Распространение флуктуаций магнитного поля через непроводящий слой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

на правах рукописи

через непроводящий слой

Специальность 01.01.03 - "Математическая физика"

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1997

- г -

Работа выполнена в Объединенном иинституте физики Земли им. О.Ю.Шмидта РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор Д.Д. Соколов

Официальныые оппоненты: доктор физико-математических наук

Ведущая организация : Институт механики сплошных сред

Уральского отделения РАН, г. Пермь

на заседании Диссертационного Совета К053.05.18 при Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова ( г. Москва, Воробьёвы горы, физический факультет, ауд. им. Хохлова)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

профессор A.B. Борисов , доктор физико-математических наук Л.Б. Леиасон

Защита состоится

1997 г. в {¿L часов

Автореферат разослан

1997 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета д.ф. -м.н.

П. А. Поляков

Общая характеристика работы. Актуальность проблемы: В жидкой хорошо проводящей среде под действием гидродинамических случайных движений различной природы (тепловая или композиционная конвекция и т.д.) может генерироваться магнитное поле. Жидко-проводящие ядра Земли и планет, конвективные оболочки звезд, галактики являются источниками магнитных полей. Магнитные поля могут возбуждаться и в технических устройствах, например, в ядерных реакторах с жидкопроводящем теплоносителем. Генерируемое магнитное поле можно разделить на две составляющие: на среднее иоле и на флуктуационное. Под флуктуационным магнитным полем понимают случайное, нерегулярное, самопроизвольное отклонение магнитного поля от его среднего значения. Такое мелкомасштабное магнитное поле связывают с действием турбулентного динамо.

Флуктуации магнитного поля были обнаружены в процессе экспериментов на Белоярском реакторе на быстрых нейтронах БН-600 в России и на реакторе "Суперфенике" во Франции . Сердечник реактора, в котором тек жидкий натрий, был окружен поясом. толщина которого сравнима с толщиной сердечника, а измерительное устройство находилось вне реактора. Таким образом, между зоной генерации магнитного поля и наблюдения находился плохо проводящий слой. Непосредственное введение измерительного зонда внутрь объёма с жидким натрием позволило бы проанализировать флуктуационную часть магнитного поля в самой области генерации, однако, имеющаяся схема измерений требует экстраполяции свойств флуктуационного магнитного поля во внешнюю область. Поэтому, для исследований на ядерных реакторах и экспериментальных установках актуальна проблема распространения

магнитных флуктуаций через непроводящий слой.

Решение такой задачи интересно не только для различных технических устройств, но и для наблюдения флуктуационных магнитных полей, которые генерируются глубоко в кедрах Земли и планет, а наблюдаются либо на их поверхности, либо с орбит космических аппаратов. В научной литературе предложено несколько механизмов генерации флуктуаций магнитного поля Земли. Возможно, эти механизмы не исключают друг друга, а действуют одновременно, демонстрируя сложную картину генерации. Мы не будем выяснять причину появления флуктуаций магнитного поля, а рассматрим процесс возбуждения магнитного поля как случайный процесс, к которому применимы статистические метода исследования.

В рамках модели мелкомасштабного динамо количественной характеристикой флуктуационного поля является так называемый корреляционный тензор. Одновременная корреляционная функция описывается уравнением Казанцева для неограниченного случайного потока проводящей жидкости. Эта корреляционная функция магнитного поля имеет достаточно сложное строение. В пространственном распределении флуктуационного магнитного поля представлен скин-слойный размер б, далее функция монотонно убывает, меняет знак и изменяется до минимума, а затем экспоненциально затухает до нуля.

Между областью наблюдения флуктуационного магнитного поля и генерации находится плохо проводящий слой, в результате чего, корреляционная функция, описывающая пространственное распределение случайного магнитного поля сильно расплывается. Естественно считать, что это связанно с геометрическим сглажива-

нием в непроводящей среде. Цель работы - выяснить, как. меняется корреляционная функция магнитного поля, распространяясь через слой вакуума и достаточно ли сглаживания для объяснения имеющегося пространственного распределения флуктуационного магнитного поля вне области генерации.

