Пороговые явления в квантовой механике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

САНКТ -ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Пороговые явления в квантовой механике

01.04.16 - Физика атомного ядра и элементарных частиц

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

Гриднев Дмитрий Константинович

7 НОЯ 2013

Санкт-Петербург - 2013

005537069

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Государственном Университете.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор научно-исследовательского института ядерной физики МГУ Блохинцев Леонид Дмитриевич

доктор физико-математических наук, профессор Санкт-Петербургского государственного университета телекоммупгжаций им. проф. М.А.Бонч-Бруевича Савушкин Лев Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой вычислительной физики Санк-Петербургского Государственного Университета Яковлев Сергей Леонидович

Ведущая организация:

НИЦ Курчатовский Институт, ФГБУ Петербургский Институт Ядерной Физики им. Б. П. Константинова

Защита состоится » _2013 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.16 при Санкт-Петербургском Государственном Университете, по адресу: 199004, Россия, Санкт-Петербург, Средний Проспект В. О., д. 41/43 мультимедийная ауд. 304 С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ. Автореферат разослан «-»-2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета /гу / Власников А. К.

(¿04--

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена анализу пороговых явлений, возникающих в задачах, описываемых квантовой механикой. Термин "пороговый" в настоящем контексте означает, что речь идет об описываемом уравнением Шредингора связанном состоянии частиц, энергия которого близка к границе сплошного спектра, за которой возможен развал системы. Подобные состояния возникают в широком круге проблем квантовой теории. В ядерной физике, в частности, речь может идти о том, какие комбинации протонов и нейтронов создают стабильное ядро. В атомной и молекулярной физике — какие комбинации заряженных частиц разного сорта могут создавать стабильные молекулы и экзотические ионы. Всякий раз, при приближении к границам стабильности в подобных задачах, будут возникать слабосвязанные состояния с энергией близкой к порогу диссоциации (развала). Помимо вопроса о стабильных комбинациях частиц также немаловажно знать, как ведут себя волновые функции молекул, атомов, ядер, когда они описывают слабосвязанный объект.

Обнаружение в 1985 году И. Танихата стабильных ядер открыло новую главу в ядерной физике. Выяснилось, что данные слабосвязанные ядра обладают очень большой пространственной протяженностью нуклонной плотности, сравнимой с 208РЬ, который содержит в 34 раза больше нуклонов. Дальнейшие современные исследования показали, что можно ожидать множество подобных ядер вблизи границы стабильности. Исследование границ стабильности и поведение волновых функций вблизи них является современной и исключительно важной фундаментальной проблемой.

Проблема стабильности частиц, взаимодействующих посредством куло-новских сил, является непростой даже в случае, когда число частиц равно трем или четырем. Вариационные методы, как известно, могут лишь точно

предсказать стабильность, но иногда весьма трудно с уверенностью судить о возникающей нестабильности, поскольку любое увеличение числа базисных функций делает уровень энергии ниже. Ситуация усугубляется тем, что зачастую возле порога волновые функции растекаются в пространстве. Поясним это на примере. Для случая частиц с зарядами {+1,-1,-1} стабильность зависит исключительно от соотношения масс в системе и можно построить так называемую диаграмму стабильности1, где стабильные системы ограничены кривой стабильности. Около этой кривой энергия отделения одной из частиц стремится к нулю, при этом волновая функция "размазывается" по всему пространству вблизи порога, и в таких случаях вариационные подсчеты носят очень приближенный характер. В наши дни в лабораториях производится большой набор разных заряженных частиц, из которых строятся экзотические молекулы и атомы. Данные объекты могут иметь теоретическое и прикладное значение. Для построения таких систем понимание принципов стабильности является критическим.

При этом самым надежным является аналитический подход, основанный на математически строгих построениях. Помимо точности получаемых результатов, такой подход позволяет лучше понять механизм образования и распада экзотических молекул. Среди доказательств нестабильности систем из трех зарядов наиболее простым и наглядным представляется доказательство Тирринга2, которое является математически строгим и не требует численных расчетов. Тирринг рассматривал экзотический отрицательный ион водорода, в котором масса ядра принималась равной бесконечности. Тирринг показал, что отрицательный ион будет нестабильным, если к атому водорода присоединить отрицательную частицу массой в ж раз больше электрона. Более поздний анализ1 показывает, что константу 7г можно заменить меньшей

1 А. Martin, J.M. Richard шк1 Т.Т. Wu// Phys. Rcv. А48, 3697 (1992)

2 W. Tinning, Lehrbuch <¡er Mathematischen Physik, Springer-Verlag/Wien 1994, vol. 3

константой 1.57.

Стабильность четырех-частичных кулоновских систем тп^тпотп^т^ исследовалась во многих работах34, как численно, так и с использованием строгих аналитических методов (т* означает частицу массы т с зарядом ±е соответственно, где е заряд электрона). Под стабильностью здесь понимается существование связанного состояния, лежащего ниже всех порогов диссоциации. Помимо традиционных для молекулярной физики протонов и электронов можно использовать самые разные частицы, такие как мюоиы, каоиы, дейтроны, а также разные античастицы. На сегодняшний день можно таким образом говорить о потенциально возможных 406 различных комбинациях. В наше время наблюдается повышенный интерес к производству в лабораториях антиматерии. Важным начальным шагом на пути таких исследований стало создание атома антиводорода0, состоящего из антипротона (р) и позитрона (е+). Совсем недавно ученые обнаружили антигелий, состоящий из двух антипротонов и двух позитронов 6. Успехи эксперимента заставляют еще раз обратить внимание па взаимодействие материи и антиматерии. Зная, что существует молекула водорода (ее стабильность была строго математически доказана в 7), естественно задаться вопросом о существовании молекул водород-антиводород Н-Н (отрицательный ответ на этот вопрос получен в диссертации).

В ядерной физике один из главных вопросов — какие комбинации нейтронов и протонов могут создать стабильное ядро. Если построить каргу известных на сегодняшний день ядер8, откладывая по оси X число нейтронов, а по оси У число протонов, то значительное число стабильных изотопов

3 D. Brcssanini, М. Mella and G. Morosi/./ Ply's. Rev. A 55, 200 (1997);

4 Т.К. Ребапе// Ядерная Физика, 75 стр. 491-499 (2012)

5 М. Ainoretti et.al.// Nature 419, 456 (2002)

" The STAR Collaboration 2011// Nature 473, 353 (2011)

7 J.M. Richard, J. Proehlich, G.M. Graf, M. Seifert// Phys. Rev. Lett. 71 1332-1334 (1993)

8 T. Baumann et al.// Nature 449, 1022 (2007)

по-прежнему остаются неизведанной "терра инкогнита". Удаляясь от стабильных ядер путем добавления протонов или нейтронов мы приближаемся к так называемым линиям отрыва нуклонов, за пределами которых ядра становятся не связанными. За пределами этих линий ядра стремятся избавиться от "лишних" нуклонов и вернуться в стабильные пределы: иначе говоря, за пределами этих линий сильное взаимодействие не в состоянии образовать связанное состояние нуклонов.

Еще не открытые части карты нуклидов могут помочь ответить на некоторые вопросы, имеющие фундаментальное значение: Каких пределов в числе нуклонов и протонов могут достичь стабильные ядра? Каковы свойства ядер с экстремальным соотношением N/Z, где N число нейтронов, a Z число протонов? Ядра, удаленные от границы стабильности имеют свойства, отличные от ядер вдоль линии стабильности: здесь могут наблюдаться изменения магических чисел, существенное увеличение размера ядер, сильные скачки деформации и многие другие интересные структурные явления. Остается открытым интересный вопрос, касающийся существования острова стабильности сверхтяжелых элементов, а также стабильность большого числа нейтронов 9. Относительно недавний эксперимент8 позволил обнаружить новые квадраты на карте нуклидов, а именно стабильные изотопы 40Mg и 42А1. Достаточно точные расчеты ядер вблизи границ стабильности получаются с применением метода Хартри-Фока с силами Скирма. Данный метод получил широкое распространение, начиная с известных работ Вотерина и Бринка10, где силы Скирма были успешно использованы для описания сферических и деформированных ядер. Нуклонное спаривание учитывается при этом методом БКШ. Широкое распространение в настоящее время получил метод

9 Легкие и промежуточные ядра вблизи границ иуклоиной стабильности, А. И. Базь, В. И. Голь-данский, В. 3. Гольдберг, Я. Б. Зельдович, Москва "Наука" (1972)

10 D. Vauthcrin and D. М. Brink// Phys. Rev. С 5 626 (1972)

Хартри Фока Боголюбова, где спаривание учитывается более естественным способом11. Данные методы достаточно достоверно предсказывают энергии отделения одного или нескольких нуклонов, что позволяет точно оценить границы протонной и нейтронной стабильности на карте нуклидов. По разные стороны от границы энергия отделения одного или двух нейтронов меняет знак. Особенно интересно понять общие закономерности поведения границ стабильности, а именно, насколько они монотонны, могут ли они выгибаться, образовывая полуострова стабильности. Данный вопрос тщательно исследуется в диссертации, где показывается возможность существования полуостровов за счет оболочечных эффектов.

Во многих задачах ядерной, атомной и молекулярной физики крайне важно качественное понимание поведения волновой функции системы, которая описывает связанное состояние, но близка к энергетическому порогу, соответствующему развалу системы. Прежде всего, речь может идти о размере, достигаемом системой. Среди многочисленных примеров слабо связанных систем в можно отрицательные атомные и молекулярные ионы, 12, Ефимовскис состояния. В настоящее время в атомной и ядерной физике наблюдается повышенный интерес к системам, имеющим необычно большую пространственную протяженность, что проявляется в образовании так называемого нейтронного гало. Под понятием "гало" 13 обычно понимается, что существует значительная вероятность нахождения частицы в классически запрещенной области. Данное определение можно также переформулировать, говоря, что усредненные расстояние между частицами могут существенно превосходить радиус взаимодействия между частицами. Интерес к подобным системам зародился с открытия гало-образных легких атомных ядер, постепенно данная кон-

11 М. V. Stoitsov et a!.// Phys. Rev. С 68, 054312 (2003)

12 Н. Hogrove// J Phys. В 31, L439 (1098)

13 A. S. Jensen, K. Riisager, and D. V. Fedorov// Rev. Mod. Phys. 76 215 (2004)

цепция утвердилась в атомной и молекулярной физике13. Типичный пример гало-образной системы представляют собой слабо связанные ядра еНе и nLi, где наблюдается четкая трех.....частичная структура, состоящая из хорошо связанного кластера (ядра 4Не и 9Li соответственно), а также двух нейтронов. Данные ядра, рассматриваемые как трехчастичные системы обладают так называемым Борромеальным свойством: если одну из трех "частиц" удалить, то оставшиеся две частицы не образуют связанного состояния и распадаются. Эффективный размер таких систем намного больше чем у нормальных стабильных ядер, имеющих примерно ту же массу. Численные расчеты 14 продемонстрировали, что для воспроизведения гало критически необходим низко-лежащий резонанс во взаимодействии двух нейтронов. Даже такая "наивная" модель динешпропа, где два нейтрона описываются как одна частица эффективно применяется и по сей день.

