Обобщенные динамические задачи термоупругости для массивных тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

а Ь Я Я

I

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КОТЕНКО НИНА ВЛАДОМРОВНА

ОБОБЩЕННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ МАССИВНЫХ ТЕЛ

01.02.04 - механика твердого деформируемого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара - 1992 г.

Работа выполнена на кафецре дифференциальных уравнений Черновицкого ордена Трудового Красного Знамени государственного университета им.Ю.Федьковичэ.

Научный руководитель - кандидат физико-математических

наук, цоцент Ленюк М.П.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Чебан В.Г.

доктор технических наук, профессор Сеницкий Ю.Э.

Ведущая организация: Львовский институт прикладных проблем механики и математики

Защита состоится "<3$ " 1992 года в

часов на заседании специализированного совета К 063.94.01 по присуждению учено}4 степени кандидата физико-математических ятук' в Самарском государственном университете по адресу: 443011, Самара, ул.ак.Павлова, I.

С дгссергацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного университета.

Автореферат разослан 992 г.

Ученый секретарь

специализированного

совета, канд.физ.-

мат наук, доцент

А.Ф.Федечев

■ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИК РАБОТЫ

Г - •

- -ртлц^н (

.^^абЬта посвящена решению в рамках хлессическпй и обобщенной термомеханшш связанные и несвязанных динамических задач термоупругости для массивных тел, находящихся в условия:- высокоинтенсивного неравномерного нагрева.

Актуальность темы. Прогресс, достигнутый во многих областях науки и техники, тесно связан с исследованиями теоретических и прикладных проблем взаимодействия различных тел и полей. Это вызвано тем, что некоторые элементы современных конструкций подвергаются интенсивному воздействию термических и механических возмутцений, а возникающие при этом напряжения могут достигать значительной величины и, как известно, приводить л раэруше-ни:;. Поэтому возникает необходимость в развитии (в рамках обобщенной термомеханики) связанной теориг термоунругости, учитывающей тот факт, что в реальном теле поля деформаций и температурные поля взаимосвязаны.

Высокие требования, предъявляемые при разработке новых конструкций, устойчиво и надежно работающих в условиях высокоинтенсивного неравномерного нагрева, привели к широкому исследованию нестационарных температурных напряжений с учетом инерционных эффектов. 5ти обстоятельства выдвигают необходимость разработки эффективных математических моделей исследования различных полей и дальнейшее развитие аналитических и численных методов построения для всех значений времени решений поставленных при этом взаимосвязанных и несвязанных динамических задач (мало изученных или почти не изученных) термоупру!ост-* с5 гсгломеханики.

В основном это касается наиболее распространенных в практике как однородных, так и кусочно-однородных элементов конструкций и массивных симметричных тел.

Целью работы является построение в рамках обобщенной термомеханики в замкнутой форме точных решений связанных динамических задач термоупругости для массивных тел с плоскопараллельными границами, несвязанных динамических задач термоупругости для массивных симметричных тел и кусочно-однородных симметричных объектов. Изучение влияния физико-механических факторов на структуру термоупругих полей, возникающих в результате осуществления на

границе рассматривал«« объектов теплового удара как для классической, так и для обобщенной термомеханики.

Методика исследования. Для построения точных решений обобщенных взаимосвязанных и несвязанных динамических задач термоупругости рассматриваемых тел используется метод фундаментальных функций (главных решений). Аппаратом построения главных решений служат интегральные преобразования. При наличии в краевых условиях производной по времени используется операционное исчисление.

Научная новизна диссертационной работы заключаемся в следующем:

1) Решена и исследована обобщенная связанная динамическая одномерная задача термоупругости для пространства с помощью фундаментальной матрицы решения задачи Коши для строго гиперболической

по И.Г.Петровскому, инвариантной относительно группы вращений вокруг начала отсчета взаимосвязанной системы уравнений для температуры и напряжения, построенной методом интегрального преобразования Фурье.

2) Получены точные решения обобщенных связанных динамических задач термоупругости для упругого полупространства и бесконечной плиты, а также решения соответствующих обобщенных несвязанных динамических и динамических задач термоупругости.

