Развитие метода регуляризации для сингулярно возмущенных задач в абстрактных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ БАНАХОВОМ

ПРОСТРАНСТВЕ В СЛУЧАЕ КРАТНОГО СПЕКТРА ПРЕДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА.

§ I. Уравнение разветвления для задачи Коши, когда

АС^еЗ[А>Л,р]

§ 2. Постановка задачи и построение пространства безрезонансных решений

§ 3. Свойства операторов с£оус£с в пространстве Ё

§ Специальные проекторы и обобщенная лемма Шмидта

§ 5. Некоторые свойства многочленов.

§ б. Основные теоремы метода регуляризации

§ 7. Построение формального асимптотического решения.

§ 8. Оценка остаточного члена

§ 9. Асимптотическое решение задачи Коши в случае

1т Е~3 и . с\1т Е = 4 .б

ГЛАВА П. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ КОШИ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ В СЛУЧАЕ

ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА ПРЕДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

§ I. Регуляризация задачи. Выбор регуляризирующих функций

§ 2. Пространство безрезонансных решений

§ 3. Свойства оператора в пространстве Е

§ 4. Основные теоремы метода регуляризации

§ 5. Построение формального асимптотического решения

§ 6. Оценка остаточного члена.

§ 7. Свойства спектральных операторов

ГЛАВА Ш. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ КОШИ В СЛУЧАЕ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА ПРЕДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА.

§ I. Выбор регуляризирующих функций.

§ 2. Пространство безрезонансных решений

§ 3. Свойства оператора в пространстве И . III

§ 4. Основные теоремы формализма метода регуляризации.•

§ 5. Построение формального асимптотического решения

§ 6. Оценка остаточного члена

§ 7. Пример решения сингулярно возмущенной задачи

Коши.

ГЛАВА 1У. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ В СЛУЧАЕ ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА ПРЕДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

§ I. Регуляризация задачи. Выбор регуляризирующих функций.

§ 2. Пространство безрезонансных решений

§ 3. Свойства операторов в пространстве

§ 4. Основные теоремы метода регуляризации

§ 5. Построение формального асимптотического решения

§ б. Оценка остаточного члена

ГЛАВА У. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА

ПРЕДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

§ I. Выбор регуляризирующих функций

§ 2. Пространство безрезонансных решений.

§ 3. Основные теоремы формализма метода регуляризации

§ 4» Построение формального асимптотического решения

§ 5. Оценка остаточного члена

§ б. Пример решения сингулярно возмущенной краевой задачи .^

В диссертации рассматривается алгоритм теории сингулярных возмущений, позволяющий строить асимптотические решения любого порядка задачи Коши и краевых задач для дифференциальных уравнений в ба а ^ наховом пространстве & . В основу разработки алгоритма положен метод регуляризации сингулярных возмущений, принадлежащий С.А.Ломову и разработанный им для различных классов сингулярно-возмущенных задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных ([32]-[39]).

Теория возмущений, как известно, имеет дело с задачами следующего типа. Пусть в банаховом пространстве Ть заданы два оператора и ^ с областями определения и . Образуем семейство операторов - £ + Л 9 и рассмотрим уравнение иЛ1-^)^58!' С0*1) где £. - вещественный параметр, 0 < е ^ £ о < 4 . Если ФС^) » то решение (0.1) можно искать методом Пуанкаре, то есть л о}

Я/ч , ^ } е ем 7 ел , * с~о

При дополнительном предположении, что оператор ¿^ равномерно обратим по £ , можно показать, что при 6-* О имеет место оценка

И^- 0(9- (о-з)

Такие задачи называют регулярными в точке Е-О , и ниже мы изложили основную идею классической теории возмущений.

Наибольший интерес однако представляют сингулярно возмущенные задачи. Йо отношению к уравнению (0.1) это имеет место, когда ф(А^) <£Ф(Аа).

В этом случае, если искать решение в виде (0.2) мы не получим оценки (0.3).Кроме того, решение вырожденного уравнения

А^ос не всегда является пределом при £ —» О решения возмущенного уравнения.

В связи с тем, что многочисленные задачи, встречающиеся на практике, связаны с решением таких уравнений, их изучение представляет несомненный интерес. Роль малых параметров могут играть различные безразмерные величины. К примеру* в квантовой механике можно считать постоянную Планка, в механике течения жидкости и газовой динамике величину обратную числу Рейнольдца.

Первый результат в теории сингулярно возмущенных уравнений принадлежит Лиувиллю [313 при решении уравнения рф+ъС*^«*) осе [сцО . (0.4)

Для исследования решений этого уравнения при X + <*э Лиу-вилль вводил новые переменные по формуле С*)]1'2 с1х • = Гр«]/4 ^ ,

В новых переменных дифференциальное уравнение (0.4) принимает следующий вид: с1 \

- ? С-р'С«;, р .

