Определяемость абелевой группы ее группой автоморфизмов и центром кольца эндоморфизмов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Вильданов Вадим Кадирович

Определяемость абелевой группы ее группой автоморфизмов и центром кольца эндоморфизмов

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

6 НОЯ 2014 0055545Э*

Томск - 2014

/с;

005554554

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Нижегородский государственный педагогический университет имени Козьмы Минина», на кафедре математики и математического образования.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Себельдин Анатолий Михайлович

Официальные оппоненты:

Царев Андрей Валерьевич, доктор физико-математических наук, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский педагогический государственный университет», кафедра алгебры, профессор

Фаустова Инна Леонтьевна, кандидат физико-математических наук, доцент, Северский технологический институт — филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», кафедра высшей математики и информационных технологий, доцент

Ведущая организация: федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Вятский государственный гуманитарный университет»

Защита состоится «17» декабря 2014 г. в 14 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.267.21, созданного на базе федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», по адресу: 634050. г. Томск, пр. Ленина, 36, корпус 2, ауд. 304.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке и на официальном сайте федерального государственного автономного образовательного ? ¡". учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» www.tsu.ru.

Автореферат разослан <? 2>0» октября 2014 года.

Материалы по защите диссертации размещены на официальном сайте ТГУ: Шр: / /www.t45u.ru/content / пето/аппоипаэт1е^_о£_Й1е_<Ш8ейа1к>п5_ т^Ье^Би.рЬр

Учёный секретарь диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность работы.

Кольца эндоморфизмов и группы их обратимых элементов всё чаще становятся объектом исследования в теории абелевых групп. Важную роль в развитии теории колец эндоморфизмов абелевых групп играют работы Р. Бэра [5], И. Капланского [1]. Л. Фукса [10,11] и многих других авторов. В теории колец эндоморфизмов большое значение имеет теорема Бэра-Капланского. В ней говорится, что любые две периодические абелевы группы с изоморфными кольцами эндоморфизмов изоморфны. Более того, в ней утверждается, что всякий изоморфизм колец эндоморфизмов групп индуцируется некоторым групповым изоморфизмом. Эта теорема положила начало тенденции изучения абелевых групп совместно с их кольцами и группами эндоморфизмов. По мнению П.А. Крылова, A.B. Михалева и A.A. Тутанбаева, авторов книги „Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов"[6], изучение колец эндоморфизмов абелевых групп позволяет получить дополнительные сведения о самих группах, ввести в рассмотрение новые методы и понятия, выделить интересные классы групп. Кроме того, изучение колец эндоморфизмов стимулирует дальнейшие исследования по теории модулей и их колец эндоморфизмов.

Группы автоморфизмов абелевых групп являются группами обратимых элементов колец эндоморфизмов и представляют самостоятельный интерес. В. Либерт ц X. Лептин [2. 3] доказали, что для р> 2 из изоморфизма групп автоморфизмов двухр-групп следует изоморфизм самих групп. Другими словами, р-группа определяется своей группой автоморфизмов в классе всех р-грунп для р > 2. В книге [7] А.Г. Курош ставит задачу изучения групп автоморфизмов абелевых групп без кручения. И. X. Беккер и С. Ф. Кожухов в своей книге |4| изучают строение групп автоморфизмов групп без кручения в предположении, что группы автоморфизмов конечны. Изоморфизмы и автоморфизмы линейных групп исследовали в своих работах Ван-дер-Варден, Шрайер, Дьедонне, Хуа, Райнер. Автоморфизмы линейных групп над коммутативными кольцами рассматривали О'Мира, Макдональд, Уотерхаус. В.М. Петечук, в более общем случае ассоциативных колец глубокие результаты получены A.B. Михалёвым, И.З. Голубчиком, Е.И. Зельмановым.

