Построение и исследование кубатурных формул с пограничным слоем для интегрирования функций из пространств Wmp(En) тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

УДК 517+518.392

На правах рукописи

Булгатова Елена Николаевна 0034Т43ЭЭ

Построение и исследование кубатурных формул с пограничным слоем для интегрирования функций из пространств \¥" (Еп)

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2009

003474399

Работа выполнена в Восточно-Сибирском государственном технологическом университете (г. Улан-Удэ).

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

профессор

Шойнжуров Цырендаши Базарович

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор

Носков Михаил Валерианович

Кандидат физико-математических наук Шатохина Лариса Владимировна

Ведущая организация:

Институт математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН

Защита состоится 30 июня 2009 года в 15 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.099.18 в Сибирском федеральном университете по адресу: 660074 Красноярск, ул. Киренского, 26 корпус Ж, ауд. 1-15.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки Сибирского федерального университета, ул. Киренского, 26.

Автореферат разослан «_» мая 2009г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н.

Кириллов К.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Задача о построении формул для приближенного вычисления интегралов является одной из классических задач вычислительной математики. В настоящее время можно выделить несколько научных направлений в теории приближенного интегрирования: построение формул высокой степени точности, применение вероятностно-статистических методов к вычислению интегралов, теоретико-числовые методы построения формул и функциональный подход, связанный с исследованием оценок норм функционала погрешности для различных линейных нормированных пространств.

Широкое применение методов функционального анализа и теории дифференциальных уравнений в исследованиях по теории приближенного интегрирования началось работами С.М. Никольского [6] и С.Л. Соболева [14]. В дальнейшем эти методы были развиты в работах В. И. Половинкина, М.Д. Рамазанова, Ц.Б. Шойнжурова, В.Л. Васкевича и других авторов. В настоящей работе, в отличие от работ В.И. Половинкина и Ц.Б. Шойнжурова, рассматриваются весовые формулы в

пространствах (£„), как предельного случая ранее исследованных пространств.

Кроме того, М.Д. Рамазановым проводились исследования кубатурных формул для областей с гладкими границами. В данной диссертации, опираясь на методику Рамазанова, получены формулы с пограничным слоем, в которых коэффициенты вычисляются значительно проще, что облегчает программную реализацию построения и использования формул.

При построении формулы для приближенного вычисления интеграла, погрешность этой формулы рассматривают, как некоторый функционал, действующий на подынтегральную функцию, и называют функционалом погрешности. При этом, если построена формула и требуется найти её погрешность, то достаточно найти или оцепить норму функционала погрешности рассматриваемой формулы.

Цель работы. Построение и исследование асимптотической оптимальности кубатурных формул для областей с кусочно-гладкими границами в пространстве Соболева

IVр (Еп) я исследование весовых кубатурных формул в пространстве Соболева IV™ (£'„).

Основные задачи исследования:

' - построение и исследование кубатурных формул для областей с гладкими и кусочно-гладкими границами;

- построение и исследование эрмитовых кубатурных формул для области с кусочно-гладкой границей;

- получение асимптотически оптимального функционала погрешности исследованных кубатурных формул и явного вида коэффициентов этого функционала погрешности;

- исследование весовых кубатурных формул с пограничным слоем.

Объект исследования. Весовые кубатурные формулы приближенного вычисления многомерных интегралов и кубатурные формулы, в которых участвуют как значения самой функции, так и значения ее производных. Область интегрирования при этом ограничена кусочно-гладкой границей [14].

Методика исследований. В работе применяются методы теории функций одного и многих действительных переменных, математического и функционального анализа, алгебры, а также численные методы.

Достоверность результатов. Достоверность результатов диссертации обеспечена полными доказательствами всех утверждений, полученных в данной работе и численными расчетами.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту. Все основиые результаты диссертации являются новыми. На защиту выносятся:

1. Построение и исследование кубатурных формул для областей с кусочно-гладкими границами на плоскости, с коэффициентами, зависящими от уравнения границы только в пограничном слое;

2. Доказательство асимптотической оптимальности эрмитовых кубатурных формул, содержащих значения функции и значения первой производной, в

пространстве Соболева W" (£„);

3. Оценка нормы в пространстве W™* (Е„) функционала погрешности весовой

кубатурной формулы с пограничным слоем.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях кубатурных формул. Полученные формулы могут использоваться при вычислении интегралов.

Личный вклад автора. Все результаты, включенные в диссертацию принадлежат лично диссертанту. В совместных работах вклад соавторов равнозначен.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на следующих конференциях; VIII международном семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложения» (г. Улан-Удэ, 2005); II Всероссийской конференции с международным участием «Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и

системы» (г. Улан-Удэ, 2006); IX международном семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложения» (г.Уфа, 2007); III всероссийской конференции с международным участием «Математика, её приложения и математическое образование» (г. Улан-Удэ, 2008); XIII Байкальской Всероссийской конференции с международным участием «Информационные и математические технологии в науке и управлении» (г. Иркутск, 2008); Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения C.JI. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений.» (г. Новосибирск, 2008); III Всероссийской конференции «Вияеровские чтения 2009» (г. Иркутск, 2009); на ежегодных научно-практических конференциях Восточно-Сибирского государственного технологического университета (2004-2008 гг.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 11 работах, список которых помещен в конце автореферата. В частности, работа [5] опубликована в журнале Вычислительные технологии, 2006, т.11, №4.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы. В тексте диссертации имеется 13 рисунков и 2 таблицы. Список литературы включает ВО наименований. Объём работы - 109 машинописных страниц.

Во введении приводятся основные определения и постановка задачи, дается общее описание основных результатов по теории кубатурных формул в функционально-аналитическом направлении, а также краткое изложение результатов диссертационной работы.

В первой главе диссертации построены кубатурные формулы для эллипса и области с кусочно-гладкой границей, исследованы эрмитовы кубатурные формулы и доказана асимптотическая оптимальность этих формул, содержащих первую производную. Рассматриваются кубатурные формулы для интегрирования функций из

пространств №р(Е„) с нормой

В параграфе 1.1 исследованы кубатурные формулы с пограничным слоем на решетке с коэффициентами, зависящими от уравнения гладкой границы области только в пограничном слое. Построение и исследование подобных формул проводились М.Д. Рамазановым [12]. Также, Н.И. Блиновым [2], [3], Л.В. Войтишек [3], И. Умархаиовым

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

О)

[15], Д.Я. Рахматуллиным [13] созданы программы для вычисления многомерных интегралов. В данной работе упрощены вычисления коэффициентов.

Пусть jf(x)dx- кратный интеграл, ха = х"1 х*1, у = , у2). а

Ограниченная область П с кусочно-гладкой границей Г = Г(П) на плоскости

к

разбивается на к частей со^ с помощью разложения единицы ^^ Ф, (х^ = 1, где

м

Фу(х)б С , С1] -эирр ФДх), o)j с.nJ, у = 1, 2, ..., к. Пусть часть границы

г(а»у) = гп<»у может быть записана уравнением хл х^ н(х......х,_,,хы,...,х„).

В области <уу производится замена переменных у^-х],(*).)• Для

определения срезывающих функций Фj (х) используется функция

0, длях<, 0;

у,(х) = \{2т+У'\т{\-1)тЖ, дт 05*51; («О о

1, для х>1.

Рассмотрим одну из областей (ох,са1,...сок> например <у:, в переменных .V, для простоты, в двумерном случае.