3) Построены методом фундаментальных функций для всех значений времени и исследованы решения обобщенных несвязанных динамических задач термоупругости для сплошных симметричных тел и пространства с симметричной полостью. Также построено точное решение обобщенной несвязанной динамической задачи термоупругости при наиболее общих предположениях с точки зрения обобщенной термомеханики для полых симметричных тел.

4) Решены операционным методом обобщенные несвязанные динамические задачи термоупругости для кусочно-однородного пространства, обладающего симметрией и кусочно-однородного пространства с симметричной полостью.

5) Исследовано влияние физико-механических факторов на структуру термоупругих полей, возникающих в результате осуществления на границе рассматриваемых объектов теплового удара.

Достслерность полученных результатов определяется применением математически обоснованных и апробированных методов исследова-

ния и обеспечивается строгостью математических выкладок. В предельных и частные случал": основные результаты работы согласуются с известными результатами классической и обобщенной термомеханики.

Практическая цен;- ;гь полученных результатов состоит в том, что они могут быть использованы г инженерных расчетах на прочность, надежность, долговечность и устойчивость как однор' ;!гых, так и кусочно-однородных элементов конструкций, находящихся в условиях бысокоинтснсивного неравномерного нагрева.

На защиту выносятся:

1. Решение и исследование обобщенной связанной динамической одномерной задачи термоупругости для упругого изотролгого пространства.

2. Точные решения обобщенных связанных динамических задач термоупругости для упругого полупространства и бесконечной плиты, а также решения соответствующих обобщенных несвязанных дчнами-ческих и динамических задач термоупругости.

3. Построение в замкнутой форме методом фундаментальных функций для всех значений времени и исследование решений обобщенных несвязанных динамических задач термоупругости для сплошных и полых симметричных тел и пространства с симметричной полостью.

4. Решение операционным методом обобщенных несвязанных динамических задач термоупругости для кусочно-однородного пространства, обладающего симметрией и кусочно-однородного пространства

с симметричной полостью.

5. Исследование влияния физико-механических факторов на структуру термоупругих полей, возникающих в результате осуществления на границе рассматриваемых объектов теплового удара.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на: ХУ научном совещании по тепловым напряжениям в элементах конструкций (Канев,1980); П Всесоюзной конференции "Термодинамика необратимых процессов и ее применение" (и°рновцы,1984); научно-технической конференции "Роль вычислительного эксперимента при исследовании физико-химических процессов" (Ивано-Франковск,1987); научном семинаре отдела термоупругости института механики АН УССР (Киев,1987); научных семинара:. кафедры прикладной математики и механики и кафедры дифференциальных уравнений Черновицкого госуниверситета (Черногцы, 1988,1990); научном объединенном семинаре отделов теории физи-

ко-механических полей и термомеханики Института прикладных проблем механики и математики АН УССР (Львов,1991); Ш Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур (Львов,1991)•

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 17 печатных работ. '

Объем и структура работы. Работа выполнена на 182 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и заключения. Включает в себя 3Ь рисунков, 2 таблицы и список литературы из 112 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, определена цель работы, изложена новизна полученных результатов, которые выносятся на защиту. Проводится краткий обзор исследований по вопросам, касающимся темы д юсертационной работы.

В первой главе, состоящей из четнрех параграфов, в рамках обобщенной термомеханики проведен анализ основных краевых задач для связанной системы уравнений термомехачического равновесия в одномерной постановке для тел с плоскопараллельными границами :

^г2 'Ь^2 Ъ'Х.2- ц-х- 5

^ * + ^ - ^ * (I)

Здесь^ = (%- коэффициент связанности механиче-

Ср

ского и температурного полей, , <2р - изобарическая

п (-тг V

теплоемкость, С^- объемная теплоемкость, коэффициент Пуассона , С= - скорость распространения волн расширения в упругой среде, - модуль сдвига, ^ - удельная плотность материала,*^- \о_Т{"1' - скорость распространения тепла, й- =.

- ^ р - коэффициент температуропроводности, > - коэффициент теплопроводности, Тг~ время релаксации теплового потока, -время, •ас - прямоугольная декартовая координата, 6* - напряжения в декартовых координатах,Т - темпера тура, ^

- плотность массовых сил, - температурный коэффициент расширения изотропного тела.^.йЛ 6Осух) , -

плотность тепловых источников, непрерывно распределенных вдоль тела с плоскопарэллельнмш границами.

