Решение уравнения Гельмгольца в многосвязных волноводных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет кафедра математики

На правах рукописи

Петрова Юлия Юрьевна

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В МНОГОСВЯЗНЫХ ВОЛНОВОДНЫХ ОБЛАСТЯХ

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор |В.П. Моденов.[

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.Б. Самохин, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник В.В. Лопушенко.

Ведущая организация: Московский государственный институт электроники и

математики (технический университет).

Защита диссертации состоится 20 апреля 2006 года в ч мин на заседании Диссертационного совета К 501.001.17 в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, ГСП-2, Ленинские горы, д.1, стр. 2, МГУ, Физический факультет, аудитория СФА.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан « года.

Ученый секретарь Диссертационного совета, доктор физико-математических наук,

профессор П.А. Поляков

¿og£i 3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований

Стремительный прогресс современной радиотехники и микроэлектроники сопровождается быстрым развитием теории и проектирования волноведущих систем и обладает ярко выраженной тенденцией к исследованию коротковолновой части сантиметрового и миллиметрового диапазона. При изучении волноводно-резонансных процессов в этом диапазоне длин волн возрастает требование к точности проводимых расчетов и характеристик рассматриваемых систем. Размеры волноводных неоднородностей становятся соизмеримы с длиной волны, что требует рассматривать подобные задачи в многомодовом приближении, учитывая, таким образом, высшие типы волн и их дифракционное взаимодействие. Асимптотические методы и методы теории цепей не всегда могут обеспечить необходимую точность, а физический эксперимент часто является достаточно сложным, длительным и дорогостоящим, поэтому на первый план выходит разработка и обоснование математических методов решения волноводных задач в строгой электродинамической постановке.

В последнее время теория волноводов интенсивно развивается. Большое количество научных работ посвящено изучению волновых процессов и явлений, математическому моделированию различных систем и разработке математических методов и алгоритмов их исследования. Ряд основных вопросов математической теории волноводов был разработан в работах А.Н. Тихонова, A.A. Самарского, Г.В. Кисунько, П.Е. Краснушкина, JI.A. Вайнштейна, Б.З. Каценеленбаума. Весьма широкое применение в теории нерегулярных волноводов получил математически обоснованный А.Г. Свешниковым неполный метод Галеркина. Обширный круг задач был решен на основе этого метода и его модификаций в работах A.C. Ильинского, В.П. Моденова и других авторов.

В современной электронике широкое применение находят различные волноведущие системы: многоканальные линии передачи, устройства деления и умножения электромагнитной энергии, многоканальные и многозвенные фильтры, волноводные резонаторы и т.д.

Математическое моделирование физических процессов, происходящих в этих системах, приводит к необходимости постановки, теоретического исследо-

вания и численного решения соответствующих краевых задач для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязных волноводных областях с границами, имеющими критические точки.

Физические и геометрические особенности определяют математическую специфику рассматриваемых краевых задач: бесконечность и многосвязность волноводных областей, учет условий Мейкснера в критических точках границ этих областей, учет при численном решении краевых задач многомодовости и резонансного характера электромагнитных процессов.

Возникает потребность в разработке и обосновании соответствующего математического аппарата, учитывающего эти особенности, в частности, необходимость обобщения хорошо себя зарекомендовавших при решении подобных задач неполного метода Галеркина, проекционного метода сшивания и метода многомодовых матриц рассеяния (метода в-матриц) на многосвязные волноводные области.

Все это определяет актуальность темы диссертации, посвященной математическому исследованию и разработке алгоритмов для численного решения краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязных волноводных двумерных областях с кусочно-постоянными и кусочно-гладкими границами, имеющими критические точки, а также применению построенных алгоритмов при решении конкретных прикладных задач радиофизики и микроэлектроники.

Цели и задачи работы

Основной целью настоящей работы является следующее.

• Математическое исследование краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязных волноводных областях, с границами, имеющими критические точки.

• Разработка, математическое обоснование и численная реализация алгоритма решения исследуемой краевой задачи, основанного на применении интегральных условий проекционного сшивания, для случая многосвязных областей с кусочно-постоянной границей.

• Разработка, математическое обоснование и реализация алгоритма решения рассматриваемой задачи, использующего неполный метод Галеркина и интегральные условия проекционного сшивания, для случая многосвязных областей с кусочно-гладкой границей.

• Использование построенных алгоритмов на практике при решении конкретных радиофизических задач.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту

1. Математическая постановка и решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязных волноводных двумерных областях, с границами, имеющими критические точки.

2. Численные алгоритмы решения данной краевой задачи и их математическое обоснование.

3. Применение рассматриваемых алгоритмов для решения некоторых задач радиофизики и микроэлектроники.

Научная новизна

В данной работе математически поставлена, теоретически исследована и решена численно краевая задача для уравнения Гельмгольца в многосвязных волноводных двумерных областях с кусочно-постоянной и кусочно-гладкой границами, имеющими критические точки, в которых выполнены условия Мейкснера, и кусочно-постоянным или кусочно-непрерывным заполнением. Различия геометрии рассматриваемых многосвязных областей определяют математические особенности используемых алгоритмов. Для областей с кусочно-постоянной границей и кусочно-постоянным заполнением впервые разработан, математически обоснован и реализован алгоритм решения поставленной задачи, основанный на использовании метода нормальных волн с применением проекционных условий сшивания в интегральном виде. Для областей с кусочно-гладкой границей и кусочно-непрерывным заполнением разработан, математически обоснован и численно реализован алгоритм решения рассматриваемой краевой задачи, который опирается на неполный метод Галеркина и проекционные условия сшивания. Для многосвязных областей с

повторяющейся нерегулярностью и кусочно-постоянным заполнением впервые разработан и реализован вычислительный алгоритм решения исследуемой краевой задачи, который базируется на методе многомодовых матриц рассеяния (метод Я-матриц) с использованием проекционного метода сшивания для анализа элементарного базового блока.

Практическая значимость

Приведенные в диссертации алгоритмы реализованы в виде комплекса ЭВМ программ и использованы на практике для решения задач дифракции в нерегулярном и локально-нерегулярном плоском волноводе. Получены новые интересные физические результаты. Разработанные в работе алгоритмы, созданные на их основе программы и полученные результаты могут быть использованы в современной микроэлектронике при математическом моделировании и создании систем автоматизированного проектирования различных устройств СВЧ диапазона (многоканальных делителей и сумматоров мощности, многозвенных фильтров, линий передачи, волноводно-диэлектрических резонаторов, базовых элементов и функциональных узлов систем сверхбыстрой обработки информации на объемных интегральных схемах СВЧ и КВЧ и оптического диапазонов, и других), а также в радиофизике (при исследовании волноводно-резонансных процессов).

Апробация работы

Результаты работы докладывались автором на следующих международных и всероссийских конференциях и школах-семинарах:

• VII Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000». Москва. Апрель 2000.

• XII Всероссийской школе-конференции по дифракции и распространению волн. Москва. Декабрь 2001.

• X Международной школе-семинаре «Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот». Фрязино. Август 2002.

• IX Всероссийской школе-семинаре «Физика и применение микроволн». Звенигород. Май 2003.

• П Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». Самара. Сентябрь 2003.

• III Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». Волгоград. Сентябрь 2004.

• Ш Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике». Москва. Январь 2005.

• XII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов 2005». Москва. Апрель 2005.

• Работа «Компьютерное моделирование плоскослоистых металло-диэлекгрических волноведущих структур», представленная на Всероссийский конкурс научных работ студентов в области телекоммуникаций за 2001 год, награждена дипломом лауреата конкурса IV степени.

Результаты работы докладывались на научных семинарах:

• Семинаре «Численные методы электродинамики» МГУ имени М.В. Ломоносова под руководством профессоров А.Г. Свешникова и A.C. Ильинского. Март 2005.

• Научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ под руководством профессора В.Ф. Бутузова. Март 2005.

Публикация

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 13 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из трех глав, введения, заключения, списка литературы и приложения. Объем работы составляет 114 страниц, включая 16 рисунков, 2 таблицы и список литературы, содержащий 126 работ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор существующих математических методов решения краевых задач для уравнения Гельмгольца в различных волноводных областях. Обосновывается актуальность разработки новых и модификации существующих математических методов и алгоритмов исследования и численного решения краевых задач в многосвязных волноводных областях и областях со сложной геометрией области и границ. Приводится краткое описание содержания диссертации по главам.

Первая глава диссертации посвящена математическому исследованию и решению краевой задачи для уравнения Гельмгольца в многосвязной волноводной области с кусочно-постоянной границей, имеющей критические точки, и кусочно-постоянным заполнением.

В первом параграфе этой главы рассмотрена строгая математическая постановка краевой задачи для уравнения Гельмгольца с граничными условиями Дирихле. Постановка проведена в общем виде с учетом многосвязности области и особенностей границы. Условия излучения на бесконечности, выделяющие единственное решение краевой задачи, сформулированы в виде парциальных условий излучения. Поставлено условие в форме Мейкснера, определяющее поведение решения в окрестности критических точек границы, также необходимое для однозначной разрешимости краевой задачи.

Математическую задачу поставим на примере базовой задачи о разветвлении волновода бесконечной металлической полуплоскостью конечной толщины. Итак, требуется найти решения и(х,г) = и'(х,г), где и(х, г) - компонента электромагнитного поля Еу (х, г), уравнения Гельмгольца:

¿и = Ли(х,г) + к2е' (х,ф(х,г) = 0, 0 = 1,11,III) (1)

в двусвязной области П = 0, ио„ и Ош с границей дП, где

О, = {(дс,г) |0< д: <я, -оо < г < 0}, Й„ = {(х,г) | с < х < с1,0 < г < оо}, Ош ={(х,г)|Ь<х<А, 0<г<оо},

'М-

z< О, sl = 1,

с" , c<x<d, e"\ b<x<h.

z> 0,

Решение будем искать в виде суммы разложений падающего и рассеянного полей по системе нормальных волн:

u(x,z)--

U\x,z) + ¿/WW«-'* ,

л-1

Л.1 n-l

(2)

где А'М,В",С1"- заданные, a R'„,Q",T„m- искомые коэффициенты разложения, причем R' - коэффициенты отражения, T„m - коэффициенты прохождения электромагнитной волны, 1, {<р'„(х)} - системы собственных функций, соответствующие системам собственных значений &'„, задач Штурма-Лиувилля для поперечных сечений S' = const с граничными условиями Дирихле на границе 8SJ:

<pi(4.

las'.

= 0,

где у'„ - {х,х)-{Хп)г - постоянные распространения, к - волновое число. Искомые функции должны удовлетворять: уравнению (1) в двусвязной области О;

граничным условиям Дирихле на идеально проводящих поверхностях:

«(*>г>и=°'> (3)

условиям излучения и возбуждения на бесконечности в виде (2) (в рассеянном поле отсутствуют волны, приходящие из ± °о);

проекционным условиям сшивания в плоскости стыка волноводов, обеспечивающим непрерывность потока энергии:

|(/"(х,г)|2_ой(х)Л+ \иа\х,2)\ут{х)ск,

а

дЦ\х,г)

дг

"ди'(х,г)

«,(*)<& = I--

: ог

&

^ (*)<& = ]-—-

<рЦх)<Ь,

<р™{х)сЫ-,

условию Мейкснера в окрестности критических точек границы дП (в точках изломов боковой поверхности и угловых точках металлических вставок), заключающемуся в требовании ограниченности энергии электромагнитного поля в любой окрестности Ур, содержащей критическую точку.

г,

В пространстве Х2(П) системы собственных функций полны и ортогональны. Нормировка выбирается в следующем виде:

(5)

Характерной особенностью исследуемой краевой задачи является необходимость рассмотрения обобщенного решения, учитывающего многосвязносгь и бесконечность области, и условие Мейкснера в критических точках. Поэтому во втором параграфе также как в работах В.П. Моденова и С.И. Абгалдаева вводится понятие обобщенного решения краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в рассматриваемой области. В третьем параграфе сформулирована и доказана теорема существования и единственности для обобщенного решения.

Теорема. Обобщенное решение и(х,г) задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца (1) в области П существует и единственно.

В четвертом параграфе рассматривается реализация вычислительного алгоритма решения поставленной краевой задачи. Подставляя разложения (2) в

проекционные соотношения (4) и пользуясь условием нормировки (5), получена бесконечная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для определения искомых коэффициентов разложения:

Ах = Ву,

где введены блочные операторы и векторы коэффициентов

(6)

-/? -« I г р а -1 с

А = 0 уа «У , х = я , 5 = 0 ги «у . У = Ъ »

гш 0 /?У г 0 /»V а

«>с = № а II 1- = 1 тт

Элементы матричных операторов имеют вид:

/и/У -/ля<*»:м&, =МС,

с Ь

ат,/Зг- транспонированные к а, р матрицы, I - единичная матрица.

