Отслеживание псевдотраекторий в гладких потоках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

У

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ТИХОМИРОВ Сергей Борисович

ОТСЛЕЖИВАНИЕ ПСЕВДОТРАЕКТОРИЙ В ГЛАДКИХ ПОТОКАХ

01.01.02 Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-матсматичсских наук

Санкт-Петербург 2008

003460147

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений матема-тико-механичеекого факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Пилюгин Сергей Юрьевич.

член-коррсспондеит РАН, доктор физико-математических наук, профессор Леонов Геннадий Алексеевич (Санкт-Петербургский государственный университет),

кандидат физико-математических паук, доцент Бегун Евгения Николаевна (Санкт-Петербургский государственный университет кино и телевидения).

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Защита диссертации состоится " ТЬ " й^уАЛУ 200 3 года в час. на заседании совета Д 212.232.49 по защите докторских

и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199048, Санкт-Петербург, Васильевский остров, 14 линия, д. 29, матсматико-механичсский факультет, ауд. 13.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб. 7/9. Автореферат разослан" " 200 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Архигюва А.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации изучаются различные свойства отслеживания для векторных полей и порожденных ими динамических систем (потоков). Задача об отслеживании псевдотраекторий в самом общем виде связана со следующим вопросом: при каких условиях для любой пссв-дотрасктории динамической системы можно найти близкую к пей траекторию?

Для нелинейных динамических систем нахождение их траекторий в явном виде возможно только в исключительных случаях, поэтому для исследования таких систем используются численные методы. При этом из-за ошибок округления в результате вычислений получаются последовательности, соответствующие псевдотраекториям. Таким образом, если поток обладает свойством отслеживания, то результаты компьютерного моделирования отражают поведение траекторий исходной динамической системы. Данный факт делает изучение свойства отслеживания актуальным не только для теоретических исследований, но и для практических применений.

Изучение задачи об отслеживании было начато Д. В. Аносовым [1] и Р. Боуэном [2j. Современное состояние теории отслеживания п значительной степени отражено в монографиях [3, 4]. Одним из важнейших результатов теории отслеживания является так называемая shadowing lemma, утверждающая, что в малой окрестности гиперболического множества диффеоморфизма выполняется свойство отслеживания. Позднее было доказано, что структурно устойчивые диффеоморфизмы обладают свойством отслеживания. Аналогичный результат верен и для векторных полей.

Основное отличие задачи об отслеживании для потоков от аналогичной задачи для дискретных динамических систем, порождаемых диффеоморфизмами, состоит в необходимости репараметризации отслеживающих траекторий. В данной диссертации изучаются липшицево, стандартное, ориентированное и орбитальное свойства отслеживания.

• Основным вбросом для нас является вопрос о структуре множс

векторных полей, обладающих различными видами свойства отслеживания. Мы рассматриваем не сами множества векторных полей, обладающих тем или иным свойством отслеживания, а их С'-впутренности, т.е. множества таких векторных полей, которые обладают свойством отслеживания вместе с их малыми (в С'-метрике) возмущениями.

Цель работы. Основной целью работы является изучение С'-внутренностей множеств векторных полей, обладающих различными видами свойства отслеживания.

Методика исследования. Для получения результатов используются методы теории динамических систем, дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и др.

Научная новизна и значимость работы. Все результаты диссертационной работы являются новыми. Выделим основные из них:

- доказано, что С'-внутренность множества векторных полей, обладающих липшицевым свойством отслеживания, совпадает с множеством структурно устойчивых векторных полей,

- доказано, что если размерность многообразия не превышает 3, то С'-внутренность множества векторных полей, обладающих ориентированным свойством отслеживания, совпадает с множеством структурно устойчивых векторных полей,

- доказано, что С'-внутрспность множества векторных полей без точек покоя, обладающих орбитальным свойством отслеживания, состоит лишь из структурно устойчивых векторных полей,

- введен специальный класс В векторных полей, и доказано, что С'-внутрешюсть множества векторных полей, обладающих ориентированным свойством отслеживания и не являющихся векторными полями класса В, состоит лишь из структурно устойчивых векторных полей.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты важны для общей теории динамических систем. Также полученные результаты могут быть использованы при интерпретации результатов численного моделирования гладких потоков.

Апробация работы и публикации. Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- Научная сессия МИАН-ПОМИ "Динамические системы", Декабрь

2007, Москва, Россия.

- Школа-конференция "School and Workshop on Dynamical Systems",

Июль 2008, Триест, Италия.

- Семинар "Nonlinear Dynamics", Free University Berlin, Октябрь 2008,

Берлин, Германия.

Основное содержание диссертации изложено в работах автора [5], [С]. В работе [5] научному руководителю принадлежит постановка задачи и общая идея метода решения; реализация метода проведена автором. Статьи [5],[6] опубликованы в изданиях, включенных в Перечень ВАК на момент публикации.

