:PxE3—>E2- непрерывное отображение, удовлетворяющее следующим условиям:

1) существует такое число к є (0,1), что для любой точки х Є Р и любых 2/1, т/2 Є Ез справедливо неравенство

\Ых,ух) - ¡р{х,у2)\\ < &||г/1 - Уг\[,

2) для любого у € Е3 отображение ip(-, у) : Р Е2 явмется А-вполне непрерывным.

Следствие 3.3. Если для любой тачки х Є Р существует число

I > тах{\\А~% -} m

такое, что

\\A(xo)-<p{x,B(x))\\<j,

то уравнение А(х) = <р(х,В(х)) имеет решение на множестве Р.

Пусть теперь 9 : fîi х Е3 —> Ег - непрерывное отображение, удовлетворяющее следующим условиям:

1) существует такое число к Є (С, 1), что для любой точки х Є Ех и любых уі,у2 Є Е3 справедливо неравенство

ІМ>,Уі) - ф, у2)|| < - 2/2 i j ;

2) для любого у Є Е3 отображение <р{-, у) : Ег -+ Е2 является А-вполне непрерывным.

Рассмотрим отображешіе / : D{A) — 2%, f{x) = <р(х, В(х)). Пусть в пространстве Е? задана мера некомпактности Хаусдорфа Рассмотрим следующее уравнение:

А(х}^<р(х,В{х)). (3.5)

Теорема 3.2. Если существуют такие константы 7 > 0 и р > О, что для любой точки х е Е\, у € £3 справедливо неравенство

1И*,!/)П< 7(11*11+ 1М1) + 0

и произведение

7(||А-1|| + 1)<1.

Тогда уравнение (3.5) имеет решение.

В четвертой главе полученные теоремы применяются для изучения разрешимости некоторых классов уравнений нейтрального тина. В ней так же как и во второй главе исследуется существование локальных и глобальных решений и рассматривается абстрактная модель уравнений такого вида. Также в этой главе рассматривается задача существования локальных решений для одного класса вырожденных дифференциальных уравнений. Результаты этой главы опубликованы в работах [6], [7].

Пункт 4.1 четвертой главы рассматривает проблему существования локальных решений для одного класса уравнений нейтрального типа. Пусть [0, т] отрезок чистовой прямой.

Определение 4.1. Функцию а : [0, г] —» [0,т] будем называть допустимой, если:

1) функция а непрерывна;

2) для любого £ € [0, т] значение а(Л) < Ь.

Пусть д : [0, т] х К" х М" -> Е" отображение, удовлетворяющее следующим условиям:

(д1) отображение д непрерывно по совокупности переменных;

(д2) существует такое число к € (0,1).- что для любых 4 е [0,г],

х € К" и у\, 2/2 € К" справедливо неравенство

||д(г,х, ?л) - д{1, х, £Г2)|| < к\\У1 ~ У2II-

Пусть аир- допустимые функции, рассмотрим следующую задачу:

х'{{) == д{Ь,х(а(1)),х'Фт- (4-1)

я(0) = 0. (4.2)

Опираясь на теорему 3.1 доказывается следующая теорема о существовании локальных решений задачи (4.1), (4.2).

Теорема 4.1. Пусть отображение д удовлетворяет условиям (д1) и (д2), тогда существует такое число ко Є (0, т], что задача (4-1), (4-2) имеет решение на промежутке [0,/го].

В пункте 4.2 данной главы изучается проблема существования глобального решения следующей задачи:

где Л, ¡1: [0, т] —> [0, т] - произвольные непрерывные функции.

Отображение д : [0, т] х Е" х М" —» К" такое же, как и в предыдущем пункте.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 4.2 Если существуют такие константы р > 0 и в > О, что для любого і Є [0, г] и любых функций х,у Є С|оіТ] справедливо неравенство

и произведение р(т + 1) < 1. Тогда задача (4-4), (4-5) имеет решение на промежутке [0, г].

Пункт 4.3 посвящен рассмотрению абстрактной модели уравнений нейтрального типа.

Пусть Е\, Е2, Е'2, Ез - банаховы пространства, А : О (А) С Е\ —» Еъ -замкнутый еюръективный линейный оператор, ./ : £2 —> Е2 - непрерывный сюръективный линейный оператор, удовлетворяющий следующему условию:

(Л) существует линейный непрерывный оператор <3 : Е2 —> Е% такой, что для любого г Є Е2 выполнено равенство ,]{С2{г)) = г.

