Определение собственных частот и форм свободных колебаний осесимметричных пластинок методом начальных параметров тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.03 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА

1.1. Свободные колебания осесимметричных пластинок.

1.2. Метод начальных параметров в строительной механике

2. МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПЛАСТИНОК НА ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ.

2.1. Основные положения

2.2. Дифференциальные уравнения.

2.3. Методика расчета.

2.4. Влияние числа участков на результаты расчетов

2.5. Влияние коэффициента Пуассона на результаты расчетов.

2.6. Влияние деформации сдвига и инерции вращения масс на результаты расчетов.

2.7. Погрешности расчета круглых пластинок.

3. РАСЧЕТЫ ПЛАСТИНОК НА ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ.

3.1. Программа определения на ЭВМ частот свободных колебаний.

3.2. Пластинки постоянной толщины.

3.3. Методика определения форм свободных колебаний пластинок.

3.4. Форш собственных колебаний пластинок

3.5. Пластинки переменной толщины

4. НЕ0СЕШ1МЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК.

4.1. Дифференциальные уравнения.

4.2. Пластинки постоянной толщины.

4.3. Пластинки переменной толщины.П

5. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНОК

5.1. Пластинки, расположенные на упругом основании

5.2. Свободные пластинки

5.3. Пластинки на упругих опорах.

5.4. Пластинки под действием растягивающих и сжимающих сил.

5.5. Сопоставление результатов расчета пластинок различными методами.

ВЫВОДЫ

Круглые и кольцевые осесимметричные пластинки, рассматриваемые в настоящей работе, широко используются в машиностроении, приборостроении, строительстве и других отраслях техники, а потому исследование характера их работы имеет серьезное практическое значение. Естественно поэтому, что изучению этих конструкций и, в частности, вопросов их динамики посвящено большое число работ.

Одна из важнейших задач динамики состоит в определении собственных частот" ( [86] , с.480). "Спектры собственных частот и собственных форм характеризуют "динамическую индивидуальность" любой линейной колебательной системы" ( [7б] , с.282). Эти спектры нужны для изучения процесса свободных колебаний и для исключения возможности появления резонанса. Они представляют интерес также потому, что многие способы исследования вынужденных колебаний, вызываемых самыми разнообразными нагрузками (периодическими, импульсивными и случайными) основаны на предварительном изучении свободных колебаний.

От соотношений между толщинами пластинок и размерами их в других направлениях, от величин прогибов пластинок, характера и величины действующих на них нагрузок зависит подход к их расчету. Различают пластинки толстые, тонкие, гибкие небольшого прогиба, гибкие большого прогиба и мембраны. В настоящей работе рассматриваются свободные колебания пластинок . наиболее широко распространенного вида, а именно тонких пластинок и гибких пластинок небольшого прогиба. Поперечные колебания таких пластинок являются линейными. Методы расчета их (так называемая техническая или классическая теория изгиба и колебаний пластинок) разработаны более широко и глубоко, чем пластинок других видов. Несмотря на это, многие задачи определения частот и форм свободных колебаний таких пластинок еще не решены. Так, например, из большого числа возможных схем закрепления круглых пластинок имеются решения лишь для нескольких схем, причем в значительной части случаев найдены частоты лишь осесимметричных колебаний, а частоты неосесимметричных колебаний не получены; очень мало решений для пластинок переменной толщины, для упруго закрепленных пластинок, вовсе не рассмотрены пластинки с опорами, расположенными не у краев и др. Объясняется это в основном тем, что даже в простейших случаях решения таких задач связаны с необходимостью получения и решения (путем подбора) сложных трансцендентных уравнений.

Отсутствует методика расчета осесимметричных пластинок на собственные колебания (осесимметричные и неосесимметричные), которая позволяла бы рассчитывать пластинки постоянной и переменной толщины (т.е. с толщиной, изменяющейся вдоль радиуса по любому закону), расположенные на упругом основании, закрепленные любым способом у краев и по промежуточным окружностям, при действии любых осесимметрично приложенных продольных сил, при наличии любого числа жестких или упругих (симметрично расположенных) опор (связей) и которая позволяла бы учитывать при расчете деформацию сдвига и инерцию вращения масс. Разработка такой методики является целью настоящей работы.

В предлагаемой методике расчета пластинок используется метод начальных параметров, матричная форма которого особенно удобна для расчетов, выполняемых на ЭВМ. Разработанный в последние годы способ вычисления матриц влияния метода начальных параметров, не требующий представления выражений элементов этих матриц в явной форме, открывает возможности использования метода начальных параметров для решения широкого круга разнообразных задач расчета пластинок с любыми переменными (вдоль радиуса) параметрами (толщиной, плотностью, коэффициентом постели упругого основания и др.).

