Приближенные методы решения параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Михеева Анна Игоревна

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ С ПРЕПЯТСТВИЕМ ВНУТРИ ОБЛАСТИ

01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 0 СЕН 2010

Казань - 2010

004609368

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики ФГАОУВПО "Казанский (Приволжский) федеральный университет".

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Даутов Рафаил Замилович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Чижоиков Евгений Владимирович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Игнатьева Марина Александровна

Ведущая организация: Южный федеральный университет,

г. Ростов-на-Дону

Защита диссертации состоится 28 октября 2010 г. в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.21 при Казанском (Приволжском) федеральном университете: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, корпус 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени Н.И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета.

Автореферат разослан 27 сентября 2010 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.м., профессор

С-х Мл-1/'7Н О. А. Задворнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория вариационных неравенств создавалась на стыке многих актуальных областей — вариационного исчисления, выпуклого анализа, теории уравнений с частными производными и других. В итоге возникла содержательная и глубокая теория, имеющая разнообразные приложения к естественным наукам и технике. В диссертации рассматриваются приближенные методы решения параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области (с односторонним ограничением на решение), которые с теоретической точки зрения изучены существенно слабее, чем соответствующие эллиптические неравенства. В этих задачах, кроме самого решения, как теоретический, так и практический интерес, представляет коии-цидентное множество решения; это неизвестное определяется после решения задачи как подмножество области определения решения, на котором решение примыкает к препятствию.

Методы регуляризации и штрафа позволяют свести вариационные неравенства с препятствием внутри области к соответствующим уравнениям. С их помощью доказывается существование решения, строятся приближенные сеточные схемы. В научной литературе известны многочисленные способы построения таких методов; они получаются из различных соображений и полезны также с обратной точки зрения (когда регуляризованная задача является исходной, а вариационное неравенство является ее приближением). Существующие способы получения оценок точности этих методов предполагают достаточную гладкость решения задачи и условие типа липшиц-непрерывности пространственного оператора. При построении приближенных методов традиционно используются простейшие сеточные схемы: сочетание неявной схемы Эйлера для дискретизации задачи по временной переменной и метода конечных элементов первого порядка точности для аппроксимации неравенства по пространственным переменным. Отсутствие гладкости решения, особенно по временной переменной, является серьезной проблемой при теоретическом исследовании точности сеточных схем и приводит к заниженным оценкам (по сравнению с параболическими уравнениями). В этом направлении отметим работы С. Johnson, F. Scarpini и M.A. Vivaldi, С. Vuik, A. Zenisek, в которых для модельных задач получена оценка точности в энергетической норме порядка 0{т1^2 + h) вместо ожидаемой и оптималь-

ной оценки 0(т + Н). Для сеточных схем, полученных после дискретизации задачи со штрафом или регуляризованной задачи, проблема получения оптимальных оценок точности усугубляется из-за наличия дополнительного параметра; известные оценки точности подобных схем в энергетической норме также имеют порядок О (г1/2 + К) при соответствующем выборе дополнительного параметра. Определение достаточно широкого класса задач, для которых приближенные методы (регуляризации, штрафа, сеточные схемы) имеют оптимальный порядок точности является актуальным вопросом как с теоретической, так и с практической точки зрения.

Целями работы является построение и исследование приближенных методов решения квазилинейных параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области. Основное внимание уделяется следующим вопросам:

1. новым определениям решения задачи (на основе операторов точного штрафа). Эти определения оказываются полезными как с точки зрения построения и исследования точности приближенных решений, так и с точки зрения исследования устойчивости коинцидентного множества решения;

2. построению и исследованию точности методов регуляризации задачи;

3. построению и исследованию точности полудискретных и полностью дискретных схем решения задачи: строятся новые схемы, а также уточняются оценки погрешности решения ряда известных схем.

Научная новизна результатов, изложенных в диссертации, состоит в следующем: для квазилинейных параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области с монотонным пространственным оператором даны эквивалентные определения решения; на их основе исследованы методы штрафа и регуляризации, получены оценки устойчивости коинцидентного множества решения к возмущению правой части и начального условия; построен и исследован ряд сеточных схем решения задачи; получена оптимальная оценка точности этих схем в энергетической норме.

Достоверность полученных теоретических результатов обеспечивается строгими доказательствами сформулированных утверждений.

Научное и практическое значение работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты вносят вклад в развитие теории параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области. Вместе с тем, доказанные оптимальные оценки точности для ряда сеточных схем, построенных на базе неявной схемы Эйлера и метода конечных элементов с численным интегрированием, заполняют имевшийся в научной литературе пробел в их математическом обосновании.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены, докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Пятом всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения», посвященный 200-летию Казанского государственного университета, г. Казань, 17-21 сентября 2004 г.; Шестом всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения», г. Казань, 1-4 октября 2005 г.; Седьмой Казанской летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», г. Казань, 27 июня - 4 июля 2005 г.; Всероссийской молодёжной школе-конференции «Численные методы решения задач математической физики», г. Казань, 26 июня — 2 июля 2006 г; Седьмом всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения», 21 — 24 сентября 2007 г.; 51-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», г. Москва, 28-30 ноября 2008 г.; на семинарах кафедры вычислительной математики Казанского университета (руководитель М.М. Карчевский), на итоговых научных конференциях Казанского университета.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 11 работах. Совместные работы выполнены в соавторстве с научным руководителем, которому в этих работах принадлежит постановка задач, выбор направлений и методов исследования.

Структура диссертационной работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Библиография включает 78 наименований. Общий объем диссертации составляет 124 страницы, в том числе 2 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дан обзор литературы по теме исследования, определены цели и задачи исследования,

приведена структура диссертации.

В первой главе исследуется квазилииейное параболическое вариационное неравенство с препятствием внутри области, формулируемое следующим образом: найти функцию и 6 К П УУ такую, что и(0) = щ и

Здесь и далее используются следующие обозначения: С Я™ ~ ограниченная связная область с липшицевой границей дП, <3 = П х (О, Т), Т > 0; Я = V — #о(Г2), V = Я1^), V* - пространство сопряженное к V; V = ¿з(0,Г; V), V* - сопряженное к V; Н = Ь2(0,Т;Н), П> = {и £ V : и' е V*}, УУ = {г; е ¿2(0, Т\ V) : V1 € V*} и /С = {и € V : и > ф}-, (•, •) - отношение двойственности между V* и V.

Оператор Л : V —> V* порождается квазилинейным эллиптическим дифференциальным оператором второго порядка по правилу

щеьх0 = у,их = {их1,их2,...,ихп).

Предполагается, что выполнены следующие условия:

(Щ) /е^Л щеь2(й)-,

(Н'о) ф е\У, ф < 0 п.вс. на Б, ф(0) < щ п.вс. на П; (НЦ') д = ф' + Аф - / 6 V*: (д,ь) = / ддь сИхМ + / д^и <1х<И,

где 7 С <5 таково, что тезп+1(7) = 0, V непрерывно вкладывается

в ¿2(7), € ЫЯ)> 9-у е ¿2(7)-Далее через (Но) обозначаются условия (Яц), (Яд), (Яц").

На протяжении всей работы предполагается, что функции а,;, г = 0,1,..., п, удовлетворяют условиям Лере-Лионса (Н\) — (Яз):

(Я1) Условие Каратеодори. Функции а*(-, : <Э —■> Я измеримы для

всех (£о,£) ?йхй"и а;(ж,£, •, •) : Я х Яп —> Я непрерывны для почти всех б С}. Кроме того, для почти всех € <2 и всех £ = (£о>£ь • • • ,£п) справедливы оценки

о4(®,4,0)=0, < = 011,...,п) )8 = сопй>0;

(Р) (и' + Ли-/,и-ы> > о У«е/с.

