Полнота корневых функций пучков дифференциальных операторов и суммируемость по ним произвольных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Галяев Владимир Сергеевич

ПОЛНОТА КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ И СУММИРУЕМОСТЬ ПО НИМ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.

Специальность: 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Махачкала —

2004

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и геометрии Дагестанского государственного университета.

Научныйруководитель: доктор физико-математическихнаук,

профессор А.И. Вагабов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Зарубин А.Н. доктор физико-математических наук, профессор Сиражудинов М.М.-

Ведущая организация: Факультет Вычислительной

математики и кибернетики Московского государственного университета.

Защита состоится « Ьо » _2004 г. в 14.00 часов на за-

седании специализированного совета К21 2.053.11B - Дагестанском государственном университете (367025, г. Махачкала, ул. Дзержинского, д. 12, математический факультет, аудитория 3-70).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ДГУ по адресу г. Махачкала, ул. Батырая, 2.

Автореферат разослан 2004 года

Учёный секретарь специализированного Совета

Абдурагимов Э.И.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Вопросы разложимости функций в ряды по собственным функциям линейных дифференциальных операторов восходят к работам Фурье, Пуассона, Коши, Лиу-вилля, Пуанкаре, В. Стеклова, Д. Гильберта и др. Их решение в более общей постановке, в случае обыкновенных дифференциальных операторов, было дано в фундаментальных работах Г. Биркгофа.

Основательные исследования условий разложимости в ряды: по собственным функциям эллиптических операторов, а также обыкновенных дифференциальных операторов имеются в работах ВА Ильина и его учеников. В работах В.Б. Лидского рассмотрены вопросы суммируемости по Абелю рядов Фурье по корневым векторам несамосопряжённых операторов определённых классов. Позже они рассматривались в работах А.П. Хромова, А.Г. Костюченко, А.С. Маркуса, В.Э. Кацнельсона, АА, Шкаликова.

Пучки обыкновенных дифференциальных операторов впервые рассмотрены в книге Я.Д. Тамаркина, где автор не затрагивал вопрос об n-кратных разложениях в ряды Фурье по системам корневых функций пучка. Это упущение было восполнено в фундаментальных работах М.В. Келдыша, посвященных n-кратной полноте корневых векторов пучков линейных операторов и имевших большое влияние на последующее развитие спектральной теории. Оно отражено в работах И.Ц. Гохберга и М.Г. Крейна, Дж.Э. Алахвердиева, С. Аг-мона, МЛ. Расулова, М.Г. Гасымоваи А.М. Магеррамова, В.И. Мацаева, В. Эбегарда, А.И. Вагабова, Г. Фрейлинга и др. Большое место принадлежит труду американских математиков Н. Данфорда и Дж. Шварца.

Данная диссертация посвящена изучению пучков обыкновенных дифференциальных операторов. Основное внимание уделено критериям ^кратной полноты корневых функций пучков, а также вопросу суммируемости рядов Фурье произвольных функций по корнр^тм функтшм ТТ^ДТКЛ.

Цель работы. Целью данной диссертационной работы является:

1. Нахождение простых алгебраических критериев п-крат-ной полноты корневых функций пучка дифференциальных операторов;

2. Перенос известной теоремы Лебега о суммируемости по Фейеру тригонометрического ряда Фурье любой интегрируемой функции на случай обобщённого ряда Фурье по корневым функциям регулярного пучка.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Найдено решение, имеющее экспоненциальный асимптотический вид, для системы линейных уравнений и удалось понизить на единицу классические требования гладкости матриц этой системы.

2. Указаны простые алгебраические критерии п-кратной полноты корневых функций общего пучка обыкновенных дифференциальных операторов.

3. Построена теория общего регулярного пучка обыкновенных дифференциальных операторов, включающая в себя предыдущую теорию.

4. Установлена теорема С-суммируемости ряда Фурье любой интегрируемой функции по корневым функциям регулярного пучка дифференциальных операторов.