Переходя к интегральному уравнению и интегрируя по частям, затем вновь возвращаясь к старым переменным, частные решения представлялись в виде: х

-1 — - (0.5) о

Шлезингер [77] обобщил результат Лиувилля на дифференциальные системы вида

I- * при условии, что разлагается в равномерно сходящиеся ряды при достаточно больших 1Л| по степеням ^ *

00 (*')

- ь

С^Д) = 2] . О) л

4*0 О л - комплексный параметр, Ч/ Сх) € С [а, 6] , а,. С-х) с а

- рациональные функции. Линейно независимые решения системы представлялись в виде

ОО -«'

-ехрСЛ^Сх» 2 у С»)Л У <°-7> где Лх^ (ос) 7 у к^00) " функции определяемые из соответствующих уравнений, не зависящих от £ ,

Следует отметить, что в этих работах был разработан только формализм получения асимптотических разложений. В это же время Дж.Биркгоф в работе СЗ Л предложил более простой формализм и применил его к более общему случаю. Для дифференциального уравнения

Уь (0.8) иы были даны строго обоснованные асимптотические разложения линейно независимых решений при |А|-»<*э , а именно была доказана теорема:

Теорема.

Пусть имеют место условия а.(*,*)«2 Л'* С»), с,.С*)€ С80 [а,6],

0 <1 6 о}

Эти ряды сходятся равномерно при достаточно больших | А | в некотором секторе о(^ «д^ корни характеристического уравнения

2 0 (0.9) ъ-о удовлетворяют неравенствам

Не$ .^^еСе^Сх)), б=у

0.10)

Тогда для фундаментальной системы решений уравнения

0.8) имеют место при *ео асимптотические формулы

К х х. си ос а/

0. И)

Эта теорема замечательна ещё и тем, что нашла применение в других областях математики. Например, с её помощью были получены многие результаты в спектральной теории несамооопряженных операторов, порожденных (0.8) Нуайон [:52] рассмотрел случай, когда степень малого параметра при производной может быть любым натуральным числом. Для уравнений вида

Ь пг О+г) * (г'л = + ^ ^ ) " 0 12) Уи^ - натуральное число) при аналогичных, как в работе Сз], предположениях на коэффициенты вдоль любого направления в комплекс' ной плоскости изменения параметра 6 , в 1152] получены асимптотические формулы при £.->0 фундаментальной системы решений уравнения (0.12).

В работах И»0521 предполагалось, что корни характеристического уравнения не совпадают ни в одной точке области изменения независимого переменного. В случае тождественно кратных корней Территин в работе СбоЗ построил асимптотические разложения при £->0 фундаментальной системы решений для дифференциальной системы типа (0.6). Некоторые частные случаи кратных корней характеристического уравнения рассматривались Тамаркиным [591 , ' Трджидзинским [ 68 1.

При нахождении нулевого приближения асимптотических разложений решений дифференциальных уравнений второго порядка в ряд по степеням малого или большого параметра применялся метод ВКБ [7Л1.

Хотя решения, получаемые этим методом были пригодны для практического применения, тем не менее метод ВКБ имеет ряд недостатков: нет строгого обоснования метода, получаемая асимптотика не равномерна. Обобщение метода ВКБ на многомерный случай проведено В.П. Масло вым [.'И] .

Лангер {¿91 предложил более совершенный метод для решения однородных задач с точками поворота в отличие от метода ВКБ. Его методом удается получать равномерные асимптотические разложения любого порядка. В дальнейшем Цвааном [76 ] и М.В.Федорюком [71 ] были рассмотрены асимптотические решения таких задач слева и справа от точек поворота путем выхода в комплексную плоскость.

К концу сороковых годов были созданы многочисленные асимптотические методы, каждый из которых или решал весьма ограниченный круг задач или вычисление коэффициентов асимптотического ряда было связано в них с большими техническими трудностями. Для решения задач колебательного типа (в астрономии и в нелинейной механике) Н.М.Крылов и Н.Н.Боголюбов [5 1 создали асимптотический метод, который в настоящее время называют методом усреднения. В дальнейшем этот метод получил свое развитие в работах Ю.А.Митро-польского, В.М.Волосова и других [ 483 , С 16 3.

Для решения уравнения играющего важную роль в радиотехнике А.А.Дородницыным в работе был разработан метод с использованием модельных уравнений. Позже Е.Ф.Мищенко ¡49 3 и Л.С.Понтрягин [493 рассмотрели более общие, чем (0.13) системы с так называемыми точками срыва и получили ряд глубоких результатов в теории релаксационных колебаний. К этому кругу вопросов относятся задачи с начальным скачком. Если

0.13) положить в возмущенной задаче £=о , то в нелинейных задачах о растущим начальным условием предельным решением является не то решение, которое проходит через одно из заданных начальных условий, а некоторое другое из того же семейства. Исследованию этих задач посвящены работы Л.М.Люстерника, А.В.Вишика [15 ], К.А.Ка-сымова [23].