После замены переменных = х,, >-2 =х2 -^(х,) область о, перейдет в область

й>|'. Замена преобразует границу области Г(гу,) в кусок оси Оу,, криволинейный параллелограмм Д),д ={(х,,х2)е.Е2| АД :£х, < АД+А, + 1)А<х2 < Л (х,) - АД }

соответствует кубу где Длд = {АД < у, < АД + А}.

={ИР2<,уг< ИРг + А}, функция Ф, (х) перейдет в Ф, (>■). В переменных у рассмотрим следующий функционал

1- X Ь%ХСАУ^+гМУг-Ь{Рг+Уг)),у\ (2) \ /

Сначала построим функционал с узлами на криволинейной решетке. Для этого функцию ¿>(;у2-й(Д2 + /2)) в формуле (2) аппроксимируем линейной комбинацией

функций ¿(^-¿»(Дг+ТЪ+$) + »?($)'1), где = - дробная часть числа

ММ).

«у {У2 - ■Л (А + )) = I А,6 {у2 - к{р2 + уг + я) ■+ 7 (Д) А). (3)

«=о

Коэффициенты функционала (3) определяются из системы уравнений

1=0

Элементарный функционал для куба Аь/1 принимает вид

. I I т т

\ Г^Ащ Г2=0 1-0

(4)

Узлы кубатурной формулы, соответствующей функционалу (4), лежат в узлах криволинейной решетки.

С помощью функционала (4) построим кубатурную формулу на решетке с коэффициентами, зависящими от уравнения гладкой границы в пограничном слое.

Выполнив обратную замену переменных х2 = у2 + ^ ) и = в (4), получим

^(*)=% М- 1 сг£МАЩ* -Чи +4). (5)

где г (/?,) - целая часть числа —М " хаРактеРистичсская функция области

Далее характеристическую функцию некоторой области будем обозначать таким же символом, например, еа (х) - характеристическая функция области ы.

Учитывая срезывающую функцию Ф, (>) .элементарные функционалы /д

суммируем по всем Д и при этом по свойству функционала коэффициенты при

суммировании равны единице

°о т т

?г=0 4-0

со т т

Аналогично суммируем по рг последние две суммы в (5)

ю Л Ж

^=0 П'О 1-0 д=о

После преобразования коэффициенты определяются следующей формулой I Е Су, если О<0г£т,

1-0 г=0

Щ 1шп(т,&-.>)

24 (А) Е Су,еслитйр2^2т,

1=0 г=0

1, если у?2 £ 2т.

где коэффициенты (/?,) и Сг определяются из систем

7=0 а + 1 «=0 Вспомогательный функционал погрешности для области о,' в переменных имеет

вид

Ирец

Учитывая = Ь в переменных х, получаем функционал погрешности

формулы с пограничным слоем для области с узлами на решетке

Аналогично получаются функционалы для остальных областей со)

ФЛ*)/>Л*)=ФЛ»)

М*)" £ ИУ^Щх-ИР)

л/га»,

где К^ = =

Окончательно получена формула с коэффициентами пограничного слоя, зависящими от уравнения границы:

[р(х)<Ь~ £ ¿ФДА/^Мй/?).

П »ДО .1-1

По схеме, предложенной в параграфе 1.1, построена кубатурная формула для

эллипса — + X, = 1. 4 2

Кубатурные формулы для областей с кусочно-гладкой границей рассматриваются в параграфе 1.3. Пусть граница Г области П состоит из одной или нескольких непересекающихся кусочно-гладких кривых.

Если точка х0 границы Г, не является угловой, то можно в окрестности этой точки провести замену переменных ух = Я(дг,), где Я(х,) уравнение границы так, что >•, = Я(х,) и х, = А' (у,) обратные взаимно однозначные функции. Пусть М0(х1:с2°)

угловая точка. Не нарушая общности, можно принять - - О

и предположить, что смьпсающиеся в этой точке касательные, расположены так, что одна из них совпадает с положительной частью оси Ох1, а другая идет к ней под углом, В этом

случае эти дуги выражаются соответственно уравнениями х2 = г, (х,) и х, = г, (х,), причем г2' (0) = 0. Применяем замену переменных

*1 = У\ +г1 (Уг) и *2 = Уг +1г С*)- (6)

В окрестности точки у = у2 = 0 якобиан преобразования отличен от нуля. Следовательно, система (6) однозначно допускает обращение >',=/■,(*,, и У г ~ г2 (Х1 > х2) ■ Далее применяем обычную замену для гладкой области.

Для формул, построенных в параграфах 1.2 и 1.3, составлена программа вычисления двойного интеграла по соответствующим областям.

В параграфе 1.4 получена кубатурная формула для области П с кусочно-гладкой границей, содержащая как значения функции, так и значения её производных в узлах решетки.

Пусть выпуклая область А имеет гладкую границу Г = Г(0)еС('"'1) в п -мерном пространстве. Разделим пространство £„ на к частей <х>г]-\,2,...,к, гиперплоскостями параллельными координатным плоскостям и

о)^ ={хе^,/ф,Г(й>,))<£й}, Г(й>,) = Г(П)п<иу,у = 1,2,...,*,

к

^Ф( (х) = 1 - разложение единицы в и-мерном пространстве, где Ф, (х) - финитные

м

функции, * = (*', Х„), х' = (х„ ...,*„,). у' = {ух,у,.....У..,), Р = {Р\> Р„.\),

У = {у\, ..., /„_() играница г(®]) области с»] выражается уравнением хп = Я| (У).

Замена у' = х' и = х„ - Л, (х') преобразует область <у, в область «а/, Ф| (я:) в Ф| (у), границу Г(й>)) области щ в кусок гиперплоскости уп=0 и криволинейный параллелограмм в куб

Построим элементарный функционал погрешности в переменных у - {у\у„)

. ' . I т т \

\ Г1.0 - г,-0 '

т I

где коэффициенты функционала (7) определяются из систем Ус у" --,

а = 0,1, ..., ш, у = 1, 2, ..., к.

В формуле (7) функцию <5(.уя - АД, аппроксимируем ¿>(}>) функциями и их

производными в узлах сдвинутых на >](/3') - дробную часть числа где ^ (у)

уравнение границы Г(<щ ) :

т т 1=0ст=0

где коэффициенты вычисляются из систем

I Е 1{<Т)='7а(^), « = 0,1,2,.,.,(т + 1)2-1, где [Vе "И - производная

г=0<г=0

порядка <г от степени у" и вычислена при у = У.

Функционал р\ (у) для области со{ определим путем суммирования элементарных функционалов

А 00 = I 1ы(у)- (9)

й/З е<а|

Умножим функционал Д (>>) на финитную функцию Ф| (у) области а\ \

щ т

^¡(у)- X ЪСуЦу'-Иу'-ьр')^-10

оо т

Подставим (8) в (10)

ЛОО^ОО55*»! 00

оо т т т , ч

• 2 (/»') (- О'(>-„ - - лд, - ь+(/?'))

Д|=0л,.о 5=0сг=0

где = ...,/?„_,),/ = ....у„-1).

В формуле (11) узлы сдвинуты на дробную часть числа//(/?) = ■

Выполнив ряд преобразований над второй суммой формулы (11), получим

оо т т т , .