5. Практическая ценность результатов определяется приложениями полученной теории к задачам математической физики, квантовомеханической теории рассеивания, к изучению процессов в атомных реакторах, к задачам аэронавтики.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Воронежской весенней математической школе (май 2001 года); на X Международной конференции «Математика. Экономика. Образование.» (Ростов-на-Дону, апрель 2002 года); на Международном Российско-Узбекском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, май 2003 года); на годичной конференции профессорско-преподавательского со-

става ДГУ (апрель 2001 года); на семинарах Отдела математики и информатики ДНЦ РАН; на семинарах кафедр математического факультета ДГУ, на городском семинаре по математике в г.Махачкале.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах, список которых приведён в конце автореферата.

Объём и структура работы. Диссертационная работа изложена на 82 страницах компьютерного текста; состоит из введения, трёх глав, которые разделены на 13 параграфов, и списка литературы. Библиография содержит 57 наименований, в том числе 12 на иностранном языке.

Содержание диссертации.

Во введении даётся краткий обзор и характеристика основных результатов по теме диссертации, проводится анализ исследований.

Первая глава служит основой всего последующего текста. В ней дано изложение теории асимптотических по большому параметру решений системы линейных уравнений*

Удалось понизить классические требования гладкости матриц Aj(x) и исследовать поведение асимптотических формул в зависимости от классов, к которым принадлежат коэффициенты. Найдено решение, имеющее асимптотический вид:

Y(x, X) = {М(х) + Е(х, Х)}^^ (2)

в секторе S, X G S, и являющееся обобщением классической асимптотической формулы. Здесь М(х) — матрица, трансформирующая Ад(х) в диагональную матрицуИсключи-

5

тельно важно то, что указана оценка: тах|Я,у(хД^|=0(6(Х)), где ¿¡(Я) определяется по формуле:

показывающей характер её стремления к нулю при X а>,в зависимости от свойств гладкости матриц Ад(х), Ац (х): Рассмотрены следствия и частные случаи этой теоремы.

Глава II посвящена задаче нахождения простых алгебраических критериев п-кратной полноты корневых функций пучка

при граничных условиях*

(4)

Полагается, что rank (Р,у}= / <rank{cty} это не ограничивает общности.

Рассмотрение подобной задачи проводилось на самых высоких уровнях, в том числе для абстрактных пучков операторов в банаховых пространствах. В большинстве этих работ теорема полноты формулировалась в терминах роста резольвенты на определённых лучах Я.-плоскости или в других нераспознаваемых терминах, почти бесполезных с практической точки зрения.

В §1 приведено простое доказательство известной леммы, утверждающей, что дефектное подпространство системы

корневых векторов дискретного оператора в гильбертовом пространстве либо нулевое, либо бесконечномерное.

§2 посвящен изучению пучка (3) -(4) в случае п<2 /. При этом предполагаются выполненными нижеследующие условия 1)-

5);

1 ) Ф у ^^М при *„+*,= л, и /*»•*'>(*) И остальных индексах суммируемы на [а,Ъ].

2) -корни характеристического уравнения

ф« + л(1.»-1)(.су-1 + ... + Л1п-,'1>(х)ф + Л(и-0)(х)=0 (5)

различны, отличны от нуля, их аргументы и аргументы их разностей не зависят от х.

3)/£л<2/.

Для формулировки следующих условий вводятся в рассмотрение натуральные числа, «индексы полноты», —

I — пип(гал&{а;у }, гапк^у Пусты! — векторная прямая, не проходящая через ф-корни и проведённая в комплексной плоскости так, что разница в количествах ф-корней в полуплоскостях, образуемых минимальна. т— означает число

-корней в той полуплоскости, в которой их количество наибольшее, а т0 — число ф-корней в другой полуплоскости, ц — означает наибольшее количество ф-корней, могущих располагаться на одном луче, исходящем из начала.

