Производные алгебраические системы некоторых колец тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

СЕРЕДА Владимир Александрович

; производные алгебра; :кие

системы некоторых ьолец

0] 0] Об — математическая ло!Ика, ал!еГ' и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учено* степени кандидата физико-математических наук

г к

Красноярск-2005

Работа выполнена в Красноярском государственном аграрном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Созутов А.И.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Крылов П.А.

доктор физико-математических наук, Нужин Я.Н.

Ведущая организация:

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита состоится

часов на заседании

диссертационного совета Д 212.099.02 в Красноярском государственном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан "3 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного олпетя кандидат физико-математических н доцент

тмог

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Одним из основных методов построения новых колец и других родственных с кольцом структур является метод производных операций. В наиболее общем виде метод был реализован А.И. Мальцевым [12]. Он > изучал связь между ассоциативными и неассоциативными алгебрами и

кольцами, используя производные операции. Если в ассоциативной ал-

11 гебре А над полем Ф определить умножение "о" как

I

х 0 У ~ 53 ъхкуь + 53 • з

где х, у € А и а„ Ьг, с1,д], Л7 — фиксированные элементы из А, то совокупность элементов А относительно старой операции сложения и новой операции умножения "о" является алгеброй над Ф, но, вообще говоря, не ассоциативной. А.И. Мальцев доказал [12]:

всякая неассоциативная конечномерная алгебра В изоморфна подалгебре матричной алгебры при определенным образом подобранных матриц Аа@, Са" с умножением:

X о у = 53 А^ХВа0УСар.

В общем случае там же [12] был получен более общий результат: каждое неассоциативное кольцо С над произвольным кольцом операторов к П изоморфно подкольцу подходящего ассоциативного О-кольца, в котором

операция "о " определяется формулой х о у — аху или х о у = хуа. ^ В ряде работ [11, 12, 13] А.И. Мальцев вводит и использует на ассо-

I циативном кольце присоединённое умножение аоЬ~а + Ь + аЬ в связи

с разложением алгебры в прямую сумму радикала и полупростой алгебры, с вложением группы в присоединённую группу кольца и т.д. В случае ассоциативного ниль-кольца все его элементы относительно этой операции образуют группу, в общем случае она приводит к квазирегулярным элементам и радикалам [1, 5, б, 21]. Благодаря этой плодотворной связи решены многие известные проблемы теории колец и групп [1, 3, 4, 21]. В контексте диссертации эти понятия будут упоминаться чаще в связи с известной теоремой-примером Голода-Шафаревича [1, 21]

РОС *'г»<П»»ЧЙЯЬНАЯ БИЕЛ, ОТЕ1.А С.!!етгр<5урт

и группами Голода [4, 9] — прозрачными примерами периодических не локально конечных групп. Подобные примеры для решения ряда известных задач теории групп строились А.И. Созутовым [15, 16], Л. Гамуди [23], А.В. Рожковым [14]. Наряду с кольцом Я часто рассматриваются, т. н. сг-операторные кольца [10]. Подмножество К множества Н называется а- допустимым, если для любого а£аикеКка€К.В диссертации с помощью конструкции Голода-Шафаревича строятся ассоциативные а-операторные нильалгебры и примеры не локально конечных р-групп с предельно возможными условиями конечности.

Присоединённое умножение появляется в диссертации также с квазирегулярными элементами и радикалом Бэра [1, 6, 5] в альтернативных кольцах. Наиболее близки к ассоциативным кольцам алгебра октав Кэ-ли и алгебры Кэли-Диксона [6]. Хорошо известно, что подкольца альтернативного кольца, порождённые любой парой элементов, ассоциативны. Поэтому элементы альтернативного ниль-кольца относительно операции аоЬ = а+ Ъ + аЬ образуют квазигруппу — структуру "довольно близкую" к группам. Известно [6], [1], что в классе альтернативных колец определен нижний ниль-радикал, то есть радикал, порожденный свойством быть кольцом с нулевым умножением. В дальнейшем этот радикал, называемый радикалом Бэра, будем обозначать ¡3(Я). В классе ассоциативных колец известен следующий факт [5, глава 10]: если й — ассоциативное ниль-кольцо с тождественным соотношением, то ^(Я) = Я. К.А. Жевлаков поставил аналогичный вопрос для класса чисто альтернативных колец. Решению этого и других смежных вопросов посвящена глава 3 диссертации.

Производные операции на линейном пространстве ассоциативных алгебр изучал Альберт [22]. Им же введено понятие изотопа неассоциативной алгебры. Пусть неассоциативные алгебры Ао и А имеют общее линейное пространство, на котором определены операции умножения Тх и Т^ (для А и Ао). Алгебры Ао и А называются изотопными, если существуют невырожденные линейные отображения Р, <2, С, такие, что Тх® = РТхдС. Алгебра Ад называется изотопом А. Если хотя бы одно из преобразований Р, ф, С вырожденное, то А^ называется гомотопом

А. В дальнейшем многими рассматривались изотопы и Гомотопы неассоциативных алгебр, когда отображения Р, <р и С являются операторами умножения на фиксированные элементы данной алгебры.

К. Маккримон [24] описывая квазирегулярный радикал йордановой алгебры 5 над кольцом Л, определил гомотоп определенный элементом а, как Л-модуль с умножением х -а у = (ха)у — (х,у,а), где (.х, у, а) = {ху)а — х{уа). Он показал, что /(/) — квазирегулярный радикал есть множество РС}1{1) всех собственно квазирегулярных элементов алгебры 3. При этом элемент называется собственно квазирегулярным, если он квазирегулярен в любом гомотопе 1.

В классе специальных /-алгебр справедливо следующее соотношение: х -а у — \ {{ха)у 4 х(ау)). Эндоморфизм <р алгебры А называется 5-дифференцированиеМ, если для любых х, у € Я справедливо (ху)<р = 5{(х<р)у Ь х(уу>)). Таким образом естественно рассмотреть новую операцию на алгебре А, по аналогии с гомотопами йордановых алгебр, как х-у~ {ху)1р, где ¡р — ¿-дифференцирование. Полученная структура также называется гомотопом алгебры А.

В.Т. Филиппов изучал ¿'-дифференцирование первичных альтернативных и мальцевских алгебр [18 - 20]. Он показал, что в этих классах 5-дифференцирования могут быть только тривиальные [19]. Следовательно, гомотопы этих алгебр тоже могут быть только нулевые. Однако в классе первичных алгебр Новикова ситуация иная, поскольку существует простая неассоциативная, некоммутативная алгебра Новикова [8]. Как доказано в диссертации, существуют ненулевые гомотопы первичных и других алгебр Новикова.