Первые общие результаты по нелинейным сингулярно возмущенным дифференциальным системам принадлежат А.Н.Тихонову [ 61] . А.Н.Тихонов рассмотрел задачу Коши для системы <4-3(5,г,*;, (0.») где ^ , 2: - векторы произвольной размерности. При весьма общих условиях на функции им было доказано, что решение задачи Коши для системы (0.14) при О сходятся к решению задачи, полученной из (0.В-) при О . Решающее значение играет здесь расположение корней системы СС^,?^) =0 .

Фундаментальные исследования А.Н.Тихонова привлекли внимание многих математиков к данной области. Если в асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений существуют многочисленные методы, то для уравнений с частными производными в этой теории получены лишь отдельные результаты.По-видимому, один из первых результатов в области исследований сингулярных возмущений уравнений с частными производными принадлежит В.Вазову [7 ] Пусть в односвязной области Ф , ограниченной контуром Г , рассматривается задача

0.15)

Вдоль прямых у- при Х>^с , - ближайшая точка к контуру Г , при условии, что в окрестности С^о,^") граница представляется в виде однозначной функции переменной За и ^(ос^тр € В.Вазов [ 7 3 показал, что равномерно на отрезке [С^,^) , С*30?^) ] имеет место предельное равенство: iiVYV * ^ (0.16)

Левинсон [sol рассмотрел общее эллиптическое уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными и малым параметром при А и доказал для задачи Дирихле теорему о предельном переходе. В его доказательстве принципиальное значение имеет расположение характеристик для вырожденного уравнения первого порядка. Дальнейшее развитие асимптотической теории уравнений с частными производными связано с исследованиями O.A.Олейник [53 ]-[55],где доказаны теоремы о предельных переходах соответствующих решений краевых задач к решениям вырожденных уравнений.

В работах [14] - [15] Л.М.Люстерником и М.Й.Вишиком был создан новый асимптотический метод. Он оказался очень эффективным при нахождении асимптотических решений сингулярно возмущенных краевых задач. Особенностью таких задач является наличие пограничного слоя, т.е. такой области, где решение вырожденной задачи существенно отличается от решения возмущенной задачи при сколь угодно малом значении параметра. Основная идея метода состоит в том, что решение задачи представляется в виде трех функций к,е= + ь (0.18)

Функция является приближенным решением (0.17) внутри области, но не удовлетворяет всем краевым условиям. Функция погран-слоя заметно отличается от нуля лишь вблизи границы Г , однако, при удалении от границы убывает по экспоненциальному закону. Она определяется так, чтобы функция ^ удовлетво- • ряла краевым условиям. И, наконец, остаточный член. Асимптотические решения получаемые таким способом называют решениями типа пограничного слоя. Существенный вклад в теорию сингулярных возмущений внесли работы А.Б.Васильевой. Задача Коши для нелинейных систем типа (0.14) в классе функций типа погранслоя решена в Г19] • Асимптотические решения краевых задач строятся в работе >, I [ 13Л. В связи с приложениями в гидромеханике В.А.Треногин ¡¿зз] I (. - [ббЗ рассмотрел смешанные краевые задачи для квазилинейных параболических и игиперболических уравнений. Исследования были затруднены тем, что при построении асимптотики до любого порядка возникала необходимость введения погранслоев соответственно параболического и гиперболического типов, которые определялись уже не из обыкновенных дифференциальных уравнений, а из уравнений с частными производными.

Задача Дирихле для эллиптического уравнения в прямоугольной области с погранслоями разных типов изучена В.Ф.Бутузовым ["а Л * Исследованиям по асимптотической теории эллиптических уравнений высших порядков посвящена работа А.М.Люстерника и М.И.Вишика (141. Первые результаты по асимптотической теории сингулярно возмущенных дифференциально операторных уравнений были получены С.Г.Крейном и Ю.А.Далецким [19] , Ьо 1.

Для дифференциального уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве с ограниченным оператором и медленно меняющимся временем были получены асимптотические разложения решения задачи Коши. Впоследствии Ю.Л.Далецкий Г 20 ] перенес некоторые результаты работы [ 19 3 на уравнения с неограниченным оператором.

Б.С.Митягин Г 4-7 Л рассмотрел уравнение второго порядка в банаховом пространстве с неограниченными операторами 1 и $ : (0.22)

Он доказал, что при О решение задачи Коши для этого уравнения при определенных условиях стремится к решению соответствующей задачи Коши для вырожденного уравнения

А В V = 0,

В этой же работе даны некоторые случаи обобщения на уравнения высших порядков с неограниченными операторами.