Слой вакуума существенно искажает корреляционные .свойства флуктуационного магнитного поля. Если наблюдение мелкомасштабного магнитного поля ведется на расстоянии Ь много меньшем поперечного размера области генерации Б, то область генерации можно считать бесконечно большой и пренебречь кривизной слоя. Здесь возможны два приближения: 1) Асимптотика толстого плоского слоя, т.е. когда толщина слоя I много больше корреляционного радиуса 10 случайного поля в области генерации; 2) Асимптотика плоского тонкого слоя, т.е. когда толщина слоя Ь с 10. Таким образом, слой одной и той же толщины в одних случаях считается толстым, а в других - тонким, распространение деталей корреляционной функции, размер которых много меньше корреляционного радиуса, естественно рассматривать в приближении толстого слоя. Те же детали корреляционной функции, размер которых больше корреляционного радиуса, распространяются через слой как если бы он был тонким.

Отметим, что вычисление корреляционной функции в области Ь < Б наиболее физически интересно и актуально для задач, возникающих при исследовании магнитных полей, самовозбуждающихся в различных технических экспериментах, а также для изучения вековых вариаций геомагнитного поля на земной поверхности, т.е. для задач, в которых непосредственное наблюдение экранируется слабо проводящей мантией.

• Если же толщина слоя I много больше размеров области генерации Б, т.е. измерение флуктуационного магнитного поля ведется на таком расстоянии I, что область генерации Б уже нельзя считать бесконечно большой и следует учитывать ее ограниченные размеры. В этом случае корреляционная функция магнитного поля вырождается в корреляционную функцию случайно ориентированного диполя. Характеристики этого диполя были вычислены Ахметьевым (1993), мы усовершенствовали его вычисления. Распространение корреляционной функции через сферический слой вакуума интересен для изучения магнитных шлей планет с орбит космических аппаратов и при наблюдении магнитных полей галактик. Изложение диссертации построено таким образом, чтобы обсудить все эти три качественно различающихся случая отдельно.

Научная новизна: В диссертации изучается процесс распространения в пространстве флуктуаций магнитного поля. Впервые исследованы следующие вопросы:

- Предложен метод описания распространения в вакууме флуктуаций мелкомасштабного магнитного поля.

- Изучено, как изменяется нормальная компонента одновременного пространственно-однородного коррелятора флуктуационного магнитного поля в плоском слое. Для любого вида исходного коррелятора в области генерации поля получено выражение нормальной компоненты корреляционной функции на поверхности толстого слоя с помощью интеграла Пуассона.

- Решена задача о распространении нормальной компоненты одновременного пространственно-однородного коррелятора флуктуационного магнитного поля в пространстве в приближении тонкого

слоя вакуума.

- Для моделей плоского и сферического слоев оценены радиус корреляции и амплитуда вертикального флуктуационного магнитного поля на земной поверхности, а также для планет земной группы и проведено сравнение с данными наблюдений.

- Предложена схема расчета и вычислены корреляционные функций вековой вариации вертикального магнитного поля вдоль меридианов и экватора на поверхности Земли, используя данные наблюдения геомагнитного поля.

Практическая ценность: В диссертации разработан асимптотический метод исследования распространения корреляционной Функции ■ нормальной компоненты флуктуационного магнитного поля через непроводящий слой с помощью интеграла Пуассона. Аналогичный подход может быть применён при изучении изменения коррелятора тангенциональных компонент случайного магнитного поля в вакууме ( Зинченко, Соколов, 1992). Предложенный метол используется при решении задачи о проникновении корреляционной функции флуктуационного магнитного поля в случае I > Б (Ахметьев, 1993) и при численном моделировании задач (Решетняк, 1995). Полученные результаты могут быть полезны при рассмотрении обратной задачи: по известному интегральному выражению в вакууме находится корреляционная функция в области генерации (Решетняк, 1995).

Апробация работы: Результаты научной работы неоднократно докладывались и обсуждались на Общемосковском палеомагнитном семинаре ОИФЗ РАН, на семинаре по геомагнетизму в ИЗМИРАНе, на

семинаре по Магнитной гидродинамике и теории динамо НИВЦ МГУ, в Международном институте теории предсказания землетрясений и математической геофизики, на конференции "Solar and. Planetary Dinamos" в г. Кембридж, Англия, 1992 г., на XI Зимней школе по механике сплошных сред, Пермь, 1997.

Публикации: Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 7 работах.