4) Полагаем, что

Обозначим через Б прямую симметричную с! относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов, а через

прямую, проходящую через начало координат и образующую с Р малый угол а. Вертикальные секторы раствора а, образуемые прямыми И и обозначим ч е р е^иС-орТ л а с н о условиям 2) и 4) в секторе при определенной нумерации

7

ф- корней имеют место неравенства КаЛ<рх й...<КеЛ(рт <...<ЯеД^и ,

5) В случае хотя бы одного сектора Б0 (он определяется неоднозначно) отличны от тождественных нулей два многочлена по

£ '' "* '"~т ]аг' "" Ут|х

л-/5/, VI — 5п-т) VI — 1т)

0£/| <...</„ 5п-1

X ёег(<рг+т(6)^ <1ес(срДа)'' ,

{А—»'»н. )и У......У»}»{0А»..я -1};

£ (_|)(т(т+1)/2)+г, +...+/„»„ р| '1 — 'т М-Л — }п-т 1

п~Шх<...<!я.тйп-\ VI ••• V I' 1 1п-т)

О», <...<1м-т £я-1

X ае^фДб/' )Г С1е4ж+Г(а)'' {'I.....'я}и [/| • • • •»1п-т} = {0,1,.• •,и -1}, где, например, а^ "' ^

означает минор определителя лежащий в строках /|,...,/, и столбцах)и

здесь и ниже риг- соответственно номера строк и столбцов определителей.

При условиях 1)-5) доказана теорема. 1, утверждающая п-кратную полноту в 1.2(а,Ь) системы корневых функций пучка

(3)-(4).

В §3 дан анализ условий 1)-5). Так, отмечено, что в условии 1) сформулированы предельно слабые требования гладкости коэффициентов, снижены на единицу известные классические требования гладкости. Условия 2) также восходят к классическим требованиям, и мы их не изменяем. Что касается

8

обнаруженного нами условия 4), то оно достойно внимания с точки зрения исключительной простоты. С другой стороны доказана теорема 2, утверждающая необходимость этого условия. Естественность условия 5) предопределяется условием 4). Отметим, что оно охватывает более широкий класс краевых условий, чем в работах Вагабова АИ. и Шпаликова А.А., так как в условии 5) участвуют коэффициенты а^ при

всех производных из граничных условий (6).

В §4 главы 2 дана формулировка условий теоремы п-крат-ной полноты корневых функций пучка (3)-(4) во втором случае: 0<2/<п

Перечислим семь условий.

1) Коэффициенты А (^0'^1)пучка(5)-(6) постоянны.

2) Корни характеристического уравнения

различны и отличны от нуля.

3) 0<2 /<п

4) /<ш0

5) ц < / для определённых выше чисел тд( р,1 .

6) Пусть ф -корни пронумерованы так, что в секторе Э0 выполнены неравенства

В случае хотя бы одного сектора считаем, что отличны от тождественных нулей два многочлены по

7) Множество ф-корней разобьём на классы эквивалентности по отношению: агдср; = агдфу

Пусть {Ф/,»Ф/2>-".Ф/х}» Х-И — один из этих классов. Считаем, что отличны от тождественного нуля многочлены

составленные хотя бы для одного набора корней Ф_/( • • • • > Фу,.,»

{/1»-'->./я-/}Г1{/1.....= ® и относящиеся к разным классам

эквивалентности.

В §5 доказывается основная теорема о п-кратной полноте корневых функций пучка (3)-(4), относящаяся ко второму случаю, когда 0<2/<п. Эта теорема утверждает, что при удовлетворении условий 1)-7), указанных выше, система корневых функций пучка (3)-(4) п-кратно полна в Ь2(а,Ь) .

В последнем §6 главы 2 дан анализ условий 1)-7) теоремы 3. Приведём его.

1) До настоящего времени проблема п-кратной полноты в случае переменных коэффициентов была решена лишь толь-

10

ко в случае пучка Келдыша с полураспадающимися краевыми условиями;

2) Пример пучка»

1(у)*у'-2\у' + \2у, у(0)=у(1) = 0, 0<х<1

для которого ф! = ч>2 = 1 и у которого нет ни одного собственного значения, показывает существенность условия этого пункта.