Приближенное решение и" (х,г) = и'ы{х,г) в каждой частичной области ищется в виде конечного ряда:

и-1

л-1 л-!

//щ

Функция и"(х,г) удовлетворяет уравнению Гельмгольца (1), граничным условиям (3), условиям возбуждения и излучения в виде (2). Уравнение (6) решается методом редукции, проводится его замена на приближенное уравнение А„х = В „у, в котором все бесконечные матрицы заменяются на усеченные, а число учитываемых волн в каждом волноводе соответственно равно И1 = Nn + .

В пятом параграфе проводится обоснование сходимости решения редуцированной СЛАУ относительно амплитуд нормальных волн к точному решению задачи. Для амплитуд нормальных волн вводятся координатные

гильбертовы пространства, элементами которых являются бесконечные последовательности комплексных чисел:

где А/2 = К) -(у'„)г ■ Скалярное произведение и норма в пространстве / задаются следующим образом:

Утверждение 1. Для сходимости решения редуцированной СЛАУ относительно амплитуд нормальных волн А„х = В„у к точному решению задачи достаточно существования и непрерывности обратного оператора А'1 рассматриваемой системы (6) в координатном пространстве .

Вторая глава диссертации посвящена математическому исследованию и решению краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязной волноводной области с кусочно-гладкой границей, имеющей критические точки.

В первом параграфе проведена физическая и математическая постановка краевой задачи. Рассматривается задача о распространении электромагнитной волны #ш в нерегулярном волноводе, состоящем из трех частей: регулярный полубесконечный волновод А шириной а соединяется с нерегулярным переходным участком I длинной I, который в свою очередь соединяется с волноводом шириной А, разветвленным серией металлических вставок конечной толщины I на М регулярных полубесконечных волноводов В} шириной Ьг ) = 1,2,. ..А/.

Требуется найти решение уравнения Гельмгольца и(х,г) = Еу{х,г):

П = {(х,г)[ 0<х< -оо<г<оо}, *•(*) = Шг), 0<^<г/,

А, / < г < ао

где L(z) - уравнение боковой поверхности переходного участка;

K\x,z) = k1e (x,z), к = -, e(x,z) = с

ел, -оо<г<0, О^хйа eL, Oiz^l, 0£x£L(z)

е', l<z<оо, xj^x£Xj+bj s(x,z)- в общем случае комплексная кусочно-постоянная функция координат, функция ¿(г) выбирается исходя из влияния геометрии переходного участка на величину коэффициента отражения падающей волны:

al+(h-a)z

I

(8)

Искомое решение должно удовлетворять следующим условиям: граничному условию Дирихле на границе дС1 области П:

и(х,2)\/л=0; условиям возбуждения и излучения:

л-1

ив'{х,г)х^х<,х^Ьр Г>/, у = 1,2,...А/

л-1

где неизвестные коэффициенты отражения и прохождения, <р*(х),<р*' (х) -

собственные функции волновода А и каждого из волноводов В];

условиям сопряжения (г, = 0, г2 = / - плоскости сочленения подобластей):

(9)

(10)

du(x,z)

дп

8u{x,z)

1ц-О

дп

(П)

условию Мейкснера в окрестности критических точек границы дС1:

г))2 + |«(х, г)|г ){1У < со, (12)

где Ур - любая окрестность, содержащая критическую точку.

Во втором параграфе рассматривается численный алгоритм решения краевой задачи. Приближенное решение задачи строится на основе неполного метода Галеркина, применение которого к задаче дифракции в нерегулярном волноводе было разработано в работах А.Г. Свешникова. В этом методе краевая

задача дня уравнения в частных производных сводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Суть приближенного метода решения краевой задачи заключается в формулировке системы условий ортогональности обеспечивающей выполнение в энергетическом смысле условий сшивания в плоскости сочленения волноводов и граничных условий на стенках.

Представление для приближенного решения в области нерегулярности выбирается по системе функций, не зависящих от формы волновода. Для этого за счет перехода к другой системе координат производится отображение внутренней области волновода с нерегулярностью на регулярную полосу ^-{(£>'?)( -со<7<оо| станицей дП.

Координаты преобразуются следующим образом:

с _ X _ . X

т' т'

т.е. имеет место следующий переход

х .

—; -оо<»;<0 а

—; 0<77</

т

7; 1<ч«о п

(а!+(Н-а)т1)* а1+(к-а)п д/ + (А-ар) х=---, г = /7, ¿(7) =---, ./ =---,

где ] - якобиан перехода к новым координатам.

В новых координатах уравнение Гельмгольца будет выглядеть следующим образом:

(о/ + (й-а)77)2 д£2 (а1+(И-а)т}) д@т) дг}2

(а-И)2 ди^ч) 2 (а/+(й-в)7)2 ь ь '

(13)

Граничные условия Дирихле на границе дП области Й:

ч*£.Ч%е=0- (14)

Условия излучения и возбуждения в новых координатах:

иА(£,п) = + 1 0*4*1, г]<0, и0=1,

и-1 л

Приближенное решение уравнения (13) с граничным условием (14) и условиями (15) будем искать в виде ряда:

(16)

л-1

где = 8т>гл£ - нормированные собственные функции поперечных сечений г)=0, г; = I, N - количество гармоник; Д, (77) - неизвестные коэффициенты.

Система дифференциальных уравнений относительно неизвестных коэффициентов 4,(7) (п = \,2...Ы) получается из требования ортогональности дифференциального оператора приближенного решения Циы] к первым N функциям <ря(4) ■ Имеет место соотношение:

)ци№,п)]<рт(£)М4 = |(Д4 (#,7)+к2е({, (#, пШ (О Щ = 0. (17)

о о

Система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

т = 1,2,... N. (18)

п>|

где коэффициенты представлены следующими выражениями: {а-Ь)

К =

при т = п

(Ы + ф-а) 7)' (-1)2т----—> —;—Ц-, при тФп,

(19)

2 2Г /2 1 (а-Н)г ] 1 (я-/»)2 ,2 . ж и -г+--^--г- +--ь---т-к е(£,п),прит = п

. 2(в-А)2 А /1(-1)" Л 4и2

(—1) 2«—--—г> —, , 1 + —;-г ,ит/т*л.

Граничные условия для системы дифференциальных уравнений получим с помощью применения проекционных условий сшивания в сечениях 7 = 0 и 7 = I. В сечении 7 = 0 имеют место интегральные соотношения:

о ч- о

'.Я..А,

г

■34(4,п)

дп

г» I оп

7-0

в сечен™ т/=1:

7)| ¿'«Ж- ¿'«У*

>н

1-

а«

•и

дп

4=1

Окончательно краевая задача для системы дифференциальных уравнений имеет вид:

Д. "(V)=¿Хл^к хт!)+^(ч)Ат,

1[5л„4'(0)+с„Д(0)]=»;,

/1-1

I[ДА'(О + 0„Д(/)] = 0, т = \,7,...Ы.

Далее с помощью векторного преобразования краевая задача приводится к удобному для применения численных методов виду и решается методом прогонки.

В третьем параграфе проводится исследование существования и единственности приближенного решения краевой задачи. Основываясь на логике работ А.Г. Свешникова для точного и для приближенного решения выводится энергетическое соотношение вида:

Пользуясь далее аналогичностью энергетического соотношения для точного и для приближенного решений краевой задачи, рассматриваются условия ограниченности, при выполнении которых можно говорить о существовании и единственности приближенного решения.

Утверждение 2. Решение задачи (7-12) существует и единственно, при этом приближенное решение, строится по модифицированной схеме неполного метода Галеркина.

В четвертом параграфе доказана сходимость приближенного решения и* (£,*/) к точному решению краевой задачи и(£,г}) в пространстве Для этого проводится оценка функции 7) = «(£,7)7) при #-»<». Для функции иг]) выводится соотношение аналогичное соотношению энергетического типа для приближенного решения и доказывается его стремление к нулю при Л' -> да, откуда следует сходимость в среднем приближенного решения к точному.

Утверждение 3. Приближенное решение «„(£,7) сходится к точному решению и(#,7) краевой задачи в пространстве ¿¡.

Третья глава посвящена применению представленных алгоритмов при решении некоторых физических задач, в частности при исследовании явления резонансной дифракции и при моделировании устройств СВЧ, в том числе базовых элементов систем сверхбыстрой обработки информации на объемных интегральных схемах СВЧ и КВЧ диапазонов. Первый параграф иллюстрирует многообразие применений в современной микроэлектронике волноведущих структур, включающих в себя разветвления и скачкообразные нерегулярности. Приводится обзор многоканальных волноведущих устройств: делителей и сумматоров мощности, фильтров.

Во втором параграфе рассматриваются результаты моделирования реальных структур, проводится их теоретическое исследование, сравнение с результатами, полученными другими методами, и физическим экспериментом.

На примере ключевой задачи о ступенчатом сочленении волноводов в разделе 2.1 второго параграфа проведено исследование'явления «относительной сходимости» (т.е. сходимости редуцированных решений к различным пределам в зависимости от выбранного способа усечения подсистем СЛАУ). Исследование показало, что наилучший результат получается, если отношение числа волн, взятых в волноводах, будет равно отношению их поперечных сечений.

При исследовании дифракции волны Н10 на "нижней ступеньке" в волноводе проведено сравнение результатов полученных с помощью алгоритма первой главы, базирующегося на проекционном методе сшивания (ПМС), с результатами, полученными другими методами: методом моментов (ММ) и методом полуобращения матричных уравнений (МПО) (рис. 1). Отношение поперечных

сечений волноводов и длина волны при расчетах фиксируются: ад/а = 0,501 , /с = а/Я = 1,3. Сравнение трех методов показало, что используемый алгоритм обеспечивает хорошую сходимость и достаточную точность результатов.

Рис. 1. График зависимости модуля коэффициента отражения ¡Л| от порядка N усечения СЛАУ при расчетах разными методами. ПМС - белые кружки, ММ -0 5 ю 15 я ж к черные точки, МПО - крестики.

При моделировании двухканального волноводно-диэлекгрического резонатора (ВДР) в разделе 2.2 второго параграфа проведено сравнение полученных результатов с физическим экспериментом. Рассматривается волновод шириной 23 мм, разделенный металлической полуплоскостью толщиной 0,3 мм на два волновода шириной 12,1 и 10,6 мм с частичным диэлектрическим заполнением еп =еш =2,25. На рис. 2 представлена амплитудно-частотная характеристика

двухканального ВДР, где коэффициент передачи а = 10^(1 .

Экспериментальная кривая обозначена черными точками, кривая, посчитанная с помощью ПМС - белыми кружками Из рисунка видно, что расчетные и экспериментальные данные находятся в хорошем соответствии, точно совпадает резонансная частота (/0 = 10,6 ГГц) и значения коэффициента передачи.

В разделе 2.3 представлены результаты моделирования двухканальных и трехканальных делителей и сумматоров мощности. В основу алгоритма расчета заложен алгоритм, рассмотренный во второй главе.

В разделе 2.4 приведены результаты расчета волноведущих систем, состоящих из последова-

А и

/.ГГц

тельности идентичных волноводных узлов. Рис. 2. Амплитудно-частотная характеристика двухканального ВДР. Сравнение с экспериментальными данными.

Рассматривается задача расчета многозвенных фильтров на одиночных и сдвоенных ленточных диафрагмах. Используемый вычислительный алгоритм основан на применении комбинации проекционного метода сшивания и метода декомпозиции (метода в-матриц). На рис. 3 представлены графики зависимости величины I = -Ю^,!2 от частоты /. Для фильтра на одиночных диафрагмах (см. рис. 3, а) проведено сравнение расчетной кривой (сплошная линия) с физическим экспериментом (кружки) и результатами другого метода (квадраты). Для фильтра на двойных диафрагмах (см. рис. 3, б) исследуется влияние на расчетную кривую изменения расстояния по вертикали между металлическими вставками ((к). При увеличении расстояния между вставками прослеживается сужение полосы пропускания фильтра и значительное уменьшение глубины пика. Параметры волноводов: ширина 7,2 мм; толщина одиночных металлических вставок 0,05 мм; толщина двойных металлических вставок 0,007 мм; расстояние между металлическими вставками и длины вставок р, могут варьироваться, влияя в свою очередь на различные характеристики исследуемых фильтров.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе.

а) б)

Рис. 3. Амплитудно-частотная характеристика структуры с пятью металлическими включениями: а - фильтр на одиночных ленточных диафрагмах, б -фильтр на двойных ленточных диафрагмах (<к = 0,36 мм-линия = 0,66 мм - линия II; с1с = 1,36 мм -линия III; ¿с = 3,36 мм -линия IV).