Объём и структура диссертации: Общий объем диссертации составляет 100 машинописных страниц, включая введение, 5 глав, приложение, заключение и библиографию из 78 наименований. Работа содержит 15 рисунков и 1 таблицу.

' Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Д.Д.Соколову за руководство работой, а также Г.Н. Петровой, В.И. Багину, А.М. Шукурову, М. Ю. Решетняку, Б.Г.Зинчен-ко за полезные обсуждения и помощь в работе. Автор благодарит сотрудников лаборатории "Главного геомагнитного поля" Института физики Земли и сотрудников лаборатории "Главного магнитного поля Земли" ИЗМИРАНа за обсуждения результатов работы.

Содержание работы

Первая глава диссертации носит вводный характер и имеет своей целью описать некоторые механизмы генерации мелкомасштабного флуктуационного магнитного поля, распространение которого из области генерации мы будем изучать в диссертации.

Во второй главе диссертации излагается метод описания распространения в пространстве корреляционной функции мелко-

масштабного магнитного поля на примере распространения нормальной компоненты пространственно-однородного коррелятора через толстый плоский слой вакуума.

Отвлекаясь от того, что в эксперементе область генерации магнитого поля может быть окружена проводящими стенками, будем считать, что флуктуационное магнитное поле распространяется в вакууме. Тогда изменение флуктуационного магнитного поля описывается уравнением Лапласа. Модель толстого плоского слоя вакуума пригодна и для достаточно долгопериодных вариаций геомагнитного поля. Т.к. толщина мантии составляет около 3000 км, что вдвое меньше радиуса кривизны земной поверхности, то сферический слой мантии можно заменить на плоский слой той же толщины. В силу граничных условий на разделе область генера-ции-слой в плохо проводящий слой свободно проникает нормальная компонента магнитного поля. Далее нормальная компонента распространяется через слой независимо от тангенциальной. В свою очередь тангенциальная компонента практически полностью экранируется мантией.

Используя интегал Пуассона для полупространства можно выписать некоторые интегральные выражения для нормальной компоненты флуктуационного магнитного поля_ Перемножая эти выражения, выписанные в точках ^ и гг расположенных на растоянии а друг от друга на высоте Ь от области генерации, проводя статистическое усреднение и пользуясь эргодической гипотезой удается превратить их в интегральное соотношение для корреляционной функции флуктуационного магнитного поля вне области генерации. В это интегральное соотношение входит компонента корреляционного тензора, которую можно найти из уравнения Казанце-

ва. Таким образом удалось связать наблюдаемое среднее по пространству со статистическим средним в области генерации. Этот метод впоследствии был использовн для нахождения тангенциальной компоненты коррелятора (Зинченко, Соколов, 1992), при численном решении задачи (Решетняк, 1995) и при решении задачи о распространении корреляционной функции через сферический слой (Ахметьев,1993).

Указанный интеграл , вообще говоря, представляет собой решение нашей проблемы. Однако, внутренние магнитные поля из-за взаимной компенсации в слое на поверхности слоя сильно ослабевают. Этот факт отражается в том, что коррелятор в результате сглаживания, связанного с интегрированием существенно уменьшается. Поэтому интеграл, входящий в исследуемое соотношение сходится очень медленно и его вычисление нужно вести с достаточно высокой точностью.

Процесс вычисления корреляционной функции с помощью интегрального соотношения использует предположение об однородности поля в области генерации. Пользуясь гипотезой об однородности удаётся свести четырёхкратный медленно сходящийся интеграл к быстросходящимуся трехкратному. Этот процесс описывается в параграфе 2.4 . После этого можно вычислить асимптотику толстого слоя в приближении , когда толщина слоя Ь много больше корреляционного радиуса 10 флуктуационного магнитного поля в области генерации. Полученное в результате выражение для искомого коррелятора почти не зависит от деталей строения корреляционной функции в области генерации. Корреляционная функция входит в - формулу в виде некоторого интегрального множителя, который можно связать с магнитным числом Рейнольдса с помощью

уравнения Казанцева . так что окончательное выражение для корреляционной функции флуктуационного магнитного поля на поверхности слоя имеет вид :

Si (a) =iM,(a) « (1/32) 'V5/4 (10 /Ь)4 (l-5a2 /4L2). (1)

Как и ожидалось, в результате сглаживающего действия непроводящей оболочки происходит сильное уменьшение амплитуды и увелечение корреляционного радиуса.