При выполнении настоящей работы было определено более тысячи частот свободных колебаний осесимметричных пластинок различным образом закрепленных, имеющих различные размеры, с толщинами, изменяющимися вдоль радиусов по различным законам. Для каждой рассчитанной пластинки было определено по нескол1г-ко частот осесимметричных и неосесимметричных колебаний - с разным числом узловых окружностей и узловых диаметров. В процессе выполнения работы был составлен и отлажен пакет программ для ЭВМ, с помощью которых можно легко выполнить во много раз большее число расчетов самых разнообразных пластинок, чем было сделано. Это, однако, не входило в задачу настоящей работы, целью которой являлась разработка новой методики, обладающей высокой точностью, имеющей широкую область возможного применения, и исследование этой методики.

Работа состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается состояние вопросов, затрагиваемых в диссертации. Во второй главе получена матрица дифференциального уравнения задачи расчета свободных осесимметричных колебаний пластинок, разработана методика расчета пластинок на такие колебания, исследованы некоторые особенности этой методики и рассмотрено влияние некоторых параметров пластинок на свободные колебания их. В третьей главе рассмотрены программы для определения на ЭВМ частот и форм свободных осе симметричных колебаний пластинок, приведены результаты определения по этим программам частот и форм свободных осесимметричных колебаний большого числа пластинок постоянной и переменной толщины, различающихся способами их закрепления, а также проведен анализ полученных результатов. В четвертой главе получена матрица дифференциального уравнения задачи расчета свободных неосе-симметричных колебаний пластинок и приведены результаты определения частот свободных неосесимметричных колебаний большого числа пластинок постоянной и переменной толщины, закрепленных различным образом. В пятой, последней, главе определены частоты свободных колебаний пластинок, расположенных на упругом основании, свободных пластинок, пластинок на упругих опорах, расположенных у краев и по промежуточным окружностям, а также пластинок, сжатых и растянутых силами, параллельными их срединным поверхностям. Кроме того в пятой главе результаты расчетов пластинок, полученных по предлагаемой методике, сопоставлены с результатами их расчетов, приведенными в научной и технической литературе. В приложениях к работе дан перечень выполненных расчетов и приведены две характерные программы для ЭВМ.

В работе формулы, рисунки и таблицы нумеруются следующим образом: сначала указывается номер главы, затем (после точки) номер пункта и затем (после точки) номер формулы, рисунка или таблицы. При ссылках на формулу, рисунок или таблицу в пределах пункта номера главы и пункта не указываются.

На защиту выносятся:

1. Разработанная методика расчета свободных осесимметричных и неосесимметричных колебаний осесимметричных круглых и кольцевых пластинок постоянной и переменной толщины.

2. Использование для расчета свободных колебаний пластинок матричной формы метода начальных параметров с представлением матриц влияния как матрицантов.

3. Пакет программ для определения на ЭВМ частот и форм свободных колебаний осесимметричных пластинок.

4. Результаты выполненных расчетов свободных осесимметричных и неосесимметричных колебаний пластинок постоянной и переменной толщины, закрепленных различным образом.

5. Результаты исследования разработанной методики расчета свободных колебаний пластинок.

6. Результаты проведенного анализа свободных колебаний пластинок и влияния на них различных факторов.

I. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА

I.I. Свободные колебания осесимметричных пластинок

Положения, на которых основаны методы расчета пластинок, зависят от размеров пластинок, величин их прогибов, характера и величины действующих нагрузок. В зависимости от подхода к расчету пластинок, различают следующие виды их:

1) Толстые пластинки, да которых отношение (толт щины к наименьшему из других размеров) больше - . Они рас5 считываются методами теории упругости, как трехмерные тела. о т

2) Тонкие (или жесткие) пластинки, для которых ^ = . 5

Они рассчитываются методами, основанными на гипотезе Кирхгофа и на пренебрежении цепными напряжениями, возникающими в пластинках. Прогибы таких пластинок не превышают половины их толщины.

3) Гибкие пластинки небольшого прогиба, загруженные, кроме поперечных, продольными силами. При расчетах их используется гипотеза Кирхгофа, не учитываются цепные напряжения, учитываются моменты, вызываемые продольными силами. Задачи их расчета аналогичны задачам расчета стержней на продольно-поперечный изгиб.

4) Гибкие пластинки большого прогиба. При расчетах их используется гипотеза Кирхгофа, учитываются цепные напряжения.

5) Мембраны - пластинки небольшой толщины, в которых возникают столь малые изгибающие моменты, что ими можно при расчетах пренебречь. Несущая способность их обеспечивается возникающими в них цепными напряжениями.

Обзоры работ по вопросам расчета пластинок содержатся в работах Б.Г.Коренева [59, 61, 62] , Я.Г.Пановко [ 62, 76 ] , Г.Ю.Джанелидзе [43] , Ю.Н.Работнова [87] .

В настоящей работе рассматриваются тонкие пластинки и гибкие пластинки небольшого прогиба, а потому ниже излагается состояние вопросов расчета лишь пластинок этих видов. Теорию таких пластинок называют классической или технической. Эта теория основана на гипотезе Кирхгофа о том, что прямолинейный элемент, нормальный к срединной поверхности пластинки до деформации, остается таким же и после деформации (аналогичной гипотезе плоских сечений Бернулли для стержней), на предположении о малости нормальных напряжений , действующих по площадкам, параллельным срединной поверхности, на положении о том, что материал пластинки упругий и подчиняется закону Гука, а также на возможности использования (ввиду малости деформаций) приближенного выражения кривизны.