Для поведения размера связанного состояния по мере приближения к порогу развала можно указать две ключевые возможности. Первая состоит в том, что вероятность найти все частицы в заданном объеме пространства стремится к нулю, что в свою очередь влечет бесконечное увеличение размера системы. Подобное поведение можно наблюдать в ридберговской серии уровней атома, где электрон все дальше и дальше удаляется от ядра (относительно недавно был проведен эксперимент, где атом Калия достигал15) размера в 1мм; также можно упомянуть двухатомный гелий 16 или галообразные ядра °Не и nLi. Вторая возможность состоит в том, что вероятность найти частицы в ограниченной части пространства остается конечной, что в конечном счете ведет к образованию связанного порогового состояния, из определения которого ясно, что энергия данного состояния совпадает с нижней

U M.V. Zhukov et al.// Phys. Ilcp. 231, 151 (1993)

15 J. J. Mestayeref al.// Phys. Rev. Lett. 100, 243004 (2008)

ie F. Lou, C.F. Gieseand W.R. Gentry// J. Cliem. Phys. 104, 1151 (1996)

гранью сплошного спектра. В таком случае размер системы остается конечным. (Математически данное явление называется поглощением собственного значения).

Напомним, что в ядерной физике гало образуются, как правило, на линии отрыва нейтронов. Протонные гало (гораздо слабее нейтронных) существуют только в очень легких ядрах, обладающих малым зарядом 17. Оказывается, отталкивающий дальнодействующий кулоновский потенциал создает непроходимый барьер, который мешает волновой функции растекаться. В многочастичиом случае это происходит по аналогии с двухчастичным случаем 18. Ключевой объект анализа в атомной физике - система, состоящая из ядра с зарядом Z и Ne электронов, энергию основного состояния которого обозначим E(Z, Ne). Когда Z = Ne получается атом, а в случае Z < Ne система представляет собой отрицательный ион. Заряд ядра Z„ называется критическим, если E{Zcr, Ne) = E(Zcr, Ne-1) и E(Z, NE) < E(Z, Ne-l) для Z > Zcr. Известно19, что Z„ < Ne - 1. Строгое доказательство существования критического заряда обсуждается в работах20. Либ21 показал, что Zcr > Ne/2, а в работе22 доказывается, что ZeT/Ne 1 при Nc оо (ядро в этих случаях предполагается бесконечно тяжелым). Существует предположение, на данный момент не опровергнутое экспериментом, что Zcr е (Nс — 2, N,, - 1] для всех элементов периодической системы23. В диссертации дается строгое доказательство того факта, что волновая функция не растекается при Z Zcr, и при этом образуется связанное состояние с энергией равной энергии порога.

17 P. G. Hansen// Nucí. Phys. А 553, S9c (1993)

18 D. Bolle, F. Gesztesy and W.Schweiger// J. Math. Phys 26, 1661 (1985)

10 G. M. Zhislin// Trudy Mosk. Mat. ОЬ5й. 9, p. 81 (1960)

20 M. B. Ruskai// Comm. Math. Phys. 82, p. 457 (1982); I. M. Sigal// Annals of Physics 157, pp. 307-320

(1984)

21 E. II. Lieb// Phys. Rev. A 29, 3018 (1984)

22 E. H. Lieb et a!.// Phys. Rev. Lett. 52 994 (1984)

23 B. Simon, Schrödinger operators in the twenty-first century, Imperial College Press, London, pp. 283-288 ( 2000)

В 1970 В. Ефимов предсказал24 удивительное, противоречащее всем интуитивным представлениям явление, теперь называемое эффектом Ефимова. Данное явление можно описать следующим образом. Пускай трехчастичный Гамильтониан H не имеет отрицательного существенного спектра, но хотя бы две из трсхчастичных подсистем обладают резонансом при нулевой энергии. Тогда Я обладает бесконечным числом связанных состояний с отрицательной энергией. При этом парные взаимодействия могут иметь конечный радиус действия. С одной стороны, предсказанный эффект находился в противоречии с общими представлениями того времени, когда предполагалось, что только дальнодействующие потенциалы могут обеспечить бесконечное число уровней (как это происходит в случае ридберговской серии в атомах). С другой стороны, это частично объясняло, почему в математических формулировках условий, обеспечивающих конечность дискретного спектра, необходимо было избегать резонансных взаимодействий. Первый набросок математического доказательства эффекта Ефимова было дано JI. Д. Фадеевым вскоре после того как В. Ефимов рассказал ему о своем открытии. Первое опубликованное доказательство, не без изъянов, появилось в 25. Позже26 Д. Р. Яфаев основываясь на идее Фадцеева представил полное математическое доказательство; в статьях27 можно найти доказательства, использующие другие методы. Первоначальный аргумент Фадцеева и вывод спектральной асимптотики в случае трех одинаковых части можно найти в книге 28. Спектральная асимптотика в случае частиц с неодинаковой массой обсуждается в 2Э. Экспе-

24 V. Efimov// Phys. Lett. В 33 563 (1970)

-5 Е. D. Amado, J. V. Noble,// Phys. Rev. D 5, 1992 (1972)

20 Д. P. Яфаев// Математический Сборник 23, 535 (1974)

27 Yu.N. Ovchinnikov, I.M. Siguí// Annals of Physics 123, 274-295 (1979); H. Tamura// J. Funct. Anal. 95 433 (1991)

28 С. П. Меркурьев, JI. Д. Фаддеев, Квантован теория рассеяния для систем, нескольких частиц,

Издательство М. Наука, 1998

29 А. V. Sobolcv// Commun. Math. Phys. 156, 101 (1993)

рименталыто эффект был подтвержден лить в 2005 году30. В ядерной физике также ведется поиск ефимовских состояний, наиболее вероятным кандидатом считается31 ядро 2ПС.

После того, как эффект Ефимова был доказан для трехчастичного случая, исследователи немедленно заинтересовались его самым прямым обобщением, а именно случаем четырех бозонов, у которых отсутствует отрицательный сплошной спектр. Амадо и Гринвуд в работе32 утверждали, что доказали невозможность эффекта Ефимова для N > 4 бозонов. Для четырех бозонов позже было получено численное подтверждение данного утверждения. Здесь теория натыкается на еще одну странность: каким-то образом получается, что данный эффект может существовать исключительно для трех бозонов, ни больше ни меньше. Аргументы, представленные в работе Амадо Гринвуда, являются ошибочными, несмотря на правильность предсказываемого результата. В настоящей работе мы дадим строгое доказательство предположения Амадо Гринвуда.

Целью диссертационной работы является анализ пороговых явлений в задачах ядерной и атомной физики, связанных со стабильностью многочастичных конфигураций, а также с поведением волновых функций и спектра вблизи порога.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Впервые с помощью вариационных методов получены условия, гарантирующие нестабильность четырех заряженных частиц.

2. Впервые для многих нестабильных нейтронноизбыточных ядер показана возможность восстановления стабильности за счет добавления необ-

30 Т. Кгасшсг et.al.// Nature 440, 315 (2006)

31 I. Mazumdar, A. R. P. Ran, and V. S. Bhasin// Phys. Rev. Lett. 97, 062503 (2006)

32 R. D. Amado, F. C. Greenwood, Phys. Rev. D 7, 2517 (1073)

ходимого числа нейтронов.

3. Разработан строгий метод анализа волновых функций вблизи порога, основанный на понятии "растекающейся" последовательности функций.

4. Впервые доказана возможность существования порогового основного состояния в многочастичной системе с короткодействующими потенциалами.

5. Впервые доказано, что полностью растекающиеся волновые функции в системе трех частиц возможны только при наличии нулевого резонанса как минимум в одной из пар частиц.

6. Доказано, что угловое распределение полностью растекающейся волновой функции трех частиц задается универсальной формулой, не зависящей от природы парных взаимодействий. Впервые показано, что динейтронный пик в гало-ядрах описывается этим распределением.

7. Представлен метод анализа двухчастичных функций Грина для задач с отталкивательным потенциалом. С помощью разработанного метода функция Грина оценивается сверху и снизу поточечно, причем данные оценки становятся асимптотически точными, когда один из аргументов функции стремится к бесконечности. Данный метод позволяет строго вычислять асимптотическое поведение волновых функций пороговых состояний.

8. Доказана теорема, объясняющая невозможность формирования протонного гало для ядер с большим Z, а также предсказывающая существование связанного порогового состояния для ядер и отрицательных ионов атомов, если заряд ядра становится критическим.

9. Разработан принцип Бирмана Швингсра в абстрактной форме, позволяющий связать операторы Бирмана Швингера для системы с помощью таких же операторов для подсистем.

10. Впервые получено строгое доказательство гипотезы, гласящей, что эффект Ефимова возможен только для трех бозонов, ни больше ни меньше.

Практическая значимость. Для экзотических молекул, состоящих из трех и четырех частиц указаны необходимые условия стабильности, что облегчает практический поиск таких систем. Предсказаны новые стабильные нейтронноизбыточные изотопы. Предсказывается возможность создания связанных состояний трех атомов, имеющих большую пространственную протяженность в основном состоянии. Получена формула, описывающая волновую функцию такого состояния (формула является точной в пределе полного растекания), а также угловое распределение частиц.

Результаты и положения, выносимые на защиту.

1. Найдены необходимые условия стабильности для трех заряженных частиц, обладающих конечной массой, где под стабильностью понимается существование связанного состояния.