4) Нарушение этого условия в ситуации 2/<пи при выполнении остальных условий относится к редким явлениям. Оно может иметь место, лишь начиная с п>9 при специальном' расположении ф-корней. Так если>п = 9 и / = 9, а

и неравенство исключает подобный

пучок из рассмотрений обоих теорем 1 и 3. Вопрос о 9-кратной полноте этого пучка остаётся открытым.

5) Доказана теорема 4, утверждающая, что неравенство

в случае, когда и при выполнении

остальных условий 1)-7) необходимо для п-кратной полноты корневых функций пучка (1)-(2).

6), 7) Необходимость этих условий показывает пример пучка

Здесь ф=1,±1, 1=1, т0= 1. Многочлен из условия 7) соответствующий «классу» ф!=1 р а оба рассматриваемые условия.

Все производные цепочки пучка:

1 0 1 1

0 1 -1 -1

А.2 = 0. ш с II ы

= (8ткях,кл8ткях,(к7г)251пклх) соответствующие простым собственным значениям Я^=±к, к = 1,2,... ортогональны в 1-2(0,1) вектор-функциям Рп(х) = ((—2пп)2 8т2лпх,0,

Бпгёлпх) . То есть система корневых функций имеет бесконечный дефект в смысле трёхкратной полноты.

Глава 3 посвящена переносу известной теоремы Лебега о суммируемости по Фейеру тригонометрического ряда Фурье любой интегрируемой функции на случай обобщённого ряда Фурье по корневым функциям регулярного пучка

В §1 формулируются условия, а)-в) (условия регулярности), которым подчиняется пучок (6)-(7):

а) Функций

непрерывны на [а,Ъ].

б) Корни ф|(х),... ,фп(х) характеристического уравнения

л(0-й)(х)|>я + л^-^ху-' +...+л(п-и>(*)р -1=0

различны при всех х, отличны от нуля, их аргументы и аргументы их разностей не зависят от х.

Для формулировки следующего условия введём некоторые понятия.

Пусть ё— векторная прямая, не содержащая чисел ф,{х), 1=/,п и пусть т'(Ф> т"((1) — количества наборов ф-корней в полуплоскостях, на которые делит комплексную плоскость (в силу условия б) эти количества не зависят от х). Условимся

обозначать буквой т переменное количество всевозможных таких наборов. Процессом нормировки граничных условий (7) строится «определяющая матрица» граничных условий (a,ß) размеров, n х 2п. Вводятся в рассмотрение два числа

х* — шах т — индекс дифференциального выражения (9), г = min (ranka, rank ß — индекс краевых условий (10). в) Отличны от нуля определители

соответствующие всем наборам чисел ф^, указанным выше. аУ ' — элементы матриц а, Р (при разных нумерациях набора ф|,фт определитель лишь меняет знак).

Установлено простое, но практически важное предложение 1, утверждающее, что неравенство

№

где х*,г— индексы регулярности, является необходимым условием регулярности пучка (6)- (7). В §4 к условиям а), б), в) из § 1 добавляется новое условие

г) Функции

dx

при

А0+*,=л, и Л^'^Ое)

при kQ + kj = n—1 покомпонентно принадлежат классу Ди-

ни-Липшица на (а,Ь).

Доказывается теорема 4: Если выполнены условия а)-г) относительно пучка (6)-(7), то для любой суммируемой на [а,Ь] ограниченной функции h(x) ряд Фурье «со скобками»

lim Jm(h)= lim fi

m—»oo m—>o> 2m p Q

по корневым функциям пучка сходится при тех же условиях и к тому же пределу, что и тригонометрический ряд Фурье для h(x). Сходимость будет равномерной на любом компакте из

(a,b), на котором обычный ряд Фурье сходится равномерно.

В доказательстве этой теоремы существенное место принадлежит построениям главы 1 и предыдущих параграфов. Подобные теоремы ранее были известны лишь при больших условиях гладкости коэффициентов A(kcAi)(x).

В § 5 доказана основная заключительная теорема.

