Однопараметрические канонические полугруппы и корректные задачи без начальных условий для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Гим Метак Хамза Гим

Однопараметрические канонические полугруппы и корректные задачи без начальных условий для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 5 1'!0Л 7015

Воронеж — 2015

005570587

005570587

Работа выполнена в

Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Костин Владимир Алексеевич.

Официальные оппоненты:

Пискарев Сергей Игоревич, доктор физико-математических наук, Московский государственный университет им.Ломоносова, Научно-исследовательский вычислительный центр, ведующий научный сотрудник.

Ситник Сергей Михайлович, кандидат физико-математических наук, Воронежский институт МВД России, кафедра высшей математики, доцент.

Ведущая организация: Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск).

Защита состоится 8 сентября 2015 г. в 16.30 на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета а также на сайте http://www.science.vsu. ш/сН8зегн1£о&;сапс1=2770

Автореферат разослан «2^» июня 2015. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22

доктор физико-математических наук, профессор

Гликлих Ю.Е.

Актуальность темы. Как известно, активное применение теории полугрупп и групп к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными началось с работ Ж.Адамара, заметившего, что задача Коши для волнового уравнения приводит к некоторым группам преобразований. При этом, из групповых свойств вытекают определенные теоремы сложения. В случае же преобразований параболического типа, когда соответствующие явления необратимы, вместо групп появляются полугруппы.

В работах Хилле, Иосиды, Филлипса и Като были заложены основы теории дифференциальных уравнений вида u'{t) = Au(t) с неограниченным оператором А, которая, после этого, становится самостоятельной областью исследования, привлекающая внимание многих авторов, в числе которых важное место занимают и воронежские математики: С.Г. Крейн, М.А. Красносельский, П.Е. Соболевский, А.Г. Баскаков и др. Этой тематике посвящены также работы и других российских математиков: С.И. Пискарева, Г.А. Свиридюка, В.Е. Федорова и др.

В теории уравнений параболического типа важное место занимают одно-параметрические полугруппы линейных преобразований T(t), t > 0, называемые каноническими и определяемые соотношением Т(а®ß) = T(a)T(ß), где а, ß — действительные или комплексные числа. При этом в системе рассматриваемых чисел можно выделить множество полугрупп, соответствующих разнообразным операциям сложения.

Так известно, что если F(x, у) функция х, у е К, такая, что F(x, у) G К+

и

F(x,(F(y,z)) = F(F(x,y),z), (1)

то формула а © ß = F(a, ß) может служить определением полугрупповой операции в R+. При этом введение таких операций связывается с теоремами сложения для некоторых элементарных функций. К таким сложениям, например, относятся:

l)a + ß, 2)a-ß, 3)^, 4)a(l + ß2)i+ß(l + a2)K (2)

соответствующие функциям: 1) а;, 2) 1пх, 3) thx, 4) shx.

В настоящей диссертации используется подход В. А. Костина введения широкого класса канонических полугрупп вида

ЗДМх) = v[h~\h{x) + p(t))}, (3)

со сложением

x®t = p-1[p(x)+p{t)}. (4)

Здесь х е (а, Ь) С М, Ь 6 М+, функции Н{х) и р{Ь) положительные и строго монотонно возрастающие, функция (р(х) из соответствующего функционального пространства. В случае р{£) = 4 сложение (4) обычное, т.е. х®Ь = х + Ь.

Такие полугруппы называются арифметическими. Для них также справедливо соотношение

Тм(0)<р = у». (5)

Все полугруппы со сложением (2) являются арифметическими. Для арифметических полугрупп существуют константы Миш такие, что выполняется оценка

\\ТШ\е < Ме~"гМЕ, (6)

где Е— соответствующее пространство. Определен производящий оператор (генератор) А, заданный дифференциальным выражением Рд^а;)

с1р(х)

Щх)

С

плотной в Е областью определения.

То есть, арифметические полугруппы являются сильно непрерывными в нуле.