В рамках классической теории для определения частот и форм свободных колебаний используется много разнообразных методов: метод Релея-Ритца [38 J , метод Бубнова-Галеркина [29] , метод коллокаций [55] , метод возмущений [б7] , метод рядов [82] , метод сеток [25] , метод начальных параметров Б.Г.Коренева [ 60 ] , метод Эдаана [ 141 ] , асимптотический метод В.В.Болотина [1б] и др. Краткое изложение этих методов приводится в работах [38, 100, 107] и др.

Точные решения динамических задач теории пластинок единичны, а многочисленные приближенные методы ограничены и часто приводят к непреодолимым трудностям вычислительного характера см.об этом б работе [l8] , с.З ). Этим, в основном, объясняется то обстоятельство, что в научной и технической литературе частоты свободных колебаний, например, круглых пластинок, рассматриваются лишь при нескольких видах их закрепления, а многие другие виды закрепления, не менее распространенные, не рассматриваются. Более того, для некоторых из рассмотренных видов закрепления не приводятся значения частот неосесимметрич-ных колебаний, и даже для осесимметричных колебаний дается всего 2-3 перше частоты, в то время как для некоторых других видов закрепления дается более чем по 100 значений частот осесимметричных и неосесимметричных колебаний.

При определении частот и форм свободных колебаний рассматриваются гармонические колебания, что позволяет исключить время из уравнений движения и свести задачу к определению амплитудных значений перемещений, усилий и напряжений, т.е. к задаче аналогичной обычной статической. Таким образом, открылась возможность применения аппарата строительной механики статически нагруженных систем к решению динамических задач. Это и было сделано для разнообразных конструкций в работах Н.И.Без-ухова [ 5, 6, 7, 8] , К.С.Завриева [48] , Д.А.Белоуса [9, 10 ] , И.В.Урбана [ill, 112] , Н.К.Снитко [9б] , C.M.Lfoam-на [74] и др., а для пластинок - в работах С.А.Гершгорина [34] , А.П. Филиппова [пб] , В.З.Власова [ 26] , В.И.Пет-рашеня [78] , М.П.Галина [ 30] , А.М.Какушадзе [ 49] , Б.Г.Коренева [ 60] , В.В.Болотина [ 16, 17] , К.А.Кистья-на [ 52 ] , В.Н.Москаленко [ 72, 73 ] и др.

При осесимметричных гармонических свободных колебаниях круглых и кольцевых пластинок в процессе колебаний точки, расположенные на некоторых окружностях, не получают перемещений. Эти окружности называются узловыми. Число их h> при 1-й, 2-й, 3-й, . частотах свободных колебаний, как правило, равно соответственно 0; I; 2; . , т.е. на единицу ниже номера частоты. Лишь при некоторых видах закрепления пластинок из этого правила имеются исключения, например, для свободных пластинок при 1-й частоте уже имеется одна узловая окружность. Для решения задач о неосесимметричных колебаниях делается предположение о том, что наряду с узловыми окружностями (число которых может быть любым) имеются еще узловые диаметры, перемещения точек которых при колебаниях также равны нулю. Число узловых диаметров может быть любым. Чем больше п , тем больше частота свободных колебаний пластинки (случаи а-о соответствуют осесимметричным колебаниям). Использование понятия об узловых диаметрах позволяет свести дифференциальные уравнения задачи в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям и значительно упростить этим ее решение.

В научной и технической литературе для разных круглых и кольцевых пластинок приводятся (в таблицах и в виде графиков) значения безразмерных коэффициентов « используя которые, можно по формуле получить значения частот свободных колебаний. Вывод этой формулы в работах не приводится. Однако в работе С.П.Тиношенко пластинок, основанный на сделанном автором предположении о

I.I.I) приведен вывод аналогичной формулы для квадратных форме колебания пластинки; формула, полученная таким путем поэтому не представляется строгой, точной. Такой же, следует полагать, является и формула (I). Подтверждением этому служит то обстоятельство, что некоторые таблицы, содержащие значения о( , в некоторых работах (например, в работах [lOO, 107] ) сопровождаются указанием о том, при каких значениях коэффициентов Пуассона у. материала пластинок они получены (иногда, например, в работе [ 21] , этот вопрос обходится молчанием) и, следовательно, значения коэффициента о( зависят от ^ . Более того, в работе [ 38 ] даны две таблицы, в одной из которых для свободной круглой пластинки приведены коэффициенты ы. , полученные при у-0,, а в другой -при jjl — о,ЪЪ ; различие между теми и другими невелико (в пределах нескольких процентов), но при коэффициентах у , различающихся более существенно оно может оказаться значительным. Различные значения ^ используются при вычислении частот свободных колебаний в работе [139 ] .