о

7

п

(Яг) Условие эллиптичности. Для почти всех (х, t) 6 Q и всех <f, г/ 6 /¿п и fо Е Я справедливо неравенство

п

- - »?0 > О, £ ф т)\

«=1

(Яз) Условие коэрцшпивпостпи. Для почти всех (х, f) £ Q и всех г/ 6 справедливо неравенство

га л

i=0 i=l

где постоянная а > 0, Ао = const < А.

Дополнительно предполагается, что выполнено одно из следующих условий (Я4) или (Я4).

(Я4) Условие монотонности. Для почти всех (ж, i) € Q и всех г/ € справедливо неравенство

п

i, 0 - oi(x, i, tj))(& - т/i) > — Ao(^o - J?o)2, Ao = const < A.

¡=0

(Я4) Условие сильной-монотонности. Для почти всех (х, t) В Q и всех 7) 6 Дп+1 найдутся постоянные а > 0 и Ао < А такие, что

n п

(^(х, t, £) - Oi(x, t, Т})){& - tji) > а (& - - Vfo - %)2-i=0 i=l

Примеры операторов, удовлетворяющих условиям (Hi) — (Я4), (Я4) приведены в п. 1.2. Известно, что задача (Р) при выполнении условий (Но) — (Яз) имеет решение; условие (Я4) (или (Я4)) является достаточным для его единственности.

В и. 1-4 доказано следующее свойство оператора А.

Утверждение 1. Пусть выполнены условия (Hi) — (Я4) и заданы функции и, v е V, причем, (и — v)' 6 V*, (и — v)~ 6 V и (и — v)~(0) = 0. Тогда из оценки ((и — v)' + Аи — Av, (и — v)~) > 0 следует, что и > v.

Здесь и~ (и+) — отрицательная (положительная) часть и. На основании утверждения 1 доказана теорема сравнения решений по начальному условию

щ, правой части / и препятствию ф, а также оценка устойчивости решения в энергетической норме

1М1е(о,г) = |Ми„,(о,т;я) + 1М1у

к возмущению «о и / при условии (#4).

Во втором параграфе предлагаются две эквивалентные формулировки исходной задачи; в основе их лежат идеи работы Р.З. Даутова1 для эллиптических неравенств.

Определяется функционал ] : V —* В, по правилу

¿{у) = (<?, {у - ф)~) = !- фу йх<и + J - ф)~ йх<И, <3 7

где дд £ Ь2{0), д-у £ ¿2(7)1 Чя ^ 9ф Ь > О» является выпуклым, липшиц-непрерывным и неотрицательным на V, причем ](у) = 0 для V 6 К.. В п. 2.1 доказывается

Теорема 1. Пусть выполнены условия (Щ) — (#4). Тогда задача (Р) эквивалентна следующей задаче: найти и £ УУ такую, что

(Р0) и(0) = щ и (u' + Au-f,v-u)+j{v)-j(u)>0 \fveV.

В п. 2.2 обсуждаются вопросы, связанные с исследованиями регулярности решения исходной задачи; приводится обзор работ в этом направлении, а частности, отмечаются работы, в которых формулируются достаточные условия на данные задачи, гарантирующие принадлежность решения пространству

Я2Д(С) = {и € £а(0, Т\ Н\Щ : У! £ Ь2{О, Г; Ь2{П))}.

В п. 2.3 вводится понятие регулярной задачи. Для этого выделяется класс операторов, обладающих следующим свойством:

{А) если и е IV = 12(0, Т- НЩ), то Аи € Ь2(О, Т; 12(П)) и

Аи — Ау п.вс. на Е — {(г, Ь) € С) : и(х, £) = у(х, ¿)}, и, V £ ]У.

1Да>тов Р. 3. Об операторах точного штрафа для эллиптических вариационных неравенств с препятствием внутри области // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, Ль 6. С. 1008-1017.

Определение 1. Задача (Р) называется регулярной, если выполнены условия (Н0) - (Я4), и0еУ,/,де Ь2((Э), ф е Я2Д(<5), оператор А обладает свойством. (Л), и, кроме того, решение задачи и 6 Я2,1(<5).

Пусть = 1 при й < О, = 0 при в > 0. Доказана следующая

Теорема 2. Задача (Р) эквивалентна уравнению

(Р1) и' + Аи-д+в(и-ф) = / ri.ec.eQ, и(0) = Щ,

при выполнении одного из следующих условий:

а) выполнены условия (Н0) — (Н4), ф',Аф,/,и' € ¿2((Э), тезп+)(Р) = О, где Р = д{(х,Ь) 6 <2 : и(х^) = ф(х^)} Г\С} — свободная граница;

б) задача (Р) является регулярной.

В третьем параграфе изучаются методы регуляризации задачи (Р), построенные на основе эквивалентных формулировок (Ро) и (Рд). На протяжении всего параграфа предполагается, что выполнено следующее условие: (Я5) для постоянного е > 0 справедлива оценка

(А(и + е), у) > {Аи, у) v и, V е V, V > 0 п.вс. в о

Поскольку у~ = / <9(з)с?б', то сглаживанием функции в получаются регу-

V

ляризованные задачи как для задачи (Ро), так и для задачи (Р1). Функция в сглаживается липшиц-непрерывными невозрастающими на Я функциями ве так, что = в (в) при в < — £\ и я > е2, е = тах^^ег}, £¡ > 0. Тогда для

о

Зе{п) = J qQ^pe(т}-ф)dxdt + J <ьуе(п - Ф) <р£(\) = J.вc(s)ds.

О 7 А

Регуляризованная задача записывается следующим образом: найти щ 6 УУ такую, что

ц£(0) = гад, « + Аие - />" - ^г) + ЗеЬ>) ~ >0 v v £ V.

Хорошо известно, что эта задача, в силу дифференцируемое™ эквивалентна следующей:

(Ре) и'£ + Аие + Всие=^/, и£(0) = щ,

где {Вси,ь} = {¿'£(и),ь) = - J qQвc(u-■ф)vdxdt-J д7ве(и-1р)у ¿х Условия

О 7

(Но) — (#4) гарантируют существование и единственность решения (Т^). При выполнении условий (Щ)—(Щ) в п. 3.1 доказана оценка

и — £1 < щ < и + £2 п.вс. в д.

При условиях (Щ) — (Яз). (Я4) и (Я5) в п. доказана оценка

11« - «еЦцо,!« <се1/2.

В п. 5.5 последняя оценка уточняется в том случае, когда задача является регулярной и регуляризация имеет специальный вид. Доказана

Теорема 3. Пусть задача (Р) является регулярной, выполнены условия (Н0) - (Я3), (Щ) и (Я5), ег = 0 и «г = д+. Тогда

||и-.«еН^т-дО <"1/2 шез^Д(Л) Нр+ИЙад,

г£?е /£ = {(х, ¿) € <5 : 0 < - ^(г, < е}.

В условиях теоремы 3 справедлива оценка \\и—«£||£2(о,т;У) = о(еФункция /х(е) = тезп+1(1£) при малых е характеризует скорость схода решения с препятствия в окрестности свободной границы.

Определение 2. Решение вариационного неравенства (Р) называется невырожденным по мере с показателем 0, если существуют £о и с такие, что для любых 0 < £ < £о справедлива оценка

тевп+Д/е) < с е13.

Если выполнены условия теоремы 3 и решение неравенства (Р) является невырожденным по мере с показателем ¡3, то

11« - иг|1м№У) = С£{2+т' если 9+ 6 Ш),

11« - «е||х,2(0,Г;У) = с£(1+л/2, если д+ € ¿«,(<2).

Известно, что для однофазной задачи Стефана 0 = 1/2.

В п. 3-4 показывается, что полученные оценки переносятся на два варианта метода штрафа с оператором штрафа:

(а) В£(и) = -1(и-фГ, (б) Вс(и) = -1(и-ф-еГ,

где либо q = либо q = д+. Показывается, что теорема 3 справед-

лива для оператора штрафа тина (б) при выборе q — д+.