2. Найдены необходимые условия стабильности для четырех заряженных частиц, обладающих конечной массой, где под стабильностью понимается существование связанного состояния. В частности, дается строгое доказательство нестабильности молекулы водород-антиводород, состоящей из протона, антипротона, электрона и позитрона.

3. Методом Хартри-Фока с силами Скирма исследована стабильность разных изотопов с большим числом нейтронов. Предсказало существование

полуостровов стабильности и сверхмассивных стабильных изотопов урана.

4. Исследовано поведение волновых функций вблизи порога в двухчастичной задаче, где во взаимодействии наличествует дальнодействующее отталкивание. Получены строгие и асимптотически корректные оценки функций Грина и волновых функций.

5. Получено строгое математическое доказательство того, что отрицательные ионы атомов имеют связанное пороговое состояние, если заряд атома становится критическим.

0. Исследовано пороговое поведение волновой функции в трехчастичной задаче. Получены строгие условия существования связанных пороговых состояний.

7. Доказано существование в трехчастичной системе несвязанных пороговых состояний, если отсутствует отрицательный сплошной спектр, а хотя бы одна пара частиц имеет резонанс при нулевой энергии.

8. Получено явное универсальное выражение угловой плотности распределения трех частиц в случае, когда за счет изменения констант связи, основное состояние полностью растекается. Данное выражение повторяет распределение так называемого двухнейтронного пика, наблюдаемое в ядрах со структурой двухнейтронного гало. Предсказано существование подобных состояний в атомной и молекулярной физике.

9. Получено новое короткое доказательство теоремы Жислина-Вугальте-ра о конечности дискретного спектра в многочастичной задаче.

10. Получены новые условия конечности дискретного спектра в многочастичной задаче. В качестве одного из следствий данного результата, по-

14

лучено строгое доказательство того факта, что эффект Ефимова невозможен в случае четырех и более бозонов.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в известных международных реферируемых журналах. Результаты докладывались

— на научных семинарах кафедры ядерной физики Санкт-Петербургского государственного университета в 2002-2012 г.г.;

— На научных семинарах в университетах Франкфурта на Майне, Касселя, Кайзерслаутсрн в Германии в 2006-2012 г.г.;

— на международной конференции "Workshop on Quantum Few-Body Systems" в Архусе, Дания, Март 19-20 2007;

— на международной конференции "Workshop on Critical Stability" в Эриче, Италия Октябрь 19-20 2008. ;

.......на международной конференции "Symposium on Exciting Physics", Макутси,

Юар, Ноябрь 13-20 2011;

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 21 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения 5 глав, разбитых на параграфы (нумерация параграфов подчинена нумерации глав, нумерация теорем подчинена нумерации параграфов), заключения и списка литературы. Полный объем диссертации - 241 страница, библиография включает 201 наименования, из которых 21 - публикации автора по теме диссертации.

Содержание работы

Во Введении Во введении содержится формулировка результатов диссертации; представлены результаты, предшествующие появлению работы, да-

15

ется краткое содержание глав.

В первой главе, в §§1.1-1.3 вводятся необходимые термины и исследуется задача стабильности трех частиц с зарядами {1,-1,-1}. Под стабильностью системы, описываемой Гамильтонианом Я мы всегда будем понимать существование связанного состояния ниже границы сплошного спектра, которую мы будем обозначать как inf aess{H). Известно, что три частицы с зарядами {1 + £,-1,-1}, взаимодействующие исключительно посредством кулоновских сил, при любом е > 0 образуют стабильную систему, независимо от значений масс частиц. При е = 0 ситуация резко меняется, и из-за эффекта экранировки не все системы остаются стабильными. Типичный пример в этом отношении представляет собой мюонный ион водорода р[Ге~, где мюон, обращающийся рядом с протоном экранирует заряд так, что система распадается. При этом ре~е~ имеет связанное состояние ниже порога (ровно одно), то есть является стабильным. Данный факт был доказан строго в работе33.

Осуществляя "проекцию" задачи на пространство, где атом всегда находится в основном состоянии, позволяет свести проблему к задаче, где третья частица движется в поле образованном двумя другими частицами, находящимися в основном состоянии. И вопрос связанности трех частиц сводится к вопросу о связанности данных частицы в эффективном поле двух других. В случае конечных масс проектор на связанное состояние атома не коммутирует с парным взаимодействием третьей частицы и ядра.

Пускай mi, qit г, е R3 обозначают массы, заряды и вектора местоположения частиц i = 1,2,3. Мы выбираем заряды следующим образом qi = +1, И д2,3 = -1. Тогда взаимодействия между частицами принимают вид Vik = qifjk/\n - г*|. Мы пронумеровываем частицы таким образом, что частицы {1,2} соответствуют самому низко лежащему порогу развала. Мы пользуем-

33 R.N. Hill// J. Math. Pliys. 18, 2316 (1977)

ся системой единиц в которых Н = 1. Для того, чтобы отделить движение центра масс мы пользуемся координатами Якоби. Обозначим х = гх — г2 и у = Г3—Г1+ях, где безразмерный параметр а имеет вид а = 777.2/(7711+7712). Соответствующие координатам Якоби импульсы принимают вид рх_у = —гУХ!(. Введем обозначения приведенных масс Якоби цх = ?тг1т2/(т1 + т2) и цу = тз(тх + 77г2)/(т1 + т.ъ + 7?г3). Умножение всех масс на постоянный коэффициент не влияет на стабильность или нестабильность.

Система нестабильна, если цу/ц* < (11 - 2л/То)/27 ~ 0.1732. Полученный результат более чем достаточен для доказательства нестабильности таких систем как рр~е~ или ц~ре+ (достаточно просто подставить массы в условие стабильности). Подчеркнем также, что полученное условие является физическим. Обе приведенные массы Якоби определяют длину воровского радиуса для двух орбит: орбиту относительного движения частиц {(1,2} и орбиту движения третьей частицы вокруг центра масс и в поле, создаваемом частицами {(1, 2}. Если орбита пар частиц мала по сравнению со второй орбитой, то возникает эффект экранировки (третья частица "видит"только нейтрально заряженный объект) и система становится нестабильной.

В §1.4 рассматривается условие стабильности для четырех частиц, в первую очередь представляет собой интерес молекула водород антиводород. В этом разделе математически доказывается, что такая молекула не может быть стабильной. И дело здесь не только в аннигиляции материи и антиматерии: такая экзотическая молекула но может в первую очередь существовать как кулоновская система. Водород и антиводород распадаются на протоиий (рр) и позитроний (е+е~). В принципе, уже давно предполагалось, что с помощью чисто кулоновских сил невозможно получить связанное состояние молекулы водород-антиводород. Численные расчеты подтверждали3 это предположение, но на нехватку достоверного строго доказательства указывали

многие авторы3435. В этом разделе мы решаем следующие задачи: (1) строгое математическое доказательство нестабильности молекулы водород-антиводород; (2) объяснение принципа экранировки в случае четырех заряженных частиц. Из полученных результатов также следует, что следующие системы не имеют связанных состояний ниже порога диссоциации: рц~е+е~, fj,~е+е~, dpe+e~, ipe+e~ (d,l обозначают дейтрон и тритий соответственно).

Физическая причина нестабильности молекулы Н-Н кроется опять же в экранировке. В предыдущем разделе мы показали, что эффект экранировки в системе трех заряженных частиц выражается через критическое отношение якобиевских масс. Эти массы обратно пропорциональны боровским радиусам орбит: одна орбита соответствует относительному движению пары частиц (двух частиц, энергия связи которых равна нижней границе сплошного спектра), другая орбита отвечает движению третьей частицы в поле, создаваемой данной пары. Если орбита третьей частицы обладает большим радиусом, тогда она "видит" нейтральный объект, поскольку в паре находятся частицы с равновеликим, но разноименным зарядом. В результате система распадается: третья частица покидает систему и остается только связанная пара.

Самый низкий порог распада для нестабильной системы из четырех зарядов (mJ'/m.J,/»3 ,7714 ) ~ это РаспаД на Две нейтральные пары. В самом деле, если предположить, что самый низкий порог распада соответствует распаду на одну частицу и кластер из трех частиц, то тогда два этих объекта будут противоположно заряжены, а как известно, в кулоновском хвосте может поместиться сколько угодно связанных состояний и система будет стабильной. Значит имеет смысл рассматривать только случай, когда самый низкий порог соответствует распаду на две нейтральные пары. По аналогии с трехчастичной

34 E.A.G. Armour and С. Chamberlain// Few-Body Systems 31, 101 (2002);

35 J.-M. Richard// Phys. Rev. A 49, 3573 (1994); Few-Body Systems 31, 107 (2002)

задачей мы рассмотрим три орбиты: две орбиты относительного движения в нейтральных парах и третья орбита относительного движения двух нейтральных пар относительно центра масс. Обозначим приведенные массы Якоби для нейтральных пар как цх ~ т^гпо /{т* + т2~) и цу = т^тгц/{т-1 4- т^). Приведенная масса Якоби соответствующая относительному движению двух пар имеет вид = (тп+ + + + тп2 + тп^ + тщ). Важно,

что мы нумеруем частицы таким образом, что самый низкий порог распада это распад на (т+тп^) + (тп^т^) и частицы упорядочены таким образом, что цх > Цу. Нетрудно проверить, что при таком упорядочении выполняется /<я. >

Теперь сформулируем эффект экранировки, принимая во внимание, что радиусы Боровских орбит обратно пропорциональны приведенным массам Якоби. Условие (1У //д само по себе еще недостаточно для экранировки, система (т*, 1"") стабильна при любых т* и гп^. Трехчастичная си-

стема (т+,1~,1~) всегда стабильна33 и при Шд < 1 мы попадаем в ситуацию, когда цу < ца и /«д те цх и вес равно вся система стабильна. Когда же )1д цх мы вправе ожидать экранировку, потому что в этом случае пара частиц обладает очень короткой внутренней орбитой и остальные

частицы "видят" связанную пару частиц (т+.т^") как нейтрально заряженную, что приводит к развалу системы. Доказывается следующее утверждение цл 13 - 2%/22

— <-—-« 0.067 =>• Нестабильность. (1)

/¿I э4 4 '

Уравнение (1) формулирует условие экранировки в системе четырех частиц. Из (1) легко следует, например, что молекула водорода- антиводорода не имеет связанных состояний и должна распадаться на протоний и позитроний. Мюонные молекулы рц~с+с~, /1+ре+с~ и /л+//.~е+е~ также оказываются нестабильными. Из формулы (1) также следует, что если в системе водород антиводород заменить ядро атома водорода на дейтерий или тритий, то это все

равно не приведет к стабильности. Доказательство (1) строится по тому же принципу, что и условие нестабильности для трех частиц. "Нестабильность" в Ур. (1) означает не только то, что связанного состояния нет ниже границы сплошного спектра, но также и отсутствие оного на самом пороге.

