Правоальтернативные почти альтернативные кольца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ Споциализированшй совет Д.002.23.01

На правах рукописи ЧУВАКОВ Валерий Петрович

уда 512.554

ПРАВОАЛЬТЕРНАТИВШЕ ПОЧТИ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ КОЛЬЦА

01.01.06 - математическая логика, алгебра я теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

I -.

¡овосибирск-1988

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете им .Ленинского комсомоле".

Научный руководитель -

кандидат физико-математичеоких наук,доцент

А.А.Ншштин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математичеоких наук С.В.Пчелинцев кандидат физико-математичеоких наук И.М.Михеев

Защита оостоитоя " " в чаоов на

заседании специализированного совета Д.002.23.01 при Институте математики СО АН СССР по адресу: 630090, Новосибирск-90, Университетский проспект,4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО'АН СССР.

Автореферат разослан " " 1988 г.

Ученый секретарь специализированного совета д-р физ.-мат.наук

Е.А.Палвхин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В отруктурной теории колец и алгебр одним из вакнейших инструментов является понятие радикала. Это объясняется тем, что введение радикала дает возможность в классе всех рассматриваемых колец выделить два противоположных по свойствам подкласса - класс полупростых колец и класо радикальных колец. Как правило, кольца из каздого подкласса имеют более понятное описание, в тоже время произвольное кольцо является расширением полупростого кольца с помощью радикального.

Теория радикалов ассоциативных, альтернативных и йорда-новых колец, колец типа (-1,1) получила в настоящее время большое развитие. Известен ряд'радикалов, позволяющих доказать глубокие структурные теоремы в этих классах £ 1,3 1 .

Традиционным в теории колец, близких к ассоциативным, является вопрос о строении первичных колец. Дело в том, что для описания полупростах классов важно знать строение полупервичных колец, а всякое полупервкчное кольцо является под-прямой суммой первичных колец. В частности,для ниль-радика-лов все полупроетне кольца полупервичны.

Известно, что первичное альтернативное невырожденное кольцо либо ассоциативно, либо колвдо Кэли-Диксона, (СлеЙтер [з])

Примеры И.М.Шххеева [6,7] показывают, что существуют простые и первичные правоальтернативные неальтернативные кольца.

Простые правоальтернативные кольца изучались в работах А.Теди [24] , В.Г.Скосырского [,1б] . Доказано например, что простое правоальтернативное кольцо либо альтернативно, либо лиль-кольцо..

Одним из естественных обобщений альтернативных колец является класс "3^1 почти альтернативных колец, все кольца которого характеризуются следующим свойством: Если ; % -кольцо из класса Щ , 1-идеал ^ , то I2 -идеал кольца .

При классификации почти альтернативных колец А.Албертом .

[_21] были выделены два основных подкласса? кольца типа (у г % ) и правоальте чативные почти альтернативные кольца.

Автором [.26 3 в 1982 г. бчло -отменено, что всякое право-адьтернатмвноо почти альтерачтпвное Ф -операторное кольцо либо альтернативно, либо кольцо типа (-1,1), либо удовлетворяет тождеству (у, у, аг>= АЦл^ДуЗ либо удовлетворяет тождеству =

Первичное кольцо типа (-1,1) характеристики /2,3 либо ассоциативно, либо удовлетворяет тожеству [[, г] = <5> ( И.Гендель [22] ), а пртлерц С.В.Пчелинцева [ 12] показывают, что существуют первичные неассоциативше алгебры-типа (-1,1), удовлетворяющие тождеству *о.

И.Генцель [23] в 1977 г. доказал, что полупервичноа правоальгернагавное кольцо, удовлетворяющее тождеству,

= Л [[^уХ^З ,' ^ / . ассоциативно и комму-

тативно. 1

Вопрос ой описании первичных правоальтечттивных колец, удовлетворяющих тождеству [[ //] = (? , оставался открытым.

Важное место в теории неассоциативных колец занимают вопросы соотношений между разредшмоотью и нильпотентностью, ыеаду различными нильпотентностями в различных классах колец.

