Почти омбилические поверхности и априорные оценки для эллиптических уравнений Монжа-Ампера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Л Ь '

МОСКОВСКИ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕД'АГОГИЧЕСКШ ГО(Г/ДАРСТВЕКНШ УНИВЕРСИТЕТ жени В.й- ЛЕНИНА

Специализированный совет К 053.01.02

На' правах рукописи

ТР7БИНА Ольга йшшячна

ПОЧТИ ОМШГРКЕСКЙЕ ПОВЕРХНОСТИ И АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ 77/ВКЕНЙ1 ЫОША - АМПЕРА

(Я..СИ.01 - геометрий и тшсвюгиа.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации аа соискание ученей степени кандидата фазико-матемагатаескак ндук

Москва 1993

с

Работавыпсянена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. МЛЗ.Ломоносова,

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

доцент Э.Р.РШЕЭДОРН.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Е.В ЛИКИН; '

' кандидат физико-математических наук, додент Я.Б.ШШОШШЯ.

Ведущая организация - Российский государственный педагогически* университет им.. А. И. Герце на.

Защита состоится ^.у^'ТГГ.. 1993 г. б-----'часов

на заседаний специализированного сонета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Московском орденов Ленина и Трудового Красного Знамеш педагогическом государственном университете им. В.И.Ленина по адресу: 107140 Москва, ул. Краснопрудная, 14. Математический факультет МШУ ш. В.И.Лешша, ауд. 302. ■

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке МГЛУ им. В.й.Ленина: 119882 Москва, Малая Пироговская, I.

.Автореферат разосл ан . .'. 1993 г.

. Учекнй секретарь специатизированкого совета

доцент ГЛ.КАРАСЕВ

"Ч

3

I

- г- -

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Данная работа относится к одному из крупных разделов современной геометрии - теории выпуклых поверхностей - и представляет то направление'в рамках этой.теории, где изучаются свойства поверхности по ее заранее заданным геометрическим характеристикам.

Объектом исследования служит замкнутая выпуклая гиперповерхность в евклидовом пространстве, построенная по условной кривизне [1]. В аналитическом случае такая поверхность связана с решением многомерного уравнения Монжа - Ампера, заданного на гиперсфере. В связи с этим предмет изучения представляет интерес не только с позиций геометрии, но и с точки зрения теория нелинейных уравнений.

Отметим, что уравнения Монжа-Ампера, благодаря широкому спектру их приложений, принадлежат с$ере внимания современной математики. Об этом свидетельствует множество относящихся к ним публикаций, появившихся в последнее десятилетие.

Цель работы состоит в получении количественной оценки отклонения от«сферы поверхности с заданной условной кривизной и, как следствие этого, априорной оцеакй модуля решения для одного класса многомерных уравнений Монжа-'- Ампера.

Научная новизна. Новым в диссертации является следующее:

1. При некоторых ограничениях на условную кривизну получена оценка отношения минимума модуля радиус-вектора поверхности к его максимальному значению. Отсюда - априорная оценка для одного класса уравнений Монжа- - Ампера, заданных на еданич-ной гиперсфера.'

2. Доказана теорема устойчивости сферы в классе'замкнутых выпуклых гиперповерхностей с заданной условной кривизной.

Попутно получены результаты для близких к сфере гиперповерхностей в пространстве Лобачевского.

Практическая ценность. Результаты диссертации могут найти

Применение в теории -выпуклых поверхностей и в теории эллиптических уравнений, 1'Яонжа - Ампера.

I. Погорелов A.B. Многомерное уравнение Монжа - Ампера! - М.:На-- ука, 1988 -93 с.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной школе "Оптимальное управление. Геометрия и анализ" (г.Кемерово,1988 год), на Всесоюзной конференции по геометрии и анализу (г.Новосибирск,1989 год) , а также неоднократно обсуждались на семинаре по геометрии"в целом" в МГУ им. М.В.Ломоносова (руководители - проф.Э.Г.Позняк, доц.И.Х. Сабитов, с.н.с.Э.Р.Розендорн) .

• Публикации. Но материалам диссертации опубликовано 6 работ, которые отражают ее основное содержание.

