Оптимальное распределение материала и рациональная расстановка связей в задачах устойчивости и колебаний стержневых систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.03 ВАК РФ

1. Введение. С.4.

2. Глава I. Краткий обзор и анализ состояния вопроса. С.7.

§1.1. Краткий обзор работ о проектировании стержневых систем наименьшего веса с учетом ограничений по устойчивости и частоте собственных колебаний. С.7.

§ 1.2. Краткий обзор работ о рациональной расстановке связей в задачах об устойчивости или собственных колебаниях стержневых систем. С. 14.

§ 1.3. Анализ состояния вопроса и некоторые выводы.С.18.

3. Глава 2. Постановка задачи об оптимальном распределении материала и рациональной расстановке связей в задачах об устойчивости и колебании стержневых систем.С.22.

§ 2.1. Математическая модель рассматриваемой задачи.С.

§ 2.2. Выбор метода решения задачи. Детализация постановки задачи.С.27.

4. Глава 3. Выражение критической нагрузки и частоты собственных колебаний как функций параметров сечений.С.34.

§ 3.1. Дискретная модель расчета стержневых систем.С.34.

§ 3.2. Выражение критической нагрузки как функции параметров сечений.С.48.

§ 3.3. Выражение частоты собственных колебаний как функции параметров сечений.С.59.

5. Глава 4. Алгоритм проектирования систем наименьшего веса. С-63.

§ 4.1. Блок - схема решения задачи.С.63.

§ 4,2. Выбор метода решения задачи нелинейного программирования. С.72.

§ 4.3. Примеры расчета. С.77.

6. Глава 5. Рациональная расстановка связей в задаче об устойчивости и колебаниях стержневых систем. С.91.

§ 5.1. Рациональная расстановка связей в системах с регулярными собственными формами. С.92.

§ 5.2. Критерии рациональной расстановки связей в системах с нерегулярными собственными формами. С.95.

§ 5.3. Метод рациональной расстановки связей в системах с нерегулярными собственными формами. С.100.

7. Глава 6. Численная реализация предлагаемого метода.С.Пб.

§ 6.1. Выбор количества варьируемых параметров. С.116.

§ 6.2. О сходимости метода.С.120.

В основных направлениях экономического и социального развития СССР на I981-1985 годы и на период до 1990 года, утвержденных 2б-м съездом КПСС говорится: "Предусмотреть преимущественное развитие производства изделий, обеспечивающих снижение металлоемкости, стоимости и трудоемкости строительства, веса зданий, сооружений и повышение их теплозащиты". Таким образом подчеркивается важность методов проектирования оптимальных конструкций. В последние годы раздел строительной механики, занимающийся проектированием оптимальных конструкций, получил сущест- ,^ венное развитие. Успехи этой области строительной механики преж-' де всего связаны с развитием вычислительной техники и методов математического программирования.

Трудами советских и зарубежных ученых: Бубнова И.Г., Виноградова А.И., Воробьева Л.Н., Дольберга М.Д., Киселева В.А., Лазарева И.Б., Мацелявичуса Д.А., Нудельмана Я.Л., Николаи Е.Л., Немировского Ю.В., Рабиновича И.М., Радцига Ю.А., Смирнова А.Ф., Троицкого В.А., Филина А.П., Ченцова Н.Г., Чираса А.А., Вайнштей-на А., Ольхоффа Н., Рожваны Н.Г., Прагера В., Рубина С., Тейлора Д., Шилда Р. были заложены основы теории проектирования систем наименьшего веса. При этом учитывались различные ограничения. Чаще всего проводился учет ограничений по прочности, реже по устойчивости или частоте собственных колебаний.

Учет ограничений по устойчивости или частоте колебаний связан с необходимостью выражения критических нагрузок и собственных частот через варьируемые параметры. Получение таких выражений оказывается для большинства систем довольно сложной задачей. Именно это обстоятельство и явилось основным препятствием к решению задач оптимизации при ограничениях по устойчивости или частоте собственных колебаний.