Цель диссертации. Настоящая диссертация посвящена изучению производных алгебраических систем, заданных по основной алгебре (кольцу): присоединённых групп и групп Голода, радикалов и радикальных подколец альтернативных ниль-колец, гомотопов и изотопов алгебр Новикова.

Методы исследования. Применяются традиционные методы исследований теории колец, алгебр и групп.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая ценность. Результаты, изложенные в диссертации, имеют теоретическое значение и могут быть использованы как в дальнейших исследованиях в теории колец, алгебр и групп, так и при чтении специальных курсов по алгебре.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения и четырёх глав основного текста. Список литературы состоит из 44 наименований. Работа изложена на 72 страницах текста, набранного в редакционно-издательской системе М^Х.

Основные результаты

1. Исследованы конечно порождённые ассоциативные ниль-алгебры, их связь с группами Голода и положительно решён вопрос 11.101 из Коуровской тетради о существовании групп Голода с тривиальным центром.

2. Доказан аналог теоремы-примера Голода-Шафаревича для алгебр с операторами, удовлетворяющих заданным условиям конечности, и для р > 2 построены примеры р-групп, порождённых парами элементов порядка р, в которых любой набор сопряжённых элементов, взятых в числе < р, порождает конечную подгруппу.

3. Для альтернативных колец установлена нильпотентность двустороннего идеала, порождённого нильпотентным односторонним идеалом, для чисто альтернативных, или с существенным тождественным соотношением без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе получен ответ на вопрос К.А. Жевлакова о стабилизации бэровских идеалов, доказана радикальность их ниль-подколец.

4. Для алгебры Новикова над ассоциативно коммутативным кольцом с \ найдены достаточные условия, при которых её гомотоп снова является алгеброй Новикова, а также необходимые и достаточные условия, когда изотоп неассоциативной алгебры есть алгебра Новикова.

5. Для первичных алгебр Новикова над ассоциативно коммутативным кольцом с I установлена коммутативность центроида левых умножений и его совпадение с центроидом алгебры эндоморфизмов, и доказано, что произвольный гомотоп, определённый с помощью произвольного элемента центроида, является алгеброй Новикова.

в

Содержание диссертации

В первой главе приведены результаты и методы, используемые при доказательстве основных результатов диссертации.

В главе 2 исследуются ненильпотентные конечно порожденные ассоциативные нильалгебры, их присоединённые группы и группы Голода [3, 4]. Выделим следующие результаты главы.

Теорема 2.1. Пусть для некоторой системы элементов <71,#2, ниль-алгебры А справедливы равенства к

(1) д, - ^р^у, где г = 1, к и Vу <Е А.

3=1

Тогда д\ = дч — ... = д^ = 0. В частности, если нилъ-алгебра А имеет п порождающих, то она отлична от своего квадрата А2 и число порождающих подалгебры А2 не превосходит п3 + п2.

В [9] под номером 11.101. сформулирован вопрос Тимофеенко А.В.: Существует ли группа Голода с конечным центром? Положительный ответ на этот вопрос вытекает из следующей теоремы.

Теорема 2.2. Если Р — группа Голода, то некоторая ее факторгруппа является группой Голода и имеет тривиальный центр.

В последнем параграфе главы строятся ассоциативные нильалгебры с операторами.

Теорема 2.3. Для произвольных натуральных чисел 2 < ё < п, подгруппы С группы СЬп (р), конечного множества М натуральных чисел, содержащего вместе с числом все его делители, в алгебре Р = Ф(х\, хп) над Ф = существует допустимый относительно <3 однородный

идеал 3 С Р1-1^, для которого выполняются следующие утверждения:

1. Фактор-алгебра А = .Р^/./ есть бесконечномерная нилъ-алгебра, в которой все (д, — 1)-порождённые подалгебры нильпотентны

2. Группа б есть группа операторов алгебры А.

3. Для любого подмножества D = {ж^,..., ж^} С {х\,..., хп} фактор-алгебра A(D) = F1(D)/(F1(D) П J) есть бесконечномерная нилъ-алгебра, в которой все (if" — \)-порождённые подалгебры из A(D)m нильпотентны для каждого тп£ М.

4. Если однородные компоненты степени 1 многочленов g\, ...,да € F^ линейно независимы, то подалгебра, порождённая в А образами многочленов д\...., gj, бесконечномерна.

С помощью этих алгебр в главе строятся примеры групп с предельно возможными условиями конечности и решается один вопрос Рожкова A.B. [14].

Пример. Для каждого простого р > 2 существует бесконечная финитно-аппроксимируемая р-группа, порождённая двумя элементами порядка р, в которой любой набор сопряженных элементов, взятых в числе < р, порождает конечную подгруппу.

В классе альтернативных колец определен нижний ниль-радикал ß(R) [1, 6], называемый радикалом Бэра. К.А. Жевлаков поставил вопрос: на каком шаге будет стабилизироваться цепочка бэровских идеалов в классе чисто альтернативных колец? Ответ на этот вопрос даётся в главе 3.

Теорема 3.1. Всякий односторонний нильпотентный идеал альтернативного кольца порождает двусторонний нильпотентный идеал.

Теорема 3.2. Пусть R — альтернативное нилъ-кольцо, без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе, с существенным тождественным соотношением. Тогда ße(R) = R.

Следствие 3.3. Пусть R - альтернативное кольцо с существенным тождественным соотношением без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе и А — ниль-подкольцо в R. Тогда ß{A) = А.

Следствие 3.4. Пусть R — чисто альтернативное кольцо без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе кольца и А — нилъ-подкольцо в R. Тогда ß(A) = А.

Неассоциативная Ф-алгебра А называется Ф-алгеброй Новикова, если в А выполняются тождества х(уг) = у(хг), (х,у,г) = (х,г,у), где (х, у, г) = (ху)г — х{уг) — ассоциатор элементов х, у, г [2]. В главе 4 диссертации рассматриваются гомотопы алгебр Новикова, т.е. алгебры Ащ, полученные из алгебр Новикова А посредством производной операции х ■ у — ху<р на Ф-модуле Л, удовлетворяющей равенству ху<р = х(у<р). Обозначения стандартны: Г)(У) — левый центроид алгебры У; Д(У) — множество 1-дифференцирований V; С(У) = Гг(У) П

Теорема 4.1. Если А — Ф-алгебра Новикова €Ф), <р — произвольный элемент из С {А), то ев гомотоп А^ является алгеброй Новикова.

Теорема 4.2. Если У — неассоциативная Ф-алгебра 6 Ф), <р — произвольный обратимый элемент С(У), то ее изотоп У^ является Ф-алгеброй Новикова тогда и только тогда, когда V является Ф-алгеброй Новикова.