Основные результаты

1. Математически поставлена и решена краевая задача для уравнения Гельмгольца в многосвязных волноводных областях, с границами, имеющими критические точки, в которых выполнены условия Мейкснера, и кусочно-непрерывным заполнением.

2. Для областей с кусочно-постоянной границей и кусочно-постоянным заполнением разработан, математически обоснован и реализован алгоритм решения этой задачи, основанный на проекционных условиях сшивания, записанных в интегральном виде.

Доказана теорема существования и единственности обобщенного решения 1фаевой задачи.

Доказана сходимость численного решения редуцированной системы линейных алгебраических уравнений к точному решению задачи.

3. Для областей с кусочно-гладкой границей и кусочно-непрерывным заполнением разработан, математически обоснован и численно реализован алгоритм решения рассматриваемой задачи, в основе которого лежит неполный метод Галеркина с применением интегральных проекционных условий сшивания.

Доказаны существование и единственность приближенного решения. Доказана сходимость приближенного решения к точному решению краевой задачи в пространстве .

4. Получены новые физические результаты с использованием численной реализации рассматриваемых алгоритмов решения краевой задачи.

5. Проведено исследование предлагаемой математической модели на примере многоканальных делителей мощности и многозвенных фильтров, а также сравнение полученных результатов вычислений с данными физического эксперимента и результатами других вычислительных методов.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова Владимиру Павловичу Моденову за научное

руководство, многочисленные плодотворные дискуссии на всех этапах работы, постоянное внимание и поддержку.

Хотелось бы также выразить искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, доценту Андрею Леонидовичу Делицыну за научное сотрудничество, помощь и ценные советы.

Автор благодарна руководителям семинара «Численные методы электродинамики» профессорам А.Г. Свешникову и A.C. Ильинскому и всем участникам, за внимание к работе и полезные замечания, а также всем сотрудникам кафедры математики физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Крюкова Ю.Ю. (Петрова) Двумерная задача дифракции на скачкообразных волноводных нерегулярностях // VII Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000». Сборник тезисов. - М.: Физический факультет МГУ, 2000.-С. 276.

2. Крюкова Ю.Ю. (Петрова), Моденов В.П. Проекционный метод сшивания в теории плоского нерегулярного волновода // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2001. -Т. 41, №9. - С. 1422-1428.

3. Крюкова Ю.Ю. (Петрова), Моденов В.П. Задача дифракции на скачкообразных металлодиэлекгрических волноводных нерегулярностях // Труды XII Всероссийской школы-конференции по дифракции и распространению волн. - М.: МФТИ (ГУ), 2001. - Т.2. - С. 376-380.

4. Крюкова Ю.Ю. (Петрова), Моденов В.П. Краевая задача для уравнения Гельмгольца в многосвязной волноводной области с кусочно-постоянной границей // Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия. - 2002. - №3. - С. 36-40.

5. Крюкова Ю.Ю. (Петрова), Моденов В.П. Электродинамический анализ скачкообразных нерегулярностей плоского волновода // Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот. - 2002. - Т. 10, №2 (34). - С. 71-72.

6. Моденов В.П., Петрова Ю.Ю. Задача о резонансной дифракции в многосвязных волноводных областях // Труды IX Всероссийской школы-

семинара «Физика и применение микроволн». - М.: Физический факультет МГУ,2003.-Т.1. -С.65-66.

7. Моденов В.П., Петрова Ю.Ю. Задачи дифракции в электродинамике плоскослоистых металлодиэлектрических волноведущих структур // Прилож. к журн. «Физика волновых процессов и радиотехнические системы». - 2003. - С. 249.

8. Моденов В.П., Петрова Ю.Ю. Математическое моделирование резонансной дифракции в волноведущих металлодиэлектрических структурах // Прилож. к журн. «Физика волновых процессов и радиотехнические ' системы». - 2004. - С. 125-126.

9. Моденов В.П., Петрова Ю.Ю. Математическое моделирование » многоканальных волноводных делителей мощности // Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот. - 2004.- Т. 12, №2-4(40).-

С. 77-83.

Ю.Моденов В П., Петрова Ю.Ю. Математическое моделирование волноведущих систем из последовательности базовых блоков // Третья всероссийская конференция «Необратимые процессы в природе и технике». Тезисы докладов. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005.-С. 135-136.

11. Моденов В.П., Петрова Ю.Ю. Расчет волноводно-резонансных систем из последовательности базовых блоков // Труды Третьей всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике». - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. - С. 190-198.

12.Моденов В.П., Петрова Ю.Ю Математическое моделирование волноводных многоканальных сумматоров и делителей // Прилож. к журн. «Физика волновых процессов и радиотехнические системы». - 2005. - С. 140-141.

13. Петрова Ю.Ю. Решение уравнения Гельмгольца в многосвязных волноводных областях // XII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов 2005». - М.: Физический факультет МГУ, 2005. - Т. 1 - С 113-114.

Подписано к печати &.ОЭ &£> Тираж У О О Заказ

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

.2,00 c ft

£363

»- 53 63

Введение

Глава 1. Решение уравнения Гельмгольца в многосвязных волноводных областях с кусочно-постоянной границей.

1.1 Математическая постановка краевой задачи.

1.2 Понятие обобщенного решения краевой задачи.

1.3 Теорема существования и единственности обобщенного решения краевой задачи.

1.4 Вычислительный алгоритм решения краевой задачи.

1.5 Обоснование сходимости алгоритма.

Выводы первой главы.

Глава 2. Решение уравнения Гельмгольца в многосвязных волноводных областях с кусочно-гладкой границей.

2.1 Физическая и математическая постановка краевой задачи.

2.2 Численный алгоритм решения краевой задачи.

2.3 Исследование существования и единственности приближенного решения краевой задачи.

2.4 Исследование сходимости приближенного решения к точному.

Выводы второй главы.

Глава 3. Некоторые радиофизические приложения.

3.1 Общие положения.

3.1.1 Делители и сумматоры.

3.1.2 Фильтры.

3.2 Результаты моделирования волноведущих структур, включающих в себя разветвления и скачкообразные нерегулярности.

3.2.1 Моделирование ступенчатого сочленения волноводов и анализ полученных результатов.

3.2.2 Моделирование волноводно-диэлектрического резонатора.

3.2.3 Моделирование многоканальных делителей мощности.

3.2.4 Моделирование многозвенных фильтров и волноведущих структур, состоящих из последовательности базовых блоков.

Диссертационная работа посвящена математическому исследованию и численному решению краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязных волноводных двумерных областях с бесконечными границами, имеющими критические точки.

Стремительный прогресс современной радиотехники и микроэлектроники сопровождается быстрым развитием теории и проектирования волноведущих систем и обладает ярко выраженной тенденцией к исследованию коротковолновой части сантиметрового и миллиметрового диапазона. При изучении волноводно-резонансных процессов в этом диапазоне длин волн возрастает потребность в точности проводимых расчетов и характеристик рассматриваемых систем. Размеры волноводных неоднородностей становятся соизмеримы с длиной волны, что требует рассматривать подобные задачи в многомодовом приближении, учитывая, таким образом, высшие типы волн и их дифракционное взаимодействие. Асимптотические методы и методы теории цепей не всегда могут обеспечить необходимую точность, а физический эксперимент часто является достаточно сложным, длительным и дорогостоящим, поэтому на первый план выходит разработка и обоснование математических методов решения волноводных задач в строгой электродинамической постановке.

В современной электронике широкое применение находят различные волноведущие системы: многоканальные линии передачи, устройства деления и умножения электромагнитной энергии, многоканальные и многозвенные фильтры, волноводные резонаторы и другие устройства.

Математическое моделирование физических процессов, происходящих в этих системах, приводит к необходимости постановки, теоретического исследования и численного решения соответствующих краевых задач для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязных волноводных областях с границами, имеющими критические точки.

Физические и геометрические особенности области и границ определяют математическую специфику рассматриваемых краевых задач: бесконечность и многосвязность волноводных областей, учет условий Мейкснера в критических точках границ этих областей, учет при численном решении краевых задач многомодовости и резонансного характера электромагнитных процессов.

Возникает потребность в разработке и обосновании соответствующего математического аппарата, построении эффективных математических моделей, учитывающих эти особенности, в частности, необходимость обобщения хорошо себя зарекомендовавших при решении подобных задач численных методов на многосвязные волноводные области.

Теория регулярных и нерегулярных волноводов как самостоятельное направление исследований в прикладной электродинамике начала развиваться ещё в 50-х годах прошлого века в связи с интенсивным развитием радиолокационной (техники, электроники и освоением дециметрового и сантиметрового диапазона электромагнитных волн. Результаты теоретических и экспериментальных исследований волноведущих систем того периода отражены в обширной литературе, в частности, в монографиях [1-6], справочниках [7,8], многочисленных периодических изданиях [9-21]. В них приведены сведения о собственных волнах волноводов различных поперечных сечений, об особенностях распространения электромагнитных волн, точные и приближенные методы расчета, эквивалентные схемы различных волноводных нерегулярностей в теории цепей и т.д.

Начало строгой математической теории волноводов было положено в классических работах А.Н. Тихонова и А.А. Самарского [11-13]. В работе [И] строго доказано, что любое поле в регулярном волноводе в области, свободной от внешних токов и зарядов, может быть представлено в виде суперпозиции ТЕ и ТМ волн. В работах [12,13] проведены фундаментальные исследования, послужившие основой для создания строгой математической теории возбуждения радиоволноводов произвольным распределением заданного тока. Большой вклад в развитие математических методов исследования и расчета дифракции электромагнитных волн в различных волноведущих системах внесли работы П.Е. Краснушкина, Г.В. Кисунько, J1.A. Вайнштейна [2,9,10,14]. В работах А.Г. Свешникова [20,21] впервые были предложены условия излучения, получившие название парциальных. Данный подход позволил при определенных условиях выделять единственное решение задачи дифракции электромагнитных волн на неоднородностях в волноводе. Установленные теоремы необходимы при строгой математической постановке и дальнейшем численном решении рассматриваемых задач.

Таким образом, можно сказать, что после фундаментальных работ указанных авторов и ряда других ученых высокочастотная электродинамика волноведущих систем превратилась в интенсивно развивающуюся строгую математическую теорию, определившую новое научное направление в математической физике.

Одновременно с развитием математической теории волноведущих систем развивались и численные методы их расчета. Решение задач распространения и дифракции электромагнитных волн на различных нерегулярностях в волноводе сводится к постановке и решению соответствующих краевых задач с учетом граничных условий и условий излучения [22-24]. Выбор математических методов решения поставленной краевой задачи прежде всего зависит от типа нерегулярности в рассматриваемой волноведущей области (волноводе) [25-27]. Эти нерегулярности носят обычно локальный характер, они могут быть сосредоточены в области порядка поперечных размеров волновода.

Если нерегулярный волновод мало отличается от регулярного или можно выделить какой-либо малый параметр, то достаточно эффективно применение методов, использующих асимптотические свойства решения при стремлении параметра малости к нулю [6]. Для расчета нерегулярных волноводов используются различные математические методы. Например, метод поперечных сечений [6], в котором требуется знание системы собственных функций соответствующей спектральной задачи в каждом сечении волновода, что делает это метод сложным для реализации в случае произвольной формы боковой поверхности волновода и ограничивает применимость метода достаточно частными случаями.

Достаточно распространено использование на практике метода частичных областей, позволяющего получать решение краевых задач для сложных областей, состоящих из простых подобластей. Формальная схема этого метода для задачи рассеяния на ступенчатом стыке двух произвольных волноводов была рассмотрена ещё в 1947 года Г.В. Кисунько [9]. Этот метод и его модификации применяются для расчета волноведущих систем, как с координатными, так и с некоординатными границами [4,9,28,44,45].

Весьма широкое применение для исследования нерегулярных волноводов получил предложенный и обоснованный А.Г. Свешниковым неполный метод Галеркина [15-19, 29-32]. Этот метод позволяет свести решение исходной краевой задачи к краевой задаче для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. На основе этого метода построены алгоритмы численного моделирования широкого класса волноведущих систем. Большой круг задач теории волноводов, в том числе с разной формой боковой поверхности и разными граничными условиями, с различным неоднородным заполнением внутренней области был решен при использовании неполного метода Галеркина и ряда его модификаций в работах А.С. Ильинского, В.П. Моденова и других авторов [33-39].

Для математического моделирования волноведущих структур различного типа, в частности со сложной формой боковой поверхности, где бывает трудно найти собственные волны для разложений полей, а также с неоднородным и анизотропным заполнением, весьма эффективно применение конечно-разностных методов и метода конечных элементов [40,43].