В диссертации методами теории сильно непрерывных полугрупп устанавливается корректная разрешимость по Адамару нестационарных задач для уравнения теплопроводности, называемых задачами без начальных условий, которые характерны для уравнений с особенностями, то есть рассматриваемых в неограниченных областях, либо с коэффициентами имеющими особенность, в частности, вырождающихся.

Например, многие процессы тепло- и массопереноса описываются нестационарной задачей

ди(Ь,х) д2и(г,х) \ /р. \ /-ч

^ = да;2 ' í е ж е

и(Ь, 0) = ио(Ь), и(1, оо) = 0. (8)

Ь— время, х— пространственная координата, х)— температура.

Требуется определить выражение для теплового потока, т.е. производную от температуры по координате х на границе области

ди(Ь, х)

дх

(9)

х=0

Частный случай такой задачи (когда ио(£)— периодическая функция или заданная рядом Фурье) рассмотрен в монографии Ю.И. Бабенко. Здесь она называется задачей без начальных условий.

В настоящей диссертации, методами теории сильно непрерывных полугрупп линейных операторов, рассматривается более общая задача отыскания решения уравнения

где a(t), 7(£)— произвольные непрерывные на (а,Ь)~ функции, u0(t)— элементы некоторого банахова пространства.

Эти исследования приводят к необходимости изучения дробных степеней операторов.

Понятие корректной разрешимости задач для эволюционных уравнений тесно связано с неравенствами коэрцитивности, дающим оценку сверху нормы решения некоторого эллиптического уравнения через норму известной функции и нормы граничных условий.

Работы по проблемам коэрцитивности для систем дифференциальных операторов с частными производными были начаты Н. Ароншайном в пятидесятых годах прошлого века, развиты Л. Хермандером, М. Шехтером, Д.Ж.Фигуэрдо и другими зарубежными математиками. Дальнейшему изучению этой проблемы для дифференциальных операторов в пространствах С.Л. Соболева изотропных и анизотропных посвящены фундаментальные работы О.В. Бесова, С.М. Никольского. Проблема коэрцитивности для эволюционных уравнений с оператором в банаховом пространстве исследовалась в работах П.Е. Соболевского.

В диссертации, по аналогии с системами дифференциальных операторов Бесова-Никольского вводятся системы С0- операторных многочленов, то есть многочленов над полем комплексных чисел от производящего оператора сильно непрерывной полугруппы линейных операторов в банаховом пространстве, для которых устанавливаются неравенства коэрцитивности.

Результаты используются для исследования корректной разрешимости полигармонического уравнения С.Л. Соболева, в пространствах Wf (Rn), а также для обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями.

Цели и задачи исследования. 1. Установление корректной разрешимости, в смысле С.Г. Крейна, задач без начальных условий для дифференциального уравнения теплопроводности.

(10)

х 6 (0, сю), t е (а, Ь) с M = (-оо, оо), удовлетворяющая условиям u(t,0) = u0(t), u(t, оо) = О,

(И)

2. Установление коэрцитивных оценок для систем Со- операторных полиномов.

3. Установление корректной разрешимости для задач без начальных данных для полигармонического уравнения.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории сильнонепрерывных полугрупп и групп преобразований и их приложений к конкретным задачам.

Научная новизна. 1. Изучены новые классы нестационарных задач без начальных данных для одномерного уравнения теплопроводности, коэффициенты которого имеют особенности.

2. Введены и изучены новые классы канонических полугрупп линейных преобразований в функциональных пространствах, введенных в диссертации.

3. Впервые установлены неравенства коэрцитивности для Со- операторных многочленов.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретические обоснования корректной разрешимости задач для дифференциальных уравнений, используемых в механике, гидродинамике, тепломассопереносе и т.д. Они актуальны при численной реализации задач с применением высокоскоростных компьютерных технологий.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе в 2014 г., на Воронежской математической школе "Понтрягинские чтения" в 2013, 2014 гг., на Международной молодежной научной школе "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач"в 2012 г., а также на семинарах ВГУ по математическому моделированию (рук.— проф. В.А. Костин) и нелинейному анализу (рук.— проф. Ю.И. Сапронов, проф. Б.М. Даринский).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[8]. В совместных публикациях [1]—[8] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работы [1]—[3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых журналов и изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 19 параграфов, литературы из 58 наименований. Общий объем диссертации— 88 стр.

