Обратные задачи теории волновых процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

00461¿¿о<

На правах рукописи

БЛАГОВЕЩЕНСКИЙ АЛЕКСАНДР СЕРГЕЕВИЧ

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

(специальность 01.01.03 математическая физика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 1 НОЯ 2010

САНКТ ПЕТЕРБУРГ 2010

004612357

Работа выполнена на кафедре высшей математики и математической физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Официальные оппоненты: БАБИЧ Василий Михайлович,

доктор физико математических наук, профессор

БАЕВ Андрей Владимирович,

доктор физико математических наук, профессор

РОМАНОВ Владимир Гаврилович,

член корреспондент РАН,

доктор физико математических наук,

профессор

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет Аэрокосмического приборостроения.

Защита состоится " // " Н4)аС 2010 г. в У часов в ауд. на заседании совета Д 212.232.24 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Средний пр., д.41/43.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета. Автореферат разослан "_"_ 2010 г.

Ученый секретарь ученого совета, доктор физико математических наук, профессор

А.К. Щекин

1. Предмет этой работы — обратные задачи для систем (сред), проводящих волны, распространяющиеся с конечной скоростью. Опишем типичную ситуацию. Пусть такая среда заполняет пространственную область Г2. Вне области или на ее границе Г размещены источники, действие которых инициирует в О волновой процесс.

Задача - описать возникающий волновой процесс - это прямая задача. В то же время часто приходится иметь дело с ситуацией, когда конкретные свойства среды внутри П неизвестны, но волновые поля тта границе могут быть измерены. Задача полного или хотя бы частичного описания свойств среды по результатам этих измерений есть обратная задача.

На языке математики - процесс распространения волн описывается уравнениями или системами уравнений гиперболического типа. Рассматриваемые обратные задачи это задачи восстановления переменных коэффициентов в этих уравнениях по информации о значениях решений на границе.

Говоря о измерениях, сделаем одно уточнение. В работе в основном рассматриваются динамические обратные задачи, т.е. такие, в которых в качестве данных задаются значения (амплитуды) волновых полей. Последнее отличает их от так называемых кинематических обратных задач, в которых полагаются известными лигнь времена пробега волн через среду.

А к тп у а л ъ н о с тп ь работы определяется тем, что в ней исследуются задачи нахождения свойств волнопроводящих сред посредством зондирования этих сред с помощью наблюдаемых волновых полей. Если в сравнительно недавнем прошлом большинство подобных задач представлялось безнадежным с точки зрения объема необходимых вычислений, то в настоящее время в связи с бурным развитием вычислительной техники многие важные для приложений задачи допускают применение численных методов. В связи с этим особую актуальность приобретают принципиальные теоретические исследования того, какая именно информация о среде может быть извлечена с помощью произведенных измерений, достаточны ли они для определения всех коэффициентов дифференциальных уравнений, отвечающих за распространение волн и если достаточны, то каковы методы их нахождения. Если недостаточны, то что надо знать дополнительно о среде? Не являются ли результаты измерений внут-

ренне противоречивыми в рамках принятой математической модели, иными словами, справедлива ли теорема существования? Нарушение теоремы существования - признак неприменимости выбранной математической модели (например, рассмотренный в работе случай предположения о слоистости среды).

Освещение затронутых вытпе вопросов в разнообразных конкретных ситуациях и составляет содержание работы. Излишне говорить об их важности для приложений, в число которых геофизика, акустика, теория упругости, электродинамика.

Новизна. Все содержащиеся в работе результаты впервые получены ее автором. К ним относятся: метод нелинейных вольтеровских уравнений для решения одномерных обратных задач; явное решение одномерной обратной задачи в случае специальных данных обратной задачи и его связь с нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями; решение задачи определения двух коэффициентов в гиперболической системе первого порядка (или в струне с затуханием, но при нефизической постановке задачи); задача восстановления свойств мембраны, находящейся в акустической среде; исследован ряд постановок обратных задач для уравнения акустики в слоистой среде, в частности, показано, что при решении обратной задачи методом моментов одно из возникающих при этом интегральных уравнений допускает явное решение в квадратурах; рассмотрена задача восстановления произвольного эллиптического оператора с коэффициентами, зависящими от одной пространственной переменной как в случае задачи в полупространстве, так и в ситуации задачи рассеяния, в частности, доказано, что несмотря на переопределенность задачи однозначное восстановление оператора невозможно, полностью описана информация об операторе, могущая быть получена при решении обратной задачи; решена обратная задача приближенного восстановления характеристик случайной среды, если среда по своим свойствам мало отличается от детерминированной в ситуациях а) одномерной среды, б) слоисто-неоднородной среды, в) однородной среды, возмущаемой произвольной малой случайной добавкой; построено полное решение обратной задачи Лэмба для уравнений упругости в случае слоистой среды; построена конструкция решения обратной задачи распространения акустических волн в одномерной и слоистой движущихся средах; построены интегральные уравне-

ния для решения одномерной обратной задачи восстановления части коэффициентов в гиперболической системе первого порядка при известных остальных; построен метод восстановления в уравнении коэффициента, зависящего от конечного набора неизвестных функций, по данным о нормальных волнах в волноводе; исследован ряд задач интегральной геометрии, тесно связанной с теорией обратных задач, речь идет в основном об обращении преобразования Радона по неполным данным, при априорных ограничениях на носитель искомой функции, в рассмотренных ситуациях оператор задачи удается диагонализировать.

Апробация и публикации.

Все основные результаты диссертации опубликованы в печати (список из 23 названий прилагается), докладывались на международных, всесоюзных и всероссийских конференциях, общегородском семинаре им. В.И. Смирнова Санкт-Петербурга по математической физики, городском семинаре по дифракции.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, разбитых на параграфы, Приложения, Списка литературы (76 названий).

Краткое содержание работы.

2. В первых трех главах рассматриваются обратные задачи в ситуации, когда свойства среды описываются функциями липть от одной независимой переменной. При этом следует различать случай, когда распространение волн происходит в одномерной среде (или, что эквивалентно, функции, описывающие волны, зависят лнтпь от одной пространственной переменной и от времени) и случай, когда волновое поле зависит от многих переменных. В первой ситуации соответствующие обратные задачи мы называем одномерными (им посвящена Глава 1), во второй говорим об обратных задачах в слоистых средах . Другой принцип классификации обратных задач связан с разделением волновых полей на скалярные и векторные. В скалярном случае волновой процесс описывается одним уравнением в частных производных, в векторном — системой таких уравнений. Скалярным обратным задачам в слоистых средах посвящена Глава 2, векторным - Глава 3. Четвертая глава посвящена задачам интегральной геометрии, тесно связанной с теорией обратных задач.

Рассмотрим подробнее содержание каждой главы. Глава 1 посвящена методам решения одномерных обратных задач. Первые

два параграфа первой главы носят вводный характер и не содержат новых результатов. В них обсуждается постановка прямой и обратной задач, их физический смысл, устанавливаются необходимые для дальнейшего свойства решения прямой задачи. Основные методы решения одномерной обратной задачи изложены в §§ 1.3, 1.4, 1.6.

В §§ 1.3, 1.4 рассматривается обратная задача, поставленная в следующей форме: найти коэффициент q(y) в уравнении

Ф{ + ЛФУ = <?Ф, у> 0, (1)

где Ф = Ф(у, ¿) - двумерная вектор-функция, Л и <5 — матрицы

А=й Л). I),

причем

Ф|(<0==0, (2)

/¿1 и /¿2(0 € С\. Функция в случае уравнения струны с переменной скоростью иа = с2игг есть д(у) — —гЛе г л

У — I ~ - время пробега волны от точки 0 до точки г. От-

0

метим очевидный факт: задача нахождения Ф(у. 1) при заданных /и(0,/12<?(?/) ~ не корректна. Действительно, условия (2) фактически представляют собой данные Копти, наложенные одновременно и при у = 0, и при t = 0. Переопределенность такой постановки задачи дает возможность рассматривать обратную задачу восстановления (¡{у). Для нахождения с/(у) предлагается два метода. Первый метод основан на сведении обратной задачи к нелинейной системе вольтеррового (или близкому по своим свойствам к вольтерровому) типа, ему посвящен § 1.3. Этот метод впервые предложен автором в статье [1].

Следующий § 1.4 и § 1.6 посвящены второму методу, с помощью которого обратная задача сводится к линейному интегральному уравнению тина Фредгольма — уравнению типа Гельфанда-Левитана-М.Крейна-Марченко. Для краткости, назовем первый метод нелинейным, второй — линейным. Сравнивая эти два метода, можно констатировать, что в ситуации, когда они оба применимы (например, в задаче (1)-(2)), второй из них приводит к более сильным результатам: с его помощью можно дать полное

исследование обратной задачи, включая теоремы существования и единственности, и в некоторых случаях даже явное построение ретпения. С помощью нелинейного метода можно, как правило, лишь установить теорему единственности и (в малом!) теорему существования. Причем, в связи с тем, что система интегральных уравнений, лежащая в основе этого метода, п некоторых ситуациях не является все же вольтерровой, иногда теорему единственности удается доказать лить в малом, а доказательство теоремы существования не проходит даже в малом. Однако, область применения указанного метода тпире: он работает в ряде случаев, где линейный метод применить не удается.

