Применение спектральной теории автоморфных функций к некоторым задачам аналитической теории чисел тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ . 3.

ГЛАВА I. 7.

§1. Полная модулярная группа и целые точки на поверхности cty-j?> -kD .7.

§2. Некоторые сведения о специальных функциях 15.

§3. Собственные функции оператора Лапласа-Бельтрами и их свойства . 16.

§4. Вспомогательные леммы . 19.

ГЛАВА II.28.

§1. Формула суммирования для J^&O7*-) . 28.

§2. Оценка суммы Р аЛ**1) .*.

ГЛАВА III.ш. 38.

§1. Вспомогательные леммы . 38.

§2. Среднее значение функции числа делителей квадратичного полинома . 49.

Вопрос об асимптотическом поведении суммы

0.1/

IkUP где я:(уп) - число делителей натурального m , Н) натуральное, впервые был рассмотрен в работе [20]. В ней была доказана асимптотическая формула

S-vCE) = c^Ca^eitP + 0^(pLL£) , /0.2/

Попытки выделить ещё один главный член и получить степенное понижение остатка в этой задаче привели к необходимости оценок сумм вида здесь иг - произвольное целое, отличное от нуля, 3) - натуральное/.

На важность оценок сумм типа /0.3/, в связи с гипотезой Петерссона, указал Ю.В.Линник в докладе на Международном Математическом конгрессе в Стокгольме в 1962 году /см.[10)/. В 1963 году появилась работа Хоу-ли /см. [1б] /, в которой он доказал оценку

В этой же работе, с помощью /0.4/, он получил асимптотическую формулу

0.3/

0.4/

- t Cc+ Q^C*' ") /0.5/ см. также работу [б], в которой получено логарифмическое уточнение /0.5$ Оставаясь в рамках технических средств, используемых в [16}, оценку остаточного члена в /0.5/ можно довести до

0-6/

Это сделано в работе [4]. В работах [14] , [1б] , [l7] были найдены приложения неравенства /0.4/ к некоторым другим задачам.

В 1964 году Сельберг в [22] предложил новый подход к решению некоторых теоретико-числовых задач, использующий созданную им спектральную теорию автоморфных функций. Развивая идеи Сельберга, Н.В.Кузнецов в работе [8] получил принципиально новые результаты на пути к доказательству гипотезы Линника, касающейся поведения суммы сумм Клостермана.

В настоящей работе спектральная теория автоморфных функций применяется к изучению сумм вида /0.3/ и /0.5/. При этом существенно используются приёмы и методы из работ [8] , [16] .

Работа состоит из трёх глав. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней изложены некоторые известные факты, связанные с полной модулярной группой, действующей на верхней полуплоскости, теорией положительно определённых квадратичных форм, специальными функциями и спектральной теорией автоморфных функций. Исключение составляет лемма 4, которая является новым результатом. Эта лемма, несмотря на простоту доказательства, играет важную роль в настоящей работе, так как устанавливает связь между теоретико-числовым выражением типа /0.3/ и теорийй автоморфных функций.

Во второй главе изучается сумма /0.3/. В первом параграфе этой главы доказывается теорема, в которой сум f - произвольная функция, с достаточно хорошими аналитическими свойствами/ выражаются через коэффициенты Фурье собственных функций оператора Лапласа-Бельтрами. Затем, во втором параграфе, выбирая специальным обра

Это неравенство улучшает /0.4/.

В главе III изучается сумма /0.1/. В первом параграфе главы сформулированы некоторые известные результаты и доказаны вспомогательные леммы. Во втором параграфе доказывается асимптотическая формула мы ВИ"0 ^(3)2-1*P + <:.£>)£ + £(£f+£)

Этот результат улучшает /0.6/.

Основные результаты работы опубликованы в статьях И, [4].

Автор выражает глубокую благодарность Н.М.Коробову за научное руководство. Автор также благодарен А.И.Виноградову, Н.В.Кузнецову, А.Б.Венкову, Л.А.Тахтаджяну и Н.В.Проскурину, общение с которыми в значительной мере способствовало появлению настоящей работы.