Краткое содержание диссертации. В диссертации методы теории полугрупп линейных преобразований применяются к исследованию корректной

разрешимости нестационарных задач без начальных условий для параболических уравнений с особенностью, когда временной параметр может изменяться на всей действительной оси, а коэффициенты от пространственной переменной могут вырождаться.

В практических исследованиях такие задачи встречаются либо при описании установившихся периодических процессов, либо процессов, начавшихся так давно, что начальные данные не сказываются на поведении решения.

Применяемые методы исследования приводят к необходимости обобщения неравенств коэрцитивности для систем дифференциальных операторов, на случай систем операторных многочленов, действующих в банаховом пространстве. С помощью полученных в этом направлении результатов, устанавливается равномерно корректная разрешимость неоднородного полигармонического уравнения С.Л. Соболева в пространствах W[(Rn).

Первая глава диссертации содержит необходимую терминологию, понятия и общие фундаментальные факты, связанные с общей теорией однопарамет-рических полугрупп преобразований и, в частности, с каноническими полугруппами.

В §§1.4-1.6 вводятся понятия арифметических полугрупп и их производящих операторов.

В §§1.7 и 1.8 обсуждаются проблемы корректной разрешимости задач по Ж.Адамару и равномерно корректной разрешимости по С.Г. Крейну, их связи с сильно непрерывными полугруппами (теорема ХФИФМ).

Вторая глава диссертации содержит самостоятельные результаты. В §§2.3-2.5 вводятся полугруппы с деформацией T^p(t) и их производящие операторы

а) Полугруппы T£p(t).

На интервале (а, Ь) С 1 = (-оо,оо)— конечном или бесконечном, введем непрерывно дифференцируемую функцию h(x) такую, что h'(x) > О, lim h(x) = оо.

X—>6 V '

Через L+whg будем обозначать пространства функций tp(x) с нормой

Г fb

1М1+ = / \ехр[шк(х)]д(х)ф)\ЧЦх) \ (12)

L«/ а

> 1, ш > 0, д(х) > 0, д'(х) > 0. Введем обозначения h(x) © t = h~l[h(x) + t].

Пусть р{х) > 0 локально интегрируемая на (а, Ь) функция. Будем рассматривать операторное семейство

ТнМФ) = ехр [ Г ртко

<р[н(Х) ® г).

(13)

Теорема 1. Операторное семейство (Ь) является сильно непрерывной сжимающей полугруппой, действующей в пространстве удовлетворя-

ющей оценке

\\Т+т < ехр(-^). (14)

Ее генератором является оператор , задан выражением

(15)

с областью определения 0(А^р) = {^6 &

б) Полугруппы

Рассмотрим случай когда функция И(х), х £ (а, Ь) удовлетворяет условиям: Н'(х) > 0, Нт Н(х) = -оо при ха

Через ы н д обозначим пространства функций с нормой

1МГ = Мм = \ [Ьехр(-и;}1(х))д(х)\ф)\Чх

I За

р > 1, ш > 0, д(х) > 0, д'(х) < 0.

Пусть Н{х) ©í = /г_1[/1(х) — г]. Рассмотрим операторные семейства

(16)

ЧЛ*МХ) = ехР

/

•Л(х)64

1р[к(х)еь].

(17)

Для этих семейств аналогично доказывается

Теорема 2. Операторное семейство (17) является сильно непрерывной полугруппой действующей в пространстве Ь~и к д и удовлетворяющей оценке

Ее генератором является оператор А^ , заданный выражением с областью определения 0(А^р) = {<р € £ Ь~ш1гд}.

