Основные граничные задачи для обобщенного потенциального вектора тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ

§ 1.1. Некоторые обозначения, определения, теоремы.

§ 1.2. О применениях обобщённой потенциальной системы.

§ 1.3. Обобщённая система Коши-Римана в трёхмерном пространстве

§ 1.4. Обобщённая задача Римана-Гильберта

§ 1.5. Решение первой смешанной задачи методом

Винера-Хопфа

§ 1.6. Вторая смешанная задача

§ 1.7. Граничные задачи для бесконечного пространства, разрезанного вдоль полуплоскости

ГЛАВА П. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ

ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ТИПА НЕЙМАНА

§ 2.1. Обобщённая задача Неймана для уравнения

Гельмгольца

§ 2.2. Зфаничные задачи типа Неймана для обобщённого потенциального вектора

ГЛАВА Ш. ОБОБЩЁННАЯ СИСТЕМА КОШИ-РИМАНА В П- МЕРНОМ (К>3) ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ 3.1. Обобщённая задача Римана-Гильберта

§ 3.2. Решение смешанной задачи методом Винера

Хопфа

§ 3.3. Обобщённая задача Неймана для уравнения

§ ЗЛ. Граничная задача для конечной области СПИСОК ОСНОВНОЙ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Система дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка эллиптического типа имеет важное теоретическое и прикладное значение. Среди таких систем особое место занимает система Коши-Римана, класс решений которой - аналитические функции одной комплексной переменной - исследован достаточно глубоко. Обобщённая система Коши-Римана, решениями которой являются обобщённые аналитические функции, обладает целым рядом свойств, характерных для системы Коши-Римана. Теория обобщённых аналитических функций впервые была обоснована в работах Т.Карлемана [31], а затем в работах И.Н.Векуа [3], Л.Берса[30] построена общая теория обобщённых аналитических функций.

Весьма интересным и важным является выделить ещё такие системы, которые также имеют общие свойства с системой Коши--Римана, в частности, исследовать следующие вопросы, касающиеся решений таких систем и их сходства с аналитическими функциями: оС ) справедливы ли для них интегральные представления, аналогичные интегральной формуле Коши? ) являются ли всё ещё приемлемыми для них классические граничные задачи для аналитических функций - задачи Гильберта и Римана-Гильберта? у ) действительна ли теорема Лиувилля? Более конкретно, должно ли целое решение, обращающееся в нуль на бесконечности, быть тождественно равным нулю? сГ ) имеют ли они свойство единственности продолжения, такое, что если решение системы обращается в нуль на открытом множестве, то тогда оно тождественно равно нулю?

Существуют многие работы, в которых исследуются эти вопросы для более общих систем первого порядка [2]}[5,б], [12,13], [14,15] , [22,23,24,25] , [27] , [28] , [зз] , Ы) , [зв].

В работе [I] в трёхмерном пространстве рассмотрена эллиптическая система Моисила-Теодореску [37],а в [23] - её обобщение, для которых вышеуказанные вопросы решены положительно.

Большое применение при исследовании многих вопросов физики, гидромеханики, теории упругости и др. имеет система дифференциальных уравнений для потенциального вектора (7

ЙГ и = О, чо1 и = о, и) где и~и1и,(р),игср) ,иъ(р) ] ; 0Г3) - точка трёхмерного евклидова пространства. Система (I) переопределена, но является системой эллиптического типа в смысле Хила и Протера [34]. В трудах Р.Мизеса [Зб], А.В.Бицадзе [I] для системы (I), являющейся трёхмерным аналогом системы Коши-Рима-на, построены фундаментальная матрица, соответствующий пространственный аналог интеграла типа Коши, рассмотрены связанные с ними другие вопросы.

Как обобщение потенциальной системы, с одной стороны, и как трёхмерный аналог обобщённой системы Коши-Римана, рассматривается система иг и + ( А-1!) = О,

Я) чМ и +[и*В1-°, где и~и[и<(р),иг(р),иг(р)]> р=(т<,х2,гг); А(а,}(я2,ал) и 8 (Ь, $2,заданные векторы. Очевидно, при А = &-0 получается система (I), а при щ3 - в3 - 0 и при условии, что и (и </,112,не зависит от , имеем обобщённую систему Коши--Римана.

Для системы (2), которая, как и система (I), является переопределённой системой эллиптического типа, положительно решаются вышеприведённые вопросы. Заметим при этом, что проблема ¿0 была исследована Г.Хилом и М.Протером в 1977 году для общей переопределённой системы первого порядка эллиптического типа.