В четвертом параграфе предлагается «энергетическая» техника исследования устойчивости коинцидентного множества решения задачи к возмущению данных / и щ. Пусть и ий- решения регулярных вариационных неравенств (Р) с правыми частями / и / и начальными данными щ и щ соответственно, а 1(и) = {(ж, t) е Q : и(х, t) = ip(x,t)} и 1(й) — соответствующие им коинцидентные множества. Задача состоит в оценке (п 4-1)-мер ной меры Лебега симметрической разности коинцидентных множеств

AI = 1(й)Ы{и) = (1(й) U 1{и)) \ (1(й) П 1(и)).

Идея исследования базируется, во-первых, на формулировке неравенства в виде операторного уравнения (.Pi),

и' + Аи- д+в(и - ф) = /,

и замечании о том, что функция % = х(и) — определенная в Q, пред-

ставляет собой характеристическую функцию множества 1{и); во-вторых, на равенстве

mesn+1A/ = J \x(u)-x{u)\dxdt.

Q

Исследования проводятся в предположении

(G) д,д е G = {д € L2{Q) : д>с9= const > 0 в Q).

В п. 4-1 доказана

Теорема 4. Пусть задача (Р) является регулярной и выполнены условия (#о)-(#з), (Н'4), (G) и оператор А является липшиц-непрерывным (Я6) |(Ли - < с\\и - u||v||w||v, u,v,weV.

Тогда для любого компакта Е С fi справедлива оценка

mesn+1(AIn{E х [О, Г)}) < ссаРп(Е) (||u0 - и0||н + ||/ - /||н),

где capq(E) — емкость компактного множества Е СП относительно fi capп(Е) = inf{ ||t»||v : v € V, v > xe в fi},

Xe есть характеристическая функция множества Е.

11

Далее показано, что в условиях теоремы 4, если -ф < const < 0 на dfl х (О, Т) и /./€{/ 6 L2(Q) : /о < / <ф' + Arp - сд в Q}, где /0 — фиксированная функция из L2(Q), то

mesп+1(/(й)Д/(и)) < с (||й0 - «о||я + I!/ - f\\uQ))-В п. 4-2 доказана

Теорема 5. Пусть задача (Р) является регулярной и выполнены условия (Но) — (Hi), (G) и для любого е > 0 и любых и, v £ V справедливо неравенство

(Аи — Av,sigae(u — v)) >0, где sign£ есть регуляризация многозначной функции sign : R —» 2я:

Г-1, 5 < 0, -1, S < -£

sign(s) = | [_l, 1], a = 0, sign£(s) = < s/e, |s|<£,

[l, s> 0, 1, S>£.

Тогда mesn+1(/(u)A/(u)) < (||й0 - wolU^n) + II/ - 1\\ш))/с9-

Во второй главе строятся и исследуются три типа сеточных схем для приближенного решения исходной задачи. Две из них являются известными и получаются аппроксимацией либо исходного неравенства (Р), либо регуля-ризованной задачи (Ре) (задачи со штрафом). Третья схема является новой и получаются аппроксимацией задачи (Ро).

В первом параграфе исследуется существование, гладкость решения решения и неявная схема Эйлера для абстрактного эволюционного неравенства параболического типа: найти u(t) € D(4>) такую, что м(0) = щ и для п. ее. t е (0,Т) и любых v g D((f>) справедливо неравенство

(Ра) (u'(t) + A(t)u(t) - f(t), V - u(t)) + <j>(t, v) - <f>(t, u(t)) > 0.

Исследование обобщает результаты работы G. Savart':2, в которой аналогичные вопросы рассмотрены для линейных операторов А в случае <£(t, v) — ф(ь). Предполагается, что выполнены условия Ai)—A^)\

2Savar£ G. Approximation and regularity of evolution variational inequalities // End.Acc. Naz. Sci. dei XL, Memorie di Matematica. 1993. Vol. XVII. Pp. 83-111.

Ai) V, Я есть сепарабельные гильбертовы пространства, вложения

V С Н = Я* С V* непрерывны и плотны; (•, •) — отношение двойственности между и V\ V = L2(0,T; V), V* = L2(0,T; V).

А2) A(t)0 = 0; для любых u,v £ V и п.вс. t £ [0,Т] справедливы оценки

(A(t)u - A(t)v, u~v)> а\\и - v||yr, а = const > О, |\A{t)u - A(t)v\\v < m0(t)\\u - v\\Vi \\A'(t)v\\v. < тх{1)МУ,

причем M = ||m0||i,2(0,T) + ll"iilU2(o,T) < 00.

A3) Функционал v —* 4>(t, v) является собственным выпуклым и полунепрерывным снизу на V при каждом t £ [О, X1], а его эффективная область определения Б(ф) — {v € V : <j>(t, v) < 00} не зависит от i; 0 £ D(<p).

А^) Пусть х '■ [0,3"] —» V* есть субградиент ф в нуле, т.е. ф{Ь,ь) — ф(1,0) > (X(t),v) Vv £ Б(ф). Тогда х е ЯНО.Т; V).

А5) Пусть ф^,и) = d<j>(t,u)/dt, и £ О(ф). Тогда для Vu,v £ Т>{ф) = = {« £ ¿2(0, Г; К): ¿(¿.«(¿)) £ £х(0,Г)}

т

J 1&(t,u(t)) - 0t(t,t;(i))| А < e(||u||v, IMIv) II" - Wllv,

0

где функция в непрерывна и не убывает по каждому аргументу.

А) / € H\0,T;V), щ £ DM), Со = \Ы\у+ inf 1М|н < 00, где

чем(и0,/)

множество М(щ, /) является непустым,

Ai(u0, /) = {w £ Я : (w + Л(0)и0 - /(0), v - ы0>+

+ ф(0, v) - ф(0, и0) > 0 Vv € 0(ф)}.

Неявная схема Эйлера при равномерном разбиении отрезка [О, Т] на N частей записывается следующим образом: найти уп £ В(ф) такие, что для п = О, N справедливы неравенства

(Par) ((уп-уп1)/т+Апуп-Г,у-уп) + фп(у)-фп(уп)> 0 VtieDfo),

где у'1 = мо, г = Т/И, фп(у) = ф{1п, ь), А" = А{и), }п = В п. 1.1 получены следующие априорные оценки:

\\у0-ч0\\Ъ + ат\\у0-и0\\2у<СУ, 1|Уг||£;(0,т) < С, |ыи(0,т) < с, НйНвдт) < С,

где ут и ут кусочно-постоянное и кусочно-линейное восполнение уп соответственно, С = С(Т, а, Со, Ц/Ця^о,Т;У')> М, д). На их основе доказано

Утверждение 2. Пусть выполнены условия Л^-Лб), тогда для всех I £ [О, Т\ и V 6 О(ф) справедливо неравенство

(у'Т + АЦ)йт - /, V - ут) + фЦ, V) - фЦ, уг) > -НгИ, у),

причем, если V € Т^{Ф). то найдется такая постоянная С, зависящая от ЦкЦу, что

т

I< С{т2 + г ||£т - ф).

о

Теорема 6. При условиях А{) — Ад) справедливы утверждения:

a) решение и задачи (Ра) существует, единственно и принадлежит пространству Н1(Ъ,Т\У) П ,Г;Я);

b) пусть и и й есть решения задачи (Ра), соответствующие входным данным {ио, /} и {«о, /} соответственно. Тогда

11« ~ и|Ь(о,:г) < с(||й0 - щ\\н + II/-/||у*);

c) если уг кусочно-линейное восполнение решения неявной схемы Эйлера (Рат), то \\и - Ут\\е(0,т) < ст.