Пусть В : О {В) С Еі —► - замкнутый линейный оператор, подчиненный опера,тору А.

Пусть ір : Е\ х Ез Е', - непрерывное отображение. Будем предполагать, что отображение ір удовлетворят следующим условиям: (ірі) для любого г Є Ез отображение <${•, г) : Е\ Е2 является А-вполне непрерывным;

х(0) = о,

(4.4)

(4.5)

(<р2) существует число к € (0> |щ) такое, что для любого х е Е\ и любых ¿1, г2 € справедливо неравенство

\Ых,гЛ) - <р{х,г2)\\ < Афх - г2\\.

Нас будет интересовать разрешимость следующего операторного уравнения:

.1(А(х))=ф,В(х)). (4.7)

Нетрудно заметить, что любое решение уравнения

А(х) ==д(ф,В(х)) (4.8)

является решением уравнения (4.7). Пусть в пространстве Е2 задана мера некомпактности Х- Имеет место следующая теорема.

Теорема 4.3. Пусть выполнены все сделанные предположения. Если существуют такие константы -у > 0 и /? > 0, что для любых х € Е\ и г € Ез справедливо неравенство

1И®,2)||<7(1М1 + 1И1) + Д

и неравенство

цд||7(1И-1п + 1)<1.

то уравнение (4-7) имеет решение.

В заключении главы е пункте 4.4 изучается проблема существования решения для одного класса вырожденных дифференциальных уравнений.

Пусть Е\, Е7) Ез - банаховы пространства, А : О (А) с Е\ —► Е2 -замкнутый линейный сюръективный оператор, В : 0(В) С —> Е3 -линейный оператор, подчиненный оператору А. Пусть хо € О {А) - некоторая точка, Вя[яо] - замкнутый шар радиуса Й с центром в точке го-Рассмотрим вполне непрерывное отображение : [0,Т] х Вц[хо] —» Е2 и непрерывное отображение /о : [О, Т] х Ез —* Е2, являющееся липшице-вым по второму аргументу, то есть существует число т > О такое, что для любого I € [О, Т\ и любых х, у € Ез выполнено неравенство

Ш1,х)~ Ш,у)\\<т\\х~у\\.

Рассмотрим следующую задачу:

(Ax(t)y = Mt,z(t)) + Mt,Bx(t)), А(аг(0» = Ах0.

(4.9) (4.10)

Справедлива следующая теорема:

Теорема 4.4. При сделанных предположениях существует число Ло > 0 такое, что задача (4-9),(.{.10) имеет решение на промежутке [0, /г0].

Публикации автора по теме диссертации.

[1] Кглабухова С.Н. Об уплотняющих возмущениях линейных сюръ-ективных операторов/ Б.Д. Гельман, С.Н. Калабухова// Вестник ВГУ, серия: физика, математика. - 2011. - №1, - С. 120-127.

[2] Калабухова С.Н. Об отображениях, уплотняющих относительно замкнутого оператора/ С.Н. Калабухова// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические пауки. - 2011. - Т.16. - Вьш.4.

- С. 1092-1094.

[3] Калабухова С.Н. Об отображениях, уплотняющих относительно замкнутого оператора/ С.Н. Калабухова// Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ "Понтрягинскне чтения - XXIIя.-Воронеж: Издательство ВГУ. - 20.11. С. 77-78.

[4] Калабухова С.Н. Об уравнениях с (А/ф)- уплотняющими отображениями/ С.Н. Калабухова// Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы ВЗМШ. - Воронеж: Издательство ВГУ. -2011.-С. 156-157.

[5] Калабухова С.Н. Об (А, ф)- уплотняющих отображениях/ С.Н. Калабухова// Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна -2012: материалы международной конференции / под ред. В.А. Костина.

- Воронеж: Издательство ВГУ. - 2012. - С. 88-91.

[6] Kalabukhova S.N. On Condensing Perturbatkms of Closed Linear Surjective Operators/ B.D. Gel'man, S.N. Kalabukhova// Global and Stochastic Analysis. - 2012. - Vol.2, №1, ISSN 2248-9444.

[7] Афонина (Калабухова) С.Н. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений/ С.Н. Афонина (Калабухова)// Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы ВЗМШ. - Воронеж: Издательство ВГУ. - 2013. - С. 19-20.

