Полумарковские модели анализа эксплуатационной надежности корабельных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПОЛУМАГКОВСКАЯ МОДЕЛЬ АНАЛИЗА ФУНКЦИЮ

НАЛЬНОЙ НАДЕЖНОСТИ КОРАБЕЛЬНЫХ СИСТШ.

§1.1. Полумарковские процессы с произвольным фазовым пространством. Основные определения и используемые результаты.

§ 1.2. Полумарковская модель функционирования корабельных систем.

§ 1.3. Стационарные характеристики функциональной надежности восстанавливаемых систем

§ 1.4. Предельная теорема для времени безотказной работы восстанавливаемых систем с монотонной структурой и полнодоступным восстановлением.

ГЛАВА П. МОДЕЛЬ АНАЛИЗА НАДЕЕНОСТИ СИСТЕМ С УЧЕТОМ

ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ.

§ 2.1. Математическая модель функционирования корабельных систем с учетом влияния внепь них воздействий.

§ 2.2. Стационарное распределение вложенного полумарковского процесса.

§ 2.3. Предельная теорема для времени пребывания вложенного полумарковского процесса в фиксированном подмножестве состояний.

ГЛАВА Ш. АНАЛИЗ ЭКСПЛУАТАЦИОННОЙ НАДЕЖНОСТИ

КОРАБЕЛЬНЫХ СИСТЕМ.

§ 3.1. Анализ функциональной надежности судовых электроэнергетических систем

§ 3.2. Анализ эксплуатационной надежности корабельных средств связи.

Проблема надежности сложных технических систем продолжает оставаться одной из главных, несмотря на постоянное улучшение характеристик надежности и долговечности различных комплектующих изделий. Это объясняется в первую очередь тем, что продолжающаяся научно-техническая революция характеризуется все более широким использованием различных технических систем во всех сферах управления и промышленного производства. Выполняемые современными техническими системами функции весьма сложны, решаемые задачи чрезвычайно ответственны, и поэтому в новых условиях старые нормы надежности становятся неприешгемыми.

В комплексе задач, решаемых в целях обеспечения надежности, важное место занимает разработка новых математических методов расчета показателей надежности функционирования сложных систем. "Повышение надежности не дается даром и ее получение требует как определенных материальных затрат, так и систематических научных поисков" [21}.

Особое значение приобретает разработка и применение математических методов теории надежности при проектировании и эксплуатации таких сложных систем, как корабли Морфлота СССР. Корабли представляют собой комплекс взаимосвязанных подсистем различного назначения с неодинаковым характером использования и большим числом состояний. Это обуславливает сложность процессов функционирования и эксплуатации кораблей как в отношении изменения состояния отдельных подсистем, так и с точки зрения их взаимодействия с внешней средой.

Функционирование корабельных систем, как и любых сложных технических систем, описывается математическими моделями. В качестве таких математических моделей используются различные классы случайных процессов: марковские, полумарковские, регенерирующие, с дискретным вмешательством случая, кусочно-линейные и др.

Основные результаты, полученные в современной математической теории надежности, берут начало от работ Гнеденко Б.В. [21, 22,23], Коваленко И.Н.[33,34,35,36,37,38], Королюка B.C. [43,44J Севастьянова Б.А.[68], Беляева Ю.К. [9], Соловьева А.Д. [70,71, 72,73,74], Марьяновича Т.П.[581, Кокса Д. и Смита У.[42], Бар-лоу Р. и Прошана Ф. С 8], Ушакова И.А.140,75] и др.

Важное место в математической теории надежности занимает разработка методов анализа высоконадежных систем. При анализе таких систем на практике очень часто используют иммитационное моделирование, однако при этом возникают определенные трудности, связанные с необходимостью моделирования редких событий, что ведет к большим затратам машинного времени и потере точности.

Наиболее эффективным путем преодоления этих трудностей является, по-видимому, создание комбинированных (аналитико-статистических) методов моделирования. Это влечет за собой необходимость активного развития аналитического аппарата анализа редких событий и, особенно, разработки асимптотических методов, которые, с одной стороны, существенно упрощают анализ в тех случаях, когда поиск точных решений приводит к большим аналитическим трудностям, а с другой стороны, позволяют дать достаточно простые и вместе с тем эффективные приближения для расчета характеристик надежности сложных систем.