Теорема 5. Пусть пучок (9)-(10) удовлетворяет условиям а), б), в), г) главы 3. Какова бы ни была ограниченная интегрируемая функция h{x), а<Х<Ъ ряд lim Jm[h)

m—><»

суммируем почти везде на (а^) по методу средних арифметических Фейера и будет иметь суммой h(x). Другими словами, почти везде в промежутке (а^) имеем

Jim-^ ¿Л, (А); (8)

Во всех точках внутри (а^), в которых существуют пределы

Правая часть формулы (8) стремится к своему пределу рав-Н О МеРН О При. * е [а,,6, ] с (а,Ь), Va,, 6,, если А(х) НЯВДЫЕГОНа [а,, Ь{ ].

В классическом варианте данная теорема была доказана ещё Я.Д. Тамаркиным при жёстких ограничениях на гладкость коэффициентов и на характеристические корни.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Галяев B.C., Вагабов А.И. Суммируемость по Фейеру обобщённых рядов Фурье, связанных с дифференциальными, операторами. //Докл. РАН. Т.379, №5.2001. С.439-442.

2. Галяев B.C., Вагабов А.И. Алгебраические критерии -кратной полноты корневых функций пучков линейных обыкновенных дифференциальных операторов с общими краевыми условиями. //Докл. РАН. Т.382, №6.2002. С. 1-3.

3. Галяев B.C. Вопросы суммируемости и равносходимости обобщённых рядов Фурье, связанных с регулярными дифференциальными пучками. //Цеп. в ВИНИТИ. 02.03.011 №549-В. 2001.12 с.

4. Галяев B.C.* -суммируемость рядов Фурье интегрируемых функций по собственным элементам, дифференциального пучка. //Сб. Тезисы докладов Воронежской весенней матем. школы. Воронеж. 2001. С.41.

5. Галяев B.C. Глобальная асимптотика по большому параметру решений линейных дифференциальных уравнений//Сб; Тезисы X Межд; конференции «Математика. Экономика. Образование», Ростов-на-Дону, 2002.

6. Галяев B.C. Теорема о полноте корневых функций пучков. линейных обыкновенных дифференциальных операторов в случае пучков с граничными условиями нерегулярного типа. //Докл. Адыгейской АН. Т.6., №2,2003. С.23-28.

7. Галяев B.C.', Вагабов А.И. О полноте корневых функций* пучков линейных обыкновенных дифференциальных операторов с общими краевыми условиями; //Дифф. уравнения. Т. 39,№11.2003.С.1-10.

»-3513

Отпечатано в типографии ЗАО «Дагпресс» Формат 60x84.1/16. Подписано к печати 13.02.04 г. Бумага офсет. Тираж 100 экз.

Введение

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава I. Асимптотика по параметру решений дифференциальных систем.

§ 1. Общая теорема об асимптотике решений систем линейных дифференциальных уравнений с большим параметром.

§2. Следствие асимптотической теоремы, частные случаи.

Глава II. Алгебраические критерии «-кратной полноты корневых функций пучков линейных обыкновенных дифференциальных операторов с общими краевыми условиями

§ 1. Постановка задачи и вспомогательные леммы.

§2. Теорема «-кратной полноты в случае пучков с граничными условиями регулярного типа.

§3. Анализ условий теоремы 1.

§4. Постановка проблемы w-кратной полноты в случае пучков с граничными условиями нерегулярного типа и некоторые построения.

§5. Теорема «-кратной полноты в случае пучков нерегулярного типа

§6. Анализ условий теоремы 3.

Глава III. Суммируемость обобщённых рядов Фурье, связанных с дифференциальными операторами

§ 1. Определение регулярности для пучков дифференциальных операторов. Функция Грина.

§2. Полюсы функции Грина.

§3. Асимптотическое представление функции Грина и вспомогательные леммы.

§4. Формула разложения по собственным элементам пучка (1)-(2)

§5. Суммируемость по Фейеру рядов Фурье по корневым функциям пучка (1)-(2).

1. Вопросы разложимости функций в ряды по собственным функциям линейных дифференциальных операторов восходят к работам Фурье, Пуассона, Коши, Лиувилля, Пуанкаре, В. Стеклова, Д. Гильберта и др. Их решение в более общей постановке, в случае обыкновенных дифференциальных операторов, было дано в фундаментальных работах Г. Биркгофа [47]-[48].

