Проблема изотопической реализации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

имени В. А. Стеклова

На правах рукописи УДК 515.1

Мелихов Сергей Александрович

ПРОБЛЕМА ИЗОТОПИЧЕСКОЙ РЕАЛИЗАЦИИ

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва. 2004

Работа выполнена в отделе геометрии и топологии Математического института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук Е. В. Щепин

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук Е. Г. Скляренко

- доктор физико-математических наук А. В. Чернавский

Ведущая организация - Институт математики им.

С. Л. Соболева Сибирского отделения РАН

Защита диссертации состоится .м-^к 2004 г. в & на заседании диссертационного совета Д 002.022.03 в Математическом Институте им. В. А. Стеклова РАН по адресу: 119991, Москва, ул. Губкина 8, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического Института им. В. А. Стеклова РАН. Автореферат разослан

Ученый секретарь Диссертационного совета Д 002.022.03 в МИРАН Д.ф.-м.н.

Н. П. Долбилин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Непрерывное отображение / компактного полиэдра X в PL-много-образие Q (без края) называется дискретно реализуемым [Si], если для каждого е > 0 оно е-аппроксимируемо вложением, и изотонически реализуемым [Но], [ЩШ], если существует псевдоизотопия Ht: Q Q, t £ I — [0,1] (т.е. изотопия с параметром t G [0,1), продолжающаяся до непрерывного отображения при t —* 1), переводящая в / некоторое вложение g (т.е. Hi од = /). Очевидно, изотопическая реализуемость влечёт дискретную. Вопрос о справедливости обратной импликации был поднят Е. В. Щепиным в 1993г. (см. [А1; проблема 2]), и известен как проблема изотопической реализации.

Истоки этого вопроса восходят к проблеме Л. В. Келдыш о реализуемости дико вложенных полиэдров псевдоизотопией подполиэдров (см. [Ке]). Она была решена положительно для диких ложных поверхностей в 3-многообразиях (Л. В. Келдыш, 1966 и Р. Крэгс, 1970) и для диких вложений в коразмерности > 3 (Р. Эдварде, 1975; см. [Ме2; Theorem 3.5]), и отрицательно для некоторых диких узлов в 1R3 (Л. В. Келдыш, 1971 и К. Сиккема, 1972). Также следует отметить, что, в силу теоремы Чернавского о локальной стягиваемости группы гомеоморфизмов многообразия [Че], дискретно реализуемые отображения замкнутого компактного многообразия на себя реализуемы изотопически.

Связь с контролируемой топологией может быть описана следующим образом. Как показано в [Ме2; Theorem 1.12],, в условиях коразмерности > 3 отображение компактного полиэдра X в PL-многообразие Q изотопически реализуемо, если и только если оно лежит в образе канонического отображения

е: holink(X,Z>) V,

где М - пространство отображений X —> Q (в компактно-открытой топологии), V - «дискриминант», т.е. дополнение в М к множеству вложений, holink - гомотопический линк в смысле Квинна [Qu], т.е. пространство путей ф: I М, таких {(} в компактно-

открытой топологии), и отображение е даётся взятием значения в единице. Вопрос о справедливости этого утверждения в коразмерностях меньше 3 остаётся открытым.

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ I

БИБЛИОТЕКА I Typeset by AvfS-T^X СПетервург у о I

о» Щч&М

Легко строятся отображения компактов, реализуемые дискретно, но не изотопически (интересный пример - композиция проекции двух псевдодуг на одну и некоторого вложения последней в плоскость [Ме2; Example 1.1]). Однако в случае, когда X - полиэдр, вопрос о существовании таких отображений оказался цесьма сложным, и лишь недавно выяснилось, что он решается отрицательно [Ме2; Examples 1.3, 1.9]; эти примеры включены в диссертацию.

В этой связи интересен следующий пример. Рассмотрим последовательность отображений /,-: S1 —> R2 \ {О}, таких что /,• индуцирует на 7Ti умножение на i и совпадает с /,_i вне 2~*-окрестности северного полюса N, которую переводит в 2~'-окрестность начала координат О. Прообраз О при предельном отображении /: 51 R2 есть N; образ / можно описать как объединение двух спиралей, закрученных вокруг О в противоположных направлениях. Может показаться «очевидным», что / не допускает мгновенного снятия с начала координат, т.е. не существует гомотопии ht: S1 -> R2, такой что h0 = / и образ ht не содержит О при t >0. Но это неверно, в чём несложно убедиться, заметив, что / является также равномерным пределом нульгомотопных отображений f-: S1 —* К2 \ {О), где Д совпадает с /,• вне 4~'-окрестности iV, которую переводит в 4-окрестность О.

Было обнаружено, что для некоторых весьма обширных классов отображений понятия дискретной и изотопической реализуемости могут совпадать. Так, они совпадают для отображений компактного полиэдра Хп в PL-многообразие Qm при условии т = 2п + 1 >3 [Ме2; Corollary 1.8] (конечно, в случае т > 2п + 1 совпадение имеет место по общему положению), или если т — п > 3 и отображение раскладывается в композицию кусочно-линейного отображения X-^Y и топологического вложения Y «-4 Q [Ме2; Theorem 1.6].

В действительности, в этих двух случаях имеет место совпадение сразу трёх понятий: дискретной, изотопической и непрерывной реализуемости. Отображение /: X —> Q непрерывно реализуемо [Ме2], если так что любое вложение, -близкое к /, переводится на / некоторой -псевдоизотопией. В категории PL непрерывная реализуемость равносильна дискретной в коразмерности 3 [Ме2; Theorem 1.6], но несложно видеть, что уже любое PL-вложение 51 R3 не является PL-непрерывно реализуемым (локальных узелков для этого, однако, недостаточно) [Ме2; Example 1.4]. Не является PL-непрерывно реали-

зуемым и тождественное отображение 5-мерного тора [Ме2; Example 1.4']

Здесь уместно отметить, что в общем случае (например, для отображений S2 —I R4) PL-аналог проблемы изотопической реализации, открыт. Из доказательства [Ме2; Theorem 1.6] ясно, что по существу он сводится к следующему вопросу: если Хп - полиэдр, т = п + 1 или п + 2, и /: X" хё'ч Rm X Rfc - PL-вложение, ^-коммутирующее с проекциями на Rfc, существует ли се-сдвиг вложения /, тождественный вне Хп X Вк, на такое PL-вложение /', ограничение которого на X" X \Вк в точности коммутирует с проекциями на K.fe?

Цель работы.

Целью работы является описание в классе дискретно реализуемых отображений тех, которые не реализуемы изотопически. Под описанием понимается как алгебраическая классификация, так и ответ (с её использованием или без) на конкретные геометрические вопросы о таких отображениях. Среди таких вопросов упомянем три. В работе [AM] спрашивается, влечёт ли дискретная реализуемость изотопическую для отображений 5П Ш"1-1 4 lm и 5я 5"1 4 R2n, где i, j - стандартные включения. С другой стороны, в [Ме2; Question I] спрашивается, существует ли дискретно, но не изотопически реализуемое локально-плоское топологическое погружение (между многообра-зиями).1

Научная новизна.

В диссертации получены следующие новые результаты. 1) Существует отображение многообразия в евклидово пространство, реализуемое дискретно, но не изотопически.

1Этот вопрос мотивирован случаем отображений S1 R3, в котором имеется локально-плоское топологическое погружение (покомпонентная связная сумма бесконечной нуль-последовательности зацеплений Уайтхеда), изотопическая нереализуемость которого наглядно очевидна. Однако, строгое её доказательство удалось получить лишь по модулю некоторой гипотезы в теории (ручных) зацеплений [MR1; Problem 1.5], которая, по-видимому, не может быть доказана с помощью известных на данный момент инвариантов зацеплений (включая полином Джонса и его разнообразные обобщения), см. по этому поводу [ММ1], [MR1], [MR2], [ММ2], [Меб]; установлено, что инвариантов, извлекаемых естественным образом из фундаментальной группы, заведомо недостаточно [MR1; Corollary 1.6].

2) Определено гомологическое препятствие о(/) к изотопической реализуемости дискретно реализуемого отображения f. Оно принимает значение в ядре К/ канонического эпиморфизма между эквивариант-ными локально-конечными гомологиями Стинрода-Ситникова (Боре-ля- Мура) и Александрова-Чеха сингулярного множества f.

3) Препятствие о(/) полно для отображений / в метастабильном ранге, дискретно реализуемых по остовам.

4) Непрерывная реализуемость дискретно реализуемого отображения / в метастабильном ранге равносильна тривиальности группы Kf.

5) Существуют отображения Sn Rm, реализуемые дискретно, но не изотопически, и

а) с тривиальным препятствием оф (для п = 1 и п > 9);

б) в классе локально-плоских топологических погружений (для

з);

в) с образом в гиперплоскости (для п > 4).

6) Изотопически реализуемо произвольное отображение

а) 5" ->■ R2n~2 С К2п при условии п = 0,1 (mod 4),

б) Sn К2""3 С R2" при условии п = 2 (mod 4),

в) 5" ->• R5!"/3! с R2n при условии п > 13, п ф 2' - 1.

7) Изотопически реализуемо произвольное дискретно реализуемое отображение 5n Sn С К2", п ф 2, при условии, что / лишицево, и его нить ван Кампена-Скопснкова - элемент конечного порядка.

Методы исследования.

Почти все результаты диссертации получены с использованием гомотопического критерия изотопической реализуемости [Ме2], обобщающего классический критерий взрезанного квадрата Хэфлигера-Вебе-ра-Харриса (см. обзор [PC]); его доказательство содержит дополнительные, по сравнению с классическим критерием и с [RS], нетривиальные (ср. [Mel] и [Ме2; Lemma 5.8]) ингредиенты [Ме2; Theorem 1.13]. Также используются стандартные методы алгебраической топологии: теория Смита и трансферы, классы Штифеля-Уитни и теория погружений, функтор производного предела lim1 и относительная гомологическая алгебра обратных спектров, стинродовы квадраты и высшие когомологические операции, а также род классического узла.

Практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Результаты работы доста-

вляют геометрическую иллюстрацию к параграфу «непрерывность против точности» в книге Стинрода и Эйленберга [СЭ], который послужил толчком к созданию многочисленных теорий гомологии общих пространств.

Методы работы были использованы в решении проблемы К. Борсука о вложимости стягиваемого локально стягиваемого n-мерного компакта в R2n [Бо; гл. IX, проблема 2.4] при весьма слабом дополнительном ограничении2, и в частичном3 решении проблемы Р. Дэвермана о вложимости ¿'"-подобного компакта в R2n [Da; Problem E16] в оставшихся открытых случаях . Кроме вопросов о вложимости компак-

тов, методы работы могут найти применение в построении действий целых р-адических чисел на многообразиях и в теории фантомных отображений.

Вопросы, затронутые в работе, привели к доказательству инвариантности некоторых модификаций полиномов Александера, Джонса, Кауффмана и HOMFLY классических зацеплений при топологической изотопии, и к определению аналога полинома Конвея в случае многих переменных, которое позволило существенно упростить связь между -инвариантами Милнора и полиномом Александера [Меб].