Для ассоциативных алгебр справедлива теорема Нагаты-Хиг-мана о нильпотентности ассоциативной ниль-алгебрц индекса

п■ без элементов порядка < п в аддитивной группе. Примеры Г.В.Дорофеева [23] показывают, что существуют альтернативные и (-1,1) разрешимые, но не нильпотентные алгебры, т.е. теорема Нагаты-Хигглана не переносится на случаи альтернативных и (-1,1) алгебр.

В 1962 г. К.А.Жевлаков [ 3 ] доказал, что альтернативная ниль алгебра индекса л без элементов порядка < п .ь аддитивной группе разрешима.

В работах [15,13 ] аналогичный результат доказан для колец типа (-1,1).

Связи между разрешимостью и нильпотентностью альтернативных и (-1,1) колец изучал С.В.Пчелинцев [ 13] .В 19Б4 г. им были получены следующие результаты:

- квадрат разрешимой альтернативной алгебры нильпотентен,

- если 4 -алгебра типа (—1,1), всякий ассоциативный фактор, который нильпотентен, то алгебра А* нильпотентна.

Связи между нильпотентностью правонильпотентностью и ле-вонилыготентностю в альтернативных и (-1,1) кольцах изучались в работах £3,10,14,18]] ,

Примеры С,В,Пчолинцева [ II ] и А.М.Слинько [18] показывают, что существуют правоальтернативные правонильпотентше и правоальтернативные левонильпотентные, но нешш-потенгаые кольца,' Вместе с тем, из правонильпотентности и левонилыто-тентности правоальтернативного кольца следует его нильпотентность [ю] ,

В классе альтернативных и (-1,1) колец понятия нильпотентности, правонильпотентност.. и левонилыготентности зквива-лентны [3,10,14] ,

Естественными вопроса',™ в теории радикалов неассоциативных колец являются вопрос о наследственности радикалов и вопрос о нильпотентности ниль-радикала в кольцах с условием минимальности для идеалов.

В работах Т.. Андерсона, Н,Дивинского, А.Сулинского [з] , А.С.Нарковичева [4] , А.А.Ншштина [9] доказано, что в классах альтернативных, (-1,1) и йордановых колец для произвольного радикала X всякий идеал "С -полупростого кольца ч -полупрост. Следовательно, в этих классах колец вопрос о наследственности радикала эквивалентен вопросу, о дикальности всякого идеала * -радикального кольца, Для наднильпотедтного радикала в классе ^йордановых колец этот результат доказан А.М.Слинько [19 л"

Правоальтернативные алгебры с условием минимальности для правше идеалов изучал В.Г.Скосырский Г173 . Он доказал, что кваэирегулярный радикал С А) правоальтернативной алгебры А с условием минимальности для правых идеалов право-нильпотентен, а фактор-алгебра А /з (А) является конечной прямой суммой матричных колец над телами и алгебр Кэли-Дик-сона. Причем невозможно заменять правую нильпотентность на нильпотентность и невежа аналогичная теорема для алгебр с условием минимальности для левых идеалов.

Альтернативные и (-1,1) кольца с условием минимальности для двусторонних и правых (левых) идеалов изучали,соответственно, К.А.Еевлаков [ 3,гл. и Р.Э.Роомелзди [14] шла доказано, что ииль-идеал альтернативного ((-1,1)).кольца с условием минимальности для правых (левых) идеачов нильпотен-тен.

Диссертация посвящена изучению вопросов о строении первичных колец соотношении между разрешимостью и нильпотентностью, между различными нильпотентностями, вопросов о наследственности радикалов и строении колец с условиями минимальности для идеалов в классах правоальтернативиых колец, удовлетворяющих одному из тождеств у]- о либо

Основные работы диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер, а результаты ыог„ т.быть использованы в теории неассоциативных колец и при чтении спецкурсов.

Результаты диссертации докладывались та заседаниях семинаров "Алгебра и логика", "Теория колец", "Кольца, близкие к.ассоциативным" в Новосибирском государственном университете и Институте математики СО АН СССР.