Несмотря на то, что задача определяемостп абелевой группы без кручения своей группой автоморфизмов имеет отрицательное решение уже в классе групп без кручения ранга 1, остается актуальным вопрос об изучении тех подклассов групп, которые определяются своей группой автоморфизмов в более или менее широких классах абелевых групп.

В статье A.M. Себельднна и Д.С. Чистякова [9] исследуется вопрос определяемое™ абелевой группы центром своего кольца эндоморфизмов. В этой работе получены необходимые условия определяемое™, а также описаны некоторые классы групп, определяющихся центром своего кольца эндоморфизмов в классе всех вполне разложимых абелевых групп без кручения конечного фиксированного ранга. Было установлено, что делимые группы и жесткие группы определяются центром кольца эндоморфизмов в классе вполне разложимых абелевых групп без кручения конечного фиксированного ранга. Остается открытым следующий вопрос: исчерпывается ли класс групп, определяющихся центром кольца эндоморфизмов, указанными классами.

Цель диссертационной работы. Целью работы является исследование вопросов об изоморфизме групп автоморфизмов двух абелевых групп, об изоморфизме абелевых групп с изоморфными группами автоморфизмов для некоторых известных классов абелевых групп и изоморфизме абелевых групп с изоморфными центрами колец эндоморфизмов.

Методы исследования. В диссертации используются методы и результаты теории абелевых групп, методы общей теории групп и в частности метод

ИНВОЛЮЦИЙ.

Научная новизна. Все основные сформулированные в работе результаты являются новыми и состоят в следующем:

• Получены необходимые п достаточные условия изоморфизма групп автоморфизмов абелевых групп некоторых известных классов. В част!гости, для класса вполне разложимых абелевых групп без кручения ранга 2 получены условия необходимые и достаточные для изоморфизма двух групп автоморфизмов.

• Исследован вопрос определяемое™ абелевой группы конечного ранга своей группой автоморфизмов в классе вполне разложимых абелевых групп бет кручения.

• Получен критерий определяемое™ вполне разложимой абелевой группы без кручения ранга 2 своей группой автоморфизмов в классе всех вполне разложимых абелевых групп бет кручения и в подклассе групп ндемпотентного типа.

• Получены необходимые и достаточные условия определяемое™ вполне разложимых групп центрами их колец эндоморфизмов.

• Описаны классы групп, определяющихся центрами колец эндоморфизмов в классе всех вполне разложимых абелевых групп без кручения конечного фиксированного ранга.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теорети-

ческое значение. Результаты данной работы могут быть использованы при изучении групп автоморфизмов, групп эндоморфизмов абелевых групп и модулей, могут применяться при решении аналогичных задач в теории групп, колец, модулей.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на XIII, XIV, XV Нижегородских сессиях молодых ученых (2008г, 2009г, 20Юг); на алгебраических семинарах НГПУ, МПГУ, МГУ; на всероссийской конференции по математике и механике (г. Томск, 2008г. 2013г); на второй и четвертой всероссийской молодежной научно-ипноващюшюй школе «Математика и математическое моделирование» (г. Саров, 2008г, 2009г); на международной алгебраической конференции посвященной 70-летшо A.B. Яковлева (201 Ог); на всероссийской конференции, посвященной 110-летию математического факультета. МПГУ (г. Москва 2011г); на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В.В. Морозова, и молодежной школе-конференции Современные проблемы алгебры и математической логики (20Иг).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, в том числе 5 статей в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и пауки Российской Федерации для опубликования основных результатов диссертаций (из них 2 статьи в зарубежных журналах, индексируемых в международных базах данных Web of Science и Scopus, 1 статья в российском научном журнале, переводная версия которого индексируется в международной базе данных Scopus). Публикации автора но теме диссертации приведены в конце автореферата.

