Предельные режимы направленного затвердевания бинарных расплавов и растворов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

уральский ордена трудового красного знамени политехнический институт им. с. м. кирова

На правах рукописи

Искакопа Лариса Юрьевна

предельные режимы направленного затвердевания бинарных расплавов и растворов

1 Специальность 01.04.14 - Теплофизика и

молекулярная Физика

А в. т о' р е Ф е р д т диссертации на соискание ученой степени кандидата физнко»математических наук

Свердловск 1991

Работа выполнена в Уральском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете ии. А. М. Горького на кафедре математической Физики.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Ю. А. Буевич Научный консультант - кандидат физико-математических наук.

доцент Ё. В. Мансуров Официальные оппоненты: доктор Физико-математических наук, профессор П.С. Попелъ (СГПИ); кандидат Фиэико-яатематических наук, доцент Н. Ф. Балахонов (УрГУ) Ведущая организация: Институт Металлургии УрО АН СССР, (г. Свердловск)

Защита диссертации состоится " 4 " марта 1991 г. в 14.30 на заседании специализированного совета К 063.14.11 при Уральской ордена Трудового Красного Знамени политехническом институте иа. С.И. Кирова (пятый учебный корпус, ауд. Ф-419).

Отзыв в одной экземпляре , заверенный гербовой печатью, просим направлять по адресу: 620002, Свердловск, К-2, УПИ ии. С. И. Кирова, ученому секретарю института, тел. -44-85-74.

С диссертацией, можно ознакомиться в библиотеке Уральского политехнического института им. С.М. Кирова. Автореферат разослан "_"__1991 г.

КОНОНЕНКО Е.В.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических.наук

ОЕВАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Процессы направленной кристаллизации широко распространены в природе и технологиях,находят применение п чьрноя, цветной и полупроводниковой металлургии , био- и химической технологии. Исследование тепломассопереноса, сопровождаемого фазовыми переходами, имеет Фундаментальное значение при затвердевании отливок и слитков,промерзании водонасыщенных грунтов и пород, жидкостей у стенок трубопроводов, создании искусственных кристаллов, используемых в качестве рабочего тела в лазерах и других приборах, и т.д. Позтому изучение направленной кристаллизации представляет собой актуальную прикладную проблему.

При направленном затвердевании расплавов и растворов жидкая ©аза часто оказывается переохлажденной {концентрационное переохлаждение), что приводит к неустойчивости поверхности раздела между кристаллом и жидкоЯ еазой, образованию ячеисто-дендрнтных структур роста, развитию двухфазной зоны. Новые режимы (с ячеисто-дендритными пеясэзмняи поверхностями и двухфазной зоной) очень сильно влияют на распределение температурных и концентрационных полей, а следовательно, и на окончательную сегрегация примеси в твердом материале. Последнее оказывает фундаментальное воздействие на характеристики твегдого материала.

К соязлению, м;югие из с-изич&оких явления, сопровождающих укапанные' процессы, полностью до сих пор не поняты, что связано с отсутствием достаточно представительных адекватных моделей. Поэтому дэннэя работа, направленная на прояснение физической картины процессов и разработку адекватных модельных представления. актуальна и в общенаучном отноиении.

Цели работы:

Определение типа нарушения морфологической устойчивости плоских Фронтов для стационарного и автомодельного режимов затвердевании", определенна характеристик слабонелинейных структур фронта, устанавливающихся при нарушении его устойчивости; разработка новых методов иоделирования процессов затвердевания с тонкой двухфазной зоной; выявление принципиальных особенностей тепло-массопереноса при затвердевании в замкнутых объемах с внешним охлаждением их границ.

Научная новизна. В роботе получены следующие новые результаты:

1. Проведен нелинейный анализ морфологической устойчивости

>

автомодельного режима направленного затвердевания с плоским Фронтом. Показано, что наруиение устойчивости возможно как по мягкому типу (с образованием регулярной ячеистой структуры Фронта), так и по месткому (с формированием дендритов).