При изложении обоих методов мы используем локальный подход, опирающийся на два основных факта, справедливых для уравнений и систем гиперболического типа: 1) конечность скорости распространения возмущений, 2) возможность явного выражения сингулярностей решений через коэффициенты уравнений. В рамках обоих методов попутно при отыскании коэффициентов уравнения приходится находить и некоторое решение восстанавливаемого дифференциального уравнения. При использовании нелинейного метода — это решение, описывающее реальный физический процесс. В линейном методе — это вспомогательное решение (некоторая разновидность функции Грина). Отметим, что существенным ограничением применимости линейного метода является требование инвариантности дифференциального уравнения относительно обращения времени,что фактически означает отсутствие поглощения в среде.

В § 1.5 метод, изложенный в § 1.4, распространяется на случай, когда допускаются скачки свойств среды (разрывы искомых коэффициентов дифференциального уравнения).

§ 1.6 посвящен линейному методу для обратной задачи:

Функции ([{у) и а (у) > 0 по /(¿) однозначно не восстанавливаются,: найдена может быть лишь функция

1

«н - -{(7и'у)'у + ди = 0, у> О

= аиу\у=0 = ¿(¿),

г4=о = /(*)•

(3)

(4)

(5)

Отметим, что для применяемого в § 1.6 метода существенно, что в граничном условии (4) стоит именно 5(t) - четная функция, сосредоточенная в нуле.

§ 1.7 посвящен построению явного решения обратной задачи в случае, когда данные обратной задачи, функции h\(t) и ho(t) имеют специальный вид конечной линейной комбинации слагаемых вида ifceAii, к -натуральное число. Показано, что в этой ситуации построение решения обратной задачи сводится к нахождению корней полинома и последующему решению линейной алгебраической системы.

В § 1.8 устанавливается связь между обратными задачами (при специальных данных обратной задачи, описанных выше) и системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Отметим, что эта связь не имеет никакого отношения к известному методу обратной задачи для решения уравнений КдФ и аналогичных. Здесь эксплуатируется тот факт, что обратная задача (1)-(2) на самом деле эквивалентна задаче Коттги для нелинейной гиперболической системе со сдвинутым аргументом, рассматриваемой при t > 0. Решение этой задачи имеет тот же специальный характер зависимости от времени, что и данные обратной задачи с коэффициентами, зависящими от у. Набор этих коэффициентов удовлетворяет нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

§ 1.9 посвящен распространению метода линейных интегральных уравнений на случай обратной задачи для системы

Фи + 1р1у = 91^2, ,бч

В системе (6) два неизвестных коэффициента (¡\ (у) и q2 (у) ■ Оказывается, для их нахождения достаточно иметь сведения о двух решениях системы (6):

удовлетвориющих условиям

Ф+|»<о = о, Ф+I^o = (S(t) + ht(t),hUt)), *-|t>0 = 0, Ф"|у=о = (K(t),6(t) + ftj(i)).

Если решение Ф +(y,t) имеет очевидный физический смысл, то решение Ф_(у, i) описывает малоестественный физический процесс волны, идущей из бесконечности и полностью гасящей поле.

§ 1.10 стоит несколько особняком н этой главе, в нем рассматривается задача восстановления коэффициентов в граничном условии, возникающем на мембране, погруженной в акустическую среду.

Задача ставится следующим образом. Пусть u(x,y,z,t) (акустическое давление) удовлетворяет при г > 0 и г < 0 уравнению

litt = с|Дм,

/

с+(с_) - скорость акустических волн при г > 0 (z < 0). При г = 0 располагается неограниченная мембрана. Ее смещение w{x,y,t) удовлетворяет уравнению

pwtt = (Vct, V)u; + - u+ + ¿(ж, t). (7)

Здесь V - двумерный оператор Гамильтона = lim и. Для и справедливо также соотношение

ди.

¿р*=±о = ~P±wtt-

Предполагаем, что u|t<0 = 0, u)|i<0 = 0. Далее мы предполагаем, что а = 1+0"!, р = 1 +/91, где |ai| < 1, pi -С 1. Oi и pi зависят только от х. Так как и в полупространствах 2 > 0, л < о, а тем самым и и± может быть выражено в квадратурах через w, то подставляя в (7) выражение для и±, получаем иитегродиффе-ренциальное уравнение относительно w. Далее как прямая, так и обратная задачи рассматриваются в одномерном линеаризированном варианте. Решается одна из двух обратных задач: р\ и о\ известны при х < 0 и одна из них {pi или о^) известна при х > 0. Требуется найти вторую функцию при х > 0. В обоих случаях выведены линейные вольтерровские уравнения второго рода относительно неизвестной функции. Задача решается в предположении, что с± < 1.

Вторая глава посвящена скалярным обратным задачам распространения волн в слоистой среде. Слоистость среды, то есть зависимость коэффициентов, описывающих свойства среды, лишь от одной координаты, приводит к возможности применять метод разделения переменных в той или иной форме. В результате этого возникает уже одномерная обратная задача, решаемая методами Главы 1. Ретиив ее, мы находим некоторую функцию,

зависящую от коэффициентов исходного, многомерного уравнения, а также от параметров (постоянных разделения переменных). Варьируя эти параметры, в некоторых ситуациях можно бывает восстановить все коэффициенты исходного уравнения, в других — доказывается, что такое однозначное восстановление невозможно.

В § 2.1 изучаются обратные задачи акустики в слоистой среде, то есть задачи для уравнения

аии = div (bgradu), (8)

а и Ь — функции одной декартовой координаты z ("вертикальной "переменной). В частности, изучаются задачи в ситуациях, когда распространение волн происходит в полупространстве z > О, точечный источник находится на границе. Заданы: 1) значения функции u(k,0,t) для двух значений параметра к, здесь ii{k,z,t) — преобразование Фурье от и по "горизонтальным"переменным х, к — двойственная к х переменная; или 2) значения при z = 0 преобразования Радона от и как функции от х и t при двух фиксированных направлениях нормали к плоскости интегрирования. Еще одна рассматриваемая задача — задача рассеяния, когда распространение волн происходит во всем пространстве переменных (x,z), но при z < 0 среда однородна, «|г<о — Ь|г<о = 1. Из однородного полупространства падает плоская волна, задаваемая функцией

здесь (•, ■) - скалярное произведение векторов, | • | - длина вектора. Легко проверяется, что волновое поле является в действительности (при фиксированном значении характеризующего направление падения волны) функцией, зависящей лить от переменных s = ^д и 2, соответственно, и отраженная волна

г/отр зависит только от s + z, ( ~ играет роль параметра, иотр задана для двух значений При этом £ мы считаем достаточно малым, так что a — |£|2Ь > 0.

Другие ситуации — распространение волн происходит в волноводе (переменная х принадлежит ограниченной области Q, на границе Q выполняются самосопряженные граничные условия)

или в шаре (коэффициенты а и Ь — зависят от радиальной переменной).

В каждом из выпгеуказанных случаев данных обратной задачи достаточно для восстановления обоих коэффициентов а и Ь уравнения (8). Для решения возникающих одномерных обратных задач применимы как линейный, так и нелинейный методы.

Етце один способ задания данных обратной задачи для уравнения в полупространстве — задаются два момента функции и(х, 0,4) :

I и{х,0,Ф\т йх (т = 0,2).

Оказывается, в этом случае задача сводится к цепочке из двух одномерных обратных- задач. Первая задача является частным случаем рассмотренной в Главе 1. В постановке второй участвуют функции, полученные в результате решения первой. Эта вторая задача сводится к решению линейного вольтерровского интегрального уравнения второго рода. Замечательно, что если для решения первой из названных задач использован метод линейных интегральных уравнений, то это вольтерровское уравнение может быть решено в явном виде в квадратурах. Аналогичный результат имеет место в задаче рассеяния, если нам известны отраженная волна, при каком-то фиксированном угле падения и производная от нее по углу падения.

В § 2.2 и § 2.3 рассмотрены задачи, аналогичные задачам из § 2.1, но для более общего уравнения

ии = Ь и,

где Ь — произвольный эллиптический оператор второго порядка с коэффициентами, зависящими от вертикальной координаты 2.

В § 2.2 рассмотрена задача в полупространстве г > 0, на границе — точечный источник.

В § 2.3 — задача рассеяния плоской волны, падающей из однородного полупространства (при г < О Ь — оператор Лапласа). Доказано, что даже имея самую полную информацию о данных обратной задачи: зрая и(х, 0,4) при всех х и 4 (в случае задачи в полупространстве) или рассеянную волну при любом угле падения падающей волны (в случае задачи рассеяния), — невозможно однозначно определить все коэффициенты оператора Ь. Однозначно определяются лишь некоторые функции, выражающиеся через коэффициенты оператора Ь. Число этих функций

существенно меньше числа коэффициентов (например, в трехмерном случае число коэффициентов равно 10, число могущих быть найденными функций — 6). В рассмотрениях § 2.3 существенно используются результаты § 1.9.