Обьем -работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из V6 наименований и занимает 102 с. машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий исторический обзор, перечислены основные результаты, полученные автором, и приведено беглое изложение диссертации по главам. Текст диссертации содержит три главы,- разбитие на параграфы. Нумерация параграфов сквозная.

• В первой главе рассматривается задача, связанная с восстановлением в евклидовом пространстве Е"*1замкнутой выпуклой гиперповерхности по условной кривизне. Первые два параграфа носят вспомогательный характер. В § 1 приводятся основные определения и факты из теории выпуклых поверхностей, необходимы? в дальнейшем.

Пусть F- замкнутая выпуклая гиперповерхность в ЕтИ , И - боралевское множество HaF. Считаем, что со(М) - образ множествам при сферическом отображении поверхности принадлежит единичной гиперсфере S*.

О п р е д а луе н и е( см. [1], §2 ). Условной кривизной гиперповерхности F на множестве М называется величина

X(PL>J (!)

;: СО(М)

где П - единичный вектор; X (а) - точка на F- , в которой поверхность имеет опорную гиперплоскость с внешней нормалью п.

I ~

(У - положительная непрерывная функция, a dn - элемент m -мерного ойьема на S*.

Пусть, далее,. S - еще одна единичная гиперсфера вЕ™^ с центром в начале координат, точке 0 , и {Н] - кольцо Ооралев-ских множеств на S . Введем

. Определение . Будем говорить, что функция (Н), определенная на кольце {Н] , является для гиперповерхности F условной кривизной, перенесенной на сферу S , если для любого

Не{и3 (Уг(н)= 0(H),

где Н с F - центральная проекция множества Н из точки 0 .

Далее обсуждается задача о существовании замкнутой выпуклой гиперповерхности с заданной условной кривизной, перенесенной на сферу, при несколько иных, чем в [13, условиях. А именно, считается, что областью определения функции- (У' является прямое произведение ,S*V{Е™*^ О}, в отличив от £1}, где (^определена на S'k . Кроме того, предполагается, что функция ) является. неубывающей вдоль любого, луча, исходящего из начала координат, т.е. __

O'ifi, Xt) * 0-К xj , еоди Шъ= k- OXf . (2 ) при 'k-e(OH).

Тогда имеет место тёорема существования (теорема l), аналогичная теореме 3.3 в £l)f с той лишь разницей, что входящая в условия теоремы 3.3 (cM.fl) ) подынтегральная функция 0)

заменяется на л',— v \

Здесь верхняя грань берется по всем точкам X, принадлежащим замкнутому (т+1) -мерному шару \},{0) радиуса С с центром в 0 . .

Доказательство, суммируемости Функции приведено в §2. -Там же доказана тчсрама 1 .Бе доказательство основано на предельном переходе от многогранников и мало отличается от доказательства теоремы 3.3([!]).

Восстановленная по условной-кривизне поверхность содержит внутри начало координат,.точку 0 , и определяется однозначно,

~ 4 -

если в (2) имеет место строгое неравенство.

Третий параграф посвящен постановке задачи.

Пусть Я* - замкнутая выпуклая поверхность, построенная по условной кривизне. В дальнейшем предполагается следующее:

А. Условная кривизна как функция боршгевских множеств на поверхности определяется яри помощи положительной непрерывной функции & (г£; X) согласно формуле (1), причем (У1 удовлетворяет условиям: __ V. ' '

а) &(п,х<)> в-(ЯХг) , роли |0ХА1< |0Х,| ;

б) Ь'т,*)- 00 пря 10X1- оо . .

Б. На каяодом бораяевском множестве Нс2 значения условной кривизны, перенесенной на сферу 5 , задаются равенством:

Рр(н)= $д(х)их , О)

н

- где. X - текущая точка гиперсферы б положительная не-

прерывная функция, определенная для любой точки ЭсеЗ ; с1х -алемент т-мерного объема на Л .