Во втором параграфе изучается сеточная схема, построенная на базе исходной задачи (Р); исследование опирается на полученные для абстрактного неравенства результаты первого параграфа. На протяжении второго и третьего параграфа предполагается, что О С Я", п = 2, Г2 имеет кусочно-гладкую границу класса С3, оператор А определяется формулой

о п

а функции оц(аг, £), г = 0, п, £ £ Я™+1, удовлетворяют условиям (Дх)—(Д2):

(ДО а^О бИЗДхИ^О^хСЧЯ"*1), аг(М,0) = 0;

для любых (х,1) £ <5 и г] £ Дл+1 справедливы оценки:

(Дг) Для любых (г, ¿) е <5, £, т] £ Д"+1 с постоянными а, /3 > О справедливы неравенства:

П

^ (<ц{хМ) - »?))(й - чО > «I? - ч|2-

¡=о

Дополнительно предполагаются выполненными условия (Лз)—(Д4): (Д3) Функция ф не зависит от ф £ Я2(П), ф < 0 на П;

и0 е Я2(П), «о > ф на П; / € Ях(0, Г; ИДО), р > 2. (Д4) ибЯ1(0,Г;К)П1У'(0,Т;Я)1 « £ Ь2(0,Т;Я2(П)). В п. вводится пространство конечных элементов, определяются необходимые квадратурные формулы. Пусть 14 (Н\) — стандартная аппроксимация V = Яц(П) (Я1 (О)) на основе криволинейных треугольных конечных элементов первой степени. Пространство V}, со скалярным произведением и нормой (ил,г>А)яд = 5п»(и/,иА), ||ил||яЛ = обозначается через ЯЛ,

где — составная квадратура по вершинам конечных элементов; отношение двойственности между и 14 обозначается через {■,•))>• Пространство Щ отождествляется с Я/, (согласно теореме Рисса), поэтому V/, С Я/, С V,*, причем (/,г;Л)Л = (/.и/Оям если / € Ял.

В и. составляющие задачи (Р) аппроксимируются следующим образом:

Кк = {«л € 14 : уь(Х) > ф1{х),х€ П},

где ф[ — Я^-интерполянт функции ф. Оператор : Я^ —» Ул* для í £

[0, Т] определяется равенством

п

(Ан(Ь)и,у)н = Зпс^^аДхЛи.гОиг,), и £ Я^, V £ 14,

г=0

а также функционал Д(£) € 14*:

где Sfjc — составная квадратура по центрам тяжести конечных элементов.

Рассматривается полудискретная задача (метод прямых): найти функцию Uh £ 1/2(О, Т; Va) такую, что щ(0) = щ/ S Kh и для п.ее. t 6 (0, Т)

СPh) uh{i) € Kh, (v.'h(t) + Ah(t)uh(t)-fh(t),v-uh(t))h>0 VveKh.

Показывается, что при выполнении условий (Ri)~(Ri), задача (Ph) вкладывается в класс задач (Ра), а для данных задачи справедливы условия -Äi) — Аб) равномерно no h, и к ней применимы результаты теоремы 6; таким образом, решение задачи (Ph) существует, единственно и принадлежит пространству Hl(0, Т\ Vh) П И£(0, T; Hh).

В п. 2.3 исследуется точность метода прямых. Если и и ин — решения задач (Р) и (Ph) соответственно и выполнены условия (Ry) - (Ri), то

II« ~ «ftlU(o,r) < с inf IIuh - vftf + i^f k (llu - vàh + llu - vh\\l^2+

. + ||u' - t/J« + \Ы - wA(0)||/r + IIEi(t,^(i))|U2(o,r)), где EL(t, v(t)) = sup^gv^foj |EL(t; v(t), w)\/\\w\\v и

Ei(t\v,w) = (v' + A(t)v-f(t),w)-{v' + Ah(t)v-fh(t),w)h, v(t),w€Vh.

В п. 2.5 получены оценки для каждого члена, составляющего погрешность аппроксимации. Доказана

Теорема 7. Пусть и ииь — решения задач (Р) и (Ph) соответственно и выполнены условия (R{) - (R4). Тогда ||ц — ил||^(о,г) 5! ch.

Сеточная схема для задачи (Р) получается после дискретизации по t полудискретной задачи (Ph) неявной разностной схемой: найти Uhr '■ иТ —» Vh такую, что ЩТ(Ь~ 1) = uqi и для п = 0, N

(Phr) U hr(tn)€Kh, {uhT(tn)-UhT(tn-l) + rAh(tn)UhT(tn)-

-Tfh(tn),v-uhT(tn))h>G VveKh,

где г = T/N, шт = {i„, n = M7}.

Пусть щт— кусочно-линейное восполнение сеточной функции щт- Доказана

Теорема 8. Пусть выполнены условия (Яг) — (Я4). Тогда решение щТ задачи (Рнт) существует и определяется единственным образом. Кроме того, если и — решение задачи (Р), то ||и — м/п-Идо.г) < с(к + т).

В третьем параграфе аналогичным образом исследуются две схемы, построенные на основе неравенства (Р0) и регуляризованного неравенства (Р€). Предполагается, что функция д в определении функционала j и }с обладает следующей гладкостью:

т ? е

Аппроксимация пространств и данных задачи проводится также как во втором параграфе. Функционал аппроксимируется следующим образом

ЗеИ^, = / - '0;) <1х,

п

где д^) есть кусочно-постоянная функция равная / йх/\е\ на каждом

е

конечном элементе е для всех < € [О, Г].

В п. 3.1 изучается метод прямых для задачи (Рс) и (Ро): найти функцию ии € £2(0, Т; V/,) такую, что «л(0) = «о/ и для п.вс. £ 6 (0,Т)

(РЛ) ик{1) е + - Ш, V - щ(Ь))к+

V) - «/,(£)) >0 \fveVh,

(при е = 0 задачи (Ре) и (Р^) переходят в задачи (Ро) и (Рок) соответственно). Далее показывается, что задача (Р^) вкладывается в семейство задач (Ра) и условия Ах)—Лб) выполняются равномерно по е и к. Доказана

Теорема 9. Пусть и иии — решения задач (Р) и (Реи) соответственно, выполнены, условия (Я\) — (Я5) ие — 0(Н2). Тогда ||и — и^Ц^од-) —

После дискретизации по Ь задачи (РЕл) неявным методом Эйлера в п. 3.2 получается сеточная схема: найти функцию и^г '■ <*>т ~1' Ун такую, что инТ{Ь-\) = Щг к для п = 0, N

[Рлт) «Лт(^п) € Ул, {(икт^п) - иЛг(*п-1))/т + АН(гп)щт(Ьп)-

_ ЗЛ^п, инт{1п)) >0 Уг; € V/,.

где т = T/N, и>т = {in, п — 0, N}. Пусть йь.т— кусочно-линейное восполнение сеточной функции иьт. Доказана

Теорема 10. Пусть выполнены условия (Ri) — (Д5). Тогда решение идг задачи (Р£кТ) существует и определяется единственным образом. Кроме т,ого, если и —решение задачи (Р) и е = 0(112), то ||и—йлгЦ^о.т) < с (/i+r).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Для параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области с квазилинейным пространственным оператором

1. предложены эквивалентные формулировки задачи в виде неравенства без ограничений с выпуклым липшиц-непрерывным функционалом и в виде параболического уравнения с разрывной слабой нелинейностью;

2. получены оценки точности методов регуляризации и штрафа;

3. получены оценки устойчивости коинцидентного множества решения к возмущению правой части и начального условия;

4. построена неявная схема метода конечных элементов с численным интегрированием для приближенного решения задачи; получена оптимальная оценка ее погрешности в энергетической норме;

5. получены оптимальные оценки погрешности в энергетической норме двух известных сеточных схем приближенного решения задачи.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Денисова А. И. Операторы точного штрафа для параболических вариационных неравенств // Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского государственного университета 2004 года. Тезисы докладов. Казань: Казанский государственный университет им. В. И. Ульянова-Ленина, 2004. С. 64-65.

2. Денисова А. И., Даутов Р. 3. Операторы точного штрафа для параболических вариационных неравенств // Матер. Пятого Всеросс. семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казань: Казанский государственный университет им. В. И. Ульянова-Ленина, 2004. С. 62-67.

3. Денисова А. И. Устойчивость коинцидентного множества параболических вариационных неравенств // Матер. Седьмой межд. Казанской летней школы-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». Казань: Издательство Казанского мат. общества, 2005. С. 55-57.