В §1.5 рассматривается стабильность ядер с избытком нейтронов. Стандартный подход при нахождении линии отрыва нейтронов состоит в том, чтобы к стабильному ядру с фиксированным зарядом Z добавлять нейтроны до тех пор, пока ядро не окажется нестабильным и будет путем распада пытаться избавиться от лишних нейтронов. Характерно, что данный метод подразумевает такое поведение линии отрыва нейтронов, при котором каждая линия, соответствующая постоянному числу протонов пересекает линию отрыва нейтронов лишь однажды. В работах [А9]-[А22] было показано, что структура линии отрыва нейтронов может быть сложнее. А именно, в окрестности "магических" чисел (или искаженных "магических" чисел) может происходить следующее. В некоторый момент, ядро, получая новые нейтроны теряет стабильность. Но при добавлении еще некоторого числа нейтронов стабильность восстанавливается. Это приводит к образованию так называемых полуостровов стабильности.

Детальный анализ данного явления был предпринят в работах [А9]-[А22], где были исследованы изотопы следующих элементов РЬ, Аг, Кг, Ип, Сс1, Ва, Б, и т. д. При этом в данных работах основной упор делался на поиске полуостровов стабильности и исследовании свойств ядер, лежащих на данных островах. Достоверные расчеты ядер проводились с помощью метода

Хартри.....Фока с силами Скирма. Детальное описание метода можно найти в

[А16].

Полуострова стабильности формируются вокруг "магических" чисел нейтронов или около искаженных магических чисел. Полуострова стабильности вытянуты вдоль линии Z, сужаясь к своему основанию. Было установлено,

что во всех случаях образования полуостровов стабильности работает один и тот же механизм. Когда нейтроны добавляются к нестабильному ядру это меняет эффективный потенциал таким образом, что полностью заполненные подоболочки опускаются из сплошного спектра в область связанных состояний с отрицательной энергией. В диссертации перечисляются найденные стабильные изотопы и и соответствующие подоболочки, ответственные за усиление стабильности; многие из данных изотопов стабильны по отношению к испусканию не только одного, но и двух нейтронов.

В указанных работах рассматривались разные варианты сил Скирма, такие как SLy4, SkM*, SkPII, Ski и т.д. Обнаружено, что те числа нейтронов, при которых образуются полуострова нейтронной стабильности, не зависят от типа сил. Варьируется только степень протяженности полуостровов. Ввиду установленной инвариантности можно с уверенностью говорить о том, что полуострова стабильности представляют собой универсальное качественное явление, присущее линии отрыва нейтронов и возникающее из-за оболочеч-ных эффектов.

Очень тяжелые и стабильные ядра были предсказаны в работе [А22]. Результаты подтверждаются не только расчетами с помощью метода Хартри-Фока с силами Скирма, но и методом релятивистского среднего поля. Получаемые стабильные и сильно нейтронно избыточные ядра представлены в Таблице . Стабильность тяжелых ядер возникает из-за магичности числа нейтронов N=258. Данные тяжелые ядра соответствуют глобальному минимуму полной энергии, если рассмотреть ее зависимость от числа нейтронов.

Отметим также, что плотности ядер становятся очень протяженными вблизи границы стабильности. Можно говорить о том, что вблизи данных ядер образуется нейтронное гало. Для иллюстрации сравним протонные и нейтронные среднеквадратичные радиусы, которые мы обозначим Rp и R» соответственно. Для ядер в центре долины стабильности как правило Я„ -

г N1^2 БкМ* Бк14 81у6

92 258 220 218 206

94 258 230 230 208

96 258 258 230 208

98 258 258 258 218

100 258 258 258 220

102 258 258 258 220

104 258 258 258 232

Таблица 1. Ядра, имеющие максимальную энергию связи для различных Ъ и различных моделей (ЛЬ-М соответствует релятивистскому среднему полю, остальные обозначения соответствуют разным силам Скирма). В крайнем левом столбце задано число протонов, в остальных столбцах записано соответствующее число нейтронов.

Яр ~ 0.1-0.2 фм. В то же время для 40О Яп-Яр ~ 1.29 фм , а Яп/Яр ~ 1.44. Для стабильного 2'!8Сс1 получается Я, - 11р ~ 0.77 фм, а Яп/Я.р ~ 1.14. Аналогично, для 240Ва получается Яп - Яр ~ 0.94 фм и Яг/ЯР ~ 1.17. С учетом мультинейтронного распада, обсуждавшимся выше, в данном случае можно говорить о мультинейтронных гало-ядрах.

Во второй главе исследуется пороговое поведение волновых функций. Сначала проводится доказательство для N = 3, где N число частиц, а в §2.4 полученный результат обобщается на большие N и потенциалы с разным знаком. В §§2.1-2.2 вводятся необходимые термины и формулируется понятие растекающейся последовательности волновых функций. Рассматривается ЛГ-частичный Гамильтониан

Я(Л) = Я0-Л £ (2)

1<»<У<Л'

где Л > 0 константа связи, Я0 оператор кинетической энергии, не включающий движение центра масс, г, € К3 вектора положений частиц. Пред-

22

положим, что для Л в окрестности А(:г 6 (0,оо) существует связанное состояние 1р(\) е £>(Яо) с энергией Е(Х) < Ы аса!1(Н(Х)), так что Е(Х) т£ сгсм(Я(ЛСТ)) когда Л Аст.

Рассмотрим систему частиц с N = 3 и неотрицательными потенциалами. Наложим условие, что все двухчастичные системы не имеют связанных состояний с отрицательной энергией, а также виртуальных уровней с нулевой энергией. Отсюда следует £,г/1Г(А) — 0. Доказывается следующая

Теорема 1. Пускай N = 3 и дана последовательность Хп —> Асг такая, что все двухчастичные системы при А = Ап, А„. не шгеютп связанных состояний с отрицательной энергией, а также виртуальных уровней с нулевой энергией. Пусть ф(А„) является последовательностью связанных состояний с энергиями, приближающимися к порогу снизу. Тогда для п —> оо последовательность %Ь(Хп) не растекается, а также существует пороговое состояние фСТ € £>(Я(1), для которого Н(Хсг)трсг = 0.

Доказательство в сущности базируется на уравнениях Фаддевского типа. Из результатов данной главы следует, что волновая функция не будет полностью растекаться, если нет ни одной пары частиц, имеющих резонанс при нулевой энергии. При отсутствии двухчастичных резонансов будет образовываться связанное пороговое состояние (т. е. квадрат абсолютной величины волновой функции будет интегрируем). Стоит отметить, что связанные пороговые состояния при нулевой энергии связи не спадают экспоненциально в отличие от состояний, отвечающих ненулевой энергии связи. Используя элементарные оценки функции Грина легко показать, что •фдг > Ар 4. где фдГ нормированное основное состояние при нулевой энергии, которое может быть выбрано положительным, А константа, а р гиперрадиус. Результаты, представленные в данной главе, помогают построить общую строгую теорию гало-образных состояний. В следующей главе показывается, что усло-

вис, состоящее в отсутствии нулевых виртуальных уровней в подсистемах существенно.

Стоит заметить, что результат в многочастичном случае отличается от двухчастичого, где при схожих условиях основное состояние при нулевой энергии никогда не может являться связанным [А7]. Хочется особо подчеркнуть, что полученный автором результат, говорящий о том, что виртуальный многочастичный уровень при нулевой энергии в действительности является связанным состоянием, трудно предсказуем и не очевиден. Это прежде всего вопрос расчета, и данный факт имеет далеко идущие физические последствия, особенно, в том, что касается размеров систем в основном состоянии. Также именно этот вывод по сути объясняет отсутствие эффекта Ефимова для N > 4 бозонов.

В §2.4 результаты обобщаются на многочастичный случай. Помимо общей теоремы доказывается следующее утверждение

Теорема 2. Пускай N > 3 и Н(ХСГ) имеет критическую константу связи. Пускай кроме этого //(Ас-) не имеет подсистем, у которых есть связанные состояния с энергией Е < 0, а такэ/се ни одна пара частиц не имеет резонансоо с нулевой энергией. Тогда существует нормированная волновая, функция т/'о £ О (На) такая, что Н(Асг)Фо = 0.

В данном разделе также доказывается так называемая теорема о декла-стсризации. В данной теореме рассматривается система, у которой ни одна из подсистем не имеет связанного состояния с отрицательной энергией. Теорема гласит, что если для системы существует последовательность функций, которая минимизирует функционал энергии и полностью растекается, то расстояние между любой парой частиц для данной последовательности стремится к бесконечности.

В третьей главе рассматриваются резонансы с нулевой энергией в трех-

частичных системах, предыдущей главе было доказано, что критически связанная трехчастичная система обладает квадратично-интегрируемым состоянием с нулевой энергией, если ни одна из двухчастичных подсистем не обладает ни связанными состояниями с отрицательной энергией, ни виртуальными уровнями с нулевой энергией. Естественно возникает вопрос, существенно ли условие отсутствия нулевых виртуальных уровней у двухчастичных подсистем. В этой главе доказывается, что это действительно так. А именно, если хотя бы одна пара частиц обладает резонансом с нулевой энергией, тогда квадратично-интегрируемое основное состояние трех частиц существовать не может.

В §3.3 показывается, что действительно существуют 3 х частичные системы, где двухчастичные подсистемы не связаны, одна из двухчастичных подсистем имеет виртуальный уровень нулевой энергии, а вся трехчастичная система имеет виртуальный уровень с нулевой энергией (волновая функция этого уровня не может быть квадратично интегрируемой). Такого рода системы конструируются путем подбором констант взаимодействия. Константы связи всегда можно подобрать таким образом, чтобы для любых заданных [{, б > 0: (а) сплошной спектр оставался бы неотрицательным; (Ь) а также существовало основное состояние ^(0 соответствующее уровню с отрицательной энергией, где Л'^(£)|2 = 1; (с) 1|{|<д МО!2 < Это будет означать растекание волновой функции вблизи порога.