В § 2.4 обсуждаются некоторые вопросы, связанные с теоремами существования решения обратных задач в слоистых средах. Важность этого вопроса обусловлена отнюдь не только стремлением к математической красоте и завершенности, по также и тем, что условия существования решения являются в изучаемых задачах, с одной стороны, условиями алгебраического типа (то есть условия типа некоторого соотношения, которому должны удовлетворять заданные функции) и, следовательно, допускают эффективную проверку. С другой стороны, выполнение условий существования является средством контроля за правильностью выбранной математической модели среды (например, предположения о ее слоистости).

В качестве примера рассматриваются обратные задачи для уравнения

аии = сИу(Ьдгас1) и + си (х, г,1) е I2 х К1 х К1, (9)

й|г<о = Ь\г<а = 1, с|г<о = 0, а, с - функции от г, когда покоятца-яс.я первоначально среда возмущается падающей из однородного полупространства г < 0 плоской волной

«пад = <Н г——- -г).

Вектор £ € Е2, характеризующий направление падения плоской волны, предполагается достаточно малым, так что всюду а — > 0 (|£|2 = £2 + £2-) Регистрируется отраженная волна «птр = г < 0. Очевидны необходимые условия существования решения обратной задачи: и0тр имеет вид:

""^'(тгт^'-ю)-

Тем не менее обратная задача все равно остается переопределенной - неизвестны три функции одной переменной, функция / -

функция двух переменных: 5 = + г и [£[.

\/Н?г

В работе рассмотрены:

Случай 1. Пусть a priori известно а = Ь = 1 при всех z, c(z) -искомая . В этом случае условие разрешимости тривиально:

Функция /i является функцией лишь одной переменной.

Последний результат легко переносится на случай, когда a(z) = b(z) при всех z, c(z) - переменна.

Более интересен для приложений Случай 2: c(z) = 0. Тогда с учетом того, что волновое поле зависит лить от от s, z и уравнение (9) принимает вид:

где z\ = fb(z)dz. Коэффициент А есть А0 + АЛХ, где Л0 = ab,

о

Ai = Ь(а -Ъ), А = jt^î-

Очевидно, отраженная волна, соответствующая стандартной падающей волне ô(s — z), является функцией, зависящей от параметра А, / = f(s + z, А). Вопрос заключается в том, чтобы описать условия, которые надо наложить на функцию /, для того чтобы она соответствовала коэффициенту, линейно зависящему от А. Вопрос можно поставить так. Пусть Ф : А —» / - отображение, сопоставляющее коэффициенту Л отраженную волну. Коэффициент А, являясь линейной функцией от параметра А, пробегает некоторую прямую или отрезок прямой в некотором функциональном пространстве. Что является образом прямой или отрезка? Очевидно, Л как функция от А удовлетворяет дифференциальному уравнению = 0. Тем самым вопрос сводится к тому, как выглядит уравнение = 0 после "замены переменных"А —> /. Приведем ответ. Пусть

д Г

9{s) = T^J (s-si)f{si)dsi. о

(Зависимость функций от А мы подразумеваем). Тогда справедливо равенство

= / / ds1ds2K{s,s1,s2)g{sl)g{s2). о о

Замечательно, что ядро К может быть найдено в квадратурах по известному репгепнго уравнения Гельфанда-Лепитапа, построенному по функции /.

В § 2.5 рассматриваются обратные задачи для случайно-неоднородны сред. Изучается волновое уравнение

Autt = А и,

в котором коэффициент А представляется в виде суммы Л о + а, где Ао — детерминированное слагаемое, Ад > 0, а — малая случайная добавка, |а| «С Л0.

Для определенности рассматривается задача рассеяния ¿-образной плоской волны, падающей из однородного полупространства. Ставится задача о приближенном восстановлении коэффициента Ао (если он неизвестен) и усредненных характеристик случайного поля а — его математического ожидания и корреляционной функции. Термину "приближенный"мы придаем следующий смысл. Предполагается справедливым формальное разложение для волнового поля и = iío+mi+í¿2+o(|o;|2), где щ - детерминированное слагаемое, щ линейно и u¡ квадратично зависят от а. Аналогичное представление имеет место для отраженной волны / = /о + fi + /2 + о(|а|2). Мы всюду далее отбрасываем слагаемые, имеющие порядок о(|а|2). Равенство с точностью до o(|oi|2) записываем как и=щ +щ + «2-

Предполагаем, что известна детерминированная часть отраженной волны /о и два первых момента случайной части / : g = E(f\ + /2) и корреляционная функция h = -E(/i • /1). В последнем выражении два сомножителя Д берутся от разных аргументов, символ Е(-) обозначает математическое ожидание.

Рассмотрены 3 ситуации.

1. Одномерный случай, Д = Отраженная волна /=/о + h+h- Заданы: /0(t), g(t), Л(*(1) А = £(/i(í«) • /i(í<2>)). Доказана возможность восстановить A0(z), m[z) = E(a(z)) и r(zí-1\ z^) = E{a(z^)a(z^)) с применением ранее описанной техники.

2. Рассматривается трехмерный случай. Невозмутценная среда предполагается однородной, то есть Ао = 1. В этом случае /о = 0. Отраженная волна есть

f=fi(x,t,u) + Mx,t, ш),

где со - единичный нектор нормали к падающей волне. Заданы д(х,г, со) = Е{!1(х,^и)) +/2(х, ^ ш)),

Ищутся ш(ж) = Е(а(х)) и = Е{а{х^)а(х^)). Уста-

навливается возможность однозначного восстановления функций т(х) и

Задача сводится к последовательному 3-х кратному решению задач интегральной геометрии восстановления функции в полупространстве по известным интегралам от нее вдоль параболоидов вращения, образующих некоторое семейство. Э ги задачи сильно переопределены: ищется функция точки из Е3, семейство параболоидов - шестимерное. Это дает возможность ценою отказа от части информации, заключенной в д и Л, свести задачу к корректной, хорошо изученной задаче обращения преобразования Радона (причем это можно сделать принципиально разными способами).

3. Обратная задача - задача для слоистой случайной среды. Под слоистостью среды мы понимаем, что а) А0 является функцией глубины г, б) случайная добавка а{х, г) обладает свойствами, инвариантными относительно сдвига по х: 1) Е(а(х,г)) = т(г) является функцией, зависящей только от г, 2) корреляционная функция — хзависит, кроме и лишь от разности аргументов ж'1) — х^.

Предполагаются заданными: /о(£—[х, со), д(х, г, Ь, и>) = Е(/1(х, +/2(ж, г;,

Строятся интегральные уравнения для нахождения всех искомых функций. Найдены условия на функции /0, д и !г, необходимые для существования решения и выполнения свойства слоистости.

В Главе 3 проводится рассмотрение обратных задач для векторных волновых полей, или, иначе, для гиперболических систем уравнений в частных производных.

В §3.1 изучается важная для геофизики задача Дэмба: задача о колебаниях слоисто-неоднородного упругого полупространства под действием мгновенного, сосредоточенного в точке на

границе, воздействия. Показано, что если это воздействие направлено наклонно к дневной поверхности, то по наблюдениям за колебаниями поверхности можно однозначно восстановить параметры среды, зависящие от глубины: плотность и параметры Ламе Л и //.

В §§ 3.2 и 3.3 изучаются обратные задачи акустики движущейся среды. Приведем систему уравнений, описывающую акустические волны в движущейся среде (уравнения Блохинцева).

(^ + (У,С/Р + /О110 = о,

ж + (У> + V) V + ^ - = о, (10)

Здесь р, р, 5, V — соответственно плотность, давление, энтропия и вектор скорости течения п среде, р1, р1, 5\. 17 — акустические плотность, давление, энтропия и скорость, то есть малые добавки к р, р, <5, и V. Систему Блохинцева следует дополнить уравнением состояния среды р = Ф(р, 5) и линеаризованным уравнением состояния возмущенной среды р\ = с2р\ + . Рассматриваются две задачи.