4. Денисова А. И. Эквивалентные формулировки параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области и их приложения // Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского государственного университета 2005 года. Сборник статей. Казань: Казанский государственный университет им. В. И. Ульянова-Леиииа, 2005. С. 68-70.

5. Денисова А. И., Даутов Р. 3. Приближенный метод определения свободной границы в одномерной параболической задаче с препятствием // Материалы Шестого Всероссийского семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казань: Казан, гос. ун-т, 2005. С. 77-81.

6. Михеева А. И., Даутов Р. 3. Оценки точности неявной схемы МКЭ для нестационарной задачи с препятствием внутри области // Материалы Седьмого Всероссийского семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казань: Казан, гос. ун-т, 2007. С. 205-207.

7. Даутов Р. 3., Михеева А. И. О точности метода штрафа для лараболи-

ческих вариационных неравенств с препятствием внутри области // Изв. Вузов. Математика. 2008. № 2. С. 41-47.

8. Даутов Р. 3., Михсева А. И. Операторы точного штрафа для параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области // Научно-исследовательский институт математики и механики им. Н. Г. Чеботарева Казан, гос. ун-та. 2003-2007 гг. / Под ред. А. М. Елизарова. Казань: Казан, гос. ун-т, 2008. С. 318-328.

9. Михеева А.И. Параболические вариационные неравенства: операторы точного штрафа, регуляризация и устойчивость коинцидентного множества // Труды 51-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII. Управление и прикладная математика. 2008. Т. 1. С. 130-133.

10. Даутов Р. 3., Михеева А. И. Операторы точного штрафа и регуляризация параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 1. С. 77-84.

11. Михеева А. И., Даутов Р. 3. Об устойчивости коинцидентного множества решения параболического вариационного неравенства с препятствием // Изв. Вузов. Математика. 2010. № 3. С. 88-91.

Подписано в печать 01.09.2010 г. Бумага офсетная № 1. Печать ризографическая. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 76/010. Отпечатано в копировально-множительном центре Казанского государственного университета г. Казань, ул. Кремлевская, 35.

Основные обозначения

Введение

I Операторы точного штрафа

1 Постановка задачи.

1.1 Пространства функций

1.2 Операторы. Примеры

1.3 Существование и единственность решения

1.4 Свойства операторов.

1.5 Теорема сравнения и оценки устойчивости

2 Эквивалентные формулировки задачи (V)

2.1 Формулировка задачи в виде неравенства 2-го типа

2.2 Регулярность решения

2.3 Формулировка задачи в виде уравнения.

3 Регуляризация задачи.

3.1 Оценка точности в L^Q)

3.2 Оценка точности в L2(О, Т; V)

3.3 Уточнение оценки в случае регулярных задач

3.4 Метод штрафа.

4 Устойчивость коинцидентного множества.

4.1 Первая оценка устойчивости.

4.2 Вторая оценка устойчивости

II Сеточные схемы МКЭ

1 Неявная схема Эйлера для абстрактного эволюционного неравенства.

1.1 Априорные оценки.

1.2 Существование решения. Оценка точности.

2 Сеточные схемы на основе задачи (V).

2.1 Пространство конечных элементов.

2.2 Метод прямых.

2.3 Оценка точности метода прямых.

2.4 Неявная сеточная схема. Оценка точности

2.5 Оценки погрешностей аппроксимации.

3 Сеточные схемы на основе задач {Ve) и (Vo)

3.1 Метод прямых. Оценка точности.

3.2 Неявная сеточная схема. Оценка точности

Вариационные неравенства возникают при рассмотрении явлений, для которых связи, уравнения состояния, формулировки физических законов меняются при достижении определенными величинами некоторого порога (называемого свободной границей). Первой задачей, поставленной в виде вариационного неравенства, была задача Синьорини, сформулированная А. Синьорини в 1959 году [70]. Эволюционные неравенства были введены в гиперболическом случае в работе Ж.-Д. Лионса в 1966 году [60], параболическом — в работе Ж.-Л. Лионса и Г. Стампаккьи [59] в 1967 году. В настоящее время вариационные неравенства находят применение не только в физике и механике, но и в экономике, финансах, теориях оптимизации и игр.

Начало теоретическому исследованию вариационных неравенств положили работы Г. Фикеры [53], предложившего решение задачи Синьорини; вскоре после него свои работы по теории вариационных неравенств опубликовали Ж.-Л. Лионе и Г. Стампаккья [59], X. Брезис [44]. Подробное изложение теории вариационных неравенств с примерами различных прикладных задач можно найти в книгах Ж.-Л. Лионса [26], Г.Дюво и Ж.-Л. Лионса [19], А.Фридмана [35], Д. Киндерлерера и Г. Стампаккьи [20], К. Байокки и А. Капелло [5].

В настоящей работе мы изучаем приближенные методы решения параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области, которые формулируются следующим образом: найти функцию и G /С П W тахую, что и(0) = щ и

V) (и' + Аи - f,v - и) ^ 0 V v £ /С, где

JC={ueV = L2(0,T-,W12{tt)) : и^ф}, W = {и G V : и' £ V*}, оператор Л : V —» V* порождается квазилинейным эллиптическим дифференциальным оператором второго порядка в ограниченной области Q — Q х (О, Т) по правилу т

Au,v) — J{A{t)u,v) dt = J ( ^Г"^ сд{х, t, u, ux)vxi + Xuv) dxdt, о q i=0 где vXQ — v. На протяжении всей работы предполагается, что функции a,j, i = 0,1,.,7г, удовлетворяют условиям JIepe-Лионса (условия Ка-ратеодори, линейного роста, эллиптичности и коэрцитивности), а также условиям монотонности. При рассмотрении отдельных вопросов на них накладываются также дополнительные ограничения.

Решение неравенства ("Р), согласно общепринятой терминологии, называют сильным обобщенным решением следующей системы неравенств в Q (задачи дополнительности): и^ф, u' + Au-f^ 0, (и — ф){и' + Аи — /) = 0, п(0) = щ.

Слабое обобщенное решение определяется как w € /СП С([0, Т]; Я"), для которой справедливо неравенство s

J (v'+A(t)u—f, v—u) dt>1- \\v{s)-u(8)\\2h-^ \И0)-щ\\2п Vve wn/c, 0 для всех 5 €E [0,T] (см., напр., [26, с. 280, 404]). В данной работе мы не касаемся вопросов нахождения слабого обобщенного решения; отметим только, что сильное решение (если оно существует) является также и слабым решением.

Задача (V) является нелинейной, даже если предположить линейность оператора А. Это связано с наличием множества ограничений /С, а точнее с множеством

1{и) = {(ж,*) е Q : u(x,t) = V0M)}, которое называется коинцидентным множеством решения и является дополнительным неизвестным задачи: в приложениях задачи (V) оно представляет не меньший интерес, чем само решение и (а также его граница, называемая свободной, неизвестной границей).

Первая работа Брезиса [43], содержащая достаточные условия существования слабого обобщенного решения, появилась еще в 1968 году; в этой работе он выделил и использовал класс псевдомонотонных операторов. Чтобы установить существование сильного обобщенного решения были введены дополнительные ограничения, в частности предположение о линейности оператора А (см. также [26, с. 280, с. 404]). В дальнейшем были затрачены значительные усилия разных исследователей, направленные как на расширение класса операторов, для которых удается доказать существование сильного решения, так и на совершенствование методик исследования. Обзору работ в этом направлении посвящена статья [63]. Наиболее общий результат для широкого класса задач с препятствием, соответствующих операторам JIepe-Лионса 2ш-го порядка, был опубликован в 2004 году в работе О.В. Солонухи [32]. Этот результат обеспечивает существование решения рассматриваемой нами задачи (V). Единственность решения следует из монотонности оператора А.