В контексте гало образных состояний нельзя не упомянуть так называемые ефимовские состояния, предсказанные в24. Данные состояния возникают, когда две из трех двухчастичных подсистем имеют или очень большую длину рассеяния или связанные основные состояния около нулевой энергии. В пределе нулевого резонанса у этих подсистем трехчастичная система имеет бесконечное число связанных состояний. При этом энергия связи п-го состояния уменьшается экспоненциально вместе с п, а каждое следующее связан-

мое состояние увеличивает размер системы примерно в 25 раз. Удивительным образом трехчастичная система обладает бесконечным числом связанных состояний, несмотря на то, что все двухчастичные системы вообще не связаны. Спустя 35 лет после их предсказания данные состояния были обнаружены экспериментально группой Крэмера и др. в ультрахолодном газе атомов цезия. В данной работе мы предсказываем существование бесконечно протяженных состояний, если хотя бы одна пара частиц имеет резонанс при нулевой энергии. Сорта атомов, обладающих таким свойством могут быть "приготовлены" в ультрахолодных газах с помощью магнитного поля и Фешбаховских резо-нансов. По аналогии с Ефимовским эффектом они могут быть обнаружены с помощью так называемого трехчастичного коэффициента потерь.

В §§3.4 3.5 исследуется асимптотическое поведение растекающейся волновой функции трех частиц. В следующей теореме утверждается, что полностью растекающаяся последовательность двухчастичных связанных состояний приближается к выражению, которое не. зависит от деталей парного вз аи м одей ст в и я.

Теорема 3. Пускай для сходящейся последовательности констант связи Хп 6 К+, Пшц-юо = \сг € К+ существуют грп 6 Ю{Щ), Цт/'пЦ = 1 такие, что Н(Хп)фп = Епфп, где Еп < 0, Ит„-юо Еп = 0. Тогда в случае, если фп полностью растекается, выполнено

фп - сг1р" ^ п

\/2тг|х

где (рп € К некие фазы и кп := у/\Еп\.

0, (3)

Мы рассматриваем связанные состояния трех частиц в К3, которые описываются Гамильтонианом Я(Л„) = По + ?>12 + Ап(?;13 + и2з)> гДе пара частиц {1,2} имеет резонанс при нулевой энергии, и ни одна из пар частиц не имеет ни резонансов ни связанных состояний. Мы докажем следующее: пускай

Н(Хп)фп = Епфп, где Еп 0 при Хп ->■ А„., и помимо этого Кпц,^ /|с|<д \фп{С)|2с(С = О при любом К > 0. Тогда угловое распределение вероятности трех частиц, определяемое фп при больших п стремится к точному выражению, которое не зависит от парных взаимодействий. Получаемое выражение прекрасно описывает так называемый двухнейтронный пик в гало-ядрах.

Следует обратить внимание на тот факт, что фп(х,у) не обязательно представляют собой основные состояния (х, у обозначают координаты Яко-би). Понятно, что волновые функции растекаются в радиальном направлении. При этом особенно интересно понять, как устроено угловое распределение вероятности при больших п.

Запишем волновую функцию в следующей форме ф„(р,в,х,у), где аргументами являются так называемые гиперсферические координаты р :=

^/\х2\ + \у\\ в := аг^ап(|г/|/|х|), в £ (0,7г/2), а х,у обозначают единичные вектора в направлениях х,у соответственно. Определим следующим образом угловое распределение вероятности

Т>п(в, х, у) := cos2 0 sin2 0 Нормировка \\фп\\ = 1 подразумевает, что

тг/2

р5 \фп(р,0,х,у)\2др. (4)

d0

dflx

dQyVn(0,x,y) = 1, (5)

где nx¡y обозначают телесные углы связанные с единичными векторами х,у. Основной результат данной главы, состоит в утверждении, что

V^ie, х, у) := lim Vn{0, х, у) = sin2 9, (6)

я->оо ^4ТГ J 7Т

где сходимость подразумевается по мере. Уравнение (6) означает, что для всех допустимых парных потенциалов существует предельное угловое распределение вероятности, которое зависит исключительно от угла (9.

Рис. 1. Распределение плотности, задаваемой Ур. (7). Единицы измерения произвольны. Очевидно сходство с динейтронным пиком для гало-ядра бНе справа.

Следующая теорема является аналогом Теоремы 3 для трехчастичного случая.

Теорема 4. Пускай Н{А„) = Епфп, где Еп —> 0, а трп полностью растекается. Тогда

, e¿y"X[i,oо(р) {|x|sin(fcn|y|) + \у\cos(fcn|y|)}e~fc"l; Vn 27Г;}/2|1п fc„|l/2 \х\*\у\ + |у|3|ж|

аде. ifn G М некие фазы, р := \/|х|2 4- \у\2 и кп := у/\Е„\ < 1.

Данная теорема имеет следующее полезное следствие

Теорема 5. Угловое распределение вероятности Т>п{в,х,у) определенное в (4) сходит.ся по мере к Т>00(в,х,у) — (47т3)"1 sin2 в.

На Рис. 1 приводится сравнение полученного распределения плотности вероятности с динейтронным пиком в распределении нейтронной плотности ядра °Не. Сходство очевидно.

В четвертой главе анализируется формирование связанных пороговых состояний при наличии кулоновского отталкивания между частицами.

Для иллюстрации рассмотрим простейший пример: потенциал прямоугольной ямы с добавлением к нему хвоста отталкивательного кулоновского потенциала и представим себе связанное состояние, приближающееся к

0> (7)

порогу. При нулевой энергии связи в таком потенциале возникает связанное состояние с нулевой энергией, спадающее как ~ ехр(—у/г). Соответственно, вероятность нахождения частиц на расстоянии Ь при всех значениях энергии близких к нулю остается не равной нулю, и близкой к единице при достаточно большом Ь.

Если же обрезать данный потенциал на любом расстоянии Нс, вероятность нахождения частиц па любом расстоянии Ь стремится к нулю по мере того как стремится к нулю энергия связи. То есть связанное состояние как бы "туннелирует" через барьер. Строгое доказательство образования пороговых состояний для двух частиц, взаимодействующих посредством короткодействующего потенциала с добавлением потенциала кулоновского отталкивания, было получено в работе18. Основная идея состоит в анализе точного выражения для функции Грина оператора II = р2 + 1 /г, которое дается рядом из специальных функций. Оценки сходящегося ряда позволяют оценить асимптотику связанного состояния. Такой подход, не работает для дальнодей-ствующих потенциалов, имеющих вид г-1 + Аг~2, которые могут возникать в мультипольных разложениях, а также не подходит для многочастичных задач. В данном разделе предлагается простой метод получения асимптотически точных оценок сверху и снизу функций Грина. Наш анализ отличается тем, что мы анализируем поведение волновой функции по мере приближения к порогу, а не исследуем напрямую асимптотику порогового состояния, чтобы заключить, является ли оно квадратично интегрируемым. Дальнейшие разделы в этой главе посвящены многочастичному обобщению данных результатов.

В §4.7 исследуется поведение собственных значений и собственных функций многочастичного Гамильтониана, зависящего от параметра. Дальнодсй-ствующая часть потенциала берется чисто кулоновской. Никаких ограничений на статистику частиц не накладывается (они могут быть как бозоны так

и фсрмионы). Доказывается, что если нижняя граница сплошного спектра отвечает распаду на два одноименно заряженных кластера, тогда связанное состояние, приближающееся к порогу, не растекается и образуется связанное состояние, имеющее энергию равной энергии порога. В доказательстве используются оценки функций Грина, а также анализ растекающихся последовательностей. Образование пороговых состояний доказывается тем, что волновые функции, приближающиеся к порогу не растекаются. Полученные результаты делают понятным тот факт, что протонные гало не образуются.

В §4.8.1 полученные результаты применяются для анализа диаграммы стабильности трех заряженных частиц с конечными массами.

Определим следующим образом координаты Якоби £ = гз — т2, Я = Гх — 1"2 — где 5 = тз/(т3 + гпъ). Гамильтониан, где все взаимодействия кулоновские, имеет вид

Шчи ы = - г**-т- щ V I+ гтг-1 (8)

где /¡гк = ^чП^к/^Щ + тп-к), // = тп1 (гп2 4- гл,3)/(тп.^ + гп2 + г7?,3) приведенные массы. Значения масс остаются фиксированными, а /1(д 1,(72) зависит от д1}2 > 0. Н соответствует стабильной системе если Ш сгЛ(д1, д2) < Е^.Г{д1, Ч2), где йкг(<7ь <7г) •= 1п£ (те.,,9//(«?!, 92)■ Набросок типичной диаграммы стабильности36 изображен на Рис. 2. Кривая стабильности может быть оценена с помощью классической механики [А2]. Отметим ее основные свойства. В квадрате {<71,2! 0 < < 1} система всегда стабильна (из-за дальнодействующего притяжения между связанной парой и третьей частицей). Линия, отвечающая равным вырожденному порогу диссоциации определяется как = М13<?1-Эта линия делит плоскость на верхний и нижний сектора: верхний сектор отвечает распаду {123} —> {23} +1, а нижний сектор распаду {123} —» {13} + 2.

В диссертации доказывается следующая теорема

1 А. Мап-ш, Л.-М. ШсЬагс1 апс! Т. Т. \Уч// РЬте. Пст. А52, (1995) 2557

1

Связанные пороговые состояния

42

Я1

1 Я1

Рис. 2. Примерный вид диаграммы стабильности для трех заряженных частиц с зарядами {</ь</2, —1}. Точки на штрих-пунктирной линии соответствуют системам, у которых вырожден порог диссоциации. Область, находящаяся в пределах квадрата и двух сомкнутых арок отвечает стабильным системам. На тех частях арок, где либо > 1 либо г/-,> > 1 Присутствуют связанные пороговые состояния.