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на конференциях: к 90-летию Л. С. Понтрягина (Москва, 1998);

Топология и динамика: памяти В. А. Рохлина (С.-Петербург, 1999); Александровские чтения (Москва, 1999 и 2000); Ежегодная встреча Амер. мат. общества (Сан-Диего, США, 2002); Геом. теория групп и геом. топология (Гэйнсвил, США, 2002); Секционная встреча Амер. мат. общества (Орландо, США, 2002); Встреча Унив. Флориды и Гос. унив. Флориды (Талахасси, США, 2003);

и на семинарах:

2 А именно, в работе [MS] показано, что n-мерный компакт X вложим в R2", если он ацикличен mod2 в размерности п, и (п+ 1)-мерные целочисленные когомологии X с носителем в х тривиальны для любой х 6 X. Смысл последнего условия был вскрыт в [Ск], где также приведён стягиваемый локально-стягиваемый компакт, для которого оно не выполнено.

3А именно, в работе [Ме4] показано, что предел обратной последовательности

отображений общего положения р,: S3 —> S3 вложим в R6, если для каждого i

найдётся х € S3, имеющая простое число прообразов при р;; аналогично для п — 7.

Е. В. Щепина по геометрической ТОПОЛОГИИ (МИАН, 1997-2003); М. М. Постникова по алгебр, топологии (МГУ, 1998-2000 и 2003); С. П. Новикова по топологии (МГУ, 2000); А. Н. Дранишникова по топологии (Гэйнсвил, США, 2001-03). «Топология и динамика» Дж. Кислинка (Гэйнсвил, США, 2001-03); «Узлы и дискриминанты» В. А. Васильева (НМУ, 2003); а также (успешно) на конкурсе Мёбиуса (НМУ, 2000).

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [МеЗ] и [Ме5] и существенно опирается на результаты работы [Ме2], не вошедшие в текст диссертации. В диссертацию также включены некоторые из результатов автора, опубликованные в статьях [АМ], [Ме2], [Ме4], [ММ1], [МЯ1].

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, содержащего 2 рисунка, 3-х глав, разбитых на 9 частей, и приложения. Общий объём - 85 страниц; список литературы содержит 70 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В ГЛАВЕ 1 проблема изотопической реализации для отображений п-полиэдра в 2п-многообразие сведена к когомологиям, и исследован вопрос о существовании дискретно, но не изотопически реализуемых отображений . Доказана (за исключением ранее

известного пункта (а))

Теорема 1. Пусть /?(т) обозначает 2-примарную часть т, т.е. наибольшую степень двойки, на которую делится т.

(а)[А1\ док-во теоремы 1] (см. также [Ме4; §3] и [АБ]) Любое/: 5" —► К2п-/3(п+1) с п ф 2 дискретно реализуемо.

(б) Изотопически реализуемо всякое /: 5" —> К2"-* С К2п, п ф1,

где

р(п + 1), если п вечётно.

(в) Для каждого п > 4 существуетотображение /: 5™ —> К2"-1 С К2п, реализуемое дискретно, но не изотопически.

Неединообразный вид ответа в пункте (б) объясняется тем, что имеются два независимых подхода, более простой из которых работает при ограничении к = max(/3(n -f 1),/3(п + 2)), а более сложный - при

; легко видеть, что в случае (mod 4) вы-

игрывает первый подход, иначе - второй. Заметим также, что именно наличие этих двух подходов приводит далее к двум пунктам теоремы 2.

Следствие 1. Любое отображение 5" -> IR5t"/3l+3 q Ц£2п изотонически реализуемо, если гг+1 неявляется степенью двойки, пф 2,4,6,9,10 и 12.

Следствие 2. Для любого отображения f:Sn —> Sn и любого топологического вложения i: 5" R2" композиция i о / изотонически реализуема, при условии что п +1 не является степенью двойки, п ^2.

Заметим, что среди отображений 5" —»■ R2" те из них, образы которых содержатся в сфере , вызывают особый интерес в контексте вопросов о дискретной и изотопической реализуемости. Во-первых, они представляют собой первый нетривиальный случай с точки зрения коразмерности, поскольку любое отображение Sn -> 5n_1 С R2n изотопически реализуется распроектпированием посредством совместного отображения ввиду того, что реализуемо изотопически постоянное отображение,5" |0| Rn+1 в слойтриви-ального нормального расслоения к в пространстве . Немного более тонкие рассуждения позволяют уточнить оценку:

Предложение 1. (а) Всякое S" Л R" С И2п изотонически реализуемо.

(б) ОтображениеБ11 -А 5" С К2" изотопически реализуемо при условии, что /_1(р) = {р} для некоторой рЕ. Sn

Во-вторых, как ясно из [А2], [KS] (см. также [A3]), рассмотрение отображений тесно связано с изучением итерированного гомоморфизма надстройки в гомотопических группах сфер, а также, ввиду итерационных возможностей отображений , допускает приложения к вложимости компактов [А2]. Наконец, отметим, что, как ясно из доказательства следствия 2, ответы на вопросы о дискретной и изотопической реализуемости композиции отображения

и (топологического) вложения i: Sn Rm, т — п > 3, не зависят от выбора вложения i, поэтому корректно говорить о реализуемости f в пространстве Кга, что возвращает нас к исходной терминологии [Si], [ЩШ]; легко видеть, что композиция дискретно (изотопически) реализуемых в Rm отображений Sn Sn дискретно (изотопически) реализуема в Rm

П. М. Ахметьеву удалось доказать с помощью теоремы Адамса об инварианте Хопфа, что любое отображение /: 5П —>• 5" С ¡Я2п дискретно реализуемо при п ф 1,2,3,7 [А2] (см. альтернативные доказательства в [A3], [Ме4]). При п = 1 это не так для любого отображения степени ф 0,±1 [Si]; случаям п = 3,7 посвящена работа [Ме4], а случаю п = 2, где возникают дополнительные трудности, связанные с тройными точками, - основной результат работы [ARS] (см. также [Al], [A2]). Известно, что при п = 2 ответ положителен для открытых отображений (Е. В. Щепин, неопубликовано). Для вопроса об изотопической реализуемости случай представляет особую

сложность, поскольку в проблеме изотопической реализации ту роль, которую инвариант Хопфа играет в задаче дискретной реализации, занимает относительная версия (ср. гомоморфизмы р*т из [A3]) второго инварианта Хопфа Яг в смысле Уайтхеда-Джеймса (см. [KS]), а для последнего удаётся применить лишь доказательство [AS] лёгкой части теоремы Адамса, работающее при ограничении пф 2' — 1

Таким образом, размерностные ограничения в следствии 2, по-видимому, не удастся ослабить (или же доказать их необходимость) стандартными методами теории погружений без дальнейшего развития её аппарата.

Другие методы применяются для изучения отображений 5n Sn С R2ftB ГЛАВЕ 2.

Определения. Пусть /: X —)• Q - непрерывное отображение. Замкнутое подмножество Е/ = {(ж, у) | х ф у, /(х) = f(y)} взрезанного квадрата X = X X X \ Ах, где Дх = {(х,х)} - диагональ, инвариантно при свободной инволюции t: (х, у) (у,х) на X. Отметим, что компактность Е/ равносильна тому, что / - (топологическое) погружение, а его пустота - тому, что / - (топологическое) вложение; если / - кусочно-линейное отображение между полиэдрами, £/ - подполиэдр , а если / - отображение общего положения между многообразиями,

Е/ - подмногообразие X

В приложении определяются гомологические препятствия о(/) ио(/) к дискретной и к изотопической реализуемости отображения /: ТУ"— > Мт между ориентируемыми РЬ-многообразиями; приведём краткий набросок их построения. Препятствие о(/) принимает значение в (2п-т)-мерной группе локально-конечных гомологии Александрова-Чеха а-компакта Е/Д с некоторыми локальными коэффициентами, изоморфной обратному пределу локально-конечных4 гомологии полиэдральных окрестностей Е//1 в N/1, и определяется как нить из гомологических классов многообразий Е/./4, где /,• - аппроксимации общего положения отображения /, в этих окрестностях ЛГ,\ объединённых с окрестностями бесконечности некомпактного многообразия Препятствие 0(1) принимает значение в (2п—т)-мерной группе локально-конечных гомологии Стпинрода-Ситникова а-компакта Е/Дс некоторыми локальными коэффициентами, изоморфной группе (2п —га -Номерных локально-конечных гомологии телескопа обратной последовательности окрестностей №, и определяется как гомологический класс многообразия и^лЛ> гЛе ^ * ^ РМ)» - гомотопия общего положения, такая что /< / равномерно при £ —> 1, в телескопе обратной последовательности

Предложение 2. Пусть /: ЛТ" (¿2п -отображениемеждуориен-тируемыми кусочно-линейными многообразиями, где п > 3 и N компактно.

(а)\ Я51 /дискретно реализуемо, если и только если о(/) = 0.

(б) / изотонически реализуемо, если и только если о(/) = 0.

(в) Если / дискретнореализуемоиявляетсякомпозицией N -4 М С £ где а = Мх М2п~к - кусочно-линейное многообразие, к> О, то класс о(/)Г имеет порядок 2 и является образом о(/) при некотором гомоморфизме.

Пункт (б) доказан уже в начале главы 1, а второе утверждение пункта (в) является ключевым наблюдением главы 2; некоторые его

4Напомним, что локально-конечные гомологии отличаются от обычных наличием циклов с некомпактными носителями, аналогичных носителям коциклов в обычных когоыологиях; см. приложение.

следствия установлены уже в главе 1. следующая

Основной результат главы 2

Теорема 2. Допустим, что композиция /: 5П Л 5" С И2п, п > 3,

реализуема дискретно, но не изотонически, и пусть I 6 Э71 - любая точка, Рх = /-1(/(х))-

(а) Если о(/) имеет конечный порядок, то компакт Рх соленоида-лсн, т.е. нетривиально ядро канонического эпиморфизма Т'. Нп(Рх) Но(Рх) между нульмерными гомологиями Стинрода-Ситникова и Александрова -Чеха. Более того, это ядро содержит элемент порядка 2.

(б) Образ индуцированного включением гомоморфизма

Н0(РХ) = Н$(РХ \ {*}) i» Я0* (E,/t)

содержит элемент порядка 2, принадлежащий ядру Т \ //¿f (Е//t) —> H^Tif/i) и не зависящий от х. Этот элемент - ни что иное, как o(f)

Замечание. Из точной последовательности Милнора, связывающей гомологии Стинрода-Ситникова и Александрова-Чеха, вытекает, что всякий соленоидальный компакт имеет размерность не менее 1.

Замечание. Существование отображений Sn —t Sn без несоленоидаль-ных прообразов точек представляется автору маловероятным. (Следует уточнить, что специалистам, таким как, например, Р. Эдварде, неизвестно, существуют ли такие отображения, равно как и отображения f:Sn —» 5" с /-1(а:) = S1 для каждой х € Sn.) В самом деле, известно, что факторпространство Sn по свободному действию р-адического соленоида (если такое существует) имеет размерность не менее

Замечание (Б. В. Щепин). Прообраз хотя бы одной точки не является соленоидальным, если / липшицево или 1-мягкое (доказательство основано на доказательстве леммы Сарда, упрощённом с учётом того, что размерности образа и прообраза совпадают).

Замечание (А. Н. Дранишников). Если прообраз каждой точки некоторого открытого множества U С Sn гомеоморфен р-адическому соленоиду (который ацикличен modp), по теореме Виеториса-Бегла f индуцирует изоморфизм Я*(5", 5" \U; Z/p) H*{Sn, Sn \ /"г (U); Z/p), в

частности, Ае^/ ф 0 (тос1р). Правда, здесь не учтены такие, например, возможности: (¡) прообраз каждой точки гомеоморфен ¿-адичес-кому соленоиду, где I = (2,3,5,7,11,...); (") = Т3 иГ5, где Тр -

всюду плотное множество, прообраз каждой точки которого гомемо-морфен р-адическому соленоиду.