Отдельное место в решении волноводных задач занимает метод интегральных уравнений и его различные варианты [41,42,46,47]. Традиционно применяется ряд способов сведения исходной краевой задачи к интегральному уравнению. Так, например, интегральное уравнение можно получить с помощью формул Грина при сшивании представлений полей на границах частичных областей. Различные модификации рассматриваемого метода позволяют обойти ряд трудностей, которые могут возникнуть при решении рассматриваемых краевых задач с помощью других методов, применение которых порой бывает весьма трудоемким. Так, например, методом интегральных уравнений исследована разрешимость задачи дифракции на магнитодиэлектрическом теле [46].

Для решения волноводных задач в зависимости от ряда факторов применяются также вариационные методы [5], численно-аналитические методы [4,48,62,94], прямые проекционные методы [25,37,45,49-58] и другие.

При наличии в волноводе металлодиэлектрических нерегулярностей или частичного диэлектрического заполнения возникает необходимость обобщения традиционных подходов и методов на случай учета потерь в диэлектрике [59] или разработки дополнительного математического аппарата [26,27,60,61, 79,81,93]. Так для определения параметров частично заполненного волновода обычно достаточно исследовать его дисперсионное уравнение. К сожалению, такая возможность отсутствует в отношении большинства практически используемых волноводов, так как не всегда соответствующая задача имеет аналитическое решение.

Интересная специфика прослеживается при математическом моделировании волноведущих структур, содержащих нерегулярности с ребрами. В частности к ним относятся ступенчатые скачки поперечного сечения волновода, сочленения волноводов различного типа поперечного сечения (круглый и прямоугольный), системы щелей, различные диафрагмы и другие. При их моделировании возникает необходимость учета сингулярных особенностей полей в окрестности ребра (условия Мейкснера) [4,64]. Интерес к решению и разработке математических методов решения задач с ребрами стимулировался потребностями практики с самого начала развития математической теории волноводов. К настоящему моменту в этом вопросе накоплен значительный опыт, отраженный в обширной литературе [4,9,25,45,48,54-56,58,65,78,80,82,91].

В особый класс задач выделяется математическое моделирование волноводных узлов, имеющих в своей конфигурации сложную геометрию волноведущей области и границ: многоканальные разветвления бесконечными металлическими полуплоскостями как бесконечно тонкими, так и обладающими конечной толщиной, продольные и поперечные диафрагмы, последовательности одиночных и двойных ленточных диафрагм и т.д. Некоторые из таких структур представлены на рис. В. 1. Ню 7 а

-г-

Cl

U 1ш и

Рис. В.1. Различные типы многосвязных волноведущих областей: а) - разветвление волновода бесконечно тонкой идеально проводящей полуплоскостью; б) - разветвление волновода идеально проводящей полуплоскостью конечной толщины (делитель); в) - двойное разветвление волновода с добавлением переходного устройства (переходное устройство в данном случае описано линейной функцией); г) - каскадное разветвление волновода; д) -волноведущая система с разворотом (со стенкой и диэлектрическим заполнением); е) -волноведущая система с разворотом (без стенки); ж) - сочленение разветвленного и регулярного волновода (сумматор); з) - последовательность одиночных ленточных диафрагм конечной толщины в волноводе; и) - последовательность двойных ленточных диафрагм конечной толщины в волноводе. Черные области - металл, разной штриховкой показаны различные диэлектрические заполнения областей. #|0- подающая волна.

Эти задачи крайне важны в современной микроэлектронике и волноводной технике. Основываясь на них можно реализовать различные устройства: делители и сумматоры, линии передачи, многозвенные фильтры, волноводные резонаторы и волноведущие системы с разворотами [63,65-77,8387,92].

Все рассматриваемые области обладают свойством многосвязности (см. рис. В.1), тем самым, определяя математическую специфику решения соответствующих краевых задач. Наличие у областей свойства многосвязности и бесконечности, а также критических точек границ вносит дополнительные трудности в математическое исследование, так, в частности, для электромагнитных полей в критических точках должны выполняться дополнительные условия (условие в форме Мейкснера) [4,64]. Для исследования данного класса задач применялись различные математические подходы и методы, с учетом указанных особенностей разрабатывались специальные численные алгоритмы.

К примеру, в [4] при использовании метода Винера-Хопфа решена задача о разветвлении в волноводе. Рассматривается разветвление основного волновода бесконечно тонкой полуплоскостью на две полубесконечные области в Н - плоскости при возбуждении их волной #10, падающей из области основного волновода. Таким образом, в данном случае изучается некая идеальная модель без анализа конечной толщины полуплоскости разветвления и условий на ребре. Однако реальные структуры содержат неоднородности, обладающие конечной толщиной, в связи с чем, возникает необходимость её учета.

В работе [88], используя некоторые результаты [90], рассматривается задача дифракции электромагнитной волны на идеально проводящей полубесконечной пластине конечной толщины (случай Е-поляризации). Найдено аналитическое решение задачи в виде двух перекрывающихся разложений по прямым и обратным степеням электрической толщины пластины.

В качестве примера использования полученного решения выписана асимптотика коэффициента отражения от открытого конца волновода с толстыми стенками.

Разветвление на три канала в Е-плоскости рассматривается авторами [89]. Задача решалась методом Винера-Хопфа. Функциональные уравнения были получены методом Джонса, когда преобразование Фурье применяется непосредственно к волновому уравнению, причем граничные условия накладываются на преобразование Фурье, а не на сами функции. В работе получены выражения для полей.

Дифракция волн на разветвлениях плоских нерегулярных волноводов исследуется в работе [62]. Решение задачи ведется на основе следующего подхода. Используется модификация метода полуобращения, предназначенная для расчета дифракции волн в плавнонерегулярных волноводах с произвольным законом нерегулярности, содержащих также скачкообразные неоднородности специального вида. Идея данного подхода состоит в том, что при помощи неполного метода Галеркина задача дифракции сводится к краевой задаче для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в граничных условиях к которой матричные операторы в качестве главной части содержат матричные операторы специального типа.

Ряд важных исследований в этой области проведен А.С. Ильинским и его учениками. В работах [56,86,87] с использованием методик, применяемых к задачам с ребрами, рассмотрена задача о разветвлении волновода полуплоскостью конечной толщины.

Вопросов многоканального разветвления волновода касаются в своей монографии и авторы [25].

Однако, несмотря на приведенные примеры, к настоящему времени изучению задач распространения и дифракции электромагнитных волн в многосвязных волноводных областях уделено не достаточно внимания, в то время как многообразие технических применений волноведущих структур стимулирует проведение более точных теоретических исследований и разработки вычислительных алгоритмов на основе строгих математических моделей.

Исследование физических процессов, происходящих в описываемых структурах в двумерном случае, приводит к необходимости постановки и решения соответствующей краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязной бесконечной области с границами, обладающими критическими точками, в которых выполнено условие Мейкснера [4,64]. До сих пор данная математическая проблема рассматривалась лишь в частных случаях. Не было проведено полного теоретического исследования краевой задачи для различного типа границ и различного диэлектрического заполнения, не всегда должное внимание уделялось выполнению условия Мейкснера в критических точках.

В настоящей диссертационной работе проводится математическая постановка, исследование и решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в бесконечной многосвязной волноводной области с кусочно-постоянной и кусочно-гладкой границами, обладающими критическими точками, в которых строго учитывается условие Мейкснера, заключающееся в требовании конечности энергии электромагнитного поля в любом ограниченном объеме Vp, содержащем критическую точку. С учетом особенностей типа границы многосвязной области [95-99,101,103,107,108] и заполняющей среды в диссертации разработаны вычислительные алгоритмы решения поставленной краевой задачи, а также проведено их строгое математическое обоснование [5,15,32,34,51,54,56,86,100,102-108,109-112, 115,117,122,125].

Диссертационная работа посвящена изучению следующих задач: 1. Математическое исследование краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязных волноводных областях, с границами, имеющими критические точки.

2. Разработка, математическое обоснование и численная реализация алгоритма решения исследуемой краевой задачи, основанного на применении интегральных условий проекционного сшивания, для случая многосвязных областей с кусочно-постоянной границей.

3. Разработка, математическое обоснование и реализация алгоритма решения рассматриваемой задачи, использующего неполный метод Галеркина и интегральные условия проекционного сшивания, для случая многосвязных областей с кусочно-гладкой границей.

4. Использование построенных алгоритмов на практике при решении конкретных практических задач в радиофизике (исследование волноводно-резонансных процессов) и микроэлектронике (математическое моделирование делителей и сумматоров мощности, многозвенных фильтров и базовых элементов и функциональных узлов систем сверхбыстрой обработки информации на объемных интегральных схемах СВЧ и КВЧ и оптического диапазонов [66,67]).

Работа состоит из 3 глав, введения, заключения, списка литературы и приложения. Объем работы составляет 114 страниц, включая 16 рисунков, 2 таблицы и списка литературы, содержащего 126 работ.

Перейдем к краткому описанию содержания работы.

Первая глава диссертации посвящена решению краевой задачи для уравнения Гельмгольца в многосвязной волноводной области с кусочно-постоянной границей и кусочно-постоянным заполнением. В первом параграфе этой главы рассмотрена строгая математическая постановка краевой задачи для уравнения Гельмгольца с граничными условиями Дирихле. Постановка проведена с учетом многосвязности области и особенностей границы, определено множество критических (особых) точек границы. Условия излучения на бесконечности, выделяющие единственное решение краевой задачи, сформулированы в виде парциальных условий излучения. Поставлено условие в форме Мейкснера, определяющее поведение решения в окрестности критической точки границы, также необходимое для однозначной разрешимости краевой задачи. Во втором параграфе вводится понятие обобщенного решения краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в рассматриваемой области. В третьем параграфе сформулирована и доказана теорема существования и единственности для обобщенного решения. Далее в четвертом и пятом параграфах рассматривается реализация и обоснование сходимости вычислительного алгоритма решения поставленной краевой задачи. Построение алгоритма проводится на примере ключевой задачи о распространении и дифракции электромагнитной волны #10 на разветвлении плоского волновода полуплоскостью конечной толщины. Математическая задача заключается в нахождении решения уравнения Гельмгольца в указанной многосвязной области. Причем решение должно удовлетворять граничному условию Дирихле на идеально проводящих поверхностях, условиям излучения и возбуждения на бесконечности, интегральным проекционным условиям сшивания в плоскости стыка частичных областей, условиям Мейкснера [4] в критических точках границ. Алгоритм базируется на использовании метода частичных областей с представлением электромагнитных полей в каждой частичной области в виде разложения по нормальным волнам [14] соответствующего волновода. Коэффициенты разложения находятся из бесконечной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), получаемой при применении интегральных проекционных соотношений сшивания [49,50,54,56]. Эти интегральные соотношения позволяют учесть условие в критических точках границ, условия сопряжения и граничное условие на участках металлической поверхности в плоскости сшивания электромагнитных полей, являющейся границей частичных областей. Полученная бесконечная система линейных алгебраических уравнений решается методом редукции. В пятом параграфе проведено обоснование сходимости решения редуцированной СЛАУ к точному решению краевой задачи. Известно, что для сходимости последовательности приближенных решений к точному решению краевой задачи достаточно непрерывности обратного оператора рассматриваемой системы уравнений А'1 в координатном пространстве амплитуд нормальных волн /,. В конце приведены выводы первой главы.

Вторая глава посвящена решению уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязных волноводных областях с кусочно-гладкой границей. В первом параграфе второй главы представлена физическая и математическая постановка задачи распространения и дифракции электромагнитной волны #10 в нерегулярном волноводе (плоский случай). Решение краевой задачи сводится к отысканию решения уравнения Гельмгольца во внутренней области волновода, удовлетворяющего граничному условию первого рода. Это решение должно также удовлетворять парциальным условиям возбуждения и излучения, условию в критических точках границ (условие Мейкснера) и условиям сопряжения на границах частичных областей. Во втором параграфе описывается численный алгоритм решения поставленной задачи. Алгоритм базируется на применении неполного метода Галеркина [15], однако тот факт, что рассматриваемая область является многосвязной, требует дополнения используемого метода интегральными проекционными соотношениями сшивания [54,86]. Рассматриваемый нерегулярный волновод отображается на регулярную полосу за счет перехода к другой системе (в общем случае не ортогональных) координат. Далее, применяя неполный метод Галеркина и проекционные условия сшивания, накладываемые на границах подобластей, рассматриваемая краевая задача сводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решается методом прогонки [113]. Пользуясь аналогичностью энергетического соотношения для точного и для приближенного решений поставленной краевой задачи, в третьем параграфе проводится исследование существования и единственности приближенного решения. В четвертом параграфе исследуется сходимость приближенного решения к точному при стремлении N -»оо. В конце сделаны выводы по результатам второй главы.