Теорема 6. Пускай (яьяг) находятся па границе стабильности а верхнем (соотв. в нижнем) секторе (а) Если Яг > 1 (соотв. Ях > I) тогда Я^ьЧг) имеет связанное состояние с энергией равной границе сплошного спектра. (Ь) Если < (соотв. я2 < с\2) тогда Н(<\ 1,я2) не имеет связанных состояний, лежащих па границе сплошного спектра.

Отрицательные ионы атомов рассматриваются в §4.8.2. Рассмотрим Гамильтониан атомного ядра с зарядом Я и Лге электронов

где координата г.; направлена от ядра к электрону г. Полное число частиц

(10)

Ne + 1 (электроны пронумерованы от 1 до Ne, а ядро является частицей с номером Ne + 1). Положим h = 1, ггц = 1, m,vi+1 = М. qi(Z) = —1 для i = 1 ,...,Ne и <7л'„+1 = Z. Оператор проекции Vxe отображает волновые функции на пространство с правильной перестановочной симметрией, учитывая что электроны являются фермионами со спином 1/2. Положим E(Z,N,) := iniaH(Z,NR)TNc. Заряд ядра ¿от называется критическим^ сс-ли E(Zcr,Ne) = EiZ^N, - 1) и E{Z,Ne) < E(Z,Ne - 1) для Z > Z„. Известно, что Z„ < Ne — 1. Здесь мы докажем следующую теорему.

Теорема 7. Предположим, что Zcr 6 (Nc — 2, Ne — 1). Тогда существует ■фо 6 D(H0) , H^oll = 1 такое, что Н^, = E(Zcr, Ne-l)ip0 иГм,фо =

Фа-

§4.9 содержит вспомогательный материал, где обсуждаются критерии для нерастекающихся последовательностей.

В пятой главе анализируется эффект Ефимова для N частиц. Эффект Ефимова был впервые строго доказан в26. В статье37 автор утверждает, что обобщил результаты, полученные в20, на случай трех кластеров, но доказательство в37 содержит серьезную ошибку [Аб].

В серии работ С. М. Вугальтер и Г. М. Жислин, пользуясь вариационным подходом, доказали несколько теорем, касающихся конечности дискретного спектра. В применении к системам, имеющим подсистемы с виртуальными уровнями, их результаты остаются лучшими и по сей день. В частности, в работе38 Вугальтер и Жислин, доказали следующую теорему (Теорема 1.3). Предположим, что система, состоящая из N частиц описывается Гамильтонианом Н, у которого (Tess{H) = [0, оо). Предположим также, что все частицы могут быть разбиты на две группы С\ и Gi таким образом, что любая подсистема, имеющая частицы как из С\ так и из Ci не имеет виртуального уровня

37 X. P. Wang/,/ J. Funct. Anal. 209 137 (2004)

38 S. A. Vugal'ter, G. M. Zhislin, Trans. Moscow Math. Soc. 49, 97 (1987)

с нулевой энергией. Тогда Н обладает конечным числом связанных состояний. Заметим при этом, что подсистемы, содержащие частицы только из С\ (или только из С2) могут иметь виртуальные уровни! Данный результат уже был доказан Яфаевым для N = 3, как сопутствующий главному результату статьи; а именно в26 показывалось, что если в системе трех частиц максимум одна пара частиц имеет резонанс при нулевой энергии, тогда существует лишь конечное число связанных состояний. Таким образом, теорема Вугаль-тера.....Жислина может рассматриваться в этом контексте как обобщение результатов Яфаева, касающихся конечности дискретного спектра, на случай N > 4. Доказательство Теоремы 1.3 в38 очень сложное. Попытка в работе39 его упростить не помогает, поскольку метод тот же самый, а основные вариационные леммы цитируются без доказательства. В §5.2 дается относительно простое доказательство теоремы, из которой следует результат Вугальтера и Жислина. В доказательстве используется многочастичный принцип Бир-мана-Швингера, подробно рассматриваемый в §5.1.

Амадо и Гринвуд в работе32 утверждали, что доказали невозможность эффекта Ефимова для N> 4 бозонов. Предположение Амадо Гринвуда, являющимся главным для физических приложений, не покрывается результатами Вугальтера и Жислина. Здесь можно отметить два сорта возникающих трудностей. Во-первых, существовал недостаток понимания поведения трсх-частичной резольвенты возле порога при N > 3. Во-вторых, трудности возникают при попытке обобщить доказательство в на случай N > 4. А именно, в26 собственные числа "считались" с использованием симметри-зованных уравнений Фаддеева, которые, как известно, обладают Фредголь-мовским (компактным) ядром вдали от резонаисов. В случае N > 4 уравнения Фаддеева перестают быть фредгольмовыми, что является известной проблемой. Существует обобщение фаддевских уравнений в виде уравнений

™ F. Ahia// J. Math. Phys. 33, 189 (1992)

Фаддеева Якубовского, но совершенно непонятно, как можно применить эти уравнения для подсчета собственных значений.

В доказательстве предположения Амадо-Гринвуда, представляемом в данной работе, общая идея схожа с работой26. Производится анализ спектра интегрального оператора, записываемого в форме 3 хЗ матрицы, который возникает из Фаддеевских уравнений. В нашем случае мы сводим задачу к анализу спектра интегрального оператора, который возникает после применения N раз (гто числу частиц) принципа Бирмана-Швингера. Данный принцип является незаменимым инструментом в задачах, где ведется подсчет собственных чисел Гамильтонианов. Форма принципа Бирмана-Швингера, используемая в данной работе, является нестандартной. Возникающее при этом уравнение записывается в одну строчку. Данное уравнение используется для подсчета собственных чисел. Следует также подчеркнуть основное различие между трех и четырехчастичным случаем. В случае N = 3 двухчастичные подсистемы могут обладать лишь резонансом при нулевой энергии, но никак не связанным I? состоянием. В случае же N = 4, наоборот, критически связанные трехчастичные подсистемы, как правило, обладают связанным состоянием с нулевой энергией. Эти состояния спадают вместе с гиперрадиусом по степенному закону. Связанное пороговое состояние оказывает влияние на поведение энергии в зависимости от константы связи вблизи порога.

Гамильтониан N частиц в К3 имеет вид

где #о оператор кинетической энергии, не включающий движение центра масс. Вектора положений частиц и массы, как обычно обозначаются г* € К3 и гщ. Суммы парных взаимодействий подсистем, содержащих соответственно

Я = н0 + V

(П) (12)

N - 1 и N - 2 частиц обозначим как

Ц := Е <•<>■• {13)

l<г<k<N икф]

1$,:= Е (14)

1 <г<к<Ы

где = I,..., N. В Ур. (13) мы суммируем парные взаимодействия в подсистеме, где частица с номером ] отсутствует. В Ур. (14) мы суммируем парные взаимодействия в подсистеме, где отсутствует частицы с номерами з и е. Удобно разбить взаимодействия Ц и на две части Ц = - и

= (Уг,Х - где

0^:= Е (15)

1<»<А:<ЛГ гМтЗ

(V},)1 - Е

1<1<1с<ЛГ

На Гамильтониан мы будем накладывать следующие условия

• Парные взаимодействия удовлетворяют условию € Ь1^) П ¿4(Е,!)

• аеаз(Н) = [0, оо). Также существует ш > 0, так что Н0 + - (1 +

> 0 для всех 1 <j<s< N.

Второе требование в частности означает, что подсистема, состоящая из N - 2 частиц не является критически связанной. Отсюда немедленно следует, что все подсистемы имеющие N - 2 или меньшее число частиц не имеют критической константы связи.

Теорема 8. Пусть Н удовлетворяет наложенным требованиям и N > 4. Тогда число связанных состояний II с энергией меньше пуля конечно.

35

Доказательство Теоремы 8 будет вестись следующим образом. Основной инструмент нашего анализа это оператор Бирмана-Швиигера (БШ). Еще раз отметим, что выбранная нестандартная форма данного оператора играет важную роль в установлении связки между БШ-операторами системы и ее подсистем. Далее исследуются спектральные свойства БШ-оператора для системы N частиц, имеющей критическую константу связи, и где ни одна из подсистем не имеет критической константы связи. Согласно Теореме 2 такая система обладает связанным состоянием с нулевой энергией (и соотв. квадратично интегрируемой волновой функцией). Главным объектом исследования в этом разделе является собственная функция БШ-оператора, соответствующая наибольшему собственному значению. БШ-оператор, отвечающий Ур. (11)—(12) определяется следующим образом

К(е) := (Н0 + ey1/2V{H() + е)"1/2 (£ > 0). (17)

Далее анализируется спектр БШ оператора в случае, когда Н, определенный в (11)-(12) имеет критическую константу связи. Данные результаты используются при доказательстве основной теоремы, которое проводится в §5.5.

В Заключении подводятся итоги работы автора, определяется их теоретическое и практическое значение.

Список публикаций автора по теме диссертации

Al. Sufficient Condition For Stability of N-Body System with Attractive Pair Potentials, D.K. Gridnev, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical A 36, 6725 (2003)

A2. Classical Decay of Coulomb Charges, D.K. Gridnev and J.S. Vaagen, Physical Review E 63, 26609 (2000)

A3. Necessary Conditions for Binding in Few-Body Systems, D. K. Gridnev and J. S. Vaagen, Phyical Review С 61, 054304 (2000)

A4. Stability of Three Unit Charges. Necessary Conditions, D.K. Gridnev, C. Greiner and W. Greiner, J. Math. Phys. 46, 052104 (2005), arXiv rnath-ph/0502022

A5. Zero Energy Bound States and Resonances in Three-Particle Systems , D. K. Gridnev, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 45 175203 (2012); arXiv:1111.6788v2

A6. Comment on the article "On the Existence of the N-Body Efimov Effect" by X. P. Wang, D. K. Gridnev, Journal of Functional Analysis 263, 1485-1486 (2012)

A7. Rigorous Conditions for the Existence of Bound States at the Threshold in the Two- Particle Case , D. K. Gridnev and M. Garcia, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical A 40 (2007) 9016

A8. Proof that the Hydrogen-Antihydrogen Molecule is Unstable , D.K. Gridnev and C. Greiner, Physical Review Letters 94, 223402 (2005)

A9. Особенности Границы Стабильности Легких Ядер, Гриднсв К. А., Гриднев Д. К., Митрошин В. Г., Тарасов В. Н., Тарасов Д. В., Грайнер В., Картавенко В. Г. Ядерная физика. 2005. Т. 68. № 7. С. 1311

А10. Особенности Границы Стабильности Легких Ядер, Гриднев К.А., Гриднев Д.К., Картавенко В.Г., Митрошии В.Е., Тарасов В.Н., Тарасов Д.В., Грайнер В., Ядерная физика. 200G. Т. 69. № 1. С. 3

All. Нейтроподефицитпые и Нейтроноизбыточные Изотопы Ft и Ni Вблизи Границы Стабильности, Тарасов В.Н., Тарасов Д.В., Гриднев К.А.,

Гриднев Д.К., Картавенко В.Г., Грайнер В., Митрошин В.Е., Известия Российской академии наук. Серия физическая. 2007. Т. 71. № 6. С. 773-780

А12. Свойства. Изотопов Zr у Границы Нейтронной Стабильности и за ее. Пределами , Тарасов В.Н., Тарасов Д.В., Гриднев К.А., Гриднев Д.К., Грайнер В.. Картавенко В.Г., Куприков В.И., Известия Российской академии наук. Серия физическая. 2008. Т. 72. № б. С. 890-895.