Допустим теперь, что в каждой точке х с д(Х) = дл(х)= &'(К, Хл ) . где гих.; ОХ* '-ЯП . и Л,- произвольно зафиксированное положительное число. Определяя таким.образом функцию £(ос), мы остаемся в условиях теоремы существования. Следовательно, равенство (3 ) при д(х)= ^(^однозначно определяет замкнутую выпуклую гиперповерхность Р^ . . 1егко доказать

Утверждение . Поверхность является сферой ра-*диуса с центром в начале коордяваг.

Поставим такой вопрос: можно лж рверждать, ч?а иоаериюст! р , определенная равенством (3), близка к сфере, если функция 0(Х) близка в интегральной корме,к при некотором Л > 0 ?

Ответ на этот вопрос дает теорема 3, доказанная в предположении, что функция отделена от нуля, т.е. суиеству-ет Ае такое, что для любой пару (п,Х)е5/{Е \0].

Т*е о р е м а 3 . Пусть отделена от руля.- Тс^гда -если при каком-либо фиксированном £ х

П &(*>-- 9я(х) И¿1(3);,< £ ;

и € - достаточно малоё- положительное число, то" гияерповерх-

яость F расположена в 6 -окрестности некоторой гиперсферы в ЕтЧс центром в начале координат, причем 6< С С

Здесь 6 -окрестность сферы понимается как шаровой слой в Е™1, толщина которого, равна 2<Г , а сфера является его средн»-ной поверхностью.

Примечание . Положительная константа С зависит • от размерности пространства, внешнего диаметра поверхности и значения Ji0 .

Теорема 3 представляет собой утверждение о<3 устойчивости сферы в классе замкнутых выпуклых поверхностей с заданной условной кривизной.

Вопросам, связанным с устойчивостью сферы, посвящен ряд публикаций 60 - 70-х годов, причем оценки уклонения поверхности от сферы получены в этих работах через различные характеристики поверхности. В качестве примера сошлемся на работу [21, где доказано, что если удельная кривизна поверхности близка к единице, то поверхность близка к единичной сфере. В условия теоремы работы [2Л, как мы видим, не попадают поверхности, интег-■ ральная кривизна которых сосредоточена на множества* малой меры, и, следовательно» удельная кривизна-этих множеств на по' вёрхности моует быть сколь угодно велйка. Однако это обстоятельство не является препятствием к применению теоремы 3 ввиду интегрального характера полученной в ней ¿щенки. х

Идея доказательства теорему 3 состоит в следующем. На сфере с центром в начале координат и специальным образом выбранного радиуса стрсится свиднее множество , мера которого допускает двусторошц® оценку: снизу - через величину

ft\in. IQXI ,

"rnax |0Х"Г ' csepry " через отклояенив l'g 'S^LHS) '

Х€Г

Дополнительным построениям, доказательству основных лемм об оценках меры ¡ПХ и доказательству теоремы 3 посвящена § 4 -7.

2. Дискант В.И. Устойчивость сферы в классе^выпуклых поверхностей ограниченной удельной кривизны// Сиб. матем. ж.-1968. - Т.9, Я 4. -.С. 816 - 824.

Аналогичная теорема устойчивости имеет мг-лто я /да уел да— ной кривизны, которая определяется функцией @-'(п), зависящей' только от вектора нормали. При атом можно варьировать к-йк функцию , так и функцию &(п) , определяющую конкретный вид условной кривизны. Но изменение функций д и 0"' должно производиться с тем расчетом, чтобы и для новий пары функций ос'Л^ва-лись выполненными условия теоремы существования (теорема 4а в Ш, гл. VIII ,§2). Такие пары функций (д(х) ; &'(гг)] назовем допустимыми.• Согласно упомянутой здесь теореме, кавдая допустимая пара { ф ; 3 однозначно определяет класс гомотетичных замкнутых выпуклых гиперповерхностей {Г| в Е .

Справедлива

Теорема 5. Пусть допустимая пара функций определяет класс { Р} замкнутых выпуклых гиперповерхностей, а допустимая пара } ~ класс {<?] - концентрических гипер-

сфер с центром в начале координат.

Тогда если ¿^ и - достаточно малые положительные числа и если , .

»З-^Ач«)**' и 2 *■

то, существует замкнутая выпуклая гиперповерхность Г6 , которая расположена в 6 -окрестности : единичной гиперсферы 5, где

Примеч ание . Положительная койкл-ай-а С зависит от минимума функций (^'(¡г) и размерности раиемагр*ааемо-го пространства Ет,+'1 .