2 2 К 2 + =

где = 2 < 2 (13)

1-0 гп. о

Используя произведение функции на финитную функцию Ф| (у), преобразуем лу (11)

(12)

формулу (11)

/?'=г~00

оо т т т , ^

А=ог„=о $=0(7=0 где У = (>■], и /?'=(#, ■••> ) -

На основании формулы (12) имеем

оо со т , ,

/Г=-00 /?„ =0(7=0

где Ур (/?') определяются формулой (13).

В формуле (14) перейдем к старым переменным .

р,(х)Ф,(*)«Ф(х)

1- £ кЩх'-И/Г) ±

Д,=0<т=О

где г (/?') =

МЦ

А

- целая часть числа

мю

Таким образом, построен функционал погрешности (ж) для области а| в общем

виде.

Аналогичные функционалы погрешностей строим для остальных областей (Oj,j = ],2,...,k . Следовательно, функционал погрешности 1[х{х) Для области О построен

7=1

В работе найдена в явном виде норма функционала погрешности, построенной формулы, и доказана асимптотическая оптимальность этого функционала.

к

Теорема 1.1. Пусть <р^{Е„), р{т-\)>п, 1п{х) = еп(х)-£>,(*)/>;(*) -

У=1

функционал погрешности, где

Р-

£ -ад.)- I:

'„=о

А,=о

то при А 0 норма функционала равна

11'пИг = N7^

X I

|а)<тд

I

Р*0

е!х

+ 0

'(А"*1),

У = 1, 2, ..., к

Вторая глава посвящена исследованию весовых кубатурных формул. Весовые формулы в пространствах Щ, (а, А) изучались в работе В.И. Половинкина [10]. В данной

работе рассматривается пространство }У™(Еп). Это пространство есть множество всех измеримых и существенно ограниченных функций <р(х), вместе со всевозможными

обобщенными производными Оа<р(х),\а\ < т до т -го порядка включительно и удовлетворяющих условию

1тф(*)

»СО

Норма функции в IV" (Е„) определяется в [16] предельным равенством

'«-.-(г.)",1?.

<00.

(16)

В параграфе 2.2 для построения кубатурной формулы с весом вводится

и

интерполяционный оператор о с ньютоновской системой узлов, обладающий следующими свойствами:

a) X Уо,г(*-гМг)>

ГеВ0

где Ц/^ у (х) известные функции, 1//0 ?,(х) = 0 вне куба Д = |о<х* <1,1 = 1.....п|, В0 -

некоторое конечное множество целочисленных векторов;

b) | щг (х)| < М,М > 0 и М не зависит от у;

c) ^т,0ха = е\(х)ха> х° =х{'х22 '"хп" < ПРИ - характеристическая функция куба Д.

Пусть ДА = <А,/' = 1,...,л|, куб Дьр получен из куба А/, переносом на вектор А/? и ¿т,кр<р{х) = X У+Р))• Тогда интерполяционный гА

оператор

Г*Во

для

области

П

имеет

¡¡е.Вц ЙеП>, гей* Ч" '

ВИД

где

¡ЗеВнуЩ

^Рт(х) = Рт{х) \/Рт(х)еРт - множество многочленов степени не выше т. =|** =(*ь*'2>—>**)>* = 1,2,...,^! -системаузлов.

В работе В.И. Половинкина [9] определялись интерполяционные операторы с регулярным пограничным слоем для пространства 1!%(Еп). В работе Ц.Б, Шойнжурова

[16] построены интерполяционные операторы с пограничным слоем и ньютоновской

системой узлов над пространством Ш™ (£„).

Кубатурная формула строится следующим образом

^{х)(р(х)ск* ¡g{x)4<p{x)dx. (17)

Г2 П

Лемма 2.2. Если 1^пе!¥^*(Е„),Иг"*(Е„)-сопряженное пространство к IV™ (£и), функционал погрешности кубатурной формулы (17) с ньютоновской системой узлов и р е IV™ (Еп) с нормой (16), то при к -» О имеет место неравенство

К'*»

где Вт =

Л

д|аг|£т

Д + 1-1.

Р р'

Далее исследуются весовые кубатурные формулы с пограничным слоем. Будем рассматривать весовые кубатурные формулы

(18)

]е{х)<р{х)<1хк £ кпСг<р(ку), П

1

где П - ограниченная область с кусочно-гладкой границей Г = Г(П) в Еп,

g(x)eL^(C}), ку = {кгькгъ-~Мп) « Су =СУ\,Уг.....У„"

Пусть р(х,Г(0)) - расстояние между точкой х=(х\,Х2,-.-,хп) и границей Г(П)

области £2, О* =Е„ \ П. Определим следующие множества: Тп = {куеС1,р(И/,Г(0))> ЬН^, гГ(а) = гп(пГ{кгеа,р(Иг,г{С1))<Щ• ^(П) =ГГ(П)^П(П)'

Оп = {хеП,р (х,Г(П)) >1к), (£2) = {х е П, р(х, Г(п)) < ¿к}, СГ} (п) = {* е п\ р(х, Г(П)) < ¿л). где Ь - положительная постоянная,

Е„,ук .....^ ).0< г,- * ».¿г* * = 1.2.....Л/.Л/-М

/=1

Д'!п!

Интерполяционный оператор / называется интерполяционным оператором с пограничным слоем, если он определен на (Еп) и представим в виде суммы

интерполяционных операторов Л:

где ^(р(х)= X Руу, (х)<р(кЛ+ку), ^ха =ел(х)ха\сс\<т> если ИуеТцпу и

•¡уФ)* I 2 Ч^-Г^^+Иу), ^ха=еп(х)ха,

|в|<т+1,если куеТ^.

„+1 ) Т\еВм

Здесь ру ^ (х) и ~~ известные функции, - характеристическая

функция области О.

Функционал погрешности кубатурной формулы (18) с пограничным слоем в £2 определим равенством:

{^,П>НХ)) = Ы*)

ИГеТп

А^е7г(П)

Их. (19)

Перепишем (19) в обобщенных функциях

- 2 А" X С£*(х-(Лг+Ап))- £ А" £

Коэффициенты формулы (20) определяются интегралами

(20)

Чу

сх, = I \--у и, если Иу е 7Ь или А/ е ГГ|(П),

^ = 1 (*)<&,если куеТг^пу

'Чу

В следующих двух теоремах найдены общий вид функционала погрешности с пограничным слоем весовой кубатурной формулы, экстремальная функция и оценка

нормы этого функционала в пространстве Ш" (£„)■

Обозначим через £2т{х) фундаментальное решение т - метагармоничеекого

оператора (1-Д)т= £ (-1)НдМ.

И=0

Теорема 2.3. Если ^(д:)е(Г2), рт>п, функционал погрешности (х) имеет

вид

£п \а\-т

то в пространстве УУ™ (£п ) экстремальная функция щ (х) выражается формулой

\а\<та-

Теорема 2.4. Если £1 - ограниченная область с кусочно-гладкой границей Г(О),

g(x)eL^(Q)l /е^Гда (£„), Jh интерполяционный оператор с пограничным слоем в ь /

области О. и (х) функционал вида

П

то при й -> О имеет место неравенство

Основные результаты работы:

1. Построена кубатурная формула для областей с гладкой и кусочно-гладкой границей и получен явный вид коэффициентов;

2. Построена и исследована эрмитова кубатурная формула для области с кусочно-гладкой границей и доказана асимптотическая оптимальность формулы, содержащей первую производную;

3. Получена оценка нормы функционала погрешности с пограничным слоем

весовой кубатурной формулы в пространстве (£„).

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Цырендаши Базаровичу Шойнжурову за постоянное внимание и помощь в работе.

