Оценка параметров стационарных гауссовских процессов при воздействии случайных возмущений с неизвестными параметрами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Оценка параметров стационарных широкополосных гауссовских процессов.

1.1 Квазиправдоподобная оценка дисперсии при воздействии случайных гауссовских возмущений с неизвестной интенсивностью.

1.2 Совместная оценка дисперсии и ширины полосы частот гауссовского процесса при воздействии случайных гауссовских возмущений с неизвестной интенсивностью.

1.3 Оценка дисперсии гауссовского процесса при воздействии случайных гауссовских искажений с неизвестными интенсивностью и полосой частот.

1.4 Совместная оценка дисперсии и полосы частот гауссовского процесса при воздействии случайных гауссовских возмущений с неизвестными интенсивностью и полосой частот.

1.5 Оценка полосы частот случайного гауссовского широкополосного сигнала.

1.6 Выводы

Глава 2. Оценка параметров стационарных узкополосных процессов при воздействии случайных гауссовских искажений с неизвестной интенсивностью.

2.1 Оценка дисперсии узкополосного процесса.

2.2 Оценка дисперсии случайного радиосигнала при воздействии комплекса помех с неизвестными параметрами.

2.3 Квазиправдоподобная оценка дисперсии узкополосного гауссовского процесса с неизвестными частотными параметрами.

2.4 Совместная оценка дисперсии и центральной частоты узкополосного гауссовского процесса.

2.5 Квазиправдоподобная оценка дисперсии и центральной частоты узкополосного гауссовского процесса с неизвестной полосой частот.

2.6 Совместная оценка максимального правдоподобия дисперсии и частотных параметров случайного радиосигнала.

2.7 Выводы

Глава 3. Статистическое моделирование алгоритмов оценки параметров стационарных гауссовских процессов.

3.1 Статистическое моделирование алгоритмов оценки дисперсии широкополосного случайного сигнала при наличии помехи с неизвестной интенсивностью.

3.2 Статистическое моделирование алгоритмов оценки параметров широкополосных гауссовских процессов.

3.3 Статистическое моделирование алгоритмов оценки параметров узкополосных гауссовских процессов.

3.4 Выводы

Статистический синтез радиофизических систем, подверженных случайным воздействиям, давно является объектом пристального внимания ученых. В виду необходимости создания современных эффективных радиофизических систем обработки информации, эта задача приобретает все большую актуальность. Кроме того, возникает необходимость развития методов теоретического анализа эффективности радиофизических информационных систем ввиду их высокой аппаратурной сложности и удорожания практических испытаний.

Поскольку при использовании детерминированных сигналов нет альтернативы (результат наблюдения при неоднократном повторении в неизменных условиях будет один и тот же), для передачи информации они непригодны. Для этой цели могут быть использованы только сигналы, относительно которых априори известно лишь множество возможных исходов многократных наблюдений при неизменных условиях, а результаты конкретного наблюдения предсказать достоверно невозможно. Из большого числа классов таких сигналов, представляемых семействами функций времени, рассмотрим стохастические (случайные) сигналы- широкий класс сигналов, применяемых для передачи и обработки информации. Для случайного сигнала результат конкретного наблюдения предсказать достоверно невозможно. Однако, при возможном существенном различии результатов отдельных наблюдений, статистические характеристики случайного сигнала в достаточно больших сериях наблюдений оказываются устойчивыми. Случайный характер сигналов может быть обусловлен случайными флуктуациями показателями преломления турбулентной атмосферы [1,9,19], наличием множества "блестящих точек" у отражающей сигнал поверхности [8], модулирующими помехами [22,28] и другими факторами [29,39 и др.]. Кроме того, полезный сигнал может быть случайным по природе своего происхождения. Например в пассивной локации [6,47], а так же при использовании шумоподобных сигналов [38].

При решении задач синтеза и анализа радиофизических систем обработки информации одной из наиболее распространенных и широко используемых моделей случайных процессов является гауссовский (нормальный) случайный процесс [3,44,48]. Адекватность модели гауссовского случайного процесса многим реальным помехам и случайным сигналам объясняется во многих случаях действием центральной предельной теоремы. Действительно, большинство встречающихся в реальных условиях радиофизических случайных процессов являются суммой большого количества элементарных малых воздействий, что обусловлено различными случайными факторами, такими как тепловое движение электронов или флуктуации в канале распространения сигнала. При этом важно лишь, чтобы влияние отдельных слагаемых с негауссовским распределением на сумму было равномерно малым.