В § 3.2 изучается задача рассеяния от слоисто-неоднородного пространства. Предполагается, что все функции, характеризующие сред>', то есть р, 5, V, с, /г, являются функциями, зависящими только от декартовой координаты г, причем скорость V всюду ортогональна оси г. Поле порождается падающей из однородного неподвижного полупространства волной вида IIлад = (о, 0,6 ^ — (£г, х) + — |^|2с2) Заданы ¿¡-компоненты от-

раженной волны, соответствующие пяти различным направлениям падающей волны Показано, что после довольно громоздких преобразований задача сводится к обратной задаче рассеяния для одномерного уравнения

- Ъуу + <Э1Ч> = 0,

О1 выражаются через коэффициенты системы (10) и зависят от выбора Пусть С)1 найдены. Доказано, что если известны <Зг(у) для пяти различных значений £г, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям, и значения V, йУ/йг, с, йс/йг, р, с£р/сЬ и В при 2 = 0, где В = Н (13/(1г, то по этим данным можно восстановить набор функций V, с, р и В на некоторую конечную

глубину. Упомянутым дополнительным условием является требование, чтобы определитель некоторой матрицы, зависящей от набора ... £5}, был отличен от нуля. При этом установлено, что указанный определитель 1) отличен от тождественного нуля, но 2) может обращаться в нуль при ненулевых (тек? самым требование неравенства нулю определителя является содержательным).

В § 3.3 изучается одномерная обратная задача: акустическое поле зависит только от координаты 2 € (0, оо), вектор скорости течения направлен вдоль оси г. Волновое поле порождается источником, находящимся в точке л = 0. Требуется по наблюдаемому при г = 0 волновому полю восстановить акустические характеристики среды при г > 0. Оказывается, что полное восстановление всех свойств среды невозможно. Возможно найти какую-либо одну или две (в зависимости от направления вектора скорости течения в среде) характеристики при известных остальных. Это как раз тот случай, когда линеиш.тй метод отказывает, нелинейный же приводит к положительному результату. Выше уже было сказано, что возможно ставить и решать разные обратные задачи о восстановлении характеристик среды по данным о волновом поле. Мы укажем две из них. Будем далее всюду предполагать, что скорость течения V > 0, то есть зондирование осуществляется вниз по течению. Скорость течения меньше скорости звука.

Первая из задач — задача определения плотности среды, если известно значение плотности на границе. Доказана однозначная разрешимость задачи на конечную глубину.

Вторая из задач — задача нахождения скорости течения. Здесь применение линейного метода приводит к необходимости решать систему интегральных уравнений, содержащих интегральные операторы, в которых интегрирование ведется вдоль кривой, зависящей от искомой функции, или, другими словами, обобщенные ядра этих интегральных операторов содержат ¿-функции вида — /ттрг). где функция у^) — неизвестна. Тем не менее о { '

удается доказать единственность решения и его непрерывную зависимость от данных задачи в норме типа С, если решение ищется в классе функций, удовлетворяющих в числе прочих существенному ограничению — условию Липшица с заданной наперед константой. Теорему существования не удается доказать

даже в малом. Описанные результаты означают свойство условной корректности задачи.

В § 3.4 рассматривается обратная задача нахождения некоторых из компонент матрицы Свходящей в уравнение

иг + Шх = (¡и, х > 0.

Здесь Л — вещественная диагональная матрица пх н, ее диагональные элементы - возможные скорости распространения волн — непрерывные функции от х, II — векторная функция от х, ¿, II ем". Будем называть компоненты вектора II каналами распространения волн. Тогда матрица <3 размерности п х и описывает взаимодействие каналов, точнее, элемент матрицы С) задает воздействие ^'-го на г-ый канат.

Будем считать, что скорости А; (ж) не обращаются в нуль, тот факт, что А; > 0, означает, что г-ый канал соответствует волне, бегущей вправо (от источника, находящегося на левом конце полуоси); А» < 0 — соответствует волна, бегущая влево. Мы предполагаем, что существует группа из щ волн (щ > 1), бегущих вправо с максимальной скоростью. Не ограничивая общности , можно считать скорости А1 = Аг = ... Агао = 1. Кроме того имеется щ каналов (щ > 0, номера щ + 1, щ + 2... ,п0 + щ ), в которых волны бегут вправо со скоростями 0 < ^ < 1, и щ каналов (по > 0), соответствующих волнам, бегущим влево (для них А,: < 0); по + тц + пз = п.

Как всюду в этой работе, считаем, что (7|г<о = 0. Рассматривается по решений системы, удовлетворяющие граничным условиям

и?1- Е г«1/?)|,=о = М(0,

к=па+п\+1

I — 1,2,... По -Ь щ, = По. Предположим, нам известны дополнительно значения 11^\х=о = г = По + щ -(- 1... п. Оказывается, этих данных достаточно для нахождения элементов (¿^ матрицы (}, отвечающих за воздействие быстрых волн, бегущих вправо, на волны, бегущие влево, при условии, что остальные элементы матрицы (} известны. Справедливы теорема единственности и теорема существования в малом.

В § 3.5 рассматривается обратная задача- для двух слабо взаимодействующих струп, то есть для матричной системы уравнений вида:

С~2 Ua - Uxx + QU = 0, х > 0, (11)

где С, Q, U — матрицы 2x2, С = , с - постоянная (0 < с< l),Q = Q(x). Известны

U\x=0 = 6(t) Е, V%=o = СГ1 Ut + C4Uо = F(t),

(Е — единичная матрица). Требуется восстановить Q(x) по заданной F(t). Слово "слабо "подразумевает, что в правую часть системы (11) не входят производные от U. Доказано, что если матрица F(t) задана на интервале (0,2Т), то Q(x) на интервале (0, Г) однозначно восстановлена быть не может. Для однозначного восстановления Q{x) необходимо и достаточно знать значения некоторых компонент матрицы Q(x) на некоторых интервалах (разных для разных компонент), примыкающих к точке х = Т. Введем обозначения: ^ = ^Г, 12 = сТ. Здесь 12 — максимальная глубина, которой может достичь волна, двигаясь с медленной скоростью с и возвращаясь к границе к финальному моменту 2Т; — аналогичная глубина для волны, распространяющейся в одном направлении со скоростью с, в обратном — со скоростью 1.

Пусть дополнительно заданы элементы матрицы Q{x)\

fg12(x) = a12(x) хе{1ъТ) \q2i{x) = а21(х) h

q22(x) = a22(x) xe(l2,T).

Тогда с использованием нелинейного метода может быть построена замкнутая нелинейная система интегральных уравнений стандартного вида X = К(Х), содержащая 12 неизвестных функций, в число которых входят искомые. Нетрудно показать, что при достаточно малом Т оператор К является сжимающим.

Другая задача. Пусть дополнительно известно, что правее некоторой точки I Q(x) = 0, тогда Q(x) может быть однозначно восстановлена по матрице E(t). Если I достаточно мало, то имеет место и теорема существования при произвольной F(t), если элементы первого столбца матрицы F заданы на интервале (0, ¿(1+1)), второго столбца — на интервате (0,2). (2 —удвоенное

время пробега медленной волной интервала (0,1)', 1(1 + — время, необходимое для пробега интервала (О, I) в одну сторону быстрой волной, в обратную — медленной).

В § 3.6 рассматривается задача определения коэффициента (^(х,г), в уравнении

иа = ияг-Ш + Я(х,г) и,

где х € (0, оо), х € М, I <Е К. Здесь М -некоторое многообразие, Ь — самосопряженный полуограничепный снизу оператор с дискретным спектром, определенный на пространстве 1*2 (М) — квадратично суммируемых на М функций. Предполагается, что Я{х, г) имеет вид

N

ХУ(гМх),

к=1

ГД6 {^к(х)} - фиксированный набор линейно независимых функций.

Пусть (а') — набор собственных функции оператора Ь. Предполагаются заданными нулевые начальные условия, условия на границе

иг |г=0 = а(х)6(г)

и данные обратные задачи: конечный набор коэффициентов Фурье

/,• (¿) = 11Цх, г, Щ, (х) йх\г^, ¿ = 1,2... N.

м

При некоторых дополнительных ограничениях строится формальная схема для нахождения коэффициентов с[к(г) в разложении С^(х,г).

Четвертая глава существенно отличается от первых трех как по характеру поставленных задач, так и по методам их рассмотрения. Она посвящена задачам интегральной геометрии, то есть задачам нахождения функций по заданным интегралам от этих функций по многообразиям, образующим некоторое семейство. К такого рода задачам естественно сводятся многие обратные задачи теории распространения нестационарных волн. Некоторые пути, приводящие от обратных задач к задачам интегральной геометрии, описаны в § 4.1, носящему вводный характер. Результаты этого параграфа не принадлежат автору настоящей работы. Они приведены ради связности изложения.

Оригинальными являются результаты трех следующих параграфов. В § 4.2 рассмотрена задача М.М. Лаврентьева-В.Г. Романова восстановления функции с носителем в полупространстве по известным интегралам от нее по семейству вытянутых эллипсоидов вращения с фиксированным фокусом, в предположении, что оба фокуса находятся на границе полупространства. Доказано, что с помощью простой замены переменных задача сводится к задаче обращения преобразования Радона от функции с носителем, заключенным внутри одной полы конуса, если преобразование Радона задано гга множестве всевозможных гиперплоскостей, имеющих компактное пересечение с этой полой.

