Штеккелевы пространства в некоторых космологических задачах

Рыбалов, Юрий Александрович

Штеккелевы пространства в некоторых космологических задачах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Рыбалов, Юрий Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Томск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Штеккелевы пространства в некоторых космологических задачах»

Автореферат диссертации на тему "Штеккелевы пространства в некоторых космологических задачах"

На правах рукописи

Рыбалов Юрии Александрович

ШТЕККЕЛЕВЫ ПРОСТРАНСТВА В НЕКОТОРЫХ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

01 04 02 Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003476466

Томск-2009

003476466

Работа выполнена в Томском государственном педагогическом университете на кафедре теоретической физики

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Осетрин Константин Евгеньевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Галажинский Антон Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Шаповалов Александр Васильевич

Ведущая организация Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Татарский юсударственный гуманшарно-педш огически й универси гет»

Защита состоится «24» сентября 2009 г в 16 30 часов на заседании диссертационного совета Д212 267 07 при государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Томский государственный университет» по адресу 634050, г Томск, пр Ленина, 36

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета по адресу 634050, г Томск, пр Ленина, 34

Автореферат разослан «21» августа 2009 г

Ученый секретарь диссертационного совета У^ро ^ ® Ивошш доктор физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАК1ЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

Одной из актуальных проблем современной физики является построение реалистичных модеаен развития Вселенной Современные набчюдательные данные противоречат стандартным космологическим моделям в рамках общей теории относительности Решение этой проблемы идет через построение альтернативных (модифицированных) теорий гравитации Эти теории используют новые подходы н методы (теории гравитации с высшим производными, со специальным гравитационными условиями, с высшими размерностями), в этих подходах используются дополнительные объекты для описания гравитационных эффектов (темная энершя и материя со специальными свойствами, дилатон и тп) При построении современных космологических модеаей используются самые последние достижения различных физических теорий, таких как теории струн, теории бран, теории с тагранжианами, нелинейными по кривизне При этом полагается что жизнеспособная теория должна являться метрической теорией

Усложнение появившихся при этом теорий и моделей приводит к трудности интегрирования полевых уравнений даже при рассмотрении самых простых моделей Число точно решаемых моделей в таких теориях невелико Невозможность аналитического исследования приводит к необходимости использования чистенных методов интегрирования, что связано с изучением проблем сходимости и контроля точности расчета, где для выверки методов большую роль играют точно решаемые задачи При квантовании теорий также значительную роль играют точно решаемые классические модели

Но численные методы не всегда достаточны для изучения физических свойств пространств, в которых рассматриваются космологические задачи Для этого необходимо получение аналитических решений полевых уравнений В связи, с чем существует проблема точного интегрирования и классификации полученных решений для полевых уравнений в различных моделях в рамках модифицированных теорий Классификация решений -это нахождение всех неэквивалентных решений полевых уравнений относительно определенной группы преобразований По этой причине выбираются пространства, в которых рассматриваются метрики, обладающие какой-либо симметрией Систематическое исследование проблемы аналитического интегрирования полевых уравнений Эйнштейна было связано с классификацией пространств, допускающих группы движения (см работы Бианки, Петрова)

Обобщением таких пространств являются пространства, содержащие более сложные геометрические объекты (тензорные и векторные поля

"л

Киллинга) На эти объекты обычно накладываются допочнительные условия Проблема построения классификации для пространственно-временных метрик, допускающих наборы таких геометрических объектов, удовлетворяющих дополнительным условиям, имеющим физический смысл рассматривалась в работах Robertson Н Р, Eisenhart L Р, Шаповалова В Н , Багрова В Г , Обухова В В , Шаповалова Л В и д р

При этом разделение переменных возможно только в специальных системах координат, называемых привилегированными Так же штеккелевы пространства характеризуются наличием (или отсутствием) в