Структура и объем работы. Диссертационная работа объемом 111 машинописных страниц состоит из введения, трех глав, одного приложения и списка литературы, содержащего 25 наименований. Первая глава включает 5 параграфов, вторая и третья - по 2 параграфа.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор исследуемых математических объектов и сформулированы основные результаты диссертационной работы, приведено сравнение результатов диссертации с аналогичным исследованием для случая дискретных динамически* систем.

G

В первой главе изучается структура (^-внутренности множества векторных полей, обладающих ориентированным свойством отслеживания.

Рассмотрим компактное гладкое многообразие без края М с ри-мановой метрикой dist. Пусть X - гладкое векторное поле на М и ф : R х М —> М — поток, порожденный данным векторным полем. Введем обозначение 0(х,ф) = {ф(1,х) : t € R}. Пусть R - произвольное подмножество многообразия М. Через CI R будем обозначать замыкание множества R.

Обозначим через J-{M) пространство гладких векторных полей на М с топологией, порожденной С^-метрикой. Для любого множества А с J-(M) будем через Int1 (Л) обозначать внутренность множества А в данной топологии. Для векторного поля X обозначим через Per(X) множество точек покоя и замкнутых траекторий поля X. Для гиперболической траектории р 6 Рег(Х) будем обозначать через Ws(p) и Wu{p) ее устойчивое и неустойчивое многообразия.

Рассмотрим произвольное d > 0. Отображение g(t) : ft —> М будем называть d-псевдотраекторией векторного поля X и потока ф, если для любых fo е R и t е [— 1,1] выполнено неравенство

d\st(g(t0 + t)^{t,g(t0)))<d. (1)

Основное отличие задачи об отслеживании для потоков от аналогичной задачи для дискретных динамических систем, порождаемых диффеоморфизмами, состоит в необходимости репараметризации отслеживающих траекторий.

Назовем репараметризацией такой возрастающий гомеоморфизм h : R -> R, что /i(0) = 0.

Будем говорить, что векторное поле X и поток ф обладают ориентированным свойством отслеживания, если по любому £ > 0 найдется такое d > 0, что для любой (i-пссвдотрасктории д можно указать такие точку р и репараметризацию h, что выполнены неравенства

aist(0(/i(i),p),</(f)) < е, t € R. (■}

Обозначим множество векторных полей, обладающих ориентированным свойством отслеживания, через ОпеМЭЬ.

В параграфе 1 изучается вопрос о гиперболичности точек покоя и замкнутых траекторий векторного поля X, лежащего в С^внутренности множества векторных полей, обладающих свойством отслеживания.

Будем говорить, что векторное поле X и поток ф обладают орбитальным свойством отслеживания, если по любому е > 0 найдется такое (1 > 0, что для любой с^-пссвдотраектории д можно указать такую точку р, что выполнено неравенство

¿Ын(С\0(х,р),С\{д(1) : геЕ})<£,

где сИэ!// - расстояние по Хаусдорфу. Обозначим множество векторных полей, обладающих орбитальным свойством отслеживания, через ОгЬ^БЬ.

Теорема 1. Пусть X Е Тп^ОгЬНБЬ). Тогда все точки покоя и замкнутые траектории векторного поля X гиперболичны.

В параграфе 2 изучаются свойства гетероклинических траекторий векторных полей X £ Гп^ОпегйБЬ).

Будем говорить что матрица А принадлежит классу /С, ссли все сс собственные числа имеют ненулевые вещественные части. Отметим, что точка покоя р является гиперболической, если матрица Якоби ОХ(р) € /С. Обозначим через /С^ множество матриц А € 1С, у которых есть такое вещественное собственное число <21 > 0, что ссли + ^г - собственное число матрицы А с с\ > 0 и ^ 0, то с\ > 01. Обозначим через /С^ множество матриц А & 1С, для которых найдется такая пара комплексно сопряженных собственных чисел ах ± Ь^ с а; > 0, что ссли с\ > 0 - собственное число матрицы А, то С\ > а\. Обозначим через 1С¡~ множество таких матриц А £ 1С, что —А € /С^. Аналогично, обозначим через /С<7 множество таких матриц А Е 1С, что —А Е К.^-

В главе 1 доказаны следующие леммы.

Лемма 1. Пусть X £ ¡п^ОпегйЭЬ), 71 - замкнут,ая траектория векторного поля X, а 72 6 Рег(Х). Пусть г о е И^^) П ^"(72). Тогда Го -точка траисверсальиого пересечения У/**^) и ^"(72).

Лемма 2. Пусть X 6 ГгЛ^Опег^БЬ), р\ - точка покоя векторного поля X, 72 е Рег(Х) и ОХ(р!) е Пусть г0 е \¥в(р1)П\¥и{у2). Тогда г0 -т,очка трансверсальпого пересечения многообразий 1У(рх) и И™ (72).

Для формулировки основного результата данной главы (теорема 2) нам потребуется следующее определение.

Определение 1. Будем говорить, что векторное поле X принадлежит классу В, если у него есть две гиперболические точки покоя р\ и рг (не обязательно различные), обладающие следующими свойствами:

(1) матрица Б Х(р\) е /С^,

(2) матрица Б Х(ро) €

(3) существует траектория нетрансвсрсального пересечения многообразий \¥и(р2) и И

Обозначим множество структурно устойчивых векторных полей через 5.