В разработку асимптотических методов анализа высоконадежных систем значительный вклад внесли Коваленко И.Н., Королюк B.C., Соловьев А.Д., Анисимов В.В., Турбин А.Ф. и их ученики. В работах Коваленко И.Н. [34,35,36] были предложены кусочно-линейные марковские процессы и начато изучение характеристик надежности восстанавливаемых систем в рамках модели кусочно-линейных марковских процессов в предположении о малой интенсивности отказов. В работе[37] был выдвинут принцип монотонности отказов высоконадежных восстанавливаемых систем, идея которого заключается в аппроксимации вероятности отказа на периоде регенерации вероятностью монотонного отказа, где под монотонным понимают такой отказ, при котором с начала периода регенерации и до момента отказа не было восстановлено ни одного элемента системы. Кроме того, асимптотические характеристики высоконадежных восстанавливаемых систем были интерпретированы как функционалы от цепи Маркова достаточно простой структуры, что привело к разработке эффективной процедуры взвешенного статистического моделирования. Дальнейшее развитие эти работы получили в монографиях [ 31,32]. Отметим также работу [ 39], где изложен "метод искусственных моментов регенерации", с помощью которого получены предельные теоремы о распределении первого момента наступления редкого события в системах, описываемых существенно многомерными процессами теории массового обслуживания, и работы учеников Коваленко И.Н. [5,55,56,60] и др.

Важное место в исследовании распределения до момента первого отказа высоконадежных систем занимают работы Соловьева А.Д. и его учеников. В работе [70] Соловьев А.Д. установил ряд предельных теорем для распределения первого момента наступления редкого события в системах массового обслуживания, у которых существует вложенный регенерирующий процесс. При этом предполагалось, что длительности восстановления отказавших элементов в определенном смысле малы по сравнению с длительностью безотказной работы элементов. Был исследован ряд конкретных резервированных восстанавливаемых систем и получены предельные теоремы и асимптотические оценки их надежности [29,73,74] .

Значительный вклад в развитие математической теории фазового укрупнения сложных систем внесли Королюк B.C. и Турбин А.Ф. Одной из актуальных задач теории сложных систем, создаваемой в настоящее время, является преодоление основной трудности - большой размерности фазового пространства модели системы. Наиболее радикальный подход к преодолению сложности анализа реальной системы состоит в построении более простой укрупненной системы, анализ которой существенно проще анализа реальной, а основные характеристики могут быть приняты в качестве характеристик последней. Математические основы фазового укрупнения сложных систем представлены в работах Королюка B.C. и Турбина А.Ф. [45,48, 49,50,51*]. На основе этих работ ими и их учениками были получены предельные теоремы и асимптотические оценки надежности функционирования ряда сложных систем.

Асимптотическому укрупнению и установлению многих общих теорем о сходимости случайных процессов, важных для теории надежности, посвящены работы Анисимова В.В. [2,4], Сильвестро -ва Д.С. [69] и др.

В настоящее время широко используются в практике методы расчета основных показателей надежности, опирающиеся на предположение о том, что времена безотказной работы и времена восстаяовления элементов имеют экспоненциальное распределение. Однако, статистические данные часто не подтверждают принятый экспоненциальный характер указанных распределений, и поэтому, несмотря на то , что это допущение значительно упрощает анализ систем, оно не гарантирует совпадение результатов численного анализа, полученных на основе математических моделей, с реальными значениями. Например, на основе экспериментальных данных анализа электроэнергетической системы корабля Рябинин И.А. и Рубино -вич В.Д. в работе [67] сделали следующий вывод: ".принятие экспоненциального распределения для времен безотказной работы элементов системы приводит к столь значительному искажению (занижению) функции надежности резервированной системы, что такой расчет, по существу,не имеет практического значения". В связи с этим несомненный теоретический и практический интерес приобретает задача анализа надежности восстаналиваемых систем при общих предположениях относительно функций распределения времен безотказной работы и времен восстановления элементов.

Особенно сложной в аналитическом плане является задача анализа надежности систем, описываемых существенно многомерными процессами. Отметим задачу "о двух лифтах" [89], а также работы Козлова В.В. [4l], Коваленко И.Н. и Кузнецова Н.Ю. [39], Кузнецова В.Н. [30,52], Цатуряна Г.Ж. [54,651, Ai^tf^cxcA IS5].