Работы [1], (2] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано в печать 18.04.2013. Формат 60x84 1/16. Печать трафаретная. Гарнитура "Тайме". Усл. печ. л. 1. Уч.-изд. л. 0,93. Заказ 142. Тираж 100 экз.

Федеральное государсгвеикое бюджетное образовательное учреждение высшего про<}>е<хчгакального образования "Воронежский государственный педагогический университет". Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии университета. 394043, г. Боронене, ул. Лсншга, 86. Тел. (473) 255-58-32, 255-61-83.

Научное издание Афонина Светлана Николаевна Об уплотняющих возмущениях сюръектнвных операторов

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на отекание ученой степени кандидата физяко-математических наук

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Афонина, Светлана Николаевна, Воронеж

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

04201356898

АФОНИНА СВЕТЛАНА НИКОЛАЕВНА ^Ч

ОБ УПЛОТНЯЮЩИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ СЮРЪЕКТИВНЫХ ОПЕРАТОРОВ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Гельман Б.Д.

Воронеж - 2013

Содержание

Основные обозначения 4

Введение 6

1 Необходимые сведения 25

1.1 Сюръективные операторы. Основные свойства....... 25

1.2 Теоремы о неподвижных точках............... 32

1.3 Меры некомпактности и уплотняющие отображения .... 34

2 Уплотняющие возмущения линейных непрерывных сюръ-

ективных операторов 37

2.1 Мера некомпактности индуцированная линейным непрерывным сюръективным оператором............. 37

2.2 Уплотняющие возмущения линейных непрерывных сюръ-ективных операторов...................... 40

2.3 О разрешимости уравнений с линейными непрерывными сюръективными операторами................. 44

2.4 О локальных решениях дифференциальных уравнений неразрешенных относительно производной........... 47

2.5 О глобальных решениях дифференциальных уравнений неразрешенных относительно производной ............ 52

3 Уплотняющие возмущения линейных замкнутых сюръ-

ективных операторов 55

3.1 Уплотняющие возмущения замкнутых сюръективных операторов ............................. 55

3.2 Уравнения с {А, ^-уплотняющими отображениями .... 63

4 О некоторых приложениях в теории дифференциальных

уравнений 68

4.1 О существовании локальных решений для одного класса уравнений нейтрального типа..................................68

4.2 О глобальных решениях уравнений нейтрального типа . . 75

4.3 Абстрактная модель уравнений нейтрального типа..........78

4.4 Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений ............................................................80

Список литературы 84

Основные обозначения

Е - банахово пространство.

Р(Е) - множество всех непустых подмножеств в Е.

Cv{E) - множество всех непустых замкнутых выпуклых подмножеств в

Е.

Прописными буквами х, у. z, s, i в работе обычно обозначаются произвольные точки банахова пространства, а заглавными буквами Q, К, L, М, X, Y, S, N, Р, Т - подмножества банахова пространства. co(Q) - выпуклая оболочка множества Q. Q - замыкание множества Q.

cd(Q) - замыкание выпуклой оболочки множества Q. Q - частично упорядоченное множество.

С[аМ - пространство непрерывных вектор-функций, определенных на отрезке [а, 6] со значениями в банаховом пространстве Е. Однозначные отображения в диссертации всегда обозначаются прописными буквами /, ф, q, д, р, ip, </>, j.

Заглавными буквами А, В, К, V в работе обычно обозначаются линейные операторы.

Г(А) = {(х,у) \х G D(A), у = С Ег х Е2 - график линейного

оператора А : D{A) С Е\ —> Е^.

D(A) - область определения линейного оператора А.

D(f) - область определения отображения /.

||ж||с = ||a;||i + с||А(а;)||2 - норма графика в множестве D(A).

Кег(А) = D(A) | А{х) — 0} - ядро оператора А.

х(П) = inf{e | £ > 0, П имеет конечную £ —сеть } - мера некомпактности

Хаусдорфа.

а(Г)) = т£{сI | с? > 0, ^ = и <Иат{Г^) < п е ЛГ} - мера неком-

¿=1

пактности Куратовского.

Если хо € Е - некоторая точка, то Вц [.то] - замкнутый шар радиуса Я с центром в точке

Прописными буквами г, 5, 77, к, I, т, с, с?, г, 7, ¡3 в работе обычно обозначаются некоторые числа.