А13. Свойства Изотопов РЪ в Окрестности Границы Нейтронной Стабильности, Тарасов В.Н., Тарасов Д.В., Гриднев К.А., Гриднев Д.К., Грайнер В., Картавенко В.Г., Пилипенко В.В. Ядерная физика. 2008. Т. 71. № 7. С. 1283-1289.

А14. Model Of Bindiny Alpha-Particles and Applications to Superheavy Elements, Gridnev K.A., Torilov S.Yu., Gridnev D.K., Greiner W., Kartavenko V.G., International Journal of Modern Physics E 14 C. 635-643. (2005)

A15. Stability Island Near The Neutron-Rich 40-0 Isotope, Gridnev K.A., Gridnev D.K., Kartavenko V.G., Greiner W., Mitroshin V.E., Tarasov V.N., Tarasov D.V. The European Physical Journal A 25 - Hadrons and Nuclei. 2005. № SUPPL. 1. C. 353-354

A16. On Stability of The Neutron-Rich Oxyyen Isotopes, Gridnev K.A., Kartavenko V.G., Greiner W., Gridnev D.K., Mitroshin V.E., Tarasov V.N., Tarasov D.V. International Journal of Modern Physics E 15 2006. C. 673-683.

A17. Neutron-Deficient and Neutron-Rich Fe and Ni Isotopes near the Drip Line, Тарасов B.H., Тарасов Д.В., Гриднев К.А., Картавенко В.Г., Грайнер В., Гридиев Д.К., Митрошин В.Е, Известия Российской Академии Наук. Серия Физическая, 2007, Том 71, # 6, стр. 774-780

А18. Properties of Fe, Ni And Zn Isotopes near the Drip-Lines, Tarasov V.N., Tarasov D.V., Giidncv K.A., Kartavenko V.G., Grciner W„ Gridncv D.K. International Journal of Modern Physics E 17, 1273-1291 (2008)

A19. Theoretical Prediction of Extremely Neutron Rich Zr and Pb, Gridncv K.A., Gridnev D.K., Greiner W„ Tarasov V.N., Tarasov D.V., Pilipouko V.V., International Journal of Modern Physics E 19 C. 449-457 (2010)

A20. Исследование Нейтронной Стабильности НегЧтропно-Избыточных Изотопов О, Ar, Кг, Rn, Тарасов В.Н., Гриднев К.А., Гриднев Д.К., Куприков В.И., Тарасов Д.В., Грайнер В., Виньяс К. Известия Российской академии паук. Серия физическая. 2010. Т. 74. № И. С. 1624-1G34

А21. Полуострова Нейтронной Стабильности Ядер в Окрестности Нейтронных Магических Чисел, Тарасов В.Н., Гриднев К.А., Грайнер В., Гриднев Д.К., Куприков В.И., Тарасов Д.В., Виньяс К. Ядерная физика.

2012. Т. 75. № 1. С. 19

А22. The Quest for the Heaviest Uranium Isotope, S. Schramm, D. Gridnev, D. V. Tarasov, V. N. Tarasov, Walter Greiner, International Journal of Modern Physics E 21, (2012) 1250047

A23. Borromean Halo Nuclei, Vaagen J.S., Gridnev D.K., Hciberg-Andersen H„ Danilin B.V., Ershov S.N., Zagrebaev V.I., Thompson I.J., Zhukov M.V., Bang J.M., Physica Scripta T 88 C. 209-213 (2000)

A24. Bound States at Threshold Resulting from Coulomb Repulsion, D. K. Gridnev, Journal of Mathematical Physics 53, (2012) C. 102108-1-102108-16

(2012)

A25. Zero Energy Bound States in Many-Particle Systems, D. K. Gridnev, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 45 395302 (2012)

39

>

"I

A26. Universal Angular Probability Distribution of Three Particles near Zero Energy Threshold, D. K. Gridnev, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 46 115204 (2013)

A27. Why there is no Efimov effect for four bosons and related results on the finiteness of the discrete spectrum, D. K. Gridnev, Journal of Mathematical Physics 54 C. 042105-1- 042105-41 (2012)

Подписано к печати 25.06.13. Формат60x84 Vie. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 2,00. _Тираж 100 экз. Заказ 5812. _

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр.. 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-6919

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

05201450016

На правах рукописи УДК 539.143.5-539.189.2

Гриднев Дмитрий Константинович

ПОРОГОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В КВАНТОВОЙ

МЕХАНИКЕ

01.04.16 — Физика атомного ядра и элементарных частиц

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ — 2013

Оглавление

Введение 5

1 Исследование стабильности /»/-частичных систем 9

1.1 Условие стабильности трех зарядов ........................10

1.2 Переход от трех частиц к одной в эффективном потенциале 12

1.3 Связанные состояния в эффективном потенциале .... 17

1.4 Условие стабильности четырех зарядов....................22

1.5 Стабильность нейтронноизбыточных ядер..................31

2 Пороговые состояния в многочастичных системах без дальнодействующих потенциалов 39

2.1 Общие сведения ..............................................42

2.2 Растекание и связанные пороговые состояния..............44

2.3 Случай, когда волновая функция трех частиц не растекается ..........................................................49

2.4 Связанные состояния с нулевой энергией в многочастичных системах..................................................59

2.5 Теорема о декластеризации..................................71

3 Резонансы с нулевой энергией в трехчастичной системе 77

3.1 Функция Грина двухчастичного резонанса с нулевой энергией ............................................................78

3.2 Условие растекания трехчастичного основного состояния 81

3.3 Построение резонанса с нулевой энергией путем настройки констант взаимодействий ................................89

3.4 Асимптотическое поведение растекающейся волновой функ-

ции двух частиц..............................................90

3.5 Универсальное угловое распределение вероятности для

трех частиц вблизи порога ..................................93

4 Формирование пороговых состояний за счет дальнодей-ствующего потенциала отталкивания 113

4.1 Связанные состояния около порога.............116

4.2 Оценки Функции Грина...................119

4.2.1 Потенциалы, спадающие как 1 /г2 .........119

4.2.2 Потенциалы, спадающие как 1 /г .........126

4.3 Существование пороговых состояний............128

4.4 Связанные пороговые состояния, возникающие из-за ку-лоновского отталкивания..................130

4.5 Формулировка основной теоремы..............132

4.6 Оценка сверху двухчастичной функции Грина......137

4.7 Доказательство основной теоремы.............141

4.8 Приложения..........................147

4.8.1 Три заряженные частицы с конечными массами . 147

4.8.2 Отрицательные ионы атомов............150

4.9 Критерии для нерастекающихся последовательностей . . 153

5 Эффект Ефимова для N частиц 156

5.1 Обобщенный принцип Бирмана-Швингера........160

5.2 Теорема Вугальтера и Жислина..............164

5.3 Основная теорема и ее следствия..............173

5.4 Система N частиц, имеющая критическую константу связи177

5.5 Доказательство основной теоремы.............196

Заключение 4

Список публикаций автора и литература 246

Введение

Объектом исследования настоящей работы являются пороговые явления в задачах ядерной и атомной физики, такие как стабильность многочастичных конфигураций, а также поведение волновых функций и спектра вблизи порога.

Актуальность. Пороговые явления охватывают широкий круг современных проблем в квантовой теории. Еще со времен Бора [1] ученые задаются вопросом, какие комбинации протонов и нейтронов создают стабильное ядро, какие комбинации заряженных частиц разного сорта могут создавать стабильные молекулы и экзотические ионы. В этом отношении существует целый ряд современных работ, список которых будет заведомо неполным, так как охватывает очень широкий круг проблем. При приближении к границам стабильности энергия связи по определению стремится к нулю. При этом немаловажно знать, как ведут себя волновые функции молекул, атомов, ядер, когда они описывают слабосвязанный объект. Обнаружение в 1985 году И. Танихата стабильных ядер 6Не и и1л открыло новую главу в ядерной физике. Выяснилось, что данные слабосвязанные ядра обладают очень большой пространственной протяженностью нуклонной плотности, сравнимой с 208РЬ, который содержит в 34 раза больше нуклонов. Дальнейшие современные исследования показали, что можно ожидать множество подобных ядер вблизи границы стабильности. Исследование границ стабильности и поведение волновых функций вблизи них является современной и исключительно важной фундаментальной проблемой.

Целью настоящей работы является исследование пороговых явле-

ний в задачах ядерной и атомной физики с помощью точных математических методов.

Научная новизна. Все основные результаты, представленные в настоящей работе и выносимые на защиту, являются новыми. Перечислим эти результаты.

1. Найдены необходимые условия стабильности для трех заряженных частиц, обладающих конечной массой, где под стабильностью понимается существование связанного состояния.

2. Найдены необходимые условия стабильности для четырех заряженных частиц, обладающих конечной массой. В частности, дается строгое доказательство нестабильности молекулы водород-антиводород, состоящей из протона, антипротона, электрона и позитрона.

3. Методом Хартри-Фока исследована стабильность разных изотопов с большим числом нейтронов. Предсказано существование полуостровов стабильности и сверхмассивных стабильных изотопов урана.