Таким образом, в современной практике накоплен обширный арсенал методов и средств расчета показателей надежности сложных технических систем. Тем не менее, существует еще достаточно большой круг практических задач, требующих своего решения. В частности, анализ надежности эксплуатируемых корабельных систем выдвигает следующие задачи, обусловленные "динамикой функционирования" этих системГ

- анализ функциональной надежности систем при общих предположениях относительно функций распределения (ф.р.) времени безотказной работы (в.б.р.) и времени восстановления (в.в.) элементов;

- анализ надежности систем с учетом влияния внешних воздействий.

Под функциональной надежностью будем понимать надежность системы с переменной скоростью исчерпания ресурса (в.б.р.) и переменной скоростью восстановления элементов. Такая постановка связана,прежде всего,с исследованиями Коваленко И.Н., Соловьева А.Д., Франкена П., Кенига Д. [7б] и др. В после,дние годы в работах Королюка B.C. и Турбина А.Ф. [49,50j выяснилось, что чрезвычайно широкий класс восстанавливаемых систем с наиболее общими предположениями может быть конструктивно исследован средствами полумарковских процессов (НМЛ) со специально построенным дискретно-непрерывным (произвольным) фазовым пространством. В рамках этого же подхода решается первая задача настоящей работы.

•^орабельные системы функционируют в условиях воздействия большого количества случайных факторов внешней среды. Эти воздействия приводят к изменению надежности эксплуатируемых систем. В связи с этим возникает необходимость создания таких математических моделей анализа надежности функционирования систем, которые учитывали бы влияние внешних воздействий. Решению этой проблемы способствовали работы Ежова И.И. [7,27,28], Анисимо-ва В.В. [1,3], Броди С.М. [ 1?3, Шпака В.Д. [80], Наконечного А.Н. [59,61] и др. Исследования в этом направлении составили второй круг рассматриваемых в диссертации задач.

Следовательно, целью диссертационной работы является:

- дальнейшее развитие методов анализа эксплуатационной надежности сложных систем;

- исследование и разработка математической модели анализа функциональной надежности сложных восстанавливаемых систем с монотонной структурой и полнодоступным восстановлением при общих предположениях относительно ф.р. в.б.р. и в.в. элементов с помощью ПМП с произвольным фазовым пространством;

- исследование и разработка математической модели анализа надежности сложных систем с учетом влияния внешних воздействий посредством ПМП с дисхфетным вмешательством случая, образующим ПМП;

- анализ эксплуатационной надежности конкретных корабельных систем.

Следует отметить, что анализу надежности корабельных систем посвящены многие работы, в частности, работы Рябинина И.А. [бб], Падерно И.П., Усачева В.А., Худякова Л.Ю. [64,77], однако, задачи, поставленные в диссертационной работе, исследуются впервые.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка использованной литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные результаты, полученные в диссертационной работе, заключаются в следующем:

- на основе анализа функционирования корабельных систем вводится понятие эксплуатационной надежности;

- разработана методика описания функционирования восстанавливаемых систем при общих предположениях относительно времени безотказной работы и времени восстановления элементов посредством полумарковских процессов с произвольным фазовым пространством;

- получены соотношения для расчета стационарных показателей функциональной надежности восстанавливаемых систем с монотонной структурой и полнодоступным восстановлением: коэффициента готовности, среднего стационарного времени безотказной.работы и среднего стационарного времени восстановления системы. Под функциональной надежностью понимается надежность систем с переменной скоростью исчерпания ресурса и переменной скоростью восстановления элементов;

- доказана предельная теорема для времени безотказной работы восстанавливаемых систем с монотонной структурой и полнодоступным восстановлением, получено условие асимптотической инва -риантности параметра предметной экспоненциальной функции распределения времени безотказной работы;

- разработана математическая модель функционирования корабельных систем с учетом влияния внешних воздействий посредством полумарковских процессов с дискретным вмешательством случая, образующим полумарковский процесс;

- получены соотношения для определения стационарных характеристик процесса, описывающего функционирование корабельных систем с учетом влияния внешних воздействий, которые интерпретируются как надежностные характеристики;

- доказана предельная теорема для времени пребывания процесса в фиксированном подмножестве состояний, которое интерпретируется как время безотказной работы системы;

- с помощью разработанных моделей проведен анализ эксплуатационной надежности корабельных систем.

1. Аяисимов В.В. Асимптотический анализ надежности сложных систем под воздействием неоднородных случайных воздействий.-Докл. АН УССР, 1979, Л> I, с.65-68.