2. Выделен комплекс паранетров, определяющих морфологию Фронта Затвердеваний и критические условия перехода от ячеистой к. дендритной структуре для стационарного и автомодельного рекииов.

3. Предложена' упрощенная полуфеноменологическая модель для описания слабонелкнейных структур ¿ронта, основанная на использовании локального нелинейного уравнения движения фронта.

4. Получено аналитическое реиенке, описывающее структуру тонкой (по сравнению с характерными линейными масштабам:: процесса) квазаравновесноо двухфазной зоны.

5. На основе анализа этого реиения сформулирована новая постановка для важного класса задач направленной кристаллизации с двухфазной зоной.

6. Показано, что процессы направленного затвердевания а замкнутых обьеках при внешнем охлаждении их границ могут иметь термически контролируемую макрокинетику. Получено автомодельное решение для таких процессов с квазиравноЕесной двухфазной зоной.

Практическая ценность работы обусловлена тем, что

приведенные в ней сведения о характере и условиях нарушения устойчивости стационарного и автомодельного режимов направленного затвердевания дают возможность эффективного прогноза характеристик растущего монокристалла (дендритный или ячеистый тип структуры фронта, в последнем случае - параметры. ячеек, концентрационный профиль) в зависимости от условий роста и свойств затвердевающей системы. Результаты проведенных исследований квазиравнбвесной двухфазной зоны могут быть использованы в процессах непрернвной разливки металлов, при затвердевании

отливок и слитков.

Положения, выносимые на защиту. Автор защищает-

1) результаты нелинейного анализа морфологической устойчивости плоских фронтов для стационарного и автомодельного режимов затвердевания; упрощенную модель для описания слабонелинейных структур фронта;

2) постановку для задач направленного затвердевания с узкой квазиравновесной двухфазной зстой, в которой зона заменяется поверхностью разрыва с новыми граничными условиями;

3) вывод о возможности терпически контролируемой какроКинетики процессов затвердевания в замкнутых объемах при внешнем охланде-нии их границ.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на IV Всесоюзном семинаре по гидромеханике и тепломассообмену в

невесомости (Новосибирск, 1987), 19-я региональной конференции молодых математиков (Свердловск, 1988), Международной конференции по кинетике неоднородных процессов (Канада, Баннф, 1989), на IV Национальном конгрессе по теоретической . и прикладной механике (Болгария, Варна, 1989), Республиканской конференции, посвященной памяти академика АН УзССР X.А.Рахматулина (Ташкент, 1989), на 3-м Всесоюзном семинаре "Современные проблемы теории фильтрации" (Москва, 1989), на 1-й Уральской пколе по росту кристаллов и интерметаллидов из расплава (Свердловск, 1990).

Материал» диссертации изложены в 15 публикациях. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и списка литературы (149 наименований). Общий объем работы составляет 160 страниц машинописного текста, а том числе одна таблица и 34 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ: Во введении обосновывается актуальность работы, сформулирована ее цель и объект исследования, кратко изложено ее содержание по главам.

В перроя главе, имеющей характер литературного обзора, обсуждаются основные особенности процессов направленного затвердевания, а тацже критически анализируются результаты других авторов по исследуемой проблеме.

Вторая глзва посвац«на - исследованию структур фронта кристаллизации. воэникаювнх в результат© ■ нарушения

норсологическов устойчивости стационарного и автомодельного режимов затвердеваиив.

Математическая модель процесса включает уравнения

теплопроводности в расплаве и кристалле-и диффузия в расплаве. Диффузией в твердой фазе, а так*е конвективными потоками в расплаве пренебрегаем. На поверхности раздела выполняются балансовые соотношения для потоков тепла и массы примеси, а также условие локального термодинамического равновесия. Вдали от фронта в расплаве концентрация примеси считается известной. Тепловые условия вдали от фронта рассматривались следующие:

1) температура вдали от фронта в расплаве и кристалле задана,

2) тепловые потоки вдали от фронта фиксированы, 3) температура в расплаве вдали от Фронта известна, а в кристалле на некотором фиксированном расстоянии от поверхности раздела осуществляется теплообмен по закону Ньютона.