Для осуществления оптимального статистического синтеза необходимы существенные априорные сведения о законах распределения, значениях неинформационных параметров обрабатываемого сигнала и шума. При практической реализации алгоритмов обработки сигналов в радиофизических системах случай полной априорной определенности о параметрах сигнала и помехи встречается сравнительно редко. Поэтому при анализе сигналов и шумов необходимо учитывать имеющую место априорную неопределенность относительно их статистических характеристик. Априорная неопределенность часто заключается в том, что распределения исследуемых процессов известны не полностью, а с точностью до конечного числа некоторых параметров (параметрическая неопределенность). Такими параметрами могут быть, например, неизвестные амплитуды или мощности сигналов, среднее значение, ширина и центральная частота спектра мощности гауссовского случайного процесса [6,60,62,66].

В настоящее время в литературе достаточно подробно отражены современные методы спектрального анализа и оценивания частотных параметров сигналов, имеющих в своем составе гармонические составляющие [17,31,51 и др]. При этом наибольшее распространение получили методы, основанные на оценке параметров авторегрессионной модели случайных процессов (алгоритмы Юла- Уолкера, Берга и ДР-) [17], методы аппроксимации наблюдаемых данных суммой затухающих или незатухающих экспонент (метод Прони), а также методы оценивания частоты, основанные на анализе собственных значений или сингулярных чисел автокорреляционной матрицы или матрицы данных [31] (алгоритм гармонического разложения Писаренко, методы "MUSIC" и "EV"). Однако, для сигналов с полосовым спектром и для сигналов, не имеющих в своем составе ярко выраженных гармонических составляющих, данные методы часто не обеспечивают удовлетворительной точности оценивания.

Поэтому при статистическом синтезе оценок частотных параметров и средней мощности широкополосных или полосовых узкополосных сигналов часто используются оптимальные методы оценивания, предполагающие априорное знание формы спектра мощности с точностью до оцениваемых параметров. Так, в настоящее время в литературе получены максимально- правдоподобные алгоритмы оценки центральной частоты [60,67,69] и полосы частот [66,70] случайного сигнала с прямоугольной формой спектра мощности в том числе и для случая, когда интенсивность полезного сигнала априори неизвестна. В работе [68] выполнены синтез и анализ совместной оценки центральной частоты и полосы частот разрывного случайного импульса с прямоугольной формой спектра мощности и с неизвестными длительностью и временным положением. В случае, если форма спектра мощности сигнала отлична от прямоугольной, в [62,65] получены структуры квазиоптимальных алгоритмов оценки дисперсии и полосы частот случайного гауссовского процесса.

Однако, в перечисленных выше работах, за исключением [62], при синтезе и анализе оценок частотных параметров и интенсивности сигнала, предполагалось, что полезный сигнала наблюдается на фоне белого шума с априори известным значением величины спектра мощности. При практической реализации алгоритмов обработки случайных процессов в радиофизических системах данное предположение может не выполняться. Действительно, любая радиофизическая система способна обрабатывать сигнал лишь в ограниченной полосе частот, что приводит к тому, что полезный сигнал наблюдается на фоне помех с конечным значением полосы частот. Отметим также, что при цифровой обработке сигналов полоса частот внешней помехи также ограничена частотой дискретизации. Наличие взаимных и заградительных помех [5,36] приводит к тому, что сигнал искажается случайными возмущениями не только с неизвестной интенсивностью, но и с неизвестной областью частотной локализации. Причем полоса частот помехи может оказаться как больше, так и меньше полосы частот полезного сигнала. Для узкополосных сигналов возможно также как полное, так и частичное перекрытие спектров мощности сигнала и помехи. В связи с этим возникает проблема оптимального синтеза и анализа радиофизических систем, работающих при воздействии случайных гауссовских возмущений с неизвестными параметрами.

При синтезе оптимальных алгоритмов обработки случайных процессов широко используется метод максимального правдоподобия [20,23,24,32,43,73]. Такие алгоритмы обладают рядом достоинств: инвариантность к виду априорного распределения неизвестных параметров процессов, способу задания функций потерь. Кроме того, эти алгоритмы, как правило, оказываются более простыми для аппаратурной реализации, чем байесовские. Эти аспекты определяют большой интерес к методу максимального правдоподобия при разработке алгоритмов синтеза и анализа случайных процессов.