2. Анисимов В.В. Асимптотическое укрупнение состояний случайных процессов. Кибернетика, 1973, № 3, с.109-117.

3. Анисимов В.В. Предельные теоремы для переключающихся процессов и их применение. Кибернетика, 1978, № 6, с.I08-118.

4. Анисимов В.В. Предельные теоремы для случайных процессов и их приложения к дискретным схемам суммирования. Киев: Вища школа, 1976. - 88с.

5. Арентов В.А. Двусторонние оценки распределений некоторых функционалов от полумарковского процесса. В кн.: Анализ систем методами исследования операций и теории надежности. -Киев: Ж АН УССР, 1975, с.10-23.

6. Ариас Е., Королюк B.C. Стационарное фазовое укрупнение марковских процессов восстановления. Докл. АН УССР, 1980, № 8, с.3-6.

7. Арсенишвили Г.Л., Ежов И.И. Об одном обобщении цепей Маркова с полумарковским вмешательством случая. Сообщения АН ГССР, 1969, 54, № 2.

8. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности.- М.: Сов.радио, 1969. 488с.

9. Беляев Ю.К. Линейчатые марковские процессы и их приложение к задачам теории надежности. В кн.: Трубы У1 Всесоюзного совещания по теории вероятностей и математической статистике. Вильнюс: Госполитиздат, 1962, с.309-323.

10. Богданцев Е.Н., Клименко А.И. Анализ и оптимизация эксплуатационной надежности локальных вычислительных сетей. В кн.: Локальные вычислительные сети: Тез.докл. Всесоюзн.конф. (Рига, сент., 1984 г.). Рига: ИЭВТ, 1984, с.109-111.

11. Богданцев Е.Н., Клименко А.И., Погосян И.А. Модель анализа надежности резервированных систем с переменным временем восстановления элементов. Электронное моделирование, 1984, № 4, с.102-104.

12. Богданцев Е.Н., Погосян И.А., Сукиасян А.А. Модель анализа комплексных характеристик надежности функционирования сложных систем. Киев, 1984. - 33с. - (АН УССР/Препринт, Ин-т кибернетики; 84-8).

13. Богданцев Е.Н., Погосян И.А., Сукиасян А.А. Модель анализа надежности резервированных систем с учетом изменения функциональной нагрузки. Кибернетика, 1983, № 6, с. 120-122.

14. Богданцев Е.Н., Погосян И.А., Сукиасян А.А. Модель анализа надежности систем с учетом изменения функциональной нагрузки. В кн.: Применение аналитических методов в теории вероятностей. Киев: ИМ АН УССР, 1983, с.109-115.

15. Броди С.М., Богданцев Е.Н. Предельные теоремы для одного класса вложенных полумарковских процессов. Кибернетика, 1981, Ш 5, с.90-96.

16. Броди С.М., Погосян И.А. Вложенные стохастические процессы в теории массового обслуживания. Киев: Наукова думка, 1971. - 128с.

17. Бусленко Н.П., Калашников В.В., Коваленко И.Н. Лекции по теории сложных систем. М.: Сов.радио, 1973. - 440с.

18. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов, -М.: Наука, 1973, т.2. 639с.

19. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977.

20. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.Ю., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. М.: Наука, 1965. - 524с.

21. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966. - 431с.

22. Гнеденко Б.В., Козлов Б.А., Ушаков И.А. О роли и месте теории надежности в процессе создания сложных систем. -В кн.: Теория надежности и массовое обслуживание. М.: Наука, 1969, с.14-32.

23. Гнеденко Б.В., Соловьев А.Д. Одна общая модель резервирования с восстановлением. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1974, Л 6, C.II3-II8.

24. Гнеденко Б.В., Соловьев А.Д. Оценка надежности сложных восстанавливаемых систем. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1975, № 3, с.121-128.

25. Гусейнов Б. Условия представимости характеристик сложных систем массового обслуживания в заданных классах аналитических выражений: Автореферат дис. . канд.физ.-мат.наук.-М. , 1973. Юс.

26. Ежов И.И. Цепи Маркова с дискретным вмешательством случая, образующим полумарковский процесс. Укр.матем.журн., 1966, 18, № I, с.48-65.

27. Ежов И.И. Эргодическая теорема для вероятностных процессов с полумарковским вмешательством случая. Укр.матем.журн., 1968, 20, Ш 3.