Теорема 4.3. Если А — первичная Ф-алгебра Новикова £ Ф), то Г] (Л) — коммутативная подалгебра алгебры ЕпйфА и выполняется равенство Г; (А) = С {А).

Теорема 4.4. Если А — первичная Ф-алгебра Новикова € Ф), <р

— произвольный элемент из Г}(А), то гомотоп А^ является алгеброй Новикова.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на Международных конференциях "Алгебра и её приложения" (Красноярск. 2002г.), "Алгебра и теория чисел" (Тула, 2003г.), "Мальцевских чтения" (Новосибирск, 2003 и 2004гг) и семинаре "Алгебра и логика". Кроме того, они обсуждались на семинарах при Красноярском государственном аграрном университете и Красноярской государственной архитектурно-строительной академии, а также на Красноярском городском семинаре "Алгебраические системы".

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в [25 - 29].

Во время работы над диссертацией автор получал поддержку Российского фонда фундаментальных исследований (грант №03-01-00356)

и Красноярского краевого фонда науки (грант №9F0132).

Автор выражает благодарность научным руководителям В.Т. Филиппову и А.И. Созутову за постановку задач и внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Андрунакиевич В.А. Радикалы алгебр и структурная тео-рия/В.А. Андрунакиевич, Ю.М. Рябухин.- М.: Наука, 1979.

[2] Балинский A.A., Новиков С.П. Скобки Пуассона гидродинамического типа, фробениусовы алгебры и алгебры Ли// Докл. АН СССР.- 1985.Т. 203 №5,- С. 1036-1039.

[3] Голод Е.С. О башне полей классов/Е.С. Голод, И.Р. Шафаревич// Изв. АН СССР. Сер. "Математика",- 1964,- Т. 28. №2- С. 261-272.

[4] Голод Е.С. О ниль-алгебрах и финитно аппроксимируемых группах// Изв. АН СССР. Сер. "Математика",- 1964 - Т. 23. №2,- С. 273-276.

[5] Джекобсон Н. Строение колец.-М.: Изд-во иностр. лит., 1961.

[6] Жевлаков К.А. Кольца, близкие к ассоциативным/К.А. Жевлаков, A.M. Слинько, И.П. Шестаков, А.И. Ширшов. М.: Наука - 1978 - 432 с.

[7] Жевлаков К.А. Нижний ниль-радикал альтернативных колец. — Алгебра и логика, № 4, 6 (1967), 11-17.

[8| Зельманов Е.й. Об одном классе локально трансляционно инвариантных алгебр Ли. — ДАН СССР, 1987.- Т. 292,- №6,- С. 1294 - 1297.

[9] Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. - 15-е изд-Новосибирск, 2002.

[10] Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973.

[11] Мальцев А.И. О разложении алгебры в прямую сумму радикала и полупростой алгебры// Докл. АН СССР. 1942 - Т. 36, №2 - С. 46-50.

[12] Мальцев А.И. Об одном представлении неассоциативных колец// Успехи мат. наук - 1952-Т. 7 №1,- С. 181-185.

[13] Мальцев А.И. Обобщенно нильпотентные алгебры и их присоединенные группы// Мат. сб.- 1949,- Т. 25. С. 347-366.

ю

[14] Рожков A.B. Условия конечности в группах автоморфизмов деревьев// Алгебра и логика - 1998.- Т. 37. №5,- С. 568 - 605.

[15] Созутов А.И. О ниль-радикалах в группах// Алгебра и логика-1991,- Т. 30. №1,- С. 102-105.

[16] Созутов А.И. О примерах ассоциативных ниль-алгебр// Мат заметки - Т. 57. Вып. 3 - 1995 - С. 445-450.

[17] Уфнаровский В.А. Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре// Итоги науки и техники. Соврем, проблемы мат. Фундамент, направления/ ВИНИТИ.- 1990.- Т. 57 - С. 5-178.

[18] Филиппов В.Т. Об одном классе простых неассоциативных колец// Матем. заметки.- 1989,- Т. 45. №1.- С. 101-105.

[19] Филиппов В.Т. 5-Дифференцирования первичных алгебр Ли// Сиб. матем. журн.- 1999.- Т. 40. №1- С. 201-213.

[20] Филиппов В.Т. О ¿-дифференцированиях первичных альтернативных и мальцевских алгебра/Алгебра и логика, 39,- №5 (2000).- С. 618 - 625.

[21] Херстейн И. Некоммутативные кольца,- М.: Мир - 1972.

[22] Albert A.A. Non-associative algebras// Ann. Math - 1942.- V. 43 - P. 161 - 177.

[23] Hammoudi L. Nil-algebres non-nilpotentes et groupes periodiquee infinis (Doctor thesis).- Strasbourg.- 1996.

[24] Mc Crinmon K. Homotop of Noncommutotive Jordan Algebra// Math. Ann.- 1971. V. 191.- №4.- P. 263 - 270.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[25] Середа В.А. О совпадении ниль-радикалов в одном классе альтернативных колец// В сб. Некоторые вопросы теории групп и колец-Красноярск: Институт физики им Л.В.Киренского.-1973.- С. 160-172.

[26] Середа В.А., Филиппов В.Т. О гомотопах алгебр Новикова// Сиб. матем. журн.- 2002 - Т. 43. №1- С. 172-182.

[27] Середа В.А., Созутов А.И. Об одном свойстве групп Голода// Тез. докл. Международ, конф. по алгебре и теории чисел - Тула,- 2003.-С. 153-154.

[28] Середа В.А., Созутов А.И. Об ассоциативных ниль-алгебрах и группах Голода// Труды XXI межвуз. науч.-техн. конф. (апрель 2003 г.). Математика - Красноярск: КрасГАСА - 2003 - С. 21-44.

il

[29] Середа В.А., Созутов А.И. Об одном свойстве групп Голода// Математические системы.- Красноярск: КрасГАУ- 2004.- Вып. 3.- С. 110-112.

Санитарно-эпидемиологическое заключение №24.49.04.953. П. 000381.09.03 от 25.09.2003 г.

Объём 1.0 п. л.

Издательский центр Красноярского государственного аграрного университета 660017, Красноярск, ул. Ленина, 117.

Подписано в печать 14.03.05 Тираж 100 экз.

Формат 60 х 84/16 Заказ №2282

f

J

r

A

4

I

i

l $

РНБ Русский фонд

2005-4 41993

2 2 ДПР 2С05

Введение

1. Предварительные сведения

1.1. Теорема Голода-Шафарефича.