Отсюда при "5 = О имеем обобщенную несвязанную динамическую систему уравнений термоупругости.

То,что система (I) является строго гиперболической по И.Г.Петровскому, инвариантной относительно группы вращений вокруг начала отсчета декартовой системы координат, дало возможность построить методом интегрального преобразования Фурье по геометрической переменной фундаментальную матрицу решений задачи Коши, Наличие последней позволяет выписать точное решение обобщенной связанной динамической задачи термоупругости для одномерного пространства в виде:

ЯГ & А) - ^ Сс,х-1) (!) + ^ ^ С!)] оЦ

СО

(2)

оо

По идентичной формуле записываются точные решения первой краевой задачи для упругого полупространства и неограниченной плиты при наиболее общих с точки зрения обобщенной термомеханики предположениях.

Если граница упругого объекта (полупространство, плита) подвергается воздействию теплового потока либо через границу упругого объекта осуществляется теплообмен с внешней средой по закону Ньютона, то решения обобщенных связанных динамических задач термоупругости строятся в замкнутой форме методом интегрального преобразования Лапласа по временной переменной.

Для выяснения влияния коэффициента связанности и конечной скорости распространения тепла С ^ на структуру термоупругих полей приведены решения связанных и несвязанных динамических

— со

задач терчоуиругости.

В качестве примера р'-члизаци- полученных расчетных формул приведен случай, когда упругое пространство в начальный момент времени находится при нолевой температуре и в ненапряженном состояний, мзссов1 'нш; отсутствуют, а плотность тепловых источников = е"1*" о^СтгУ

На ЭВМ ЕС-1045 г -считаны распределения обобщенных динамических ч дюпг'ических терм~упругих полей для пространства из меди =0,168-Ю-1), алюминия (М=2,1, ^ =0,35Р- 1ГГ1), свинца (1Ы.37, ^ =--и,733~Ь, стали (М=4,8, } =0,114'ТО-1) я зависимости от безразмерной координаты тс при фиксп -иашюм значен.ж безразмерного времени Т =1. Построены граф. ки полученных распределений.

Численны пасчеты показывают:

1. Под воздействием тепловых источников в рассматриваемом пространстве возникают сжимающие обобщенные динамические и динамические .напряжения, к "-горне при движении вглубь пространства стремятся к нулю.

2. Учет эффекта связанности практически не влияет на величину сжимающих обобщенных динамических и динамических напряжений.

3. Значения сжимающих напряжении ггри учете конечной скорости распространения тепла (М=1,37; 2,1\ 4,8) меньше по величине соответствующих значении напряжений при ее бесконечном значении.

4. Благодаря превращению упругой энергии в тепловую обобщенная нестационарная температур." при дви-еяии вглубь пространства убывает к нулю медленнее, чем нестационарная температура, причем учет аффекта связанности не оказывает практического влияния на значенгя обобщенной нестационарно!'; и нестационарной температур.

5. С ростом М от 1,37 до 4,8 происходит уменьшение максимального значения обобщенной нестационарной температуры. При этом максимальное значение температуры в предположении, что скорость распространения тепла бесконечно большая на порядок 10-10г меньше максимального значения температуры при учете конечной скорости распространения тепла.

6. Время нагрева поверхности пространства, соответствующее фиксированному значению безразмерного времени ^ =1, имеет значения: для меди Ч: =0,65>Ю сек, свинца Ч. =0,21-[С^сек, алюминия

X =0,26-1СГ^сек, стали =3,6-Ю-** сек. Значения безразмер-

ной координаты "X. =1 соответственно , шны: =0,24-10 'гл, = =7,8-10""7М, 1 =0,21-Ю"7М, |=3,1-1и 7М.

Вторая глава состоит из четырех параграфов и посвящена математической постановке и описанию решений основных несвязанных задач обобщенной термомеханики для сплошных и полих симметричных тел, а также для однородного пространства с симметричной полостью. Решение этих несвязанных задач сводится к последовательному определению структуры температурного поля и возникающих при этом полей перемещения и напряжения.