При синтезе максимально правдоподобных алгоритмов оценки нескольких параметров случайного сигнала, а также совместной оценки параметров полезного сигнала и внешних помех приходится усложнять аппаратурную реализацию устройств оценки, т.к. необходимо искать максимум логарифма функционала отношения правдоподобия не по одной, а по нескольким переменным. Это приводит к усложнению и увеличению стоимости систем обработки информации. Поэтому использование оптимальных алгоритмов обработки случайных процессов оправдано в том случае, когда оптимизация обеспечивает заметный выигрыш в эффективности обработки. Иначе возникает необходимость создания и исследования эффективности более простых устройств по сравнению с оптимальными. Например устройства обработки, которые синтезированы для параметров или формы спектра мощности в общем случае отличных от истинных. Такие устройства будем называть квазиоптимальными, или квазиправдоподобными, если в качестве оптимального алгоритма используется метод максимального правдоподобия. Так, использование в качестве модели физически нереализуемого сигнала с прямоугольной формой спектра мощности позволяет существенно упростить математические расчеты и синтезировать относительно несложные алгоритмы оценки параметров случайного сигнала. Причем полученные квазиправдоподобные оценки для сигналов с непрямоугольным спектром мощности при определенных значениях параметров оказываются более эффективными по сравнению с известными раннее из литературы эмпирическими алгоритмами [62].

Исследование эффективности квазиправдоподобных алгоритмов позволяет определить проигрыш в качестве обработки информации таких алгоритмов по сравнению с оптимальными. По результатам анализа можно сделать выбор между различными вариантами построения измерительного устройства, учитывая имеющуюся априорную информацию и требования к точности измерений.

Теоретический анализ эффективности оптимальных алгоритмов, получение аналитических выражений для их характеристик представляет собой достаточно сложную задачу. Для квазиоптимальных алгоритмов эта задача может еще более усложнится. При этом роль анализа существенно увеличивается т.к. только по его результатам можно сделать выводы о работоспособности разработанного алгоритма, и определить границы возможных значений параметров, при которых целесообразно применение квазиправдоподобного устройства оценки. Поэтому, наряду с теоретическим анализом алгоритмов оценки необходимо получать экспериментальные характеристики оценок и определять границы применимости найденных теоретических выражений.

Решению некоторых из перечисленных проблем посвящена данная диссертационная работа.

Целью диссертации являются:

• синтез максимально правдоподобных и квазиправдоподобных алгоритмов оценки параметров стационарных гауссовских широкополосных и узкополосных случайных процессов при наличии помехи с неизвестными параметрами.

• определение характеристик и исследование эффективности синтезированных алгоритмов оценки параметров стационарных гауссовских случайных процессов;

• разработка методов математического моделирования алгоритмов оценки;

• экспериментальное определение работоспособности синтезированных алгоритмов и границ применимости найденных приближенных или асимптотических формул для характеристик алгоритмов методами статического моделирования.

При решении задач синтеза использовался метод максимального правдоподобия, анализа- методы малого параметра [24] и локально- марковской аппроксимации [72], применялся аппарат теории вероятности и математической статистики, статистическое моделирование разработанных алгоритмов проводилось в частотной и временной областях.

Результаты решения сформулированных задач изложены в трех главах.

В первой главе выполнены синтез и анализ алгоритмов оценки дисперсии и полосы частот стационарного гауссовского широкополосного случайного сигнала при наличии внешней помехи с неизвестными параметрами.

Для гауссовского процесса с неизвестными дисперсией, полосой частот и математическим ожиданием рассмотрены квазиправдоподобные алгоритмы оценки дисперсии при наличии широкополосной помехи с неизвестной интенсивностью.

Проведены синтез и анализ совместной оценки максимального правдоподобия дисперсии и полосы частот случайного сигнала с прямоугольной формой спектра мощности при наличии помехи с неизвестной интенсивностью.

Синтезированы оценки дисперсии и совместные квазиправдоподобные и максимально правдоподобные оценки дисперсии и полосы частот случайного гауссовского сигнала при наличии помехи с неизвестными интенсивностью и полосой частот. Найдены асимптотические характеристики синтезированных алгоритмов.

Для гауссовского процесса с произвольной формой спектра мощности, наблюдаемого на фоне белого шума, выполнен синтез и анализ квазиправдоподобной и максимально правдоподобной оценки полосы частот.