Замечание. Из второго утверждения пункта (а) следует, что в его условиях 2-адический соленоид не может быть прообразом никакой точки, поскольку в его одномерных гомологиях нет элементов порядка 2..

Замечание. Следующий пример показывает, что существование отображений 5™ -» 5™, удовлетворяющих заключению первого утверждения пункта (б) для каждой х 6 5П, является весьма правдоподобным. Для проекции /: £р —> 51 р-адического соленоида, р > 2, на окружность и любой х е 51 образ индуцированного включением гомомор-физма.Яо(/-1(х)) = Но(/~1(х)) Яо(£р) содержит элемент порядка 2, принадлежащий ядру Яо(Ер) Яо(Ер). В самом деле, 1 - эпиморфизм, поскольку по аксиоме вырезания Яо(Ер, /-1(х)) = Я0(/ х С, д1 х С) = 0, где С обозначает канторово множество, между тем по формуле универсальных коэффициентов , где

2(р) - локализация целых чисел в р, изоморфная прямому пределу спектра из групп Н1(Б1) и гомоморфизмов, индуцированных р-листным накрытием. Но хорошо известно, что ЕхЦ2(р),2) = Ър/Ъ, где Хр обозначает группу целых р-адических чисел, содержащую в качестве подгруппы. Два чисто геометрических описания изоморфизма приведены в приложении.

Классификационным результатам посвящена ГЛАВА 3.

Определение. Пусть гп < к < 2п, причём пг > . Назовём

кусочно-линейное отображение /: X вложением вплоть до размерности к, если в некоторой триангуляции полиэдра X, в некотором измельчении которой оно симплициально, оно вкладывает каждый её симплекс, и для любых двух её симплексов а и т., сумма размерностей которых не превосходит к, выполняется /(а) П /(т) = /(сг П г). Скажем, что отображение /: X С} в метастабильном ранге дискретно реализуемо по остовам, если для каждого к = т,..., 2п выполнено следующее: Уе > 0 35 > 0 так что любое ¿близ кое к / Р - отображен ие , являющееся вложением вплоть до размерности , -

гомотопно в классе вложений вплоть до размерности к — 2 некоторому вложению вплоть до размерности к. Прямая индукция по остовам показывает, что из дискретной реализуемости по остовам следует дискретная реализуемость. В случае т = 2п, очевидно, верно и обратное, но в общем случае это не так.

Теорема 3. Пусть т > , п > 1

(а) Пусть.Nn И Мт - ориентируемые PL-многообразия без края, N компактно. Дискретно реализуемое по остовам отображение /: Nn Мт реализуемо изотонически, если и только если тривиально препятствие o(f), принадлежащее ядру канонического эпиморфизма между локально-конечными эквивариантными гомологиями Стинрода-Ситни-кова и Александрова-Чеха

ТГ. Л^Е,; z®"-») Я2^(£/;ЖГ"п)

где %\Е/2]-модуль Zj. = Z[Z/2]/(t + 1)

(б) (слегка усиленная переформулировка результата [A3]) Дискретно реализуемое отображение /: Sn К"1 реализуемо изотонически, если и только если тривиально препятствие O(f), лежащее в ядре канонического эпиморфизма между стинродовскими и чеховскими локально-конечными эквивариантными оснащёнными бордизмами Кошорке-Ах-метьева

fb. )J-Fm^„) n2i(WXjBoo;lf(s/"-im-Ti)>

где прямой предел В^ групп Вк симметрии k-мерного куба действует на оснащениях, и Z[(Z/2) X В ^-модуль Fk — Z[(Z/2) X Boo]/((t,iifc) — (-l)fc), где Rk - элемент (t,..., i) подгруппы Z/2 X ■•• X Z/2 группы

BkCBoo

Гомологии Стинрода-Ситникова (Бореля-Мура) и Александрова-Чеха, бордизмы Кошорке-Ахметьева и препятствия о(/) и 0(f) определены в приложении. Бордизмы Кошорке-Ахметьева были определены в работе [A3], правда, в менее алгебраических терминах, исключающих замену коэффициентов Fk другими модулями, и только для компактов (в то время как Е/ - лишь ст-компакт).

Замечание. Если принять формулировку пункта (б) как данное, его доказательство в [A3] является, по модулю редукции [Ме2; Criterion

1.7] к теоретико-гомотопической задаче, упражнением по теории препятствий, аналогичным доказательству Предложения 2(6). Не совсем так обстоит дело с пунктом (а), доказательство которого использует теорему Серра о конечности гомотопических групп сфер.

Замечание. Препятствие Ахметьева 0(f) имеет смысл и без предположения о дискретной реализуемости, причём его образ 6(f) := является, в условиях Теоремы 3(6), полным препятствием к дискретной реализуемости / [A3]. При т — 2n препятствие O(f) сводится к гомологическому препятствию о(/) := -?v(o(/))

Основным результатом главы 3 является

Теорема 4. (а) Пусть Nn и Мт - ориентируемые PL-многообразия без края, N компактно, и т > n > 1. Дискретно реализуемое

отображение /: Nn Мт реализуемо непрерывно, если и только если эпиморфизм J-f из теоремы 3(a) инъективен.

(б) Для каждого п >9 существует отображение f:Sn—¥ R2"-5, реализуемое дискретно, но не иэотопически, при том что o(f) = 0.

Следствие. Если отображение /: Nn M2n~k, k < между

ориентируемыми кусочно-линейными многообразиями реализуемо дискретно, но не изотопически, то dim S^ > &+1, и группа ^(S/jZ) несчётна.

В случае, когда / дискретно реализуемо по остовам, утверждение теоремы 4(а) было, по существу, доказано уже в [AM], однако приводимое доказательство общего случая основано на другой идее, использующей действие когомотопических групп на эквивариантных когомотопиче-ских множествах и высшие когомологические операции.

Проверка изотопической нереализуемости отображения из теоремы 4(6) основана на известных свойствах операции . Вскоре после доклада автора об этом результате П. М. Ахметьев смог его улучшить, дав устный эскиз построения отображения , для до-

статочно большого , реализуемого дискретно, но не изотопически, несмотря на тривиальность о(/). Рассуждения, использованные им в этом эскизе, были основаны не на когомологических операциях, а на группах бордизмов, которые позднее оформились в группы из теоремы 3(6). Вычисления этих групп, соответствующие отображению A, приведены в [A3], где само его существование высказано лишь в качестве

гипотезы (в самом деле, по меньшей мере неочевидно, что заданное косо-оснащённое многообразие реализуется как сингулярное множество некоторого отображения). Также, каки отображение из теоремы 4(6), пример Ахметьва не использует специфики эквивариантного случая и может быть перенесён в категорию сингулярных зацеплений (link maps) аналогично [Ме2; Example 1.17]. П. М. Ахметьев высказал также гипотезу (см. [A3]), согласно которой использование эквивариантной специфики доставит аналогичные примеры Sn -> R2n_1

ЛИТЕРАТУРА

[А1] П. М. Ахметьев, Об изотопической и дискретной реализации отображений п-сферы в евклидовом пространстве, Мат. сборник 187:7 (1996), 3-34.

[А2]_, Вложения компактов, стабильные гомотопические группы сфер и

теория особенностей, Успехи мат. наук 55:3 (2000), 3-62. [Бо] К. Борсук, Теорияретрактое, Мир, М., 1971.

[Ке] Л. В. Келдыш, Топологические вложения в евклидово пространство, Труды МИАН 81 (1966), 3-183. [PC] Д. Реповш, А. Скопенков, Новые результаты о вложениях полиэдров и многообразий в евклидовы пространства, Успехи мат. наук 54:6 (1999), 61-108. [Ск] Б. Г. Скляренко, О гомологически локально связных пространствах, Изв.

Акад. Наук, Сер. Мат. 44 (1980), 1417-1433. [СЭ] Н. Стинрод, С. Эйленберг, Основания алгебраической топологии, ИЛ, М., 1958.

[Че] А. В. Чернавский, Локальная стягиваемость группы гомеоморфизмов многообразия, Мат. сборник 79:3 (1969), 307-356. [ЩШ] Е. В. Щепин, М. А. Штанько, Спектральный критерий вложимости компактов в евклидово пространство, Труды Ленингр. междунар. тополог, конф., Наука, Л., 1983, pp. 135-142. [A3] P. M. Akhmetiev, Pontrjagin-Thom construction for approximation of mappings

by embeddings, Topol. Appl. (to appear). [AS] P. M. Akhmetiev, A. Szucs, Geometric proof of the easy part of the Hopfinvariant

one theorem, Math. Slovaca 49:1 (1999), 71-74. [ARS] P. M. Akhmet'ev, D. Repovs, A. B. Skopenkov, Obstructions to approximating

maps of n-manifolds into R" by embeddings, Topol. Appl. 123 (2002), 3-14. [Da] R. Daverman, Problems about finite-dimensional manifolds, Open Problems in Topology (J. van Mill, G. M. Reed, eds.), North-Holland, 1990, pp. 432-455; http://www.mathematicsveb.org/homepage/sac/opit/26/article.pdf. [Ho] W. Holsztyiiski, Approximation by homeomorphisms and solution of P. Blass

problem onpseudo-isotopy, Proc. Amer. Math. Soc. 27:3 (1971), 598-602. [KS] U. Koschorke, B. Sanderson, Geometric interpretations of the generalized Hopf invariant, Math. Scand. 41 (1977), 199-217.

[Mel] S. A. Melikhov, Псевдогомотопия влечёт гомотопию для сингулярных зацеплений коразмерности > 3, Успехи мат. наук 55:3 (2000), 183-184.

[Меб] S. A. Melikhov, Colored finite type invariants and a multi-variable analogue of the Conway polynomial, arXiv:math.GT/0312007.

[MM2] S. A. Melikhov, R. V. Mikhailov, n-quasi-isotopy, III: Engel conditions, Topol. Proc. (to appear); arIiv:math.GT/0201022.

[MR2] S. A. Melikhov, D. Repovs, n-quasi-isotopy, II: Questions of nilpotence, J. Knot Theory Ram. (to appear); arXiv:math.GT/0103114.

[MS] S. A. Melikhov, E. V. Shchepin, Embedding n-dimensional absolute retracts in R2n (preprint).

[RS] D. Repovs, A. B. Skopenkov, A deleted product criterion for approximability of maps by embeddings, Topol. Appl. 87 (1998), 1-19.

[Qu] F. Quinn, Homotopically stratified sets, J. Amer. Math. Soc. 1 (1988), 441-499.

[Si] K. Sieklucki, Realization of mappings, Fund. Math. 65:3 (1969), 325-343.

[Ya] C.-T. Yang, p-adic transformation groups, Michigan Math. 7 (1960), 201-218.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

[AM] П. М. Ахметьев, С. А. Мелихов, Об изотопической реализуемости непрерывных отображений, Зап. науч. сем. ПОМИ 267 (2000), 53-87; Исправление (в печати); Исправление учтено в пер. на англ., J. Math. Sci. (New York) 113 (2003), 759-776.

[Me2] S. A. Melikhov, On maps with unstable singularities, Topol. Appl. 120 (2002), 105-156; arXiv: math. GT/0101047.

[МеЗ] С. А. Мелихов, Изотопическая и непрерывная реализуемость отображений в метастабильномранге, Мат. сборник (май 2004), в печати.

[Ме4] S. A. Melikhov, Sphere eversions and realization of mappings, Труды МИАН (2004), в печати; arXiv:math.GT/0305158.