Основательные исследования условий разложимости в ряды по собственным функциям эллиптических операторов, а также обыкновенных дифференциальных операторов имеются в работах В.А. Ильина и его учеников, [17]-[25]. В работах [30]-[31] В.Б. Лидского рассмотрены вопросы суммируемости по Абелю рядов Фурье по корневым векторам несамосопряжённых операторов определённых классов. Позже они рассматривались в работах [43], [44], [29], [34], [27], [45] А.П. Хромова, А.Г. Костю-ченко, A.C. Маркуса, В.Э. Кацнельсона, А.А, Шкаликова.

Пучки обыкновенных дифференциальных операторов впервые рассмотрены в книге [40] Я.Д. Тамаркина, где автор не затрагивал вопрос об n-кратных разложениях в ряды Фурье по системам корневых функций пучка. Это упущение было восполнено в фундаментальных работах [27], [28] М.В. Келдыша, посвященных n-кратной полноте корневых векторов пучков линейных операторов и имевших большое влияние на последующее развитие спектральной теории. Оно отражено в работах И.Ц. Гохберга и М.Г. Крейна [15], Дж.Э. Алахвердиева [1], С. Агмона [46], М.Л. Расулова [38], М.Г. Гасымова и А.М. Магеррамова [14], В.И. Мацаева [33], В. Эбе-гарда [49], А.И. Вагабова [3], Г. Фрейлинга [52] и др. Большое место принадлежит труду американских математиков Н. Данфорда и Дж. Шварца [16].

В теории пучков операторов, в частности дифференциальных операторов, остаётся много интересных проблем, имеющих конкретное содержание.

Данная диссертация посвящена изучению пучков обыкновенных дифференциальных операторов. Основное внимание уделено критериям п-кратной полноты корневых функций пучков, а также вопросу суммируемости рядов Фурье произвольных функций по корневым функциям пучка.

2. Дадим краткий обзор содержания работы.

Первая глава служит основой всего последующего текста. В ней дано изложение теории асимптотических по большому параметру решений системы линейных уравнений y'-\^\-JAj(x)y = 0, a<x<b. (1) j=о

Удалось понизить на единицу классические требования гладкости матриц Aj(x). Найдено решение, имеющее асимптотический вид:

XXfDti)d;

Y(х, X) = {МО) + Е(х, Х)}е а (2) в секторе S, XeS, и являющееся обобщением классической асимптотической формулы. Здесь М(х) - матрица, трансформирующая Aq(x)в диагональную матрицу D(x). Исключительно важно то, что указана оценка: шах x,i,j

Еу(х,Х) | = 0(5(Х)), где 8(Х) определяется по формуле:

8(Х) = шах x,k,j

М"1 (0(4 (t)M(t) - МЩц е * dt показывающей характер её стремления к нулю при X —> оо, в зависимости от свойств гладкости матриц А0(х), А1(х).

Формула (2) для решения уравнения (1) использована для получения асимптотически экспоненциальных решений типа (2) в случае одного уравнения вида у™ +Хрх{х,Х)у^ +. + Хпрп{х,Х)у = 0,

7=0

3)

Подобные представления были получены в работе [4]. В случае постоянных Ру(х) нами обосновано существование фундаментальной системы аналитических при |А,|»1 решений уравнения (3), имеющих простую глобальную асимптотику ск5

4)

1. Алахвердиев Дж. Э. О многократно полных системах и несамосопряжённых операторах, зависящих от параметра. //ДАН СССР. Т. 166, №1. 1966. С.11-19.

2. Алимов Ш.А., Ильин В.А., Никишин Е.М. Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений. //УМН. Т31, №6. 1976. С.29-83; УМН. Т32, №1. 1977. С.107-130.

3. Вагабов А.И. О теореме кратной полноты для обыкновенных дифференциальных пучков. //ДАН СССР. Т.275, №1. 1984. С. 13-17.

4. Вагабов А.И. Асимптотика решений дифференциальных уравнений по параметру и приложения. //ДАН СССР. Т.326, №2. 1992. С.219-223.