Список использованных источников

1. Бахвалов, НС. Численные методы/Н.С. Бахвалов.-М.: Наука, 1973.-631 с.

2. Блинов, Н.И. Приближенное вычисление двойных интегралов / Н.И. Блинов //Аннот. сб.: Алгоритмы и программы. ВНТИ центр. -1974. -№2, 3.

3. Бчинов, Н.И., Войтишек. Л.В. О построении кубатурных формул с регулярным пограничным слоем для рациональных многогранников / Н.И Блинов, Л.В. Войтишек // Тр. Семинара акад. С.Л. Соболева. - 1979. - №1. - С. 5-15.

4. Корнейчук, Н.П. Экстремальные задачи теории приближения / Н.П. Корнейчук. - М.: Наука, 1981.-431 с.

5. Игнатьев, А.Н. Универсальный алгоритм вычисления интегралов по ограниченным областям с гладкими границами / А.Н. Игнатьев // Кубатурные формулы и их приложения: Доклады, представленные на III семинар-совещание. - Уфа, ИМВЦ У1Щ РАН, 1996.-С. 21-31.

6. Никольский, С.М. Квадратурные формулы / С.М. Никольский. - 4-е изд., доп. с добавлением Н.П. Корнейчука. - М.: Наука, 1988. - 256 с.

7. Никольский, С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С.М. Никольский. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1977. - 456 с

8. Половинкин, В.И. Весовые кубатурные формулы / В.И. Половинкин // Докл. АНССР -1968. - Т. 179, №4. - С. 542-544.

9. Половинкин, В.И. Некоторые вопросы теории весовых кубатурных формул / В.И. Половинкин // Сиб. мат. журн. - 1971. - Т. 12, № 1. - С. 177-196.

10. Половинкин, В.И. Об асимптотически наилучших весовых квадратурных формулах / В.И. Половинкин // Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: Сб. науч. тр. - Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1987. - С. 165— 167.

И. Половинкин, В.И. Асимптотически наилучшие последовательности кубатурных и квадратурных формул / В.И. Половинкин // Теория кубатурных формул и вычислительная математика: Тр. конф. по дифференц. уравнениям и вычисл. математике / Отв. ред. С.Л. Соболев. - Новосибирск, 1980. - С. 116-118.

12. Рамазанов, М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования / М.Д. Рамазанов. - Уфа: Изд-во Башкир, ун-та, 1973. - 174 с.

13. Рахматуллин, Д.Я. Интегрирование функций по выпуклым областям решетчатыми кубатурными формулами на многопроцессорных вычислительных системах: Дис....канд. физ.-мат. наук/ Д.Я. Рахматуллин. -Уфа,2006. - 114 с.

14. Соболев, С.Л. Введение в теорию кубатурных формул / С.Л. Соболев. - М.: Наука, 1974.-808 с.

15. Умарханов, И. Построение и обоснование решетчатых кубатурных формул для областей с кусочно-гладкими границами: Дис. ... канд. физ.-мат. наук / И. Умарханов. - Ташкент: ТашГУ, 1986. - 173 с.

16. Шойнэюуров, Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Дис... докт. физ-мат. наук / Ц.Б. Шойнжуров - Улан-Удэ, 1977. - 235 с.

М.Шойпжуров, Ц.Б. Асимптотически оптимальные квадратурные и кубатурные формулы / Ц.Б. Шойнжуров. - Новосибирск, 1979. - С. 28.

М.Шойпжуров, Ц.Б. Оценка нормы функционала погрешности кубатурных формул в различных функциональных пространствах / Ц.Б. Шойнжуров. - Улан-Удэ: Изд-во Бурятского научного центра СО РАН, 2005. - 247 с.

Публикации автора по теме диссертации

1. Инхеева, Л.И., Булгатова, E.H. Построение квадратурных формул с помощью разложения единицы / Л.И. Инхеева, E.H. Булгатова // Сб. науч. тр: Физико-математические науки. — Улан-Удэ: ВСГТУ, 2005. - Вып. 8.-С.14-21.

2. Булгатова, E.H. Построение квадратурных формул с симметричным пограничным слоем / E.H. Булгатова // Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы (ИКВТС-06): Материалы II Всероссийской конф. -Т.1. - Улан-Удэ: Изд-во БГУ,2006.-С. 74-78.

3. Булгатова, E.H., Инхеева, Л.И. Кубатурные формулы для гладких областей / E.H. Булгатова, Л.И. Инхеева // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VIII семинара-совещ. / Отв. ред. Ц.Б. Шойнжуров. - Улан-Удэ, 2005. - С. 39-46.

4. Булгатова, E.H., Санеева, Л.И. Кубатурные формулы для гладких и кусочно-гладких криволинейных областей / E.H. Булгатова, Л.И. Инхеева // Вестник ВСГТУ. - 2005. - N 4.-С. 5-10.

5. Булгатова E.H., Санеева Л.И. Экстремальная функция и норма оптимального периодического функционала //Вычислительные технологии. - 2006.- Т.11, N»4. - С. 113-117.

6. Шойнжуров, ЦБ., Санеева, Л.И., Булгатова, E.H. Вычисление определенного интеграла с помощью кубатурных формул, содержащих значения функции и ее производных, с коэффициентами, зависящими от уравнения границы / Ц.Б. Шойнжуров, Л.И. Санеева, E.H. Булгатова // Вестник ВСГТУ. Изд-во ВСГТУ, Улан-Удэ - 2006.-N 2. - С. 5-12.

7. Булгатова, E.H., Павлова, Е.Б. Весовые кубатурные формулы в пространстве W™ (£„)

/ E.H. Булгатова, Е.Б. Павлова // Тр. IX -го международного семинара-совещания «Кубатурные формулы и их приложения». Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2007. - С. 30-37.

8. Шойнжуров, Ц.Б., Булгатова, E.H. Построение кубатурной формулы для области с кусочно-гладкой границей / Ц.Б. Шойнжуров, E.H. Булгатова // Сб. науч. тр: Серия: Физико-математическая. — Улан-Удэ: изд-во ВСГТУ, 2008. - Вып. 9. - С. 60-70.

9. Шойнжуров, Ц.Б., Булгатова, E.H. Вычисление несобственных интегралов / Ц.Б. Шойнжуров, E.H. Булгатова // Математика, её приложения и математическое образование: Материалы III всероссийской конференции с международным участием. Ч. II. - Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2008. - С. 414-420.

10.Шойнжуров, Ц.Б., Булгатова, E.H., Арсачанов, A.A. Оптимизация узлов весовой квадратурной формулы / Ц.Б. Шойнжуров, E.H. Булгатова, А. А. Арсаланов // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений. Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева(Новосибирск, 5-12 октября 2008г.): Тез. докладов/ Ин-т математики СО РАН. Новосибирск, 2008. - С. 597.

И.Санеева, Л.И., Булгатова, E.H. Вычисление интегралов по областям с гладкими и кусочно-гладкими границами / Л.И. Санеева, E.H. Булгатова // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений. Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева(Новосибирск. 5-12 октября 2008г.): Тез. докладов/ Ин-т математики СО РАН. Новосибирск, 2008. -С. 560.

Булгатова Елена Николаевна Построение и исследование кубатурных формул с пограничным слоем для интегрирования функций из

пространств 1Ур(Еп)

Автореф. дисс. на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Подписано в печать¿¿.(¡£¿00%. Заказ Формат 60x90/16. Усл. псч. л. 1,0. Тираж 100 экз. Отпечатано в ИПЦ Политехнического института СФУ 660074, Красноярск, ул. Киренского, 28

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Кубатурные формулы для областей с кусочно-гладкими границами.