Третья глава посвящена некоторым применениям представленных алгоритмов в радиофизике при исследовании явления резонансной дифракции и микроэлектронике при моделировании и проектировании устройств СВЧ, в частности базовых элементов систем сверхбыстрой обработки информации на объемных интегральных схемах СВЧ и КВЧ диапазонов [66,67]. В первом параграфе рассматривается многообразие практических применений многоканальных волноведущих устройств, дается классификация делителей и сумматоров мощности, фильтров. Во втором параграфе рассматриваются частные случаи моделирования реальных устройств, их теоретические исследования, сравнение с результатами, полученными другими методами, и физическим экспериментом. Второй параграф разделен на несколько подпунктов, в которых отражены результаты исследований. Проведено математическое моделирование и анализ результатов на примере ступенчатого сочленения волноводов, волноводно-диэлектрического резонатора, многоканальных делителей мощности. Приведены результаты расчета многозвенных фильтров на одиночных и сдвоенных ленточных диафрагмах. Используемый вычислительный алгоритм базируется на применении комбинации проекционного метода сшивания [54,50] и метода декомпозиции [77] (метода S-матриц).

В заключении приводятся основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Результаты диссертационной работы докладывались на международных и всероссийских конференциях и школах-семинарах:

1. VII Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000» секция «Физика» подсекция «Математическая и компьютерная физика». Москва. Апрель 2000.

2. XII Всероссийской школе-конференции по дифракции и распространению волн. Москва. МФТИ (ГУ). Декабрь 2001.

3. X Международной школе-семинаре «Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот». Фрязино. Август 2002.

4. IX Всероссийской школе-семинаре «Физика и применение микроволн». Звенигород. Май 2003.

5. II Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». Самара. Сентябрь 2003.

6. III Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». Волгоград. Сентябрь

2004.

7. Третьей всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике». Москва. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Январь 2005.

8. XII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов 2005». Москва. Апрель

2005.

9. IV Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». Нижний Новгород. Октябрь 2005.

Результаты работы докладывались на научных семинарах:

1. Семинаре «Численные методы электродинамики» МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством профессоров А.Г. Свешникова и А.С. Ильинского (Март 2005);

2. Научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ под руководством профессора В.Ф. Бутузова (Март 2005).

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 13 печатных работах [114-126].

Выводы второй главы

В данной главе математически поставлена и решена краевая задача (2.1) -(2.6) для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом для случая многосвязных областей с кусочно-гладкой границей, имеющей особые точки, и кусочно-постоянным заполнением. При решении задач такого рода возникает ряд математических трудностей, а именно: удовлетворение граничному условию (2.3) на боковой поверхности SQ исследуемого волновода, которая может иметь довольно произвольную форму, а также на торцах металлических полубесконечных вставок; учет многосвязности рассматриваемой области; удовлетворение условию Мейкснера в критических (особых) точках границы. Указанные особенности краевой задачи учитываются в разработанном вычислительном алгоритме, который основан на использовании неполного метода Галеркина [15,17,32] и энергетического сшивания полей на границах подобластей, а также дополнен формулировкой проекционных условий сшивания на многосвязном стыке нерегулярных волноводов.

Проводится теоретическое исследование и математическое обоснование предложенного алгоритма. Подробно исследуется вопрос о существовании и единственности приближенного решения (2.10) краевой задачи (2.7) - (2.9), для чего применяется специальная методика, основанная на использовании энергетических соотношений. А именно, рассматривая энергетические соотношения как для точного (2.36), так и для приближенного (2.59) решений, выводятся условия ограниченности, при выполнении которых приближенное решение (2.10) существует и единственно. Аналогичным образом, применяя энергетическое соотношение, проводится доказательство сходимости последовательности функций uN{%,ij) к точному решению задачи u(g,tf). Разработанный алгоритм реализован с помощью метода прогонки. На его основе разработан комплекс программ для расчета основных характеристик ряда структур.

Исследования, проделанные в настоящей главе, являются дальнейшим развитием идей метода Галеркина применительно к задачам о распространении электромагнитных волн в нерегулярных волноводных областях. Предложенный алгоритм модифицирован таким образом, что оказывается эффективным при рассмотрении широкого класса многосвязных волноводных областей и допускает обобщение на расчет структур со сложной формой боковой поверхности переходного устройства, с различным диэлектрическим, в том числе частичным, заполнением рассматриваемых волноведущих каналов и несамосопряженными граничными условиями.

Глава 3

Некоторые радиофизические приложения

3.1 Общие положения

Быстрое развитие современной техники связи, систем радиолокации, радионавигации и других научных и промышленных отраслей, связанных с прикладной электродинамикой, ориентировано на использование коротких электромагнитных волн сантиметрового и миллиметрового диапазона, а также стимулирует разработку принципиально новых функциональных узлов и повышение требований к характеристикам уже существующих. Особое значение имеет бурно развивающееся во всем мире направление по созданию систем сверхбыстрой обработки информации (ССОИ) непосредственно на частотах радиосигнала в СВЧ и КВЧ областях электромагнитного спектра [66,67]. Создание эффективных, надежных и дешевых ССОИ в значительной степени опирается на успехи в микроэлектронике, когда СВЧ, КВЧ модуль ССОИ строится на объемных интегральных схемах (ОИС) и развитие методов моделирования и анализа новых базовых элементов.

Моделирование и проектирование СВЧ устройств [66-76,83-85] требует детального анализа электромагнитных волн в волноведущих системах достаточно произвольной конфигурации. Размеры волноводных неод-нородностей при этом соизмеримы с длиной волны электромагнитного поля, что приводит к сложной физической картине распределения полей. Описание и использование резонансных явлений в волноводных системах требует развития математических методов моделирования, в основе которых лежат строгие математические модели.

Широкое применение в современной микроэлектронике находят различные волноведущие системы, такие как: устройства деления и умножения электромагнитной энергии, многоканальные и многозвенные фильтры, волноводные резонаторы, металлические включения в волноводе, волноводные развороты, многоканальные линии передачи, а также функциональные узлы на их основе.

В настоящей главе на основе предложенных в диссертации алгоритмов рассматривается моделирование реальных СВЧ устройств, а также проводится сравнение полученных результатов с данными физического эксперимента и результатами других вычислительных методов.

3.1.1 Делители и сумматоры

Многоканальные волноводные устройства деления-суммирования (УДС) мощности в СВЧ, КВЧ и оптическом диапазоне являются важнейшим компонентом большинства радиотехнических систем [68-76]. Такие делители мощности находят применение, например, в радиолокационной аппаратуре, трактах многоэлементных антенных решеток (АР), связной и измерительной технике, системах фазовой модуляции сигнала. Они предназначены для деления мощности источника в требуемом соотношении между большим числом выходных каналов. Вопросам проектирования и исследования подобных УДС посвящено множество публикаций. Однако выдвигаемые на практике все более высокие требования к техническим характеристикам радиосистем оставляют актуальным разработку математических моделей для волноводных делителей мощности и решение на их основе задач проектирования излучающих систем СВЧ, КВЧ и оптических частот.

Делителем мощности называется устройство, предназначенное для разделения (распределения) мощности между двумя или несколькими каналами (см. рис. В.1, а - г); сумматором - устройство, сводящее в один канал мощность двух или нескольких источников СВЧ (см. рис. В.1, д - ж). Поскольку сумматор выполняет функцию, обратную делителю, то делителем и сумматором в большинстве случаев является одно и то же устройство. Простейшим является делитель мощности на два канала. Многоканальные делители или системы распределения мощности (СРМ), состоят из простейших двухканальных элементов деления. СРМ бывают параллельного, последовательного и смешанного типов.

Бывают волноводно-щелевые и полосковые делители мощности. Среди известных типов многоканальных делителей мощности (МДМ) большое распространение также получили делители, канализирующие СВЧ мощность в виде некоторой разветвляющей структуры. МДМ класса с разветвленной структурой обычно формируются из каскадно-включенных двухканальных делителей. За основу элементной базы делителя можно выбрать кольцевой мост. Также можно отметить синфазные и противофазные МДМ. Они осуществляют деление СВЧ сигнала в плоскости слоя диэлектрика (в одном этаже объемной интегральной схемы (ОИС)). Использование принципа ОИС [66,67] построение СВЧ модуля позволяет распределять СВЧ мощность в плоскости, перпендикулярной плоскости слоев диэлектрика (межслойное деление). Для этого целесообразно воспользоваться тройником. Таким образом, комбинируя базовые элементы ОИС (объемные тройники и многослойные переходы в виде их каскадного соединения), можно получить объемный МДМ.

При проектировании микроэлектронного устройства к делителю предъявляют следующие требования: функциональное назначение (в качестве балансного моста, ответвление части мощности или деление в требуемом отношении, суммирование, распределение мощности между излучателями антенной решетки); полоса частот, в которой сохраняются заданные характеристики; амплитудо- и фазочастотные характеристики; мощность, передаваемая по делителю, конструктивные характеристики, минимальные габаритные размеры, количество выходных каналов, распределение мощности, и другие. Делители мощности характеризуются следующими параметрами: коэффициентом связи (коэффициентом передачи) между входными каналами (плечами); фазой коэффициента связи; неравномерностью деления мощности; коэффициентом отражения; коэффициентом стоячей волны, развязкой между плечами и т.д.

Рассмотрим теперь устройства суммирования и умножения электромагнитной энергии. На практике в основном используются два способа сложения мощности [92]: попарное комбинирование устройств (бинарные сумматоры) и объединение N устройств в один узел (лучевые сумматоры). Бинарные сумматоры обладают существенным недостатком: при увеличении числа каналов растут собственные потери в них, понижая, таким образом, эффективность суммирования. Лучевые сумматоры лишены этого недостатка и, следовательно, являются более предпочтительными с точки зрения повышения эффективности сложения мощности. Основное преимущество схем на основе бинарных сумматоров заключается в простоте их анализа, поскольку все элементы этих схем имеют хорошо разработанное математическое описание (при условии, что линии передачи в первом приближении не взаимодействуют друг с другом). Анализ же многоканальных лучевых суммирующих структур, обладающих малыми потерями, амплитудным и фазовым балансом, высокой рабочей мощностью и малыми размерами при большом числе каналов N, представляет собой весьма непростую задачу. Наиболее эффективным способом их расчета и анализа является их математическое моделирование [69,70,74,122,125].

3.1.2 Фильтры

Фильтры (частотно-селективные устройства) предназначены для подавления колебаний одних частот и пропуска колебаний других частот [25,59,63,68,72,75,76,83-85,93,123,124]. Подавление электромагнитных колебаний достигается обычно за счет отражения падающей волны от входа фильтра, причем рассеянием мощности в таком фильтре можно пренебречь. Существуют также поглощающие фильтры, обеспечивающие на всех частотах режим, приближающийся к согласованию.

В зависимости от положения границ пропускания и запирания на частотной оси (низшая частота и высшая частота) различают фильтры нижних и верхних частот (ФЕИ и ФВЧ), а также полосно-пропускающие и полосно-запирающие (режекторные) фильтры (ППФ и ПЗФ). Применение фильтров в микроэлектронике и радиотехнике необходимо, например, для частотного разделения каналов информации, подавления побочных излучений, для разделения СВЧ цепей и т.д.

Микроэлектронные фильтры можно разделить по способу реализации на несколько типов: волноводного типа с параллельно связанными полуволновыми резонаторами, на встроенных стержнях, на диэлектрических резонаторах, на одиночных полосковых линиях и другие.

Вообще говоря, фильтрующими свойствами обладает всякий полый металлический волновод, поскольку передача энергии по нему возможна лишь на частотах выше критической частоты для волны низшего типа. Полый волновод является простейшим ФВЧ, причем частота отсечки близка к критической частоте, зависящей от формы и размеров сечения волновода.

Тем не менее, в процессе совершенствования радиотехнических систем СВЧ диапазона широко используются новейшие достижения в области электроники СВЧ, современной элементной базы и материаловедения в сочетании с комплексным подходом к проектированию и оптимизации параметров фильтрующих устройств. Несмотря на то, что за последние годы предложено большое число конкретных вариантов СВЧ фильтров, интенсивный поиск новых типов фильтров на основе различных базовых элементов продолжается ив настоящее время.

В качестве базовых элементов фильтров СВЧ диапазона широко распространенно использование волноводно-диэлектрических резонаторов (ВДР), скачкообразных расширений волноводов (в частности, для реализации режекторных частотных фильтров), последовательности продольных ленточных диафрагм (обычно на их основе проектируются полосно-пропускающие и режекторные фильтры) и других систем. Моделирование перечисленных базовых элементов и фильтров на их основе также весьма удобно и эффективно проводить с помощью математических методов [25,52,53,59,77,115,119-126].