Найдено ква-п. стационарное и автомодельное решения полученной системы уравнений, соответствующие затвердеванию с плоским фронтом, и исследована устойчивость основных решений по отношению к (-:алып возмущениям. В результате линейного анализа получен критерий, разбивающий пространство Физических и режимных параметров на области устойчивости и неустойчивости. Показано, что неустойчивыми прежде всего становятся синусоидальные возму-цения с некоторым волноьым числом о

По мере роста неустойчивые Флуктуации Форма фронта могут б^ть стабилизированы нелинейным взаимодействием возмугц-^ний с образованием некоторого стационар. 1мго состояния. Игследонэние оволюции оенг,яны.-: режимов затвердевания проводилось вблизи кривой нейтральной устойчивости методами теории бифуркация Ландау -Х^пфа. Амчлиз -эволюционных уравнения для возмущений показал, что наруи-ние устойчивости возможно как п'1 мягкому, так и по жесткому т'.'.г.у 2 серв.м случае в области неустойчивости формируется

регулярная ячеистая- структура фронта кристаллизации. Квадрат амплитуды д отклонения фронта от плоской формы возрастает пропорционально параметру надкритичности * , характеризующему степень углубления в область неустойчивости от нейтральной кривой

4= Р •

где Р - известная функция « , а также физических и режимных параметров. Критерием мягкого нарушения устойчивости является положительность Р . В случае Р <0 неустойчивость нарушается нестким образом - при переходе через нейтральную кривую амплитуда фронта возрастает скачком от нуля до конечного немалого значения. Физически зто соответствует образованию на первоначально неустойчивом плоском фронте системы дендритов.

Как показали расчеты. поведение ? определяет следующий комплекс безразмерных параметров:

Р : Р .(к , А , а , в . К). ( 1 )

где Л - отношение коэффициентов теплопроводности в твердой и жидкой фазах, к - равновесный козффициент распределения примеси, з ' - параметр, пропорциональный скорости движения Фронта 0, в . - безразмерный градиент температуры в жидкой Фазе у фронта, К - критерий Кутателадзе, К = Ь / (С,-®0). Ь -скрытая теплота кристаллизации, С - удельная теплоемкость расплава, • - температура затвердевания чистого расплава. Вычисления Г проводились для следующих ситуация затв-зрдевания: 1) для роста кристаллов, погруженных в расплав (при этом все параметры в ( 1 ) можно считать независимыми) , £) для процессов кристаллизации, в которых скорость фронта и градиент температуры В расплаве задаются независимо (способы.Чохральского, Бриджмена, зонной плавки и др.). На рис. 1 показана Функция р ( О ) для

первого случая при различных значениях Л - параметра, наибольшей степени ответственного за морфологию фронта. 1в<П

-2

1 / /

/ У /■ ^ г

-3

Рис. 1. Зависимость Г от 0 для А < 1 (сплошная хривая) и А > 1 (штриховая кривая)

-2

18(0)

Если Л < 1, что характерно для большинства полупроводников, то Г плавно нарастает при увеличении 0 . В реализуемом интервале скоростей значения Р положительны, следовательно, всегда должна формироваться ячеистая структура фронта, что и наблюдается на практике. Для А > 1 (металлы) существует критическое значение скорости 0, , при превышении которой ? становится отрицательной. При этом мягкое возбуждение неустойчивости сменяется жёстким, а ячеистая структура - дендритной. Численные расчеты показали, что для критической скорости справедливо представление

О, = Э. Р Ь (а1 Г)"* ,

где а и Р - коэффициенты диффузии, температуропроводности

и плотность жидкой фазы. Г - удельная свободная энергия на границе кристалл-расплав, а г.(А, к, С) - быстро убывающая

Функция А и возрастающая Функция к.