§1.1 Кубатурные формулы для областей с гладкими границами.

§1.2 Построение кубатурных формул для эллипса.

§ 1.3 Кубатурные формулы для области с кусочно-гладкой границей.

§ 1.4 Вычисление интеграла с помощью кубатурных формул, содержащих значения функции и её производных.

ГЛАВА 2. Весовые кубатурные формулы.

§2.1 Основные понятия и определения.

§2.2 Весовые кубатурные формулы с пограничным слоем в пространстве W™ (Еп ).

Теория кубатурных формул сложилась как новое направление математики в 60-е годы в результате исследований C.JI. Соболева и прочитанного им курса лекций по теории кубатурных формул в Новосибирском государственном университете в 1965-1966 годах.

В связи с появлением в 1974 году монографии «Введение в теорию кубатурных формул» С.Л. Соболева, это направление математики, предметом которого является приближение интегралов формулами механических квадратур, превратилось из набора отдельных формул для вычисления кратных интегралов в новую математическую дисциплину, тесно связанную с другими разделами математики: анализом, теорией функций, функциональным анализом, теорией дифференциальных уравнений, алгеброй, теорией чисел.[56] В диссертационной работе основной целью является построение и исследование асимптотической оптимальности кубатурных формул для областей с кусочно-гладкой границей в пространстве Соболева Wp(En) и весовых кубатурных формул в пространстве Соболева W™ (-£„). Для достижения цели ставятся задачи:

- построение и исследование кубатурных формул для областей с гладкими и кусочно-гладкими границами;

- построение и исследование эрмитовых кубатурных формул для области с гладкой границей;

- получение асимптотически оптимального функционала погрешности исследованных кубатурных формул и явного вида коэффициентов этого функционала погрешности;

- исследование весовых кубатурных формул с пограничным слоем.

Объектом исследования в данной работе служат весовые кубатурные формулы приближенного вычисления многомерных интегралов и кубатурные формулы, в которых участвуют как значения самой функции, так и значения ее производных. Область интегрирования Q при этом ограничена кусочно-гладкой границей [51].

Для приближенного вычисления интеграла по области Q предлагается использовать кубатурную формулу, то есть приближенное равенство вида

1) n к=1 или g(x)cp{x)dx «XX CakDacp(xk), (2) п к=1 \а\<ст где х-точка п-мерного пространства Еп, а — (ах,а2,---,(хп) - мультииндекс,

II,,, (*)/(*) (*) Ж а\ = а1 + а2 + —ь , хх ' = х\ \ ., х), ' - узлы, д\аШк)) = D>{*{k)) = dx?Jx2 коэффициенты, а порядок старшей производной, - весовая функция и N— число узлов.

При этом само приближенное значение интеграла представляется в виде линейной комбинации значений функции <р(х) и значений ее производных: I 2 (-1 f\ciD"s(x-x^UX)ck, к=\\а\<а пк=\\сс\<огде <5(х) - известная функция Дирака.

Интегрируемые функции считаем элементами некоторого банахова пространства В, вложенного в пространство непрерывных функций: с=с=с(П). (3)

Функционалом погрешности кубатурной формулы (2) называется обобщенная функция /п (х) вида N s к-\\а\<сг где £a (x) - характеристическая функция области Q.

Из условия вложения (3) следует, что функционал погрешности /q (х) вида la(x),<p(x))= l^dx-Y £ C?W*W) =

Q А=1Ы<(Т V '

•I

А:=1|с»г|<сг V 7

4) p{x~)dx является линейным непрерывным функционалом в пространстве 5 и его норма определяется формулой

IK4. =sup%^J = sup = Cf,*),

Р*° Ш\в НИ ' где В* - пространство, сопряженное пространству В.

Пусть Х = = l,2,.,ivj - узлы кубатурной формулы, Р = jc*,к = 1,2,.,iV,|Qr| < <т| - коэффициенты кубатурной формулы и - совокупность узлов и коэффициентов кубатурной формулы. о

Кубатурная формула (2) с функционалом погрешности 1о.[х) в виде (4) называется наилучшей в пространстве В, если в* inf suplfef^ inf d(xk,C?,N) = d mJ* Mb (") 1 ; r „ ^ т k>Ci,N

5)

Нахождение минимума (5) по называют экстремальной задачей теории кубатурных формул.

Функция Фо(х) называется экстремальной функцией в пространстве В, если выполняется равенство (x),(pQ (х)^ = ||/п (*)||5* \<Ро •

Функционал погрешности 1п а а x,X,P,N а а зависящий от X,P,N называется асимптотически наилучшим, если /Q а а x,X,P,N е В*, и для любого функционала ln{x,X,P,N^B* выполняется условие lim la(x,X,P,N)

N-> оо lC2 a a x,X,P,N в* 1.

B"

Узлы и коэффициенты обозначаются соответственно через х,С% и называются асимптотически наилучшими.

Действительное число / > О называется порядком сходимости формулы (1) над пространством В при 7V-»oo, если указаны константы 1Х >0 и /2 >О, которые не зависят от N и для которых выполнено соотношение lxN~l < < l2N~l. (6)

Пусть узлы кубатурной формулы (2) расположены на решетке Г(й#|0) = {х = Н/3], detH = = hH= 1,2,.,7V, Н - квадратная матрица порядка п х п.

Функционал погрешности /q а Л x,P,N с узлами на решетке, зависящии от

Р и N, называется асимптотически оптимальным, если /Q

Г £ Л x,P,N еВ и для любого /Q (х, Р, N^j е В* выполняется условие lim

N->oo Л Q х, P,N в*

В своих исследованиях различные постановки экстремальной задачи для функции одной переменной рассматривали С.М. Никольский [30], C.JI. Соболев [51], В.И. Крылов [23], Н.П. Корнейчук [15] и другие, в том числе для вероятностных методов Н.С. Бахвалов [1], Г.А. Михайлов [25], И.М. Соболь

Для решения экстремальной задачи теории кубатур в п-мерном пространстве Еп C.JI. Соболевым был предложен функциональноаналитический подход. Он дал определение кубатурных формул с регулярным пограничным слоем, указал способ построения таких кубатурных с узлами на решетке с шагом h и доказал, что они асимптотически оптимальны в гильбертовом пространстве L™ [51].

Основные достоинства формул с регулярным пограничным слоем заключаются в уменьшении объема работы при вычислении их коэффициентов и асимптотической оптимальности в гильбертовом пространстве .

Остановимся более подробно на основных результатах C.JI. Соболева по теории кубатурных формул, полученных функционально-аналитическим методом.

В монографии C.JI. Соболева [51] дана оценка сверху нормы функционала погрешности /q(x) при помощи экстремальной функции <р0(х) из Щ, на

Нахождение экстремальной функции ср0 (х) связано с решением полигармонического уравнения порядка т

57]. которой функционал погрешности принимает наибольшее значение.