Основные результаты опубликованы в работах [25-29] -

Работа состоит из введения, трех.глав, списка литературы и изложена на 100 страницах. Библиография содержит 49 названий. - *

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Пусть ф -ассоциативно-коммутативное кольцо, содержащее % • " *

Кольцо будем называть правоальтернативным почти альтернативным, если оно удовлетворяет тождествам:

с.у, г) (г, 'Д [[х'З] -о,

,гда ДДА,Л< ^

В § I главы I вводятся некоторые определения й доказываются необходимые в дальнейшем тоадества.

Показано, что всякое правоальтернативное почти альтернативное кольцо либо альтернативно, либо кольцо типа (-1,1), либо удовлетворяет тождеству /у,«/. '¿[{^у!,рЬ «

либо удовлетворяет тоадест^у [I я-.у)^]'?.

Пример I, приведенный в § I показывает, что существует пргшоальтернативное кольцо, удовлетворяющее тождеству

*)' - ^ {(*,'/] и] » которое не является почти альтернатив нш^. ' *

Доказано так же, что в право альтернативном кольце Я , удовлетворяющем тождеству н] » О , ассоцяаторннй

идоал £ М* [\Р,е\#\ ,где /V»

• | (ал, ¿¡1 а, ¿с /? | ' и 'т> (в) удовлетворяет

тождеству [I

В' § 2 главы I изучаются правоальтернативные кольца, удовлетво^ющие тождеству ' О.

Основным результатом главы I является ТЕОРША 2. Пусть £ -правоальтернативное Ф -оператор ное кольцо (.'/б Ф) , удовлетворяющее тождеству [ I 1 о , в -идеал кольца Ъ , порожденный

<Р -модулем II .Тогда:

. Г) а'гг;, .

¿) ^ является строго (-1,1) /? -бимодулем. Идея доказательства заключается в следующем: если 2 - -коммутативный центр кольца £ , | & (г,?,*» А

то Н -идеал & , причем Ц 3 - Н и /г удовлет-

воряет'тождеству и*^-"1, ■•£?.

Отметим некоторые следствия • э теоремы 2:

СЛЕДСТВИЕ 4. Произвольное правоальтернативное почти альтернативное Ф -операторное коладо { с <р ) либо альтернативно, либо кольцо типа (-1,1), либо является расширением альтернативного или строго (-1,1) кольца с помощью тривиального кольца,

СЛВДСИЩ 6. Простое правоальтернативное Ф -операторное кольцо ( % ^ Ф) , удовлетворяющее тождеству у], ассоциативно и комму ютивно, т.е. является полем. Из теоремы 2, результатов [ 3,22,23 ] вытекает ТЕОРША 3. Пусть 8 -первичное правоальтернативное почти альтернативное Ф -операторное кольцо ( 0'с <? Р ). Тогда Я либо ассоциативно, либо кольцо Кэли-Диксона, либо колыдо типа (-1,1), удовлетворяющее тождеству [д*-,^, <>3■•(/

Вторая глава посвящена изучению связей ..езду разрешимостью и нильпотентностью, между различными-нильпотентностями в классе правельтернативньис колец удовлетворяющих одному из тождеств [I , /у. </, *> у ]

§ I главы 2 построен пример разрешимого, но ненильпотен-тного правоальтернативного кольца, удовлетворяющего тоадест-ву и доказано, что правоальтернативная почти

альтернативная нкль-алгебра индекса я без элементов порядка -й п в аддитивной группе разрешима. Во втором параграфе главы 2 доказаны ТЕОРЕМА б. Пусть А -правоальтернативная Ф -алгебра ( Р ), удовлетворяющая тождеству [I ■*•,#}. -О. Если всякий ассоциативный фактор 4 нильпотеытен, то алгебра А* нильпотентна.

ТЕОРША Пусть А -разрешимая правоальтернативная <Р -адгебра (*/& <? Ф) , удовлетворяющая тождеству Ч/'У'^'Лкъу!^], Л .Тогда идеал А1 нильпотентен.