28. Зайцев В.А., Соловьев А.Д. Резервирование сложных систем.-Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1975, № 4, с.83-92.

29. Збырко М.Д., Кузнецов В.Н., Турбин А.Ф. О полумарковской модели для анализа надежности систем с восстаналиваемой защитой. Автоматика и телемеханика, 1980, В 4, с.175-185.

30. Коваленко И.Н. Анализ редких событий при оценке эффективности и надежности систем. М.: Сов.радио, 1980. - 208с.

31. Коваленко И.Н. Исследования по анализу надежности сложных ' систем. Киев: Наукова думка, 1975. - 209с.

32. Коваленко И.Н. Некоторые вопросы теории надежности сложных систем. В кн.: Кибернетику на службу коммунизму. М.: Энергия, 1964, 2, с.194-205.

33. Коваленко И.Н. О некоторых классах сложных систем. 4.1. -Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1964, № 6, с.3-9.

34. Коваленко И.Н. О некоторых классах сложных систем. Ч.П. -Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1965, № I, с.14-20.

35. Коваленко И.Н. О некоторых классах сложных систем. Ч.Ш. -Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1965, 3, с.З-П.

36. Коваленко И.Н. Об оценке надежности сложных систем. -вопросы радиоэлектроники. Сер. ХП, 1965, 9, с.50-68.

37. Коваленко И.Н. Об условии независимости стационарных распределений от вида закона распределения времени обслуживания. В сб.: Проблемы передачи информации, вып.II, 1963.

38. Козлов Б.А., Удпаков И.А. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики. М.: Сов.радио, 1975. - 472с.

39. Козлов В.В. Предельная теорема для одной системы массового обслуживания. Теория вероятностей и ее применения, 1978, 23, В I, с.190-195.

40. Кокс Д., Смит У. Теория восстановления. М.: Сов.радио, 1966. - 300с.

41. Королюк B.C. Время пребывания полумарковского процесса в фиксированном подмножестве состояний. Укр.матем.журн., 1965, 7, J6 3, с.123-128.

42. Королюк B.C. Об асимптотическом поведении времени пребывания полумарковского процесса в подмножестве состояния. -Укр.матем.журн., 1969, 21, J& 6, с.842-845.

43. Королюк B.C. Укрупнение сложных систем. (Методологические аспекты). Кибернетика, 1977, I, с. 129-132.

44. Королюк B.C., Лебединцева Е.П. Предельная теорема для времени пребывания полумарковского процесса в подмножестве состояний. -Укр.матем.журн., 1978, 30, 1'5, с.671-674.

45. Королюк B.C., Томусяк А. А. О некоторых стационарных характеристиках полумарковских процессов. Кибернетика, 1971,5, с.65-68.

46. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Математические основы фазового укрупнения сложных систем. Киев: Наукова думка, 1978. -217с.

47. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их приложения. Киев: Наукова думка, 1976. - 181с.

48. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. Киев: Наукова думка, 1982. - 236с.

49. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Фазовое укрупнение сложных систем. Киев: Вшца школа, 1978. - 110с.

50. Кузнецов В.Н. О полумарковской модели для нагруженного дублирования. Кибернетика, 1980, № 4, с.91-98.

51. Кузнецов В.Н. Полумарковские процессы с произвольным множеством состояний в задачах анализа надежности сложных восстанавливаемых систем: Автореф.дис. . канд.физ.-мат.наук.-Киев, 1981. 13с.

52. Кузнецов В.Н., Турбин А.Ф., Цатурян Г.Ж. Полумарковские модели восстанавливаемых систем. Киев, 1981. - 44с. -(Препринт/АН УССР. Ин-т математики; 81-11).

53. Кузнецов Н.Ю. Некоторые результаты по асимптотическому анализу надежности сложных систем. В кн.: Теория сложных систем и методы их моделирования. Киев: Ж АН УССР, 1980, с.72-77.

54. Кузнецов Ю.Н. Предельное распределение первого момента наступления редкого события в системе, описываемой независимыми альтернирующими процессами восстановления. Докл. АН УССР, 1979, № 5, с.329-334.

55. Лебединцева Е.П. Асимптотическое поведение некоторых характеристик надежности резервированной системы с быстрым восстановлением. В кн.: Исследования по теории случайных процессов. - Киев: ИМ АН УССР, 1976, с.89-93.