М.М. Лаврентьевым и В.Г. Романовым доказана теорема единственности для решения этой задачи. В нашей работе найдено интегральное преобразование, диагонализующее оператор задачи, то есть такое преобразование, которое после применения к искомой и заданной функции приводит рассматриваемое уравнение к виду:

= /,

где 'ф и / — образы соответственно искомой и заданной функций. Функция в достаточно просто выражается через Г-функции Эйлера. .5' не обращается в нуль (теорема единственности), однако при удалении ее аргументов на бесконечность но некоторым направлениям она экспоненциально стремится к нулю (проявление некорректности задачи).

Опишем кратко вышеупомянутое интегральное преобразование. Функцию ф{х). определенную в верхней поле п + 1-мерного конуса будем рассматривать как функцию аргументов х и р,

представив х в виде х = рх, где р — - £ х}, & принад-

п

лежит верхней поле гиперболоида Щ — 1, являющейся

1

реализацией пространства Лобачевского.

Предлагаемое в работе интегральное преобразование является композицией преобразования Меллина по неременной р и преобразования Фурье на пространстве Лобачевского, введенного Гельфандом, Граевым и Виленкиным.

§ 4.3 посвящен задачам, сходным с рассмотренной в § 4.2 задачей обращения преобразования Радона по неполным данным, при фиксированных ограничениях на носитель функции.

Опишем одну из задач, рассмотренных в этом параграфе. (Вторая задача близка к первой и исследуется сходными методами). Речь идет о восстановлении функции ф{х) с носителем в

1" = {х : Хг > 0, г = 1... п} по заданным интегралам от нее вида

•> 1 щ р+1 щ где а Е К™, 1 < р < п. Интегрирование в последней формуле

п " п

происходит по гиперплоскости £ ^ ~ ^ = 1> отсекающей от

г=1 ' р+1 *

первых р координатных осей — положительные, от последующих п — р осей — отрицательные отрезки. В роли интегрального преобразования, диагонализующего оператор задачи, выступает многомерное преобразование Меллина. Двойственным к оператору задачи является оператор умножения на некоторую функцию, выражающуюся через Г-функции, не обращающуюся в нуль, но экспоненциально убывающую при удалении аргумента на бесконечность по некоторым из направлений. Отметим, что применяя проективные преобразования, можно свести к описанной выше задаче задачу обращения преобразования Радона по неполным данным для функции с носителем в п-мерном симплексе или произведении А'-мер но го симплекса на к.

В § 4.4 Рассматривается задача обращения отображения

задаваемого формулой

/ 1(х,р- (х,у))(1х,

шп

совпадающее с точностью до несущественного множителя с преобразованием Радона от функции /, определенным для всех плоскостей, не параллельных оси г. Функция /(х,г) предполагается быстро убывающей при х оо. Если / убывает достаточно быстро и в направлении оси г, то задание Р(у,р) эквивалентно полному заданию преобразования Радона от /. В этом случае применима классическая теория преобразования Радона. Мы здесь не исключаем возможности степенного роста /

при х —» оо. В этом случае единственность обращения преобразования Радона утрачивается.Показано, что общим решением однородной задачи является полином от г

т к=0

где коэффициенты полинома Д(ж) удовлетворяют условию: все моменты fk(x) до порядка к равны нулю. В соответствии с идеологией этой главы осуществлена диагонализация оператора, тесно связанного с R.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Благовещенский A.C. Об обратной задаче теории распространения сейсмических волн. В кн.: Проблемы математической физики. Л.:ЛГУ, вып. 1, 1966, с. 68-81.

[2] Благовещенский A.C. Одномерная обратная краевая задача для гиперболического уравнения второго порядка. В кн.: Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 78, 1969, с. 85-90.

[3] Благовещенский A.C. О различных постановках одномерной обратной задачи для телеграфного уравнения. Проблемы математической физики, вып.1У, 1970, с. 40-41.

[4] Благовещенский A.C. О локальном методе решения нестационарной обратной задачи для неоднородной струны. В кн.: Труды математического института им. В.А.Стеклова, CXV. Наука, Л.; 1971, с. 28-38.

[5] Благовещенский A.C., Лаврентьев К.К. Обратные задачи нахождения граничного условия r теории распространения нестационарных волн. I. В кн.: Записки научных семинаров ЛОМИ, т.51, 1975, с. 78-84.

[6] Благовещенский A.C. Обратные задачи теории распространения упругих волн. Изв. АН СССР, Физика Земли, N 12,1978, с. 50-59.

[7] Благовещенский A.C. Обратная задача теории распространения волн в случайной среде. В кн.: Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 89, 1979, с. 63-70 .

[8] Благовещенский A.C. О задаче интегральной геометрии

' Лаврентьева-Романова.Вест. ЛГУ, серия матем., N 19,1979, с. 110— 112.

[9] Благовещенский A.C., Воеводский К.Э. Обратная задача теории рассеяния от слоисто-неоднородного полупространства. Дифференциальные уравнения, t.XVII. N 8, 1981, с. 1434-1445.

[10] Благовещенский A.C. О теореме существования решения обратной задачи теории распространения волн в слоистой среде. В кн.: Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения. Новосибирск, 1983, с. 44-45.

[11] Благовещенский A.C., Кабанихян С.И. Об обратной задаче теории распространения волн в полубесконечном нерегулярном волноводе. Диф.уравнения, т. XIX, N 4, 1983, с. 603-607.

[12] Благовещенский A.C. Обратные задачи акустики в движущейся среде. В кн.: Проблемы математической физики, вып. 11, Изд. ЛГУ, Л., 1986, с. 46-58.

[13] Благовещенский A.C. О восстановлении функции по известным интегралам от нее, взятым вдоль линейных многообразий. Математические Заметки, т. 39, N 6, 1986, с 841-849.

[14] Белишев М.И., Благовещенский A.C. Прямой метод решения нестационарной обратной задачи для волнового уравнения. В сб.: Условно-корректные задачи матем. физики и анализа. Красноярск, 1988, с. 43-49.

[15] Благовещенский A.C. Обратная осесимметричная задача Лэмба. В кн.: Записки научных семинаров ПОМИ, т. 203, 1992, с. 51-67.

[16] Благовещенский A.C. Формулы обращения преобразования Радона функций с заданным носителем по неполным данным. Тезисы докладов Всероссийской конференции условно-корректных задач математического анализа, Новосибирск, 1992, с 9293.

[17] Белитпев М.И., Благовещенский A.C. Многомерные аналоги уравнений типа Гельфанда-Левитана-Крейна в обратной задаче для волнового уравнения. Условно-корректные задачи матем. физики и анализа. Наука, Сибирское отделение, Новосибирск, 1992, с. 50-63.

[18] Blagovestchensky A.S. Inversion formula of the Radon-transformation with a given support. J. of Inverse and Ill-posed Problems, VSP v. 2, N 2, 1993, pp 109-116.

[19] Belishev M., Blagovestchenskii A., Ivanov S. Two velocity Dinamical System: Boundary Control of Waves Inverse Problems. "Wave motion vol. 25, 1997, p 83-107.

[20] Велиптев М.И., Благовещенский A.C. Динамические обратные задачи теории волн. Изд.СПбГУ, 1999, 266 с.

[21] Blagovestchensky A.S. On an appoach to inverse problem of the wave propagation in dissipative lagered media. PDMI PREPRINT-8/1995, 5 p.

[22] Благовещенский A.C. Обратная задача теории распространения волн в случайной слоистой среде. "Диф.уравнения т. 41, N 10, 2005, с. 1442-1448

[23] Благовещенский A.C. Распространение волн в случайной слоистой среде. Обратная задача. Сибирский мат. журнал, т. 50, N 4, 2009.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 16.07.10 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 2. Тираж 100 экз., Заказ №1074/с. 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

ВВЕДЕНИЕ. 1

ГЛАВА 1. ОДНОМЕРНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ.11

§1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СТРУНЫ .11

1.1.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ.11

1.1.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ.12

1.1.3. ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДАННЫХ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ.12

1.1.4. ПЕРЕФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ В ТЕРМИНАХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.14

1.1.5. НАХОЖДЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТРУНЫ ПО <т{у) И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ.18

§1.2. ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ. ФОРМУЛИРОВКА

ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ.20

1.2.1. КОРРЕКТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРЯМОЙ

ЗАДАЧИ.20

1.2.2. СИНГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.23

1.2.3. СИНГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ СТРУНЫ.15

1.2.4. СИНГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЯ В СЛУЧАЕ РАЗРЫВНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ.27

§1.3. ПЕРВЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ.29

1.3.1. ВЫВОД СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . 29

1.3.2. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.31

1.3.3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЗАВИСИМОСТИ РЕШЕНИЯ

ОТ ДАННЫХ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ.34

1.3.4. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМИ ШАГАМИ.30

1.3.5. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ РАЗРЫВНОГО и{у).37

§1.4. МЕТОД ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.40

1.4.1. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА

РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ (1.12).40

1.4.2. ВЫВОД ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 42

1.4.3. ВОССТАНОВЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ?(?/) ПО РЕШЕНИЮ ЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ.1.45