7) p0(x) = (-l )mG(x)*&(x) + P{x)

8) где G(x)- фундаментальное решение уравнения (7), Р(х) - произвольный многочлен степени ниже т. Норма функционала погрешности определяется соотношением ОД */£(*) */*(-*) х=0

9)

Норма функционала погрешности с регулярным пограничным слоем /q(x) удовлетворяет асимптотическому равенству п (mesQ)2 Вт(Н)2 hm (l + 0{h)),

10) где Вт{Н)= X

Р*О\2ТГН~УР

2 m '

Для оценки снизу нормы функционала погрешности с заданной решеткой узлов и с произвольными коэффициентами в пространстве важную роль играет функция cph (х), обладающая следующими свойствами:

1. cph{hHР) = 0, то есть обращается в нуль в узлах решетки;

2. (ph{x) = 0, если х £ Q;

С ее помощью C.JI. Соболевым получена оценка снизу нормы любого функционала погрешности /п(х) в пространстве а, zf

1 1 > (mesCl)2 Bm{H)2 hm (l + OQi)).

11)

В дальнейшем это новое направление математики развивали его ученики В.И. Половинкин, Ц.Б. Шойнжуров, М.Д. Рамазанов, Г.Н. Салихов, Х.М. Шадиметов, Л.В. Войтишек, М.В. Носков, B.JI. Васкевич и другие, обобщая результаты C.JI. Соболева на другие функциональные пространства.

Ц.Б. Шойнжуров [71] впервые исследовал кубатурные формулы в негильбертовом пространстве C.JI. Соболева W™ с нормой

HI

W™{En) r a dx p 1 1 1<рс<ю- + — = 1, (12)

P P зависящей от функции и её производных порядков га =2/, т - любое т т положительное число и (1 - А) 2 <р(х) = F + j 2 F(p{£), где v(£) = F<p(x)= \(p[x)e-2ni^dx, = есть прямое

Ъ К и обратное преобразование Фурье.

Здесь требование ортогональности функционала к многочленам степени ниже т не является обязательным в отличие от пространства Z^ (Еп) •

Экстремальная функция <р0(х), соответствующая функционалу р(х), как решение нелинейного уравнения Эйлера получена с помощью преобразования Фурье и норма функционала погрешности в W™ в явном виде равна Ш шт* гур

J.S ^

GC •

13)

II ™' '

Е„ \а\<т где е2т (х) ~ фундаментальное решение т -метагармонического уравнения

1-А)" в*, (*) = *(*).

В.И. Половинкин рассматривал последовательности функционалов с пограничным слоем в негильбертовом пространстве L™ (Q) , 1 <р < со, с нормой И J Q а\=тУа] ) dx 00

14)

В частности, в [36] им доказано, что при нечетном т кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны ва при четном т расширен класс функционалов с регулярным пограничным слоем и построены асимптотически оптимальные функционалы с пограничным слоем в да

М.Д. Рамазанов ввел пространство рассмотрел кубатурные формулы с ограниченным пограничным слоем, с использованием основных операций анализа. Построил формулы с пограничным слоем, отличные от формул с регулярным пограничным слоем для ограниченных областей с гладкими и кусочно-гладкими границами и показал их асимптотическую оптимальность в (Q).

М.В. Носков установил условия разложимости эрмитовых кубатурных формул в декартовы произведения формул меньшей размерности и доказал теорему, позволяющую определить точность сомножителей, исходя из точности самого декартова произведения [32].

B.JI. Васкевич исследовал кубатурные формулы в пространствах гармонических функций Бергмана в\ . Элементами в\ являются функции класса W\ (Q), гармонические в ограниченной области Q [8].

Ц.Б. Шойнжуров в работе [71] исследовал функционал погрешности кубатурной формулы с пограничным слоем в пространстве W™ с нормой (12) и получил для функционала погрешности следующую оценку 1 р 1

Ilk Mils* ={mesQ) р

В таком виде константу, входящую в главный член нормы функционала нельзя улучшить.

Выделение в явном виде главного члена в оценке нормы функционала погрешности имеет важное значение, так как при заданном N он позволяет выполнить необходимое приближение с заранее заданной точностью. J

Лп I

2л1Н~Хрх

2жН~х/з\ т с dx tin{\ + 0(h)) (15)

Один из способов построения кубатурных формул основан на интерполировании. Решением задачи об интерполировании функций в одномерном случае занимались такие выдающиеся ученые, как Ньютон, Лагранж, Эйлер, Эрмит, Котес, Грегори, Гаусс, П.Л. Чебышев, А.А. Марков, С.М. Никольский и другие. Многомерные интерполяционные формулы исследовались в работах С.Л. Соболева [51], С.М. Никольского [30], Н.С. Бахвалова [1], И.П. Мысовских [28], В.И. Половинкина [35], М.Д. Рамазанова [48], Ц.Б. Шойнжурова [77] и других.

Пусть в ограниченной области Q пространства Еп задана система узлов

JvW

BN={x

Задача интерполирования состоит в построении многочлена Р(х) степени не выше т, совпадающего с данной функцией <р(х) в точках х^

В классической постановке такой многочлен записывается в виде

P(jc) = pS~lxa = J(p(x), где a = {aba2,.;Cin) — мультииндекс, \а\ = ах+а2-\-----ха =х"1х2г.х"п

II (т + п)\ одночлен от п переменных степени \а , М = --—

11 т\п\ число всех одночленов от п переменных степени не выше т, S = (0 . xW ум). и = - вектор-строка значений функций р(х) в точках х^ системы BN. В дальнейшем предполагаем, что система точек принадлежит основной решетке х^=Н/3^к\ Пусть области fXs]

Qhr такие, 4to£q (x) = sq - - Ну , Q*r = Clh/ n Q. Здесь fi0 c= Q и носитель ri у h функционала /Qq (x) выходит за пределы основной области Q0.

В работе C.JI. Соболева [53] построены интерполяционные операторы Jh, определенные над Z,™ {Еп) или L™(Q) и сопоставляющие ^eZ^C^) кусочно-многочленные интерполяционные функции J'^p^x) - ^Jy(p(x), где

В работе Ц.Б. Шойнжурова [70] построены интерполяционные операторы с пограничным слоем и ньютоновской системой узлов и интерполяционные кубатурные формулы с весом над пространством

В работе В.И. Половинкина [33] дано определение равномерно распределенного интерполяционного оператора, определенного над пространством Ёр(Еп). В работе [35] определены интерполяционные операторы с регулярным пограничным слоем и доказано, что соответствующие им интерполяционные кубатурные формулы асимптотически оптимальны при весе из Ь2.

В работе М.Д. Рамазанова [48] построены формулы высокой точности, связанные с универсальной асимптотической оптимальностью.

Идея применения замены переменных при построении кубатурных формул с узлами на криволинейной решетке использовалась Ц.Б. Шойнжуровым [73] и М.Д. Рамазановым [45].

В данной работе используется разложение единицы на сумму финитных функций для локализации построения кубатурной формулы.

Рассмотрим разложение единицы в пространстве Е^. Пусть функция <р(х) обладает следующими свойствами: р(х)<=С{т)(Ех),(р(х)>Ъ, <р(х)<\, <р(х) = <р(-х), supp^(x) = [-l,l], <р{х) = 1

3^1 при |х| < — И 1 - (р{х) = X + —

При X G

16)

17)

2 - v / - ^ 2.

Тогда имеем следующее разложение единицы

00 fx 3 ^ 2> —=1, Vxe£15 р=-со \s Z J при любом s - достаточно малом положительном.

Разложение единицы в п - мерном пространстве имеет вид

Область интегрирования Q разобьем на к частей C0j с тем условием, что

часть границы области Q, попавшая в C0j, может быть записана уравнением, выражающим одну координату через остальные. В формуле (17) сгруппируем в отдельную функцию Фу (х) те слагаемые, носители которых пересекаются с iv., j = 1, 2, ., к. Если слагаемое может попасть в несколько группировок, то отнесем его в какую-нибудь одну из них.