Дла случае меткого возбуждения неустойчивости на основе эволюционных уравнений были рассчитаны профили Фронта кристалли-

1

зации. На рис. 2 показана эволюция плоского фронта по пере

Рис. 2. Эволюции искажения фронта при увеличении надкритичности. Кривые 1.2,3 соответствуют значениям * = О, 0.01, 0.1

углубления в область неустойчивости (т.е при увеличении параметра надкритичности . * ). Еидно, что расстояние от основания ячеек до ее вершин возрастает, вершины ячеек затупляются, а впадины углубляется и сужаются. Такой характер эволюции отмечен в -экспериментальных работах. Расчеты концентрационных полей в окрестности ячеистого Фронта сбидетельствуйт.что содержание примеси (по сравнению со средним значение») в канавках увеличивается, а на вершинах ячеек уменьшается, что подтверждается на опыте.

В шестой параграфе данной главы для описания слабонелиней-ьых структур фронта кристаллизации предлосена упрощенная полу©еноЬеноло*-ическая подель, основанная на использовании локального нелинейного уравнения дйпяенис фронта. Показано, что в широком интервале йзМекения физических и режимных параметров приблмаеннао Теории Дает удовлетворительные результаты.

Концентрационное переохлаждение расплавов у. растворов, результатом которого волет быть образование ячеистой г.лк дендритной структуры фронта, в обвей случае приводит к сформированию мекду кристаллом -и расплавом переходной двухфазной зоны, которую заполняет жидкая ОаЬа, дискретные кристаллы к ветви дендритоа. Расточая твердая фаза зоны погловает примесь и выделяет тепло, что сникает степень переохлаждения. Если образование

—Ч Л 3 ,1 \ \

и рост зародышей происходят достаточно интенсивно, то переохлаждением в зоне можно пренебречь и считать ее квазиравновесной. Современная теория двухфазной зоны с полностью снятым переохлаждением основывается на системе уравнений:

рс('£ ) = V 7») ♦ PL g .

(2)

^ [(!-<?) в] з 7 (D 7 О) - к в Ц .

Здесь » и 9 - температура и объемная доля твердой.фазы в двухфазной зоне, в - концентрация примеси в жидкой фазе зоны, и - наклон линии ликвидуса, С - средняя удельная теплоемкость, * и D - эффективные коэффициенты теплопроводности а диффузии, зависящие от tp. Первое соотношение о Г2> означает устойчивое равновесное состояние кристаллизующейся . жидкости внутри зоны. Уравнение тепломзссолереноса в (2) записаны с учетом тепловыделения и • поглощения примеси, ^ связанными с кристаллизацией сплава. Приведенные уравнение выражают равновесие между расплавом состава о и выяеляпщкмисн из него кристаллами состава к(о)-с при температуре Р — 0(6).

В третьей главе на основе модели (2) аналитически к численно исследуется структура квазиравновесной двухфазной зоны, кого макрокинетика процесса определяется диффузионными явлениями. Пг. я предел t ных ситуаций, когда толщина зоны мял? либо велика пс с характ-'рнмми линейными мчещтабями

процесг а. внэлк? урави-.-ний друхфз-»н:.Я зоны провел*"« методом Mftr.tr.-> параметра; для общего случая построены численные пр^дст.чпленип. В результата для тонкой двухфазной зоны

получено аналитическое решение, которое (при ряде упрощающих предположений) имеет екд:

0 -0»11 * в> - ♦ + ••• • »-»о-«18.

«Р - и Е (( ва».» л] , с « (0,в) ,

в . ш(1-к)6а. _ х, - \ «.

к е, и ' и рТ ' ~ о и -

1 Со

Здесь и. в - скорость продвижения и. протяженность двухфазной зоны, . о^ - исходная концентрация в расплаве, 6, и йг -градиенты температуры в расплаве и кристалле вблизи зоны.

Оценка определяюдих уравнений, проведенная для широких зон, показала, что при выполнении условия 9 » 1 такие квазиравновесные зоны не должна существовать.