1.4.4. СТРУКТУРА УРАВНЕНИЙ (1.46). СУЩЕСТВОВАНИЕ

И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ.46

1.4.5. ВИДОИЗМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ (1.49), (1.50) ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ИСТОЧНИКА.48

1.4.6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕОБХОДИМОСТИ. УСЛОВИЯ

РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ.50

1.4.7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДОСТАТОЧНОСТИ.51

§1.5. МЕТОД ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В СИТУАЦИИ РАЗРЫВНОЙ ФУНКЦИИ а (у).52

1.5.1. ПЕРВЫЙ МЕТОД. 52

1.5.2. ВТОРОЙ МЕТОД.53

§1.6. УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬФАНДА-ЛЕВИТАНА

ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ВТОРОГО ПОРЯДКА.54

1.6.1. ВЫВОД ЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ.54

1.6.2. ВОССТАНОВЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПО РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬФАНДА-ЛЕВИТАНА . 57

1.6.3. ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ.58

§1.7. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ЯВНОГО РЕШЕНИЯ

ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ .61

1.7.1. ОПИСАНИЕ ДАННЫХ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ.61

1.7.2. КОНСТРУКЦИЯ РЕШЕНИЯ.63

§1.8. О СВЯЗИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ С НЕЛИНЕЙНЫМИ

ОБЫКНОВЕННЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ.66

1.8.1. СВЯЗЬ МЕЖДУ ОБЫКНОВЕННЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

И ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕЙ.66

1.8.2. ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ СВЯЗИ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

И ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕЙ.68

§1.9. СЛУЧАЙ БОЛЕЕ ОБЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ.72

1.9.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.72

1.9.2. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.73

1.9.3. НАХОЖДЕНИЕ ди .75

§1.10. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

ВОЛН В МЕМБРАНЕ, НАХОДЯЩЕЙСЯ В АКУСТИЧЕСКОЙ СРЕДЕ .76

1.10.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ.76

1.10.2. ФОРМУЛИРОВКА ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ.78

1.10.3. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА В ТЕРМИНАХ МЕМБРАНЫ.79

1.10.4. ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ к±.83

1.10.5. ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИИ ■ш0{х,1).84

1.10.6. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА.84

ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВОЛНОВЫХ

ПРОЦЕССОВ В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ.88

§2.1. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ АКУСТИКИ.88

2.1.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ.88

2.1.2. ПОСТАНОВКА ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ АКУСТИКИ.89

2.1.3. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ АКУСТИКИ МЕТОДОМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ.90

2.1.4. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ.92

2.1.5. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ АКУСТИКИ МЕТОДОМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДОНА.97

2.1.6. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ВОЛНОВОДНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН.100

2.1.7. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СЛОИСТОГО ШАРА. 102

2.1.8. МЕТОД МОМЕНТОВ. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ

И СВЕДЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ . 103

2.1.9. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА. 105

2.1.10. ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (2.29).108

2.1.11. ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ ОПЕРАТОРА Т.109

2.1.12. ЕЩЕ О ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ.111

§2.2. ОБЩЕЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

ВТОРОГО ПОРЯДКА.

ЗАДАЧА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ.114

2.2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.114

2.2.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЗАДАЧИ.115

§2.3. ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ОБЩЕГО

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ.117

2.3.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, ПЕРЕФОРМУЛИРОВКА

В ТЕРМИНАХ СИСТЕМЫ.117

2.3.2. СВЕДЕНИЕ К ИЗУЧЕННОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ.119

2.3.3. МАКСИМАЛЬНО ВОЗМОЖНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

О КОЭФФИЦИЕНТАХ УРАВНЕНИЯ (2.49).121

§2.4. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ В ОБРАТНЫХ

ЗАДАЧАХ ДЛЯ СЛОИСТЫХ СРЕД.123

2.4.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ.123

2.4.2. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ СЛОИСТОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА.

ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ.125

2.4.3. ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ

ДЛЯ ТЕЛЕГРАФНОГО УРАВНЕНИЯ.127

2.4.4. ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ ДЛЯ

ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ АКУСТИКИ.127

§2.5. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

ВОЛН В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ.130

2.5.1. ОБСУЖДЕНИЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ.130

2.5.2. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ.133

2.5.3. МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ. 135

2.5.4 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СЛУЧАЙНОЙ

СЛОИСТОЙ СРЕДЕ. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА.139

ГЛАВА 3. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЕКТОРНЫХ

ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ. 149

§3.1. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ

УПРУГОСТИ.149

3.1.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ.149

3.1.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.149

3.1.3. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ЛЭМБА.150

§3.2. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА

В ДВИЖУЩЕЙСЯ СЛОИСТОЙ СРЕДЕ.153

3.2.1. УРАВНЕНИЯ АКУСТИКИ ДВИЖУЩЕЙСЯ СРЕДЫ. 153

3.2.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ

С УЧЕТОМ СЛОИСТОСТИ СРЕДЫ. 154

§3. СЛУЧАЙ ОДНОМЕРНОГО

РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА.158

3.3.1. ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ РАССМАТРИВАЕМЫХ ЗАДАЧ . 158

3.3.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ.158

3.3.3. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ. 161

3.3.4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ 1.161

3.3.5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ 2.163

3.3.6. МОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА.164

§3.4. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ

СИСТЕМ.167

3.4.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.167

3.4.2. ФОРМУЛИРОВКА ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ.168

3.4.3. ПОСТАНОВКА ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ, ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТА.169

3.4.4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.170

§3.5. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

ВТОРОГО ПОРЯДКА. 172

3.5.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.172

3.5.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.173

3.5.3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА С ФИКСИРОВАННЫМ ИНТЕРВАЛОМ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ.180

§3.6. Обратная задача теории распространения волн в полубесконечном нерегулярном волноводе.182

3.6.1.ВСТУПИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ.182

3.6.2.ПРЯМАЯ ЗАДАЧА.183

3.6.3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА.185

3.6.4. ЗАМЕЧАНИЯ И ПРИМЕРЫ.187

ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ

ИНТЕГРАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ.190

§4.1. ВВЕДЕНИЕ. ЗАДАЧИ ИНТЕГРАЛЬНОЙ

ГЕОМЕТРИИ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ.190

4.1.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ.190

4.1.2.ИНТЕГРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ.190

4.1.3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

И СИНГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ.192

4.1.4. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ.192

4.1.5. СХЕМА КЛАССИЧЕСКОЙ ТОМОГРАФИИ.193

§4.2. О ЗАДАЧЕ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛАВРЕНТЬЕВА-РОМАНОВА. 194

4.2.1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ . 194

4.2.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ

С НОСИТЕЛЕМ В КОНУСЕ. 195

4.2.3. ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ ОПЕРАТОРА А.197

4.2.4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ 3(<т,ц).199

§4.3. ЗАДАЧИ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДОНА

ФУНКЦИЙ С ЗАДАННЫМ НОСИТЕЛЕМ ПО НЕПОЛНЫМ ДАННЫМ. 200

4.3.1.ФОРМУЛИРОВКА РАССМАТРИВАЕМЫХ ЗАДАЧ.200

4.3.2. ЗАДАЧА 1.102

4.3.3. ЗАДАЧА II.106

4.3.4. ДОЧЕРНИЕ ЗАДАЧИ.208

§4.4. ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ ЗАДАЧИ РАДОНА.210

4.4.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.210

4.4.2. НАРУШЕНИЕ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ.211

4.4.3. ОЦЕНКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДОНА.212

4.4.4. РЕДУКЦИЯ ЗАДАЧИ К ДВУМЕРНОЙ СИТУАЦИИ. 212

4.4.5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СФОРМУЛИРОВАННЫХ

ВЫШЕ РЕЗУЛЬТАТОВ.213

Основные результаты настоящего параграфа следующие:

1) найдено общее решение однородного уравнения (4.32)в указанном классе функций;

2) произведена диагонализация оператора II в двумерном случае (п=1) и показано, что достаточно научиться решать уравнение (4.32) в этом случае, случай произвольной размерности сводится к двумерному.

4.4.2. НАРУШЕНИЕ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ. Легко проверяется, что единственность решения в поставленной задаче утрачивается. Действительно, попытаемся искать решение однородной задачи в виде полинома от г с коэффициентами -функциями от х, т.е. т

ЗД = £/*(£)■ (4.35) к+О

Подставляя (4.35) в уравнение (4.32) при К=0, получим т г / Мх){р-(х,у))кс1х = 0. (4.36) 0

Очевидно, уравнение (4.36) удовлетворено, если все моменты каждой функции /¿(ж) до порядка к равны нулю. Обратно, пусть равенство (4.36) имеет место. Тогда выражение, стоящее в левой части равенства, есть полином от р и у степени га. Он представляет собой сумму однородных полиномов степеней, не превышающих т. При этом слагаемое, являющееся однородным полиномом степени к, есть

I с!х/к(х)(р - (х,у))к = 0. (4.37)

Очевидно, из (4.37) следует / йх Д(ж)(ж, у)1 = 0 при всех I < к. Наконец, из последнего равенства вытекает, что все моменты /¿(ж) степеней, не превышающих к, равны нулю. Ниже доказано, что иных решений однородного уравнения, кроме решений вида (4.35), нет.