£ : Г (А) —>• Е\ - проекция на область определения оператора Л, то есть г(х,у) = х.

[О, г], [а, Ъ} ~ отрезки числовой прямой.

Введение

Теория уплотняющих отображений представляет собой теорию операторов, свойства которых можно охарактеризовать как промежуточные между свойствами сжимающих и вполне непрерывных отображений. Впервые операторы такого типа были рассмотрены в работах М.А. Красносельского [28] и С. БагЬо [39].

Теория мер некомпактности и уплотняющих операторов нашла различные применения в общей топологии, обыкновенных дифференциальных уравнениях, функционально-дифференциальных уравнениях, уравнениях в частных производных, теории экстремумов функционалов и так далее.

Существенное место в теории уплотняющих отображений занимает исследование неподвижных точек, которые в различных задачах могут интерпретироваться как решения некоторых классов дифференциальных уравнений.

Свойства мер некомпактности изучались К. Куратовским, А. АтЬго-веи1, М. Рип, А. \^поН, 11.0. МизэЬаит, Б.Н. Садовским, Ю.Г. Борисовичем, Ю.И. Сапроновым и многими другими.

Мера некомпактности а была впервые рассмотрена К. Куратовским [48] (см. также [30]), а мера некомнактности х впервые использовалась в работах Л .С. Гольденштейна, И.Ц. Гохберга и A.C. Маркуса [19], [20] и в работе Б.Н. Садовского [32].

Общее определение меры некомпактности предложено Б.Н. Садовским в [33], [36]. Там же изучен ряд примеров мер некомпактности в локально выпуклых пространствах. Ю.Г. Борисович и Ю.И. Сапронов [11] предложили иное общее определение. Интересные результаты, относящиеся к общему определению меры некомпактности, получены В.А. Бондаренко [7].

Понятие (к, ^-ограниченного оператора введено и изучено G. Darbo [39] (под названием "k-set-contraction"). Б.Н. Садовским введено понятие х-уплотняющего оператора [32] и общее определение уплотняющего оператора [33]. М. Furi и А. Vignoli ввели понятие а-уплотняющего оператора в метрическом пространстве [42].

Различные примеры уплотняющих операторов, связанных с дифференциальными уравнениями, изучены А. Ambrosetti [37], [38], Б.Н. Садовским [34], [35] (см. также [1], [6], [31]), П.П. Забрейко и И.Б. Дедовской [22], В.М. Герштейном [18], R.D. Nussbaum [49], [50].

В Воронеже изучение уплотняющих отображений было начато работой Б.Н. Садовского [32] в 1967 г. В дальнейшем изучением уплотняющих отображений в Воронеже занимались Б.Н. Садовский. Ю.Г. Борисович, Ю.И. Сапронов. Р.Р. Ахмеров, А.Е. Родкина, A.C. Потапов, М.И. Каменский, В.В. Обуховский и многие другие.

В результате изучения уплотняющих отображений были опубликованы монографии [4] и несколько обзоров [3]. [5]. В 1980 г. был опубликован обзор Б.Н. Садовского "Уплотняющие операторы", который в библио-

графии содержал 426 источников.

Отметим также работы, связанные с обобщением понятия уплотняющего отображения на случай многозначных отображений. В Воронеже изучением таких отображений занимались В.В. Обуховский, его ученики и М. И. Каменский. Эти работы были подытожены в монографии В.В. Обуховского, М.И. Каменского и Р. Zecca [47].

В 70-х годах прошлого века появились работы, посвященные изучению уплотняющих возмущений некоторых непрерывных однозначных отображений. Этим вопросам были посвящены работы G. Hetzer, Ю.Г. Борисовича, В.Т. Дмитриенко, В.Г. Звягина (см., например [8], [9], [21], [44], [45]). В них изучалась гомотопическая классификация таких возмущений и на этой основе строились новые топологические инварианты. Отметим работу [44] (и другие работы этого автора) в которой изучались возмущения, у которых главной частью являлся линейный фредгольмов оператор.

С другой стороны, в 1997 г. появилась работа В. Ricceri [51], посвященная изучению компактных возмущений линейных непрерывных сюръек-тивных операторов. В дальнейшем в работах Б.Д. Гельмана рассматривались липшицевы и вполне непрерывные возмущения замкнутых линейных операторов и рассмотрены приложения полученных теорем к проблеме разрешимости операторных уравнений и включений [12], [13], [16].