1.2. Альтернативные кольца.

9 1.3. Алгебры Новикова.

2. Ассоциативные ниль-алгебры и группы Голода

2.1. Конечно порождённые ниль-алгебры.

2.2. Некоторые свойства групп Голода.

2.3. Об одном вопросе Тимофеенко. 2.4. Ниль-алгебры с операторами.

2.5. Об одном вопросе Рожкова.

3. Ниль-радикалы альтернативных колец

3.1. Радикал Бэра и вопрос Жевлакова.

3.2. Нильпотентность некоторых идеалов.

3.3. О стабилизации бэровских идеалов

3.4. Две комбинаторные леммы.-.

3.5. Продолжение доказательства теоремы 3.

3.6. Доказательство теоремы 3.2 и следствий.

4. Гомотопы алгебр Новикова

• • 4.1. Обозначения и определения.

4.2. Левые гомотопы алгебр Новикова.

4.3. Центральные изотопы.

4.4. Гомотопы первичных алгебр Новикова.

Пусть Я. — некоторое кольцо с основными операциями сложения и умножения. Одним из основных методов построения новых алгебр и других алгебраических систем является метод производных операций. Так в случае ассоциативной ниль-алгебры (ниль-кольца) множество элементов вида 1 + а, где а 6 относительно операции умножения образует группу, которая называется присоединенной к Д. Можно рассмотреть производную операцию "присоединенного умножения" аоЪ — а-\-Ъ-\-аЪ. В этом случае, с точностью до изоморфизма, получается та же самая присоединенная к Л группа. В ряде работ [20, 21, 22] А.И. Мальцев вводит и использует на ассоциативном кольце присоединённое умножение в связи с разложением алгебры в прямую сумму радикала и полупростой алгебры, с вложением группы в присоединённую группу кольца и т.д. Благодаря указанной плодотворной связи колец и групп решены многие известные проблемы [2, 5, 6, 32]. Наряду с кольцом Л часто рассматриваются так называемые сг-операторные кольца [19]. Подмножество К множества Я называется <т-допустимым, если для любого а £ а и к £ К ка € К. В диссертации с помощью конструкции Голода-Шафаревича строятся ассоциативные сг-операторные ниль-алгебры и примеры не локально конечных р-групп с условиями конечности.

В наиболее общем виде метод производных операций был реализован А.И. Мальцевым в [21]. Он изучал связь между ассоциативными и неассоциативными алгебрами и кольцами используя следующие операции. Если в ассоциативной алгебре А над полем Ф определить умножение "о" как хоу = а&Ьуа + fjУgjxhj, где х, у Е А и а^Ь^с^д^ — фиксированные элементы из А, то совокупность элементов Л относительно старой операции сложения и новой операции умножения "о" является алгеброй над Ф, но, вообще говоря, не ассоциативной.

Пусть В — неассоциативная конечномерная алгебра над полем Ф, и А — алгебра матриц порядка п = сПтВ над Ф. Пусть на элементах алгебры А определено новое умножение по формуле

1оУ = ^ АаРХВа0УСа^

Обозначим новую алгебру через .А^.

А.И. Мальцев доказал: всякая неассоциативная конечномерная алгебра В изоморфна подалгебре алгебры для определенным образом подобранных матриц АаР, Ва/3, Са(3 [21].

В общем случае им же было показано [21], что каждое неассоциативное кольцо С над произвольным кольцом операторов О изоморфно подколъцу подходящего ассоциативного 0,-кольца, в котором операция "о " определяется формулой х о у = аху или х о у = хуа.

Отметим, что операция хоу = хау сама является ассоциативной и не приводит к образованию неассоциативных колец, и что существуют алгебры конечного ранга, которые не вкладываются в конечномерную ассоциативную алгебру с помощью операций умножения х о у = аху или (= хуа) [21]. Например 3-х мерная алгебра с таблицей умножения е\ = еь &1&2 = 0, е2б1 = е2, е\ = е2 [21].

Как уже упоминалось, присоединённое умножение имеет непосредственное отношение к разложениям алгебры в прямую сумму радикала и полупростой алгебры, квазирегулярным элементам и радикалам [2, 11, 13, 32]. Среди классических радикалов ассоциативных колец наиболее известны ниль-радикалы — нижний ниль-радикал Бэра, локально нильпотентный радикал Левицкого, верхний ниль-радикал Кёте [2]. Из предложения 1.2 диссертации следует, что в ассоциативных кольцах не существует п-нильпотентного радикала, промежуточного между радикалом Левицкого и радикалом Кёте.

Наиболее близки к ассоциативным кольцам алгебра октав Кэли и алгебры Кэли-Диксона [13]. Хорошо известно, что подкольца альтернативного кольца, порождённые любой парой элементов, ассоциативны. Поэтому элементы альтернативного ниль-кольца относительно операции аоЬ = а+Ь+аЬ образуют квазигруппу — алгебраическую систему наиболее близкую к группам. Известно [2], [13], что в классе альтернативных колец определен нижний ниль-радикал, то есть радикал, порожденный свойством быть кольцом с нулевым умножением. В дальнейшем этот радикал, называемый радикалом Бэра, будем обозначать ¡3{Я). В классе ассоциативных колец известен следующий факт (см. [11], глава 10): если Я — ассоциативное нилъ-колъцо с тождественным соотношением, то Р'2{Я) = Я- Решению вопроса о стабилизации цепочки бэровских идеалов в альтернативных кольцах с тождественными соотношениями посвящена глава 3 диссертации.

Производные операции на линейном пространстве ассоциативных алгебр изучал Альберт [34], ввёл понятия изотопа и гомотопа неассоциативной алгебры. Пусть неассоциативные алгебры Ао и А имеют общее линейное пространство, на котором определены операторы умножения Тх и (для А и Ао). Алгебры Ао и А называются изотопными, если существуют невырожденные линейные отображения Р, ф, С, такие, что Тх® = РГ^дС. Алгебра Ао называется изотопом А. Если хотя бы одно из преобразований Р, ф, С вырожденное, то А^ называется гомотопом А.

Дедловская М.И. [7] - [9] рассматривала гомотопы и изотопы (—1,1) алгебр относительно умножения, определяемого как х-ау = (ха)у. Ей доказано, что многообразие, порожденное свободной (—1,1) алгеброй с двумя образующими замкнуто относительно взятия гомотопа, т.е. вместе с каждой своей алгеброй содержит и любой ее гомотоп. При этом, изотоп свободной (—1,1) алгебры с тремя образующими лежит в многообразии Мз, порожденном свободной (—1,1) алгеброй с тремя образующими.