(18)

Рассматриваются примеры

1. Если оператор задан выражением (15), р(х) = р ■ Н(х), р > 0, то производящая его полугруппа имеет вид

= (фЛКх) + ь)]-

(20)

Она является сильно непрерывной в пространстве Ь^и}1д с нормой (12). 2. Если х е (—оо, оо), к{х) = х, р = 0, то из (20) следует, что Т£({)<р(х) = <р(х + ¿) является полугруппой правых сдвигов в пространстве с нормой

1МГ

/оо

е"хд{х)\ф)\Чх

•оо

(21)

Аналогично, полугруппа левых сдвигов Тк (Ь)(р(х) = (р(х — Ь) является сильно непрерывной в пространствах Ь~ш к д с нормой

1МГ =

/

•1 —с

е~шхд{х)\ф)\Чх

(22)

Здесь и> > 0. Заметим, что при ш = 0 эти факты не справедливы. 3. Если в (21), (а, Ь) = (0, оо), р > 0, р(х) — х, то соответствующая полугруппа имеет вид

ПМФ) =

х + Ь

<р{х + €).

(23)

4. Гиперболические полугруппы. Если (а, 6) = (0,1), Н{х) = р = 0, то нетрудно видеть, что в этом случае мы имеем полугруппу

ШФ) = V ,

(24)

которая называется гиперболической.

Замечание. В случае сложения { фз = /1_1[/1(й) + Л(£)] полугруппа (24) имеет вид <р

Из наших результатов следует, что эта полугруппа сильно-непрерывна в пространствах с нормой

ш "I -

Икр= ПР^)2 \Ф)\р*х'. (25)

В §2.6 рассматриваются нестационарные задачи без начальных условий.

В предположении а{Ь) > 0, 7(£) > О, = а(<), р(Ь) = ^у будем рассматривать два уравнений вида (10).

д2и+(1,х) _ ди+(1,х)

дх2 дН{€)

д2и-(Ь,х) _ ди^(Ь,х)

+ р{1)и{Ь,х), (26)

+ р{Ь)и[Ь,х), (27)

дх2 дк(г)

Поменяв местами параметры £ и х, уравнения (26) и (27) запишем в виде

д2и

дР

= Ъ+и+{г,х), (28)

д2и-

^Г-=(29) При этом краевые условия принимают вид

и±(0,х) = щ(х); и±( оо,х)=0. (30)

Считая и±^,х) векторнозначными функциями и±(Ь) со значениями в пространствах или Ь~и11д соответственно, можно записать задачи (28)— (30) в операторной форме

^¡г = (31)

м±(0) = щ, и±( оо) = 0 в пространствах , то справедлива

Теорема 3. Пусть Ь0 е (а,Ь), = //о а{з)йз, р(Ь) = тогда: 1) для каждого щ € существует единственное обобщенное решение

задачи (28)-(30), и оно представимо в виде

х Г°° з { х2\ П+{Х) = 2^1 6ХР {~4~8) №

X з / х2\

их) = 2^1 8"2 ехр \ 4в/ тиз>-Ан,Р>о№з (33)

Из (32) и (33), в частности, следуют представления соответствующих тепловых потоков

9+(4) = = (34)

их 2=0

^ , „ ч! , ч

9-Ю = = (35)

В заключении заметим, что результаты, полученные в настоящей диссертации, являются новыми даже в простейшем случае h{x) = х, р(х) = 0, когда T^tytp^x) = ip{x ± í)— полугруппы сдвигов, а операторы (—А±)2 определяются дробными производными Римана-Лиувилля.

В третьей главе диссертации, по аналогии с системами дифференциальных операторов Бесова-Никольского, вводятся системы Со- операторных многочленов, то есть многочленов над полем комплексных чисел от производящего оператора сильно непрерывной полугруппы линейных операторов, в банаховом пространстве вида:

п

ки = Рп(А)и = Е атАти, и е D{An) (36)

m=О

которые мы называем Со - операторными многочленами.