Вопросам проектирования системы наименьшего веса с учетом ограничений по устойчивости или частоте колебаний посвящены работы Баублиса П.С., Воробьева Л.Н., Гайнулиной С.Х., Григе-ва В.Б., Елизарова А.Ф., Лазарева И.Б., Малиновского А.П., Николаи Е.Л., Почтмана Ю.М., Смирнова А.Ф., Те А.Б., Троицкого В. А., Филиппова А.Г., Ципанаса И.К., Ченцова Н.Г., Юдина Ю.Я., Ольхоффа Н., Тейлора Д., Расмуссена С. и других исследователей. При этом в большинстве работ в качестве варьируемых параметров принимались размеры попереченых сечений элементов конструкций. Однако, как известно, критическая нагрузка и собственная частота существенным образом зависят от типов и мест постановки связей системы. Вопросам оптимизации сооружений при варьировании наперед заданным количеством связей посвящены работы Бубнова И.Г., Зитермана Д.М., Дольберга М.Д., Нудельмана Я.Л., Троицкого В.А., Вайнштейна, Вейля, Ольхоффа Н., Тейлора Д. и других.

Очевидно, что одновременное варьирование размерами сечений и некоторым количеством связей позволит повысить эффективность сооружений. Однако, до настоящего времени вопрос о создании метода, позволяющего решать данную задачу при значительном количестве варьируемых параметров и различных условиях опирания стержней остается открытым. Решению именно этой задачи и посвящается данная работа. Работа состоит из шести глав, заключения и списка используемой литературы. В первой главе проводится анализ работ, посвященных проектированию систем наименьшего веса с учетом ограничений на величину критической нагрузки или частоты собственных колебаний. При этом рассматриваются как работы, где варьируемыми параметрами являются размеры элементов сечений, так и работы, где варьируются связи системы. На основе проведенного анализа формируются цели и задачи данной работы. Во второй главе описываются постановки задач, рассмотренных в диссертации, их математические модели и намечаются пути решения. Здесь же проводится обоснование разделения задачи и проектировании систем наименьшего веса при варьировании параметрами сечений и некоторым количеством связей, на две независимые задачи. В первой из этих задач отыскивается оптимальное распределение материала при ограничении, наложенном на высшую критическую силу или собственную частоту. Во второй задаче решается вопрос об оптимальной расстановке связей в системе, полученной в результате решения первой задачи. Третья глава посвящена выбору и обоснованию способов записи ограничений по устойчивости и частоте колебаний. В четвертой главе излагается алгоритм проектирования систем наименьшего веса при ограничениях на высшую критическую нагрузку или частоту собственных колебаний. В пятой главе предложен критерий и алгоритм отыскания уравнений рациональных связей. Предлагаются некоторые варианты синтеза рациональных связей по полученным уравнениям.

Шестая глава посвящена анализу некоторых вычислительных аспектов предлагаемых алгоритмов.

В заключении приводятся основные результаты работы.

Основные результаты данной работы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Разработан метод проектирования стержневых систем наименьшего веса при ограничениях, накладываемых на величину критической нагрузки или первой частоты собственных колебаний при варьировании как параметрами сечений, так и уравнениями наперед заданного количества связей.

2. Показана возможность применения предложенного метода и для решения задачи' об оптимальном распределении заданного количества материала с целью максимально возможного повышения величины критической нагрузки или первой частоты собственных колебаний путем варьирования размерами сечений и уравнениями наперед заданного количества связей.

3. Обоснована возможность разделения задачи при варьировании размерами сечений и уравнениями заданного количества связей на две частные, последовательно решаемые задачи.

В первой из этих задач варьируются только параметры сечений, а во второй проектируются рациональные связи. Разделение общей задачи на две частные позволило использовать достижения в области решения задач, что в свою очередь позволило получить решение общей задачи.

4. Предложен критерий и алгоритм, позволяющий определять уравнения рациональных связей.

5. Предложен прием, позволяющий синтезировать некоторые типы рациональных связей.

6. Сформулированы рекомендации по выбору количества участков дискретной модели, обеспечивающих как достаточную точность решения, так и устойчивость вычислительного процесса.

7. На численных примерах проведена апробация предложенного метода, подтвердившая его достаточную точность и эффективность.

125

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абрамов Н.И. Оптимизация статически неопределимых систем методом лучевых проекций. В сб.: Исследования по теории сооружений, М., 1970, вып.18, с.147-157.