Детали корреляционной функции, размер которых больше 10, распространяются через слой, как если бы он был тонким. Б главе III изучено распространение корреляционной функции через тонкий слой, т.е. распространение антикорреляционного хвоста функции. Основной результат имеет вид:

Ü(a) = Лг(а) =

1 1 со fl2iv(a)

* -[ w(a) + —■/£*»(£)<£ - L2—-- ] . (2)

2 er а даВ области антикорреляции £t(a) имеет тот же порядок по Rm (Rm~5/4), что и де(г) в области генерации. Таким образом, ^i(a) в области антикорреляции сохраняет информацию о строении w(r), т.е. о физических процессах в области генерации магнитного поля. Несмотря на то, что корреляционная функция w(r) в области антикорреляции на несколько порядков меньше, чем при малых г, возможно наблюдательное определение Л (а). Тогда точка а, в которой происходит переход от одного асимптотического закона в другой, определяется равенством Л 4 (a) = г (а). Для земных условий а = 1,67L.

Полученные в главах II и III результаты могут быть ис-

пользованы при описании флуктуационных магнитных полей в различных технических экспериментах и на земной поверхности. Но геомагнитное .поле может наблюдаться не только с поверхности Земли, но и с космических аппаратов. Т.о., мы попадаем в приближение очень толстого слоя, когда толщина слоя Ь много больше масштаба области генерации Б, и измерение флуктуационного магнитного поля ведётся на таком расстоянии Ь. что следует учитывать ограниченные размеры области возбуждения флуктуаций. Проникая сквозь толстый сферический слой, флуктуационное мелкомасштабное магнитное поле сильно ослабляется и существенно меняет свою конфигурацию, в результате чего магнитное поле на поверхности в основном представлено дипольной компонентой.

Задача о проникновении дипольной составляющей флуктуационного магнитного поля была решена Ахметьевым , однако, в его вычисления вкрались некоторые наточности, которые мы исправляем в IV главе. Используя модель и метод, описывающий распространение флуктуаций из области генерации в пространство, мы получили выражения для корреляционной функции флуктуационного магнитного поля в приближении диполя и квадруполя. Дополнительные члены, обусловленные взаимной корреляцией гармоник разных степеней по И, а в частности, члены ~1Г7 обращаются в ноль при интегрировании по углам. Можно предположить, что коррелятор суперпозиции дипольной, квадрупольной и других более высоких гармоник магнитного поля, проникая через сферический слой, дает на его поверхности независимые друг от друга корреляторы гармоник флуктуационного магнитного поля.

Глава V посвящена численным оценкам параметров флуктуаций на поверхности Земли и планет земной группы. Из полученных ре-

зультагов главы II и III мы определили среднее максимальное значение нормальной компоненты флуктуационного геомагнитного поля в центре фокуса, которое « 10"3 Гс и характерный размер фокуса магнитных вариаций а0 « 0.89 L. Если принять, что толщина мантии равняется L = 3000 км, то а0 « 2700 км, что дает удовлетворительное согласие с наблюдаемыми характеристиками 60-летних вариаций магнитного поля на поверхности Земли.

Аналогично можно вычислить амплитуду флуктуаций нормальной компоненты диполя и квадруполя с учётом кривизны земной поверхности. При наблюдении магнитного поля со спутников параметры флуктуаций зависят от высоты спутника над поверхностью планеты. Мы провели соответствующие вычисления параметров флуктуационного поля для высот, примерно соответствующих радиусам реальных орбит космических аппаратов.

Предложенный метод описания распространения в пространстве флуктуаций магнитного поля дает формулы расчёта корреляционной функции нормальной компоненты магнитного поля на поверхности слоя через пространственную корреляционную функцию в области генерации. Вычисленные по ним корреляторы нуждались в сравнении с экспериментальными данными. В качестве примера мы построили корреляционные функции вековой вариации вертикального магнитного поля на поверхности Земли по данным наблюдения спутника Magsat. Были рассчитаны корреляционные функции по меридианам, которые равномерно покрывали весь Земной шар с шагом 20°. Из полученных кривых определили корреляционный радиус, который равен 4-6 тыс.км, а не 1700 км, как во внешнем жидко-проводящем ядре Земли, и тем более не заметен скин-слойньй размер, равный 60 км. Полученные результаты хорошо согласуются

с данными наблюдения размеров фокусов вековых вариаций геомагнитного поля.