Личный вклад автора. В публикациях, выполненных совместно с научным руководителем A.M. Себельдиным, соискателю принадлежат доказательства всех утверждений, A.M. Себельдину принадлежат постановка задач, формулировки некоторых утверждений, участие в обсуждении результатов и общее руководство работой. В работах, выполненных совместно с А.Л. Сил-ла п Т.С. Барри, автору принадлежат доказательства некоторых теорем и формулировка некоторых утверждений, включенных в диссертацию.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх i-лав, заключения и списка литературы. Объём диссертации 73 страницы. Диссертация содержит 47 наименований литературы.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель н аргументирована научная новизна исследований, показана теоретическая и практическая значимость полученных результатов.

Введение содержит обзор литературы и краткое содержание работы.

В первой главе исследуется вопрос изоморфизма групп автоморфизмов вполне разложимых абелевых групп без кручения. Класс всех вполне разложимых абелевых групп без кручения обозначим FC(i. В первом параграфе вводятся используемые в дальнейшем обозначения, приводятся известные результаты о кольцах эндоморфизмов, группах гомоморфизмов и автоморфизмов. Приводятся также некоторые результаты об изоморфизмах линейных групп.

Поскольку вопросы определяемое™ группы её группой автоморфизмов и кольцом эндоморфизмов связаны между собой, то в первом параграфе приводится следующий результат.

Лемма 1.8.(теоремы 1 и 2. [8]) Вполне разложимая группа без кручения А определяется своим кольцом эндомарфизм-ов в классе F<,/ тогда и только тогда, когда каждое её прямое слагаемое ранга 1 почти делимое.

Во втором параграфе рассматривается вопрос изоморфизма групп автоморфизмов для групп ранга 2. Следующая важная лемма позволяет ограничиться рассмотрением однородных, неоднородных и жестких групп.

Лемма 1.9. Пусть А, В 6 Fcd,r(A) = 2 и Aut, А = Aut В. Тогда группы А и В одновременно являются однородными, неоднородными или жесткими.

Основной результат параграфа — критерий изоморфизма групп автоморфизмов для групп ранга 2, сформулирован в следующих трех теоремах.

Теорема 1.1. Пусть А, В G F ы,- г (А) = 2 и группа А - однородная.. Группы Aut Л и Aut В изоморфны тогда и только тогда, тгда Е( А) = Е(В).

Заметим, что группа А в условиях теоремы 1.1 предполагается 2-делнмой.

Теорема 1.2. Пусть А, В € Frlh г(А) =2,А = Аг®А2 и r(.4i) > т{А2). Группы Aut А и Aut В изоморфны тогда и только тогда, когда:

1. г(В) = 2, S = Bi ф В2, где т(В2) < t(Bl);

2. Aut А2 ~ Aut В2;

3. Hoin(/l2, .Ai) = Hom(-B2. BL).

Пусть Рос (Л) — множество тех простых чисел, которые соответствуют символу оо в типе однородной группы Д. Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.3. Пусть А, В € Гы. г(Л) = 2, А = Лх © Л2 - жесткая группа. Группы АиЬ А и Аи1 В изомо-рфны тогда и тагъко тогда, когда:

В третьем параграфе собраны результаты о группах автоморфизмах вполне разложимых абелевых группах без кручения произвольною ранга. Оказывается, изоморфизм групп автоморфизмов некоторых вполне разложимых групп существенно влияет на свойства и инварианты исходных групп. Следующая лемма утверждает, что ранги групп с изоморфными группами автоморфизмов равны.

Лемма 1.11. Пусть А, В е Fai и Aut А = Aut В. Тогда г(Л) = г (В).

Далее будем рассматривать только группы конечного ранга из F«/.

В качестве основного метода доказательства используется метод инволюций. Поэтому, если не оговорено обратное, то в этом и последующих параграфах первой и второй главы все вполне разложимые группы будем считать 2-делимыми. Следующая лемма позволяет провести замену исходного изоморфизма.