Теорема 2. Ы^Опег^ЬУ?) С 5.

В параграфах 3 и 4 завершается доказательство лемм 1 и 2. В параграфе 5 доказана следующая теорема.

Теорема 3. Если сПт М < 3, то выполнено равенство

Ы1 (Опе^ЯИ) = 5.

Во второй главе изучается структура С^внутренности множества векторных полей, обладающих липшицевым свойством отслеживания. Для а > 0 обозначим через Яер(а) множество репараметризаций

удовлетворяющих неравенству |Ш]) -

¿1 - ¿0

- 1

<а для им е . /, / 1-2-

Будем говорить, что векторное поле X и поток ф обладают липшицевым свойством отслеживания, сели существуют константы Ьо, Д) > 0, обладающие следующим свойством: для любых с1 < Б о и (¿-псевдотраектории д можно указать такие точку р и репараметризацию Н £ Кер(Ьас1), что выполнены неравенства

с!\8Ь{ф{к{1),р),д(1)) < Ш, Ь е Е.

Обозначим множество векторных полей, обладающих липшицевым свойством отслеживания, через ЫрЗЬ.

В параграфе 1 изучается свойство отслеживания для двух специальных линейных потоков па плоскости и на прямой.

Рассмотрим на плоскости Е2 поток </?(£, ж), порожденный линейной автономной системой дифференциальных уравнений вида

± = ( а М х, х £ Е2, где а > 0 и Ь ф 0. (3)

\Ь а )

Для точки х € Е2 \ {0} будем обозначать через &щ{х) точку х/\х\ е 51, где 51 - окружность радиуса 1 с центром в точке 0.

Лемма 3. Для любых е, Ь > 0 существуют такие положительные числа Т = Т(е, Ь) и ¿о = ¿о(е, Ь), что если

(1 < (¿о, € Е2, |х0| > /г(£) € Кер(Ь(1)

и

\ф,хо)-ф(1),Х1)\<Ы при £ е [0,Т], (4)

то выполнено неравенство | а^а^) — а^(а;о)| < е.

Рассмотрим дифференциальное уравнение х = ах на прямой и его поток <р{1,х) = хеа>'.

Лемма 4. Для любого Ь > 0 существует такое положительное число Т = Т(Ь), что если для некоторых

<1> 0, Ы ><1, /1(0 € Кер(Ы)

выполнено неравенство (4), то числа хо и Х\ одного знака.

В параграфе 2 доказана следующая лемма.

Лемма 5. Пусть р, д - гиперболические, точки покоя векторного поля X £ Ы^ГлрЭЬ) и Гд € И;в{р) П Тогда Гд- точка трансверсалъиого

пересечения И/я(р) и

С помощью этой леммьг и теоремы 2 доказана следующая теорема, являющаяся одним из основных результатов диссертации.

Теорема 4. ¡^'(ЫрБЬ) = 5.

В третьей главе изучается орбитальное свойство отслеживания. В параграфе 1 изучается отслеживание псевдотраекторий специального вида. Предположим, что векторное поле X е Гп^ОгЬ^БЬ) не имеет точек покоя. Пусть псевдотраектория д{Ь) удовлетворяет соотношению д(Ь) = г) при Ь < 0 для некоторой точки г € ^"(71), где 71 - замкнутая траектория векторного поля X. Предположим, что для некоторой точки х и £ > 0 выполнено неравенство

(С%(0, Ь е Е}, С1(0(а;, Ф))) < е. (5)

В параграфе 1 приводятся условия, при которых из неравенства (5) следует включение х е №"(71).

В параграфе 2 приводится доказательство основной теоремы, описывающей структуру множества Гп^ОгЬ^ЗЬ). Пусть N - множество векторных полей без точек покоя.

Теорема 5. Гп^ОгЬ^ЭЬгШ) С 5.

В приложении А исследуется вопрос об эквивалентности введенных ранее различных видов свойства отслеживания. В данном разделе приведены примеры векторных полей, лежащих в множествах 31811 \LipSh и ОгЬ^БЬ \ Опе^БЬ. Таким образом, показано, что свойства ЫрБЬ и 81811 различны, а также различны свойства Опе^ЭЬ и ОгЬ^Ь.

Приведен пример векторного поля на окружности с негиперболической точкой покоя, обладающего свойством 81811 и не обладающего свойством !.,р8Ь.

Примером векторного поля, лежащего в OrbitSh \ OrientSh, является "иррациональная обмотка тора", т.е. постоянное векторное поле на торе Т2, задаваемое равенством

ВД = (а,1), х £ Т2,

где а Q.

Список цитируемой литературы

1. Аносов Д.В. Об одном классе инвариантных множеств гладких динамических систем // Труды 5-й Мсжд. конф. по нелин. колеб. Киев. 1970. Т. 2. С. 39 - 45.

2. Bowen R. Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms. Lect. Notes. Math. V. 470. Springer-Verlag. Berlin. 1975. 108 p.