Некоторые результаты, связанные с существованием и единственностью решения задачи Коши и построением асимптотических решений типа пограничного слоя для эволюционных уравнений с переменным оператором изложены в книге [" 28 3 . Дальнейшее развитие этих результатов получено В.А.Треногиным £ 4-3 П . Следуя ему, рассмотрим в банаховом пространстве следующую задачу Коши

Бг^- = О/Т7] , О^^Т, <о.23)

Предположим, что разрешающий оператор допускает оценку

ГйЛИ С0о > 0* (0.24)

В условиях неравенства (0.24) в работе С 63 Д В.А.Треногиным разработана асимптотическая теория погранслоя и дано его строгое обоснование. Аналогичные результаты получены также по задаче Коши для уравнения второго порядка X

В этой же работе рассмотрена задача (0.2В) для случая, когда ядро Л (у имеет ненулевую размерность (задача на спектре). Предположив, что является фредгольмовским оператором и "замороженый" оператор Мо) порождает полугруппу с экспоненциальным убыванием, автор строит асимптотическое решение любого порядка при £-> о и дает оценку остаточного члена.

Обобщение теоремы Дж.БиркгофаС. I ]на случай гильбертова пространства проведено В.Г.Мазьей и Б.А. 11ламеневским в [42 3 Они рассмотрели уравнение У

2 *>0, (0.26) При условий, что операторы Ак допускают разложения

А^М- ь (М) (0.2?) г*=о где ^¿к Ф у ^г "" неограниченные операторы при каждом ОЦО » подчиненные определенным условиям на поведение при "Ь оо % ими получено представление решений (0.26) из определенного класса функций в виде

Ь -Ь сУС-Ь) ^ О •'о о.28)

1 Л"« ' где уС-ь) , % (Ч) соответственно собственная функция и собственное число операторного пучка АО)0О), <0.29)

Оценка функции 12 С^.е) проводится в пространстве функций, норма которого зависит от £ .

Задача Коши и краевая задача в гильбертовом пространстве для уравнений высокого порядка рассмотрена А.Фридманом в работе £73 Д. Им доказаны теоремы о предельных переходах для задач в следующей постановке. Пусть % обыкновенные дифференциальные операторы

О«/) , /•. (I

Г ч * ' П-7

X (о) -"X. Ьпгп

0.30)

А - самосопряженный, возможно неограниченный оператор в Н .

Аналогичные теореш о предельных переходах содержатся в работе Т73] и в случае, когда задачи (0.30), (0.31) являются краевыми.

В последнее время С.А.Ломовым в цикле работ С 32 3 - Ьэ] разработан существенно новый метод построения асимптотических решений сингулярно возмущенных задач. Зтот метод позволил развить основы общей теории сингулярных возмущений с выделением естественного класса функций, в котором асимптотические ряды обладают свойством единственности. Путём введения регуляризи-руклцих функций, содержащих в себе все нерегулярности малого параметра, в качестве дополнительных независимых переменных, удается свести сингулярную задачу к регулярной в пространстве большей размерности. Используя схему классической теории возмущений, в основе которой лежит метод Пуанкаре, строится теория разрешимости соответствующих задач в определенных пространствах, затем применяется алгоритм сужения, позволяющий получать соответствующие асимптотические разложения исходной задачи. Ранее, в работах [ 34] - [39 ] С.А.Ломов систематически применял свой метод для различных классов сингулярно возмущенных задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений с частными производными. Для метода регуляризации не важно расположение корней характеристического уравнения (в случае обыкновенных дифференциальных уравнений) и спектра соответствующего оператора в абстрактном случае. В методе Вишика-Люстерника необходимо требовать регулярности вырождения; для задачи Коши это значит, что ( - корень характеристического уравнения ). Преимущество метода С.А.Ломова состоит в том, что спектр предельного оператора может быть и на мнимой оси, при этом асимптотические решения, получаемые этим методом не содержат резонансных членов вида которые допускаются в асимптотике типа пограничного слоя. Поэтому и по другим причинам, как отмечали В.Вазов [7 Ц и С.А.Ломов [ зб 1» решения с резонансными членами не отвечают физическому содержанию решаемой задачи.

Приведем элементарный пример: для сравнения двух типов асимптотических разложений. Пусть имеется задача: которую необходимо решать при £ «9 .

Решение вырожденного уравнения не удовлетворяет начальному условию в общем случае, значит задача (0.32) является сингулярно возмущенной. Асимптотическое решение, получаемое методом Вишика-Люс-терника, может быть представлена в следующем виде:

•2 ас = еолс-Ь^ у * [(§ "¡Г ~ ео~|2~16 6

С* 3. $ (0.33)

Это разложение типа пограничного слоя. Регуляризованное асимптотическое решение этой же задачи будет:

Г I г I Егт Г ^алс^сс

0.Щ

Этот ряд обрывается на членах порядка и является точным решением задачи (0.32). Для более полного сравнения асимптотик обоих типов изучим следующую краевую задачу:

0.35)

Содержательная интерпретация получения асимптотического решения типа погранслоя этой задачи состоит в следующем. Предположим, что коэффициенты не обращаются в нуль на [о, П и для них верны в некоторой окрестности точек Х=<9 следующие представления: а.^о.до) (0.36) Л С*) = V21 + > (0-37)

Согласно методу Вишика-Люстерника решение задачи (0.35) ищем в следующем виде: где у ^