56. Марьянович Т.П. Обобщение формул Эрланга на случай, когда приборы могут выходить из строя и восстанавливаться. -Укр.матем.журн., I960, 12, № 3.

57. Наконечный А.Н. К асимптотическому анализу надежности одного класса сложных систем с переменным режимом использования. -Киев: ИК АН УССР, 1981. 15с. - Рукопись депонирована в ВИНИТИ, 1981, В 2075 ^ 81 Деп.

58. Наконечный А.Н. Оценки вероятности пересечения траекторий минимума независимых неоднородных цепей Маркова и полумарковского процесса. Киев: Ж АН УССР, 1982 - 19с. - рукопись депонирована в ВИНИТИ 26.04.82, J& 2026 - 82 Деп.

59. Наконечный А.Н. Оценки надежности частично восстанавливаемых систем с переменным режимом использования. Кибернетика, 1983, № 6, с.114-120.

60. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. - 309с.

61. Овчинников В.Н. Об асимптотическом поведении момента первой потери требования при обслуживании, зависящем от сос -тояния системы. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1976, Л 6, с.114-121.

62. Падерно И.П., Усачев В.А., Худяков Л.Ю. Надежность сложных судовых систем. I.: Судостроение, 1977. - 192с.

63. Погосян И.А., Цатурян Г.Ж. Модель анализа структурной надежности технических систем. В кн.: Идентификация и диагностика электронных устройств и систем. Киев:;Наукова думка, 1981, с.7-13.

64. Рябинин И.А. Основы теории и расчета надежности судовых электро-энергетических систем. Л.: Судостроение, 1971. -456с.

65. Рябинин И.А., Рубинович В.Д. О влиянии типа законов распределения времени исправной работы и времени восстановления на характеристики надежности резервированной системы. В кн.: Теория надежности и массовое обслуживание. - М.: Наука, 1969, с.46-54.

66. Севастьянов Б.А. Эргодическая теорема для марковских процессов и ее приложение к телефонным системам с отказами. -Теория вероятностей и ее применения, 1957, II, № I, с.106-116.

67. Сильвестров Д.С. Полумарковские процессы с дискретным множеством состояний. М.: Сов.радио, 1980. - 272с.

68. Соловьев А.Д. Асимптотическое поведение первого наступления редкого события в регенерирующем процессе. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1971, J& 6, с.79-89.

69. Соловьев А.Д. Основы математической теории надежности (Материалы лекций, прочитанных в Политехническом музее на семинаре по надежности и прогрессивным методам контроля качества продукции). Вып.1 М.: Знание, 1975, - 64с.

70. Соловьев А.Д. ^асчет и оценка характеристик надежности. -М.: Знание, 1978. 52с.

71. Соловьев А.Д. Резервирование с быстрым восстановлением. -Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1970, $ I, с.56-70.

72. Соловьев А.Д., Зайцев В.А. Резервирование с неполным восстановлением. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1975, № I, с.72-76.

73. Ушаков И.А. О вычислении среднего стационарного времени пребывания полумарковского процесса в подмножестве состояний. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1969, $ 4, с. 62-65.

74. Франкен П. Кениг Д., Арндт У., Шмидт Ф. Очереди и точечные процессы. Киев: Наукова думка, 1984.

75. Худяков Л.Ю. Исследовательское проектирование кораблей. -Л.: Судостроение, 1980. 240с.

76. Черенко А.П. Теоремы существования дня полумарковских процессов с произвольным множеством состояний. Матем.заметки, 1974, № 3, с.621-630.

77. Шахбазов А.А. Оценка надежности сложной системы с быстрым восстановлением в нестационарном режиме. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, X98I, $ I, с.77-85.

78. Шпак В.Д. Марковские процессы восстановления с внешними переходами, образующими полумарковский процесс. Киев, 1973. - 57с. - Препринт/АН УССР. Ин-т кибернетики; 73-37).

79. S e&bhn^ P. ^ZaJ^A T c^ ct^OJi^uJi^stxst7 '■{-'г-еья^ iHtb^to, jjezisc-e. — Ръ^&с.

80. Лоисс^Л, ff. A, eCt'STM'-^ -tAbDVUrVtylostf. ^^ If, Ay P• W* ' Y1. Pu^U, P. ^tvtAw^A/? Л. Ж^

81. Un. -TricAstil. №&, ' Pz^&zxagy p. ffO-cTS-Q