В данной работе используется разложение единицы на плоскости с финитными слагаемыми, составленными из многочленов. В одномерном случае это

0, х < О,

2m^')tm(\-t)mdt, 0<х< 1, (18) т. 0

1, х>1.

Основные результаты диссертации получены благодаря функционально — аналитическому подходу. Это предполагает, во первых, что подынтегральные функции объединены в некоторое банахово пространство, и во вторых, что разность между интегралом и приближающей его комбинацией значений подынтегральной функции и ее производных рассматривается как результат действия некоторого линейного функционала. Этот функционал, называемый

W{x) = функционалом погрешности непрерывен. Знание численного значения его нормы позволяет получать гарантированные оценки точности кубатурной формулы. В этом существенное отличие функционального подхода перед вероятностно-статистическим.[56]

Алгебраический и функциональный подходы порождают отличные друг от друга критерии качества кубатурных формул. В первом случае лучшей считается формула, точная на возможно большем числе полиномов. Во втором предпочтительней та формула, функционал погрешности которой имеет меньшую норму. В книге C.JI. Соболева и B.JI. Васкевича «Кубатурные формулы» [56] подробно исследуется взаимосвязь этих критериев.

Функциональный подход помимо описания конструкций рассматриваемых формул, то есть указания их узлов и коэффициентов либо алгоритмов их нахождения, подразумевает также исследование норм соответствующих функционалов погрешности в выбранном банаховом пространстве. [56]

Диссертация состоит из введения, двух глав, состоящих из шести параграфов, заключения и списка литературы из 80 наименований. Объем работы - 109 машинописных страниц. Формулы отмечены тройной нумерацией: номер главы, номер параграфа и номер формулы, разделенные точкой. Во введении номера формул обозначены одним числом.

Основные результаты диссертационной работы являются новыми.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Ц.Б. Шойнжурову за постоянное внимание и помощь в работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа посвящена построению и исследованию весовых кубатурных формул с пограничным слоем в пространстве Соболева W™ (Еп) и кубатурных формул для областей с кусочно-гладкими границами в пространстве Соболева W™(En).

Для решения данной проблемы был использован функционально-аналитический поход. В работе получены следующие результаты: построена и исследована кубатурная формула для областей с гладкой и кусочно-гладкой границей, получен явный вид коэффициентов и доказана асимптотическая оптимальность эрмитовой кубатурной формулы, содержащей первую производную, получена оценка нормы в пространстве W™*(En) функционала погрешности весовой кубатурной формулы с пограничным слоем.

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1973. - 631 с.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Гос. изд. физмат. лит-ры, Т.1, 1959. — 464 с.

3. Блинов Н.И. Приближенное вычисление двойных интегралов //Аннот. сб.: Алгоритмы и программы. ВНТИ центр. -1974. №2, 3.

4. Блинов Н.И., Войтишек Л.В. О построении кубатурных формул с регулярным пограничным слоем для рациональных многогранников //Тр. Семинара акад. С.Л. Соболева. 1979. - №1. - С. 5-15.

5. Булгатова Е.Н. Построение квадратурных формул с симметричным пограничным слоем // Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы (ИКВТС-06): Материалы II Всероссийской конф. -Т.1. Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2006. - С. 74-78.

6. Булгатова Е.Н., Инхеева Л.И. Кубатурные формулы для гладких областей // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VIII семинара-совещ. / Отв. ред. Ц.Б. Шойнжуров. Улан-Удэ, 2005. — С. 3946.

7. Булгатова Е.Н., Санеева Л.И. Кубатурные формулы для гладких и кусочно-гладких криволинейных областей // Вестник ВСГТУ. 2005. -N4.-С. 5-10.

8. Булгатова Е.Н., Санеева Л.И. Экстремальная функция и норма оптимального периодического функционала // Вычислительные технологии. 2006.- Т.11, №4. - С. 113-117.

9. Васкевич В.Л. Кубатурные формулы в гармонических пространствах Бергмана // Кубатурные формулы и их приложения. — Уфа: ИМ ВЦ УНЦ УфО РАН, 1995 С. 241-250.

10. Ю.Васкевич В.Л. Сходимость квадратурных формул на некоторых классах функций: Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.01). / Новосиб. гос. ун-т. -Новосибирск, 1982. 108 с.

11. П.Войтишек А.В. Использование аппроксимационных функциональных базисов в методах Монте-Карло //Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VII семинара-совещ. /Отв. ред. М.В. Носков. — Красноярск, 2003-С. 45-53.

12. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука, 1976.-280 с.

13. Дидур Л.И. Весовые эрмитовы кубатурные формулы на периодических функциях // Тр. Семинара акад. С.Л. Соболева. 1981. - №1. — С. 48-56.

14. Инхеева Л.И., Булгатова Е.Н. Построение квадратурных формул с помощью разложения единицы // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 2005. - Вып.8. - С. 14-20.

15. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1981.-431 с.

16. Корнейчук Н.П. О новых результатах по экстремальной задаче теории квадратур // С.М. Никольский. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988.-С. 127-253.

17. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы о приближенном анализе. — М.: Наука, 1962.-224 с.

18. Корытов И.В. Построение формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. — Улан-Удэ, 1994. -Вып.1. С. 150-152.

19. Корытов И.В. Эффективный способ вычисления коэффициентов квадратурных формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 1994. — Вып.1.-С. 147-150.

20. Корытов И.В. Норма периодического функционала погрешности в

21. W^ (А) // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С. 32-36.

22. Корытов И.В. Оценка сверху нормы функционала погрешности срегулярным пограничным слоем в W^(Еп) И Комплексный анализ,дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. V. Численные методы. Уфа, 1996. - С. 71-78.

23. Корытов И.В. Оценка снизу нормы функционала погрешности в

24. W^ {Еп) II Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинарасовещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С 37-40.

25. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. 2-е изд., доп. -М.: Наука, 1967.-500 с.

26. Кудрявцев Л.Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1959. - Т.55. - С. 1-181.

27. Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. М.: Наука, 1987.-236 с.

28. Михайлова С.В. О реализации линейных функционалов в весовых пространствах многомерных периодических функций // Вопросы математического анализа: Сб. науч. ст. / Отв. ред. В.И. Половинкин. -Красноярск. 1996. С. 20-25.

29. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. — М: Госуд. Изд-во ф.-м. Литературы, 1962.

30. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.: Наука, 1981.-336 с.

31. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1977. — 456 с.

32. Никольский С.М. Квадратурные формулы. — 4-е изд., доп. с добавлением Н.П. Корнейчука. М.: Наука, 1988. - 256 с.31 .Никольский С.М. Курс математического анализа. В 2-х т. 4-е изд., перераб. и доп. -М.: Наука, 1991. - Т.2. - 544 с.

33. Носков М.В. О построении кубатурных формул повышенной тригонометрической точности // Методы вычислений / Под ред. И.П. Мысовских. Л., 1991.-Вып. 16.-С. 16-23.

34. Половинкин В.И. Весовые кубатурные формулы в периодическом случае // Мат. заметки. 1968. - Т.З, №3. - С. 319-326.

35. Половинкин В.И. Весовые кубатурные формулы // Докл. АНССР 1968. - Т. 179, №4. - С. 542-544.