В случае переменных коэффициентов система (2) в многомерном евклидовом пространстве рассмотрена в работе [25], в которой выведены обобщённая формула Помпею и обобщённая интегральная формула Коши, рассмотрен обобщённый интеграл типа Коши и изучен ряд вопросов, связанных с ним ( выведение формул Сохоц-кого-Племеля, обращение одного интегрального уравнения).

В том случае, когда А и в - постоянные, эти же вопросы для системы (2) в случае многомерного пространства рассмотрены в [24].

В § 1.2 главы I приводятся некоторые примеры применения системы (2), которую называем обобщённой потенциальной системой, а её решение - обобщённым потенциальным вектором.

Цель настоящей работы - перенесение для обобщённого потенциального вектора некоторых свойств аналитических функций, а также ( и главным образом) изучение ряда граничных задач, аналогичных тем задачам, которые рассматривались для упомянутых выше функций, т.е. исследование вопроса .

Заметим, что в случае, когда А и В - постоянные векторы, с помощью некоторого преобразования неизвестной функции систему (2) можно привести к виду с1иг]/ + (Н-\/) = 0,

Ь) где Н = {(А + В) ; иХг гГ3).

В первой главе диссертационной работы для системы (3) решаются следующие граничные задачи для бесконечных областей, а именно, для полупространства и бесконечного пространства, разрезанного вдоль полуплоскости.

I. Определить в полупространстве , 0<х7* оо исчезающее на бесконечности решение системы (3) по граничному условию

V« + Уг + уу3 = Ту, т2) при т7 = О, где с(, У - постоянные, причём скг+ кР>г+уг=£ О; - заданная функция класса Ь (Ю. Решение ищем в классе функций, удовлетворяющих следующим условиям: а) Ц(р), Ш , V«,* 10, со); б) в каздом конечном интервале для [О, функции I = 2, 3 ) имеют интегрируемые мажоранты, т.е. дхь с ЬЦ

Ъ*з где ¿¿(г*, г2)в I

Эта задача является пространственным аналогом задачи Римана-Гильберта для обобщённой аналитической функции [3].

2. Определить в полупространстве (г*,г2О^т2<оо решение системы (3) по следующим смешанным граничным условиям т3=о - ОО ^ 0Сг ОО , где (Ту, - заданные функции, удовлетворяющие условиям а *

С1?4,Х'л)1<С<(Тг)е При + оО,

ЪгТ* при Т-г - <ЗЭ, причём -А« ^ ^ /гу ; С* (оси - функции класса /¿{(1). Решение ищем в классе функций, удовлетворяющих тем же условиям а) и б), что и в предыдущей задаче. Заданные функции //^ЗД и Ха) будут принадлежать классу относительно Тг .

3. Определить в полупространстве (т*,т2)6 К , 0< < оо регулярное решение системы (3) по смешанным граничным условиям К

Т2 = 0 д досу - ОО < О?2 < СО 9

0С3=О где ^(сХ>4,т2) » ^Тсг*, я*? - заданные функции, удовлетворяющие условиям при Ъ-*4-00'

С[ г£>

I с* с»е при СС-, -> причём -/Н| ^f^fi £ Ж I, и С2(\)е1(Ю , здесь to, >?) , i) ~ преобразования Фурье функций /¿Г*, ^J и tffTi, Tz) по переменной . Считаем также, что т2),

Х1,тг)с1(Ю относительно 0CZ I и €я - некоторые числа, |Н1= \lhi+k\ + . Решение ищем в том же классе функций, что и в случае двух предыдущих задач.

Дяя решения задач 1-3 применяется метод интегральных преобразований Фурье, а в случаях задач 2 и 3 используется также метод Винера-Хопфа [21].

4. В бесконечном пространстве, разрезанном вдоль полуплоскости Т2=0 , определить регулярное решение V-=(•tfi, Vz, lf%) системы (3) по граничным условиям или

Щ 1 дт2 ± У(СС4,Т2), х, >О, - ¿ОС^оо, сс3=о где ffa,Tt) и Tz) - заданные функции класса le ( а2) . Знаками ( + ) и ( - ) в левых частях последних равенств обозначены граничные значения, принимаемые соответствующими функциями из верхней и нижней полупространств, т.е. при стремлении 0< х3 О и О > ос2 о соответственно.

5. В бесконечном пространстве, разрезанном вдоль полуплоскости ог3 - о, Т-т > О определить регулярное решение системы (3) по граничным условиям тъ=0 / (Т4, Тг), Т-, > О f — оо < 0СЯ <r oOf где ;/* , У ~ - заданные функции класса X (Иг). Эти задачи удаётся решить при условии, когда в системе (3) к2-0 , так как в этом случае можно применить принцип симметрии Рима-на-Шварца. Решение этих задач сводится к решению задач 3 и 4 .