V/- (*,£) = 2 е." (*), V = ,£), (0.39) а -о "С=о

Пусть характеристические уравнения ^ОО = 0 и = 0> имеют по одному корню с отрицательной вещественной частью. Для определения Лх/^ {ъ) подставим в уравнение (0.35) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях <6 . Мы получим:

Функции (*Ь7£) будем строить отдельно в окрестности точек

Зс-0 и . Для этого введем новую переменную в окрестности точки "эс~0 . Оператор ^ перейдет в , т.е. У а 2 а К,(о)^ ^ ^ а,((0)^ } + У+1 / / ч , ^ £ К,чА «-<>,«>*> ^ (0.42)

Для определения функций типа погранслоя подставим о ^ * ^ ~ ^

У^ = 3 Е* "V"^ в и приравняем коэффициенте© ты при одинаковых степенях £ . Мы получим:

X 5 V/ + + а X >о (0.43) О где

Положим о г = 0, оо. (0Л5)

-0 г1<х =0 9 1 I

Для построения функции типа погранслоя в окрестности точки , сделаем замену , и подставим выражения (0.37) в уравнение (0.35). Получаем г - , ЛН . Л/Ч! ^ ч е О^Л.ОЧ к)

1. I , I ~

Подставим выражение V, = 2 £ V* в уравнение X У,-О

Л г а. О ъ 1£ ^ и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях £ . Для определения получим следующие уравнения:

МХ + «-оЛ1 ='°> К* ~ВХ (0.47)

Потребуем, чтобы выполнялись краевые условия

V1 = - V. I г.О^, (ОАЭ) г х «о *' г

Таким образом функция погранслоя строится из суммы двух функций V.0 и "У^1", являющихся решениями задач (0.43),

1»

0.45), (0.47), (0.49). Тогда решение задачи (0.35) в форме (0.38) построено. Получим асимптотическое решение задачи (0.35) по методу Ломова.

Пусть корни характеристического уравнения ЧХГ%- с^(х) ж\(Ь(х)г(}различны и < О ,а при ос€ [0,11. В соответствии с методом введем переменные

1 (0.50) и вместо искомого решения будем изучать функцию

Потребуем, чтобы где чС^е} искомое решение задачи (0.35). Подставляя выражения для ух? Чхх в заДачУ (°*35)» шлучим - М*>) (0.52) где Ш > ^ ч Д+ ^+<

Решение задачи (0.52) ищем в виде

0.55)

Подставив этот ряд в уравнение (0.52), получим:

Чг^-Г^-г' С0.58)

Решения этих задач будем искать в классе функции У , представляемых в виде:

Й-^С^е^^^^+^С®), е с" [ОД] (0.59) г

Тогда решение задачи (0.56) из этого класса имеет вид: где \\0 (рс) = <Х*о О**) , (зф- неизвестные функции. Из граничных условий (0.56) следует, что

5 ^ (*) = -к(о) (0.61) о1С1) +«=р(е45 (0.62) О

Решение задачи (0.57) в классе V имеет вид

К^ = - <чо) ^ с*э ¿о о) • (0,б3)

Применяя теорему разрешимости задач (0.5б)-(0.58) в классе "V (см. [32]), мы получим вместе с условиями (0.61), (0.62) задачи для однозначного определения 1 (х), 9 (о^(при достаточно ма

I о1< у^ о ^ лых Ь ).

2.^ + ^Сх))!^^} (0.64)

0.65)

Применим к задаче (0.58) при г =2 теорему разрешимости в соответствии с [ 32 Ц , получим задачи для определения (х). Аналогично находятся все прочие коэффициенты ряда (0.55) в виде

-Ь -У о.бб)

Проводя сужение по переменной и применяя формулу

0.51), мы получим регуляризованное асимптотическое решение задачи (0.35) в следующем виде:

•х- сг„ о 2 £гкСх)+£ * Ъ г* г о

0.67)

Нулевое приближение этого разложения имеет вид:

0.68)

Следует отметить, что нулевое приближение этой же задачи (0.35), полученное методом Вишика-Люстерника, представляется в виде р А(е)ехр(е-1 ^х) + Ьфвхр(е1Xа&-*))+Сос;^

69) где , А 2 те корни характеристического уравнения (0.4-0), у которых , А (б), ВС^) , удовлетворяют системе

Сравнивая вид функции (0.67) с разложением Биркгофа (0.11), можно заметить, что разложения (0.II) определены на некотором подмножестве суженного множества "V (см. [ 77Д ).