Лемма 1.12. Пустг> А € FCT; и А = Ai ф Л-> — такое разложение группы А, что Hom(/li. Л2) = 0. Тогда для любого множества К С Aut Л из 2Г*-Л' коммутирующих инволюций найдется подходящий автоморфизм 7 € Aut А такой, чт-о

Получены необходимые условия изоморфизма двух групп автоморфизмов.

Теорема 1.4. Пусть Л, В 6 Г„; и АгП Л = АиЬВ. Тогда

1. r(B) = 2,B = Bi®B2;

2. В — жесткая группа;

3. + = |Poo(Bi)| + \Р~{В2)

-)■!<-.; 1 С Aut Л! х Aut л2.

тепА

тёПв

Теорема 1.5. Пусть А, В £ Fr<f и Aut Л = Aut В. Тогда 1. |Пл| = |Пд|;

2. Чис.ш компонент связности множеств П. i и Пд ровны;

3. Для любых т. г' € йЛ(т < т') найдутся а, а' Е Пв(<т < а') тате, что Нога(Лт, АТ ) = Нош{В\В"');

4. Если r(AT) > 1 для некоторого г € Па, то существует тип а € йв такой, что

E(Ar) S Е(Ва).

Условие 4 теоремы 1.5 позволяет строить многочисленные примеры групп, определяющихся своей группой автоморфизмов в классе

Для жестких групп из класса вполне разложимых абелевых групп без кручения получен критерий изоморфизма групп автоморфизмов.

Теорема 1.6. Пусть А, В е Foi, группа А - жесткая. Группы Aut А и Aut В ■изоморфны тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1. r(A) = г (В);

2. В — жесткая группа;

3. Справедливо равенство

£ = £ \рх(вп\.

теО-л т£Пв

Вторая глава посвящена вопросу определяемостп абелевой группы своей группой автоморфизмов в классе вполне разложимых абелевых групп без кручения. Будем говорить, что абелева группа А определяется сё группой автоморфизмов в классе групп X, если из Aut А = Aut В. где В € X. всегда следует, что А = В.

Получены некоторые необходимые условия определяемостп вполне разложимой абелевой группой без кручения своей группой автоморфизмов. Из результатов первой главы сразу следует

Лемма 2.1. Пусть А € F«;. Тогда:

1. Если группа А конечного ранга определяется своей группой автоморфизмов в классе групп конечного ранга из F0/. то она определяется группой: автоморфизмов и в классе F

2. Если блочио-жесткая группа А конечного ранга определяется своей группой автоморфизмов в классе блочио-жестких групп из Fто она определяется группой автоморфизмов в классе Fcj.

8

Лемма 2.2. Пусть А € Fcci. Если группа А определяется своей группой автоморфизмов в классе Fcd.. то А — почти делимая группа и г(А) > 1.

Для однородных групп произвольного ранга получен следующий критерий определяемое™ группой автоморфизмов.

Лемма 2.3. Пусть А € Fcri — однородная группа не обязательно конечного ранга. Группа А определяется своей группой автоморфизмов в классе однородных групп из Fc<j тогда и только тогда, когда А — почти делимая и r(A) > 1.

Замечание. Если груша А имеет конечный ранг, то в условиях леммы однородность группы В можно не требовать.

Основной результат параграфа, это критерий определяемое™ группы конечного ранга своей группой автоморфизмов в классе Fc<i.

Теорема 2.1. Пусть группа А £ Fcd гшеет конечный ранг. Группа А определяется, своей группой автоморфизмов в классе Fct] тогда и только тогда, когда А почти делимая группа и для каждого минимального типа т G 0. ц выполняется неравенство r(AT) > 1.

Во втором параграфе исследуется вопрос определяемое™ вполне разложимой абелевой группы в классе групп идемиотентного типа из Fcd. Подкласс групп идемпотентлого типа из Fcci обозначим FC(fi • В этом классе необходимые и достаточные условия определяемое™ получены для групп ранга 1 и 2.