3. Palmer K. Shadowing in Dynamical Systems. Theory and Applications. Dordrecht-Boston-London. 2000. 299 p.

4. Pilyugin S. Yu. Shadowing in dynamical systems. Lect. Notes Math. V. 170G. Springer-Verlag. Berlin. 1999. 283 p.

Публикации автора по теме диссертации

5. Пилюгин С. Ю., Тихомиров С. Б. Множества векторных полей с различными свойствами отслеживания псевдотраекторий // Доклады АН. 2008. Т. 422. N. 1. С. 30-31.

6. Тихомиров С. Б. Внутренности множеств векторных полей со свойствами отслеживания, соответствующими некоторым классам репараметри-заций // Вестник С.-Петерб. ун-та. Серия 1. 2008. Вып. 4 С. 90-97.

Подписано к печати 26.12.08. Формат 60 х 84 'Лб. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать цифровая. Печ. л. 0,7. Тираж 100 экз. Заказ 4367.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 19850i, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812)428-4043,428-6919

1 Введение

2 Ориентированное свойство отслеживания

2.1 Гиперболичность замкнутых траекторий и точек покоя

2.2 Схема доказательства теоремы 7.

2.3 Вспомогательные леммы.

2.4 Конструкции псевдотраекторий.

2.5 Доказательство теоремы 8.

3 Липшицево свойство отслеживания

3.1 Двумерный и одномерный потоки

3.2 Доказательство основной леммы.

4 Орбитальное свойство отслеживания

4.1 Лемма об отслеживании псевдотраекторий специального вида.

4.2 Завершение доказательства теоремы 9.

Задача об отслеживании псевдотраекторий в самом общем виде связана со следующим вопросом: при каких условиях для любой псевдотраектории динамической системы можно найти близкую к ней траекторию? Изучение данной задачи было начато Д. В. Аносовым [1] и Р. Боуэном [7]. Современное состояние теории отслеживания в значительной степени отражено в монографиях [14, 15].

В данной диссертации изучается связь между свойством отслеживания для потоков и структурной устойчивостью. Отметим, что основное отличие задачи об отслеживании для потоков от аналогичной задачи для дискретных динамических систем, порождаемых диффеоморфизмами, состоит в необходимости репараметриза-ции отслеживающих траекторий. Основным вопросом для нас будет вопрос о структуре множества векторных полей, обладающих различными видами свойства отслеживания. Мы будем рассматривать не само множество векторных полей, обладающих тем или иным свойством отслеживания, а его (^-внутренность, т.е. множество таких векторных полей, которые сами обладают свойством отслеживания и любое их малое (в С1-метрике) возмущение также обладает свойством отслеживания.

Пусть М - гладкое п-мерное замкнутое многообразие класса С00 с римановой метрикой сНэ!;. Обозначим через Т{М) пространство гладких векторных полей на М с топологией, порожденной С1-метрикой. Для векторного поля X G Т{М) и точки х (Е М будем обозначать через (f>(t,x) такую траекторию поля X, что ф(0, х) = х. Пусть

0(х,ф) = {(f>{t,x) :t€ Щ,

0+(х, ф) = {ф(г,х) : t > 0}, 0~(х, ф) = {ф(^х) : t < 0}.

Прежде чем определять свойства отслеживания, введем ряд обозначений. Будем обозначать через В (а, ж), где а > 0 и х - точка некоторого метрического пространства, шар радиуса а с центром в точке х. Если А - некоторое подмножество метрического пространства, то будем обозначать через В(а,А) объединение всех шаров радиуса а с центрами в точках множества А. Через С1А будем обозначать замыкание множества А.

Для любого множества А С Т{М) будем через Int1 (Л) обозначать внутренность множества А в топологии, порожденной С1-метрикой. Для векторного поля X обозначим через Рег(Х) множество точек покоя и замкнутых траекторий поля X. Для гиперболической траектории р 6 Рег(Х) будем обозначать через Ws(p) и Wu{jp) ее устойчивое и неустойчивое многообразие, соответственно.

Перейдем к определению свойств отслеживания для потоков. Определение 1. Рассмотрим произвольное d > 0. Отображение g{t) : R М будем называть d-псевдотраекторией векторного поля X и потока ф, если для любых ¿о £ R и t 6 [— 1,1] выполнено неравенство dist{g(t0 + t)^(t,g(t0))) < d.

1.1)

Отметим, что мы не требуем непрерывности отображения д.

Псевдотраектории возникают естественным образом при компьютерном моделировании потоков.

Для определения свойства отслеживания для случая векторных полей нам понадобится понятие репараметризации. Определение 2. Назовем репараметризацией такой возрастающий гомеоморфизм h : R —> R, что h(0) = 0. Для а > 0 обозначим через Rep (а) множество репараметризаций, удовлетворяющих неравенству

Определение 3. Будем говорить, что векторное ноле X и поток ф обладают (стандартным) свойством от,слегживания, если для всякого s > 0 найдется такое d > 0, что для любой d-псевдотраектории g(t) найдутся такие ре параметризация h Е Rep(e) и точка р Е М, что выполнены неравенства

Множество векторных полей, обладающих стандартным свойством отслеживания, будем обозначать через StSh.