36. Половинкин В.И. Некоторые вопросы теории весовых кубатурных формул // Сиб. мат. журн. 1971. - Т. 12, №1. - С. 177-196.

37. Половинкин В.И. Последовательность функционалов с пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1974. - Т.15, №2. - С. 413-429.

38. Половинкин В.И. Об асимптотически наилучших весовых квадратурных формулах // Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: Сборник научных трудов. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1987. - С. 165-167.

39. Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: Автореф. Дис.докт. Физ.-мат. наук (01.01.01)/ ЛГУ. Л., 1979. - 18 с.

40. Половинкин В.И. Асимптотически наилучшие весовые квадратурные формулы. КПИ. - Красноярск, 1984. - 22 с. - Деп. в ВИНИТИ, №7924 -84.

41. Половинкин В.И. Квадратурные формулы в пространствах функций. — Красноярск: Сиб. федер. ун-т; Политех, ин-т, 2007. -108 с.

42. Половинкин В.И. О реализации финитных функционалов в II

43. Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики. -Новосибирск, 1989.-С. 137-139.

44. Половинкин В.И., Дидур Л.И. Асимптотически оптимальные последовательности эрмитовых кубатурных формул. Сиб. мат. журн. — 1978. - Т. 19, №3. - С. 663-669.

45. Половинкин В.И., Дидур Л.И. О порядке сходимости кубатурных формул // Вопросы вычислительной и прикладной математики. — Ташкент: Изд. Ин-та кибернетики и ВЦ АН УзССР, 1975.- вып. 34. С. 3-14.

46. Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. -Уфа: Изд-во Башкир, ун-та, 1973. 174 с.

47. Рамазанов М.Д. Асимптотическая оптимальность решетчатых кубатурных формул на гильбертовых пространствах // Докл. АН СССР. 1974. - Т. 126, №1. - С. 44-45.

48. Рамазанов М.Д. Универсальная оптимальность решетчатых кубатурных формул // Докл. РАН 1992. - Т.324, №5. - С. 933-937.

49. Рамазанов М.Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным. Задачи теории кубатурных формул. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2007. - 18 с.

50. Рахматуллин Д.Я. Интегрирование функций по выпуклым областям решетчатыми кубатурными формулами на многопроцессорных вычислительных системах: Дис.канд. физ.-мат. наук. — Уфа, 2006. — 114 с.

51. Соболев C.JI. Введение в теорию кубатурных формул. — М.: Наука, 1974.-808 с.

52. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. JL: Изд-во ЛГУ, 1950. - 255 с.

53. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / Под ред. О.А Олейник. — 3-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1988. - 336 с.

54. Соболев С.Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука, 1989. - 254 с.

55. Соболев С.Л. Избранные труды.Т.1. Уравнения математической физики. Вычислительная математика и кубатурные формулы. Новосибирск:

56. Изд-во Ин-та математики, Филиал «Гео» Изд-ва СО РАН, 2003. -692 с.

57. Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. - 484 с.

58. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. -311с.

59. Умарханов И. Построение и обоснование решетчатых кубатурных формул для областей с кусочно-гладкими границами: Дис. . канд. физ.-мат. наук Ташкент: ТашГУ, 1986. - 173 с.

60. Урбаханов А.В., Шойнжуров Ц.Б. Общий вид финитных функционалов погрешности кубатурных формул в пространстве Соболева // Журнал Вычислительные технологии.- 2004 — Т.9.-С. 133-138.

61. Урбаханов А.В. Построение кубатурных формул общего вида //Математика, её приложения и математическое образование: Материалы международной конференции. 4.2 (24-28 июня 2002г., г. Улан-Удэ),- Улан-Удэ: ВСГТУ, 2002.- с.81-84.

62. Францев Г.Л. Оценка сверху функционала погрешности с регулярным пограничным слоем в пространстве С.Л. Соболева с весом // Abstracts of the International Conferense of Mathematics. Ulaanbaatar, 2001. - C. 14.

63. Францев Г.Л. Оценка погрешности кубатурных формул с пограничным слоем и узлами на решетке в весовом пространстве Соболева: Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.07) / Вост.-Сиб. технолог, ун-т. Улан-Удэ, 2001.-99 с.

64. Функциональный анализ / М.Ш. Бирман, Н.Я. Виленкин и др.; под ред. С.Г. Крейна. М.: Наука, 1964. - 424 с.

65. Хаитов Т.И. Кубатурные формулы с заданием производных // Докл. АН ТаджССР. 1969. - Т.12, №10. - С. 3-6.

66. Хаитов Т.И. Оптимальные и близкие к ним периодические кубатурные формулы с кратными узлами // Вопр. вычисл. и прикл. матем — Ташкент 1975. — вып.32 С. 168-173.

67. Цыренжапов Н.Б. Оценка погрешности кубатурных формул с пограничным слоем и узлами на решетке в пространстве Соболева L™(En) : Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.07) / Вост.-Сиб. технолог, унт. Улан-Удэ, 2004. - 102 с.

68. Шатохина Л.В. Оптимизация квадратурных формул типа Грегори дляпространств а,Ъ. I/ Кубатурные формулы и их приложения:

69. Материалы V международного семинара-совещания / Отв. за выпуск М.Д. Рамазанов; ИМВЦ УфНЦ РАН, БГПУ. Уфа, 2001. -С. 156-158.

70. Шойнжуров Ц.Б. Оценка функционалов погрешности кубатурной формулы в пространстве с нормой, зависящей от младших производных: Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.07) / Ин-т математики СО АН СССР. Новосибирск, 1967. - 83 с.

71. Шойнжуров Ц.Б. О приближенном интегрировании функций в Jvjm^(Q)

72. Применение функциональных методов к краевым задачам математической физики: Материалы III Советско-Чехословацкого совещ. Новосибирск, 1972. - С. 255-256.

73. Шойнжуров Ц.Б. Весовые кубатурные формулы в пространстве С.Л. Соболева // Теория кубатурных формул и приложения функциональногоанализа к некоторым задачам математической физики. — Новосибирск, 1973.-С. 41-45.

74. Шойнжуров Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Дис.докт. физ-мат. наук (01.01.01, 01.01.07) / Вост.-Сиб. технолог, инт Улан-Удэ, 1980. - 235 с.

75. Шойнжуров Ц.Б. Асимптотически оптимальные квадратурные и кубатурные формулы. Новосибирск, 1979. - С. 28. - (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-е. ин-т математики; №55).

76. Шойнжуров Ц.Б. Норма функционала погрешности в пространстве

77. W^ (Еп) // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинарасовещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С. 123-127.

78. Шойнжуров Ц.Б. Кубатурные формулы в пространстве С.Л.Соболева Wр . Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2002. - 222 с.

79. Шойнжуров Ц.Б. Оценка нормы функционала погрешности кубатурных формул в различных функциональных пространствах. Улан-Удэ: Изд-во Бурятского научного центра СО РАН, 2005. - 247 с.

80. Шойнжуров Ц.Б., Санеева Л.И., Булгатова Е.Н. Вычисление определенного интеграла с помощью кубатурных формул, содержащих значения функции и её производных, с коэффициентами, зависящими от уравнения границы // Вестник ВСГТУ. -2006. — С.5-12.

81. Шойнжуров Ц.Б., Булгатова Е.Н. Вычисление несобственных интегралов // Математика, её приложения и математическое образование: Материалы III Всероссийской конференции с международным участием. ЧII—Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2008. -273с.