2. Аргирос Дж. Матричная теория статики конструкций. В кн.: Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем, под ред. А.П.Филина, Л., Судпромгиз, 1961,с.372-396.

3. Болотин В.В. 0 понятии устойчивости в строительной механике. Проблемы устойчивости в строительной механике. Тр. Всесоюзной конференции по устойчивости в строительной механике. Стройиздат, М., 1965, с. 6-27.

4. Болотин В.В., Гольденблат И,И., Смирнов А.Ф. Современные проблемы строительной механики. Стройиздат, М., 1964, с.191

5. Блейх Ф. Устойчивость металлических конструкций. Физмат-издат, М., 1959, с.544.

6. Блейх Ф. Теория и расчет железных мостов. 1931, с.234.

7. Бубнов И.Г. Строительная механика корабля, т.1, 1912, с.

8. Баловнев Г.Г. Определение оптимальных размеров тонкостенных гнутых профилей для сжатых элементов. Строительная механика и расчет сооружений. 1962, № 6, с.40-44.

9. Баублис П.С., Цыпинас И.К. Применение метода цроектируемых градиентов для оптимизации упругих систем, подверженных потере устойчивости. Литовский механический сборник, 1961, № I (4), с.70-81.

10. Баублис П.С., Ремишаускас М.Ю., Цыпинас И.К. Применение метода проектируемых градиентов для оптимизации упругих рам, подверженных потере устойчивости. Литовский механический сборник. 1970, № 6. с.129-135

11. Воробьев JI.H. Некоторые случаи устойчивости колонн, объем которых минимум для заданной нагрузки. Изв. Новочеркасского индустриального института, т.4. Новочеркасск, 1938,с. 81-100.

12. Воробьев Л.Н. Брус равной устойчивости. Труды Новочеркасского политехнического института, т.21 (35), 1949, с .137-143.

13. Вейсхаар Д. Оптимизация простых конструкций при ограничениях на высшие частоты собственных колебаний. Ракетная техника и космонавтика, 1972, т.10, № 5, с.167-168.

14. Вайнштейн А. Промежуточные задачи и максимально минимальная теория собственных значений. Сборник Математика. 8,5. 1964, с.91-101.

15. Виноградов А.И. К вопросу о расчете стержневых систем наименьшего веса. Исследования по теории сооружений, вып.8, Госстройиздат, М., 1959, с. 499-521.

16. Виноградов А.И. Об оптимальном распределении усилий в стержневых системах и свойствах оптимальных систем. Прикладная механика, т.1, вып.1, 1965, с. 126-134.

17. Виноградов А.И. Задача оптимального проектирования и ее особенности для стержневых систем. Строительная механика и расчет сооружений, 1974, № 4, с.55-60.

18. Виноградов А.И., Дорошенко 0.П,, Храповицкий И.С. Некоторые направления в теории оптимальных стержневых систем. Строительная механика и расчет сооружений. 1969, № 4,с.35-39.

19. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. Физматиздат. М., 1963, с. 879.

20. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.,Наука,1967, с.984 .

21. Геммерлинг А.В. Точность статического расчета, оптимизация и надежность конструкций. Строительная механика и расчет сооружений, 1973, № 6, с.8-11.

22. Гайнуллина С.Х. К вопросу проверки устойчивости рам равного сопротивления изгибу. Труды КАИ, вып.46, Казань, 1959, с. II3-II9.

23. Гайнуллина С.Х. Расчет рам наименьшего веса с учетом продольных сил. Труды КАИ, вып.77, 1963, с. 71-81.

24. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Некоторые задачи оптимизации стержней при продольных колебаниях. Динамика и прочность машин, 19. Издательство Харьковского университета, Харьков, 1974, с. 47-53.

25. Гринев В.Б., Филиппов А.П». Оптимизация круглых пластинок в задачах устойчивости. Строительная механика и расчет сооружений, № 2, 1977, с. 16-20.

26. Гринев В.Б,, Филиппов А.П. Оптимальное проектирование конструкций, имеющих заданные собственные частоты. ПМ., 1971, 7,10. с. 19-25.

27. Гринев В.Б., Филиппов А.П. О границах основной частоты стержня, несущего сосредоточенную массу. ПМ., 1973, 9,2, с. 85-90.

28. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Применение принципа максимума Понтрягина к оптимизации элементов конструкций. МТТ,1976, 6, с.

29. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Об оптимальных очертаниях стержней в задачах устойчивости. Строительная механика и расчет сооружений, 1975, № 2, с. 21-27.

30. Гулд С. Вариационные метода в задачах о собственных значениях. М., Мир, 1970, 328 стр.

31. Гальперин Е.А., Мецник А.И. Экстремальные задачи управления спектром собственных колебаний механических систем при наличии ограничений. МТТ, 1971, 5, с.

32. Дольберг М.Д. Об одном обобщении задачи Бубнова. Украинский математический журнал. Т.Ш., № 4, 1951, с.433-448.

33. Дольберг М.Д. О связях наибольшей жесткости. Записки ХГУ и ХМО, 25 (1957), серия 4.

34. Елизаров А.Ф. О проектировании стержней наименьшего объема, подверженных потере устойчивости. Издательство Томского университета. Томск, 1974, с.16-18.

35. Заргами М. Оптимальная частота колебаний конструкции. Ракетная техника и космонавтика, 1968, № 4, с. 232-234.

36. Кюнци Г.П., Крелнс В. Нелинейное программирование. Издательство Советское радио. М., 1965, с. 304.

37. Курант Р., Гильберт Д. Метода математической физики. Издательство 3, т.1-2 ГИТТЛ, 1951, с. 544.

38. Кошкин Л.В., Нудельман Я.Л. К вопросу об управлении собственными частотами упругих систем. Строительная механика и расчет сооружений № I, 1975, с.35-39.

39. Ляхович Л.С. Некоторые вопросы качественного анализа устойчивости стержневых систем, исследуемых методом перемещений. Издательство литературы по строительству. М., 1965, с.435-440.

40. Ляхович Л.С., Тс А., Фишер В.Ф. Об оптимальном распределении материала с учетом расстановки связей в задаче о собственных колебаниях стержневой системы. Киси, Киев, 1978, с.71-74.

41. Ляхович Л.С., Те А., Фишер В.Ф. О рациональной расстановке связей и распределений материала в задаче о собственных колебаниях системы с конечным числом степеней свободы. Изд. Томского университета, Томск, 1978, с.31-34.

42. Ляхович Л.С., Малиновский А.П. Проектирование стержней минимального веса, находящихся под действием параметрической и вибрационной нагрузки. Издательство Томского университета, Томск, 1978, с.70-78.

43. Ляхович Л.С., Малиновский А.П. Оптимизация несущей способности систем по устойчивости и частоте колебаний. Межвузовский сборник научных работ под общей редакцией д.т.н. профессора Абовского Н.П., Красноярск, 1979, с.ЮЗ-ПЗ.

44. Ляхович Л.С. Метод отделения критических сил и собственных частот упругих систем. Изд. Томского университета, 1970, 159 стр.

45. Лазарев И.Б. К расчету оптимальных стержней переменного сечения, работающих на осевую нагрузку и собственный вес. Тр. Новосибирского института инженеров ж.д. транспорта, 1970, вып.96, с.127-135.

46. Маккарт В. Оптимальное проектирование при ограничениях, наложенных на собственную частоту. Ракетная техника и космонавтика, т.8, № 6, 1970, с.28-37.

47. Матевосян P.P. Устойчивость сложных стержневых систем (качественная теория). М., 1961, 251 стр.

48. Малков В.П., Тарасов В.Л. Оптимизация цилиндрической оболочки при фиксированной собственной частоте. Всесоюзный межвуз. сб. прикладные проблемы прочности и пластичности, вып.6. Горький, 1977, с.88-97.

49. Мелнтош , Еастер Е. Проектирование конструкций минимального веса с заданными значениями жесткости. Ракетная техника и космонавтика, т.б, № 5, 1968, с.962-964.

50. Мацюлявичюс Д.А. Некоторые особенности конфигурации стержневых упругих статически определимых конструкций минимального веса. В кн. Каунасский политехнический институт. Доклады Х1У научно-технической конференции, Вильнюс, Минтис, 1964, с.50-57.