5. Вагабов А.И. О равносходимости разложений в тригонометрический ряд Фурье и по главным функциям обыкновенных дифференциальных операторов. //Изв. АН СССР. Серия матем. Т.48, №3. 1984. С.614-630.

6. Вагабов А.И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов. Ростов-на-Дону. Изд-во РГУ. 1994. 160 с.

7. Галяев B.C., Вагабов А.И. Суммируемость по Фейеру обобщённых рядов Фурье, связанных с дифференциальными операторами. //Докл. РАН. Т.379, №5.2001. С.439-442.

8. Галяев B.C., Вагабов А.И. Алгебраические критерии «-кратной полноты корневых функций пучков линейных обыкновенных дифференциальных операторов с общими краевыми условиями. //Докл. РАН. Т.382, №6.2002. С.1-3.

9. Галяев B.C. Вопросы суммируемости и равносходимости обобщённых рядов Фурье, связанных с регулярными дифференциальными пучками. //Деп. в ВИНИТИ. 02.03.01. №549-В. 2001.12 с.

10. Галяев B.C. С-суммируемость рядов Фурье интегрируемых функций по собственным элементам дифференциального пучка. //Сб. Тезисы докладов Воронежской весенней матем. школы. Воронеж. 2001. С.41.

11. Галяев B.C. Глобальная асимптотика по большому параметру решений линейных дифференциальных уравнений//Сб. Тезисы X Межд. конференции «Математика. Экономика. Образование», Ростов-на-Дону, 2002.

12. Галяев B.C. Теорема о полноте корневых функций пучков линейных обыкновенных дифференциальных операторов в случае пучков с граничными условиями нерегулярного типа. //Докл. Адыгейской АН. Т.6., №2, 2003. С.23-28.

13. Галяев B.C., Вагабов А.И. О полноте корневых функций пучков линейных обыкновенных дифференциальных операторов с общими краевыми условиями. //Дифф. уравнения. Т. 40, №1.2004. С.5-14.

14. Гасымов М.Г., Магеррамов A.M. О кратной полноте системы собственных и присоединённых функций дифференциальных операторов. //ДАН Азерб.ССР. Т.30, №12.1974. С.9-12.

15. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряжённых операторов. М., 1965.448 с.

16. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. М., Т.З. 1974. 661 с.

17. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений. //УМН. Т.15, №2(92). 1960. С.98-154.

18. Ильин В.А. О сходимости разложений по собственным функциям оператора Лапласа. //УМН. Т.13, №1. 1958. С.87-180.

19. Ильин В.А. Проблемы локализации и сходимости для рядов Фурье по фундаментальным системам функций оператора Лапласа. //УМН. Т.23, №2. 1968. С.61-120.

20. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I, II //ДУ. 1980. Т.16., №5. С.771-794; Т.16, №6. С.981-1009.

21. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности в Ь2 и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системам экспонент. //ДАН СССР. Т. 273, №4. 1983. С.789-792.

22. Ильин В.А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединённых функций дифференциального оператора второго порядка. //ДАН СССР. Т.273, №5. 1983. С. 1048-1053.

23. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка //ДУ. Т.22, №12. 1986. С.2059-2071.

24. Ильин В.А., Тихомиров В.В. О базисности риссовских средних спектральных разложений, отвечающих обыкновенному несамосопряжённому дифференциальному оператору порядка п //ДУ. Т. 18, №12. 1982. С.2098-2125.

25. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оператор Штурма-Лиувилля с нелокальными краевыми условиями второго рода. //ДАН СССР. Т.294, №6. 1987. С.1340-1345.

26. Кацнельсон В.Э. О сходимости и суммируемости по корневым векторам некоторых классов несамосопряжённых операторов. //Дис. канд. физ.-мат. наук. Харьков. 1967.

27. Келдыш М.В. О собственных функциях и собственных значениях некоторых классов несамосопряжённых линейных уравнений. //ДАН СССР. Т.77, №1. 1951. С.11-14.