К. Маккримон [38] описывая квазирегулярный радикал йордано-вой алгебры А над кольцом Я, определил гомотоп А^а\ определенный элементом а, как Я-модуль с умножением х-ау= (ха)у- (х,у,а), где (х,у,а) = (ху)а — х{уа). Он показал, что У(А) — квазирегулярный радикал есть множество Р(21(А) всех собственно квазирегулярных элементов алгебры А. Элемент называется собственно квазирегулярным, если он квазирегулярен в любом гомотопе А. В классе специальных йор-дановых алгебр справедливо следующее соотношение: х 'а У = ^ {{ха)у + х(ау))

Эндоморфизм <р алгебры А называется ¿-дифференцированием, если для любых х, у Е Я справедливо ху)(р = 8{{хф)у + х(уф)).

Таким образом естественно рассмотреть новую операцию на алгебре А, по аналогии с гомотопами йордановых алгебр, как х-у = {ху)<р, где у — ¿-дифференцирование. Полученная структура А^ также была названа гомотопом алгебры А.

В.Т. Филиппов изучал ¿-дифференцирование первичных альтернативных и мальцевских алгебр [29] - [31]. Он показал, что в этих классах ¿-дифференцирования могут быть только тривиальные [30]. Следовательно гомотопы этих алгебр могут быть только нулевые. Однако в классе первичных алгебр Новикова ситуация иная, так как существует простая неассоциативная, некоммутативная алгебра Новикова [16]. Как доказано в диссертации, существуют ненулевые гомотопы первичных и других алгебр Новикова.

Диссертация посвящена изучению алгебраических систем с производными операциями, заданных на основной алгебре (кольце): присоединённых групп ассоциативных ниль-алгебр, альтернативных нильколец, их радикалов, гомотопов и изотопов, алгебр Новикова.

В главе 1 приведены известные определения и результаты, используемые в дальнейшем.

В главе 2 исследуются ненильпотентные конечно порожденные ассоциативные нильалгебры, их присоединённые группы и группы Голода [5, 6]. Результаты главы доказаны в нераздельном и равном соавторстве с научным руководителем и опубликованы в [42]-[44]. Сформулируем основные результаты главы.

Теорема 2.1. Пусть для некоторой системы элементовд\, д2, ---¡дь нильалгебры А справедливы равенства

Тогда д\ = д2 = . = дь = 0. В частности, если ниль-алгебра А конечно порождена, то она отлична от своего квадрата А2.

В [18] под номером 11.101. сформулирован следующий вопрос Ти-мофеенко A.B.: Существует ли группа Голода (см. 9.76) с конечным к

3=1 центром? Положительный ответ на этот вопрос вытекает из следующей теоремы.

Теорема 2.2. Если Р — группа Голода, то некоторая её факторгруппа является группой Голода и имеет тривиальный центр.

В параграфе 3 главы строятся ассоциативные нильалгебры с операторами.

Теорема 2.3. Для произвольных натуральных чисел 2 < d < п, подгруппы G группы GLn(p), конечного множества М натуральных чисел, содержащего вместе с числом все его делители, в алгебре F = Ф(х\, ., хп) над Ф = GF(p) существует допустимый относительно G однородный идеал J С F^, для которого выполняются следующие утверждения.

1) Фактор-алгебра А = F^/J есть бесконечномерная ниль-алгебра, в которой все (d— 1)-порождённые подалгебры нильпотентны;

2) Группа G есть группа операторов алгебры А;

3) Для любого подмножества D = {х^, .,Xid} С {xi,хп} фактор-алгебра A(D) = F1(D)/(F1(D) П J) есть бесконечномерная ниль-алгебра, в которой все (dm — 1)-порождённые подалгебры из A(D)m нильпотентны для каждого т € М;

4) Если однородные компоненты степени 1 многочленов gi,.,gd £ линейно независимы, то подалгебра, порождённая в А образами многочленов gi,.,gd, бесконечномерна.

Рожков A.B. в [23][С. 589] поставил следующий

Вопрос. Пусть р — простое нечетное число, п — натуральное. Для всех ли пар р, п существуют финитно-аппроксимируемые конечно порожденные р-группы, являющиеся сопряженно п-конечными, но не би-примитивно конечные?

Как показано в предложении 2.4, при п > р таких групп нет, и для исчерпывающего ответа на вопрос A.B. Рожкова достаточно рассмотреть случай п = р — 1, р > 2.

Пример. Для каждого простого р > 2 существует бесконечная финитно-аппроксимируемая р-группа, порождённая двумя элементами порядка р, в которой любой набор сопряжённых элементов, взятых в числе < р, порождает конечную подгруппу.

В классе альтернативных колец радикал Бэра можно построить следующим образом:

Пусть ß'i{R) — сумма всех разрешимых идеалов кольца, если для всех порядковых чисел а < 7 ß'a{R) уже определены, то ß'^R) — есть сумма полных прообразов разрешимых идеалов кольца R/ß'a{R), если 7 — не предельное, и ß!y(R) = U ß'aWi если а — предельное. а< 7

К.А. Жевлаков поставил вопрос: на каком шаге будет стабилизироваться цепочка идеалов, построенная выше, в классе альтернативных колец с тождественными соотношениями?

В главе 3 даётся ответ на этот вопрос и некоторые смежные вопросы. Результаты главы принадлежат диссертанту и опубликованы в [40].

Теорема 3.1. Пусть R — альтернативное ниль-кольцо, без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе, с существенным тождественным соотношением. Тогда ß'ß(R) ~ R.

Теорема 3.2. Всякий односторонний нильпотентный идеал альтернативного кольца порождает двусторонний нильпотентный идеал.

Следствие 3.3. Пусть Л — альтернативное кольцо с существенным тождественным соотношением без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе и А — ниль-подкольцо в Я. Тогда (3(А) = А.

Следствие 3.4. Пусть Я, — чисто альтернативное кольцо без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе кольца и А — ниль-подкольцо в И. Тогда @(А) = А.

Неассоциативная Ф-алгебра А называется Ф-алгеброй Новикова, если в А выполняются тождества х{уг) = у{хг), {х, у, г) = (х, л, у), где (ж, у, г) = (ху)г — х(уг) — ассоциатор элементов х, у, г (алгебры Новикова были впервые введены в [3]). В главе 4 диссертации рассматриваются гомотопы и изотопы алгебр Новикова, т.е. алгебры, полученные из алгебры Новикова А посредством производной операции х • у = ху<р на Ф-модуле А. Результаты главы получены в нераздельном и равном соавторстве с В.Т. Филипповым и опубликованы в [41].