Основной вывод, полученный в этой главе, заключается в возможности замены узкой, двухфазной зоны поверхностью разрыва с граничными условиями, следующими из анализа структуры зоны. В результате задача с тонкой зоной сводится к фронтальной постановке, с теи лиаь отличием от обычной стефановскоа, что балансовое соотношение для массы примеси на поверхности раздела заменяется условием

и в С а *

отражающим квазиравновесность зоны.-

Возможности новой модели продемонстрированы в четвертом параграфе данной главы на трех примерах процессов направленного затвердевания: 1) установление стационарного режима в неограниченной области с заданными потоками на удалении от фронта, 2) автомодельный режим затвердевания, 3) затвердевание в ограниченной области с заданными температурами на границах. Для примера на рис.3 представлены результаты расчетов для первой

задачи, следующие из кодифицированной и-стефановсиой постановок С последнюю часта применяют при исследовании процессов 'направленного затверд¡вания ). Как видно иэ рис.3, появление (в условия* концентрационного переохлаждения) тонкой двухфазной зоны' приводит к резкому . замедлению нарастания поверхностной концентрации во и более быстрому установлению стационарного поля концентрации, которое, в отличие от обычного фронтального

»1 I 1 1 * ехр(- и 1/0 )

(3)

зависит от температурного градиента а расплаве

«( I )- 1 В-ехр (- и И >}

и тем сильнее отличается от (3), чем меньше значения к и В.

Результаты, полученные в четвертом параграфе данной главы, свидетельствуют, что процессы роста дендритов на фронте и образования дискретных кристаллов перед ним существенно сказываются на характеристиках направленной кристаллизации (тепловые и концентрационные поля, скорость движения поверхности раздела).

Рис. 3. Пинаиика нарастания концентрации у Фронта, вытесняющего примесь, при к = 0,1 .в условиях образования ква-зирэвновесной зоны. Штриховая кривая соответствует затвердеванию при отсутствии зоны", цифра у кривых - значения параметра В

0 со

9

и-"

7 У

У /\ [Г

5

/ 5

1 /—1 1

2 4 6 . г

'.з'.-ртзя глзчз лоспящена исследован::» процессов затзс.*рде-

ванкя расплавов и растворов при отсутствии внешнего притока тепла к'расплаву (ситуация характерна для всех процессов направленной кристаллизации в замкнутых обьемах при внешнем охлаждении их границК Показано, что в этом случае процесс утрачивает обычный, фронтальный характер. При приведении расплава в контакт с холо- . дильником (температура которого ниже температуры кристаллизации, соответствующей начальной однородной концентрации жидкой фазы) и в результате теплоотдачи к холодильнику в глубь расплава устремляется волна охлаждения, переводящая его в метастабильное состояние. с обрчзованием и ростом зародышей кристаллов внутри всей польсти м'-таитгыбильнг'сти. Поскольку характерное время рас-прострмлонии этой волны совпадает оо временем релаксации температурного пола ■{ (где т^ << т^ , т^ - диффузионное время), то процесс является не диффузионно, а термически контролируемым. По этой причине уместно пренебречь движением Фронта, а также всеми диффузионными процессами в рассматриваемой системе.

Степень реального переохлаждения и концентрация твердой Фазы в иетастабильной области в сильной степени зависят от кинетики гетерогенного образования и роста кристаллических эарс-дыаей. В данной главе рассмотрены такие предельные режимы, когда двухфазная зона квазиравновесна,т.е переохлаждение в ней за счет выделения скрытой теплоты кристаллизации снимается полностью. Это обстоятельство позволило исследовать процессы тепломассопе-реноса без рассмотрения особенностей образования и роста в зоне элементов твердой фазы. В результате задача сводится к автомодельному уравнению для безразмерной концентрации с в двухфазной зоне

♦ х ( с "(п + ° * £ > р. - О

ах1 ах

со следующими граничными условиями:

» _ »

с (П)

гя -б

с(X) - 1

оо

ас

с!х

1 • т0 ♦ в [ г-с

х=Х " . В I *

ехр(- с-Х х 2) егГс[ х] с / 2 ]

Здесь х - автомодельная переменная, X - безразмерная хоординатз внешней границы дзухфазной области, - температура холодиль-

ника, 7 — » /(► и® - начальная температура и концентрация

о о оо со со

расплава, В — (т-в^) /» , п — Параметр с. пропорци-

ональный исходной концентрации расплава (с — вт п С (пЬ) 1 ) . может быть как угодно мал по сравнению с единицей в расплавах или растворах достаточно малой концентрации. 3 результате решения задачи методом малого параметра получено решение, описывающее концентрационное и температурное поля, распределение твердое фазы в двухфазной зоне, закон движения ее внешней границы. Проведено обобщение задачи на случай,когда температура холодильника нияе температуры,соответствующей точке эвтектики сплава; а част-

Ряс. 4. Движение энео-неЯ границы метаста-бяльной области при затвердевании парафиновой смеси. Точки -■эксперимент; криБые -результат расчета по Формуле 2 г а

О 2-4 т.час

мосги показано, что в зтом случае за волной охлаждения, разделяющей рэсплав и двухфазную зону,следует фронт полного затвердева-

кия. Получено хорошее согласие теории и эксперимента (рис.4).

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ:

1. Проведен нелинейный анализ задачи о направленной кри-: сталлизации расплавов и растворов для стационарного и автомодельного режимов с плоским фронтом. Нарушение морфологической устойчивости возможно как по мягкому, так и по жесткому типу.

2. В первом случае,типичном для затвердевания расплавов полупроводников, отклонение фронта от плоской формы близко к синусоидальному, а квадрат амплитуды плавно нарастает пропорционально отклонению в область неустойчивости.

3. Теоретически обоснованы экспериментальные факты о характере эволюции ячеек по мере отклонения в область неустойчивости. Вершины ячеек при этом затупляются, а канавки между ними сужаются и углубляются.

4. Расчеты поля концентрации вблизи ячеистого фронта свидетельствуют, что при увеличении надкритичности происходит все более интенсивное перемещение примеси от вершин ячеек к углублениям , что ранее было зафиксировано эмпирическим путем.

5. Жесткий, тип нарушения устойчивости соответствует образованию дендритной структуры фронта.- Для расплавов металлов практически всегда существует область достаточно высоких скоростей роста, соответствующая этому типу неустойчивости. Выявлены критические условия перехода от ячеистой к дендритной структуре.

6. Аналитически и численно исследована квазиравновесная двухфазная зона. В случав тонкой двухфазной зоны мохно заменить ее поверхностью разрыва с новыми граничными условиями. Наличие

тонкой двухфазной области способно сильно изменять характеристики процесса направленной кристаллизации по сравнению с аналогичными ситуациями с фронтом без двухфазной зоны. V1. Исследована задача о направленной кристаллизации в ограниченных объемах при отсутствии притока тепла к расплаву. В этом случае реяим затвердевания является термически контролируемым, расгуеая твердая Фаза обладает существенно гетерогенной микроскопической структурой. Получены характерные распределения полей концентрации принеси, температуры и объемной "доли твердой Фазы в дзухфазной зоне, а также закон ддияения ее внешней границы, которые качественно согласуются с экспериментом.

Основные результаты диссертационной работы опубликована в следующих работах:

1. Буезяч Ю.Л. , Искакова Л. Ю. , Нансуров В.В. Нелинейная устойчивость и формирование структур при направленном затпердеаании бинарного рас плава. I // Pacn.is.cn. 1Э39. H В. С. 44-50.

2. Еуевчч !0. А. , Пскакова Л. Ю. , (Ьнсуров 3. В. Нелинейная устойчивость I'. формирование структур при направленном затвердевании бинарного расплава.II // РасплзЕЫ. 1990. Н 2. С. G5-73.