Доказательство теоремы 5 аналогично доказательству С.В, Пчашшцева [13] . При доказательстве теоремы 6 доказано, что существует число /V такое, что ^Т, - о ( где & А -оператор праёого либо левого

умножения на элемент из Ах.

- В третьем параграфе главы 2 доказано, что в класое пра-воальтернативных Ф -операторных колец, удовлетворяющих одному из тоздеств [I о^Д у] .0, (у. у, *) * А [I ✓

лев'оннльпотентиость и нильпотентность эквивалентны.

Пример 3 левонильпотентного, но ненильпотеитного право-альтернативного кольца, удовлетворяющего товдеству

-V *■{'}< » показывает, что условие А* £

является существенным.

Доказана также эквивалентность правоннльпотентности и шшлготентнссти в классе правоальтернативных колец, удовлетворяющих одному из тождеств

-С, ■/у, у, Ь ,

Построен "йример правонильпотентного, но ненильпотеитного

ггравоальтернативного кольца, удовлетворяющию тождеству

у, / [[ * </],'/! • К3* следствие получаем, что

в классе правоальтернативных почти альтернативных колец

правонильпотентность и нильпотентность эквивалентны.

Третья глава диссертации посвящена изучению радикалов

в классе правоальтернативных почти альтернативных колец,

В § I главы. 3 доказана

ТЕОРША'8. Пусть X -произвольный радикал в классе <*?? правоальтернативных почти альтернативных Ф -операторных колец ('/(, <Р ). • Тогда всякий идеал ^ -полупростого кольца из 1 -полупрост.

Как следствие получаем, что.'в классе правоальтернативных почти альтернативных колец локально-конечный в смысле Ширшова радикал, локально-кильпотвнтный радикал, нижний нильрадикал являются наследственными.

В § 2 главы 3 изучаются кольца о условием минимальности для идоалов. Доказаны: - -

ПРШОЖШГЕ II. Пусть % -правоальтернативное почти альтернативное -операторное коладо ( ^Ф ) с условием минимальности для правых.идеалов,.Тогда

I) нкль-редикал лг(Р) нильпотентен (следовательно радишиш Л\ е) , У*() совпадают).

П) фактор-кольцо р является конечной прямой

суммой матричных колец над телами и алгебр Кэли-Диксона.

ПРВДОШШЕ 13, Пусть % -правоальтернативное (^-операторное кольцо ( € Ф ), удовлетворяющее тождеству

IС # } * • с условием минимальности для левых .

идеалов, Тогдаг

I) ниль-радикал N(#) нильпотентен (следовательно,

Xсек псе) совпадают) П) фактор-кольцо & с) является конечной прямой суммой полей.

Автор выражает благодарность И.П.Шостакову и А.А.Никитину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Литература

I* АндрунакиевичВ,А,5Рябухии Ю.И, .Радикалы адгеор и CîpyKfïpKcwî теория И. 1Наука„ 1979,

2. Дорофеев Г.В., Пример разрешимого ,на иэнильпотент-кого (-1,1) колъца//Алге0ранлс-;«а-12,*2(1973)-СЛ62-166

Зс йеалаковК.А.,Слинько А.Ы., Шестахов И.П., Ширщов А,И. Кольца,близка к ассоциативньи, М,: Наука, 1978,

4« Маркозичэв A.C. О наследственности радикалов колец типа Cr, О// Алгебра и логика 17„»1(1976), - С. £7.-55,

5, Марковичев А,С, Няль-кольца типа (?) О// Алгебра и логика. - 17,»2(1978), - C.IBI-ZOO.

6, Михеев И.М. О первичных правоальтернативных кольцах» 3//Алгвбра и логика. - 14,»I (1975),-С.5б-бО.

7« Ыигеев И.Ы. Простые правоальтернативные кольца// Алгебра и логика, - I6,Ï6{I977). -C.682-7II.

8, Никитин A.A. Почти альтернативные алгебры // Алгебра м логика» •I3e*5{ISf74),-G.50I-533,

9, Никитин А,А. О наследственности радикалов колец// Алгебра и логика. 8 17, *ЗС*978), -С, 303-315.