В приложении к диссертации продемонстрировано различие крупномасштабного и мекомасштабного динамо механизмов генерации магнитного поля на примере конкретной задачи об эволюции крупномасштабного магнитного поля в галактическом диске.

Основные положения,выносимые на защиту:

1. Разработан метод исследования проникновения корреляционной Функции флуктуационного магнитного поля с помощью интегрального представления через непроводящий слой.

2. Найдена нормальная компонента одновременного пространственно-однородного коррелятора магнитного поля на поверхности толстого слоя (т.е. когда толщина слоя Ь > 10 радиуса корреляции) через соответствующую корреляционную функцию в области генерации поля с помощью интеграла Пуассона.

3. В приближении тонкого слоя (I < 10 ) решена задача о распространении корреляционной функции нормальной компоненты флуктуационного магнитного поля через слой вакуума.

4. Установлено, что корреляционная функция флуктуационного магнитного' поля на поверхности слоя мало чувствительна к статистическим свойствам поля в области генерации, т.е. полученная корреляционная функция может быть найдена для любого вида коррелятора в среде. Показано, что решающую роль в искажений формы одновременного пространственного коррелятора играет геометрическое сглаживание за счет удаления точки наблюдения поля: от его источников.

5. Уточнено решение задачи о проникновении нормальной

компоненты одновременного пространственно-однородного корреляционного тензора флуктуационного магнитного поля через сферический непроводящий слой любой толщины в приближении диполя и квадруполя. Было показано, что корреляционные функции перекрестных членов дипольной и квадрупольной составляющих магнитного поля, обусловленные взаимной корреляцией гармоник, проникая через сферический слой, обращаются в ноль. Это говорит о том, что коррелятор суперпозиции гармоник магнитного поля, проходя через непроводящий сферический слой, преобразуется в независимые друг от друга корреляторы гармоник.

6. Сделаны оценки корреляционного масштаба и амплитуды флуктуационного магнитного поля на поверхности Земли и планет земной группы и проведено сравнение с экспериментальными наблюдениями магнитного поля.

7. По данным наблюдения магнитного поля Земли предложена схема вычисления и рассчитаны корреляционные функции вековой вариации вертикального поля вдоль меридианов и экватора на земной поверхности. Все рассчитанные корреляторы распадаются на два характерных типа кривых в зависимости от области наблюдения поля.

Основные результаты работы опубликованы в следующих работах:

1. 0.В.Пилипенко, Д.Д.Соколов "Распространение флуктуаци-онных геомагнитных полей через мантию" // Геомагнетизм и аэрономия, 1992, т. зг,

2. 0.В.Пилипенко, Д.Д.Соколов "Распространение корреляционной функции магнитного поля через мантию" // Магнитная гид-

родинамика, 1991, N 4, с. 11-14

3. O.Pilipenko, B.Zinchenko, D.Sokoloff "Turbulent dynamo and the geomagnetic secular variation" in: Solar and Planetary Dynamos (Ed. M.Proctor, P.C.Matthews, A.M.Rucklidge), Cambridge UniV. Press, 1993, pp. 229-231

4. O.Pilipenko, A.Sftukurov, D.Sokolff, B.Zinchenko "Turbulent dinamo and 60-yrs geomagnetic secular variation", in: Theory of Solar and Planetary Dynamos, NATO ASI, Cambridge, 1993, p.59

5. м.Ю.Решетняк, О.В.Пилипенко, Б.Г. Зинченко, Т.И.Зверева "Корреляционная функция вековой вариации геомагнитного поля" // Геомагнетизм и аэрономия, 1994, Т.34, с.145-157

6. О.В.Пилипенко, Д.Д.Соколов "Флуктуационное магнитное поле вне области генерации", XII Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, 1997, т. 2, с. 228

7. Б.Г.Зинченко, О.В.Пилипенко "Роль радиальных движений и изгибов диска в галактическом динамо", Вестник МГУ, серия 3, фИЗ. астрон., 1991, т.32, N 2, с. 71-76