Во второй главе исследуются вопросы существования и единственности решения граничных задач типа Неймана, поставленных для конечной и бесконечной областей, ограниченных замкнутой поверхностью, в трёхмерном евклидовом пространстве.

Пусть - область трёхмерного евклидова пространства, ограниченная замкнутой поверхностью Ляпунова 5 I Ь - дополнение д++5 до полного пространства.

I. Определить в области регулярное решение уравнения

ДУ-/^ =0 или дх3 по граничному условию дП

-НпУ где Н=(¡11, кг, к?) - заданный постоянный вектор, Н/г - проекция вектора Н на /г - внешнюю нормаль к поверхности 5 в точке , - заданная на $ непрерывная функция. Методами потенциала и интегральных уравнений, хорошо известными в литературе, например, Г17Л , [18] , [19] , исследуются вопросы единственности и существования решения поставленной задачи.

Эта же задача рассматривается и для области 0 . Доказывается, что в этом случае задача всегда разрешима и решение её определяется единственным образом.

2. Определить в области Ь непрерывно дифференцируемое решение системы (3) по граничному условию

- > где - заданная на 5 непрерывная функция, ^ - проекция вектора V на внешнюю нормаль к поверхности 5 в точке ^ .

Доказывается, что решение поставленной задачи существует и определяется единственным образом. Задача рассматривается и для области Ъ

Пусть область Т)+ ограничена замкнутой гладкой поверхностью 5 ; Г - замкнутая гладкая линия на 5 , Г0 - её проекция на плоскости X* О Х^ , которая ограничивает двумерную область изменения координат » точек трёхмерной области д + .

3. Требуется определить в области 1) + , регулярное решение системы (3), удовлетворяющее граничным условиям 5 или

ИЛИ I ъ+^ръ Г=Ц>} ¿ъ+ръ ¡г = % где / и у оС, jb - заданные непрерывные функции на s и Г соответственно.

Решение последних задач приводится к решению в области /)г некоторой задачи Римана-Гильберта для обобщённой аналитической функции.

В третьей главе диссертации рассматриваются задачи, аналогичные тем, какие рассматривались в первой и второй главах, для системы уравнений

Л—' + AiUi = О (I- глухой индекс) t)

ЭГ1; 1 г.*=у,а.и, где :г=(аг>,эг>, точка Л - мерного евклидова пространства Rn ( П> 3 ) Ai , В l - заданные постоянные, U~ U [И^Щ U2(oc),.;'Utj(x)] - искомый вектор. Эта система является И -мерным аналогом обобщённой системы Коши-Римана.

Если Ai =8i=0 ( L = t2,., п) , то система (4) является системой Рисса [28]. Система (4) рассмотрена в [24J ,[25j.

Следует подчеркнуть, что исследование вопросов <*), уЦ Y), à) в трёхмерном случае является гораздо более сложным и неполным по сравнению с двумерным случаем, а К - мерный (П>3) случай совершенно аналогичен трёхмерному.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах автора [ 7 , 8 , 9 , 10 , IIJ .

С этими результатами автор выступала на конференции молодых учёных и аспирантов в Институте прикладной математики им. И.Н.Векуа Тбилисского государственного университета (апрель 1974 года), на республиканской конференции молодых учёных по математике и механике, там же, в июне 1976 года, а также на семинарах отдела уравнений математической физики Тбилисского математического института им. А.М.Размадзе АН Груз.ССР ( руководитель семинара академик АН ГССР Н.П.Векуа).

1. Бицадзе A.B. Пространственный аналог интеграла типа Коши и некоторые его применения. - Докл. АН СССР, 1953, т.93, № 3, с.389-392.

2. Бицадзе A.B. Основы теории аналитических функций комплексного переменного: Учебн. пособие для студ-ов еысш. учебн. заведений. 2-е изд., доп. - М.:Наука, 1972.-263с.

3. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. -М.: Физмат-гиз, 1959. 628с.

4. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа. Тбилиси: Тб.гос. ун-т, 1967, - 137 с.

5. Виноградов B.C. Об одном аналоге системы Коши-Римана в четырёхмерном пространстве. Докл. АН СССР, 1964, т.154, Ж, с. 16-19.

6. Виноградов B.C. Исследование граничных задач для эллиптических систем первого порядка. Матем.заметки, 1973, т.14, вып. 2, с. 291-304.

7. Гоголаури Л.А. Некоторые граничные задачи для обобщённого потенциального вектора. В кн.: Тез.докл. на конф.молодых учёных и аспирантов ( г.Тбилиси, ин-т прикл. мат-ки им. И.Н.Векуа Тб.гос.ун-та, 22-26 апр.1974г.). Тбилиси, 1974, с.37-38.