Напомним определения. Через V^ обозначается алгебра, полученная из V с помощью производной операции коммутирования [х,у] = ху — ух. Г\(У) — левый центроид алгебры V, т.е. централизатор алгебры Ь{у) — левых умножений алгебры V. А (К) — множество дифференцирований V и С(У) = ЩУ) П

Теорема 4.1. Если А — Ф-алгебра Новикова Е Ф), <р — произвольный элемент из С (А), то её гомотоп А,р является алгеброй Новикова.

Теорема 4.2. Если V — неассоциативная Ф-алгебра Е Ф), (р — произвольный обратимый элемент С(У), то её изотоп У^ является Ф-алгеброй Новикова тогда и только тогда, когда V является Ф-алгеброй Новикова.

Напомним, что алгебра называется первичной, если произведение двух любых ее ненулевых идеалов ненулевое.

Теорема 4.3. Если А — первичная Ф-алгебра Новикова (\ € Ф), то Г[(А) — коммутативная подалгебра алгебры Епс1фА и выполняется равенство Г¡{А) = С (А).

Теорема 4.4. Если А — первичная Ф-алгебра Новикова Е Ф), — произвольный элемент из Г/(А), то её гомотоп А^ является алгеброй Новикова.

Результаты диссертации докладывались на Международных конференциях "Алгебра и её приложения" (Красноярск, 2002г.), "Алгебра и теория чисел" (Тула, 2003г.), "Мальцевских чтения" (Новосибирск, 2003 и 2004гг) и семинаре "Алгебра и логика". Кроме того, они обсуждались на Красноярском городском семинаре "Алгебраические системы" и на семинарах при Красноярском государственном аграрном университете и Красноярской государственной архитектурно-строительной академии.

Основные результаты диссертации опубликованы в [40] - [44].

Работа над диссертацией поддержана РФФИ (грант №03-01-00356) и ККФН (грант №1Ш)201С).

Автор выражает благодарность научным руководителям В.Т. Филиппову и А.И. Созутову за постановку задач и внимание к работе.

и включение

D(A) С М(А). (4.19)

Доказательство. Достаточно показать замкнутость Ф-подмодулей [Л, Л] и (Л, Л, Л) относительно умножения на элементы из Л.

Ввиду леммы 4.2 имеем Ьх £ Д(Л^) для любого х £ Л. Следовательно, в Л выполняется тождество z] = ^[ху, z] -f sz]. (4.20)

60

Отсюда ж[у,*]е[Л,Л], Л[Л,Л]С[Л,Л], у, г]х = ж[у, г] + [[у, г], х] е [А, А], [А, А]А С [Л, А].

Следовательно, выполняется равенство (4.17). В силу (1.10) г (ж, у, г) - (х, у, ¿г) = ¿(жуг) - *(ж(уг)) - + ж (у (¿г)) = ху(гг) - г(г(уг)) - жу(*г) + ж (у (¿г)) = -ж (¿(уз)) + ж (у (¿г)) = 0. Поэтому в А выполняется тождество ж, у, г) = (ж,у,£г). (4.21)

Далее, в любой неассоциативной алгебре выполняется тождество Тейхмюллера: жу, г, ¿) - (ж, уг, £) + (ж, у, - ж (у, г, - (ж, у, = 0. (4.22)

В силу (4.21), ¿(ж,у, <г) 6 (Л, Л, Л), т.е. Л(Л,Л,Л) С (Л, Л, Л). Отсюда и из (4.22) имеем включение ж, у, г)* = (жу, г, г) - (ж, уг, £) + (ж, у, - ж(у, г, *) е (Л, Л, Л), и (Л, Л, Л)Л С (Л, Л, Л). Значит, выполняется равенство (4.18). В силу (1.11) и (1.10) имеем

2(ж, у, г) = (ж, у, г) + (ж, у, г) = (ж, у, г) + (ж, г, у) = хуг — х(уг) + хгу — х(гу) = жу, г] + г[ху) - ж(у г) + у{хг) + [хг, у) - ж(гу) = = [жу, г] + ж (гу) - у{хг) + у(жг) + [жг, у] - ж(гу) = = [жу,2] + [жг,у]. (4.23)

Отсюда получаем включение

АДЛ) с [л, Л].

Наконец, из (4.17) и (4.18) вытекает включение (4.19). Лемма доказана.

Пусть •/Уг(У) — правоассоциативный центр алгебры V:

Я(У) = {пеУ-, (У,У,п) = о}.

Если п € ЛГГ(Л), то в силу тождества (1.11) выполняется равенство

А,п,А) = 0. (4.24)

Лемма 4.4. Правоассоциативный центр Л^Г(А) алгебры А является её идеалом и выполняется равенство

М{АЩ{А) = 0. (4.25)

Доказательство. Пусть п £ АГГ(А), х,у,г е А. По тождеству (4.21) и определению Лгг(Л) имеем ж, у, гп) = у, п) = 0. (4.26)

С другой стороны, применив последовательно (4.22), определение МГ(А) и тождества (1.11), (4.24), (4.21) и (4.24), получим равенства ж, у, яг) = -(жу, п, г) + уп, г) + ж(у, п, *)'+ (ж, у, п)г = х(уп)г = (ж, уп) = у{х, п, г) = 0. (4.27)

Из (4.26) и (4.27) получаем включение гп,пг € АГг(А). Следовательно, Л^(А) является идеалом алгебры А

По определению А^Г(А) и (1.10), имеем х, у]п = жуп - ухп = х(уп) + (х, у, п) - у(яп) - (у, X, п) = х(уп) — у(хп) = 0. Отсюда и из леммы 4.3 следует тождество (4.25). Лемма доказана.

Напомним, что алгебра называется первичной, если произведение двух любых ее ненулевых идеалов ненулевое.

Предложение 4.1. Если А — первичная Ф-алгебра Новикова и | £ Ф, то либо А — ассоциативная коммутативная алгебра, либо АТГ(А) = 0.

Доказательство. Если А является коммутативной, то по лемме 4.3 алгебра А ассоциативна. Если А не коммутативна, то М(А) ф 0 и по лемме 4.4 имеет место равенство А^Г(Л) = 0. Предложение доказано.

В связи с предложением 4.1 заметим, что существуют даже простые алгебры Новикова, которые не являются ассоциативными коммутативными алгебрами (см., например, [30]) и, следовательно, имеют ненулевой правоассоциативный центр.

Лемма 4.5. Если а{,Ьг (г = 1, .,&) — произвольные элементы из А, удовлетворяющие соотношению

2{х,аг,Ь1) = 0, (4.28) г для любого х £ А, то агоЪг£Иг(А). (4.29) г

Доказательство. В дальнейшем знак суммы будем опускать, считая, что в формулах, содержащих повторяющийся индекс г, имеется ввиду суммирование по г от 1 до к.