Оставаясь в условиях теоремы 5, нредаолоят, что

Тогда справедливо

Следствие из теоремы 5. Если

и <с

я £ - достаточно маяое положительное чичло, то

< С{т) €%т ( 4 )

3V Погорелой A.B. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей.-М.: Наука, 1969,-759 с.

Ьлвг-.ъ означает отношение

1 = _

ь та

пир {0X1

та* |оХ|

.инвариантное на классе гомотетичных поверхностей {Р] .

Это следствие представляет собой утверждение об устойчивости гиперсфера в классе замкнутых выпуклых поверхностей, построенных по заданной интегральной внешней кривизне Г4].

Заметим, что в случае т. = 2 оценку, аналогичную (4), мож-:чо получить как следствие из теоремы Z работы С 5]:

, (5)

где Д Однако положительная константа С в

■Ьормуле (5) зависит от 1 , т.е. не является абсолютной постоянной, как это имеет место в неравенстве (4) при т =2.

Доказательство теоремы 5 опирается на результат теоремы 4. которая позволяет оценить модуль радиуса-вектора замкнутой выпуклой поверхности, по известном Функциям О" (И) и Приведем точную формулировку теоремы 4.

Введем в рассмотрение непрерывные функит пвременного -ч

(|Я 5.1 п. [Чг^у- )■

Несложно показать, что /(О - монотонно у&ынасщая функция,

значения кототюй. принадлежат1 интервалу £ 0' с/5) , где .

4. Александров А.-Д. Существование г единственность выпуклой поверхности о данной интегральной.кривизной //ДАН СССР. -1942.-Т.35..- С. 143- 247. '

5. Каган А.Е. Оцелка деформации замкнутой выпуклой поверхности при изменении ее кривизны // Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР.- 1974.- Т.45.- С.83- 110.

Доложим'

Л о ^

Теорема 4. Существует .положительная константа С(т) такая, что для любой допустимой пары | о ; О'у , удовлетворяющей условию ®

< С(т>ЛР ,

имеет место оценка:

Примечание . Можно. положить (^¡¡р") ^гп •

где - объем единичного т -мерного шара в евклидовом

пространстве. ■ '

Теоремы 4 и 5 доказаны в §8, прнчеыдри доказательстве теоремы 4 использованы дополнительные посТроёваь^и основные леммы юв $ 4 - 6 .

Параграфами 9-11 представлена вторая глава диссертация. Предметом-изучения во второй главе служит замкнутая выпуклая гиперповерхность, построенная в пространстве Лобачевского цо задашрш на ее измеримых множествах значениям интегральной внешней кривизны С6]. "

Рассматривается (ни!) -мерное пространство Лобачевского ЛтИ в интерпретации Кали - Клейна, где ./.""''изображается внутренней областью и единичного (т+1) -мерного тара I/ в евклидовом пространстве. При отображении в модель Кади - Клейна образом замкнутой выпуклой поверхности с Л.™*1 является замкнутая выпуклая поверхность ГЕСФ с ВтН .

Считаем, что интегральная кривизна задается интегралом от положительной непрерывной функции а(х) , определенной на единичной сфере

6. Вернер АЛ. О внешней кривизне выпуклых поверхностей в пространствах постоянной кривизны // Изв.вузов. Метем.— 1960.- М (14).- С.58- 68, ' '

- 9 -

Утверждение. Если

У*'" («-¿'»-а ■■е~4><

то соответствующая гиперповерхность Г. есть сфера радиуса й в АтЧ. л

Предположим, что радиус-вектор Х(х) поверхности ГЕ допускает С - гладкую параметризацию и. удовлетворяет неравенствам:. _ ,

т.е. поверхность содержится в кольце ( 6 ). В указанных предположениях в § 11 доказана Теорема 6. Если существует действительное число

такое, что

"«<*»-пНзпрь '/.«(То)

и достаточно мало, то ГЕ расположена в $-окрестности

некоторой гиперсферы 5 , центр которой совпадает с центром

абсолюта, причем 5 < С(т)£

Доказательство теоремы основано на том, что интерпретация пространства А.т*1 в модели Кэли - Клейна позволяет рассматривать выпуклые поверхности с известной интегральной внешней кривизной в А^'как поверхности евклидова пространства, по-строекние по заданной условной кривизне. '

Третья глава посвящена приложениям к теории уравнений Монжа - Ампера.