Естественно возникает идея изучить уравнения, главной частью которых является замкнутый линейный сюръективный оператор А. а отображение / является уплотняющим относительно этого оператора. Заметим также, что в этом случае гомотопическая классификация, построенная в работах [8], [9], [21], [44], [45], оказывается неприменимой. Изучению этих вопросов и посвящена данная работа.

Цель работы. Целью данной работы является изучение разрешимости операторных уравнений вида А(х) = /(х) в банаховых пространствах, где А - линейный сюръективный оператор (главная часть), а / - уплотняющее отображение относительно главной части, и применение доказанных теорем к изучению разрешимости некоторых новых классов дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем ниже списке.

1. Определена и изучена мера некомпактности в банаховом пространстве индуцированная линейным непрерывным оператором.

2. Дано определение и изучены примеры уплотняющих возмущений линейных непрерывных сюръективных операторов.

3. Доказаны теоремы о разрешимости операторных уравнений, главной частью которых является линейный непрерывный сюръективный оператор. Получены приложения доказываемых теорем к проблеме существования решений задачи Коши для дифференциальных уравнений неразрешенных относительно производной.

4. Дано определение и изучены примеры уплотняющих возмущений линейных замкнутых сюръективных операторов.

5. Доказаны теоремы о разрешимости операторных уравнений, главной частью которых является линейный замкнутый сюръективный оператор.

6. Опираясь на доказанные теоремы, исследованы новые классы задач для вырожденных дифференциальных уравнений и уравнений нейтрального типа.

Методы исследования. В работе использованы методы функцио-

нального анализа и дифференциальных уравнений в конечномерном и бесконечномерном банаховом пространстве.

Публикации по теме диссертации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах [2], [17], [23], [24], [25], [26], [43]. Работы [17], [23] опубликованы в российских журналах, входящих в список ВАК Мино-брнауки России рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций. Все результаты включенные в диссертацию из совместных работ [17], [43] получены лично автором.

Краткое содержание диссертации.

Первая глава содержит сведения из теории замкнутых операторов

и уплотняющих отображений необходимые в дальнейшем.

Определение 1.2. Число

НА-1!! = Иг'н = ('п{{1М1 |жеДь <

11У11

называется нормой многозначного отображения А(см. [23]).

В этом же пункте дано определение вполне непрерывного отображения и рассмотрены некоторые их свойства.

В пункте 1.3 этой главы дается определение меры некомпактности, рассматриваются основные свойства мер некомпактности и примеры распространенных мер некомпактности: меры некомпактности Хаусдорфа и меры некомпактности Куратовского. Здесь же дается определение ф-уилотняющего оператора и приводится теорема Б.Н. Садовского (Теорема 1.5) о неподвижной точке уплотняющего отображения.

Вторая глава диссертации посвящена разрешимости операторных уравнений вида А(х) = /(х), где А - линейный непрерывный сюръектив-ный оператор, а / - уплотняющее возмущение оператора А. Результаты этой главы опубликованы в работах [17], [24].

В пункте 2.1 данной главы изучены свойства меры некомпактности индуцированной линейным непрерывным сюръективным оператором.

Пусть Е\, Е2 - банаховы пространства, А : Е\ —»■ Еч - ограничен-

ный линейный оператор. Пусть в Е2 задана монотонная, несингулярная, алгебраически полуаддитивная, вещественная, правильная мера неком-нактности ф.

Тогда отображение Фа '• Р{Е\) ~^ определенное следующим образом:

фА(П) = ф{А{П))

обладает следующими свойствами:

1. Это отображение является монотонным, то есть для любых

€ Р{Е\), С О2 выполнено неравенство Фа(& 1) < Фа(^2)-

2. Это отображение инвариант,но относительно взятия выпуклой оболочки, то есть для любого О, Е Р{Е\) выполнено равенство фА(&) = Фа(со(П)).

3. Эт,о отображение инвариантно от,носит,ельно взятия, замыкания множества, то есть Фа{&) = Фа{для любого О Е Р(Е{).

4. Отображение Фа является несингулярным, то есть Фа{& и £1) = Фа{Щ для любых а Е Е\, О, Е Р(£х)-

5. Отображение Фа являет, ся, алгебраически полу аддитивным, то ест,ь Фа(& 1 + ^2) < Фа(^\) + Фа{&2) для любых £ Р{Е\)-

6. Если оператор А является сюръективным, то Фа{&) = 0 тогда и только тогда, когда существует такой компакт К С Е\, что О, С К + К ег{А).