привилегированной системе координат изотропных переменных, в связи с чем введено обозначение штеккелевых пространств с помощью пары чисел (NN0), число N отвечает за размерность группы, образованной взаимно коммутирующими векторами Киллинга, N0 - число изотропных переменных Пространства, допускающие привилегированные системы координат, в которых присутствуют изотропные переменные, называются изотропными штеккелевыми пространствами Интерес к таким пространствам вызван тем, что они могут быть использованы для изучения задач о распространении гравитационных волн и других видов излучения Таким образом, штеккелевы пространства вызывают к себе интерес в связи с тем, что в них возможно аналитическое интегрирование различных полевых уравнений (уравнения гравитации Эйнштейна, уравнения скалярно-тензорной теории гравитации Бранса-Дикке) Вместе с тем широкое применение таких пространств осложнено тем, что они заданы с достаточно большим лроизвотом, и метрики этих пространств в общем случае имеют достаточно сложный вид Поэтому возникает необходимость сформулировать физически и геометрически обоснованные дополнительные условия, ограничивающие этот произвол Изучение дополнительных симметрии в пространствах призвано помочь в наложении дополнительных свойств, что решает проблему большого произвола в метриках пггеккелевых пространств Как дополнительное ограничение на метрики штекке левых пространств можно рассматривать условие их принадлежности к классу конформно-плоских пространств

Конформно-птоские пространства являются наиболее простым обобщением плоских пространств и представляют интерес как наиболее простой класс пространств, имеющих отношение к построению космологических моделей С их помощью можно строить физически интересные космологические модели (напомним, что пространства де Сиггера, Фридмана-Робертсона-Уокера относятся к конформно-плоским)

Конформно-штеккелевы пространства в частности возникают при рассмотрении конформного отображения штеккелевых пространств на пространства Эйнштейна Проблема конформного отображения римановых пространств на пространства Эйнштейна впервые изучалась в работе Бринкмана, где была получена первая серия уравнений совместности (условия Бринкмана) При рассмотрении метрик пространств с учетом условий совместности в метрический тензор пространства включается конформный фактор Конформно-плоские штеккелевы пространства - это штеккелевы пространства, на которые накладывается дополнительное условие - равенство нулю тензора конформной кривизны Вейля

Метрику конформно-плоского пространства в некоторой системе координат можно записать в виде

сЬ2 =е-"'х" "''(А0 -Л1 -еЬг -Л1)

Тензор конформной кривизны Вейля определяется в следующей форме

СеЬа! = КаЬЫ + (К Ы ^Ьс + 8ь^аг1 ~ Кы^ас) +~7

1 О

Условие равенства нулю тензора Вейля показывает, что конформно-плоские вакуумные решения (11^ = о = И ) являются плоскими Все конформно-плоские решения для идеальной жидкости, электромагнитного поля или поля чистого излучения в общей теории относительности известны (см обзор по точным решениям уравнений Эйнштейна под редакцией Шмутцера)

Конформно-плоские решения в случае идеальной жидкости - это или обобщенные внутренние решения Шварцшильда или обобщенные решения Фридмана, для пыли решениями будут только модели Фридмана, а единственным стационарным решением является статистическое внутреннее решение Шварцшильда Конформно-плоские поля Эйнштейна-Максвелла дают либо метрику Бертотти-Робинсона (с неизотропным электромагнитным полем), либо они являются специальными плоскими волнами (с изотропным электромагнитным полем) Конформно-плоские поля чистого излучения содержатся в решениях специальных плоских волн, их всегда можно интерпретировать в терминах изотропного электромагнитного поля

Конформно-штеккелевы пространства рассматривались в совместных работах Багрова В Г , Обухова В В , Осетрина К Е Классификация изотропных конформно-штеккелевых метрик рассматривалась в работах этих же авторов

В диссертации рассматривается класс конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств, интересующих нас с точки зрения возможности получения аналитических решений для полевых уравнений различных гравитационных теорий (не только ОТО), при этом полученные решения можно физически интерпретировать, что является немаловажным критерием для анализа альтернативных теорий гравитации

Класс конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств является интересным инструментом для исследования альтернативных теорий гравитации В диссертации изучение конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств начинается с наиболее простых космологических моделей вакуумной конформно-плоской Вселенной, и вакуумной конформно-плоской Вселенной с космологической постоянной В итоге получены все неэквивалентные решения для вакуумных уравнений гравитации Эйнштейна (с учетом А - члена) в конформно-плоских штеккелевых пространствах

В настоящее время проблема поиска новых точных решений уравнений гравитации Эйнштейна не относится к наиболее популярным задачам общей теории относительности, поскольку число известных решений и без того внушительно В диссертации же классификация

осуществляется с целью перечисления всех неэквивалентных решений полевых уравнений - метрик штеккелевых пространств в привилегированных системах координат для конкретных задач