На основе анализа теоретических и экспериментальных характеристик алгоритмов оценки параметров широкополосных гауссовских процессов сделаны выводы о целесообразности применимости синтезированных алгоритмов в зависимости от имеющейся априорной информации о параметрах полезного сигнала и помех, а также в зависимости от требований к точности, предъявляемых к измерителям.

Во второй главе выполнены синтез и анализ алгоритмов оценки дисперсии, полосы частот и центральной частоты стационарного гауссовского случайного радиосигнала при наличии случайных гауссовских искажений с неизвестной интенсивностью.

Найдена структура и получены характеристики квазиправдоподобных и максимально правдоподобных алгоритмов оценки дисперсии случайного радиосигнала при наличии внешней помехи и белого шума с неизвестными интенсивностями.

Синтезированы алгоритмы оценки дисперсии случайного гауссовского радиосигнала при воздействии внешней помехи и мешающего сигнала для случаев полного и частичного перекрытия спектров мощности полезного и мешающего сигналов. Найдены характеристики синтезированных алгоритмов.

Для гауссовского узкополосного процесса с произвольной формой спектра мощности и с неизвестными частотными параметрами получена и проанализирована квазиправдоподобная оценка дисперсии.

Выполнен синтез алгоритма совместной оценки дисперсии и центральной частоты случайного гауссовского радиосигнала для случаев, когда полоса частот анализируемого сигнала априори известна или неизвестна. Методом локально-марковской аппроксимации получены асимптотические характеристики совместных алгоритмов.

Найдена структура совместного алгоритма оценивания дисперсии, центральной частоты и полосы частот стационарного гауссовского узкополосного сигнала при наличии внешней помехи с неизвестной интенсивностью. Определены асимптотические характеристики алгоритмов оценки частотных параметров при различных видах априорной информации об интенсивностях полезного сигнала и помехи.

Сформулированы выводы о целесообразности применимости рассмотренных алгоритмов оценки параметров узкополосных гауссовских процессов в зависимости от имеющейся априорной информации о параметрах сигнала и помех, а также в зависимости от требований к точности, предъявляемых к измерителям.

В третьей главе рассмотрены методы статистического моделирования алгоритмов оценки параметров гауссовских процессов. Определены границы применимости полученных асимптотических выражений для характеристик алгоритмов в случае оптимального и квазиоптимального приема. Основные результаты диссертации проверены методом статистического моделирования на ЭВМ.

В заключении подводятся итоги проведенных исследовании, сформулированы выводы по работе в целом.

Результаты диссертационной работы докладывались на 4 Международных и 1 Всероссийской конференциях, опубликованы в работах [89-97], внедрены в учебный процесс Воронежского Государственного Университета.

3.4 Выводы

1. Синтезированные алгоритмы статистического моделирования случайных стационарных гауссовских широкополосных и узкополосных сигналов в частотной области позволяют существенно сократить затраты машинного

138 времени за счет непосредственного формирования отсчетов преобразования Фурье реализации наблюдаемых данных. 2. Моделирование показало в основном удовлетворительное согласование теоретических характеристик синтезированных в диссертации оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов оценки параметров гауссовских процессов с экспериментальными и подтвердило работоспособность рассмотренных алгоритмов.

Заключение.

В диссертации представлены результаты теоретического и экспериментального (методами статистического моделирования) исследования работоспособности и эффективности алгоритмов обработки стационарных гауссовских случайных процессов при наличии случайных возмущений с неизвестными параметрами. Выполнен синтез и анализ алгоритмов совместного оценивания нескольких неизвестных параметров широкополосных и узкополосных случайных сигналов при воздействии помехи с неизвестными параметрами. Использовались модели гауссовских регулярных случайных сигналов, а также модели разрывных случайных процессов, для которых не выполняется условие существования в среднеквадратическом производной логарифма функционала отношения правдоподобия по неизвестным параметрам. Синтез оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов проводился .с использованием метода максимального правдоподобия. С помощью методов малого параметра и локально-марковской аппроксимации получены асимптотические выражения для смещения и рассеяния максимально правдоподобных и квазиправдоподобных оценок параметров спектра мощности, которые характеризуют эффективность обработки случайных процессов.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Проведены синтез и анализ алгоритмов оценки параметров широкополосных гауссовских случайных процессов при наличии внешней помехи с неизвестными параметрами. Найдены структуры и получены характеристики максимально правдоподобных и квазиправдоподобных алгоритмов оценки дисперсии случайного сигнала и совместной оценки дисперсии и полосы частот сигнала. Синтезированные алгоритмы адаптируются к широкополосной помехе с неизвестными интенсивностью и полосой частот. Исследована эффективность алгоритмов оценки и сделаны выводы о целесообразности их применимости в зависимости от имеющейся априорной информации о параметрах полезного сигнала и помехи.