Целью диссертационной работы является построение и исследование приближенных методов решения задачи (V). Основное внимание уделяется следующим вопросам:

1. новым определениям решения задачи (на основе операторов точного штрафа). Эти определения оказываются полезными как с точки зрения построения приближенных решений, так и с точки зрения исследования устойчивости коинцидентного множества решения;

2. построению и исследованию точности методов регуляризации задачи (Р); эти методы позволяют в дальнейшем вместо неравенств решать уравнения;

3. построению и исследованию точности полудискретных и полностью дискретных схем решения задачи (Р); мы строим новые схемы, а также уточняем оценки погрешности решения ряда известных схем.

Мы не касаемся важных, требующих отдельного изучения, алгоритмических аспектов отыскания решений рассматриваемых нами приближенных схем; они представляют собой системы нелинейных алгебраических уравнений или неравенств, и по их решению имеется обширная литература (см., напр., [8], [25], [4]).

Приведем краткий обзор содержания диссертации, состоящей из двух глав. Первая глава состоит из 4 параграфов.

В § 1 формулируется постановка задачи; даются определения функциональных пространств и класса рассматриваемых операторов; комментируется существование и единственность решения исходного неравенства; приводятся и устанавливаются необходимые в дальнейшем свойства пространств функций, операторов и решения задачи, в том числе теоремы сравнения и устойчивости решения к возмущению правой части и начальных данных.

В §2 предлагаются две эквивалентные формулировки исходной задачи; в основе их лежат идеи работы Р.З. Даутова для эллиптических неравенств [9]. А именно, при определенных ограничениях на функцию д = ф' -f- Аф — / (слабее, чем д Е Ь-2{Я)) указывается такой выпуклый липшиц-непрерывный функционал j : V —> R, что задача (V) эквивалентна следующей задаче: найти и Е W такую, что

Vq) u(0) = щ и {и1 + Ли - /, v - и) + j{v) - V v е V.

В терминах субдифференциала j это неравенство равносильно включению и' + Ли - f + dj(u) Э 0.

Для класса задач, названных в работе регулярными, показывается, что dj(u) состоит из одного элемента, а задача (V) равносильна параболическому уравнению

Pi) и £ Я2'1 (Q) : и' + Аи - д+в{и - ф) = /, w(0) = щ, где д = ф + Аф - /; 0(A) = 0, если Л > 0 и 0(A) = 1, если А < 0; д+ — положительная часть д (для регулярных задач /,5 £ L2(Q)). Оператор и —» — д+в(и — ф) называется оператором точного штрафа, поскольку этот оператор "штрафует" ограничение и Е JC в задаче (V) с единичным параметром штрафа.

Также в этом параграфе обсуждаются вопросы, связанные с исследованиями гладкости (регулярности) решения исходной задачи; приводится обзор работ в этом направлении, в частности, отмечаются работы, в которых формулируются достаточные условия регулярности задачи.

В §3 изучаются методы регуляризации задачи (V), построенные на основе указанных выше эквивалентных формулировок, доказываются оценки близости решений исходной и регуляризованной задачи в нормах Loo(Q) и £2(0, Т\ V).

Регуляризованная задача может быть построена двояким способом: регуляризацией (сглаживанием) липшиц-непрерывного функционала j дифференцируемым j£ в неравенстве (Ро), либо регуляризацией разрывной функции 9 в неравенстве (Vi) непрерывной в£. В обоих случаях приходим к задаче вида

Ve) и'£ + Аие - qOe(ue) = /, ue(0) = щ, где функция 9£(А) отличается от 9(А) лишь на интервале (—£1,6:2), £ = maxjei, £2}, q ^ д+- В научной литературе известны многочисленные формулы для 0е\ они получаются из различных соображений и полезны также с обратной точки зрения (когда задача (V£) является исходной, а задача (V) является ее приближением). Получаемые нами формулы для этой функции не являются новыми и использовались, ранее (например, в [20]); однако, способ ее получения позволяет нам при исследовании точности регуляризации оценивать близость решения задач ('Ре) и (Pq) (илиЧП) и (Pi)), а не {Ve) и (V).

Это позволяет нам при получении оценок точности метода регуляризации не предполагать условия типа липшиц-непрерывности оператора А и повышенной гладкости решения задачи, как этого требуют известные нам методики получения оценок точности. Мы опираемся на условие монотонности и одно, достаточно легко проверяемое для конкретного оператора А условие: для любой константы е > 0 справедлива оценка

А(и + e),v) ^ (Au,v) Vu,v е V, v ^ 0.

Мы доказываем следующие оценки точности: и - El < ие ^ и + е2 п.ВС. в Q, ||гх - ue\\Ln^T.v) ^ се1/2.

Также доказывается, что подобные оценки справедливы и для классических методов штрафа. Вторая оценка является характерной для различных вариантов метода штрафа для регулярных задач (см. [6], [42], [68] для задач с линейным оператором А, [75], [61] для задач со слабо нелинейным оператором).

Для методов регуляризации с £\ — 0 в случае регулярных задач мы доказываем, что

IIU - U£\\L3(04t.V) = о{е1/2), и выделяем те задачи, для которых эта оценка улучшается до оценки 11^ ~ щ\\ь2{о,т-у) — 0(вП Аналогичные этим результаты получены и для одного варианта метода штрафа.

В § 4 предлагается "энергетическая" техника исследования устойчивости коинцидентного множества решения задачи к возмущению данных / и щ. Пусть и и й — решения регулярных вариационных неравенств (V) с правыми частями / и / и начальными данными щ и щ соответственно, а 1{и) и 1{й) — соответствующие им коинцидентные множества. Задача состоит в оценке (п + 1)-мерной меры Лебега множества

Д/ = 1{й)А1(и) = {1(й) U I(u)) \ (1{й) П 1{и)), представляющего собой симметричную разность этих множеств.

Эта задача существенно сложнее, чем исследование устойчивости решения и. Даже для задач с линейным оператором А, нам известна методика таких исследований лишь в случае, когда априори известно, что ий' ^ 0 п.вс. в Q (типа однофазной задачи Стефана). В этом случае удается воспользоваться методикой, разработанной для эллиптических задач с препятствием внутри области: анализируя локальное поведение решения и его производных в окрестности свободной границы получаются локальные оценки устойчивости (см., например, [35, с. 192]).

Предлагаемая нами методика исследования базируется, во-первых, на формулировке неравенства в виде операторного уравнения (Pi) и замечании о том, что функция Xi(u)(x,t) = 0(u(x,t) — i/j(x,t)), определенная в Q, представляет собой характеристическую функцию множества 1{и)\ во-вторых, на равенстве

АI = J \Хт - xi(u)\dxdt. Q

Исследования проводятся в предположении, что

9,9 е Q = {д е L2(Q) : Сд = const > 0 в Q}, где д = ф' + Aip — f, д = ip' + Aip — /. Нами получены две оценки устойчивости, соответствующие различным предположениям относительно оператора А. Наилучшая оценка справедлива для монотонных операторов, обладающих следующим свойством:

Аи — Av, sigп£(и — v)) ^ 0, для всех £>0, и^бУ, и имеет следующий вид: mesn+i(1(й)А1(и)) ^ с (||й0 - wolU^) + ||/ - /IUi(<?))

Здесь signe(A) = sign(A) при |А| > е, signe(A) = Х/е при |А| ^ е.

Во второй главе строятся и исследуются три типа сеточных схем для приближенного решения исходной задачи. Две из них являются общепринятыми и получаются аппроксимацией либо исходного неравенства (Р), либо регуляризованной задачи (Ре) (задачи со штрафом). Третья схема является новой и получаются аппроксимацией задачи (Pq).