3.2 Результаты моделирования волиоведущих структур, включающих в себя разветвления и скачкообразные нерегулярности

С помощью алгоритма приведенного в первой главе проведено моделирование ряда волноведущих структур: ступенчатое сочленение волноводов, волноводно-диэлектрический резонатор, волноводный разворот. Вычислительный алгоритм базируется на ключевой модели волновода, содержащей в себе основные неоднородности указанного типа (рис. 3.1, а). Проведено подробное исследование и сравнение полученных результатов.

О z а) х а

О 1 z б)

Рис. 3.1. Рассматриваемые типы волноведущих структур, а - ключевая модель, включающая в себя основные типы скачкообразных нерегулярностей; б - двухканальный волноводно-диэлектрический резонатор (ВДР). Черным цветом выделен металл; различной штриховкой -области с различным диэлектрическим заполнением. I, II, III, IV, V - частичные области волноведущей структуры; Н10 - падающая слева волна.

3.2.1 Моделирование ступенчатого сочленения волноводов и анализ полученных результатов

С помощью предложенного в первой главе алгоритма, основанного на применении проекционного метода сшивания (ПМС) [45,50,54], были составлены и реализованы в виде комплекса ЭВМ-программ алгоритмы решения нескольких задач, а также проведены исследования всевозможных дифракционных характеристик и сравнения с результатами, известными в научной литературе. Были рассмотрены задачи дифракции электромагнитной волны #10 на наиболее характерных нерегулярностях плоского волновода: скачке поперечного сечения, скачке диэлектрического заполнения и разветвлении волновода металлической полуплоскостью конечной толщины. Были исследованы качественные и количественные характеристики сходимости, проверено выполнение условия фазового синхронизма [80]. Все программы и расчеты реализованы в универсальной среде программирования MatLab 6.5.

На примере моделирования ключевой задачи о ступенчатом сочленении волноводов (рис. 3.1, б при d=0 вторую и пятую частичные области волновода для иллюстрации модели мы будем рассматривать как металлическую стенку -скачок поперечного сечения) было проведено исследование явления «относительной сходимости» [80,82] (т.е. сходимости редуцированных решений к различным пределам в зависимости от выбранного способа усечения подсистем СЛАУ). Исследование показало, что наилучший результат (коэффициент отражения R = 0,5139 ±0,006 при фиксированных параметрах волноводов а = \, Ьа = 0,5 и длине волны X = 0,045) получается, если отношение числа волн, взятых в первом Nl и третьем Nm волноводах, равно отношению поперечных сечений первого и третьего волновода (т.е. N}/Nm = a/(ba)), а так же если номер N усечения СЛАУ лежит в интервале от 10 до 20 волн. Таким образом, можно сделать вывод о способе усечения исходной бесконечной системы. Отношение числа волн, взятых в волноводах должно быть равно отношению их поперечных сечений.

При исследовании внутренней сходимости оказалось, что значение коэффициента отражения "стабилизируется" (т.е. отличается от последующих в третьем знаке после запятой) при номере усечения СЛАУ N = 12.

Для иллюстрации эффективности используемого в работе проекционного метода сшивания [45,50,54,115,117] было проведено сравнение численных решений полученных с его помощью, с результатами, полученными двумя другими хорошо известными методами: методом моментов (ММ) и методом полуобращения матричных уравнений (МПО) (см., например, [48,62]).

В качестве модельной выбрана задача о рассеянии волны #10 на "нижней ступеньке" в волноводе (см. рис. 3.1, б при d=0). Результаты расчетов для методов ММ и МПО, а также параметры модели для сравнения взяты из [53] с использованием [44]. Так, ab/a = 0,501 , к = а/А = \,Ъ (практически во всех случаях, начиная с некоторого порядка N > 2к, исследуемые характеристики не зависят от к, поэтому здесь приведены данные со "средним" значением к = 1,3).

Сравнение трех методов показало, что проекционный метод сшивания обеспечивает хорошую сходимость и достаточную точность результатов. На рис.3.2 видно, что график зависимости модуля коэффициента отражения \r\ от порядка N усечения СЛАУ, полученный проекционным методом сшивания (на графике - красная линия с кружками), находится между графиками, рассчитанными с помощью метода моментов (зеленая линия с кружками) и метода полуобращения (синяя линия с кружками). Точным решением будем считать решение, найденное по МПО (метод полуобращения) при номере усечения N = 32, а именно модуль коэффициента отражения R = 0,478578. Таким образом, исследуемый результат (решение, найденное с помощью проекционного метода сшивания) отличается от эталонного решения (МПО) лишь на несколько десятитысячных (см. рис. 3.2), что говорит о верно проведенных расчетах и об эффективности используемого метода.

R|

0.478

0.476

0.474

0.472

0.470 iL 5 0

10

15

20

25 N

Рис. 3.2. График зависимости модуля коэффициента отражения |/?| от порядка N усечения

СЛАУ при расчетах разными методами: проекционный метод сшивания (ПМС) - красная линия с кружками, метод моментов (ММ) - зеленая линия с кружками, метода полуобращения матричных уравнений (МПО) - синяя линия с кружками.

3.2.2 Моделирование волноводно-диэлектрического резонатора

Волноводно-диэлектрический резонатор (ВДР) является одним из ключевых базовых элементов, использующихся при проектировании фильтров СВЧ диапазона. В данной работе рассматривается двухканальный волноводно-диэлектрический резонатор, представляющий собой металлодиэлектрическую волноведущую структуру, изображенную на (рис. 3.1, б). При использовании алгоритма первой главы было проведено математическое моделирование данной структуры [115] и детальное исследование различных дифракционных характеристик. Исследовалось поведение волны #10 при падении её на серию неоднородностей. В данном случае построение вычислительного алгоритма основывается на следующих формулах и предположениях. Заполнение волноводов диэлектрической проницаемостью конечно: x,z) = z<0,z>l, £•' = 1, eIY =sY =£0,

0< z </,

V , 0<x<d,

Iff™, b<x<a.

Условия возбуждения и излучения, заключающиеся в отсутствии волн, приходящих из ±оо, кроме падающей волны #10, будут иметь вид: m(X,Z) = <

00 z < 0: U\x,z)= (p\(x)txp{iy\z) + £*>J(x)exp(-/»), n=l t/IY(x,z) = Ee:Y ^Y(x) exp[irlJ(z-l)],b<x<a , n=l

UY(x,z)^T„Y cpY(x) exp[/>„Y(z-/)] , 0 <x<d. z> 0:

3.1)

Решение уравнения Гельмгольца во II и III частичных областях при 0<z<l будем искать в виде:

U\x,z) = £lA!!ri,(x)exp(ir!!z) + fiBy„1(x)exp[-iy!lI(z-/)], 0<x<d, п-\ и=1

C/"'(x,z) = ECV"IWexp(^"z) +|]Z)>:,Wexp[-//:"(z-/)] , b<x<a. n=l n=1

3.2)

Условия проекционного сшивания: u\x,z)[ym{x) dx=\u\x,z)\i=Q(plm{x) dx+\Um{x,z)lo<plm(x) dx , 0 f dU (x,z) dz dU\x,z) 0 Jnl z=0 0 dx , 0 dz edU (x,z) z=0 cfe

P. (*) Л . r=0 aJE/1Y(x,z) dz J a-dUm(x,z) dz z=l

3.3) z=/ u\x,z)[ym{x) dx , о 0

0 dz

1 jn II, z.1 0 ^ p"(x) dx. m z=I

Подставляя конечный ряд в виде (3.1) и (3.2) в проекционные соотношения (3.3) и, пользуясь соответствующим условием нормировки (см., например, (1.9)), получаем для искомых коэффициентов разложения редуцированную систему линейных алгебраических уравнений:

А„ + R = WXA + WXEXB+W2C + W2E2D, о 7 y\Wx -(W'f Гх R = Г2 А-Г2 Ех В, yl„oW2 - (W2)T Г] R = Г3 С - ГгЕ2Б,

Т = МХЕХА + МХВ, Q = M2E2C + M2D,

МХ?Г5Т = Г2ЕХА - Г2В, (М2)7r4Q = Г3Е2С - Г3Д здесь обозначения отличаются от введенных в Главе 1, римские цифры заменены арабскими). Так Д„0- столбец, зависящий от номера падающей нормальной волны; R,A,B,C,D,Q,T - столбцы искомых коэффициентов; Wxd матрица, состоящая из элементов Wlp= JV" <plm dx, m = \,2,.N , p = \,2,.N2\ W0Xc d столбец, зависящий от номера падающей нормальной волны Wxng = fp" <рхПо dx, с щ= 1, р —1,2,.Л^; (WX)T- транспонированная матрица Wx, состоящая из d элементов Wxpm= Jp" <р\ dx, m -1,2,.iV, p = \,2,.N2; Ж2-матрица, состоящая с а из элементов W2k= f<p"x ср\ dx, m = \,2,.N, A = l,2,.jV3; столбец, b а зависящий от номера падающей нормальной волны W^ = j<pkx q>\a dx, ь n0=\, к = \,2,.ЫЪ; (W2y - транспонированная матрица W2, состоящая из элементов W2m = \<pf (p\dx, m = 1,2,. W, к = 1,2,. N3; M\m = \(p"vldx, b с a m = \,2,.N5, n = 1,2,.N2; M2m = j(p™<p™dx, m = 1,2,.л = 1,2,.N3, причем ь

M')T = M\ (M2)T = M2; r\r2,r3,rA,rs -диагональные матрицы постоянных распространения; Е\Е2 - диагональные матрицы экспонент. Считается, что N = JV, =N2+N3=N4+Ns, т.е. число учитываемых волн соответственно равно N}=N4,N2=N5; где N},N2,N3,N4,NS - число волн в соответствующих частичных областях; из этой системы, путем ряда преобразований получаем выражения для искомых коэффициентов.

В ходе работы было осуществлено сравнение численных решений полученных с помощью ПМС [115] для данной структуры с данными, полученными ранее экспериментально [83]. В работе [83] двухканальный ВДР исследовался на основе эквивалентной радиофизической схемы в одноволновом приближении. В общем случае резонансные частоты каждого ВДР различны, поэтому можно ожидать, что в результате интерференции волн, прошедших через каждый канал, появятся нули или полюсы затухания. Параметры установки и результаты для сравнения были взяты из [83] с использованием [63], а именно размеры волновода d = 1,21 см, а-Ъ- 1,06см и диэлектрическое заполнение второй и третьей частичных областей s11 =sm =2,25. Типичные характеристики двухканального ВДР приведены на рис. 3.3 (график зависимости коэффициента передачи а в дБ от частоты / в ГГц, где а = 101g(l -|/?|2)-1).

На рис. 3.3 зеленой линией с точками обозначена экспериментальная кривая, а красной линией с кружками - кривая, посчитанная с помощью проекционного метода сшивания. Из графика видно, что расчетные и экспериментальные данные находятся в хорошем соответствии, точно совпадают резонансные частоты (/0=Ю,6 ГГц) и значения коэффициента передачи. В частном случае, если из одного канала удалить диэлектрик, то это повлияет в основном на форму амплитудно-частотной характеристики вблизи резонанса. Небольшое расхождение между экспериментом и расчетом в левой части графика можно объяснить тем, что в расчете не учитывались потери, зависящие от вида реальных граничных условий и характеристик диэлектрика.

Рис. 3.3. Амплитудно-частотная характеристика двухканального ВДР, где коэффициент передачи а = 10 lg(l -1/?|2)"'. Экспериментальная кривая - зеленая линия с кружками, кривая, посчитанная с помощью ПМС - красная линия с кружками.

На примере задачи о двухканальном волноводно-диэлектрическом резонаторе (см. рис. 3.1, б) было проведено исследование АЧХ в зависимости от варьирования начальных данных. Так резонансная частота /0 и высота амплитуды резонанса изменяются при задании различных интересуемых параметров. На (рис. 3.4 и 3.5) приведены некоторые результаты для различных начальных данных.

Так исследовалась зависимость амплитуды резонанса от изменения мнимой части диэлектрического заполнения: е" = е'" =е, + ie2.

Вычисления производились для фиксированных размеров волновода: а = 0,023м, с! = 0,0\2\м, а-Ь = 0,0\06м (3.4)

При этом фиксировалась вещественная часть диэлектрического заполнения £■,=2,25 и варьировалась мнимая ег. На рис. 3.4 приведены полученные результаты: (/)- кривая, соответствующая е2 =0,0001; (II)- е2 =0,001;

III)-е2 = 0,005; (IY)-e2 =0,01.

Рис. 3.4. Зависимость амплитуды резонанса от изменения мнимой части диэлектрического заполнения. Красные кривые посчитаны в зависимости от заполнения: (I) - е2 = 0,0001; (II) - е2 - 0,001; (III) - е2 = 0,005; (IY) - е2 = 0,01. Зеленая кривая с кружками -экспериментальная кривая [83].