Отметим, что понятие репараметризации необходимо в определении свойства отслеживания. Действительно, если неравен

M*i) - Mfr) h-h

- 1 < а для ti:t2 € R, h ^ ¿2• dist(ф(h(t),р),g(t)) <е, ten.

1.2) ства (1.2) в определении 3 заменить на неравенства то многие "хорошие" векторные поля перестанут обладать свойством отслеживания. В качестве примера подобного векторного поля можно рассмотреть векторное поле на многообразии М, у которого есть гиперболическая притягивающая замкнутая траектория [15].

Свойство отслеживания играет большую роль при компьютерном моделировании векторных полей. Действительно, если векторное поле X обладает свойством отслеживания, то приближенные решения, полученные при компьютерном моделировании (а следовательно, являющиеся псевдотраекториями) этого поля отражают (с точностью до репараметризаций) поведение точных траекторий векторного поля на неограниченном промежутке времени.

Кроме того, свойство отслеживания" играет важную роль в теории динамических систем: ясно, что если векторные поля Х\ и Х2 близки в С1-метрике, то точные траектории векторного поля Х2 будут псевдотраекториями векторного поля Х\, следовательно, свойство отслеживания является слабым аналогом устойчивости [15]. Также ясно, что если векторное поле X обладает свойством отслеживания, то множество неблуждающих точек [3] и множество цепно-рекуррентных точек [16] векторного поля X совпадают.

Введем несколько других видов свойства отслеживания.

Определение 4. Будем говорить, что векторное поле X и поток ф обладают липшицевым свойством отслеживания, если существуют константы > 0, обладающие следующим свойством: для любых с? < Д) и ¿¿-псевдотраектории д можно указать такие точку р и репараметризацию Н £ Яер(1/о^), что выполнены неравенства сНвь(Ф{к(1),р),д{г)) < ь0(1, г е Е.

Множество векторных полей, обладающих липшицевым свойством отслеживания, будем обозначать через ГлрЗЬ. Определение 5. Будем говорить, что векторное поле X и поток ф обладают ориентированным свойством отслеживания, если по любому £ > 0 найдется такое (I > 0, что для любой (¿-псевдотраектории д можно указать такие точку р и репараметризацию Н, что выполнено неравенство (1.2).

Таким образом, в определении 5 мы не требуем близости отоб ражения /г к тождественному. Множество векторных полей, обладающих ориентированным свойством отслеживания, будем обозначать через ОпехйЗЬ.

Определение 6. Будем говорить, что векторное поле X и поток ф обладают орбитальным свойством отслео/сивания, если по любому е > 0 найдется такое й > 0, что для любой ¿-псевдотраектории д можно указать такую точку р, что выполнено неравенство где distя - расстояние по Хаусдорфу. Множество векторных полей, обладающих орбитальным свойством отслеживания, будем обозначать через ОгЬйБЬ.

Ясно, что

ЫрЭЬ с StSh С Опег^Ь С ОгБ^ЭЬ.

Отмстим, что все четыре свойства отслеживания определяют разные понятия. Примеры векторных полей, лежащих в множествах StSh \ 1лр8Ь и ОгЫ18Ь \ Опех^ЗЬ достаточно просты, мы приводим их в приложении А. В ходе данного исследования был построен пример векторного поля лежащего в ОпеМБЬ \ StSh, однако, ввиду громоздкости данный пример не включен в текст диссертации.

Нас будут интересовать С1-внутренности множеств векторных полей, обладающих стандартным, липшицевым, ориентированным и орбитальным свойствами отслеживания.

Ранее аналогичная задача изучалась для дискретных динамических систем, порожденных диффеоморфизмами. Основные результаты были получены в работах [18], [21], [22], [23]. Приведем их краткий обзор.

Пусть, как и ранее, М - гладкое замкнутое многообразие класса С00 с римановой метрикой сЛэ^ Рассмотрим пространство диффеоморфизмов многообразия М класса С1 с топологией, порожденной Сх-метрикой. Пусть / Е С1 - некоторый диффеоморфизм многообразия М. Для всякого й > 0 последовательность п £ М}, Для которой выполнены соотношения сМв^+ь /(£„)) < ^ ДЛЯ 71 <Е будем называть й-псевдотраекторией.

Будем говорить, что диффеоморфизм / обладает стандартным свойством отслеживания, если для любого е > 0 найдется такое (1 > 0, что для всякой «¿-псевдотраектории {£п} найдется траектория {хп} диффеоморфизма /, удовлетворяющая неравенствам сНз1;(:гп, £п) < е для п 6 Ъ.

По аналогии со случаем векторных полей рассматриваются также следующие два свойства отслеживания, играющие важную роль в рассматриваемой задаче.

Мы будем говорить, что диффеоморфизм / обладает липши-цевым свойством отслеживания, если найдутся такие Ь, И о > О, что для любого с1 < Ио и всякой (¿-псевдотраектории {£п} найдется траектория {хп} диффеоморфизма /, удовлетворяющая неравенствам

ИзЬ(хп, £п) < Ь(1 для п е Z.