Для аппроксимации задачи по пространственным переменным используется метод конечных элементов (МКЭ),' а по временной переменной — метод конечных разностей; традиционно используются простейшие методы (простейшие треугольные или четырехугольные элементы и неявная схема Эйлера). Последнее объясняется тем, что решение задачи обладает малой гладкостью, даже при сколь угодной высокой гладкости данных задачи. А именно, можно предполагать, что решение задачи таково, что и' е Ь2{О, Т] НП Loo(0, Т; L2(S2)), и е Ь2{О, Г; Я 2(Q)), (1) но и" не принадлежит как L2(Q), так и L2(0,T; Я-1(П)), если не предполагать специальных условий согласования данных, а и не принадлежит L2(0,T] H3(Q)). Отсутствие гладкости решения по временной переменной является серьезной проблемой при теоретическом исследовании точности сеточных схем даже в энергетической норме •

IMU = lluIUoo(0,r;L2(n)) + 1Ми2(0,Т;ЯЧП))> естественной для параболических задач, и приводит к заниженным оценкам (по сравнению с параболическими уравнениями).

Так для модельной задачи (Л — линейный оператор, ф — 0) для сеточной схемы на основе задачи (V) в [56], [67], получена оценки точности порядка 0(h + г1/2); в случае дополнительных предположений относительно поведения решения в окрестности свободной границы — 0(h + In1/4 г [56], [73]. Оценка погрешности улучшается до 0(т + h), если предположить, что и" G L2(Q) [73], либо и" € L2(0,Г;H~l(Q)) [56], [74]. Однако, как отмечалось выше, эти предположения не выполняются для несогласованных данных. Отметим также работы [50], [52], [41], в которых получены оценки в других нормах.

Для сеточных схем, полученных после дискретизации задачи со штрафом, проблема получения оптимальных оценок точности усугубляется из-за наличия дополнительного параметра е. Так в [68] при оптимальном выборе е = 0(h2) получена оценка точности порядка 0{h + r/h)\ она является неудовлетворительной, поскольку приводит к требованию т = 0(h2), что нехарактерно для неявных схем. В [61] получена оценка О (г + /г), е = 0(h2), при условии u" Е L2{Q).

В главе 2 мы доказываем, что для задачи с препятствием, не зависящим от времени, при достаточно гладких данных задачи, предположений (1) достаточно, чтобы гарантировать ожидаемую оценку точности порядка О (г + h) для всех трех типов схем.

Глава состоит из трех параграфов. В § 1 исследуется неявная схема Эйлера для абстрактного параболического неравенства вида т

J ({u' + A{t)u-f1v-u) + (j>{t1v)-<f>(t,u))dt^ 0 Vv€V{(p)i о с выпуклым полунепрерывным снизу функционалом ф и сильно монотонным, липшиц-непрерывным оператором А (при каждом t). Исследования проводятся в контексте тройки гильбертовых пространств V С Я С У*; указываются условия, которые обеспечивают как существование и единственность решения этого неравенства, так и оценку точности порядка 0(т) для неявной схемы Эйлера. Эти исследования являются обобщением результатов работы [66], в которой А (линейный оператор) и ф предполагались не зависящими от t, и играют центральную роль в следующих параграфах. Во-первых, они позволяют исследовать разрешимость как полудискретных, так и дискретных схем. Во-вторых, позволяют разбить исследование точности дискретной схемы на два шага: на первом гттаге исследовать точность полудискретной схемы по пространству; на втором шаге, оценить точность дискретной схемы.

В § 2 изучается полудискретная сеточная схема, построенная на базе исходной задачи (V): вводится пространство конечных элементов, определяются квадратурные формулы (мы рассматриваем схемы МКЭ с численным интегрированием) и множество ограничений К^ определяется схема полудискретизации по пространственным переменным, устанавливаются оценки близости полудискретной и непрерывной задачи. После чего, с помощью неявной схемы Эйлера, осуществляется переход к полиостью дискретной задаче; в результате доказывается оптимальная оценка точности порядка О (г + К) в энергетической норме.

В §3 аналогичным образом исследуются два других типа схем; при выборе г порядка 0(h2) доказывается оценка точности 0(т + h) в энергетической норме.

В работе получены следующие основные результаты: для квазилинейных параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области

1. даны эквивалентные определения решения в виде вариационных неравенств 2-го типа с выпуклым липшиц-непрерывным функционалом и в виде параболического уравнения с разрывной слабой нелинейностью; на их основе изучены методы штрафа и регуляризации, для которых получены оценки точности, лучшие известных ранее;

2. доказаны оценки устойчивости коинцидентного множества решения (по мере Лебега) к возмущению правой части и начальных данных, существенно улучшающие известные оценки;

3. построена новая неявная схема МКЭ с численным интегрированием для приближенного решения задачи; для нее доказана оптимальная оценка точности в энергетической норме;

4. получены оптимальные оценки точности в энергетической норме двух известных сеточных схем приближенного решения задачи.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Пятый всероссийский семинар "Сеточные методы для краевых задач и приложения посвященный 200-летию Казанского государственного университета, г. Казань, 17-21 септября 2004 г.; Шестой всероссийский семинар "Сеточные методы для краевых задач и приложения г. Казань, 1-4 октября 2005 г.; Седьмой Казанской летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы г. Казань,27 июня - 4 июля 2005 г.; Всероссийской молодёжной школ е-конференции "Численные методы решения задач математической физики г. Казань, 26 июня — 2 июля 2006 г; Седьмом всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения 21 — 24 сентября 2007 г.; 51-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук г. Москва, 28-30 ноября 2008 г.; на семинарах кафедры вычислительной математики КГУ (руководитель М.М. Карчевский), на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета.

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Казанского государственного университета.

По теме диссертации опубликовано 11 работ ( [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [28], [29] , [30]), в том числе 3 статьи в журналах, входящих в список ВАК РФ. Совместные работы выполнены в соавторстве с научным руководителем, которому в этих работах принадлежит постановка задач, выбор направлений и методов исследования.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Рафаилу Замиловичу Даутову за постановку задачи, постоянную поддержку и помощь при выполнении работы.

1. Апугикинская Д., Уральцева Н., Шахголян X. О липшицевости свободной границы в параболичской задаче с препятствием // Алгебра и анализ. 2003. Т. 15, .№ 3. С. 78-103.

2. Апушкинская Д. Е., Уральцева Н. Н., Шахголян X. О глобальных решениях параболической задачи с препятствием // Алгебра и анализ. 2002. Т. 14, К0- 1. С. 3-25.

3. Архипова А. А. О предельной гладкости решения нестационарной задачи с одним или двумя препятствиями // Проблемы мат. анализа. 1983. Т. 9. С. 149-156.

4. Бадриев И. Б., Задворнов О. А. Итерационные методы решения вариационных неравенств в гильбертовых пространствах. Казань: Изд-во Казанского государственного университета, 2003. 131 с.

5. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Мир, 1988. 448 с.

6. Бенсусан А., Лионе Ж.-Л. Импульсное управление и квазивариационные неравенства. М.: Мир, 1987. 596 с.

7. Гаевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.

8. Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. 576 с.

9. Даутов P. 3. Об операторах точного штрафа для эллиптических вариационных неравенств с препятствием внутри области j j Дифферент уравнения. 1995. Т. 31, № 6. С. 1008-1017.

10. Даутов Р. 3., Карчевский М. М. Введение в теорию метода конечных элементов. Казань: Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина, 2004. 239 с.

11. Даутов Р. 3., Михеева А. И. О точности метода штрафа для параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области // Изв. Вузов. Математика. 2008. № 2. С. 41-47.

12. Даутов Р. 3., Михеева А. И. Операторы точного штрафа и регуляризация параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 1. С. 7784.

13. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 384 с.

14. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983. 256 с.

15. Корнеев В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Ленинград: Из-во Ленинградского университета, 1977. 205 с.

16. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Физматгиз, 1956. 392 с.

17. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

18. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 578 с.

19. Лапин А.В. Итерационные методы решения сеточных вариационных неравенств. Казань: Изд-во Казанского государственного университета, 2008. 132 с.

20. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.

21. Лионе Ж.-Л., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 372 с.

22. Михеева А. И., Даутов Р. 3. Об устойчивости коинцидептного множества решения параболического вариационного неравенства с препятствием // Изв. Вузов. Математика. 2010. № 3. С. 88-91.

23. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. 510 с.