4.4.3. ОЦЕНКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДОНА. Нетрудно проверить, что при наложенных ограничениях на £

КрШР)\ < Са\1 + \у\ + |р||т°, (4.38) где то < т. Действительно, ПЦ^у, р) | = 11 Пх, у) + г-р) йхйг\ = | II ¡{х^)5^\{х,у) + г-р)-Яа(х)(1хйг\ = | Ц Б^Цх, г)5((х, у) + г — р) • Я*{х) йхйх\.

Здесь (^а(х) - полином от х степени, не превышающей |а|. Применяя оценку (4.34) с 5 > п+ \ а | +т + 1, получим

КуМ оо гп-1 + |а| • (1 + \р\ + \у\т)т <1Г. о ^ '

Последнее выражение есть, очевидно, полином степени т от |у| и |р|, откуда вытекает оценка (4.38) с то = т. Не исключена однако ситуация, когда показатель то в оценке (4.38) в действительности меньше т.

4.4.4. РЕДУКЦИЯ ЗАДАЧИ К ДВУМЕРНОЙ СИТУАЦИИ.

Очевидно, что достаточно научиться исследовать уравнение (4.32) в двумерном случае (п=1). Действительно, пусть фиксировано направление вектора у: у = уш, где ш - фиксированный единичный вектор, ш £ ffin, у - вещественное число. Тогда уравнение (4.32) может быть записано в виде:

У J dzdq5(qy + z-p)f(q,£3,z)=F(io,y,p)t (4.39) где f(q, w, z) := J f{x, z)8((x, cu) - q) dx.

Функция f(q, Си, z) является преобразованием Радона быстро убывающей функции /(■, z) в Rn (z выступает в роли параметра). Задача нахождения f(x,z) по известной при всех q, си, f(q, ¿и, z) есть хорошо изученная классическая задача Радона. Приведем, ради полноты, известные формулы восстановления f(x, z) по f(q, си, z) z) = / ^ ' (4-4°) где функция G(x, z, си) определяется формулой

G(x,z,u) = J f({x,cu)+p, Q)\^Jp.

О 2 /

Величина интеграла понимается как аналитическое продолжение по параметру Л от его значений, для которых ReX > —1, (см. [37]). Тем самым поставленная выше задача свелась к решению уравнения (4.39), при каждом фиксированном значении си. Уравнение(4.39) - это по существу одномерный вариант уравнения (4.32) при произвольном фиксированном си. Дальнейшее исследование будем вести именно для этого случая.

4.4.5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СФОРМУЛИРОВАННЫХ ВЫШЕ РЕЗУЛЬТАТОВ. Итак, перепишем уравнение (4.32) применительно к случаю п=1, зависимость от си, а также птичку над f при дальнейшем исследовании при записи отмечать не будем.

J J f(x,z)5(z + xy-p)dxdz = F{y,p). (4.32')

Пусть рассматриваются интегралы от f вдоль прямых, проходящих через фиксированную точку x0,z0 т.е. z)5(z + ху - zQ - xQy) dx dz = F(y, z0 + x0y). (4.41)

Функции f и F удовлетворяют тем же оценкам (4.34) и (4.38) соответственно. Завышая при необходимости степень m в оценке (4.34), всегда можно считать, что m - нечетно.

Умножая равенство (4.41) на (1 + у2)-"1/2-1 и интегрируя по у в пределах от минус до плюс бесконечности, получим:

J dy{ 1 + у2)-™/2-1 J J f(X) 2щг 2о (XQ х)у) dxdz = х - жо|т+1 J J dxdzf(x, г) х - х0)2 + + г0)2)т/2+1 = Н(х0,г0), (4.42) где

Н(х0,гь) = / йу(1 + у2)-т^-1Р{у,г0 + х0у).

Левая часть равенства (4.42) представляет собой свертку функций Г(х,г) и хт+1г~(т+2\ где г = \/х2 + г2. Интеграл, входящий в эту свертку, очевидно, сходится. Перейдя к преобразованию Фурье, получим:

Тт+1

Ж'СН^) = Я(£,С). (4.43)

Здесь волна обозначает преобразование Фурье, переменные С - двойственные х, ъ. Ниже будем использовать также р = \/£2 + (2. Воспользовавшись известными свойствами преобразования Фурье, а также легко проверяемой формулой АгА = А2г А2, найдем т+Т^т-2) = (т!!)~2(-г|р)т+1(д^ • 1) =

Наконец (см. [37]) (£) = 27Г^, что приводит к равенству: а;т+1Т7-т-2) = 27Г(т!!)-2(^)т+1рт.

Обозначая далее к-кратное дифференцирование ио £ символом или (в случае производных 1-го или 2-го порядка) штрихом, докажем, что рт)(т+1) = (тН)2^»+1 . р-т-Ъщ (4.44)

Напомним, что мы считаем ш - нечетным.

Простым дифференцированием легко проверяется, что формула (4.44) верна в случае т=1.

Пусть формула (4.44) доказана для некоторого нечетного т. Проверим, что тогда она остается справедливой, если заменить т на т+2. Действительно, по формуле Лейбница: (П{т+3) ■ Р2 + С(т+3)(рт)Ст+2) ■ (Р2)' + С1т+3)(рт){т+1\р2)" = (т\\)2[(С+1р~т~2)"р2 + (т + 3)(Ст+1рт2)/2^+ т + 3)(т + 2)Ст+1р"т"2] = = (т!!)2Ст+1[ ~ (гп + 2)(/9-т-40'р2--2 (т + 3)(т + 2)р—4)е2 + (т + 3)(т + 2)р-т~2] = = (т!!)2(т + 2)Ст+1[(т + 4)р-т~6£2 • р2~

-р-т~4р2 - 2(т + 3)/Гт-4£2 + (т + 3)р-т"2] = = (т!!)2(ш + 2)Ст+1[(т + 2)р~т~2 - (т + 2)£2 • р""1"4)] = ((т + 2)!!)2Ст+1/5т"4(р2 - £2) = ((т + 2)!!)2Ст+3р"т4

Формула (4.44) доказана, и доказано, что т+1~-т-2) = 2тгСт+1рт2-Итак, уравнение (4.43) имеет вид:

Г+1 . с) = с)< (4 45)

Формула (4.45) решает задачу диагонализации оператора.

Остановимся на рассмотрении однородного уравнения (4.45). Очевидно, при Н — 0 решением этого уравнения могут быть только линейные комбинации ¿(С) и ее производных до порядка т с коэффициентами - функциями от Отсюда следует, что решениями уравнения (4.42) могут быть только функции вида

771 гк/к(х) - полиномы от г с коэффициентами, зависящими от 0 х. Из равенства (4.40) вытекает, что то же утверждение переносится на случай произвольной размерности.

1. Алексеев A.C. Обратные динамические задачи сейсмики.В кн.: Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных, Наука, М., 1967, с. 9-84.

2. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Наука, Новосибирск, 1978.

3. Аниконов Ю.Е. Формулы обращения для задач кинематической сейсмики и интегральной геометрии. В кн.: Мат.проблемы геофизики, вып.1. Новосибирск, 1971, с. 41-47.

4. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Наука, М., 1972, 456 с.

5. Бабич В.М., Булдырев B.C., Молотков И.А. Пространственно -временной лучевой метод. Изд. ЛГУ, Ленинград, 1985, 272 с.7. Баев A.B.

6. Белинский С.П. Об обратной задаче для линейных симметрических t-гиперболических систем I порядка. В кн.: Математические проблемы геофизики, вып. 6, ч.2. Новосибирск, 1975, с. 100-109.

7. Белинский С.П. Об одной обратной задаче для нелинейных симметрических t-гиперболических систем с п-ь1 независимыми переменными. Дифференциальные уравнения, 1976, N 1, с. 1523.

8. Белинский С.П. Теорема единственности одной обратной задачи для гиперболической системы первого порядка. В кн.: Некорректные математические задачи и проблемы геофизики. Новосибирск, 1976, с. 24-30.

9. Белишев М.И. Обратные задачи рассеяния плоских волн для одного класса слоистых сред. В кн.: Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 78, 1978, с. 30-53 .

10. Белишев М.И. Уравнения типа Гельфанда-Левитана в многомерной обратной задаче для волнового уравнения, В кн.: Записки научных семинаров ЛОМИ , т. 165, N 17, 1987, с. 15-20.

11. Белишев М.И., Благовещенский A.C. Динамические обратные задачи теории волн. Изд.СПбГУ, 1999, 266 с.

12. Белишев М.И., Благовещенский A.C. Прямой метод решения нестационарной обратной задачи для волнового уравнения. В сб.: Условно-корректные задачи матем. физики и анализа. Красноярск, 1988, с. 43-49.

13. Белишев М.И., Благовещенский A.C. Многомерные аналоги уравнений типа Гельфанда-Левитана-Крейна в обратной задаче для волнового уравнения. Условно-корректные задачи матем. физики и анализа. Наука, Сибирское отделение, Новосибирск, 1992, с. 50-63.