Применив последовательно (4.22), (1.11), (4.28), (4.21), (1.11) и снова (4.21), получим равенства гсаг, Ьь у) = (ж, (фь у) - (ж, (Ц, Ъ[у) + х(щ, Ьг-, у) + (X, сц, Ьг)у = = (ж, у, (цЬ{) - (X, а;, бгу) + х((ц, 6», у) = = (ж, у, аф{) - Ь{(х, аи у) + (а4> жу) = = (ж, у, щЬ*) - Ьг(х, 2/, ец) + (а;, Ьь ху) = = (ж, у, - (ж, у, ^а*) + (а,-, Ь;, жу). (4.30) По (4.22), (4.28), (1.11), (4.21), (1.11) и (4.28) имеют место равенства ж,у,агЬг) - (ж,у,аг-)6г = (ж, уаг-, Ьг) - (жу, Ог, Ьг) + ж(у, аг, Ь{) = (ж, 6*, уаг) = у(ж, Ъь а,-) = у(ж, а*, Ьг) = 0.

Следовательно, ж, у, ОгЬг) = (ж, у, 0»)Ь*. (4-31)

Применив последовательно (1.11), (4.22), (4.21), (4.28), (1.11), (4.21) и (4.31), получим равенства жаЬ6г,у) = (ж £*г,2/Л) = (ж, агу, 6,-) - (ж, уЬг-) + ж(аг-, у, Ьг) + (ж, а,-, у)Ьг- = Йг(ж, у, Ь^) - у (ж, а*, Ьг) + ж(а,, у, Ьг) + (ж, Щ, у)Ьг = = а,-(ж, у, Ьг) + ж(аг, у, Ьг) + (ж, О*, = = аг-( ж, у, Ьг) + (ж, у, аг)Ьг + я (а», у, Ьг) = = (ж, у, агЬг) + (ец, Ьг, жу) + (ж, у, Йг)Ьг = (ж, у, Oibi) = (Oj, 6i, жу) + (ж, г/, Ojbi) = = 2(ж, у, Oibi) + (fli, Ьг-, жу). Отсюда и из (4.30) имеем равенство ж, у, Ог&г) - (ж, у, fyo*) + (Of, 6*, Ж у) = 2(ж, у, Offy) + (Of, fcj, Жу), или, после приведения подобных, равенство ж, у, сы о bi) = 0. Следовательно, выполняется включение (4.29). Лемма доказана.

Доказательство теоремы 4.4. В силу (4.2), Г/(А) — подалгебра алгебры Епс1ф(А). Пусть </?, ф — произвольные элементы из Г}(.А). По предложению 4.1 либо А — коммутативная ассоциативная алгебра, либо Nr(A) = 0.

В первом случае, в силу (4.2) и коммутативности А, выполняются равенства ху<рф = х(у<р)ф = у(рхф = уср(хф) = = ж ф(уф) = ж фуф — у(хф)(р = ухфср = хуфцэ.

Следовательно, жy[ip, ф] = 0 и в силу (4.2) ж(у[<р, V>]) = 0, у[<р, ф] G Ann А. Но, в силу первичности A, Ann Л = 0. Поэтому у[ср, ф] = 0, [<р, ф] = 0 и алгебра Г}(А) коммутативна.

Ввиду коммутативности А и (4.2) имеем ж, у] у? - херу + ytpx = -у(х<р) + ж (уф) = ух(р + ж yip = 0.

Следовательно, ip 6 А(Л^), Г] (Л) = С (А) и теорема для рассматриваемого случая доказана.

Пусть А не является коммутативной, тогда = 0. В силу

4.2), (4.3) и (4.4), получаем равенства х, у, z[p, ф]) = (ж, у, z)[(p, ф] = (ж, у, г)<рф - (я, у, г)уф = (я, У, щ)Ф ~ (ж, У^, = УФ, - (ж, УФ, = 0.

Значит, ^ Nr(A) и по предложению 4.1 имеют место равенства 0, [</?,i/>] = 0, и поэтому Г}(Л) коммутативна. Далее, в силу (4.3) и (4.4) имеем' УI ~ У<Р, z) = (ж, у, - (ж, у, г)у? = 0.

Отсюда и из леммы 4.5 получим включение yozip — ytpoz Е Nr(A), и по предложению 4.1 имеем yozip—yipoz = 0. Это означает, что выполняется равенство (4.7). Поэтому € и выполняется (4.16).

Теорема доказана.

Замечание 4.2. Если <р Е Г/, то уоz<p — yipo z Е Nz(A) для любых y,zeA.

В заключение покажем, что можно дать определение первичности алгебр Новикова в более слабой форме.

Назовем алгебру V слабо первичной, если для любых идеалов Д, /2 алгебры V из равенств /i/2 = 0, hh = 0 следует, что либо Д = 0, либо /2 = 0.

Лемма 4.6. В алгебре А выполняются равенства

D(A)Nr(A) = 0,

4.32)

Nr(A)D{A) = 0.

4.33)

Доказательство. Равенство (4.32) следует из леммы (4.3) и леммы (4.4). Для любого п G iVr(yl), в силу (4.21) и леммы (4.4), имеем равенство п(х, у, z) = (х, г/, П2г) = 0. Отсюда, и из лемм 4.3, 4.4 следует (4.33). Лемма доказана.

Предложение 4.2. Ф-алгебра Новикова А G Ф) слабо первична тогда и только тогда, когда А — первична.

Доказательство. Ввиду леммы 4.6 либо алгебра А ассоциативна, либо Nr(A) = 0.

В первом случае, если 12 — идеалы алгебры А такие, что 1\12 = 0, то идеал /2/1 имеет нулевое умножение, и в силу слабой первичности, 121\ = 0. Но тогда либо Д = 0, либо /2 = 0. Следовательно, алгебра А первична.

Во втором случае, из равенства Iil2 = 0 и (1.10) для любых a G Д, Ъ G /2 вытекают равенства х, а, Ь) = xáb — x(áb) = xab — a(xb) = 0.

По лемме 4.5 а о Ь G iVr(A) = 0. Следовательно, Ъа = —аЬ = 0, 121\ = 0, то есть алгебра А первична. Обратное очевидно. Предложение доказано.

1. Ананьин А.З. Ниль-алгебра с нерадикальным тензорным квадратом// Сиб. матем. журнал, 1985, Т. 26, №2, с. 192 - 194.

2. Андрунакиевич В.А. Радикалы алгебр и структурная теория/В.А. Андрунакиевич, Ю.М. Рябухин.- М.: Наука, 1979.