24. Солонуха О. В. О нелинейной параболической задаче с препятствием // УМН. 2004. Т. 59, № 3. С. 181-182.

25. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. 511 с.

26. Уральцева Н. Н. О регулярности решений вариационных неравенств // Успехи математических наук. 1987. Т. 42, № 6. С. 151-174.

27. Фридман А. Вариационные прииципы и задачи со свободными границами. М.: Наука, 1990. 536 с.

28. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 400 с.

29. Addou A., Mermri В. Topological degree and application to a parabolic variational inequality problem // Internat. J. Math. Math. Sci. 2001. Vol. 25. Pp. 273-287.

30. Apushkinskaya D. E., Matevosyan N., Uraltseva N. N. The behavior of the free boundary close to a fixed boundary in a parabolic problem // Indiana Univ. Math. J. 2009. Vol. 58, no. 2. Pp. 583-604.

31. Baiocchi C. Discretization of evolution inequalities // Partial Differential Equations and the Calculus of Variations / Ed. by F. Colombini, L. M. A. Marino, S. Spagnolo. Boston: Birkauser, 1989. Pp. 59-92.

32. Barbu V. Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces. Leyden: Nordhof, 1976. 352 pp.

33. Berger A., Falk R. An Error Estimate for the Truncation Method for the Solution of Parabolic Obstacle Variational Inequalities // Math. Computation. 1977. Vol. 31, no. 139. Pp. 619-628.

34. Boman M. A posteriori error analysis in the maximum norm for a penalty finite element method for time-dependent obstacle problem // Technical Report. Chalmers Finite Element Center. 2000. Vol. 12.

35. Brezis H. Equations et inequations non lineaires dans les espaces vecto-riels en dualH^ // Comm. Pure Appl. Math. 1968. Vol. 18. Pp. 115-175.

36. Brezis H. Problemes unilateraux // J.Math. Pures. Appl. 1972. Vol. 51. Pp. 1-168.

37. Brezis H. Un probleme devolution avec contraintes unilaterales dependant du temps // C. R. Acad. Sci. Paris. 1972. Vol. 274. Pp. 310-312.

38. Browder F. E., Hess P. Nonlinear mappings of monotone type in Banach spaces // J. Funct. Anal. 1972. Vol. 11, no. 2. Pp. 251-294.

39. Caffarelli L. The regularity of free boundaries in higher dimensions // Acta. Math. 1977. Vol. 139. Pp. 155-184.

40. Caffarelli L. A remark on the Hausdorff measure of a free boundary, and the convergence of coincidence sets // Boll. Un. Mat. Ital. A. 1981. Vol. 18, no. 5. Pp. 109-113.

41. Charrier P., Troianiello G. On strong solutions to parabolic unilateral problems with obstacle dependent on time // J. of Math. Anal, and Appl. 1978. Vol. 65, no. 1. Pp. 110-125.

42. Cortey-Dumont P. On finite element approximation un the L°°-norm of parabolic variational inequalities and quasi-variational inequalities // CMAP de l'Ecole Polytechn. 1983. T. 112. C. 599-606.

43. Donati F. A penalty method approach to strong solutions of some nonlinear parabolic unilateral problems // Nonlinear Anal. 1982. no. 6. Pp. 585-597.

44. Fetter A. Loo-error estimate for an approximation of a parabolic variational inequality // SIAM J. Numer. Math. 1987. Vol. 50. Pp. 557-565.

45. Fichera G. Elastostatic problems with unilateral constraints: the Signori-ni problem with ambiguous boundary conditions // Seminari dell'istituto Nazionale di Alta Matematica 1962-1963. Rome: Edizioni Cremonese, 1964. Pp. 613-679.

46. Friedman A., Kinderlehrer D. A one phase Stefan problem j I Indiana. Univ. Math. J. 1975. no. 24. Pp. 1005-1035.

47. Hartman P., Stampacchia G. On some nonlinear elliptic differential functional equations // Acta Math. 1966. Vol. 115. Pp. 271-310.

48. Johnson C. A convergence estimate for an approximation of a parabolic variational inequality // SIAM J. Numer. Anal. 1976. no. 13. Pp. 599606.

49. Landes R., Mustonen V. On pseudo-monotone operators and nonlinear noncoercive variational problems on unbounded domains // Math. Arm. 1980. Vol. 248, no. 2. Pp. 241-246.

50. Leray J., Lions J.-L. Quelques resultats de Visik sur des problemes el-liptiques non linaires par les methodes de Minty-Browder // Bull. Soc. Math. France. 1965. Vol. 93. Pp. 97-107.

51. Lions J.-L., Stampacchia G. Variational inequalities // Comm. Pure Ap-pl. Math. 1967. Vol. XX. Pp. 493-519.

52. Lions J.-L. . Sur un nouveau type de probleme non lineaire pour op-erateurs hyperboliques du deuxieme ordre // Sem. J. Leray. College de France. 1966. Vol. II. Pp. 17-33.

53. Nair P., Pani A. K. Finite Element Methods for Parabolic Variational Inequalities with a Volterra Term // Numerical functional analysis and optimization. 2003. Vol. 24, no. 1,2. Pp. 107-127.

54. Nochetto R., Savare G., Verdi C. A posteriori error estimates for variable time-step discretizations of nonlinear evolution equations // Comm. on Pure and Appl. Math. 2000. Vol. 53, no. 5. Pp. 525-589.

55. Rudd M., Schmitt K. Variational inequalities of elliptic and parabolic type // Taiwanese J. Math. 2002. no. 6. Pp. 287-322.

56. Rulla J. Error Analysis for Implicit Approximations to Solutions to Cauchy Problems // SIAM J. Numer. Anal. 1996. Vol. 33, no. 1. Pp. 6887.

57. Savare G. Approximation and regularity of evolution variational inequalities // Rnd.Acc. Naz. Sci. dei XL, Memorie di Matematica. 1993. Vol. XVII. Pp. 83-111.

58. Savare G. Weak solutions and maximal regularity for abstract evolution inequalities // Adv. Math. Sci. Appl. 1996. no. 6. Pp. 377-418.

59. Scarpini F., Vivaldi M. Evaluation de l'erreur d'approximation pour une enequation parabolique relative aux convexes dependant du temps // Appl. Math. Optim. 1978. no. 4. Pp. 121-138.

60. Scholz R. Numerical solution of the obstacle problem by the penalty method. Part II. Time-Dependent Problems // Numer. Math. 1986. Vol. 49. Pp. 255-268.

61. Sholz R. Numerical solution of the obstacle problem by the penalty method // Computing. 1984. Vol. 32. Pp. 297-306.

62. Signorini A. Questioni di elasticita non linearizzata e semilinearizzata // Rend. Mat. Appl., V. Ser. 1959. Vol. 18. Pp. 95-139.

63. Tartar L. Remarks on some interpolation spaces // Boundary value problems for PDEs and applications. 1993. Pp. 229-252.

64. Vivaldi M. Existence of strong solutions for nonlinear parabolic variational inequalities // Nonlinear Anal. 1987. Vol. 11, no. 2. Pp. 285-295.

65. Vuik C. An L2-Error Estimate for an Approximation of the Solution of a Parabolic Variational Inequality // Numer. Math. 1990. Vol. 57. Pp. 453-471.

66. Zenisek A. Approximation of parabolic variational inequalities // Ap-likace Matematiky. 1985. Vol. 30. Pp. 11-35.

67. Wang S., Huang C.-S. A power penalty method for solving a nonlinear parabolic complementarity problem // Nonlinear Analysis. 2008. no. 69. Pp. 1125-1137.

68. Ziemer W. Regularity of weak solutions parabolic variational enequali-ties // Tranc. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 39, no. 2. Pp. 763-786.

69. Zlamal M. Curved elements in finite element method. I. // SIAM J. Numcr. Anal. 1973. Vol. 10, no. 1. Pp. 229-240.

70. Zlamal M. Curved elements in finite element method. II. // SIAM J. Numer. Anal. 1974. Vol. 11, no. 2. Pp. 347-362.