Теорема 2.2. Пусть А € Fcdj, г (А) — 1. Группа А определяется своей группой автоморфизмов в классе Fdi тогда и только тогда, когда А = Z.

Теорема 2.3. Пусть А € Fcdi, г (А) = 2. Тогда

1. если группа А — неоднородная или жесткая, то она определяется своей группой автоморфизмов в классе Fcdi тогда и только тогда, когда А ^ Ai © Z; где Ах € Fcdi, г(.4х) = 1;

2. если А — 2-де.ггшая группа, то она определяется своей группой автоморфизмов в классе Fcd; тогда и только тогда, когда А однородная.

Для групп конечного ранга из Fcdj получены достаточные условия определяемое™.

Теорема 2.5. Пусть А € Fcdi и для всякого минимального типат £ Пд имеет место неравенство г (Л') > 1 .Тогда группа А определяется, в классе Fcdi своей группой авто.иорфнзмов.

Следующий пример показывает, что это условие необходимым не является.

Пример 1. Пусть

Ti = (эс,оо. О, О,...), г2 = (оо,0,0,0,...), т3 = (ос, 0. ос, О,...). Тогда группа А = Ап ф АГ1 ф /Ц Ф АТз ф определяется своей группой автоморфизмов в классе Fctii-

В третьей главе рассматривается вопрос определяемости абелевой группы центром своего кольца эндоморфизмов.

Первый параграф описывает результаты полученные в работе [9]. JVC-классом авторы статьи [9] называют класс, в котором каждая группа не определяется центром своего кольца эндоморфизмов. A.M. Себельдин п Д.С. Чистяков доказали, что классы всех абелевых групп, абелевых труни без кручения, периодических абелевых групп, сенарабельных абелевых групп без кручения являются ¿VC-классамп. Кроме того, для класса F„ — всех вполне раатожимых абелевых групп без кручения конечного фиксированного ранга A.M. Себельдин и Д.С. Чистяков нашли условия, при которых вполне разложимая абелева группа без кручения определяется центром своего кольца эндоморфизмов.

Во втором параграфе доказываются необходимые условия определяемости группы центром ее кольца эндоморфизмов. Из этих условий и теоремы 3.1 следуют условия необходимые и достаточные для определяемости групп центром кольца эндоморфизмов в классе Fn для п < 4. Приводятся примеры групп, которые определяются центром своего кольца эндоморфизмов и имеют сравнимые тины прямых слагаемых ранга 1.

Вполне разложимую абелеву группу без кручения G назовем канонической, если |Пс| = r(G).

Будем говорить, что группа G € Fcd удовлетворяет свойству (*), если:

1) группа G - почти делимая,

2) множество не является связным,

3) группа G - редуцированная.

4) группа G - каноническая.

5) любой класс эквивалентности с наименьшим элементом тривиален,

6) множество Пс содержит только максимальные и минимальные типы,

7) для любого типа из Пр множество типов меньших его либо пусто, либо содержит по крайней мере 2 элемента.

Класс групп, определяющихся своим центром кольца эндоморфизмов в классе X, обозначим через X.(ZE).

Теорема 3.3. Если не. делимая группа G принадлежит, классу Fn(ZE) (п. > 1). то она удовлетворяет свойству (*).

Теорема 3.4. Группа G 6 Fn {1 < п < 4) определяется в классе Fn своим центром кольца э11до.uojxfiu.i.woв, тогда и только тогда, когда она. либо делимая, либо все ее прямые слагаемые ранга 1 почти делииы и типы этих слагаемых попарно несравнимы.

Теорема 3.6. Если группа G € Fa(ZE) имеет сравнимые типы и неделима, то для любого т > п существует бесконечное множество групп Н б Fm(ZE). для которых группа G явллется прямым слагаемы.м.

Следствие 1. Для любого п > 3 существуют не делимые группы, из Fn(ZE) со сравнимыми типами прямых слагаемых ранга 1.