Таким образом, из рисунка видно, что амплитуда резонанса заметно уменьшается при увеличении мнимой части диэлектрической проницаемости (см. рис. 3.4).

Далее исследовалось поведение резонансной частоты /0 в зависимости от изменения диэлектрического заполнения. Рассматривались два случая. Вычисления производились при фиксированных начальных данных (3.4).

Тангенс угла потерь tg(p = ey «10 4. Полученные результаты приведены на е\ рис. 3.5, где введены обозначения: (1)-е" = еш =2,25 + /0,0003, fx =10,6ГГц;

II) - е" = еш = 9,4 +/0,005, /2 = 9,52ГГц. f2 Ю fl 11

S ГГц

Рис. 3.5. Зависимость резонансной частоты от изменения диэлектрического заполнения.

Красные кривые I и II рассчитаны в зависимости от заполнения:

I) - е" = еш = 2,25 + /0,0003, fx = 10, в ГГц; (II) - е" = е'" = 9,4 + /0,005, /2 =9,52/71/

Зеленая кривая с кружками - экспериментальная кривая.

При увеличении реальной части диэлектрической проницаемости наблюдается смещение резонансной частоты влево (см. рис. 3.5).

Представленный математический аппарат открывает перспективы исследования и построения эффективных алгоритмов решения целого класса задач теории волноводов, связанных с математическим моделированием различного рода резонансных волноведущих структур. Алгоритм позволяет провести строгий учет омических потерь в стенках и диафрагмах, допускает обобщение на расчет волноводов со слоисто-диэлектрическим заполнением, а также позволяет решать задачи синтеза.

3.2.3 Моделирование многоканальных делителей мощности

На основе рассмотренного во второй главе диссертации алгоритма разработан комплекс программ для расчета и анализа основных электродинамических характеристик многоканальных волноводных делителей мощности (см. рис. 2.1) в зависимости от их геометрических параметров. Проведены исследования двухканального и трехканального делителей мощности. Для трехканального симметричного волноводного делителя мощности (см. рис. 2.1) в таблице 1 приведены значения квадрата модуля коэффициентов прохождения Tbj в разных волноведущих каналах bj в зависимости от их размеров при фиксированном размере внешнего волновода. Ширина внешнего волновода a = h = 23 мм, металлические полуплоскости обладают постоянной толщиной / = 0,14 мм, ширина среднего волновода уменьшается от некоторого значения (Ь2= 8,02 мм) до предельного значения (&2=0,02 мм), при котором трехканальный волновод стремится к двухканальному, при этом значение частоты фиксировалось / = 9,34 ГГц.

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Математически поставлена и решена краевая задача для уравнения Гельмгольца в многосвязных волноводных областях, с границами, имеющими критические точки, в которых выполнены условия Мейкснера, и кусочно-непрерывным заполнением.

2. Для областей с кусочно-постоянной границей и кусочно-непрерывным заполнением разработан, математически обоснован и реализован алгоритм решения этой задачи, основанный на проекционных условиях сшивания, записанных в интегральном виде.

Доказана теорема существования и единственности обобщенного решения краевой задачи.

Доказана сходимость численного решения редуцированной системы линейных алгебраических уравнений к точному решению задачи.

3. Для областей с кусочно-гладкой границей и кусочно-непрерывным заполнением разработан, математически обоснован и численно реализован алгоритм решения рассматриваемой задачи, в основе которого лежит неполный метод Галеркина с применением интегральных проекционных условий сшивания.

Доказаны существование и единственность приближенного решения.

Доказана сходимость приближенного решения к точному решению краевой задачи в пространстве L,.

4. Получены новые физические результаты с использованием численной реализации рассматриваемых алгоритмов решения краевой задачи.

5. Проведено исследование предлагаемых математических моделей на примере многоканальных делителей мощности и многозвенных фильтров, а также сравнение полученных результатов вычислений с данными физического эксперимента и результатами других вычислительных методов.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова Владимиру Павловичу Моденову за научное руководство, многочисленные плодотворные дискуссии на всех этапах работы, постоянное внимание, помощь и поддержку.

Хотелось бы также выразить искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, доценту Андрею Леонидовичу Делицыну за научное сотрудничество, помощь и ценные советы.

Автор благодарна руководителям семинара «Численные методы электродинамики» профессорам А.Г. Свешникову и А.С. Ильинскому и всем участникам, за внимание к работе и полезные замечания, а также всем сотрудникам кафедры математики физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

1. Кисунько Г. В. Электродинамика полых систем. Л.: Изд-во ВКАС, 1949. - 426 с.

2. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988. -440 с.

3. Левин Л. Теория волноводов. Методы решения волноводных задач: Пер. с англ. / Под ред. В. И. Вольмана. -М.: Радио и связь, 1981. -312 с.

4. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов: Пер. с англ. / Под ред. Г. В. Воскресенского. М.: Мир, 1974. - 327 с.

5. Никольский В. В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука, 1967. - 460 с.

6. Каценеленбаум Б. 3. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. М.: Изд-во АН СССР, 1961. - 216 с.

7. Справочник по волноводам / Под ред. Я. Н. Фельда. М.: Сов. радио, 1952.-431 с.

8. Фельдштейн А. Л., Явич Л. К., Смирнов В. П. Справочник по элементам волноводной техники. М.: Сов. радио, 1967. - 651 с.

9. Кисунько Г. В. К теории распространения электромагнитных волн в трубах со скачкообразно меняющимися сечениями // ДАН СССР. 1947. -Т. 58, №8.-С. 1653-1656.

10. Кисунько Г. В. К задаче возбуждения радиоволновода // Журнал технической физики. 1948. - Т. 18. - Вып. 7. - С. 959-970.

11. Самарский А. А., Тихонов А. Н. О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ // Журнал технической физики. 1946. - Т. 16. -С.565.

12. Самарский А. А., Тихонов А. Н. О возбуждении радиоволноводов I // Журнал технической физики. 1947.-Т. 17.-Вып. 11.-С. 1283-1296.

13. Самарский А. А., Тихонов А. Н. О возбуждении радиоволноводов II // Журнал технической физики. 1947.-Т. 17.-Вып. 11.-С. 1431-1440.

14. Краснушкин П. Е. Метод нормальных волн в применении к волноводам // Вестник МГУ. 1946. - №2. - С. 5-9.

15. Свешников А. Г. К обоснованию метода расчета нерегулярных волноводов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963. - Т. 3, №1. - С. 170-179.

16. Свешников А. Г. К расчету согласования плоских волноводов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1961. - Т. 1, №4. -С. 737-741.

17. Свешников А. Г. К обоснованию метода расчета распространения электромагнитных колебаний в нерегулярных волноводах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963. - Т. 3, №2.-С. 314-326.

18. Свешников А. Г., Ильинский А. С. Расчет волноводного перехода сложной формы // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963. - Т. 3, №3. - С. 478-488.

19. Свешников А. Г., Котик И. П., Чернышев Ю. С. Об одном методе расчета согласований плоских волноводов // Сб. Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1962. - Вып. 1. - С. 234-245.

20. Свешников А. Г. Принцип излучения // ДАН СССР. 1950. - Т. 73, №5. -С. 917-920.

21. Свешников А. Г. Принцип предельного поглощения для волновода // ДАН СССР. 1951. - Т. 80, №3. - С. 345-347.

22. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.-736 с.

23. Ильинский А. С., Кравцов В. В., Свешников А. Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991. - 222 с.

24. Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухорукое А. П. Теория волн. М.: Наука, 1979.-383 с.

25. Шеетопалов В. П., Кириленко А. А., Рудь JI. А. Резонансное рассеяние волн. Т. 2. Волноводные неоднородности. Киев: Наук.думка, 1986.-216 с.

26. Егоров Ю. В. Частично-заполненные прямоугольные волноводы. М.: Сов. радио, 1967. - 216 с.

27. Веселов Г. И., Раевский С. Б. Слоистые металлодиэлектрические волноводы. М.: Радио и связь, 1988. - 248 с.

28. Веселов Г. И., Темнов В. М. Метод частичных областей для задач с некоординатными границами // Радиотехника. 1982. - Т. 37, №8. -С. 71-74.

29. Свешников А. Г., Ильинский А. С., Котик И. П. Распространение колебаний в нерегулярных волноводах с боковой поверхностью сложной формы // Сб. Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1965. - Вып. 3. - С. 329-363.

30. Свешников А. Г., Ильинский А. С. Метод исследования плоских волноводов с импедансными граничными условиями и резким изменением боковой поверхности // Сб. Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1969. - Вып. 13. - С. 27-33.

31. Ильинский А. С., Кравцов В. В., Свешников А. Г. Метод Галеркина в задачах о рассеянии волн в полых системах // Вестник МГУ. Сер.З. Физ., Астрон. 1968. - №5. - С. 69-74.

32. Свешников А. Г. Неполный метод Галеркина // ДАН СССР. 1977. - Т. 236, №5.-С. 1076-1079.

33. Ильинский А. С., Свешников А. Г. Метод исследования нерегулярных волноводов с импедансными граничными условиями // ДАН СССР. -1967.-Т.176, №2.-С. 178-182.

34. Ильинский А. С., Свешников А. Г. Методы исследования нерегулярных волноводов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. - Т. 8, №2. - С. 363-373.

35. Ильинский А. С., Кравцов В. В., Свешников А. Г. Рассеяние волн в полых направляющих системах // Вестник МГУ. Сер.З. Физ., Астрон. 1969. -№1.- С. 15-20.

36. Свешников А. Г., Моденов В. П. Распространение электромагнитных волн в волноводах с локальным гиротропным заполнением // Сб. Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1965. -Вып. 3-С. 364-385.

37. Моденов В. П. Прямой метод расчета прямолинейных волноводов с локально-неоднородным заполнением / Научный отчет. М.: Изд-во МГУ, 1971.-52 с.

38. Моденов В. П. Решение уравнения Гельмгольца в полосе с кусочно-постоянными несамосопряженными граничными условиями // Вестник МГУ. Сер. 3. Физ., Астрон. 1986. - Т. 27, №3. - С. 19-23.

39. Моденов В. П. Метод Галеркина в несамосопряженных задачах теории волноводов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1987. - Т. 27, №1. - С. 144-149.

40. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. - 616 с.

41. Ильинский А. С., Кравцов В. В., Свешников А. Г. Интегральные уравнения I рода в задачах о рассеянии волн в полых направляющих системах // Вестник МГУ. Сер.З. Физ., Астрон. 1968. - №6. - С. 19-26.

42. Галишникова Т. Н., Ильинский А. С. Численные методы в задачах дифракции. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 208 с.

43. Боголюбов А. Н., Буткарев И. А., Минаев Д. В., Могилевский И. Е. Математическое моделирование волноведущих систем на основе метода конечных разностей и метода конечных элементов // Радиотехника и электроника. 2005. -Т. 50,№2.- С. 140-151.

44. Воскресенский Г. В., Галстьян Е. А., Журав С. М. Сравнение способов решения задачи о рассеянии поля на скачкообразных неоднородностях // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1983. -Т. 23, №5.-С. 1257-1262.

45. Ильинский А. С., Шичанина Е. Ю. Исследование проекционного метода сшивания для задачи рассеяния в круглом волноводе со скачкообразным изменением поперечного сечения // Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислит, матем. и кибернетика. 1986. - №1. - С. 16-23.

46. Самохин А. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. М.: Радио и связь, 1998. - 250 с.

47. Самохин А. Б. Численные методы решения многомерных интегральных уравнений математической физики с ядрами, зависящими от разности аргументов // Радиотехника и электроника. 2005. - Т. 50, №2. -С. 208-212.

48. Кириленко А. А., Шестопалов В. П., Яшина И. П. Строгое решение задачи о круглом волноводе со скачком поперечного сечения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1977. - Т. 17, №6.-С. 1482-1493.

49. Ильинский А. С. Проекционные методы для задач дифракции электромагнитных волн // Радиотехника и электроника. 2005. - Т. 50, №2.-С. 134-139.

50. Асланиди К. Г., Моденов В. П. Проекционный метод сшивания в задаче о сочленении волноводов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1992. - Т. 32, №2. - С. 277-284.

51. Асланиди К. Г., Моденов В. П. К обоснованию проекционного метода сшивания // Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислит, матем. и кибернетика. -1993.-№4.- С. 24-30.

52. Моденов В. П. Проекционные методы в теории волноводов // Радиотехника и электроника. 2005. - Т. 50, №2. - С. 203-207.

53. Кириленко А. А., Сенкевич С. J1. Сравнение эффективности четырех методов решения волноводных задач // Радиотехника и электроника. -1984.-Т. 29, №6.-С. 1089-1097.