[Me5] С. А. Мелихов, Об изотопической реализуемости отображений, пропущенных через гиперплоскость, Мат. сборник (июнь 2004), в печати.

[ММ1] С. А. Мелихов, Р. В. Михайлов, Зацепления по модулю узлов и проблема изотопической реализации, Успехи мат. наук 56:2 (2001), 219-220.

[MR1] S. A. Melikhov, D. Repovs, n-quasi-isotopy, I: Questions of nilpotence, J. Knot Theory Ram. (to appear); arXiv: math.GT/0103113.

Подписано в печать 08.01.2004 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ №8 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д. 1 Главное здание МГУ, к. 102

í / 6*08

Введение

I. Дискретная реализуемость не влечёт изотопическую

II. Об отображениях дуг в М

III. О ручных отображениях и модификациях определений

IV. Отображения в подпространство коразмерности к

V. О дискретной реализуемости

VI. Отображения 5п —> 5"п с М2п

VII. Общее отображение в метастабильном ранге

1. Отображения 5П -> Ш2п~к с М2п

1.1. Первое препятствие к изотопической реализуемости

1.2. Отображения в гиперплоскость

1.3. Немного вычислений

2. Доказательство теоремы

2.1. Отображения 5П Бп С Е2п

2.2. Нерасщепимость на бесконечности

2.3. Отображение, пропущенное через коразмерность к

3. Отображения Бп -+Шт,т>

3.1. Критерий непрерывной реализуемости

3.2. Подтаскивание по остовам

3.3. Неполнота первого препятствия

Напомним, что под вложением понимается отображение, являющееся гомеоморфизмом на свой образ, а под изотопией - гомотопия в классе гомеоморфизмов, тождественная при нулевом значении параметра.

Непрерывное отображение / компактного полиэдра X в PL-многообразие Q (без края) называется дискретно реализуемым [Si], если для каждого е > О оно е-аппроксимируемо вложением, и изотонически реализуемым [ЩШ], если существует псевдоизотопия Щ: Q —► Q, t G I = [0,1] (т.е. изотопия с параметром t € [0,1), Но = idQ, продолжающаяся до непрерывного отображения при t —► 1), переводящая в / некоторое вложение g (т.е. Hi од = /). Очевидно, изотопическая реализуемость влечёт дискретную. Вопрос о справедливости обратной импликации был поднят Е. В. Щепиным в 1993 году (см. [А1; проблема 2]) и известен как проблема изотопической реализации.

Истоки этого вопроса восходят к проблеме Л. В. Келдыш о реализуемости дико вложенных полиэдров псевдоизотопией подполиэдров, которая была сформулирована в 1966 году (см. [К1]) и решена в последующее десятилетие положительно для диких поверхностей в З-многообразиях (см. [К1] и обобщение в [Сг]) и диких вложений в коразмерности > 3 [Ed] (см. [Ml; Theorem 3.5]), и отрицательно для некоторых диких узлов в R3 [Sik], [К 2]. Также следует отметить, что в силу теоремы Чернавского о локальной стягиваемости группы гомеоморфизмов многообразия [Че], [ЕК] дискретно реализуемые отображения замкнутого компактного многообразия на себя реализуемы изотопически.

Связь с контролируемой топологией может быть описана следующим образом. Из теоремы (3, сформулированной далее во введении, вытекает, что в условиях коразмерности > 3 отображение компактного полиэдра X в PL-многообразие Q изотопически реализуемо, если и только если оно лежит в образе канонического отображения1 е: holink(A/i,X>) —> V, где М. - пространство отображений X —* Q (в компактно-открытой топологии), Т> - «дискриминант», т.е. дополнение в М. к множеству вложений, holink - гомотопический линк в смысле Квинна [Qu], т.е. пространство путей <р: I —* Л4, таких что у?1(ТУ) = {1} (в компактно-открытой топологии), и отображение е даётся взятием значения в единице.

Легко строятся отображения компактов, реализуемые дискретно, но не изотопически (интересный пример - композиция проекции двух псевдодуг на одну и некоторого вложения последней в плоскость [Ml; Example 1.1]). Однако в случае, когда X - полиэдр, вопрос о существовании таких отображений, особенно в коразмерности > 3, оказался непростым.

Замечание. В этой связи может быть интересен следующий пример. Рассмотрим последовательность отображений : S1 —> R2 \ {О}, таких что /» индуцирует на tv\ умножение на г и совпадает с /ii вне 2-г-окрестности северного полюса N, которую переводит в 2-1-окрестность начала координат О. Прообраз

1 Напомним, что значение этой конструкции основано на теореме Фаделла (см. [HR]), согласно которой для произвольного локально-плоского топологического подмногообразия Nn топологического многообразия Мт отображение е: holink( M,N) —+ N есть расслоение Гу-ревича со слоем £,m-n1, причём в гладком случае е послойно гомотопически эквивалентно сферизации нормального расслоения.

О при предельном отображении /: S1 —► R2 есть N; образ / можно описать как объединение двух спиралей, закрученных вокруг О в противоположных направлениях. Может показаться «очевидным», что / не допускает мгновенного снятия с начала координат, т.е. не существует гомотопии ht: Sl —> R2, такой что ho = f и образ ht не содержит О при t > 0. Но это неверно, в чём несложно убедиться, заметив, что / является также равномерным пределом нульгомотопных отображений S1 —* R2 \ {О}, где f- совпадает с fi вне 4-г-окрестности N, которую переводит в 4-г-окрестность О.

I. Дискретная реализуемость не влечёт изотопическую

Лишь недавно выяснилось, что отображение полиэдра в многообразие, реализуемое дискретно, но не изотопически, существует. А именно, автором было построено такое отображение дизъюнктного объединения 3-мерного шара и полнотория в!6 [Ml; Example 1.9].

Пример Ао- Построим сначала отображение /: S1 х В2 -» R3, снимающееся с начала координат сколь угодно малым е-сдвигом (т.е. аппроксимирующееся в С0-топологии отображениями со значениями в R3 \ 0), но не мгновенно (т.е. такое, что не существует гомотопии ht, такой что hi = / и образ ht не содержит начала координат при t < 1).

В полнотории Т0 = S1 х В2 рассмотрим бесконечную цепочку полноториев С Г2 С Т[ С Тх С Тд С Т0, пересечение которых гомеоморфно 3-адическому соленоиду S3, причём каждый Ti+1 закручен в Т/ три раза (т.е. включение Tj+1 С Т/ индуцирует умножение на 3 в одномерных гомологиях), но каждый Т[ закручен в только один раз: Т[ = S1 х |Б2 С S1 х В2 = Т*. Толстый тор Т, \ Т/ = S1 х ЭВ2 х I сначала спроектируем на кольцо дБ2 х 7, которое затем профакторизуем по основаниям, так что внешний край дВ2 х 0, являющийся образом тора дТг, целиком сожмётся на северный полюс п полученной 2-сферы, а внутренний край

- на южный полюс. После этого сферу S2 вложим вЕ3\0 таким вложением Siy чтобы при г > 0 её южный полюс перешёл в Sji(n) - предыдущий образ северного полюса, а все остальные точки - в ограниченную компоненту дополнения до Si-i(S2) в К3. При этом требуется дополнительно, чтобы каждый образ Si(S2) попадал в ^--окрестность начала координат. Этим отображение / определено на всех толстых торах Ti\T(, которые переводятся им в сферы Si(S2), причём внешние края dTi переходят в точки Si(n), а внутренние дТ[

- в точки Sj+i(n). Положим / на каждом изгрызенном полнотории Т{ \ Ti+1 равным Si+i(n), и продолжим его но непрерывности на предельный соленоид S3, который тем самым попадёт в начало координат.

Отображение / аппроксимируется отображениями fi со значениями в R3 \ 0, где fi совпадает с / вне Ti+i, который переводит в Si+i(n). Покажем, что не существует мгновенного снятия / с начала координат. Пусть р - образ южного полюса при so. Достаточно показать, что для любого отображения <р: (Т0,дТ0) —> (R3 \ 0,р), достаточно близкого к /, абсолютная величина различающей d(ip, /0) 6 Н2(То,дТо; 7r2(R3 \0)) сколь угодно велика. В самом деле, поскольку каждый гомоморфизм в строчке

• • • ^ Я2(Г0, Го \ Т2) - Я2(Т0, Т0 \ ТО - Н2(То,дТо) есть умножение на 3 в группе Z, несложно видеть, что, во-первых, ¿(/¿,/о) =

1+ЗН-----|-Зг-1 = для каждого г > 0 и, во-вторых, d(tp, -ф) G 3lZ для любых двух отображений <р,ф: (Т0,дТ0) —► (R3\0,p), совпадающих с / на Т0\Т{. Если задано г > О, выберем <р настолько близким к /, чтобы оно было гомотопно в R3 \ 0 отображению, совпадающему с /, и тем самым с /¿, на Т0 \ TJ. Тогда d(<P,fo) € ^f1 + 3*Z и, следовательно, \d(<p,fo)\ > ^f1.

Пример А. Перейдём к построению отображения F, реализуемого дискретно, но не изотопически. С помощью / и стандартного включения ¿?3 <—> R3 определим F: Т0 U В3 —► R3 х 0U0 х R3 R6. Оно дискретно реализуемо: вложения Fi". TU В3 —► R6 могут быть определены формулами -Fi|r0(p) = (fi(p),gi(p)), где gii То Bf С R3 - произвольные вложения, и Fi\B3 = F\b3. С другой стороны, если бы F реализовалось изотопически, согласно [Ml; Remark 6.1] без ограничения общности можно было бы предположить, что образ В3 неподвижен при псевдоизотопии, откуда следовала бы мгновенная снимаемость / с начала координат.

Возможно альтернативное доказательство изотопической нереализуемости F, без использования [Ml; Remark 6.1]. Изотопическая реализуемость F влекла бы существование гомотопии Ht: Т0хВ3 —► R6, такой что Hi (р, q) = F(p)—F(q) для каждой пары (p,q) € Т0 х В3, и im Ht С R6 \ 0 при t < 1; а именно, Ht определяется как произведение ограничений псевдоизотопии на вложения То и В3, скомпонированное с проекцией R6 х R6 на антидиагональ. Это приводит к противоречию как в вышеприведённом рассуждении.

Определение. Отображение /: X —► Q непрерывно реализуемо [Ml], если оно реализуемо дискретно, и Ve > О Б6 > 0 так что любое вложение, ¿-близкое к /, переводится на / некоторой е-псевдоизотопией.

Пример А'. Несложно видеть, что если отображение (дВ2 х /, д) —* (S2,S°) степени 1, использованное выше, заменить на отображение степени к ф 1 mod 3, или если 3-адический соленоид заменить на 2-адический, полученное отображение F будет реализуемо изотопически, но не непрерывно.

II. Об отображениях дуг в R3

Согласно [Ml; Corollary 1.8] (см. также §1.1 ниже) при п > 1 любое отображение компактного тг-мерного полиэдра в кусочно-линейное (2п -I- 1)-мерное многообразие реализуемо изотонически и даже непрерывно (дискретная реализуемость здесь выполнена по общему положению). Непрерывная реализуемость не имеет места уже для произвольного кусочно-линейного вложения S1 С R3 [Ml; Example 1.4], [МЗ] (локальных узелков для этого, однако, недостаточно).

Вопрос об изотопической реализуемости отображений 1-многообразий в R3 оказался весьма сложным. Особо интересен случай локально-плоского топологического погружения, т.е. отображения, в окрестности каждой точки прообраза являющегося ручным вложением.

Замечание. В диссертации (см. пример 1 в §1.2) построено дискретно, но не изотопически реализуемое локально-плоское топологическое погружение в коразмерности 3.