Можно указать многочисленные задачи, для асимптотического решения которых не применим ни метод Вишика-Люстерника, ни другие ранее развитые методы, но применим метод Ломова. Рассмотрим одну из таких задач. Пусть требуется решить задачу Коши:

-0,1,1. (0'70)

Пусть один из корней характеристического уравнения (х) ДЧбСх) А + с(х) = О, (0#71) отрицателен на рассматриваемом отрезке [0?<£2 и два других корня -- чисто мнимые

--рС*?, ¡>>0, , ^-¿^(х) , (х) > О,

При этих условиях не имеет место регулярность вырождения, следовательно метод Вишика-Люстерника не применим. Согласно методу С.А.Ломова введем две регуляризирующие функции

СС х С«) , = (0-72) о ° 1

Вместо решения г/С^е) задачи (0.70) будем изучать функцию

V/ 1 • Л "

1? в неограниченной области при фиксированном .

Расширение оператора $ произведем таким образом, чтобы

Отсюда и из закона дифференцирования сложной функции получим:

Аналогично определяем ^ хх , . После подстановки этих производных в задачу (0.70), получим

-ч/ (

Х=(& л. г 9 , 9 „ а Я к* +^г п г >

I 3

0.74) & + У]

I ^ [ъ

0.75) ал

Решение задачи (0.73) ищем в виде: оо ч г*-о О

0.76)

Подставив ряд в задачу (0.73) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях 6 , получим: с

2эь

-Яги. , ^^ (О.о.о") с> К ± к-1 £ К-2. 7 ХаеЛ ' ' ' и,. ' (о,о?о) = о г)

0.77)

0.78)

Решения этих задач ищем в классе функций, представимых в виде: А И . с-х)е + ^, (х) сР^(х)Ьгп+ П г. (*). ^ ^

Нетрудно определить функцию как частное решение уравнения

Уо^о^Ь(х) V П0(х) = к('х)/с(х)/ Общее решение первого уравнения (0.77) следует определять в виде

2-3 С0(х)ехр(-^) + Сс(х)е0 ¿гЧ^* П0 (%) . (0>80) где Сд С^ Ос3 - пока произвольные функции. Потребуем, чтобы к аУ>

-Ьг-Ь 2-Л-0 Ю ' ох

I1' ^охх о

0.81)

Рассмотрим вторую задачу из (0.77). Чтобы она была разрешима в классе функций вида (0.79) необходимо и достаточно, чтобы в правой части этого уравнения коэффициенты при б 1 , со*>Ь2 , обращались тождественно в нуль. Вместе с условиями (0.81) мы получим задачи для однозначного определения функция Со Ы и с^о; Таким образом, нулевое приближение найдено однозначно в классе функций вида (0.79). Аналогично находятся приближения высших порядков. На этом примере видна простота и универсальность метода применительно к колебательным и неколебательным функциям, являющимся носителями сингулярной зависимости от £ .

Данная работа состоит из пяти глав. В первой главе изучается задача Коши в конечномерном банаховом пространстве, когда предельный оператор имеет тождественно жорданову структуру. Методом регуляризации строятся асимптотические решения до любого порядка и дается оценка остаточного члена.

Во второй и третьей главах решаются задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка с переменным, вообще говоря, неограниченным оператором и с малым параметром при производной.

Рассмотрены случаи, когда спектр оператора Affe) при каждом "t дискретен или непрерывен и расположен в левой замкнутой полуплоскости. Строятся асимптотические решения указанной задачи до любого порядка и доказывается теорема об оценке остаточного члена.

В четвертой и пятой главах получены результаты по решению краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка с переменным неограниченным оператором с малым параметром при производной. Рассмотрены случаи дискретного и непрерывного спектра предельного оператора АО:).

Результаты данной работы докладывались в разное время в МГУ: на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством В.А. Ильина; в МЭИ:на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессоров Ю.А.Дубинского, С.А.Ломова, С.И.Похожаева, и на семинаре по асимптотическим методам под руководством профессора С.А.Ломова; на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам в теории сингулярно-возмущенных уравнений в г.Алма-Ате; на школе-семинаре -Методы малого параметра", посвященной 75-летию А.Н.Тихонова в г.Минске.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах^ 78,83^}

Автор приносит искреннюю благодарность своему научному руководя телю профессору С.А.Ломову за неизменное внимание и весьма полезные советы.

1. Н.И.Ахиезер, Н.М.Глазман, Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. 1. П том. Харьков, "Вища школа", 1978г.

2. Ю.А.Березанекий, Самосопряженные операторы в пространствах функций бесконечного числа переменных. Киев, "Наукова Думка", 1978г.

3. G.D.Birkhoff, On the asymptotic character in the solutionsof certain linear differential equations containing a parame-< ter. Trans. Amer. Math. Soc. 9(1908), 219-231.

4. М.Ш.Бирмон, М.З.Соломяк, Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Изд-во ЛГУ, 1980,3-263.

5. Н.Н.Боголюбов, Ю.А.Митропольский, Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Физматгиз, 1963.

6. В.Ф.Бутузов, Асимптотика решения, уравнения £1Д4- в прямоугольной области. Дифф. уравн.т.ГХ, № 9(1973),1654-1660.

7. В.Вазов, Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1968.

8. М.А.Валиев, Асимптотическое решение задачи Коши для гиперболического уравнения с параметром. Доклады н.-т.конференции МЭИ секц. мат., М. б, 1972.