Значения частот свободных колебаний круглых и кольцевых пластинок постоянной толщины, закрепленных различным образом, приводятся в работах [ 21, 22, 38, 100, 102, 107, 115 ] и др. В этих же работах приводятся и значения частот свободных колебаний при действии по контуру пластинок сжимающих или растягивающих сил. Решения задач определения некоторых из этих значений частот (точнее частотные уравнения для этих задач) приведены в работах [ 38, 57, 60, 91, 100, 107, 115, 126, 128, 129 ] и др.

Частоты свободных колебаний некоторых кольцевых пластинок получены в работах [ 127, 133, 134, 136, 142] . Частоты свободах колебаний некоторых пластинок переменной толщины получены в работах [ 69, 130, 132, 133, 134, 143 ] . Свободные колебания упруго закрепленных пластинок рассмотрены в работах [ 127, 132 ] , а пластинок, расположенных на упругом основании (в виде упругого полупространства) - в работе [138] .

Теория Кирхгофа, на которой основаны расчеты пластинок, рассматриваемых в настоящей работе, дает достаточно точные результаты, если отношение толщины пластинки к наименьшей • длине волны деформации менее ~ . Поэтому при определении вы

10 соких частот и форм свободных колебаний (когда число волн велико), а также при значительной толщине пластинки эта теория не применима и надо, строго говоря, пользоваться точными уравнениями теории упругости. Но тогда решение наталкивается на большие трудности. Поэтому во многих работах ( [39, 46, 72, 73, 105, 106, 108, 133, 135, 136, 137, 140, 143, 144 ] и др.) сделаны уточнения классической теории пластинок путем учета деформации сдвига пластинки и инерции вращения ее масс. В работе [ 100 ] на с.220 произведен анализ результатов расчета свободных колебаний пластинок, уточненного таким путем. При одной полуволне погрешности результатов по приближенной и уточненной теориям (по сравнению с теорией упругости) составляют доли процента; при десяти же полуволнах погрешность приближенной теории составляет 16$, а уточненной - 3,5$. Этот пример указывает на целесообразность использования уточненной классической теории; такой же вывод сделан и в работе [ 136] .

ВЫВОДЫ

1. Разработана методика расчета осесимметричных пластинок на свободные колебания, основанная на применение метода начальных параметров в матричной форме с представлением матриц влияния как матрицантов.

2. Разработанная методика позволяет определять частоты и формы свободных осесимметричных и неосесимметричных колебаний круглых и кольцевых пластинок, закрепленных раз- " личными способами при толщинах пластинок, изменяющихся вдоль радиуса по любым законам,

3. Разработанная методика позволяет учитывать влияние осесимметричных нагрузок в виде продольных растягивающих и сжимающих сил на частоты и формы свободных колебаний пластинок.

4. С помощью разработанной методики могут быть решены многие еще нерешенные задачи, в том числе и задачи, не поддающиеся решению другими известными методами.

5. Составлен пакет программ для расчета пластинок на ЭВМ, по которым определено более тысячи частот свободных колебаний различных пластинок. В большинстве своем они получены впервые.

6. Исследовано влияние числа участков (на которое разбивается радиус пластинки), коэффициента Пуассона, деформации сдвига, инерции вращения масс и др. на результаты расчетов.

7. Проведено сопоставление результатов расчетов, выполненных по предложенной методике со значениями частот, приведенными в научной и технической литературе, показавшее высокую точность предложенной методики.

1. Абрамов А.А. О переносе граничных условий для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки). - Журнал вычислительной математики и математической физики, 1961, т.1, № 3„ с.542-545.

2. Амуст Б.З. Статический расчет конструкции станции метрополитена закрытого типа по стадиям ее сооружения методом начальных параметров: Сб.тр.ВНИМИ. М: 1967, вып.67,с.415-42

3. Ананьев И.В. Справочник по расчету собственных колебаний упругих систем. М.: Гостехиздат, 1946. - 223 с.

4. Батретдинов P.P. Исследование метода начальных параметров при расчете пластинчатых систем. Вопросы расчета прочности конструкции летательных аппаратов. Казань, 1979, с.29-34.

5. Безухов Н.И. Динамика сооружений в задачах и примерах. -М.: Стройиздат, 1947. 200 с.

6. Безухов Н.И., Зоткин Т.М., Степанов Е.П. Метод начальных параметров в теории изгиба. М.: Изд.артиллер.акад.Крас-ной Армии им.Дзержинского, 1940. - 87 с.

7. Белоус А.А. Свободные и вынужденные колебания рам. Киев: изд. АН УССР, 1939. - 214 с.

8. Белоус А.А. Метод деформаций в динамике рамных конструкций. В сб.: Исследования по теории сооружений, $ 3. -М. - Л.: Гос.издат.строит.литературы, 1939, с.105-129.

9. Беркина С.Н. Расчет обделки тоннеля произвольного очертания. Строительная механика и расчет сооружений, I960, J& 5, с.14-21.