51. Мацюлявичюс Д.А., Чюгалис А.И. Об одном алгоритме случайного поиска для синтеза оптимальной упругой шарнирно-стержневой системы. Литовский механический сборник. 1970, I (6), с.135-143.

52. Нудельман Я.Л., Ляхович Л.С. Уточнение критерия, определяющего место заданного числа в спектре собственных частот и критических сил упругих систем. Издательство Томского университета, Томск, 1968, с.88-98.

53. Нудельман Я.Л., Ляхович Л.С., Гитерман Д.М. 0 наиболее податливых связях наибольшей жесткости. Издательство Томского университета, Томск, 1981, с.ПЗ-125.

54. Нудельман Я.Л. Об одном способе решения уравнения частот и критических сил, составленных методом сил. Сб. трудов Одесского гидротехнического института, вып.У1, 1954, с.

55. Нудельман Я.Л. Методы определения собственных частот и критических сил для стержневых систем. М.Л., 1949, 175стр.

56. Нудельман Я.JI. Устойчивость упруго опертых балок. Сб. прикладной математики и механики. I.H1., вып.4, 1939, с. 35-47.

57. Нудельман Я.Л. О теории стойкости прямолинейного стержня. Труды Одесского г ос. университета, вып.П, 1938, с.227-235.

58. Николаи Е.А. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонн. Изв. СПБ политехнического института, т.УШ, вып.1, 1907, с.584.

59. Оптимальное проектирование конструкций. Библиографический указатель, под ред. М.И.Рейтмана. М. ЦНииЭПсельстрой, 1969, 146 стр.

60. Оптимальное проектирование конструкций. Библиографический указатель, под ред. Ю.В.Немировского. Новосибирск, институт гидродинамики СО АН СССР, 1975, г.1,П, с.221-472.

61. Прокофьев И.П., Смирнов А.Ф. Теория сооружений, г.Ш, Транс-желдориздат, М., 1948, с.243.

62. Погтман Ю.М. Оптимальное проектирование методами математического программирования некоторых стержневых и континуальных систем с учетом потери устойчивости. В сб.: Гидроаэромеханика и теория упругости. Харьков, 1975, вып.19, с.1.7-114.

63. Петухов Л.В., Троицкий В.А. Некоторые оптимальные задачи теории продольных колебаний стержней. Пр. мат. и механики, 1972, т.36, вып.5, с.895-904.

64. Папкович П.Ф. Строительная механика корабля. г.П, 1941, с.960.

65. Рабинович И.М. Курс строительной механики, г.1. Стройиздат, 1950, 387 стр.,г.П. Стройиздат, 1954, 544 стр.

66. Рабинович И.М. Стержневые системы минимального веса. В книге: Механика твердого тела. Тр. П Всесоюзного съезда по теорет. и прикладной механике. М., Наука, 1966, вып.З, с. 265-275.

67. Растригин Л.А. Статистические методы поиска. М., Наука, 1968, 376 стр.

68. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Теория оптимального проектирования в строительной механике, теории упругости и пластичности. В сб.: Итоги науки. Упругость и пластичность. ВИНИТИ АН СССР, 1966, с.81-124.

69. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Оптимизация конструкций при динамических нагрузках. В кн.: Матер. Всесоюзной конференции "Проблемы оптимизации в механике твердого деформируемого тела". Вильнюс, 1974, 27 с.

70. Ржаницын А.Р. Об общем принципе оптимизационного расчета сооружений. Стр. механика и расчет сооружений. 1974, № 3, с.6-8.

71. Рэлей Дж. Теория звука. Гостехиздат., M-JI., 1955, с.499.

72. Рубин С. Проектирование сложных конструкций минимального веса при ограничении, накладываемом на величину собственной частоты. Ракетная техника и космонавтика, т.8, № 5, 1970, с. 78-84.

73. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. Транс-желдориздат, М., 1958, с.

74. Смирнов А.Ф. Стержни и арки наименьшего изгиба при продольном изгибе. Стр. механика и мосты. Тр. МИИТ, вып.74, 1950, с.3-40.

75. Строительная механика в СССР. I9I7-I967. Под редакцией И.М.Рабиновича. Стройиздат, М., 1969, с.413.