Пример Б. Локально-плоское топологическое погружение /:/U/—►JV/<—► R3, образ которого показан на рис. 1, не реализуется псевдоизотопией никакого кусочно-линейного вложения.

Рис. 1

Под струнным зацеплением будем понимать PL-вложение L: (/+ U /, д) <-+ (I х R2, д), такое что L(i, ±) = (г, ±р) для г = 0,1 и некоторой фиксированной р G К2 \ {0}. Струнные зацепления рассматриваются с точностью до объем-лемой изотопии, неподвижной на 97 х R2, и их связная сумма доставляется склейкой двух экземпляров (/+,/,/).

Предположим, что задано PL-вложение g: I U I ► R3, достаточно близкое к /. Если взять PL-вложение ft: J х R2 и Е3, такое что д = hL для некоторого струнного зацепления L и h{dl xR2) удалено на достаточное расстояние от /(/ U /), за исключением малой окрестности концов, легко видеть, что L представимо в виде связной суммы . сколь угодно многих экземпляров струнного зацепления Уайтхеда W (показанного трижды на рис. 1), и некоторого дополнительного струнного зацепления L'. Следовательно, достаточно найти инвариант v струнных зацеплений со значениями в неотрицательных целых числах, такой что v(W) > 0 и f(Li#L2) > v(L{) + ^(Z^) для любых Li и ¿2- Такой инвариант доставляется родом «знаменателя» струнного зацепления, т.е. узла, полученного из струнного зацепления добавлением двух дуг в 81 х R2. □

Замечание. На рис. 2 ниже уже каждая из двух диких дуг по отдельности не реализуется псевдоизотопией никакой кусочно-линейной дуги [К2], [Sik] (ср. [Ml; Example 1.2]).

Пример В. В [Ml; Example 1.3] утверждалось, что отображение /: I U I —> I V I R3, образ которого показан на рис. 2, не реализуемо изотопически. Однако, в доказательстве недавно была найдена ошибка; на данный момент известно лишь, что утверждение вытекает из гипотезы ниже.

Ввиду принципиальности вопроса приведём указанную редукцию. Для этого нам понадобится инвариант PL-зацеплений. Для зацепления I: US.j —► S3 с нулевым коэффициентом зацепления рассмотрим разложение первой компоненты К := в связную сумму простых узлов. Другими словами, фиксируются PL-шары Bi,., Вр С S3, высекающие из К по дуге, так что при добавлении к любой паре шаров (В{, КГ\В{) незаузленной пары (73, , |} х I) получается простой узел Я, С 53, и при одновременной замене всех этих пар на тривиальные получается тривиальный узел Ко С ¿>3. По теореме Шуберта семейство шаров В* С 53 единственно с точностью до изотопии пары (Б3, К) и перенумерации шаров. По теореме Зайферта-ван Кампена фундаментальная группа 7Г(К) := я*!^3 \ К) является свободным произведением групп 7Г \{Вг \К) = 7Г (К^ С объединённой подгруппой 2 = 7Г1(5'3 \ (К иуд)). Поскольку перенумерация (17) реализуется протаскиванием сквозь В^ вдоль К П Bj (при условии, что В{ и Bj - соседние), это разложение единственно с точностью до замены подгрупп 7г(К^ на сопряжённые. Поэтому для каждого г эпиморфизм 7г(К) —» 7г(К{), дающийся абелианизациями всех 7г(К¿), j ф г, на объединённую подгруппу 2, корректно определён, с точностью до автоморфизма образа.

Рис. 2

Назовём Кг несущественным, если гомотопический класс К' := в

53 \ К, рассмотренный как класс сопряжённости в 7г(К), лежит в ядре гомоморфизма <Рг- Определим а(1) как количество существенных простых узлов среди К\,., Кр.

Гипотеза. Значения а(1) стабилизируются для РЬ-зацеплений I, достаточно близких к заданному топологическому зацеплению д.

Возвращаясь к отображению /, предположим, что существует (возможно дикое) вложение д: 1\ и /г <—> К3 и псевдоизотопия : Е3 —> К3, такая что Но = 1(1 и Н\ о д = /. Доопределим д, добавив две дуги, до (возможно дикого) зацепления д: и «—»■ К3 с нулевым коэффициентом зацепления. Можно считать, что дуги о д^Б} \ /¿), г = 1,2, достаточно далеки от /([|, §] и , |]) для всех I Е I. Легко видеть, что для любого п €1 N найдётся е > 0, такое что для любого РЬ-зацепления /, достаточно близкого к Н\-еод, инвариант а(1) > п. Таким образом, изотопическая реализуемость / противоречит гипотезе. □

Опишем вкратце алгебраический подход к вопросу об изотопической реализуемости отображений 1-многообразия в К3.

Два PL-зацепления S^US1 » R3 называются к-квазиизотопными [MR1], если они соединяются PL-гомотопией общего положения, все сингулярные уровни которой являются fc-квазивложениями. PL-отображение /: S} U -»• R3 с ровно одной двойной точкой f(p) = f(g) называется k-квазивложением, к = 1,2,.,и, если в дополнение к одноточечному множеству Pq := {f(p)} найдутся компактные подполиэдры Pi,., Рк С S3 и дуги Jo,., Jk С S1 U 5"1, такие что f~x(Pj) С Jj для каждого j < к, и Pj U f(Jj) С Pj+i для каждого j < к, где последнее включение нульгомотопно для каждого j < к. (ср. с трюком Пенроуза-Уайтхеда-Зимана-Ирвина, см. [PC], и построением ручек Кэссона [Ка]). Очевидно, О-квазиизотопия совпадает с гомотопией в смысле Милнора (link homotopy), и с помощью теоремы Хакена о конечности показывается, что а;-квазиизотопия совпадает с (не локально-плоской) PL-изотопией [MR2]. Определение fc-квазиизотопии детально обсуждается, иллюстрируется разнообразными примерами и утверждениями в [MR1] и [MR2], и мы не будем на этом останавливаться.2

Ясно, что при к < и> любые два PL-зацепления, достаточно близкие к двум ТОР-вложениям S^US1 R3, гомотопным в классе вложений, fc-квазиизотоп-ны. Поэтому как только для некоторого к < и построен инвариант X отношения fc-квазиизотопии со значениями в неотрицательных целых числах Z+, такой что X(Zi#/2# • • • #^n#mn) -* сю при п —► оо для некоторых зацеплений li, I2,. • и произвольных mi, гпг,., немедленно доказана изотопическая нереализуемость отображения /: /11/ —► R3, составленного из ----Здесь обозначает покомпонентную связную сумму, являющуюся, вообще говоря, многозначной операцией; неоднозначность можно устранить, перейдя к струнным зацеплениям. Заметим, что если компоненты зацеплений li незаузлены, / является локально-плоским ТОР-погружением. Как для замкнутых, так и для струнных зацеплений возникает следующая

Проблема накопления сложности [Ml], [MM], [MR1]. (а) Существует, ли ненулевой инвариант X отношения к-квазиизотопищ к < и>, со значениями в неотрицательных целых числах, такой что Х{1фт) > 1(1) + X(т) для любых зацеплений 1,т? б) То же для инварианта, принимающего ненулевое значение на некотором зацеплении с незаузленными компонентами.

При к = и примером инварианта, удовлетворяющего требованиям п. (а) является, очевидно, а{1) из примера В выше. При к = О такого инварианта не существует, поскольку связная сумма любого зацепления (замкнутого или струнного) с зеркальным гомотопна тривиальному. Однако уже для к = 1 проблема накопления сложности оказалась неожиданно трудной. В [MR1] показано, что

2Отметим лишь, что инвариантами fc-квазиизотопии являются инварианты Васильева (как в обычном смысле, так и в более общем смысле Кёрка-Ливингстона, см. [МЗ]) порядка < к, инвариантные при PL-изотопии [МЗ], Д-инварианты Милнора с не более чем fc + 1 вхождениями каждого индекса (ср. [MR2; Corollary 3.4(a)] и [МЗ; Corollary 3.10(b)]), инварианты Кохрана 0г, i < к [MR2], [МЗ], первые к + 1 потенциально ненулевых коэффициентов ряда Vl/(Vk! •••УЛгт), где Vl - полином Конвея зацепления L, а К* - его компоненты

МЗ], и многие другие интересные инварианты. Кроме того, fc-квазиизотопия влечёт (к + |)-кобордизм Кохрана-Орра [MR2], и тесно связана с fc-разделённостью Эйленберга-Смайта и fc-стягиваемостью Кобаяси [MR2]. Понятие fc-квазиизотопии было существенно использовано в доказательстве инвариантности при топологической изотопии некоторых модификаций полиномов Александера, Джонса, HOMFLY и Кауффмана [МЗ]. требуемый инвариант нельзя извлечь ни из какой факторгруппы фундаментальной группы, функториально инвариантной при Ажвазиизотоиии и снабжённой периферической структурой (функториальность означает, что изоморфизм между факторгруппами для зацеплений, отличающихся на допустимое самопересечение одной из компонент, образует коммутативный треугольник с индуцированными включением гомоморфизмами из фундаментальной группы дополнения к утолщённому сингулярному зацеплению, возникающему при самопересечении). Хуже того, результаты [МЗ] наводят на мысль, что, несмотря на кажущуюся простоту, проблему накопления сложности в принципе нельзя решить с помощью всех многочисленных инвариантов зацеплений, известных на данный момент.

III. О РУЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ И МОДИФИКАЦИЯХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ

Заслуживает упоминания следующий результат, доказательство которого основано на «срезающей лемме» Эдвардса [Ed].

Теорема a. [Ml; Theorem 1.6] Пусть Хп - компактный полиэдр, Y - полиэдр, Q™ - кусочно-линейное многообразие, т — п> 3. а) Дискретно реализуемая композиция кусочно-линейного отображения X —* Y и топологического вложения Y Q реализуема непрерывно. б) PL-дискретно реализуемое PL-отображение X —► Q PL-непрерывно реализуемо.

Дискретная, изотопическая и непрерывная реализуемость в категории PL определяются в полной аналогии с топологическим случаем. Как было отмечено выше, уже любое PL-вложение S1 с—> М3 не является непрерывно реализуемым [Ml; Example 1.4], [МЗ]. Непрерывно реализуемым, но не PL-непрерывно реализуемым является тождественное отображение 5-мерного тора в себя, см. [Ml; Example 1.4'].

Отметим, что в общем случае, например, для отображений S2 —* М4, PL-аналог проблемы изотопической реализации [Ml; Question II] по-прежнему открыт. Из доказательства теоремы а в [Ml] ясно, что он по существу сводится к следующему вопросу: если Хп - полиэдр, т = п + 1 или п + 2, и /: Хп х Шк <—► Rm хШк - PL-вложение, е-коммутирующее с проекциями на Mfe, существует ли се-сдвиг вложения /, тождественный вне Хп х Вк, на такое PL-вложение /', ограничение которого на Хп х \Вк в точности коммутирует с проекциями на

Приведём некоторые другие геометрические результаты работы [М1].

Теорема ß. [Ml; Theorem 1.12] Для отображения /: Хп —► Qm компактного полиэдра в PL-многообразие, т — п > 3, изотопическая реализуемость равносильна конкордантной, т.е. существованию вложения F: X х [0,1) с-н* Q х [0,1), продолжающегося посредством fxl:Xxl—*Qxl до непрерывного отображения.