10. Бидерман B.I. К расчету круглых симметрично нагруженных пластин. Труды каф.стр.матер.МВТУ, разд.П. - М.: изд. МВТУ, 1947, с.35-47.

11. Бидерман В* Л. Применение метода прогонки для численного решения задач строительной механики. Механика твердого тела, 1967, $ 5, с.62-66.

12. Бидерман В.Л. Некоторые вычислительные методы решения задач строительной механики, приводимых к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Расчеты на прочность, вып.17. М.: Машиностроение, IS76, с.8-36.

13. Биргер И.А. Круглые пластинки и оболочки вращения. М.: Оборонгиз, 1961. - 368 с.

14. Болотин В.В., Макаров Б.П. Применение асимптотического метода.для исследования спектра собственных частот упругих пластинок. Расчеты на прочность, вып.6. М.: Машгиз, I960, с.231-253.

15. Болотин В.В. Динамический краевой эффект при упругих колебаниях пластинок. Инженерный сборник, 1961, № 31,с.3-14.18. рублик Б.Н. Численное решение динамических задач теории пластин и оболочек. Киев: Наукова думка, 1976. - 222 с.

16. Вайнберг Д.В. Арки на сплошном упругом основании: сб.тр./ Киевский строительный институт, вып.Ш. Киев, 1936,с.3-8.

17. Вайнберг Д.В. Арки на сплошном упругом основании. Прикладная математика и механика, 1937, т.1, вып.2, с.215-238.

18. Вайнберг Д.В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин. Киев: Будивельник, 1973. - 488 с.

19. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Пластины, диски, балки-стенки. Киев: Гос.изд.лит.по стр.и арх.УССР, 1959. - 1049 с.

20. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е*Д. Расчет пластин. Киев: будивельник, 1970. - 435 с.

21. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ.-М.: Машиностроение, 1976. 278 с.

22. Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластин, ч.1. Киев: Изд. АН УССР, 1949. - 136 с.

23. Власов В.З. Приближенная теория тонкостенных изгибаемых призматических систем и пластинок и расчет их на колебания и устойчивость. В сб.: Исследования по динамике сооружений. М.: Госстройиздат, 1947, с. 5-73.

24. Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гос.издат. технико-теор.литературы, 1956. - 419 с.

25. Воронцов Г.В., Моисеенко А.Ф. Расчет сложных пространственных стержневых систем на ЭЦВМ по методу встречных начальных параметров в матричной форме. Издат. Ростовского университета, 1973. - 97 с.

26. Галеркин Б.Г. Собрание сочинений. М.: изд. АН СССР, 1953, т.2. - 440 с.

27. Галин М.П. О поперечных колебаниях пластинки. Прикладная математика и механика, 1947, т. II, вып.З, с.387-388.

28. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Издание третье. - М.: Наука, 1967. - 575 с.

29. Герстенбергер В.Э. Кручение стержня в упругой среде при постоянной по длине характеристике § : сб.тр./Красноярский политехнический институт, вып.5. Вопросы техники и экономики. Красноярск, 1970, с. 65-70.

30. Герстенбергер В.Э. Кручение стержня в упругой среде при характеристике ^ , изменяющейся по длине стержня по закону треугольника: сб.тр./Красноярский политехнический институт. Красноярск: Машиностроение, 1970, № 4,c.I46-I5I.

31. Гершгорин С.А. Колебания пластинок, загруженных сосредоточенными массами. Прикладная математика и механика, 1933, т.1, вып.1, с.25-37.

32. Годунов С.К. 0 численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. -Успехи математических наук, 1961, т.16, с. I7I-I74.

33. Гольденблат И.И., Сизов A.M. Справочник по расчету строительных конструкций на устойчивость и колебания. М.: Гос.изд.лит.по строит.и арх., 1952. - 252 с.

34. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1979.-383 с.

35. Гонткевич B.C. Собственные колебания пластинок и оболочек. Справочник. Киев: Наукова думка, 1964. - 288 с.

36. Дарков А.В., Кузнецов В.И. Строительная механика. -М.: Высшая школа, 1962. 743 с.

37. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. -М.: Высшая школа, 1975. 654 с.

38. Джанелидзе Г.Ю. Обзор работ по теории изгиба толстых итонких плит, опубликованных в СССР. Прикладная математика и механика, 1948, т.12, вып.1, с. 109-128.

39. Дондошанский В.К. Расчеты колебаний упругих систем на электронных вычислительных машинах. М. - Л.: Машиностроение, 1965. - 367 с.

40. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Наука, 1982. - 567 с.

41. Дубинкин М.В. Колебания плит с учетом инерции вращения и сдвига. Изв. АН СССР, ОТН, 1958, № 12, с. I3I-I35.

42. Дутов Г.Д. Расчет балок на упругом основании. Л.: Ку-буч, 1929. - 90 с.