Определение 1. Систему операторных многочленов (36) назовем коэрцитивной, если для всех и G D(AN) выполняется неравенство

N пк N

Е Е IiАтки н^ м2 Е Ii А*и IU- (37)

Tlk=1 тк=1 fc= 1

В §3.4 доказана следующая

Теорема 4. Система Со — многочленов (36) является коэрцитивной, если корни Лkj(k = 1,..., N, j = 1,..., пк) многочленов Р„к(Х), Л G С удовлетворяет условию

min ReXkj = Л0 > ш. (38)

k,j

§3.5 посвящен применению теоремы коэрцитивности к некоторым конкретным системам операторов и применению к представлению решений задач без начальных условий высокого порядка.

В пункте 3.5.1 диссертации применяется теорема 4 к операторам, которые связаны дифференциальным выражением I = х € М.

Для этого введем банаховы пространства непрерывных на К функций, определенных нормами

IMI+, = supe-^iMaOI, и > 0, д(х) > 0,д'(х) > 0; (39)

хек

в случае С+д,

|MI~3 = supе~шхд(х)\(р(х)\, ш > 0, д{х) > 0,д'(х) < 0; (40)

хеЕ

в случае Сш<д.

Рассматриваются полугруппы сдвигов

и+У)ф) = ф + г), если </> € С+д, (41)

1]~{£)ф) = ф - Ь), если<р € С~д. Для этих полугрупп доказываются неравенства

\\иЧЫйд < е-"Ъ\й3 (42)

Генераторами этих полугрупп являются операторы А± заданные, соответственно дифференциальными выражениями

dUHt) , ,

t=о их

и областями определения D(A±) = {ip : ip G ^ £ Справедлива

Теорема 5. Система многочленов

пк f d\mk

^ки = атк l±—\ и(х) (44)

является коэрцитивной в если соответственно корни Xkj многочленов РПк{А), А € С удовлетворяют условию

minReXk = А0 > — w. (45).

k,j '

В качестве следствия получаем, что уравнение

Edmu{x)

т~= (46)

т=О

имеет единственное решение и оно представимо в виде

оо оо

а) и(х) = J q(t)f(x + t)dt = J д(т — х)!{т)йт, (47)

О х

где / е С+д, q(r)— решение задачи Коши

¿(-^"«-S = я(0) = • • • = ^ = 0- (48)

n dx

m=О

00 х

S) U(x) = J q(t)f(x - t)dt = J q(x- T)f(r)dT, (49)

о

где / £ С~д, д(т) — решение задачи Коши

т=О

В частности, решение задачи и'(х) = /(х) в пространствах С+ имеет

вид и(х) = - f f(x)dr, а решение задачи -и'(х) = }{х) в С~д имеет

вид

и(х) = J f(s)ds. При этом справедливы оценки

||ц||± < № (50) U1

Замечание 1. Пространства С^ здесь являются оптимальными, в том смысле, что если неравенства (50) выполняются для норм более общего вида

ii/ii; = (si)

где р{х) > 0, р'{х) > 0, р(-оо) = 0, то р(х) имеет вид р(х) = ешхд(х), ш > О, д(х) > 0, д'(х) > 0.

Пример 1. В этом примере для полинома Рп(Х) из предыдущего примера, рассмотрим оператор А, заданный дифференциальным оператором

В2ф) = (1-х2)^. (52)

Оператор В>2 является генератором Cq- полугруппы вида

<53>

которая является сильно непрерывной в пространствах функций с нормой

/\ х\ 2

IMk3 = SUp -- gi(x)\lfi{x)\,

хе(-1,1) \L-xJ

здесь д\[х)— произвольная положительная функция, такая, что д'2(х) > 0, в силу того, что д'{х) > 0.