Заканчивают второй параграф еще два необходимых условия определяем ости группы центром кольца эндоморфизмов в Fn.

В последнем параграфе третьей главы описывается класс F^ZE). В Заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

Список литературы

1. Kaplansky, I. Infinite Abelian groups / I. Kaplansky. — Ann Arbor: The University of Michigan Press, 19G9.

2. Leptin, H. Abelsche p-gruppen und ihre automorphismengruppen / H. Leptin // Math. Z.— 19G0. - Vol. 73.- Pp. 235-253.

3. Libert. W. Isomorphic automorphism groups of primary abelian groups, ii / W. Libert // Contemp. Math. - 1989. - Vol. 87. - Pp. 51-59.

4. Беккер. И. X. Автоморфизмы абелевых групп без кручения / И. X. Бек-кер, С. Ф. Кожухов. — Томск: Томский гос. ун-т., 1988. — 238 с.

5. Бэр, Р. Линейная алгебра и проективная геометрия / Р. Бэр. — Москва: ИЛ, 1955. - 400 с.

6. Крылов, П. А. Абелевы группы и их кольцаэндоморфизмов / П. А. Крылов, А. В. Михалев, А. А. Туганбаев. — Москва: Факторна,! пресс. 2006. — 512 с.

7. Курош, А. Г. Теория групп / А. Г. Курош.— Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2011.-808 с.

8. Себельдин, А. М. Условия изоморфизма вполне разложимых абелевых групп без кручения с изоморфными кольцами эндоморфизмов / А. М. Себельдин Ц Матем. заметки. - 1972. - Т. 11, № 4. - С. 403-408.

9. Себельдин, А. М. Определяемость абелевых групп центром их кольца эндоморфизмов / А. М. Себельдин, Д. С. Чистяков // Матем. заметки. — 2008. - Т. 84, № 6. - С. 952-954.

10. Фукс, Л. Бесконечные абелевы группы / Л. Фукс. — Москва: Мир, 1974. — 335 с.

11. Фукс, Л. Бесконечные абелевы группы / Л. Фукс. — Москва: Мир, 1977. — 416 с.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи, опубликованные в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки Российской Федерации дм опубликования основных результатов диссертаций:

1. Вильданов, В. К. Определяемость вполне разложимой абелевой группы без кручения ранга 2 своей группой автоморфизмов / В. К. Вильданов /У Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. —2011.

- Ха 3 (1). - С. 174-177. - 0,30 п.л.

2. Вильданов. В. К. К вопросу об определяемое™ абелевых групп центрами их колец эндоморфизмов / В. К. Вильданов, А. М. Себельдин //Математические заметки. - 2012. - Т. 92, № 1. - С. 44-48. - 0,33 / 0,30 п.л.

3. Вильданов. В. К. Определяемость вполне разложимой блочно жесткой абелевой группы своей группой автоморфизмов / В. К. Вильданов // Фундаментальная и прикладная математика. — 2012. — Т. 17, вып. 8.

- С. 13-19. - 0,40 п.л.

4. Sebel'din, A. M. The Question of the Definability of Abelian Groups by the Centers of Their Endomorphism Rings / A. M. Sebel'din, V. K. Vildanov // Mathematical Notes. - 2012. - Vol. 92, № 1. - Pp. 39-42. - 0,25 / 0,23 п.л.

- DOI: 10.1134/S0001434612070048

5. Vildanov. V. K. Dcterminability of a completely decomposable block-rigid torsion-free Abelian gToup by its automorphism group / V. K. Vildanov /7 Journal of Mathematical Sciences (New York). - 2014. - Vol. 197, № 5. - Pp. 590-594. - 0,30 п.л.

Публикации в других научных изданиях:

6. Вильдапов, В. К. К вопросу об определяемостп вполне разложимых абеле-вых групп без кручения своими группами автоморфизмов / В. К. Вильдапов. А. М. Себельдни // Вторая всероссийская .молодежная научно-инновационная школа ,,Математика и математическое моделирование". — Саров, 2008. - С. 3. — 0,06 п.л.