При этом отображение из примера В (рис. 2 выше) оказывается конкордант-но реализуемым [Ml; Example 1.11]. Однако, в общем случае (например, для отображений дуг в R3) неизвестно [Ml; Question III], следует ли изотопическая реализуемость отображения /: X —► Q из существования топологической изотопии X в Q с параметром t € [0,1), продолжающейся посредством / х 1 до непрерывной гомотопии. В [Ml; Example 1.15] построена топологическая изотопия S1 в К3, накрываемая объемлемой изотопией с параметром t € [0,1), но не накрываемая никакой псевдоизотопией.

Доказательство теоремы (3 основано на контролируемой версии теоремы «конкордантность влечёт изотопию» в кусочно-линейной категории; аналогичный результат в гладкой категории, также установленный в [Ml], доставляет положительное решение проблемы Р. Кёрби 1967 года. Теорема (3 существенно использована в доказательстве гомотопического критерия изотопической реализуемости (теорема 1.1.1 ниже), на котором основана большая часть результатов диссертации. Доказательство теоремы (3 использовано также в доказательстве следующего результата.

Теорема 7. [Ml; Theorem 1.16] (а) Пусть f отображает компактный полиэдр Xй в кусочно-линейное многообразие Qm, т — п > 3. Если f изотонически реализуемо, существует кусочно-линейная объемлемая изотопия с параметром t € [0,1), продолжающаяся до псевдоизотопии, переводящей на f некоторое кусочно-линейное вложение. б) Пусть f отображает компактное гладкое многообразие Мп в гладкое многообразие Qm, т > Ч71^1)ш Если f изотонически реализуемо, существует гладкая объемлемая изотопия с параметром t € [0,1), продолжающаяся до псевдоизотопии, переводящей на f некоторое гладкое вложение.

IV. Отображение в подпространство коразмерности к

В работе [АМ] доказано, что, если Хп - компактный полиэдр, (¿т - ориентируемое кусочно-линейное многообразие, где т > и отображение /: X С} дискретно реализуемо, то композиция / и включения <3 х {0} ► С} х Е изотопически реализуема (согласно теореме 1.1.1(6), размерностное ограничение можно ослабить до т > 3(п2+1), п ф 1). По этому поводу см. также начало §1.2, где приводится новое доказательство для случая С} = Е2п1. В [АМ] спрашивается, совпадают ли два понятия реализации для отображений Зп , ^ и £П Зп Д, К2п} где ^ } стандартные включения.

На первый вопрос отрицательный ответ даётся примерами 2 и 2' в §1.2, см. пункт (в) теоремы 1 ниже. Второй же вопрос (об отображениях, пропущенных через включение п-сферы в М2п), который является основной мотивацией настоящей работы, полностью решить пока не удалось. Этот вопрос изучался также П. М. Ахметьевым в [А1], где приведён эскиз доказательства, что в случае п = 4к + 1 > 5 решение положительно, что является частным случаем следствия 2 ниже. Найти, по заданию рецензента, связь изложенных в этом эскизе идей (кроме тех, что явно содержатся уже в [АБ]) с методами данной работы автору не удалось.

Теорема 1. Пусть /3(т) обозначает 2-примарную часть т, т.е. наибольшую степень двойки, на которую делится т. а) [А1; док-во теоремы 1] (см. также [М2; §3] и [А8]) Любое /: 5П —► К2п-/з(п+1) с пф2, дискретно реализуемо. б) Изотопически реализуемо всякое f:Sn~* R2n k С R2n, п ф 2, где 2, если п = 0 (mod 4); к = 3, если п = 2 (mod 4); /?(п + 1), если п нечётно. в) Для каждого п > 4 существует отображение f:Sn —► R2n1 с М2п, реализуемое дискретно, но не изотопически.

Утверждение пункта (б) следует из теоремы 1.3.1. Неединообразный вид ответа в пункте (б) объясняется тем, что имеются два независимых подхода, более простой из которых работает при ограничении k = max(/?(n+l), (3(п+2)), а более сложный - при к = maх((3(п),(3(п + 1)) + 1; легко видеть, что в случае пф 2 (mod 4) выигрывает первый подход, иначе - второй. Заметим также, что именно наличие этих двух подходов приводит далее к двум пунктам теоремы 2.

Отметим, что при п = 2 утверждение пункта (а) теоремы 1 не выполнено из-за того, что отображение S2 —> R3 может в общем положении иметь тройные точки. Более точно, двулистное накрытие над поверхностью Боя S2 —► ЕР2 R3 М4 не реализуемо дискретно в М4 [А1]; более тонкий пример, для которого дискретная реализуемость не выполнена даже «по модулю 2», приведён в [А2].

Следствие 1. Любое отображение Sn —► M5tn/3]+3 с М2п изотопически реализуемо, если п + 1 не является степенью двойки, пф 2,4,6,9,10,12.

Доказательство. Предполагая, что п + 1 = т * (3(п + 1), где т > 3, легко убедиться, что при к ф 4,6 в условиях теоремы 1(6) выполнено к < f2^-]. Рассматривая отдельно случай 3 \ т, эту оценку можно слегка улучшить, пожертвовав ещё тремя размерностями. □

Следствие 2. Для любого отображения f:Sn-^Sn и любого топологического вложения i: Sn <—► М2п композиция i о / изотопически реализуема, при условии что п + 1 не является степенью двойки, пф 2.

Доказательство. Если i - стандартное вложение, утверждение является частным случаем теоремы 1. По теореме Зимана [Ze] любое PL вложение i изотопно стандартному, и тем самым для него утверждение также выполнено. Если теперь i - ТОР вложение, в силу теоремы Эдвардса [Ed] существует псевдоизотопия ht, переводящая на i некоторое PL вложение j (см. [Ml; Theorem 3.5а]), и искомая псевдоизотопия может быть получена диагональным образом из ht и псевдоизотопии, переводящей некоторое вложение на) о / (см. [Ml; §4]). □

Заметим, что среди отображений Sn —» R2n те из них, образы которых содержатся в сфере Sn С Rn+1 С R2n, вызывают особый интерес в контексте вопросов о дискретной и изотопической реализуемости. Во-первых, они представляют собой первый нетривиальный случай с точки зрения коразмерности, поскольку любое отображение Sn —* Sn~l С М2п изотопически реализуется распроектированием посредством совместного отображения ввиду того, что реализуемо изотопически постоянное отображение Sn —► {0} ► Rn+1 в слой тривиального нормального расслоения к Sn~l в пространстве К2п. Немного более тонкие рассуждения позволяют уточнить оценку:

Предложение 1. (а) Всякое Sn Rn С М2п изотонически реализуемо. б) Отображение Sn Sn С R2n изотонически реализуемо при условии, что /-1(р) = {р} для некоторой р € Sn.

Доказательство. График Г ограничения / из пункта (б) на дополнение к р лежит в произведении (Sn \ {р}) х (Sn \ {р}), которое можно отождествить с тотальным пространством Rn х (Sn \ {р}) нормального расслоения к некомпактному подмногообразию Sn \ {р} С Sn С R2n. Поскольку диаметр слоя этого расслоения стремится к нулю при удалении точки базы на бесконечность, Г имеет одноточечную компактификацию в топологии М2п, с точкой р в качестве короны. Следовательно, стандартное вложение Sn \ {р} на Г продолжается до вложения g сферы Sn в тотальное пространство Т нормального расслоения к Sn С R2n, композиция которого с проекцией 7Г на базу есть /. Остаётся сослаться на изотопическую реализуемость Т Sn С М2п.

Для доказательства (а) рассмотрим путь (fi: I —> Еп, такой что (fi{t) G f(Sn), если и только если £ = 0. Зафиксировав какую-нибудь р G /-1(<^(0)) и отождествив в сфере Sn все точки, равноудалённые от р на расстояние не более í, получим гомотопию ht: Sn —* Sn Up=0 I, где ho = ids", h^1^) = {p}. Согласно пункту (б), композиция (/ U (fi) о ht изотопически реализуема при t > 0 (можно считать Мп С Sn), причём ясно, что вложение g = g(t) и псевдоизотопия Ha = Hs(t) непрерывно зависят от t, более того, существует псевдоизотопия Gt, такая что g( 1 — t) = Gt ° д( 1). Значит, диагональная псевдоизотопия Ft — Ht(l — t) oGt переводит #(1) на композицию / и включения Sn С М2п. □

Во-вторых, как ясно из [А2], [KS] (см. также [Ah]), рассмотрение отображений Sn —► Sn С E2n-fc тесно связано с изучением итерированного гомоморфизма надстройки в гомотопических группах сфер, а также, ввиду итерационных возможностей отображений Sn —* Sn, допускает приложения к вложимости компактов [А2], [М2]. Наконец, отметим, что, как ясно из доказательства следствия 2, ответы на вопросы о дискретной и изотопической реализуемости композиции отображения f:Sn—*Sn и (топологического) вложения i: Sn Mm, m — п > 3, не зависят от выбора вложения i, поэтому корректно говорить о реализуемости / в пространстве Rm, что возвращает нас к исходной терминологии [Si], [TTIJTT]; легко видеть, что композиция дискретно (изотопически) реализуемых в Rm отображений Sn —> Sn дискретно (изотопически) реализуема в Rm.

V. О ДИСКРЕТНОЙ РЕАЛИЗУЕМОСТИ

Определения. Пусть /: X —* Q - непрерывное отображение. Замкнутое подмножество £/ = {(х, у) \ х Ф у, f(x) = f(y)} взрезанного квадрата X = X х X \ Ах, где Ах = {(х, ж)} - диагональ, инвариантно при свободной инволюции t: (х,у) <-► (у,х) на X. Отметим, что компактность £/ равносильна тому, что / - (топологическое) погружение, а его пустота — тому, что / - (топологическое) вложение; если / - кусочно-линейное отображение между полиэдрами, S/ - подполиэдр X, а если / - отображение общего положения между многообразиями, £/ - подмногообразие X.

Пример Г. Согласно [MB] (см. также [Ни], [No]), любое выворачивание сферы S2 общего положения, рассмотренное как сохраняющее уровни погружение у?: S2 х I Я-» R3 x /, имеет нечётное число четверных точек. По теореме Фридмана [Fr; Lemma 2] (см. также [Ко; Theorem F(b)]) отсюда следует, что заклейка тривиальными «шапочками» доставляет погружение /: S3 Я-» R4, представляющее (с помощью леммы Хирша, см. [RS], ср. [Fr]) элемент стабильной гомотопической группы Пз с нетривиальным стабильным3 инвариантом Хопфа. Используя интерпретацию Кошорке-Сандерсона инварианта Хопфа как двойных точек [KS; р. 203] покажем, что композиция S3 Я-» R4 С R6 не реализуема дискретно. (Аналогично, композиция S7 Я-» R8 С R14 не реализуема дискретно для любого / общего положения с ненулевым стабильным инвариантом Хопфа; однако, аналог теоремы Фридмана в этой ситуации не имеет места [Ее].)