Для определения структуры температурного поля в однорогих изотропных телах, обладающих симметрией,надлежит проинтегрировать гиперболическое уравнение теплопроводности

1 /V. . ¿¿И "Э^т- -СГт Л

а^г+ (3)

При этом граничное условие имеет виц

Для определения отличной от тождественного ноля компоненты Ц. вектора перемещения приходим к интегрированию уравнения:

+ ^ЬА2'- ±- = ГУ, ^

чэг2- г. ъг. ' ъ2- с2 ъг.'

Если поверхность тела свободна от внешней негрузки, то на

границе Г тела выполняются условия

г. Яр т ^Г ' ■ (6)

Отличные от тождественного поля компоненты тензора напряжения 6" определяются по правилам:

Здесь = , 6'2г <54^ , 6*ъь = для центральной

симметрии С с4- Уг ) и б"гг для оселой симметрии ( сЛ. =

=0).

Сформулированные выше краевые задачи сводятся к решению

плссйпага.т.юго волнового уравнения Весселя р2 ^и рЪ_ _ ¿4 . с Г- V \ (8)

по начальным условиям

^и-с-^С^), (9)

и краевому условию (4) т границе тела.

Решения задачи (8),(9),(4) для случаев возможного изменения рэциа/глюй переменной ъ ("с £ £ ) получены методом фундаментальных функций, построенных с помощью интегрального преобразования Лапласа.

Параметры -¡> , гА , , , (Ц (3 =1,3) .принимающие участие в формулировке задачи (8),(9),(4), позволяют непосредственно Ио общей структуры решения выделить как для случая осевой симметрии, так и для случая центральной симметрии структуру и температурного поля и поля перемещений при задании на поверхности телэ любого из краевых условий 1-го,2-го либо 3-го рода. Так, например, решение задачи (8),(9),(4) для случая имеет вид:

о '

(10)

2 9 * 2<Ы 2оИ

Отсюда при , = Л- Л2 - , Ъ = имеем

функцию, описывающую структуру обобщенного нестационарного темпера гурн ого поля в сплошном теле, а при Тэ и , = Д2-0 ,

^ 3 ,_ структуру поля перемещения.

Здесь же проведен анализ формул, определяющих решения обобщенных динамических задач термоупругости I ■! сплошных симметричных тел и для пространства с симметричной полостью.

Результаты численны^ расчетов радиальных и тангенциальных обобщянных динамических и динамических (М=0) напряжений б'т.г. .

, обобщенной нестационарной и нестационарной температур Т, записанных в безразмерных координатах ( с2-"^ ,т -

■г. С г О- °°

^ - , \Л - , ), в зависимости от безразмерного

времени т: для различны., значений безразмерного времени продолжительности теплового воздейстргя (0; 0,5; I; 2) и при фиксированных значениях безразмерной координаты ^ =0,25; 0,5; 0; 0,75 для цилиндра из меди (М=1,37) и алюминия (М=2,1) представлены в виде графиков.

В_ГЕетьей главе методом функций влияния получено решение обобщенных динамических задач термоупругости для кусочно-однородного симметричного пространства и кусочно-однородного пространства с симметричной полостью. Математически ото гриводит к построению ограниченного на кусочно-однородной полярной оси решения сепаратной системы уравнений гиперболического типа

по начально-краевым условиям

(12)

и условиям идеального контакта но поверхности сопряжения

--=0, (13)

-о

- [Кг. \е ■

° -1

Полагая в (П)-(14) ^Т• , К- • . ^ - «Л .

= 0 - 0 • Ц'. = • • получаем

задачу о структуре обобщенного нестационарного температурного поля в рассматриваемой системе по условиям идеального термического контакта на поверхности сопряжения. Условия (14) при

-у О переходят в условия идеального термического контакта для соответствующего нестационарного температурного поля = = 0).

Полагая в (Н)-(14) ^ = АЦ , ¿Д *0 - с] .

- Яу) и устремляя ^ ■ к нолю,

получаем обобщенную динамическую задачу для определения поля упругих перемещений с заданием на границе сопряжения идеального механического контакта.