2. Синтезированы максимально правдоподобные и квазиправдоподобные совместные оценки дисперсии и частотных параметров узкополосных гауссовских случайных процессов при воздействии помехи с неизвестной интенсивностью. Найдены асимптотически точные выражения для характеристик оценок с учетом аномальных ошибок. Выполнено сравнение эффективности функционирования квазиправдоподобных и максимально правдоподобных алгоритмов. Проведенный анализ позволяет сделать обоснованный выбор между рассмотренными алгоритмами в зависимости от требований, предъявляемых к точности и степени простоты аппаратурной реализации.

3. Разработаны методики статистического моделирования алгоритмов оценки параметров широкополосных и узкополосных гауссовских случайных процессов в частотной и временной областях. Приведенные результаты статистического моделирования позволяют определить область применимости полученных асимптотических теоретических выражений для характеристик оценок.

На основании полученных в диссертационной работе результатов, можно сделать следующие основные теоретические и практические выводы:

1. Для упрощения практической реализации алгоритмов оценки параметров случайного процесса в случае, когда его форма спектра мощности или параметры частотной локализации известны не точно, можно использовать квазиправдоподобные алгоритмы. Однако, при этом точность оценки может существенно ухудшиться. Полученные результаты позволяют провести сравнение эффективности алгоритмов, а также определить область значений неинформативных параметров, в которой представляется нецелесообразным производить по ним адаптацию.

2. При совместной оценке дисперсии и полосы частот широкополосного гауссовского сигнала априорное незнание параметров внешней помехи может привести к существенному снижению точности оценки. Для повышения точности алгоритма оценивания целесообразно использовать предлагаемый алгоритм совместной оценки дисперсии и полосы частот сигнала, а также интенсивности и полосы частот внешней помехи.

3. Применение квазиправдоподобного алгоритма для оценки полосы частот случайного сигнала с непрямоугольной формой спектральной плотности может привести к потере точности и состоятельности оценки. Поэтому в случае, если форма спектральной плотности сигнала априори известна, рекомендуется использовать более сложный с точки зрения аппаратурной реализации алгоритм максимального правдоподобия.

4. Наличие, кроме белого шума, дополнительной внешней узкополосной помехи с неизвестной интенсивностью и (или) мешающего сигнала в наблюдаемой реализации приводит к снижению точности оценки дисперсии узкополосного гауссовского радиосигнала. Использование предлагаемых максимально правдоподобных алгоритмов оценки дисперсии позволяет снизить проигрыш в точности.

5. Точность оценки дисперсии узкополосного полосового гауссовского случайного процесса ухудшается при неточном знании центральной частоты и полосы частот процесса или хотя бы одного из этих частотных параметров. Применение совместной оценки дисперсии и центральной частоты (при априори известном значении полосы частот) или совместной оценки дисперсии и частотных параметров случайного процесса позволяет асимптотически с ростом отношения сигнал- шум компенсировать ухудшение точности оценки дисперсии.

6. Полученные в работе теоретические асимптотические характеристики алгоритмов оценки параметров гауссовских широкополосных и узкополосных процессов при

1. Адаптивная оптика. Сборник статей./Пер. с англ. под ред. Э.Л. Витриченко.-М.: Мир, 1980. -456с.

2. Амиантов И.И. Избранные вопросы статистической теории связи. М., Сов. радио, 1971.

3. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин A.C. Введение в статистическую радиофизику и оптику. -М.: Наука, 1981. -640 с,

4. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. -М.: Сов. радио, 1971.-328с.

5. Вакин С. А., Шустов JI.H. Основы радиопротиводействия и радиотехнической разведки. М.: Сов. радио, 1968.

6. Ван-Трис. Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. /Пер. с англ. под ред. В.Т. Горяинова, М.: Сов. радио, 1977. -Т.З. -644 с.

7. Виленкин С.Я. Статистическая обработка результатов исследования случайныхфункций. -М.: Энергия, 1979. -320 с.

8. Вопросы статистической теории радиолокации./П.А. Бакут, И.А. Большаков, Б.М. Герасимов и др.: Под ред. Т.П. Тартаковского.- М.: Сов. радио,1963. Т. 1. -426 с.