8. Гоголаури Л.А. Некоторые граничные задачи для обобщённого потенциального вектора. Сообщ. АН Груз.ССР, 1975, т.78, № 2, с.273-276.

9. Гоголаури Л.А. Граничные задачи для обобщённого потенциального вектора. Сообщ. АН Груз.ССР, 1976, т.82, № 2, с.293-296.

10. Гоголаури Л.А. Решение некоторых граничных задач для обобщённого потенциального вектора. Тр.Тб.гос.ун-та, 1981, т.218, с.54-60.

11. Дезин A.A. Инвариантные эллиптические системы уравнений.-Сибирск.матем.журн., i960, т.1, №4, с. 578-608.

12. Дезин A.A. Естественные дифференциальные операторы и разделение переменных. Диф.уравн., 1973, т. 9, I, с. 25-31.

13. Джураев А. О некоторых пространственных системах уравнений первого порядка составного типа. В кн.: Комплексный анализ и его приложения. Сборн.статей, посвящённый семидесятилетию акад. И.Н.Векуа. - М.: Наука, 1978, с.217-223.

14. Джураев А. Системы уравнений составного типа. М.: Наука, 1972. - 225с.

15. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, ч.1: Учебн.для ун-тов. 4-е изд.»перераб. - М.-Л.: Гостехиздат, 1948. - 535с.

16. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. - 208с.

17. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчулад-зе Т.В. Трёхмерные задачи математической теории упругостии термоупругости. 2-е изд., перераб. и доп. - М.:Наука, 1976. - 663с.

18. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М. :ШЕ, 1957. - 256с.

19. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения.-3-е изд., испр. и доп. М. :Наука, 1968. - 5Пс.

20. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. М. :ИЛ, 1962. - 279с.

21. Оболашвили Е.И. Пространственный аналог обобщённых аналитических функций. Сообщ. АН ICCP, 1974, т.73, J£ I, с.21-24.

22. Оболашвили Е.И. Пространственные обобщённые голоморфные векторы. Диф.уравн., 1975, т.XI, № I, с.108-115.

23. Оболашвили Е.И. Обобщённая система Коши-Римана в многомерном евклидовом пространстве. В кн.: Сборн.докл. на межд.конф. по комплексному анализу и его применениям к уравн. с частн.производными ( г.Галле, ГДР, 18-24 октября 1976 г.). Галле, 1977, с.36-39.

24. Оболашвили Е.И. Обобщённая система Коши-Римана в многомерном пространстве. Тр.Тб.матем.ин-та им.А.М.Размадзе АН Груз.ССР, 1978, т.58, с.168-173.

25. Оболашвили Е.И. Преобразование Фурье и его применения в теории упругости. Тбилиси: Мецниереба, 1979.- 230с.

26. Соломяк М.З. О линейных эллиптических системах первого порядка. Докл.АН СССР, 1963, т.150, № I, с.48-51.

27. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. - 331 с.

28. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики: Учебн. пособие для студ-ов ун-тов. 4-е изд., исправл. - М.: Наука, 1972. - 735 с.

29. Bers L. Theory of pseudo-analytic functions. New York Yniversity. Institute for Mathematics and Mechanics, 1953. - 187 p.

30. Carleman T. Sur les systèmes lineaires aux derivees partieller du premier ordre a deux variables. C.R.Acad. Sei. Paris, 1933, vol 197, pp. 471-474.

31. Delenghe R. On regular-analytic functions with values ina Clifford-algebra. Math. Ann., 1970, vol 185, pp.91-111.

32. Gilbert R.P., Buchanan I.L. First order elliptic systems:A Function Theoretic Approach. New York, London. Academic Press, 1983. - 274 p.

33. Hile G.N., Protter M.H. Properties of overdetermined first order elliptic systems. Arch. Rational Mech., 1977, Anal. 66, No.3, pp. 267-293.

34. Iftimie V. Operateurs du tupe de Moisil-Theodorescu. -Bull. Math, de la R.S.R., 1966, 10 (58), nr.3.

35. Mises R. Integral theorems in three-dimensional potential flow. Bull. Amer. Math. Soc., 1944, vol 50, pp.599-611.

36. Moisil Gr. C., Theodoresco N. Fonctions holomorphes dans l'espace. Mathematica, 1931, vol 5, pp.142-159.

37. Stein E.M., Weiss G. Generalization of the Cauchy-Riemann equations and representations of the rotation group. -Amer. Jornal of Math., vol. XC, No.1, pp.163-196.