28. Келдыш M.B. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряжённых линейных операторов. //УМН. Т.26, №4. 1971. С. 1541.

29. Костюченко А.Г., Шкаликов A.A. О суммируемости разложений по собственным функциям дифференциальных операторов и операторов свёртки. //Функц. анализ. Т. 12, №4. 1978. С.24-40.

30. Лидский В.Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряжённых операторов. //Труды Моск. матем. общества. Т. 11. 1962. С.3-35.

31. Лидский В.Б. О разложении в ряд Фурье по главным функциям несамосопряжённого эллиптического оператора. //Матем. сборник. Т.57, №2. 1962. С.137-150.

32. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М., 1981,400 с.

33. Мацаев В.И. Несколько теорем о полноте корневых подпространств вполне непрерывных операторов. //ДАН СССР. Т.155, №2. С.273-276.

34. Маркус A.C. О некоторых признаках полноты системы корневых векторов линейного оператора и суммируемость рядов по этой системе. //ДАН СССР. Т.155, №4. 1964. С.753-756.

35. Маркус A.C. Некоторые признаки полноты системы корневых векторов линейного оператора в банаховом пространстве. //Матем. сборник. Т.70, №4.1966. С.526-561.

36. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969, 526 с.

37. Печенцов A.C. Асимптотические разложения решения линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметр. //ДУ. Т. 17, №9. 1981. С.1611-1620.

38. Расулов М.Л. Метод контурного интеграла. М.: Наука, 1964,462 с.

39. Рыхлов B.C. О скорости равносходимости для дифференциальных операторов с ненулевым коэффициентом при (и-1)-й производной. //ДАНСССР. Т.279, №5. 1984. С.1053-1056.

40. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и разложении произвольных функций в ряды. Петроград. 1917, 308 с.

41. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1983, 352 с.

42. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. М.: Наука, 1966, 800 с.

43. Хромов А.П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися краевыми условиями. //Матем. сборник. Т.70, №3. 1966. С.310-329.

44. Шкаликов A.A. О полноте и базисности собственных и присоединённых функций краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. //Дис. канд. физ.-мат. наук. 1977. 121 с.

45. Agmon S. On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general alliptic boundary value problems //Comm. Appl. Math. V. 15. 1962. P.l 19-147.

46. Birkhoff G.D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations //Trans. Amer. Math. Soc. V. 9. 1908. P. 337-395.

47. Birkhoff G.D., Langer R.E. The boundary problems and developments with a system of ordinary linear differntial equations of the first order //Proc. Amer. Acad. V. 58. 1923. P.51-128.

48. Eberhard W. Zur Vollständigkeit des Biortogonalsystems von Eigenfunktionen irregulärer Eigenwertprobleme //Math. Z. №146. 1976. S.213-221. .

49. Flax A.H. Aeroelastic problems at Supersonic Speed //Second Internat. Aeronautical Conference. New York. 1949. P.322-360.

50. Freiling G. Zur Vollständigkeit des Systems der Eigenfunktionen und Hauptfunktionen irregulärer Operatorbuschel //Math. Z. Bd. 188. 1984. S.55-68.

51. Freiling G. Uber die mehrfache Vollständigkeit des Systems die Eigenfunktionen und assoziierten Functionen in Z2(0,1) //Z. Angew. Math. u. Mech.Bd. 65, №5.1985. S.336-338.

52. Hopkins J.W. Some convergent developments associated with irregular boundary conditions //Trans. Amer. Math. Soc. V. 20. 1919. P.245-259.

53. Jacksen D. Expansion problems with irregular boundary conditions //Proc. Amer. Acad. V. 51. 1916. P.383-417.

54. Tamarkin J. Some general problems of theory of ordinary linear differential equations and expansion of an arbitrary function in series of fundamental functions //Math. Zs. V. 27. 1927. P.l-54.

55. Ward L. An irregular bounded value and expansion problem //Ann. Math. V. 26. 1925. P.21-36.

56. Ward L. A third-order irregular boudedary value problem and the associated series //Amer. J. of Math. V. 57. 1935. P.345-362.