4. Разработан строгий метод анализа волновых функций вблизи порога, основанный на понятии "растекающейся" последовательности функций

5. Исследовано поведение волновых функций вблизи порога в двухчастичной задаче, где во взаимодействии наличествует дальнодейству-ющее отталкивание. Получены строгие и асимптотически корректные оценки функций Грина и волновых функций.

6. Получено строгое математическое доказательство того, что отрицательные ионы атомов имеют связанное пороговое состояние, если заряд атома становится критическим.

7. Исследовано пороговое поведение волновой функции в трехчастич-ной задаче. Получены строгие условия существования связанных пороговых состояний.

8. Доказано существование в трехчастичной системе несвязанных пороговых состояний, если отсутствует отрицательный сплошной спектр, а хотя бы одна пара частиц имеет резонанс при нулевой энергии.

9. Получено явное универсальное выражение угловой плотности рас-

пределения трех частиц в случае, когда за счет изменения констант связи, основное состояние полностью растекается. Данное выражение повторяет распределение так называемого двухнейтронного пика, наблюдаемое в ядрах со структурой двухнейтронного гало. Предсказано существование подобных состояний в атомной и молекулярной физике.

10. Получено новое короткое доказательство теоремы Жислина-Вугальтера о конечности дискретного спектра в многочастичной задаче.

11. Получены новые условия конечности дискретного спектра в многочастичной задаче. В качестве одного из следствий данного результата, получено строгое доказательство того факта, что эффект Ефимова невозможен в случае четырех и более бозонов.

Методы исследования. Основными методами исследования, применяемыми в настоящей работе, являются обобщенный вариационный принцип, операторные методы, математический анализ. Также используются Хартри-Фоковские методы расчета энергий ядер и деформаций.

Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена тем, что:

— применяются проверенные, математически точные и строго обоснованные методы исследования;

— многие результаты диссертации являются обобщением полученных ранее результатов и совпадают с этими результатами в частных случаях;

— все основные результаты диссертации доказаны и опубликованы. Апробация. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 27 публикациях.

Результаты докладывались

на научных семинарах кафедры ядерной физики Санкт-Петербургского государственного университета в 2002-2012 г.г.;

— На научных семинарах в университетах Франкфурта на Майне, Кас-селя, Кайзерслаутерн в Германии в 2006-2012 г.г.;

— на международной конференции "Workshop on Quantum Few-Body

Systems" в Архусе, Дания, Март 19-20 2007;

— на международной конференции "Workshop on Critical Stability" в Эриче, Италия Октябрь 19-20 2008. ;

— на международной конференции "Symposium on Exciting Physics", Макутси, Юар, Ноябрь 13-20 2011;

Краткое описание содержания работы по главам. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы.

В Главе 1 исследуется стабильность трех и четырех заряженных частиц с конечными массами, а также стабильность нейтронноизбыточ-ных ядер. С помощью вариационных методов выводятся необходимые условия стабильности, выражаемые в требуемом соотношении масс частиц. В §1.5 с помощью численных расчетов методом Хартри-Фока с силами Скирма исследуется расположение границы нейтронной стабильности на карте нуклидов. Показывается возможность существования полуостровов стабильности и нейтронных гало.

В Главе 2 исследуется возможность существования связанных пороговых состояний в многочастичных системах с короткодействующими потенциалами. Вводится формализм, строящийся на понятии "растекающейся последовательности волновых функций". Строго доказывается существование связанных пороговых состояний, при условии, что отсутствуют виртуальные уровни с нулевой энергией во всех парах частиц, а также связанные состояния подсистем с энергией меньшей или равной нулю.

В Главе 3 рассматривается возможность существования виртуальных (не связанных) уровней с нулевой энергией в трехчастичных системах. Доказывается, что такие уровни существуют исключительно при условии, что хотя бы одна из пар частиц имеет резонанс с нулевой энергией. Полученный результат доказывает существование полностью растекающейся последовательности связанных уровней трех частиц. Для такой последовательности в явном виде рассчитывается уг-

ловое распределение вероятности, которое оказывается универсальным (не зависящим от конкретного поведения потенциала).

В Главе 4 исследуется формирование связанных пороговых состояний за счет дальнодействующего потенциала отталкивания. Полученные результаты помогают установить существование связанного порогового состояния для отрицательного иона в том случае, когда заряд ядра становится критическим. Полученные результаты также объясняют отсутствие протонных гало в ядрах. Разработан способ асимптотически корректных оценок функций Грина в задачах с таким потенциалом, что помогает понять асимптотику волновой функции.

В Главе 5 исследуется конечность уровней многочастичной системы с короткодействующими потенциалами. В случае трех частиц за счет эффекта Ефимова может образовываться бесконечная последовательность уровней. Строго доказывается, что в случае 4-х бозонов может существовать лишь конечное число уровней с отрицательной энергией, при условии, что сплошной спектр системы неотрицателен. Также приводится относительно простое доказательство теоремы Вугальтера-Жислина о конечности связанных состояний.

Глава 1

Исследование стабильности А^-частичных систем

Проблема стабильности частиц, взаимодействующих посредством ку-лоновских сил, является непростой даже в случае, когда число частиц равно трем или четырем. Вариационные методы, как известно, могут лишь точно предсказать стабильность, но иногда весьма трудно с уверенностью судить о возникающей нестабильности, поскольку увеличение числа базисных функций понижает уровень энергии. Ситуация усугубляется тем, что возле порога волновые функции растекаются в пространстве. Поясним это на примере. Для случая частиц с зарядами {+1,-1,-1} стабильность зависит исключительно от соотношения масс в системе и можно построить так называемую диаграмму стабильности [5], где стабильные системы ограничены кривой стабильности. Около этой кривой энергия отделения одной из частиц стремится к нулю, при этом Нт6_>о $\х\<ц \Фе(х)\2(^6х = 0 для любого Я, > 0, где 1ре(х) обозначает волновую функцию с энергией отделения частицы е. Таким образом, волновая функция "размазывается" по всему пространству вблизи порога, и в таких случаях вариационные подсчеты носят очень приближенный характер.

1.1 Условие стабильности трех зарядов

Известный австрийский ученый В. Тирринг в своей книге [2] заканчивал некоторые главы списками нерешенных проблем. Проблема стабильности трех заряженных частиц с конечными массами, взаимодействующих исключительно по закону Кулона, находится на первом месте в конце главы 4 в [2]. С тех пор многое было прояснено в отношении стабильности трех заряженных частиц, область стабильности была оценена с помощью полуаналитических методов, как в работе [3], так и с помощью строго математических методов [2], [5]. Достаточные условия стабильности N частиц были рассмотрены в [А1].

В наши дни в лабораториях производится большой набор разных заряженных частиц, из которых строятся экзотические молекулы и атомы. Данные объекты могут иметь теоретическое и прикладное значение. Для построения таких систем понимание принципов стабильности является критическим, что делает данную работу целесообразной. Под стабильностью системы, описываемой Гамильтонианом Н мы всегда будем понимать существование связанного состояния ниже границы сплошного спектра, которую мы будем обозначать как т£аезз(Н). Известно, что три частицы с зарядами {1+£, —1,-1}, взаимодействующие исключительно посредством кулоновских сил, при любом е > 0 образуют стабильную систему, независимо от значений масс частиц. При е = О ситуация резко меняется, и из-за эффекта экранировки не все системы остаются стабильными. Типичный пример в этом отношении представляет собой мюонный атом водорода где мюон, обращающийся рядом с протоном, экранирует заряд так, что система распадается. При этом ре~е~ имеет ровно одно связанное состояние ниже порога, то есть является стабильным. Данный факт был доказан строго в работе [4].

Среди доказательств нестабильности систем из трех зарядов наиболее простым и наглядным представляется доказательство Тирринга [2], которое является аналитическим и не требует численных расчетов.

Тирринг рассматривал экзотический отрицательный ион водорода, в котором масса ядра принималась равной бесконечности. Тирринг показал, что отрицательный ион будет нестабильным, если к водороду присоединить отрицательную частицу массой в 7г раз больше электрона. Более поздний анализ [6, 9] показывает, что константу 7г можно заменить меньшей константой 1.57. В своем методе Тирринг пользуется тем фактом, что основной уровень атома водорода существенно отдален от остальных состояний (согласно Бальмеровской последовательности 1/п2). Тем самым подчеркивается роль основного состояния.

Данный факт подсказывает "проекцию"задачи на пространство, где атом водорода всегда находится в основном состоянии. Подобная проекция позволяет свести проблему к задаче, где третья частица движется в поле образованном двумя другими частицами, находящимися в основном состоянии. И вопрос связанности трех частиц сводится к вопросу о связанности данных частицы в поле двух других. В данном методе основным недостатком является требование бесконечной массы ядра. Только в этом случае проектор на связанное состояние атома водорода коммутирует с парным взаимодействием третьей частицы и ядра. В случае конечных масс это уже не так.

Существенное улучшение оценки Тирринга было получено в [5], где было, например, доказано, что мюонный ион является нестабиль-

ным для действительных значений масс. Тем не менее, данное улучшение метода Тирринга (Уравнение (24) в [5]) уже не справляется с ситуацией, когда вторая частица слишком тяжела по сравнению с остальными (например, невозможно доказать, что ион (1~ре+ является нестабильным). В работе [7] строго доказана нестабильность таких систем как е~ре+ и ц~ре+. Но данный метод требует вспомогательных численных вычислений. Еще важнее, тот факт, что метод разработанный в [7] основывается на разделении переменных в задаче с двумя фиксированными центрами, что делает метод целиком неприменимым к задаче четырех частиц.

В последующем изложении мы будем использовать идею Тирринга, но не будем требовать бесконечности масс. Получаемое необходимое условие стабильности ограничивает соотношение масс Якоби (см. определение ниже), при котором система может быть стабильной. Полученное нами условие вместе с условием вогнутостью области стабильности [5] позволяет получить аналитически достаточно точную оценку границы стабильности.

Недостатком, как метода Тирринга, так и метода, представленного ниже, является то, что они неприменимы в ситуации, когда энергии порогов развала находятся рядом друг с другом или равны (например, когда массы обеих одинаково заряженных частиц равны). В частности, подобным методом к сожалению не удается доказать так называемый эффект перенагрева [8], когда система из трех частиц с зарядами {+1, — <?, — (/} и одинаковыми массами становится нестабильной п