Мы будем говорить, что диффеоморфизм / обладает орбитальным свойством отслеживания, если для любого е > 0 найдется такое й > О, что для всякой (¿-псевдотраектории {£„} найдется такая траектория {жп} диффеоморфизма /, что расстояние по Хаусдорфу между замыканиями множеств {жп, п 6 и {£п> меньше е.

Нетрудно понять, что если диффеоморфизм обладает лип-шицевым свойством отслеживания, то он обладает и стандартным свойством отслеживания. Если он обладает стандартным свойством отслеживания, то он обладает и орбитальным. При этом, как и в случае векторных полей, все три свойства отслеживания определяют разные понятия, т.е. никакие два из них не равносильны [15].

Одним из наиболее важных результатов в теории отслеживания был получен Аносовым в [1], где показано, что диффеоморфизм обладает липшицевым свойством отслеживания в некоторой малой окрестности гиперболического множества.

Ниже мы приводим теоремы, которые позволяют полностью описать структуру С1-внутренности множеств диффеоморфизмов, обладающих тем или иным свойством отслеживания.

В [21], [23] доказана следующая теорема (см. также [16], Appendix А).

Теорема 1. Любой структурно устойчивый диффеоморфизм обладает липшицевым свойством отслеживания.

При этом существуют примеры не структурно устойчивых диффеоморфизмов, обладающих стандартным свойством отслеживания [15].

Сакай в [22] доказал следующую теорему. Теорема 2. С1-внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих стандартным свойством отслеживания, совпадает с множеством структурно устойчивых диффеоморфизмов.

Позднее Пилюгин, Родионова, Сакай [18] обобщили данную теорему.

Теорема 3. С1-внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих орбитальным свойством отслеживания, совпадает с множеством структурно устойчивых диффеоморфизмов.

Таким образом, для диффеоморфизмов поставленная задача, в некотором смысле, решена полностью.

Отметим, что при доказательстве теоремы 3 существенно используется теорема Аоки-Хаяши [6, 10], сформулированная ниже. Теорема 4. Пусть Тд - множество диффеоморфизмов, у которых все периодические точки гиперболичны. Множество 1пЬ1(То) совпадает с множеством устойчивых диффеоморфизмов.

Приступим к формулировке основных результатов диссертации. Свойство отслеживания для векторных полей имеет несколько более сложное определение, чем в случае диффеоморфизмов, что требует иных методов решения поставленной задачи.

Введем ряд обозначений, которые понадобятся нам в дальнейшем. Обозначим через 5 множество структурно устойчивых векторных полей. Обозначим через Т множество векторных полей, у которых все точки покоя и замкнутые траектории гиперболичны. Обозначим через N множество векторных полей без точек покоя. Обозначим через КБ множество полей Купки-Смейла (т.е. множество векторных полей X Е 7", для которых устойчивые и неустойчивые многообразия точек покоя и замкнутых траекторий транс-версальны) [3].

Пилюгин доказал, что верна следующая теорема [17]. Теорема 5. 5 С LipSh.

Так как множество S является С1-открытым, то S С Int1 (LipSh). Наша цель - доказать обратное включение, т.е. доказать следующее утверждение (см. главу 2). Теорема 6. S = Int1 (LipSh).

Мы также охарактеризуем множества

Int1(OrbitSh) и Int1(OrientSh).

Обзор основных результатов диссертации опубликован в работе автора [1].

В первой главе изучается свойство OrientSh. При описании множества Int1 (OrientSh) важную роль играют системы, обладающие описанной ниже структурой. Будем говорить что матрица А принадлежит классу К, если все ее собственные числа имеют ненулевые вещественные части. Отметим, что точка покоя р является гиперболической, если D Х(р) е /С. Обозначим через /С^ множество матриц А 6 /С, у которых есть такое вещественное собственное число а\ > 0, что если с\ + d\i - собственное число матрицы А с с\ > 0 и d\ ф 0, то с\ > ai. Обозначим через /С^ множество матриц А G /С, для которых найдется такая пара комплексно сопряженных собственных чисел а\ ± Ъ\i с а\ > 0, что если с\ > 0 - собственное число матрицы А, то с\ > Отметим, что /С]1" П /С^ = 0, но К. Ф и

Обозначим через множество таких матриц А е /С, что — А 6 /С*. Аналогично, обозначим через К^ множество таких матриц А € /С, что —А е

Определение 7. Мы будем говорить, что векторное поле X принадлежит классу В, если у него есть две гиперболические точки покоя pi и р2 (не обязательно различные), обладающие следующими свойствами:

1) матрица DX(pi) G /С^,

2) матрица БХ(рг) G >

3) существует траектория нетрансверсального пересечения многообразий WU{p2) и Ws{pi).

Рисунок 1 иллюстрирует данное определение.

В первой главе доказаны следующие теоремы. Теорема 7. Int^OrientShVB) С S. Теорема 8. Если dim М < 3, то выполнено равенство

S = Int1 (OrientSh).