Согласно [KS], любое погружение общего положения /: S3 9-> R6, проектирующееся в /, имеет нечётное число двойных точек. Зафиксируем такое /, е-близкое к if, и предположим, что существует вложение д: S3 «-» R6, е-близкое к if для достаточно малого е > 0 (определённого ниже). Поскольку Еj С Е/, некоторая компонента связности С многообразия E//t содержит нечётное число точек Y,j/1. С другой стороны, для любого отображения h: S3 R6, е-близкого к /, множество Е^ лежит в ^-окрестности Ое многообразия Е/ U А 53. Значит, любая е-гомотопия общего положения Н: S3 х I —* R6 х I между / и д задаёт t-эквивариантный нуль-бордизм Ея С Ое х А/ С S3 х I для Еj. Если е достаточно мало, ^-окрестность С не пересекает ^-окрестностей других компонент и диагонали А 53, поэтому множество С П E^/t нечётной мощности нуль-бордантно. □

Пример Д. Композиция двулистного накрытия f:S3—> RP3 и произвольного вложения RP3 ► R6 не реализуема дискретно; аналогично для S7 —► RР7 <—► R14 (ср. [Re]). В самом деле, согласно аппроксимационной теореме [Нае], вложение можно считать гладким, а поскольку RP3 (или RP7) стабильно параллелизуемо, нормальное расслоение такого вложения тривиально [КМ]. Аналогично доказательству предложения 1, / поднимается в погружение f:S3c¥> RP3 х R3 с единственной двойной точкой. Е/ совпадает с антидиагональю VS3 := {(х, — х) | х Е 53}, и применимо рассуждение из предыдущего примера. □

Замечание. Утверждение предыдущего примера напрямую следует из следующего критерия, доказанного в [М2; §3]: пусть М - стабильно-параллелизуемое n-многообразие, п > 2, и f: Sn М - отображение общего положения; тогда композиция / и произвольного вложения М «—► R2n дискретно реализуема если и только если любая t-инвариантная связная компонента Е/ проектируется с чётной степенью на первый (эквивалентно, второй) сомножитель Sn х Sn. Доказательство этого критерия в [М2] - более-менее в духе рассуждений П. М. Ахметьева в [Al], [А2], и не приводится в диссертации. Отметим, что условие этого критерия выполнено тривиальным образом, если Е/ не имеет компактных компонент. Читатель может убедиться непосредственно, что это так для отображений S3 —» S3 степени 2, полученных заклейкой тривиальными «шапочками» выворачиваний Морэна и Шапиро [Фр]; в случае выворачивания

3Напомним, что стабильный инвариант Хопфа Н: Пп —► Z/2 определяется равенством

Я(Еа) = h(a) mod 2, где ft: 7T2n+i(<Sn+1) —» Ъ - инвариант Хопфа, Е: 7r2n+i(Sn+1)

T2n+2(Sn+2) — Пп - надстроечный гомоморфизм.

Шапиро это опровергает некоторые утверждения из [А1], [А2]. В действительности, подходит любое выворачивание [М2].

Утверждение. Если f:Sn—* Мп имеет нечётную степень, где M стабильно параллелизуемо, то композиция f и произвольного вложения M <—► ]R2n дискретно реализуема.

Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму

Е/ —Sf [гп {/

S/Л f(Sf), где Sf = {х G Sn | f(x) = f(y) для некоторого у ф х} обозначает сингулярное множество, так что f(Sf) - множество двойных точек, и р — ограничение проекции Sn х Sn на первый сомножитель; отображение /(2) определено по формуле {х, у} н-> f(x) = f(y). Достаточно рассмотреть случай, в котором / - отображение общего положения. Ограничивая на связную компоненту Е/, и считая Sj и /(<S/) содержащимися в Sn и в М, соответственно, имеем deg(p) deg(/) = 2 deg(/(2)). Если / имеет нечётную степень, р должно иметь чётную на каждой связной компоненте, и утверждение вытекает из критерия, сформулированного в предыдущем замечании. □

П. М. Ахметьеву удалось доказать с помощью теоремы Адамса об инварианте Хопфа, что любое отображение f:Sn—>Sn С М2п дискретно реализуемо при п ф 1,2,3,7 [А2] (см. альтернативные доказательства в [Ah], [М2; §3]). При п = 1 это не так для любого отображения степени ф 0, ±1 [Si]; случаям п = 3,7 посвящена работа [М2], а случаю п = 2, где возникают дополнительные трудности, связанные с упомянутыми выше тройными точками, - основной результат работы [ARS] (см. также [Al], [А2]). Известно, что при п — 2 ответ положителен для открытых отображений (Е. В. Щепин, неопубликовано). Для вопроса об изотопической реализуемости случай п = 21 — 1 представляет особую сложность, поскольку в проблеме изотопической реализации ту роль, которую инвариант Хопфа играет в задаче дискретной реализации, занимает относительная версия (ср. гомоморфизмы из [Ah]) второго инварианта Хопфа Н2 в смысле Уайтхеда-Джеймса (см. [KS]), а для последнего удаётся применить лишь доказательство [AS] лёгкой части (принадлежащей Адему [Ad]) теоремы Адамса (общий случай см. в [A3]), работающее при ограничении п Ф 21 - 1.

Таким образом, размерностные ограничения в следствии 2, по-видимому, не удастся ослабить (или же доказать их необходимость) стандартными методами теории погружений без дальнейшего развития её аппарата. Перейдём к формулировке результатов, полученных другими методами.

VI. Отображения Sn -*■ Sn с R2n

Определение. В приложении определены гомологические препятствия ô(f) и о(/) (а в §1.1 - их когомологические эквиваленты $(/) и $(/)) к дискретной и к изотопической реализуемости отображения /: Nn —► Мт между ориентируемыми кусочно-линейными многообразиями; приведём краткий набросок их построения. Препятствие ô(f) принимает значение в (2п — т)-мерной группе локально-конечных гомологий Александрова-Чеха сг-компакта 2//1 с некоторыми локальными коэффициентами, изоморфной обратному пределу локально-конечных4 гомологий полиэдральных окрестностей £//t в N/t, и определяется как нить из гомологических классов многообразий S/¿/t, где fi - аппроксимации общего положения отображения /, в этих окрестностях N{, объединённых с окрестностями Di бесконечности некомпактного многообразия N/t. Препятствие о(/) принимает значение в (2п — ш)-мерной группе локально-конечных гомологий Стинрода-Ситникова сг-компакта £//t с некоторыми локальными коэффициентами, изоморфной группе (2п—т+1)-мерных локально-конечных гомологий телескопа обратной последовательности окрестностей Ni, и определяется как гомологический класс многообразия (J £/t/t, где ft: N М, t £ [0,1),- гомотопия общего положения, такая что ft~>f равномерно при t —► 1, в телескопе обратной последовательности JV¿ U £>¿.

Предложение 2. Пусть f: Nn —* Q2n - отображение между ориентируемыми кусочно-линейными многообразиями, где п > 3 и N компактно. а) [Ski] / дискретно реализуемо, если и только если о(/) = 0. б) f изотонически реализуемо, если и только если о(/) = 0. в) Если / дискретно реализуемо и является композицией N —> М С Q, где Q = М хШ.к, М2п~к - кусочно-линейное многообразие, к > 0, то класс o(f) имеет порядок 2 и является образом ó(f) при некотором гомоморфизме.

Доказательство пункта (б) состоит, с учётом гомотопического критерия изотопической реализуемости (теорема 1.1.1), из стандартной теории препятствий (теорема 1.1.3) и стандартного перехода от когомологий к гомологиям (см. приложение). По модулю этого перехода первое утверждение пункта (в) доказано в предложении 1.2.2 (другое доказательство - в замечании к лемме 1.3.3), а второе, играющее роль ключевого наблюдения в данной статье - в предложении 2.3.4 (а также вытекает из леммы 1.3.3(а) и наблюдения 2.1.4, что доставляет альтернативное определение интересующего гомоморфизма). Некоторые следствия второй части пункта (в) установлены уже в теореме 1.2.1 (случай m = 2п) и в наблюдении 1.3.4.

Теорема 2. Допустим, что композиция /: Sn -U Sn С R2n, п > 3, реализуема дискретно, но не изотонически, и пусть х £ Sn - любая точка, р* = ГЧ№)а) Если ó(f) имеет конечный порядок, то компакт Рх соленоидален, т.е. нетривиально ядро канонического эпиморфизма Hq(Px) —► Но(Рх) между нульмерными гомологиями Стинрода-Ситникова и Александрова-Чеха. Более того, это ядро содержит элемент порядка 2. б) Образ индуцированного включением гомоморфизма

Н0(РХ) й Щ{РХ \ {х}) H¡!(zf/t) содержит элемент порядка 2, принадлежащий ядру Hq(E//t) -fiT¿f(£//t) и не зависящий от х. Этот элемент - ни что иное, как o(f).

4Напомним, что локально-конечные гомологии отличаются от обычных наличием циклов с некомпактными носителями, аналогичных носителям коциклов в обычных когомологиях; см. приложение.

Доказательству когомологической версии теоремы 2 носвящена глава 2; исходная формулировка сводится к ней в приложении.

Замечание. Из точной последовательности Милнора (см. приложение), связывающей гомологии Стинрода-Ситникова и Александрова-Чеха, вытекает, что всякий соленоидальный компакт имеет размерность не менее 1.

Замечание. Существование отображений Sn —> Sn без несоленоидальных прообразов точек представляется автору маловероятным. (Следует уточнить, что специалистам, таким как, например, Р. Эдварде, неизвестно, существуют ли такие отображения, равно как и отображения /: Sn —► Sn с /-1(х) = 51 для каждой х € Sn.) В самом деле, известно, что факторпространство Sn по свободному действию р-адического соленоида (если такое существует) имеет размерность не менее п + 1 [Ya].

Замечание (Е. В. Щепин). Прообраз хотя бы одной точки не является солено-идальным, если / липшицево или 1-мягкое (доказательство основано на доказательстве леммы Сарда, упрощённом с учётом того, что размерности образа и прообраза совпадают).

Замечание (А. Н. Дранишников). Если /-прообраз каждой точки некоторого открытого множества U С Sn гомеоморфен р-адическому соленоиду (который ацикличен mo dp), по теореме Виеториса-Бегла отображение / индуцирует изоморфизм H*(Sn,Sn \ U;Z/p) H*(Sn,Sn \ /1(£/);Z/p); в частности, deg / ф 0 (mod р). Правда, здесь не учтены такие, например, возможности: (i) прообраз каждой точки гомеоморфен ^-адическому соленоиду, где I = (2,3,5,7,11,.); (и) Sn = Т3 U Г5, где Тр - всюду плотное множество, прообраз каждой точки которого гомемоморфен р-адическому соленоиду.

Замечание. Из второго утверждения пункта (а) следует, что в его условиях 2-адический соленоид не может быть прообразом никакой точки, поскольку в его одномерных гомологиях нет элементов порядка 2.

Замечание. Следующий пример показывает, что существование отображений Sn —► Sn, удовлетворяющих заключению первого утверждения пункта (б) для каждой х G Sn, выглядит весьма правдоподобным. Для проекции /: £р —► S1 р-адического соленоида, р > 2, на окружность и любой х € S1 образ индуцированного включением гомоморфизма Яо(/1(^)) - Яо(/10*0) Н0(£Р) содержит элемент порядка 2, принадлежащий ядру J7: Hq(Hp) —>• Н0(Т,р). В самом деле, г* - эпиморфизм, поскольку по аксиоме вырезания Но(Лр, (х)) =. Hq(I х С, dl х С) = 0, где С обозначает канторово множество, между тем по формуле универсальных коэффициентов Hq(Y,p) = Z 0 Ext(Z(p),Z), где Z(p) - локализация целых чисел в р, изоморфная прямому пределу спектра из групп Н1 (S1) и гомоморфизмов, индуцированных р-листным накрытием. Но Ext(Z(p),Z) = Zp/Z согласно упражнению из [Мак], где Zp обозначает группу целых р-адических чисел, содержащую Z[|] С Z(p) в качестве подгруппы. Два чисто геометрических описания изоморфизма Н0(ЕР) = Zp/Z приведены в примере 6.