Таким образом, отображение Фа является монотонной, несингулярной, вещественной, алгебраически полуаддитивной мерой некомпактности. Однако эта мера некомпактности не является правильной.

В пункте 2.2 этой главы дано определение (А, ^-уплотняющего отображения.

Определение 2.1. Отображение / :£>(/) С Е\ —> 1?2 называется (А, ф)-уплотняющим, если для любого ограниченного множества С} С £)(/) из неравенства > Фа{Я) вытекает равенство Фа{Я) = 0.

В этом же пункте второй главы рассмотрены примеры (А, ф)-уплотняющих отображений.

Пример 2.1. Пусть X - ограниченное подмножество в Е\, А : Е\ —у Е2 - ограниченный линейный оператор. Пусть Д : X —> Е2 ~~ непрерывное отображение, удовлетворяющее следующему условию: существует такое число к £ (0,1), что для любых точек х\,х2 £ X справедливо неравенство

11/16*1) - ЛМН < к\\А(Х1) - А(х2)\\, (2.1)

то есть /1 является Л-сжимающим отображением.

Пусть /2 : X —> Е2 ~ вполне непрерывное отображение. Рассмотрим отображение / = /1 + /г- Пусть в пространстве Е2 задана мера некомпактности Куратовского а.

Предложение 2.2. При сделанных предположениях отображение / является (А, а)-уплотняющим отображением.

Пример 2.2. Пусть А : Е\ —>■ Е2 - непрерывный линейный сюръек-тивный оператор. X - ограниченное подмножество в д : X х Е2 —»• Е2 - непрерывное отображение, удовлетворяющее следующим условиям: (1) существует такое число к £ (0,1); что для любой точки х £ X и любых 2/1, г/2 € Е2 справедливо неравенство

II9(х,уг) - д(х,у2)\\ < к\\уг - у21|;

(2) для, любого у £ Е2 отображение д(-,у) : X —>• Е2 является вполне непрерывным.

Рассмотрим отображение / : X —> Е^., /(х) = д(х, А(х)). Пусть в пространстве Е^ задана мера некомпактности Хаусдорфа х-

Предложение 2.3. При сделанных предположениях отображение / является (А, х)~УпЛотняюЩим отображением.

В пункте 2.3 доказывается теорема о разрешимости уравнений, содержащих уплотняющие возмущения линейных непрерывных сюръек-тивных операторов.

Пусть Е\, Е2 - банаховы пространства. Пусть А : Е\ —> Е2 - ограниченный линейный сюръективный оператор. Пусть в Е2 задана монотонная, несингулярная, алгебраически полуаддитивная, вещественная, правильная мера некомпактности ф. Пусть хо £ Е\ - некоторая точка, ВЕ[х0] - замкнутый шар радиуса Я с центром в хо, / : Вц[хо] —> Е^ -непрерывное (А, -0)-уплотняющее отображение. Рассмотрим уравнение

Теорема 2.1. Если существует такое число к > ||А что для любой точки х £ Вц[хо] справедливо неравенство

то уравнение (2.5) имеет решение.

В работе рассмотрено следствие из этой теоремы. Пусть / : Е\ —» Е2 - непрерывное (А, -0)-уплотняющее отображение. Следствие 2.1. Пусть выполнены следующие условия: (г) существуют, такие констант,ы с > 0 и д > 0. чт,о для любой точки х £ справедливо неравенство ||/(ж)|| < с||гг|| + й; (гг) с\\А~1\\ < 1.

Тогда уравнение (2.5) имеет решение.

А{х) = !{х).

(2.5)

В пункте 2.4 исследуется проблема существования локальных решений.

Пусть <р : [а,Ь] х 1" х К" Мп отображение, удовлетворяющее следующим условиям:

(>р1) отображение (р непрерывно по совокупности переменных; ((р2) существует такое число к £ (0,1). что для любых £ € [а,6]; х £ К?г и у\, у2 £ М"' справедливо неравенство

Теорема 2.2. Пусть отображение <р удовлетворяет, условиям (<р1) и ((р2), тогда существует такое число /?,о Е (0,6 —а], что задача (2.7), (2.8) имеет решение на промежутк