7. Вильдапов, В. К. Об определяемостп вполне разложимых абелевых групп без кручения своими группами автоморфизмов / В. К. Вильдапов, А. М. Себельдшс // Всероссийская конференция по математике и .механикепосвященная 130-летию Томского государственного университета и 60-летию мезжпико-математического факультета : Сборник, тезисов.

- Томск. 2008. - С. 36. - 0,06 п.л.

8. Barry. T.S. Groupe abelien determine par le centre de son anneau des endomorphismes / T.S. Barry, A.M Sebeldin, A.L. Sylla, V. K.Vildanov// Revue des Sciences de I'Universite de Conakry. Serie Math-Phys. — 2009. — №7. - Pp. 4-8. - 0,30 / 0,18 пл.

9. Вильдапов, В. К. Критерий определяемостп группы ранга 2 своей группой автоморфизмов в классе вполне разложимых групп без кручения / В. К. Вильдапов // Четвертая Всероссийская молодежная научно-инновационная школа ,,Математика и математическое моделирование": Сборник материалов. — Саров, 2010. — С. 8. — 0,06 п.л.

10. Вильдапов, В. К. Об определяемостп вполне разложимой группы ее группой автоморфизмов / В. К. Вильдапов. А. М. Себельдни // Математические пауки : Тезисы, докладов на XV Нижегородской сессии молодых ученых. — Нижний Новгород, 2010. — С. 8. — 0,06 п.л.

П. Вильданов, В. К. Опредеяяемость вполне разложимой абелевой группы без кручения ранга 2 своей группой автоморфизмов / В. К. Вильданов // Тезисы докладов Международной алгебраической конференции, посвященной 10-летию А.В. Яковлева. — Санкт-Петербург, 2010. — С. 15. — 0,06 п.л.

12. Вильданов. В. К. Определяемость абелевой группы без кручения своей группой автоморфизмов / В. К. Вильданов // Алгебра и математическая логика: материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В. Морозова, и молодежной шкалы-конференции ,.Современные проблемы (ыгебры и математической логики". - Казань, 2011. - С. 63-64. - 0,10 п.л.

13. Вильданов, В. К. Определяемость абелевых групп без кручения своими группами автоморфизмов / В. К. Вильданов //Математика, информатика и методика их преподавания- : Материалы Всероссийской конференции, посвященной 110-летию математического факультета МПГУ.

- Москва, 2011. - С. 39-40. - 0,10 п.л.

14. Вильданов. В. К. Определяемость абелевых групп своими группами автоморфизмов / В. К. Вильданов // V Всероссийская молодежная научно-инновационная школа ,.Математика и математическое моделирование.": Сборник материалов. — Саров, 2011. — С. 14. — 0,06 п.л.

15. Вильданов, В. К. Изоморфизмы групп автоморфизмов абелевых групп без кручения / В. К. Вильданов /7 Абелевы группы : материалы Всероссийского симпозиума . — Бийск, 2012. — С. 13. — 0,06 п.л.

16. Вгыьданов, В. К. Изоморфизмы групп автоморфизмов абелевых групп без кручения / В. К. Вильданов // VI Всероссийская молодежная научно- инновационная школа .,Математика и математическое моделирование": Сборник материамв. — Саров, 2012. — С. 49-50. — 0,10 п.л.

17. Вильданов, В. К. Условия изоморфизма групп автоморфизмов вполне разложимых групп без кручения / В. К. Вильданов // Лобачевские чтения - 2012 : материалы XI молодежной научной школы-конференции.

- Казань, 2012. - С. 35-36. - 0,10 п.л.

Тираж 100. Заказ 837.

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

634050, г. Томск, пр. Лешша, 40. Тел. 533018.