Решение задачи (П)-(14) в изображениях по Лапласу построено методом функций Коши. При этом в алгебраической форме явно выписаны условия неограниченной разрешимости задачи. При вычислении оригиналов функций влияния существенную роль играет теорема о распределении особенностей, позволяющая по изображениям получить оригинал решения в виде:

® £ л

ОО

X * (15)

Сс-*,^ 00<иVСС-З^СЭ).

о ^ о

Численному исследованию подвергается структура термоупругих полей, возникающих-в системе "полое цилиндрическое включение-пространство", сконструированной из стали и свинца, при осущест-вле'чш на поверхности включения теплового удара. При

этом предполагается, что в рассматриваемой системе тепловые "источники отсутствуют, в начальный момент времени система находится при нолевой температуре.

Результаты численных расчетов Т, , представлены

в вице графических зависимостей,

0сновные_22й£льтэты_£аботы сводятся к следующему: I. Построено методом интегрального преобразования Фурье точное решение обобщенной связанной динамической задачи термоупругости для упругого пространства. Это позволило методом конечного синус интегрального преобразования Фурье выписать структуру решения первой обобщенной связанной динамической задачи термоупругости для бесконечной плиты.

Для лыяскения влияния коэффициента связ;.>шости и конечной скорости распространения тепло но структуру термоупругих полей приведены решения 'вязанных и несвязанных динамических задач термоупругости, обобщенных несвязанных динамических задач термоупругости. Если поверхность пли-н подвергается воздействию теплового потока либо через поверхность плиты осуществляется теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона, то точное решение обобщенно!! связанной динамической задачи термоупругости построено операционным методом.

2. Построено методом интегрального прообрпзотовия Лапласа точное реь.ение обобщенной связанной цптшческой задачи термоупругости для полупространства, когда и а границе заданы ияпря:. онт и температура или граница подвергается воздействию теплового потока либо через границу осуществляется теплообмен с внеппей средой

по закону Ньютона. Из обшей конструкции решения вариацией параметров (коэффициента связанности и безразмерной скорости распространения тепла) непосредственно выделено решение обобщенно!-' несвязанной динамической, несвязанной п связанной динамических задач термоупругости.

3. Получено в замкнутой форме методом фуяптяентчлышх функций точное решение обобщенных динамических задач термоупругоотп для сплошных и полых симметричных тел, а так:-:е для пространство с симметричной полостью. Наличие в граничных условиях производной по времени для построения фундаментальных функции требует применения интегрального преобразования Лапласа.

4. Построено операционным методом в замкнутой Форме точное решение обобщенных динамических задач термоупругости Дчя симметричных пространств со сплошным и полым включением. При этом доказаны теоремы о распределении особенностей, позволяющие по изображениям получить оригинал решения.

5. Проведенные численные исследования г случаев: I) нагрева пространства равномерно распределенными источниками тепла,плотность которых изменяется по экспоненциальному закону; 2) осуществления на хэрхнем основании плиты, на границе сплошного цилиндрического телэ, на поверхности полого цилиндрического включения кусочно-однородного пространства теплового удара показывают, что учет конечной скорости распространения тепла существенно влияет нэ структуру температурного поля и вызываемого им

поля напр^-ений особенно при Ma.njx значениях временной переменной, т.е. вначале теплового процесса. Учет коэффициента связанности механического и температурного полей практически не влияем на структуру термоупругих полей.

6. Теоретические результаты работы состоят в том, что в ней построены точные аналитические решения обобщенных динамических задач термоупругости для маосизных тел при наиболее общих с точки зрения обобщенной термомеханики предположениях. При этом параметры, грилимзющие участие в формулировке задач, позволяют непосредственно выделить из общих структур любой требуемый практикой час1.шй случай (в рсшах предложенной модели),

7. Практическое значение полученных результатов состоит в том, что они могут быть использованы в инженерных расчетах на прочности, надежность, долговечность и устойчивость как однородных, так и кусочно-однородных элементов конструкций, находящихся в условиях высокоинтенсивного неравномерного нагрева.

Соновные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Коте"ко Н.В., Ленюк М.П. О динамической задаче термоупругости //Прикладная механика.-1974.- Х.~ вып.2.~ С.43-51.