43. Завриев К.С. Применение метода начальных параметров к исследованию свободных колебаний балок с бесконечным числом степеней свободы. В сб.: Исследования по теории сооружений, № 5. - М. - Л.: Гос.изд.лит.по строит.и архитектуре, 1951, с. 41-61.

44. Какушадзе A.M. Определение частот свободных колебаний балок. Труды Грузинского политехнического института, 1949, В 19, с. 31-37.

45. Киселев В.А. Метод начальных параметров при расчете круглых пластинок с осесимметричной нагрузкой. Исследования по теории сооружений, вып.УТ. - М.: Госстройиздат, 1954, с. 98-106.

46. Киселев В.А. Балки и рамы на упругом основании. М.: ОНТИ, 1936. - 228 с.

47. Кистьян К.А. Определение частот колебаний пластинок, лежащих на упругом основании. Прикладная механика, 1965, I, Jfc 5, с. I3I-I33.

48. Китовер К.А. Круглые тонкие плиты. -Л. М.: Гос.изд. лит.по строит.и архитектуре, 1953. - 115 с.

49. Коваленко А.Д. Круглые пластины переменной толщины. -М.: Физматгиз, 1959. 294 с.

50. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Иностранная литература, 1953. - 460 с.

51. Коренев Б.Г. Метод компенсирующих нагрузок в приложении к задачам о равновесиях, колебаниях и устойчивости плит и мембран. Прикладная математика и механика, т. 4, вып. 5-6, 1940, с. 61-72.

52. Коренев Б.Г. Колебания круглой пластинки с опорами точечного типа. Труды Днепропетровского инж.-строит.института, 1940, & 29.

53. Коренев Б.Г. О методе начальных параметров в задачах о круглых плитах и оболочках вращения. Прикладная математика и механика, т. 10, вып.1, 1946, с. 165-172.

54. Коренев Б.Г. Теория плаотинок. В сб.: Строительная механика в СССР. I9I7-I957. - М.: Гос.изд.литер.по строит, и архитектуре, 1957, с. 136-159.

55. Коренев Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях. М.: Физматгиз, I960. - 458 с.

56. Коренев Б.Г. Статика пластинок. В сб.: Строительная механика в СССР. I9I7-I967. - М.: Стройиздат, 1969,с.135-164.

57. Коренев Б.Г., Пановко Я. Г. Динамический расчет сооружений. В сб.: Строительная механика в СССР. 1917-1967,-М.: Стройиздат, 1969, с. 280-328.

58. Корневиц Э.Ф., Эндер Г.В. Формулы для расчета балок на упругом основании. М.: Госстройиздат, 1932. - 347 с.

59. Корнишин М.С., Исанбаева Ф.С. Гибкие пластины и панели. М.: Наука, 1968. - 260 с.

60. Крылов А.Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании. Л.: Издат. АН СССР, 1931. - 154 с.

61. Куликовский П.Г. Основы метода пружинистой линии. Вести Киевского политехнического института, книга I. Киев: • 1926, с. 21-27.

62. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. 2. М.: Иностранная литература, 1951. - 544 с.

63. Лебедева Н.К. Метод начальных параметров в задаче о свободных колебаниях круглых пластин переменной толщины. -Строительная механика и расчет сооружений, 1981, № I,с.52-56,

64. Лизарев А.Д., Яузьменко В.П. Свободные колебания кольцевых пластин переменной толщины. Проблемы прочности, 1980, № 4, с. 96-99.

65. Малинин Н.Н. Расчет круглых и кольцевых симметрично нагруженных пластин переменной толщины. Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть элементов машиностроительных конструкций. - М.: Машгиз, 1953, с. 38-63.

66. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. Часть П. М.: Стройиздат, 1976 .-236с.

67. Москаленко В.Н. К применению уточненных теорий изгиба пластинок в задаче о собственных колебаниях. Инженерный журнал, 1961, I, № 3, с. 93-101.

68. Москаленко В.Н. Об учете инерции вращения и деформациисдвига в задачах о собственных колебаниях пластин. Всб.: Теория пластин и оболочек. Киев: АН УССР, 1962,с.182-F 184.

69. Мулин С.М. К вопросу об определении частот свободных колебаний упругих систем методом перемещений. Труды Томского электро-технического института инж.ж.д.транспорта, 1953, т.18, с. II0-I25.

70. Новацкий В. Динамика сооружений. М.: Госстройиздат, 1963. - 376 с.

71. Пановко Я.Г. Динамический расчет сооружений. В сб.: Строительная механика в СССР. I9I7-I957. - М.: Гос.изд. литер.по строит.и архитектуре, 1957, с. 197-232.

72. Пастернак П.Л. Исследование пространственной работы монолитных железобетонных конструкций. М.: МИСИ, 1940, сб.4, с. 10-18.

73. Петрашень Г.И. К теории колебаний тонких пластин. -Ученые записки Ленинградского гос.ун-та: Л.: 1951, $ 149, с. 172-249.

74. Пономарев К. К. Расчет элементов конструкций с применением ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1972. - 423 с.