Во второй главе приведено доказательство теоремы 6. В доказательстве основным является случай, когда у векторного поля есть гиперболические неподвижные точки покоя р и q и при этом Ws(p) и Wu(q) пересекаются нетрансверсально. Ключевым -.I #")

Р1

Рис. 1. Пример векторного поля класса Б моментом в доказательстве является построение псевдотраектории в окрестности (р) П \¥и(с1). которая не может быть отслежена. Следует отметить, что построенная псевдотраектория не имеет аналога для случая дискретных динамических систем, порожденных диффеоморфизмами. Теорему 6 следует считать основным результатом диссертации. Результаты данной главы опубликованы в работе автора [2].

В третьей главе доказана следующая теорема. Теорема 9. ^^ОгЬйЗЬПА^) С 5.

Эта теорема является обобщением недавно доказанной теоремы Ли-Сакая [11], в которой аналогичное включение получено не для орбитального, а для стандартного свойства отслеживания: Ь^^БЬП./У) С Я. Кроме того, теорема 9 является обобщением соответствующего утверждения для диффеоморфизмов (теорема 3).

При доказательстве теоремы 3, как упоминалось ранее, используется теорема Аоки-Хаяши. В доказательстве теоремы 9 важную роль играет аналогичное утверждение для векторных нолей без точек покоя [9], сформулированное ниже. Теорема 10. (Ган, Вен) Множество Int^T П N) состоит из 0,-устойчивых векторных полей.

В то же время, существуют векторные поля, лежащие в Int1(T), и не являющиеся П-устойчивыми [12].

Основными результатами диссертации являются теоремы 6-9. Эти результаты опубликованы в работах автора [1], [2].

включение gN{koj) G Г(1/4г/). (4.34)

Действительно, выполнено равенство д^{ки) = (0, Qkry, Rk~N(v«/)). Следовательно, норма г?-координаты точки д^(ксо) равна ^"^г/!, а норма ги-координаты точки д^{кш) равна \Bk~Nw'\. При этом выполнена цепочка неравенств

R^w'l \w'\ -âk~N\v'\ ~ |т/| 4г/

Следовательно, выполнено включение (4.34).

Пусть H1 G Ei - прямая, проходящая через 0 и а. Пусть H2,., Нт - ее образы под действием отображения (Т\. Введем обозначение J' = я1 и ■ • • и нт. Рассмотрим множества

Ii = S^xeJ: ^ < dist(rc,7i) < Jij С S и

I2 = ^(0; 0; 0, w) : ^ < \w\ < ¿i j С Е.

Если dim Еи = 2, то /2 = {0}.) Отметим, что dist(/i, J') > 0. Рассмотрим множество

I = {х G Е, \Пгх\ G Л или |П2а;| G /2 }П

0,y:v,w) G Е, \у\, И < ii}

Ниже мы покажем, что множество I удовлетворяет следующим условиям

Бе^й') Существует такое е > 0, что для любого N Е 14 выполнены неравенства с^(7,рлг(£)) > ¿6 1. (4.35)

Set2') Существует такое е > 0, что для любого г] Е {г + Ь] П Си(е, г) множество 0(х,ф) П I не пусто. По аналогии со случаем 01, из условий (БеИ') и (Set2/) следует, что векторное поле У не обладает свойством ОгЬ^БЬ.

Покажем, что множество I удовлетворяет условию (БеИ'). Из неравенств (4.32) и (4.33) следует, что при е < ^ и £ Е (—оо; 0) и (Л^; +оо) выполнено неравенство (4.35).

По аналогии со случаем 01, существуют такие Е0,1 > 0, что если для некоторых £ Е (0, Ео): N Е 14, £ Е [0, ЛГы] выполнено неравенство /) < е, то найдется такое целое число к £ [0, ТУ"], что выполнено неравенство

Ш(ди(кш),1) < 1е. (4.36)

Выберем произвольное г Е (0, | тт(&8^/х, ^')/2, <5х/(4^), .ЁЬ))-Предположим, что условие (БеН') не выполнено. Тогда найдутся такие числа N Е 14 и £ Е [0, Л/о;], что выполнено неравенство dist(I, дм^)) < е. Тогда в силу неравенства (4.36) найдется такое к Е [0, ЛГ], что выполнено неравенство (4.36). При этом исходя из определения ¿/лг(£) выполнено включение

ПхЫМ е У-100

Отсюда следует, что выполнено неравенство

П^лКМэ А) > (^(/ь «/'). (4.37)

Из включения (4.34) следует, что < 5\/2у или

П1^лг(А:а;)| > 25\. Из этого условия и неравенства (4.37) следует, что &\^(ды(кш),1) > 1е. Мы получили противоречие с неравенством (4.36).

Таким образом, мы показали, что множество I обладает свойством (8еи'). Покажем, что оно обладает свойством (Set2/).