Таким образом, уравнение = 2 ОтЩГЦо:) = Лх) Для каж-

771=о

дого / £ Сь,)3[— 1,1] имеет единственное решение и(х), и оно представимо в виде

Г°° Г00 ( х + Ш Ь \

При этом, справедлива оценка

Мкэ <

До — ш

Пример 2. Пусть х е К", Е = Ьр{Жп), р > 1, ||/||р = [/; ператор А зададим лапласианом С. Л. Соболева с нормой

д^и(х)

Оператор А зададим лапласианом Аи = ^ и определим в пространстве

1=1 4

Икг = 1Мк +

АЛ

дХг

Е"—

. 2=1

. (Р > 1)

Так определенный оператор А является генератором полугруппы класса Со Гаусса-Вейерштрасса

иШх) = I ^М*8 (54>

их"

действующий в ¿.р(К.п), при этом а; = 0. Применение теоремы 4 к этим операторам дает следующий результат. Теорема 6. Система многочленов

Пк

Аки = ^ аткАтки (55)

77Ц; = 1

является коэрцитивной и удовлетворяет соотношениям (37), если корни \к,]{к = = 1 ,...,ик) многочленов Р,1к(Х) расположены в поло-

жительной комплексной полуплоскости. Теорема 7. Уравнение

N

^2атАти = /, (56)

т=0

при / 6 Ьр(Шп) имеет единственное решение и € \¥рт(Ж.п), для него справедливо представление

2 N т 1 Г / \ _ I \

■м-^• ЕЕ/га ■ wn--в/сл

где Kv(z) — функция Макдональда

2) Для частного случая полигармонического уравнения

Ати(х) = /, meN (57)

рассматриваемого, где /— обобщенная функция, из наших результатов следует

Теорема 8. Если выполняется условие п > 2т, то для всякого / е Lp(Rn) уравнение (57) имеет единственное решение и € Жр2т(М") и для него справедливо представление

и{х) = Gm,„ • f(x) = J Gmin{x - s)f(s)ds, (58)

где

= ( r}N- (59),

22m7rf

что совпадает с известным представлением С.Л.Соболева.

Г(та)22'"7г5

Список литературы

[1] Гим М.Х. О коэрцитивности систем Со- операторных многочленов / М.Х. Гим, В.А. Костин, М.В. Муковнин // Вестник ВГУ, Математика, Физика, №4, 2014, с. 150-159.

[2] Гим М.Х. О корректной разрешимости некоторых нестационарных задач без начальных условий/ М.Х. Гим, В.А. Костин, М.В. Муковнин // Белгород: Научные ведомости БелГУ, серия Математика, Физика №25(196). Вып. 37, С. 30-38

[3] Гим М.Х. Об одной нестационарной задаче без начальных данных / М.Х. Гим, М.Н. Небольсина / Глобальный научный потенциал // 2015,- № 4(49).-С.96-98

[4] Гим М.Х. Об одной нестационарной задаче для уравнения тепломассопере-носа с особенностью// М.Х. Гим, М.В. Муковнин Актуальные направления научных исследоваий XXI века: теория и практика, №5 часть 1(10-1), 2014 г.,- С. 34-36.

[5] Гим М.Х. О дробных степенях одного класса интегральных операторов / М.Х. Гим, М.В. Муковнин // Актуальные направления научных исследо-ваий XXI века: теория и практика, №5 часть 1(10-1), 2014 г., с. 43-46.

[6] Гим М.Х. Задача без начальных данных для уравнения субдиффузии на оси / М.Х. Гим, В.А. Костин, Д.А. Фахат // Актуальные направления научных исследоваий XXI века: теория и практика, №5 часть 1(10-1).- 2014 г., С. 43-46.

[7] Гим М.Х. Со- операторные уравнения и полугрупповое представление их решений / М.Х. Гим, В.А. Костин, Д.В. Костин // Актуальные направления научных исследоваий XXI века: теория и практика, №5 часть 1(10-1).-2014 г., с. 67-68.

[8] Гим М.Х. О точном решении одного полигармонического уравнения в пространствах Степанова / М.Х. Гим, А. Шихаб // Материалы международной конференции С.Г. Крейна ВЗМШ 2014.- С. 412-413.

Работы [1]—[3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых журналов и изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Подписано в печать 24.06.15. Формат 60><84 Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 450.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского дома ВГУ. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3