75. Пономарев С.Д., Бидерман В.Л. и др. Основы современных методов расчета на прочность в машиностроении. М.: Машгиз, 1952. - 862 с.

76. Пономарев С.Д., Бидерман В.Л. и др. Расчеты на прочность в машиностроении, т.П. М.: Машгиз, 1958. - 974 с.

77. Пратусевич Я.А. Вариационные методы в строительной механике. М.: Гос.изд.техн.-теорет.литер., 1948. - 400 с.

78. Прочность. Устойчивость. Колебания. Т.З./Под общей редакцией И.А.Биргера и Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. - 567 с.

79. Пузыревский Н.П. Основания и фундаменты. Л.: 1923.-440 с.

80. Пузыревский Н.П. фундаменты. М.: Госстройиздат, 1934.-516с.

81. Рабинович И.М. Курс строительной механики стержневых систем. Часть П. М.: Гос.изд.литер.по строит.и архитектуре, 1954. - 544 с.

82. Работнов Ю.Н. Пластинки и оболочки. В сб.: Механикав СССР за 30 лет. М. - Л.: Гостехиздат, 1950, с.226-239.

83. Ржаницын А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем. -М.: Гос.изд.техн.-теорет.литер., 1955. 476 с.

84. Ржаницын А.Р. Строительная механика. М.: Высшая школа, 1982. - 400 с.

85. Рубинштейн Г.М. Применение метода Коши к решению задачи об осесимметричном изгибе круглых плит. Изв.вузов. Приборостроение, 1959, № 2, с. 127-133.

86. Сахаров И.Е. Динамические жесткости в теории осесимметричных колебаний круглых и кольцевых пластинок. Известия АН СССР. Механика, 1959, № 5, с. 90-98.

87. Сильченко П.Н. Построение функциональных матриц влияния для балок на моментном и косом силовом упругом основании: сб.тр./Красноярский политехнический институт. -Красноярск: Машиностроение, 1975, № 8, с. 225-240.

88. Смирнов А.Ф. Статическая и динамическая устойчивость сооружений. М.: Трансжелдориздат, 1947. - 308 с.

89. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. М.: Трансжелдориздат, 1958. - 571 с.

90. Снитко Н.К. Расчет сжато-изогнутых стержней при применении общего уравнения упругой линии. Проект и стандарт, 1938, № I, с. 28-31.

91. Снитко Н.К. Определение частот собственных колебаний рамных систем и арок методом моментов. В сб.: Исследования по теории сооружений, вып. У. - М. - Л.: Гос. издат.литер, по строит.и архитектуре, 1951, с. 62-76.

92. Снитко Н.К. Деформационный расчет сжато-изогнутых стержней в упругой среде. В сб.: Исследования по теории сооружений, вып. 7. - М.: Госстройиздат, 1957, с. 199-208.

93. Соколов С.Н. Изгиб круглых и кольцевых пластинок, подкрепленных кольцевыми ребрами. В сб.: Расчеты на прочность, жесткость, устойчивость и колебания. - М.: Машгиз, 1955, с. 28-49.

94. Соколов С.Н. Расчет круглых и кольцевых пластинок постоянной и переменной жесткости. Расчеты на прочность, вып. 3. - М.: Машгиз, 1958, с. 20-28.

95. Справочник по динамике сооружений / Под ред. Б.Г.Коренева, И.М.Рабиновича. М.: Стройиздат, 1972. - 511 с.

96. Справочник проектировщика. Книга 2. М.: Стройиздат, 1973. - 415 с.

97. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчетно-теоретический /Под ред. А.А.Уманского. М.: Госстройиздат, I960. - 1040 с.

98. Степанов Р.Д. Об изгибе плоской прямоугольной пластинки, усиленной параллельными ребрами жесткости и упругими опорами. Инженерный сборник, т. 8. - М.: изд. АН СССР,1950, с. 105-120.

99. Строительная механика /Под общей ред. А.В.Даркова. М.: Высшая школа, 1976. - 600 с.

100. Тимошенко С.П. Пластины и оболочки. М. - Л.: ОШЗ, 1948. - 460 с.

101. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. - 635 с.

102. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. - 444 с.

103. Тотиков И.С. Изгиб пластин с учетом сдвига. Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев: 1980,37, с. 70-72.

104. Уманский Э.С. Изгиб диска гиперболического профиля контурной нагрузкой, обладающей циклической симметрией. -Сб.трудов института строительной механики АН УССР, 1951, № 15, с. 15-28.

105. Урбан И.В. Общая теория продольно-поперечного изгиба бруса в упругой среде. Труды Московского электро-меха-нического института инж.ж.д.транспорта, вып.53. - М.: Трансжелдориздат, 1945, с. 18-27.

106. Урбан И. В. Применение метода деформаций в динамике конструкций. Труды МЭМИИТ, вып.60. - М.: 1951, с. 3-16.

107. Урбан И.В. Динамические канонические уравнения метода перемещений. В сб.: Исследования по теории сооружений, вып.У. - М. - Л.: Гос.изд.литер.по строит.и архитектуре,1951, с. 109-122.