76. Сергеев Н.Д., Богатырев А.И. Проблемы оптимального проектирования конструкций. Л., Стройиздат, 1971, 136 стр.

77. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. ОГИЗ, Гостех-. издат, 1946, 532 стр.

78. Тё А.К расчету стержневой конструкции минимального объема при ограничениях, наложенных на несколько частей свободных колебаний. Издат. Томского университета, Томск, 1974, с.132-139.

79. Тё А. К расчету стержневой конструкции наименьшего объема при ограничении, наложенном на наибольшее собственное значение. Издат. Томского университета, Томск, 1974, с.140-147.

80. Тарасов В.Л. Оптимизация осесимметричных пластин с заданными собственными частотами. Всесоюз. межвуз. сб.: Прикладные проблемы прочности и пластичности, вып.4, Горький, 1976, с. 80-87.

81. Тарасов В.Л. Оптимизация кольцевых пластин с заданными критическими нагрузками. Всесоюзн. межвуз. сб.: Прикладные проблемы прочности и пластичности, вып.7, Горький, 1977,с.97-103.

82. Тэрнер М.Д. Проектирование конструкций минимального веса, имеющих заданные собственные частоты. Ракетная техника и космонавтика, т.5, № 3, 1967, с. 27-35.

83. Тэйлор Д. Энергетический подход к задаче об оптимальной стойке. Тр. американского общества инженеров-механиков., Сер. Е, 1967, с. 486-487.

84. Тэйлор Д. Расчет стержня наименьшего веса при продольных колебаниях с заданным значением собственной частоты. Ракетная техника и космонавтика, 1965, т.5, № 10, с.244-246.

85. Тэйлор Д. Лю К. Оптимальное проектирование стоек. Ракетная техника и космонавтика, 1968, т.6, № 8, с.70-77.

86. Таджбахш Н., Келлер Д. Оптимальные стойки и изопараметриче-ские неравенства для собственных значений. Тр. американского общества инженеров-механиков, Сер. Н, 1962, I, с. 159-164.

87. Тэрнер М. Проектирование конструкций минимального веса, имеющих заданные собственные частоты. Ракетная техника и космонавтика, 1967, т.5, № 3, с.27-35.

88. Филин А.П., Гуревич Я.И. Применение вариационного исчисления к отысканию рациональной формы конструкций. Сборник трудов ЖИЖТа, вып.190, Л., 1962, с.161-187.

89. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. М., Мир., 1967, 508 стр.

90. Цыпинас И.К. К вопросу о синтезе оптимальных стержневых систем, подверженных потере устойчивости. Литовский механический сборник, 1968, № I (3), с.22-32.

91. Цыпинас И.К. Применение теории оптимального управления в задачах синтеза сжатых стержней. Литовский механический сб., 1970, 2 (7), с. 17-32.

92. Цыпинас И.К. О задачах оптимизации упругих систем, подверженных потере устойчивости. Литовский механический сборник, Вильнюс, 1971, № I (8), с.

93. Чирас А.А. Расчет упруго-пластических рам с применением методов линейного программирования. Тр. вузов Лит. ССР, Строительство и архитектура, тЛУ, Вильнюс, 1964, с.

94. Чирас А.А. Методы линейного программирования при расчете упруго-пластичных систем. Изд. литературы по строительству. Л., 1969, с.198

95. Ченцов Н.Г. Стойки наименьшего веса. Тр. ЦАГИ, вып.265, 1936, с .1-48.

96. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Изд. Наука, Физматгиз, М., 1965, с.424

97. Юдин Ю.Я. Условия прочности и устойчивости в задаче минимизации объема арок. Издат. Томского университета, Томск, 1971, с. I18-125.

98. Юдин Ю.Я. Способ целенаправленного поиска при проектировании конструкций минимального объема. Издат. Томского университета, Томск, 1971, с.125-129.

99. Ольхов Н. Оптимальное проектирование конструкций. Издат.

100. Мир, Москва,1981, с. 74-263.

101. Weul Н. Ъ^Б asumpiotlsche Weriejlungs Gresetz. cLer Eegenwerie iLncarer pArtteller "Duf-fcrentlalglei. -chungen. Math. &nn, («-М) c.AA\-A&S.