Предположим противное, тогда найдутся такие последовательности чисел £г —> 0 и точек т]г £ В(£1,г)Г\{г+Ь}, что выполнено равенство

0(тн,ф)П1 = Ъ. (4.38)

Пока ф(ксо}г]г) £ В(61,71), выполнено равенство

Риф((к + 1)ш,т) = ИРЩки,^), и при этом \\Я\\ = у. Следовательно для любого г найдется такое к (г), что выполнены неравенства < 1^1 < ¿1, (4.39) где г][ = ф(к(г)ш, щ). Из соотношения щ 0 следует, что к(г) —» оо. Отметим, что И\Т}[ £ J. Из неравенств (4.39) следует, что для одного из индексов ] £ {1,2} выполнено неравенство < М < 101

Отсюда следует, что выполнено включение Пjr}[ € Ij. Поскольку к (i) —> оо, при достаточно больших г координата у точки г)[ будет меньше Следовательно, г)[ £ I. Мы получили противоречие с равенством (4.38). Таким образом, множество / обладает свойством (Set2').

Случай dim L' = 1 разобран. Случай dim L' = 0 рассматривается аналогично.

Лемма доказана. □

1. Аносов Д.В. Об одном классе инвариантных множеств гладких динамических систем // Труды 5-й Межд. конф. по пслин. колеб. Киев. 1970. Т. 2. С. 39 45.

2. Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М., 1999. 768 с.

3. Пилюгин С. Ю. Введение в грубые системы дифференциальны уравнений. JL, 1988. 160 с.

4. Рейзипъ Л. Э. Локальная эквивалентность дифференциальных уравнений. Рига, 1971. 235 с.

5. Anosov D. V., Bronshtein I. U.: Topological dynamics. In: Dynamical Systems I. Ordinary Differential Equations and Smooth Dynamical Systems. EMS 1. Springer-Verlag. 1988. 221 p.

6. Aoki N. The set of Axiom A diffeomorphisms with no cycle // Bol. Soc. Brasil. Mat. (N.S.) 1992. Vol. 23. P. 21 65.

7. Bowen R. Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms. Lect. Notes. Math. V. 470. Springer-Verlag. Berlin. 1975. 108 p.

8. Gan S. Another proof for the С1 stability conjecture for flows // Sci. China Ser A. 1998. Vol. 41. P. 1076 1082.

9. Gan S.; Wen L. Nonsingular star flows satisfy Axiom A and the no-cycle condition 11 Invent, math. 2006. Vol. 164. P. 279-315.

10. Hayashi S. Diffeomorphisms in Fl (M) satisfy Axiom A // Ergod.

11. Theory Dyn. Syst. 1992. Vol. 12. P. 233 353.

12. Lee K., Sakai K. Structural stability of vector fields with shadowing // Journ. Differ. Equat. 2007. Vol. 232. P. 303 313.

13. Mane R. A proof of the С1 stability conjecture // Publ. Math. IHES. 1987. Vol. 66. P. 161-210.

14. Moriyasu K., Sakai K., Sumi N. Vector fields with topologycal stability // Trans. Amer. Math. Soc. 2001. Vol 353. P. 3391-3408.

15. Palmer K. Shadowing in Dynamical Systems. Theory and Applications. Dordrecht-Boston-London. 2000. 299 p.

16. Pilyugin S. Yu. Shadowing in dynamical systems. Lect. Notes Math. V. 1706. Springer-Verlag. Berlin. 1999. 283 p.

17. Pilyugin S. Yu. The Space of Dynamical Systems with the C°-Topology. Lect. Notes Math. V. 1571. Springer-Verlag. Berlin/New-York. 1994.

18. Pilyugin S. Yu. Shadowing in structurally stable flows // Journ. Differ. Equat. 1997. Vol. 140. P. 238 265.

19. Pilyugin S. Yu., Rodionova A. A., Sakai K. Orbital and weak shadowing properties // Discr. Contin. Dyn. Systems. 2003. Vol. 9. P. 287 308.

20. Pugh C., Robinson C. The enclosing lemma, including Hamiltonians // Ergod. Theory Dyn. Syst. 1983. Vol. 3. P. 261-313.

21. Pugh C., Shub M. The fi-Stability theorem for flows 11 Invent. Math. 1970. Vol. 11. P. 150-158.

22. Robinson С. Stability theorems and hyperbolicity in dynamical systems // Rocky Mount. J. Math. 1977. Vol. 7. P. 425-437.

23. Sakai K., Pseudo orbit tracing property and strong transversality of diffeomorphisms of closed manifolds // Osaka J. Math. 1994. Vol. 31. P. 373-386.

24. Sawada K. Extended /-orbits are approximated by orbits // Nagoya Math. J. 1980. Vol. 79. P. 33-45.

25. Публикации автора по теме диссертации

26. Пилюгин С. Ю., Тихомиров С. В. Множества векторных полей с различными свойствами отслеживания псевдотраекторий / / Доклады АН. 2008. Т. 422. N. 1. С. 30-31.

27. Тихомиров С. Б. Внутренности множеств векторных полей со свойствами отслеживания, соответствующими некоторым классам репараметризаций // Вестник С.-Петерб. ун-та. Серия 1. 2008. Вып. 4. С. 90-97.