108. ИЗ. Филин А.П. Матрицы в статике стержневых систем. Л. -М.: Стройиздат, 1966. - 438 с.

109. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. Том Ш. М.: Наука, 1981. - 480 с.

110. Филиппов А.П. Колебания механических систем. Киев: Наукова думка, 1965. - 716 с.

111. Филиппов А.П. Прямоугольные пластинки, подкрепленные упругими ребрами и точечными упругими опорами. Прикладная математика и механика, новая серия, т. I, вып.2, 1937, с. 187-204.

112. Хачатрян Т.Т. Расчет круговой балки на упругом основании: сб.науч.тр. /Московский инженерно-строительный институт. Строительная механика. - М. - Л.: 1939, $ 2,c.II-I7.

113. Хаяси К. Теория расчета балки на упругом основании. -М. Л.: Гостехиздат, 1930. - 204 с.

114. Черниговская Е.И. Метод начальных параметров в задачах об изгибе круглых пластинок. Строительная механика и расчет сооружений, 1959, В 3, с. I0I-II0.

115. Чудновский В.Г. Методы расчета колебаний и устойчивости стержневых систем. Киев: Изд. АН УССР, 1952. - 416 с.

116. Шимухаметов Т.Х. Изгиб пластин и оболочек ступенчато-переменной жесткости. Автореф. дис., Казань: I97I.-I6 с.

117. Шпиро Г.С. Теория сложного упругого основания и ее приложение к решению технических задач: сб.тр./Московский институт инж.ж.-д.транспорта. М.: 1950. - 20 с.

118. Шпиро И.Г. Расчет осе симметричных оболочек методом начальных параметров. Нефтепромысловое строительство, 1968, № 4, с. 8-13.

119. Avalos Lama. P.A.ft. к note, on tiansveise v»Wtions of апи1аг plates ek<.ticct?t(j ust mined ayuast dotation аЬл^ ttaed^es.- 1 Sound aad Vili.; , 66 f Ml, p. 65-67.

120. Blanch 0. Notes onwioioj ^(x)3ftt4(x)+lw(x)3ft(x)aO. Mathematical taUes and ottat aides to computation. 1952 , 6,NW p. 252129. Cama^W H. The frequencies oj viWtion of fiat ейецкг pkUs-jixed at the cUcamfeience.-Phit. Maj., I925# V.SQ ,N6 , p. КИЗД.

121. Celep Z . Ree viWtion of some ciicutai plates of a^Utaa^ tWcKness.-1 Sound and Vlk., Ш,70; p.-3S&.

122. Fuhw H. Besiimmuaj von BalKcn(~und RaUtfi) schwin^en mit Hit-fe des Mat^aenKakutsIajtalm- A*chiv} B. as # H.S ( 1955' s.329-3^ В.Й,Н.1( 1956 27-1(2.

123. Gelos R., Ficcadenti G.M., (hossi R.O., Lauia P.IU. ViU-tions of chcuW pldtes «itti маЦМг ръо-file 1 taoust. Got. Arm. , (9&J , (A , p. 1Ш-1529.

124. Ljenytt K.T. ) SuncW Raja. / Raman P.V, Axi^mmetaic fttt vlbo-tlod of tto annular plates1 ftcoust . Soc. JW>t. Ш ,68, W6; р.щ-м.137. Kaut I

125. Cadamk V. The natural l^uendes of tWa sKe«/ plates Леш. Qua^t. ( Ш p.

126. KietiK S.} Schmidt H. Vitaation of an elastic mcidn plate on an elastic W-f spac* -dWect appmch.- T?a.ns. ll\ppL1. MecVi., M.MjNI, p. Ia-u.

127. Lelssa- АЖ^а^кУ. MaW fluencies of slitiplj sappo*-tei ttmla.1 plates, 1 Sound and Vi.W.; р.й!-«9.

128. Mlndtin "O. Inftuence of Aj totia апсЛ tHen on. -lejulab motion of Isotropic elastic plates.-3otm. Afpl. Meek. Ш , p.

129. Odman S.T.L Studies o-f Wia^ value, pioUms , part | . CWiacteilstlc -factions, of ^ectan^ufe plates $V. fo^sK. ta^t. •jot cem.ach. !>et

130. Ramala.(i G,K. Fteximl vtWatlons of агщДаъ plates node* uftl-fom in-plane compressive forces3.Souac\ and Vita. ( Wifl f 70 W -I ( p. H7--ISl.

131. TaKatasVi ^HtW } SiumKi KaUuujOsk ( YamoujUckl Талере. — Tia(\s. '-Ц. W. Mec\\. Enj., MO , Ct(6; Ni<fl5 ( p.

132. MtWisKW. Ela-j?uss cks ^cWvenenunj aaf die Eijefisclfiwi/L-(jtt^en von Peaiten ( ZAMW ( 1956 f 6. ft , N7 , s. «6-146 ,