10, Пчелмнцзв C.B. Нильпотентность ассоциаторного идеала свободного кошчно-порождеиного (-1,1) кольца// Алгебра и л~»икав -14,*б(1975У. -С.543-571.

11, Пдалинцэв C.B. О локально-кильпотентноа радикала в некоторых классах правоальтернатавных колец//Сиб,катет.

ж. -I?,#2(1976). -С.340-360.

12, Пчелиниэв C.B. Первкчнкз алгебры и абсолю^кш делители нуяя//Изв. АН СССР, - 50,Ш1986) .-C.79-I00.

13, Пчелинцвв C.B. Разрешимость и нильпотентность альтернативных алгебр а алгебр типа (~1Д)//Группы и другие алгебраичаские систеш е условиями конечности.- Новосибирск Наука, 1984.- C.8I-I01.

14,Раомельди Р.Э. Нильпотентность идеалов в £~I0Ï) кольцах с условием миншальности//Алгэбра м Логиха,-12с $3(1973),-О.333-348.

Хб.Роодальди Р.Э. Разрешимость (-1,1) ниль-коявц// Алгебра и логика.- 12,)М(1973).~С. 478-489.

16. Скосырский В.Г. Правонильпотантныв алгебры// Алгебра и логлка,- 23,,¥2(1984). -С. 185-192.

27, Скосырский В.Г» Правоальтернативнш алгебры е условием минимальности для правых яде ало в//Алгв бра и логика,- 24, •>2(1985).-C.205-2I0.

18. Слинько А.Н» Сб эквивалентности ¡.*зкоторых нйльяо-тентноствй в правоальтернативных кольцах//Алгебра м логика. »9,50(1972), -С. 342-348.

19. Слинько А ..У. О радикалах йордакошх кол9ц//Алгебра и логика.-II ,$2(1972)C.206-2I5,

20. Шэстаков И.П. Об одной проблема 12ироова//Адгабра :i логика,-16,.92(1977). -С.227-246.

ACêvU A.A. Aùnest a-tUb%ctU*Jb. aJgeëuig// fhltag, Л/аМ.- ' -с. ¿5-36.

22» hUnlid 7.-е A/U, $i*>tf& Ob^s/

-7. At^-éici. (f9-4SP.

ЯЗ. Vâthîj^ T. AU-eiJ%aZi>i-i. tf & // Txà^s . Л,™-*. . Sir

24. -rtUvty /f. «^«/«toî; zJ'j.Jt'^-z*/ -Работы автора по теш диссертации

25. Чуваков В.П. Правоальтернативнь© почти альтериатив-

к® алгебры с вдзтотзктой // 5-й ВеасоэзкцЕ симпозиум по таорщз кохэц» олгэбр в модулзй» Новосибфск, 1932. - 0.147,

25» Чуваков Б.П. Прелюальтзрнатившэ почти альтернат!;-еныз кольца//17-й Бсэсоазная аягебрекчзсная конф.- Киоинэв.» 1885,- С»274„

27. Чувакоа В.П. Правоальтернативные почти альтарка-тивнш ииль-алгебрц/Д1овоскбирск.-1986.- 17 с.-{Препринт/ АН СССР Сиб. отд.-ниа Ик-т математики, 17)в

28. Чуваков В.П. Парвичныз правоальтериативныэ почти альтернаты внш алгебры// Алгзфа и логика,- 25, I? 5(1986).-С, 600-610.

29. Чуваков В.П. Наеладстезнность идэвлов в классе правоальтариатмвкак: пойти альтернативных коти// Алгебра к логика250 » 6С1986К- С. 687-695.

Подписано к печати 15.07.88 Ш 09551

!ортт бумаги 60x84„ 1/16. Объем 0.75 д. л. 0.625 уч.-изд.. . Тираж 100 экз. Заказ 214

Отпечатано на ротапринте Института математики СО АН СССР 630090,Новосибирск , 90