14. Белишев М.И. Обратная задача рассеяния для одного класса слоистых сред. В кн.: Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 78, 1978, с. 30-53.

15. Белишев М.И. О нарушении условий разрешимости обратной задачи для неоднородной струны. Функциональный анализ и его приложения, т. 94, 1975, с. 57-58.

16. Благовещенский A.C. Обратные задачи теории распространения упругих волн. Изв. АН СССР, Физика Земли, N 12,1978, с. 50-59.

17. Благовещенский A.C. Обратная задача теории распространения волн в случайной среде. В кн.: Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 89, 1979, с. 63-70 .

18. Благовещенский A.C. Обратная задача теории распространения волн в случайной слоистой среде. "Диф.уравнения т. 41, N 10, 2005, с. 1442-1448

19. Благовещенский A.C. Распространение волн в случайной слоистой среде. Обратная задача. Сибирский мат. журнал, т. 50, N 4, 2009.

20. Благовещенский A.C. Обратная осесимметричная задача Лэмба. В кн.: Записки научных семинаров ПОМИ, т. 203, 1992, с. 51-67.

21. Благовещенский A.C. Об обратной задаче теории распространения сейсмических волн. В кн.: Проблемы математической физики. Л.:ЛГУ, вып. 1, 1966, с. 68-81.

22. Благовещенский A.C. Обратные задачи акустики в движущейся среде. В кн.: Проблемы математической физики, вып. 11, Изд. ЛГУ, Л., 1986, с. 46-58.

23. Благовещенский A.C. Одномерная обратная краевая задача для гиперболического уравнения второго порядка. В кн.: Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 78, 1969, с. 85-90.

24. Благовещенский A.C. О локальном методе решения нестационарной обратной задачи для неоднородной струны. В кн.: Труды математического института им. В.А.Стеклова, CXV. Наука, Л., 1971, с. 28-38.

25. Благовещенский A.C. О теореме существования решения обратной задачи теории распространения волн в слоистой среде. В кн.: Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения. Новосибирск, 1983, с. 44-45.

26. Благовещенский A.C. О различных постановках одномерной обратной задачи для телеграфного уравнения. Проблемы математической физики, вып.IV, 1970, с. 40-41.

27. Благовещенский A.C., Воеводский К.Э. Обратная задача теории рассеяния от слоисто-неоднородного полупространства. Дифференциальные уравнения, t.XVII. N 8, 1981, с. 1434-1445.

28. Благовещенский A.C., Лаврентьев К.К. Обратные задачи нахождения граничного условия в теории распространения нестационарных волн. I. В кн.: Записки научных семинаров ЛОМИ, т.51, 1975, с. 78-84.

29. Благовещенский A.C. О задаче интегральной геометрии Лаврентьева-Романова.Вест. ЛГУ, серия матем., N 19,1979, с. 110112.

30. Благовещенский A.C. О восстановлении функции по известным интегралам от нее, взятым вдоль линейных многообразий. Математические Заметки, т. 39, N 6, 1986, с 841-849.

31. Благовещенский A.C. Формулы обращения преобразования Радона функций с заданным носителем по неполным данным. Тезисы докладов Всероссийской конференции условно-корректных задач математического анализа, Новосибирск, 1992, с 92-93.

32. Блохинцев Д.И. Акустика неоднородной движущейся среды. Наука, М., 1981, 208 с.

33. Вилепкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. М., 1965, 588 с.

34. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. Наука, Москва, 1965, 654 с.

35. Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я., Граев М.И. Интегральная геометрия и связанная с ней теория представлений. Физмат-гиз, М., 1962, 612 с.

36. Гельфанд И.М., Гиндикин С.Г., Граев М.И. Избранные задачи интегральной геометрии. Добросвет, М., 2000, с 208.

37. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. Изв.АН СССР, сер.матем., т.15, 1951, 319 с.

38. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М., 1959, 470 с.

39. Горюнов A.A., Сасковец A.B. Обратные задачи рассеяния в акустике. МГУ, М., 1989, 152 с.

40. Кабанихин С.И. Применение энергетических неравенств к одной обратной задаче для гиперболического уравнения. Дифференциальные уравнения, т.15, N 1, 1979, с. 61-67.

41. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. Наука, М., 1968.

42. Крейн М.Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи. ДАН СССР, т.94, N 6, 1955, с. 987-990.

43. Крейн М.Г. О переходной функции одномерной краевой задачи второго порядка. ДАН СССР, т.88, N 4, 1953, с. 405-408.

44. Лаврентьев К.К. Обратные задачи нахождения граничного условия в теории распространения нестационарных волн, II. В кн.: Записки научного семинара ЛОМИ, т.51, 1975, с. 129-133.

45. Лаврентьев М.М., Романов В.Г. О трех линеаризованных обрат- ных задачах для гиперболических уравнений. ДАН СССР, т. 171, N 6 1966, с. 1279-1281.

46. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Васильев В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Наука, Сиб.отд., Новосибирск, 1969, 67с.

47. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Наука, Новосибирск, 1981. 286 с.

48. Марченко В.А. Восстановление потенциальной энергии по фазам рассеянных волн. ДАН СССР, т.104, N 5, 1955, с. 350-357.

49. Наттерер Ф. Математические основы компьютерной томографии. Мир, М., 1990, 279 с.

50. Нижник JI.П., Тарасов В.Г. Обратная нестационарная задача рассеяния для гиперболической системы уравнений. ДАН СССР, т.233, N 3, 1977, с. 300-303.

51. Нижник Л.П. Обратные задачи рассеяния для гиперболических уравнений. Наукова Думка, Киев, 231 с.

52. Парийский B.C. Обратная задача для волнового уравнения с воздействием на глубине. В кн.: Вычислительная сейсмология, вып. 2. Наука, М., 1969, с. 37-51.

53. Романов В.Г. О восстановлении функции через интегралы по эллипсоидам вращения, у которых один фокус подвижен. ДАН СССР, т. 173, N 4, 1967, с. 766-769.

54. Романов В.Г. Об одной обратной задаче для слабо связанных гиперболических систем первого порядка. В кн.: Некорректные математические задачи и проблемы геофизики. Новосибирск, 1976, с. 135-148.

55. Романов В.Г. Обратная задача Лэмба в линейном приближении. В кн.: Численные методы в сейсмических исследованиях. Наука, Новосибирск, 1983, с. 170-192.

56. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференцальных уравнений. Изд. НГУ, Новосибирск, 1973, 252 с.

57. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. Наука, М., 1984, 263 с.

58. Романов В.Г., Белинский С.П. К задаче определения коэффициентов ¿-гиперболической системы. Изд. ВЦ СОАН СССР. Препринт 23, Новосибирск, 1976, с. 16-24.

59. Романов В.Г., Кабанихин С.И. Обратные задачи геоэлектрики. Наука, М., 1991, 305 с.

60. Романов В.Г., Слинючева Л.И. Обратная задача для линейных гиперболических систем первого порядка. В кн.: Математические проблемы геофизики. Вып.З. Новосибирск, 1972, с. 187-215.

61. Рыжик И.М., Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Физматгиз, М., 1963, 1100 с.

62. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. "НаукаМ., 1979, 288 с.

63. Успенский C.B., Садыкова С.Б. О некоторых задачах интегральной геометрии. Сиб.мат.ж., т. 18, N 3, 1976, с. 414-425.

64. Хелгасон С. Преобразование Радона. Мир, М., 1983,120 с.

65. Яхно В.Г. Одномерная и линеаризованная многомернаяобратные задачи Лэмба, в кн.: Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения. Изд. ВЦ СОАН СССР, Новосибирск, 1983, с. 242-244.

66. Яхно В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Наука, Сиб.отд., Новосибирск, 1990, 304 с.

67. Belishev М., Blagovestchenskii A., Ivanov S. Two velocity Dinamical System: Boundary Control of Waves Inverse Problems. "Wave motion vol. 25, 1997, p 83-107.

68. Blagovestchensky A.S. On an appoach to inverse problem of the wave propagation in dissipative lagered media. PDMI PREPRINT-8/1995, 5 p.

69. Blagovestchensky A.S. Inversion formula of the Radon-transformation with a given support. J. of Inverse and ill-posed Problems, VSP v. 2,1. N 2, 1993, pp 109-116.

70. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation. Phys.Rev.Lett., v. 19, N19, 1967, p. 1095-1097.

71. Helgason S. The Radon transform. Birkhaser, Boston, Basel Stuttgart, 1980.

72. Kay I., Moses H.E. Nhe determination of the scattering potential from the spectral measure function. Nuovo Cimento, v.3, N 2, 1956, p. 276-304.

73. Благовещенский А.С., Кабанихин С.И. Об обратной задаче теории распространения волн в полубесконечном нерегулярном волноводе. Диф.уравнения, т. XIX, N 4? 1983, с. 603-607.