9. Воронцов М.А., Шмальгаузен В.И. Принципы адаптивной оптики. -М.: Наука, 1985.-336 с.

10. Вудворт Ф.М. Теория вероятностей и теория информации с применением в радиолокации. Пер. с англ. под ред. Г.С. Горелика.- М., Сов. радио, 1955.

11. Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Обобщенные функции. -М.: Физматгиз, 1961. Вып.4. -472 с.

12. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Высш. школа, 1977.-479 с.

13. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. -2-е изд. -М.: Сов. радио, 1964.-696 с.

14. Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. Примеры и задачи./Под ред. В.И. Тихонова. -2-е изд. -М.: Сов. радио, 1980. -544 с.

15. Жиглявский A.A., Красковский А.Е. Обнаружение разладки случайных процессов в задачах радиотехники. Ленинград: ЛГУ, 1988.- 224 с.

16. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979.- 528 с.

17. Кей С.М., Марпл-мл. С.Л. Современные методы спектрального анализа. Обзор, ТИИЭР, 1981, N11.

18. Котельников В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости. -М., Госэнергоиздат, 1956.

19. Кравцов Ю.А., Фейзулин З.И., Виноградов А.Г. Прохождение радиоволн через атмосферу Земли. -М. Радио и связь, 1983. -224 с.

20. Крамер Г. Математические методы статистики. Пер. с англ. М.: ИЛ, 1948.

21. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. -М.: МИР, 1969.

22. Кремер И.Я., Владимиров В.И., Карпухин В.И. Модулирующие (мультипликативные) помехи н прием радиосигналов. /Под ред. И.Я. Кремера. -М.: Сов. радио, 1972.-480 с.

23. Куликов Е.И. Методы измерения случайных процессов. М: Радио и связь, 1986. -272 с.

24. Куликов Е.И., Трифонов А.П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. М.: Сов. радио, 1978. - 296 с.

25. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. В 3. Т. М.: Сов. радио. 1966. -T.I. -728с.

26. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. В З.Т -М.: Сов. радио, 1976.-Т.З.-288 с.

27. Левин Б.Р., Шварц В. Вероятностные модели и методы в системах связи иуправления. -М.: Радио и связь. 1985.-312 с.

28. Лекции по теории систем связи. /Под ред. Е.Д. Багдади. Пер. с англ. -М.: Мир, 1964.-404 с.

29. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. Пер. с англ. М., Наука, 1966.

30. Малахов А.Н. Кумулятивный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. -М.: Сов. радио, 1978. -376с.

31. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. Пер. с англ. М., Мир, 1990.- 584 с.

32. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. -М.: Сов. радио, 1962.-Т.2. -832с.

33. Мирский Г.Я. Аппаратурное определение характеристик случайных процессов. -М.: Энергия, 1972. 456с.

34. Митяшев Б.Н. Определение временного положения импульсов при наличии помех.

35. М.: Сов. радио, 1962.-200 с.

36. Мудров В.И., Кушко В.Л. Методы обработки измерений. М.: Радио и связь, 1983.304 с.

37. Палий А.И. Радиоэлектронная борьба. М.: Воениздат, 1981.

38. Петрович М.Л., Давидович М.И. Статистическое оценивание и проверка гипотез на ЭВМ -М.: Финансы и статистика, 1989. -191 с.

39. Петрович Н.Т., Размахнин М.К. Системы связи с шумоподобным сигналами. -М.: Сов. радио, 1969. -232 с.

40. Поздняк С.И., Мелитицкий В.А. Введение в статистическую теорию поляризации радиоволн. -М., Сов. радио, 1974.-480 с.

41. Полляк Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. М., Сов. радио, 1971, с. 400.

42. Полляк Ю.Г., Филимонов В.А. Статистическое машинное моделирование средств связи. М.: Радио и связь, 1988. -176 с.

43. Прикладные математические методы анализа в радиотехнике. /Ю.А. Евсинов, Г.В. Обрезков, В.Д. Разевиг и др.: под ред. Г.В. Обрезкова. -М.; Высш. шк.,1985.-344 с.

44. Репин В.Г., Тартаковский Т.П. Статистический синтез при априорнойнеопределенности и адаптация информационных систем. -М., Сов. радио, 1977, 432с.

45. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Случайные процессы. В 2 Т. -М.: Наука, 1976. -Т. 1. -494 с.

46. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И Введение в статистическую радиофизику. Случайные поля. В 2 Т. -М.: Наука. 1978. -Т.2. -464 с.

47. Смирнов В.И. Курс высшей математики. В 4 Т. -19-е изд. -М.: Наука. 1965. -Т.2, -656 с.

48. Сосулин Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. -М.: Сов. радио, 1978. -320 с.

49. Сосулин Ю.Г., Фишман М.М. Теория последовательных решений и ее приложения.-М.: Радио и связь. 1985. 272 с.

50. Справочник по специальным функциям./ Под ред. М. Абрамовича и И. Стигана./ Пер. с англ. -М: Наука, 1979. -832 с.

51. Справочник по теории вероятностей и математической статистике./ B.C. Королюк,

52. Н.И. Портенко и др. -М.: Наука, 1985. -640 с

53. Тафте Д.У., Кумаренсан Р. Оценивание частот суммы нескольких синусоид: Модификация метода линейного предсказания, сравнимая по эффективности с методом максимального правдоподобия.// ТИИЭР, 1982, Т. 70, N 9, С. 77-94.

54. Теория обнаружения сигналов./ П.С. Акимов, П.А. Бакут, В.А. Богданович н др.; Под ред. П.А. Бакута. -М.: Радио и связь. 1984. 440 с.

55. Тихонов В.И. Нелинейные преобразования случайных процессов. -М.: Радио и связь, 1986.-296 с.

56. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов -М.: Радио и связь, 1983. -320 с.

57. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. -М.: Радио и связь, 1982.-624 с.

58. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. -М.: Сов. радио. 1977. -488с.

59. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -5-е изд. -М.: Наука; 1977. -736с.

60. Трифонов А.П. Обнаружение сигналов с неизвестными параметрами. //Теория обнаружения сигналов.- М.: Радио и связь, 1984.- С. 12-89.

61. Трифонов А.П. Прием сигнала с неизвестной длительностью на фоне белого шума. //Радиотехника и электроника, 1977, Т.22, N1. -с. 90-98.

62. Трифонов А.П. Прием случайного сигнала с неизвестной частотой. //Радиотехника и электроника, 1980, Т.25, N 4. -с. 749-757.

63. Трифонов А.П. Разрывные модели сигналов и оценка их параметров. В кн. Прикладная теория случайных процессов и полей. /К.К. Васильев, Я.П. Драган, В.А. Казаков и др.; Под ред. К.К. Васильева и В.А. Омельченко. Ульяновск. УГТУД995.

64. Трифонов А.П., Алексеенко С.П. Квазиправдоподобная оценка дисперсии стационарного гауссовского случайного процесса. //Изв. Вузов. Радиоэлектроника, 1994. Т.37, N11-12. с. 10-18.

65. Трифонов А.П., Бутейко В.К. Прием сигнала с неизвестными амплитудой и длительностью на фоне белого шума. //Изв. вузов. Радиоэлектроника. -1984, т.27 -N8. -с. 28-34.

66. Трифонов А.П., Бутейко В.К. Совместная оценка двух параметров разрывного сигнала на фоне белого шума. //Радиотехника и электроника. 1989, Т.34, N11. -с 2323-2329.

67. Трифонов А.П., Галун С.А. Квазиоптимальная оценка ширины спектра мощности случайного процесса. //Изв. вузов. Приборостроение. -1981. Т.24. N-5. -с . 21-25.

68. Трифонов А.П., Галун С.А. Прием случайного сигнала с неизвестной шириной спектра мощности.//Радиотехника и электроника. -1982. -т.27. -N8. -с. 1554-1562.

69. Трифонов А.П., Енина Е.П. Пороговые характеристики оценки частоты случайного сигнала. //Радиотехника, 1983. N 8. -с. 38-40.

70. Трифонов А.П., Захаров А.В. Характеристики совместных оценок параметров области частотно- временной локализации разрывного случайного импульса. //Радиотехника и электроника. -1996, T.41.-N 11.- С. 1316-1322.

71. Трифонов А.П., Нечаев Е.П. Совместная оценка величины и центральной частоты спектра мощности случайного процесса. //Изв. вузов. Приборостроение. -1988, т.31 .-N12.-c. 3-6.

72. Трифонов А.П., Нечаев Е.П. Совместная оценка величины и ширины спектра мощности случайного сигнала. //Изв. вузов. Приборостроение. 1987 т.ЗО, N11. с.7-10.