3. Искакова Л.П. 0.неустойчивости плоской поверхности рзздела фаз в бинарном расплаве относительно малых возмущений // Кристаллизация. Теория и эксперимент. Ижевск. 1987. С. '.2-47.

4. Искакова Л. Ю. Нелинейная устойчивость и формирование структур в нестационарном автомодельном геяиме // Расплавы. 1391. К 2, С. 83-38.

5. Мансуров В.В. . Искакова Л. Ю. Образование ячеистых и дендритных структур при направленной кристаллизации бинарных расплавов // Тезисы докладов IV Всесоюзного семинара по

гидромеханике и тепломассообмену в невесомости. Новосибирск. 1987. С. 60-81.

С. Буевич Ю. А. , Искакова Л. Ю. Термически контролируемый режим направленного затвердевания бинарного сплава // Тезисы докладов на I Уральской сколе по росту кристаллов металлов и интерметаллидов из расплава. Свердловск. 1990. С. 33.

7. Искакова Л.Ю. , Мансуров В.В. К теории формирования ячеистых

структур при направленном затвердевании бинарных расплавов.I. «

Неустойчивость плоской поверхности раздела фаз. Минск, 1968. 21 с. Den. в ВИНИТИ 16.03.88, N 2125-В88.

8. Искакова Л.Ю. , Мансуров В.В. К теории формирования ячеистых структур при направленном затвердевании бинарных распла-

I

вов.II. Слабонелинейные волновые структуры фронта кристаллизации. Минск. 1986. 18 с. Деп. в ВИНИТИ 18.03.88 , К 2125-Б88.

S. Искакова Л. D. , Мансуров В.В. Нелинейная устойчивость Фронта кристаллизации бинарного расплава в автомодельном режиме^ Конференция молодых математиков. Свердловск. 1988. Научные доклады. С. 49. 10. Искакова Л. Ю.. Мвмбетова Л. И. К теории замерзания водных растворов/ Тезисы докладов республиканской конференции, посвященной памяти академика АН УзССР X.А. Рахкатулинз. Ташкент. 1969. С. 22-23,11. Буевич Ю. А. , Искакова Л. Ю. , Мансуров В. В. К теории затвердевания бинарных расплавов с равновесной двухфазной зоной // ХЛМТФ. 1990. N 4. С. 46-63. 12.. Буевич Ю. А. , Искакова Л. Ю. , Мансуров В. В. Нелинеянзз устойчивость к формирование ячеистых структур при направ.-ен-

ном затвердевании бинарного сплава// Гидродинамика и тепломассообмен: Тезисы докладов VI Национального конгресса по теоретической и прикладной механике. Варна.

1 1990. Кн. 3. С.. 55-58. -

13. Буевич Ю. А. , Искакова Л. Ю. , Мансуров В. В. К расчету процессов направленного затвердевания с равновесной * двухфазной зоной // ТВТ. 1991. И 2.

14. Buyevich Yu. А. , Iskakova L.Yu. , Мапзигоу V. V. Nonlinear dynamics of solidification of a binary melt with a quasiequilibriura raushy region // International conference on kinetics of nonhoraogeneous processes. Bannf. Alberta. 1989. Abstracts. P. 17-18. -

15. Buyevich Yu.A., Iskakova L.Yu. Nonlinear dynamics of solidification of a binary melt with a quasiequlllbriun isushy region // Can. J. Phys. 1990. V. 68.

Подписано в печать 28.01.'91 Формат 60x84 1/16

Бумага ТГйСЧаЯ] Плоская печать ' Усл. п. л. 1,16 t

Уч.-изд.л. 0,86 Тира* 100 Заказ 130 Вееппатно

Редакциокно-издатепьскиП отдел УПИ им. С, М. Кирова

620002, Свердловск, УПИ, 8-й учебный корпус . Ротапринт УПИ. вгешг, Свзрдазвск, >УП!1, 8-2 учебный корпус