2. Котенко Н.В., Ленюк М.П. О динамических эффектах в упругом полупространстве прл тепловом ударе //ПММ.- 1974,- 38,- вып. 6.- G.II05-III3.

3. Котенко Н.В. Динамическая задача термоупругости для однородного пространства с сиг«егричноВ полостью //Тез.докл.XI научного совещания но тепловым напрлж, в элементах коне тр. Ка-нев, 28-30 мая 1980,- Киев: Наукова думка,1980.- С.52.

4. Котонко Н.В., Ленюк M.II., Сучеван В.Г. Обобщенная динамическая задача термоупругости для полых симметричных тел //Известия АН МССР, серия физ.-тех. и магем.наук.- 1981,- № 2.-

С.19-20.

5. Котенко Н.В., Ленюк М.П. Обобщенная связанная динамическая задача гермоупругости для полупространства //ДАН УССР.- Сер. А.- 1989.- № 8.- С.32-36.

6. Котенко Н.В. Решение квазистатической и обобщенной динамической задач гермоупругости для одномерного пространство и сплошных симметричных тел /Черновиц.ун-т.-Черновцы,1983,-

22 е.- Деп. в УкрНШНТИ 01.06.83, № 396 Ук-Д83.

7. Котенко Н.В. Точное решение связанной обоощенной динамической задачи термоупругости для полупространства //Тез.докл.П Всесоюзной конф.по термодин.необратимых процессов и п° применению,18-20 сент.1984,- Черновцы,1984.- С.154-155.

8. Котенко Н.В. Обобщенная динамическая задача термоупругости для плиты с учетом связанностг полей /Черновиц.ун-т.-Черновцы,1986.-25 с.-Деп. в УкрНИИНТИ 01.07.86.1531.- Ук 86.

9. Котенко Н.В. Решение обобщенной динамической задачи термоупругости для пространства зо сплошным симметричным включением /Черновиц.ун-т.-Черноьцы,1986.-38 с.-Деп.в УкрНИИНТИ 09.01.87, № 305.-Ук 87.

10. Котенко Н.В. Напряженное состояние кусочно-однородных пространств с сим).етр"чной полостью с учетом КСРТ//Тез.докл.Ш Всесоюзной конф.по механике неоднор.структур,17-19 сент. 1991 г.-Львов,1991,- С.167.

11. Ленюк М.П., Котенко Н.В.Динамическое термоупругое пс о в неограниченной пластинке//ДАН УССР.-Сер.А.-1975.-№2.-С.114-118.

12. Ленюк М.II. ,Котенко Н.В. Динамические термоупругие ноля в неограниченной пластинке//ДАН УССР.-Сер.А.-1976.-№2.-С.110-114.

13. Ленюк М.II.,Котенко Н.В. Квазистатическая и обобщенная динамическая задача термоупругости для симметричных пространств и сплошных симметричных тел /Черновиц ун-т -Черновик,1982.-39 с.-Деп.в ВИНИТИ 18.05.82, № 3520-82 дел.'

14. Ленюк М.II.,Котенко Н.В. Связанная обобщенная динамическая задача термоупругости для одномерного пространства //ДДН УССР,- Сер.А.- 1981.- № 10.- С.45-^0.

15. Ленюк М.П.,Котенко Н.В.,Сучеван В.Г. Квазистатическая задача термоупругости для полых симметричных тел//Численный анализ в задачах механики.Математ.исслед.-КишиневгШтиинца,1982. -Вып.70.-С.61-70.

16. Ленюк М.П,Шемерда И.П.,Котенко Н.В. Решение в слое смешанной задачи для гиперболического уравнения теплопроводности и суммирование некоторых функциональных рядов /Черновиц ун-т.-Черновцы,1981.-41 с.-Деп. в ВИНИТИ 25.02.81,»892-81 Деп.

17. Ленюк М.П.,Котенко Н.В.Дусте И.¡1.Динамическая и обобщенная динамическая задача термоупругости для пространства с полым цилиндрическим включением/Черновиц.ун-т.-Черновцы,1989,-42с. -Деп. в УкрНИИНТИ 25.01.90 № 102-УК 90.