73. Трифонов А.П., Нечаев Е.П., Парфенов В.Н. Обнаружение стохастических сигналов с неизвестными параметрами. -Воронеж: ВГУ 1991. -246 с.

74. Трифонов А.П., Шинаков Ю.С. Совместное различение сигналов и оценка их параметров на фоне помех.- М.: Радио и связь, 1986. -264 с.

75. Фалькович С.Е. Оценка параметров сигналов. М.: Сов. радио, 1970.

76. Фомин А.Ф. Помехоустойчивость систем передачи непрерывных сообщений. М.: Сов. радио, 1975.

77. Фомин А.Ф., Хорошавин А.М., Шелухин О.И. Аналоговые н цифровые синхронно-фазовые измерители и демодуляторы. -М.: Радио и связь, 1987 г.

78. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. Пер. с англ. -м.: Мир. 1980. -280 с.

79. Blackman R.B., Turkey J.W. The Measurement of Power Spectra from the Point of View of Communication Engineering. Dover Publications, Inc., New York, 1958.

80. Brillinger D.R. Fourier Analysis of Stationary Processes. Proc. IEEE, vol. 62, pp 16281643, December, 1974.

81. Gardner W.A. Statistical Spectral Analysis: A Non- Probalistic Theory. Prentice- Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1987.

82. Deutch R. Estimation theori. Prentice Hall, 1965.

83. Jenkins G.M., Watts D.G. Spectral Analysis and Its Application. Holden- Day, Inc., San Francisco, 1968.

84. Kailath T. Some Integral Equations with Nonrational Kernels. IEEE Transactions on information theory, vol. 12, N0.4.1966. p. 442-447.

85. Papoulis A. Minimum-Bias Windows for High-Resolution Spectral Estimates.// IEEE Transactions on information theory. -1973, Vol.IT -19. -N 1. -P.S. -19.

86. Pickands Y. Upcrossing probabilities for stationary gaussian process.// Transactions of the American Mathematical Society. -1969, vol.145. -November. -P. 51-73.

87. Quails C., Watanabe H. Asymptotic properties of Gaussian processes. //Ann. on Math. Statist. -1972, v.3. -N2. -p. 580-596.

88. Sege A.P., Melsa J.L. Estimation theori with application to communications and control. N.Y., McGraw Hill Book Co. 1971.

89. Shepp L.A. Radon-Nicodim derivaties of Gaussian measures. -Ann. Math. Statist. 1966, v.37. p.321-354, April.

90. Zelen M., Severe N.C. Methods of generating random number and their applications. Handbook of mathematical functions. National Bureau of Standards, Applied mathematics series, 1965, v.55, p.949.

91. Алексеенко С.П., Глазнев A.A. Моделирование оценки дисперсии стационарного гауссовского случайного процессса. //Материалы конференции "Повышение помехоустойчивости систем технических средств охраны", М: Радио и связь, 1995, С. 13-14.

92. Трифонов А.П., Глазнев А.А. Квазиправдоподобная оценка дисперсии случайного сигнала с неизвестными математическими ожиданиями и полосой частот. //"Синтез, прием и передача сигналов управления и связи", Воронеж, ВГТУ 1997, вып. 4. С. 49

93. Глазнев А.А. Оценка дисперсии случайного радиосигнала при наличии помехи с неизвестной интенсивностью. //Материалы IV международной конференции «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 1998. Т.1. С. 198-207.

94. Трифонов А.П., Глазнев А.А. Оценка дисперсии случайного сигнала с неизвестной полосой частот. //Изв. вузов. Сер. Радиоэлектроника. -1999, Т. 42, N 2.- С. 10-21.

95. Глазнев А.А. Оценка дисперсии случайного сигнала при наличии помехи с неизвестными интенсивностью и полосой частот. //Материалы V международной конференции «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 1999. Т. 1. С. 234- 242.

96. Глазнев А.А. Оценка частотных параметров стационарного случайного радиосигнала при наличии помехи с неизвестной интенсивностью. //Материалы VI международной конференции «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 2000. Т. 1.С. 299- 310.

97. Глазнев А.А. Оценка дисперсии случайного радиосигнала при воздействии комплекса помех с неизвестными параметрами. //Материалы VII международной конференции «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 2001. Т. 1. С. 108-115.

98. Трифонов А.П., Глазнев А.А. Квазиправдоподобная обработка случайного радиосигнала при наличии помехи с неизвестной интенсивностью. //Материалы VII международной конференции «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 2001. Т. 1.С. 116-127.