9. М.А.Валиев, Асимптотическое решение задачи Коши для абстрактных гиперболических уравнений в гильбертовом пространстве. Тезисы докладов 5-ой Казахской научной конференции по математике и механике. Алма-Ата, 1974.

10. М.А.Валиев, Метод регуляризации сингулярно-возмущенных дифференциально операторных уравнений. ДАН СССР, т.220, № 5, 1974, 1008--I0I2.

11. М.А.Валиев, Асимптотическое решение задачи Коши для абстрактных параболических уравнений. Докл. н.-т. конф. МЭИ,секц. мат. М.,1974.

12. А.Б.Васильева, Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. УМН, 18:3/111/, 1963, 15-86.185

13. А.Б.Васильева, В.Ф.Бутузов, Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М. 1973.

14. В.М.Волосов, Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений. УМН, 17:6/108/, 1962, 3-126.

15. Гохберг И.Н., Крейн М.Г., Введение в теорию линейных несамосо-" пряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.1965.

16. Ю.А.Далецний, М.Р.Крейн, Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М., 1930.

17. Ю.А.Далецкий, С.Г.Крейн, 0 дифференциальных уравнениях в гильбертовом пространстве. УМН, 2,4, 1950, 71-91.

18. Ю.А.Далецкий, 0 некоторых уравнениях с замкнутыми операторами. Изв. Киевского Политехи, ин-та, 19, 1956, 157-177.

19. А.А.Дородницын, Асимптотическое решение уравнения Ван-дер-Поля. ПММ, II, 1947, 313-328.

20. К.Иосида, функциональный анализ. М., 1967.

21. К.А.Касымов, Асимптотическое разложение решений задачи Коши с начальным скачком для нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром. Изв. АН Казах.ССР, № 3, 1963, 66-96.

22. Т.Като, Интегрирование эволюционных уравнений в банаховом пространстве. Сб.пер. "Математика" 2:4, 1958.

23. Т.Като Теория возмущений линййных. операторов, Мир, 1972, 5-739.

24. Э.А.Коддингтон, Н. Левинсон, Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1958.

25. А.И.Кострикин, Ю.А.Манин, Линейная алгебра и геометрия. Изд-во;, МГУ, 1980, 3-317.- 186

26. С.Г.Крейн, Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М., 1967.

27. R.Janger, The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of the second order with special reference to a turning point.Trans. Amer • Math. So с. 67(194-9), 461-490.

28. Levinson, A boundary value problem for a singulary perturbed differential equations. Annals of math.,v.51, N 2, 1950.

29. J.Liouville, J.math.pures of appl. 2, 1837, 16-35.

30. С.А.Ломов, Введение в общую теорию сингулярных возмущений. Москва, "Наука", 1981^ 3-393.

31. С.А.Ломов, Аналитические решения сингулярно возмущенных задач. ДАН СССР, т. 265, № 3,

32. С.А.Ломов, Построение асимптотических решений некоторых задач с параметрами. Изв. АН СССР, сер.матем., 32:4, 1968, 884-913.

33. С.А.Ломов, Степенной пограничный слой в задачах с сингулярным возмущением. Изв. АН СССР, сер.матем., 30:3, 1966.

34. С.А.Ломов, Об одном общем методе асимптотического решения дифференциальных уравнений. Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Киев, 1970.

35. С.А.Лоыов, Метод возмущений для сингулярных задач. Изв. АН СССР, сер.матем., т.36, № 3, 1972, 635-651.

36. С.А.Ломов, Формализм классической теории возмущений. ДАН СССР, т. 212, № I, 1972, 33-37.

37. С.А.Ломов, Об одном методе регуляризации сингулярных возмущений. ДАН СССР, т. 177, № 6, 1967, 1273-1276.

38. Л.А.Люстерник, В.И.Соболев, Элементы функционального анализа. Москва, Высшая школа, 1976, 3-372.

39. В.В.Лянце, Об одном обобщении понятия спектральной меры. Матем. сборник 61(103), I (1963), 80-120.

40. В.Г.Иазья, Б.А.Пламеневский, Об асимптотическом поведении реше- 187 ний дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. Изв. АН СССР, сер.матем., т. 36, № 5, 1972, I090-II33.

41. В.П.Маелов, Теория возмущений линейных операторных уравнений и проблема малого параметра в дифференциальных уравнениях. ДАН СССР, III, 3, 1956, 531-534.

42. В.П.Маслов, Теория возмущений и асимптотические методы.МГУ,1965.

43. В.П.Маслов, О некоторых методах функционального анализа в теории операторных и дифференциальных уравнений в частных производных с параметрами. УМН, XIУ, 4, 1959, 179-185.

44. В.П.Маслов, Переход при уравнения Гейзенберга в уравнение динамики одноатомного идеального газа и квантование релятивистской гидродинамики. Теор. и матем.физика, I, ¡H 2, 1969, 373-383.