3. Балинский А.А., Новиков СП. Скобки Пуассона гидродинамического типа, фробениусовы алгебры и алгебры Ли/ / Докл. АН СССР.-1985.- Т. 203, №5.- 1036-1039.

4. Винберг Э.Б. К теореме о бесконечномерности ассоциативной алгеб- ры//Изв. АН СССР. Сер. "Математика".- 1965.- Т. 29.- 209-214.

5. Голод Е.С, О башне полей классов/Е.С. Голод, И.Р. Шафаревич// Изв. АН СССР. Сер. "Математика".- 1964.-Т. 28. №2.- 261-272.

6. Голод Е.С. О ниль-алгебрах и финитно аппроксимируемых группах// Изв. АН СССР. Сер. "Математика".- 1964.- Т. 28. N 2.- 273-276.

7. Дедловская М.Е. Об изотопах (—1,1)-алгебр. Международный конгресс "Женщины-математики", тезисы докладов. — Москва, 1994, с. 35.

8. Дедловская М.Е. Свойства гомотопов алгебр типа (—1,1)// Топология. Алгебра. Информатика. — Москва, МГПУ им. Ленина, 1994, с. 1 7 - 2 1 .

9. Дедловская М.Е. Гомотопы (—1,1)-алгебр от двух порождающих// Матем. заметки, 1996, Т. 59, №4, с. 551 - 557.

10. Джекобсон Н, Алгебры Ли.- М.: Мир, 1964.

11. Джекобсон Н. Строение колец. М., изд-во иностр. лит., 1961.

12. Днестровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории колец. - 1-е изд.- Новосибирск, 1969.

13. Жевлаков К.А. Кольца, близкие к ассоциативным/К.А. Жевлаков, A.M. Слинько, И.П. Шестаков, A.M. Ширшов.- М.: Наука.- 1978.-432 с.

14. Жевлаков К.А. Нижний ниль-радикал альтернативных колец. — Алгебра и логика, № 4, 6 (1967), 11-17.

15. Жевлаков К.А. Квазирегулярные идеалы в альтернативных кольцах. — Алгебра и логика, 11, № 2 (1972), 140-161.

16. Зельманов Е.И. Об одном классе локально трансляционно инвариантных алгебр Ли. — ДАН СССР, 1987, Т. 292, №б, с. 1294 - 1297.

17. Каргаполов М.И. Основы теории групп/М.И. Каргаполов, Ю.М. Мерзляков.- М.: Наука, 1977.

18. Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп. - 15-е изд.- Новосибирск, 2002.

19. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. — М.: Наука, 1973.

20. Мальцев А.И. О разложении алгебры в прямую сумму радикала и полупростой алгебры// Докл. АН СССР.- 1942.- Т. 36, №2.- 46-50.

21. Мальцев А.И. Об одном представлении неассоциативных колец// Успехи мат. наук.- 1952.- Т. 7, № 1 . - 181-185.

22. Мальцев А.И. Обобщенно нильпотентные алгебры и их присоединенные группы// Мат. сб.- 1949.- Т. 25.- 347-366.

23. Рожков А.В. Условия конечности в группах автоморфизмов деревьев// Алгебра и логика.- 1998.- Т. 37. N 5.- 568 - 605.

24. Рябухин Ю.М. К теории нижнего ниль-радикала. — Алгебра и логика, т 4 (1967), 83-92.

25. Созутов А.И. О ниль-радикалах в группах// Алгебра и логика.- 1991.- Т. 30. N 1.- 102-105.

26. Созутов А.И. О примерах ассоциативных нильалгебр// Мат. заметки.- Т. 57. Вып. 3 . - 1995.- 445-450.

27. Созутов А.И. О примарных финитно аппроксимируемых группах// Вестн. Краснояр. архитектур.-строит. акад.- Красноярск: КрасГАСА.- 1999.- Вып. 2.- 73 - 83.

28. Уфнаровский В.А. Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре// Итоги науки и техники. Соврем, проблемы мат. Фундамент, направления/ ВИНИТИ.- 1990.- Т. 57.- 5-178.

29. Филиппов В.Т. Об одном классе простых неассоциативных колец// Матем. заметки.- 1989.- Т. 45, № 1.- 101-105.

30. Филиппов В.Т. ^-Дифференцирования первичных алгебр Ли/ / Сиб. матем. журн.- 1999- Т. 40, № 1 - 201-213.

31. Филиппов В.Т. О (^-дифференцированиях первичных альтернативных и мальцевских алгебр. Алгебра и логика, 39, Ш5 (2000), с. 618 -625 .

32. Херстейн И. Некоммутативные кольца.- М.: Мир.- 1972.

33. Ширшов А.И. О некоторых неассоциативных ниль-кольцах и алгебраических алгебрах. — Математ. сб., 41 (83), (1957), 381-394.

34. Albert А.А. Non-associative algebras// Ann. Math., 1942, V. 43, p. 161 - 177.

35. Hammoudi L. Nil-algebres non-nilpotentes et groupes periodiques infinis (Doctor thesis).- Strasbourg.- 1996.

36. Kleinfeld E. Simple Alternative Ringt. — Ann. Math., 58, KQ 3 (1953), 544-547.

37. Kleinfeld E. Alternative nil-rings. — Ann. Math., 66, № 3 (1957), 395- 399.

38. Mc Crinmon K. Homotop of Noncommutotive Jordan Algebra// Math. Ann. 1971, V. 191, №4, p. 263 - 270.

39. Schafer R. An Introduction to Nonattociative Algebrat. Academic Press, New York and London, 1966. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

40. Середа В.А. О совпадении ниль-радикалов в одном классе альтернативных колец// В сб. Некоторые вопросы теории групп и колец.-Красноярск: Институт физики им Л.В.Киренского.- 1973.- 160-172.

41. Середа В.А., Филиппов В.Т. О гомотопах алгебр Новикова// Сиб. матем. журн.- 2002.- Т. 43, №1 - 172-182.

42. Середа В.А., Созутов А.И. Об одном свойстве групп Голода// Тез. докл. Международ, конф. по алгебре и теории чисел.- Тула.- 2003.-С. 153-154.

43. Середа В.А., Созутов А.И. Об ассоциативных нильалгебрах и группах Голода// В сб. Труды XXI межвуз. науч.-техн. конф. (апрель 2003 г.). Математика.- Красноярск: КрасГАСА.- 2003.- 21-44.

44. Середа В.А., Созутов А.И. Об одном свойстве групп Голода// В сб. Матем. системы.- Красноярск: КрасГАУ.- 2005.- №3. - 80-82.