Известно, что /: Ер —► S1 является главным Zp-расслоением, в частности, проекцией на пространство орбит канонического свободного действия Zp на Ер. Этим мотивируется

Проблема 1. Если f:Sn^SnC R2n реализуемо дискретно, но не изотонически, верно ли, что отображение /Еу/1 —► Sn, заданное по формуле {х,у} Н-+ f(x) = /(у), совпадает с проекцией на пространство орбит некоторого эффективного действия на Еу/1 канторовой группы, являющейся нетривиальным расширением посредством Ъ, и согласованного с левым действием Щ(Е//1) на себе?

Замечание. Несложно показать, что любой элемент ядра канонического эпиморфизма Т имеет бесконечную высоту по любому основанию р, делящему порядок элемента, если тот конечен (достаточно рассмотреть последовательность Милнора, см. приложение, с коэффициентами в Z/ph+1, где h - высота). В частности, всякий элемент порядка 2 в этом ядре чётен и, стало быть, потеряется, если привести коэффициенты по модулю 2. Поскольку ^-произведение нечётных классов может оказаться чётным, нам потребуется систематически различать элемент порядка 2, даже если он нечётен, в когомологиях с целыми (быть может, локальными) коэффициентами и соответствующий ему элемент в когомологиях по модулю 2; в частности, для одномерного векторного расслоения мы различаем первый класс Штифеля-Уитни u>i, принимающий значение в одномерных когомологиях по модулю 2, и класс Эйлера е, являющийся элементом порядка 2 (либо 1) в локальных целочисленных одномерных когомологиях.

Проблема 2. Существует ли отображение Sn S2n~k С М2п, реализуемое дискретно, но не изотонически, и такое что а) dimE/ = к? б) ö(f) имеет бесконечный порядок? в) существует локальная изотопическая реализация / (то есть регулярная гомотопия F: Snx [0,1) 9-» S2n~k х [0,1), такая что FU (/ х 1): Sn х / —► g2n-k х j непрерывно), ограничение которой на Sn х [0,1-е] рапроектируется в изотопию Sn х [0,1 — s] *—► М2п х [0,1 — е] для всякого е > 0 ?

Неравенство dim Еf < к следует из предложения 2(в), но неясно, может ли оно быть усилено до dimE/ < А; + 1, из чего вытекал бы отрицательный ответ к проблеме 1. Такое усиление имеет место, если ответ на вопрос (б) отрицателен (элемент конечного порядка может быть получен из гомологий на единицу большей размерности с помощью гомоморфизма Бокштейна, причём ввиду конечности порядка эти прообразы можно объединить в нить, см. доказательство предложения 2.1.6). Однако, вопрос (б) пока не удалось решить даже в случае к = 1, хотя в §2.2 требуемый пример построен на уровне Еу (являющегося одномерным), неясно лишь, реализуется ли этот компакт некоторым отображением /. Этот вопрос интересен также тем, что наличие таких отображений позволило бы (уже при к = 1) получить геометрическую интерпретацию возможности «нерасщепимости на бесконечности» короткой точной последовательности обратных последовательностей конечно-порождённых абе-левых групп (см. §2.2). Конечно, вопрос (б) наиболее важен с точки зрения отображений Sn Sn С К2п, как показывает сравнение двух пунктов теоремы 2.

Ответ на вопрос (в) отрицателен в случае к = 1. В самом деле, для каждого £ > 0 задано эквивариантное отображение Ef П Sn х [0,1 — £] —> S0, поэтому ввиду конечности множества эквивариантных гомотопических классов таких отображений существует эквивариантное отображение Lf доставляющее изотопическую реализацию F (по лемме 2.1.2 и [Ml; Theorem 1.12]).

VII. Общее отображение в метастабильном ранге

Сформулируем теперь основные классификационные результаты.

Определение. Пусть т < к < 2п, причём ш > •И"*1). Назовём кусочно-линейное отображение f:X—>Q вложением вплоть до размерности к, если в некоторой триангуляции полиэдра X, в некотором измельчении которой оно симплициально, оно вкладывает каждый её симплекс, и для любых двух её симплексов о и г, сумма размерностей которых не превосходит к, выполняется /(сг)П/(г) = /(аПт). Скажем, что отображение /: X —► Q в метастабильном ранге дискретно реализуемо по остовам, если для каждого к = т,. ,2п выполнено следующее: Ve > 0 3(5 > 0 так что любое ¿-близкое к / PL-отображение /': X —> Q, являющееся вложением вплоть до размерности к — 1, е-гомотопно в классе вложений вплоть до размерности к — 2 некоторому вложению вплоть до размерности к. Прямая индукция по остовам показывает, что из дискретной реализуемости по остовам следует дискретная реализуемость. В случае т = 2п, очевидно, верно и обратное, но в общем случае это не так (см. замечание к примеру 3 в §3.2).

Теорема 3. Пусть т > 3(n2+1), п > 1. а) Пусть Nn и Мт - ориентируемые PL-многообразия без края, N компактно. Дискретно реализуемое по остовам отображение f: Nn —* Мт реализуемо изотонически, если и только если тривиально препятствие о(/), лежащее в ядре канонического эпиморфизма между локально-конечными эк-вивариантными гомологиями Стинрода-Ситникова и Александрова-Чеха

HZ2il(Zf;^m-n) - ^«(E/jZ®™-»), где Х[Х/2]-модуль Ъ? = Z[Z/2]/(t+ 1). б) (ср. [Ah]) Дискретно реализуемое отображение /: Sn —> Rm реализуемо изотонически, если и только если тривиально препятствие 0(f), лежащее в ядре канонического эпиморфизма между стинродовскими и чеховскими локально-конечными эквивариантными оснащёнными бордизмами Кошорке-Ахметьева rQ. ^(Z^xSoojlf/y, .г, Ч Afn(Z/2)xB«,;lfív . Т-, Ч

J-f . «2п-т \2->f,Fm-n) "2п-т где прямой предел Д*, групп Вк симметрий k-мерного куба действует на оснащениях, и Z[(Z/2) х В^-модуль Fk = Z[(Z/2) х ^/((t, - (-l)fc), где Rk - элемент (t,., t) подгруппы Z/2 x • • • x Z/2 группы Bk С Дх>.

Группы гомологий Стинрода-Ситникова (Бореля-Мура) и Александрова-Чеха, группы бордизмов Кошорке-Ахметьева и препятствия о(/) и O(f) определены в приложении; в §1.1 определяется также когомологический аналог о(/). Бордизмы Кошорке-Ахметьева были определены в работе [Ah], правда, в менее алгебраических терминах, исключающих замену коэффициентов Fk другими модулями, и только для компактов (в то время как £/ - лишь ¿r-компакт); тем не менее, эквивалентность формулировок в [Ah] и выше непосредственно очевидна. Результат [Ah] был сформулирован в предположении га ф Ц71*1); однако, с учётом теоремы 1.1.1 ниже, доказательство проходит и в случае т = ^ 2 •

Замечание. Если принять формулировку пункта (б) как данное, его доказательство в [Ah] является, по модулю редукции [Ml; Criterion 1.7] к теоретико-гомотопической задаче, упражнением по теории препятствий, аналогичным доказательству Предложения 2(6). Не совсем так обстоит дело с пунктом (а), доказательство которого использует теорему Серра о конечности гомотопических групп сфер.

Замечание. Группы гомологий и бордизмов в формулировке теоремы 3 можно, очевидно, уменьшить до их приведённых аналогов, т.е. ядер гомоморфизмов, индуцированных Z/2-эквивариантным отображением £/ —► S°°, классифицирующим инволюцию на Е/.

Замечание. Препятствие Ахметьева O(f) имеет смысл и без предположения о дискретной реализуемости, причём его образ 0(f) := J^(0(f)) является, в условиях Теоремы 3(6), полным препятствием к дискретной реализуемости / [Ah]. При т = 2п препятствие 0(f) сводится к гомологическому препятствию 6(f) := ^F/(o(f)), см. предложение 2(a) и теорему 1.1.3(a).

Теорема 4. (а) Пусть Nn и Мт - ориентируемые PL-многообразия без крал, N компактно, и т > 3(n2+1), п > 1. Дискретно реализуемое отображение /: Nn —у Мгп реализуемо непрерывно, если и только если эпиморфизм Tj из теоремы 3(a) инъективен. б) Для каждого п> 9 существует отображение f:Sn—+ R2n-5, реализуемое дискретно, но не изотонически, при том что o(f) = 0.

Используя лемму из приложения, точную последовательность Милнора (см. приложение), выражающую ker J-j как производный предел некоторых (2п— га+1)-мерных групп гомологий, и теорему Харлапа [Ха], о том что последний всегда либо несчётен, либо тривиален, мы получаем из теоремы 4(a) такое

Следствие. Если отображение /: Nn —► M2n~k, k < между ориентируемыми кусочно-линейными многообразиями реализуемо дискретно, но не изотонически, то dimS/ > k + 1, и группа Нк(Е/;%) несчётна.

Теоремы 3(a) и 4 выводятся в приложении из своих когомологических версий, доказанных в §3. В случае, когда / дискретно реализуемо но остовам, утверждение теоремы 4(a) было, по существу, доказано уже в [AM], однако приводимое ниже доказательство общего случая основано на другой идее, использующей действие когомотопических групп на эквивариантных когомото-пических множествах и высшие когомологические операции.

Отображение из теоремы 4(6) построено в примере 5 из §3.2; проверка его изотопической нереализуемости основана на известных свойствах операции Sq2. Вскоре после доклада автора об этом результате П. М. Ахметьев смог его улучшить, дав эскиз построения отображения Л: Sn —► R2n-4, для достаточно большого п, реализуемого дискретно, но не изотопически, несмотря на тривиальность o(f). Рассуждения, использованные им в этом эскизе, были основаны не на когомологических операциях, а на группах бордизмов, которые позднее оформились в группы из теоремы 3(6); вычисления этих групп, соответствующие отображению Л, приведены в [Ah; Example 2.10]. Так же, как и отображение из теоремы 4(6), пример Ахметьева не использует специфики эквивариантного случая и может быть перенесён в категорию сингулярных зацеплений (link maps) аналогично [Ml; Example 1.17]. П. М. Ахметьев высказал также гипотезу [Ah; Conjecture 1.11], согласно которой использование эквивариантной специфики доставит аналогичные примеры Sn —» R2n1.

Дополнительные рассуждения, использованные в доказательстве пункта (а) теоремы 4 в случае М / IRm, мотивируют следующий вопрос.

Проблема 3. Существует ли отображение /: Nn —► Мп+к, к > О, между многообразиями, такое что (f^)*[M] ф 0, где f ^: Е//1 —* М определено по формуле {х,у} f(x) = f(y)?

В заключение отметим, что кроме преодоления трудностей, связанных с действиями целых р-адических чисел, для решения вопросов о существовании отображений, удовлетворяющих заключениям пунктов Теоремы 2, по-видимому, не достаёт также некоторой развитой геометрической теории, как видно из следующей проблемы М. Бествины: существует ли п = n(q), такое что любое отображение / из n-мерного тора Т в R' имеет прообраз точки х, такой что г*: #i(/1(x)) —► Н\(Т) нетривиален?

1. ОТОБРАЖЕНИЯ Sn M2n~fc С R2n

В §1.1 рассмотрен случай к = 0; вводятся определения и обозначения, используемые в дальнейшем. §1.2 посвящён случаю к = 1; построено отображение из теоремы 1(в), и сделаны первые алгебраические наблюдения. Методы теории погружений использованы в §1.3, где исследован случай к > 1 и доказана теорема 1(6).