54. Ильинский А. С. Прямой метод расчета периодических структур // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1973. -Т. 13, №1. - С. 119-126.

55. Ильинский А. С. Распространение электромагнитных волн в нерегулярных волноводах переменного сечения. М.: Изд-во МГУ, 1970. - 104 с.

56. Ильинский А. С., Фоменко Е. Ю. Исследование бесконечных систем линейных алгебраических уравнений второго рода в волноводных задачах дифракции // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. - Т. 31, №3. - С. 339-352.

57. Ильинский А. С., Ситшаева 3. 3. Об устойчивости неполного метода Галеркина для распространения нормальных волн в плоском волноводе // Вестник МГУ. Сер.15. Вычислит, матем. и кибернетика. 1983. - №2. -С. 14-20.

58. Математическое и программное обеспечение библиотеки прикладных программ по электродинамике / Под ред. А. С. Ильинского. М.: Изд-во МГУ, 1987.- 109 с.

59. Гладун В. В., Колесников В. С., Моденов В. П., Пирогов Ю. А., Свешников А. Г. Математическое моделирование явлений дифракции в волноводных металлодиэлектрических резонансных структурах. Препр. физич. ф-та МГУ. 1984. -№22. - 9 с.

60. Богданов Ф. Г., Кеванишвили Г. Ш. Дифракция волны #10 на сочленении волноводов с несимметричным диэлектрическим заполнением // Радиотехника и электроника. 1984. -№7.-С. 1316-1321.

61. Конюшенко В. В., Моденов В. П. Вычисление постоянных распространения волн плоского градиентного диэлектрического волновода с импедансной границей // Вестник МГУ. Сер.З. Физика. Астрон. 2000. -№4. - С. 36-37.

62. Ильинский А. С., Кураев А. А., Слепян Г. Я., Слепян А. Я. Метод полуобращения в задачах дифракции на разветвлениях плоских нерегулярных волноводов // ДАН СССР. 1987. - Т. 294, № 6. - С. 1345-1349.

63. Капилевич Б. Ю., Трубехин Е. Р. Волноводно-диэлектрические фильтрующие структуры. М.: Радио и связь, 1990. - 272 с.

64. Meixner J. The behavior of electromagnetic fields at edges. IEER Transactions. - 1972. - Vol. AP-20, №4. - P. 442-446.

65. Шестопалов В. П., Кириленко А. А., Масалов С. А., Сиренко Ю. К. Резонансное рассеяние волн. Т.1. Дифракционные решетки. Киев: Наук, думка, 1986.- 232 с.

66. Гвоздев В. И., Кузаев Г. А., Нефёдов Е. И., Яшин А. А. Физические основы моделирования ОИС СВЧ и КВЧ // Успехи физических наук. -1992.- Т. 162, №3. С. 127-160.

67. Гвоздев В. И., Нефедов Е. И. Объемные интегральные схемы СВЧ. М.: Наука, 1985.-256 с.

68. Бова Т. Н., Ефремов Ю. Г., Конин В. В. и др. Микроэлектронные устройства СВЧ. К.: Техника, 1984. - 184 с.

69. Чон К.-Х., Петров А. С. Идеальные делители тока и напряжения в симметричных многоканальных СВЧ устройствах распределения мощности // Электромагнитные волны и электронные системы. 2001. -Т. 6, № 2-3. - С. 54-63.

70. Горбачев А. П., Романов А. Н. Широкополосные устройства сложения мощностей диапазона СВЧ // Радиотехника. 1976. - №2. - С. 89-91.

71. Устройства сложения и распределения мощностей высокочастотных колебаний / Под ред. 3. И. Моделя. М.: Сов. радио, 1980. - 269 с.

72. Петров А. С. Фильтры и цепи дендритового типа // Радиотехника и электроника. 1997. - Т. 42, №2. - С. 253-256.

73. Фастович С. В., Петров А. С., Сестрорецкий Б. В. Уголковые повороты и планарные тройники в прямоугольных волноводах // Радиотехника. -2002. -№1. С. 78-85.

74. Петров А. С. Модифицированные схемы ЗДБ-делителей мощности СВЧ диапазона на четвертьволновых отрезках длинных линий // Радиотехника и электроника. 2004. - Т. 49, №8. - С. 919-926.

75. Антенны и устройства СВЧ. Проектирование фазированных решеток: Учеб. пособие для вузов / B.C. Филиппов, JL И. Пономарев, А. Ю. Гринев и др. // Под ред. Д. И. Воскресенского. М: Радио и связь, 1994. - 592 с.

76. Сазонов Д. М., Гридин А. Н., Мишустин Б. А. Устройства СВЧ. М.: Высшая школа, 1981. - 295 с.

77. Никольский В. В., Никольская Т. И. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики. М.: Наука, 1983. - 304 с.

78. Моденов В. П. Дифракция волны #10 на скачке поперечного сечения волновода // Радиотехника и электроника. 1995. - Вып. 5. - С. 749-751.

79. Краснушкин П. Е., Моисеев Е. И. О возбуждении вынужденных колебаний в слоистом радиоволноводе // ДАН СССР. 1982. - Т. 264, №5. -С. 1123-1127.

80. Веселов Г. И., Темнов В. М. О решении некоторых систем уравнений в электродинамике и явлении относительной сходимости // Радиотехника и электроника. 1981. - Т. 26, №10. - С. 2034-2043.

81. Темнов В. М., Титаренко А. А. Электродинамический анализ переходов в плоском волноводе с частичным диэлектрическим заполнением // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 1998. - Т. 21, №4. -С. 17-23.

82. Кириленко А. А., Сенкевич С. JI. Обусловленность некоторых систем уравнений первого рода в электродинамике и явление «относительной сходимости» // Радиотехника и электроника. 1979. - №7. - С. 1301-1307.

83. Shigesawa Н., Tsuji М., Takiyama К. Two-path Cut-off Waveguide Dielectric Resonator Filters // MTT-S Int. Microwave Symp. Dig. 1985. - P. 357-360.

84. Arndt F., Borneman J., Grauerholz D., Vahldieck R. Theory and design of low-insertion-loss fin-line filters. IEEE Trans, on MTT. - 1982. - Vol. MTT-30, №2.-P. 155-163.

85. Bornemann J., Vahldieck R., Arndt F., Grauerholz D. Optimized low-insertion-loss milimeter wave fin-line and metall insert filters // Radio and Electron. Eng. 1982.-52, №11/12.- P. 513-521.

86. Узаков A. X. К обоснованию численного метода расчета основных характеристик нерегулярного прямоугольного волновода // Известия АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук. 1989. - №4. - С. 40-43.

87. Узаков А. X. Математическая модель волноводного делителя мощности // Конференция молодых ученых факультета ВМиК МГУ. Тезисы докладов. -М.: МГУ, 1987.-С. 75.

88. Журав С. М., Калошин В. А. Дифракция плоской электромагнитной волны на идеально проводящей полубесконечной пластине (Е-поляризация) // Радиотехника и электроника. 1987. - Т. 32. - Вып. 1. - С. 1-7.

89. Вольман В. И., Чернышева С. И. Метод электродинамического расчета трехканального Е-плоскостного разветвления // В кн.: «Функциональные электродинамические системы и элементы». Межвузовский научный сборник. Изд-во Саратовск. ун-та, 1988. - С. 6.

90. Боровиков В. А. Дифракция на многоугольниках и многогранниках. -М.: Наука, 1966.-456 с.

91. Веселов Г. И., Темнов В. М. О применимости метода редукции при решении алгебраических систем в некоторых задачах дифракции // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1984. -Т.24, №9.-С. 1381-1391.

92. Темнов В. М., Титаренко А. А. Анализ и оптимизация многоканальных радиальных сумматоров мощности // Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот. 2001. - Т. 9, №1(29). - С. 84-89.

93. Капилевич Б. Ю., Бергер М. Н., Ищук А. А. и др. Многозвенные полосовые фильтры на запредельных волноводно-диэлектрических структурах // Радиотехника. 1981. - Т. 36, №12. - С. 9-14.

94. Вычислительные методы в электродинамике: Пер. с англ. / Под ред. Р. Митры. М.: Мир, 1977. - 485 с.

95. Назаров С. А., Пламеневский В. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М., 1991. - 210 с.

96. Подлипенко Ю. К. О краевых задачах для уравнения Гельмгольца в клине. Препр. Ин-та математики АН Украины. Киев. 1991. - № 91-47. - 14 с.

97. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками / Труды Моск. Математического общества. -1967. Т. 16. - С. 227-313.

98. Кондратьев В. А. Особенности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в окрестности ребра // Дифференциальные уравнения. 1977. - Т. 13, №11. - С. 2026-2032.

99. Фикера Г. Асимптотическое поведение электрического поля около сингулярных точек проводящей поверхности // Труды Всесоюзной конференции по уравнениям с частными производными. М.: Изд-во МГУ, 1978.-С. 230-235.

100. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Харьков: Изд-во ХГУ, 1977. - Т. 1. - 315 с.

101. Фейгин В. И. Эллиптические уравнения в областях с многомерными особенностями границы // Успехи математических наук. 1972. - Т.27. -Вып. 2.-С. 183-184.

102. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. - 464 с.

103. Винник А. А. Об условиях излучения для областей с бесконечными границами // Известия вузов. Сер. математика. 1977. - №7. - С. 37-45.

104. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. - 576 с.

105. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука,-1973.-407 с.

106. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка: Пер. с англ./ Под ред. А. К. Гущина. М.: Наука, 1989. - 464 с.

107. Кондратьев В. А., Олейник О. А. Краевые задачи для уравнения с частными производными в негладких областях // Успехи математических наук. 1983. - Т. 38. - Вып. 2. - С. 3-76.

108. Абгалдаев С. И., Моденов В. П. Краевая задача для уравнения Гельмгольца в области с бесконечной кусочно-гладкой границей // Вестник МГУ. Сер.З. Физ., Астрон. 1995. - Т. 36, №2. - С. 27-33.

109. Вайникко Г. М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений. Тарту: ТГУ, 1970. - 192 с.

110. Лионе Ж. Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. Пер. с франц./ Под ред. В. В. Грушина. М.: Мир, 1971. -371 с.

111. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. - 623 с.

112. Функциональный анализ / Под ред. С. Г. Крейна. М.: Наука, 1972. -544 с.

113. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Е.З. Численные методы анализа. -М.: Наука, 1967.-368 с.

114. Крюкова Ю. Ю. (Петрова), Моденов В. П. Проекционный метод сшивания в теории плоского нерегулярного волновода // Журналвычислительной математики и математической физики. 2001. - Т. 41, №9. -С. 1422-1428.

115. Крюкова Ю. Ю. (Петрова), Моденов В. П. Задача дифракции на скачкообразных металлодиэлектрических волноводных нерегулярностях // Труды XII Всероссийской школы-конференции по дифракции и распространению волн. М.: МФТИ (ГУ), 2001. - Т. 2. - С. 376-380.

116. Крюкова Ю. Ю. (Петрова), Моденов В. П. Краевая задача для уравнения Гельмгольца в многосвязной волноводной области с кусочно-постоянной границей // Вестник МГУ. Сер. 3. Физ., Астрон. 2002. - №3. - С. 36-40.

117. Крюкова Ю. Ю. (Петрова), Моденов В. П. Электродинамический анализ скачкообразных нерегулярностей плоского волновода // Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот. 2002. - Т. 10, №2 (34). -С. 71-72.

118. Моденов В. П., Петрова Ю. Ю. Задача о резонансной дифракции в многосвязных волноводных областях // Труды IX Всероссийской школы-семинара «Физика и применение микроволн». М.: Физический факультет МГУ, 2003.-Т. 1. - С. 65-66.

119. Моденов В. П., Петрова Ю. Ю. Задачи дифракции в электродинамике плоскослоистых металлодиэлектрических волноведущих структур // Прилож. к журн. «Физика волновых процессов и радиотехнические системы». 2003. - С. 249.

120. Моденов В. П., Петрова 10. Ю. Математическое моделирование резонансной дифракции в волноведущих металлодиэлектрических структурах // Прилож. к журн. «Физика волновых процессов и радиотехнические системы». 2004. - С. 125-126.

121. Моденов В. П., Петрова Ю. Ю. Математическое моделирование многоканальных волноводных делителей мощности // Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот. 2004. - Т. 12, № 2-4 (40). -С. 77-83.

122. Моденов В. П., Петрова Ю. Ю. Расчет волноводно-резонансных систем из последовательности базовых блоков // Труды Третьей всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике». М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. - С. 190-198.

123. Моденов В. П., Петрова Ю. Ю. Математическое моделирование волноводных многоканальных сумматоров и делителей // Прилож. к журн. «Физика волновых процессов и радиотехнические системы». 2005. -С. 140-141.