На единичной гиперсфере 3 {х е Е : И зс П - 1 ] введем систему криволинейных координат {и1} > I = 1,2, т ; через ^ ^ обозначим метрический тензор сферы 5 .

Пусть - стволом

^(' ) обозначим ковариантные производные на .

Пусть, далее, даны:-положительная непрерывная функция^х ■ О''(Л X Р ) . определенная для любого единичного вектора П

7 У

- ГО -

и ллйих [х ,р) * St] , и положигаяьная функцияip(x)eC[S),

Рассматривается следующее уравнение относительно функции гг(ж) : -(mil)

(I)

С71

/

где р (V] V!/,) е Б"1* зависит от искомого решения V и его

пвряыг производных и задается разложением

ГЛ.

V х^ Са;

(е) ' 4

по сопровождающему (гтиО-граннюсу гиперсферы 3 ; & ^ ^ ^

дая 4 6 < т-7 суть главные миноры 6-го порядка определителя с!е.1 А/^ ; при 6=0 полагаем А(0)=1.

С уравнением (7/ф) связана задача, о восстановлении замкнутой выпуклой гиперповерхности Г по ее условной кривизне. При этом, если Ъ (х) = - ее радиус-вектор и ^ е

то функция V(X) = ^/¿(х) является рещением уравнения ( 7$).

Аналогично тону, как это сделано в Г1], для уравнения С Ч^) вводится понятие обобщенного решения. Теоремыг доказанные в главе 1, позволяют сформулировать теорему о существовании и единственности обобщенного решения (теорема 7) ,дать априорную оценку 1Г(ос)в случае О" $>) - &' (л ) (теорема 8 ), конста-

тировать устойчивость решения 1Г= Соп$4 ^теорема •»

В § 15 рассматривается уравнение, связанное с задачей о построении замкнутой выпуклой гиперповерхности в Л"11' по внешней кривизне» Получена количественная оценка отклонения его решения ТГв от константы в случае, когда правая

часть уравнения близка в интегральной норме к постоянной{ теорема 10).

В последнем параграфе третьей, главы, в § 16, теорема 7 при £ обобщается на более широкий класс эллиптических уравнений Монжа- Ампера.

Работы автора го тема диссертации

1. Трубина О.И. Теоремы существования и единственности для одного класса уравнений Монжа - Ампера // Матем. заметки.-1983.- Т.34, Л 1.- С. 123— 130.,

2. Трубина О.И. Априорная оценка модуля решения для некоторого класса эллиптических уравнений Монжа - Ампера на двумерной сфере // Вестник МГУ. Сер.I. Матем. Мэхан.~1986..

№ 5.- С.76 - 79.

3. Трубина О.И. Некоторые теоремы для эллиптических уравнений Монжа - Ампера на сфере Ц Тез. докл. Всесоюзной школы "Оптимальное управление. Геометрия и анализ".- Кемерово.- 1988.

- С.36- 37.

, 4. Трубина О.И. Устойчивость гиперсферы в классе замкнутых выпуклых гиперповерхностей с,заданной условной кривизной в Г. /ВПИ, 1989. 21 с. Деп. в ВИНИТИ. 16.05.89. й 3857-ВВ9.

5. Трубина О.И. Устойчивость гиперсферы в классе замкнутых выпуклых гиперповерхностей, построенных по интегральной внешней кривизне в пространстве Лобачевского }/ Тез. докл. Всесоюзной конференции по геометрии и анализу.- Новосибирск,- 1989.

6. Трубина О.И. Почти омбилические выпуклые гиперповерхности и априорные оценки для одного класса уравнений Монжа -Ампера // Материалы международной научной конференции "Лобачевский и современная геометрм".- Казань.- 1992,- С.<01.

- С.88.