45. Б.С.Митягин, Дифференциальные уравнения с малым параметром в банаховом пространстве. Изв. Аз.ССР, сер.матем., тех.н., 1 3, I9ÔI, 23-39.

46. Ю.А.Митропольский, Метод усреднения в нелинейной механике.Киев, 1971.

47. Е.Ф.Мищенко, Л.С.Понтрягин, Вывод некоторых асимптотических оценок для решений дифференциальных уравнений с малым параметром при производной. Изв. АН СССР, сер.матем., 23:5, 1959,643-660.

48. Н.Н.Моисеев, Асимптотическое представление решений линейных дифференциальных уравнений в случав кратных элементарных делителей. ДАН СССР, т. 170, №. 4, 780-782.

49. М.А.Наймарк, Спектральный анализ несамосопряженных операторов. УМН 11,6(72), 1956, 183-202.

50. F.Nuaulou, Développements asymptotiques dans les equations differentialles lineares a paramétré variable.Memoires de la Soc. des Sci.de Leige 3;11,1912, 197.

51. О.А.Олейник, Об уравнениях эллиптического типа с малым параметром при старших производных. Матем.сб., 31:1, 1952.- 188

52. О.А.Олейник, Л.А.Люстерник, Некоторые задачи для уравнения с частными производными, содержащих малый параметр. Труды 1У матем.съезда, т.П, Л., изд-во АН, 1963.

53. О.А.Олейник, О краевых задачах для уравнений с малым параметром при старших производных. ДАН СССР, 85, 1952, 493-495.

54. Б.А.Пламеневский, Теоремы существования и асимптотика решений дифференциальных уравнений с неограниченными опзраторами-коэф-фициентами в банаховом пространстве. Изв. АН СССР, т. 36, № 6, 1972, 1348-1401.

55. Б.А.Пламеневский, Асимптотика решений краевых задач для общих квазиэллиптических уравнений. УМН, 1973.

56. А.Д.Рыжих, Асимптотическое интегрирование уравнений в банаховом пространстве. Труды МЭИ, вып. 499, Шсква, 1980, I59-I6I.

57. Я.Д.Тамаркин, 0 некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных линейных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. 1917г.

58. Х.Л.Территин, Асимптотическое поведение решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Сб.матем., 1:2,1957,129-159.

59. А.Н.Тихонов, Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных. Матем.сб., 31, 73:3, 1952, 575-536.

60. А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, Уравнения математической физики. M., 1965.

61. В.А.Треногин, Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника-Вишика, УМН, ХХУ, 4, 1970, 123-156.

62. В.А.Треногин, Об асимптотике решения почти линейных параболических уравнений с параболическим погранслоем. УМН, I6SI, 97,1961, 163-170.

63. В.А.Треногин, Асимптотика и существование решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка с малым параметром в банаховом пространстве. ДАН ССР, 152:1, 1963, 63-66.

64. В.А.Треногин, Краевые задачи для абстрактно эллиптических уравнений. ДАН СССР, 1976, 170, № 5, I028-I03I.

65. В.А.Треногин, Функциональный анализ. Наука, 1980, 3-494.

66. W.J.Tryitzinsky, Theory of linear differential equations containing a parameter. Acta mathematica, 67(1936),1.50.

67. С.Ф.Фещенко, А.И.Шкиль, Л.Д.Николаэнко, Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. Киев, 1966.

68. С.Ф.Фещенко, Об асимптотическом приведении интегралов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содер?хащих параметр. ДАН УССР, т.1, 1949, 11-16.

69. М.В.Федорюк, Асимптотические методы в теории одномерных сингулярных дифференциальных операторов. Тр.Мэск.матем.общ.,15,1966, 296-395.

70. Фридрихе, Асимптотические явления в математической физике.Сб. пер." Математика", 1:2, 1957.

71. A.Friedman, Singular pertubations for the Cauchy problems and for boundary value problems J.cliff, eq. 5, N 2,1969,570.

72. Днс.Хединг, Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ), М., 1965.

73. Хилле Э., Р.Филлипс, Функциональный анализ и полугруппы.М., 1963.

74. Zwaan, Intensitäten im Сa-Funkensрertrum, Ihesis, Utrecchet, 1939.

75. L.Schlesinger, Math. Ann. 67 (1907), 277-300.

76. Н.Н.Шкиль, АсимптотичнL методи в дифференциальных р вняннях, Видавнитцтво "Вища школа", КиТв, 1971, 3-225.

77. А.Г.Елисеев, С.А.Ломов, Теория возмущений в банаховом пространстве. Доклады АН СССР, 1982, т.264, К» I.

78. А.Г.Елисеев, Теория сингулярно возмущенных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в случае кратных корней предельного оператора ч.(1).Известия АН СССР, серия матем. (в печати).

79. А.Г.Елисеев, Теория сингулярно возмущенных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в случае кратных корней предельного оператора ч.(П). Известия АН СССР, серия матем. (в печати).