Следующим этапом в диссертации является получение всех метрик для конформно-плоских штеккелевых пространств в задаче Вайдья (Вселенная с излучением) Задача Вайдья удобна для изучения движения безмассовых частиц и является более сложной и в тоже время физически интересной моделью с излучением (гравитационным, электромагнитным и т п) Логичным завершением исследования конформно-плоских штеккелевых пространств как класса штеккелевых пространств в рамках диссертационной работы является нахождение всех метрик конформно-плоских штеккелевых пространств в скалярно-тензорнои теории гравитации Бранса-Дикке Скалярно-тензорная теория гравитации Бранса-Дикке является одной из первых модифицированных теорий гравитации В настоящее время скалярно-тензорные теории вызывают интерес как низкоэнергетические приближения квантово-полевых теорий На основе рассмотренных задач можно сделать вывод о возможности использования конформно-плоских штеккелевых пространств для нахождения аналитических решений в более сложных космологических моделях, получаемых в рамках других метрических теорий гравитации

Цель работы

1 Классификация конформно-плоских штеккелевых пространств типа (Ы 1) как математического инструмента для построения аналитически интегрируемых моделей в метрических теориях гравитации

2 Апробация конформно-плоских штеккелевых пространств типа (И 1) в конкретных космологических задачах, в том числе в альтернативных теориях гравитации

Научная новизна работы

В диссертации впервые проводилось исследование конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств с целью построения на их основе космологических моделей для последующего использования в анализе существующих альтернативных теорий гравитации и получения решений, подходящих для физической интерпретации Впервые получены следующие результаты

1 Из множества изотропных штеккелевых пространств выделены классы конформно-плоских штеккелевых пространств как

удобный инструмент для почучения аналитически интегрируемых космологических моделей

2 Проведена классификация конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1 1) и типа (2 1) для вакуумных уравнений гравитации Эйнштейна и вакуумных уравнений гравитации Эйнштейна с А - членом

3 Проведена классификация конформно-плоских штеккелевых пространств типа (11) в задаче Вайдъя (гравитация с излучением)

4 Найдены все решения для конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1 1) в скалярно-тензорной теории гравитации Бранса-Дикке

Научная и практическая значимость работы

В дальнейшем на базе полученных конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств можно проводить анализ и сравнение более сложных космологических моделей для других альтернативных теорий гравитации (дилатонные теории, теории с нелинейными слагаемыми по кривизне и д р )

Полученные аналитически интегрируемые модели можно использовать для задач квантования или начального приближения при численном интегрировании

Результаты работы можно рекомендовать для использования в научных и учебных организациях, в которых ведутся исследования в области теории гравитации, в области интегрирования классических и модифицированных уравнений математической физики в искривленном пространстве-времени в Московском, Томском, Санкт-Петербургском, Казанском университетах, в Татарском гуманитарно-педагогическом университете

Результаты, выносимые на защиту:

В диссертационной работе предложен и апробирован новый подход к получению аналитически интегрируемых моделей в метрических теориях гравитации на базе конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств С помощью предложенного подхода найдены аналитические решения для ряда моделей и построена их классификация

1 Из множества изотропных штеккелевых пространств выделены классы конформно-плоских штеккелевых пространств как удобный инструмент для получения аналитически интегрируемых моделей для метрических теорий гравитации

2 Построена полная классификация конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1 1), типа (2 1) для вакуумных уравнений гравитации Эйнштейна и вакуумных уравнений гравитации Эйнштейна с Л - членом

3 Построена полная классификация конформно-плоских штеккелевых пространств типа (11) в задаче Вайдья (гравитация с излучением)

4 Построена полная классификация конформно-плоских штеккетевых пространств типа (11) в скалярно-тензорной теории гравитации Бранса-Дикке

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на

1 International School/Seminar QUANTUM FIELD THEORY AND GRAVITY, Tomsk State Pedagogical University, July 2 -7, 2007, Tomsk

2 Российской летней школе-семинаре "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии" GRACOS-2007, 9-16 сентября 2007 г, Казань-Яльчик, Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет

3 13-й Российской Гравитационной Конференции международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике, RUSGRAV-13, 23-28 июня 2008г, РУДН, Москва

Исследования, проведенные в диссертационной работе, поддержаны фантом РФФИ, проект № 06-01-00609, и Президентской программой поддержки ведущих научных школ РФ, проект № 4489 2006 2 и проект № 2553 2008 2 '

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 5 печатных работ (3 статьи опубликованы в ведущих рецензируемых журналах РФ), перечисленных в заключительной части автореферата

Объем н структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы Список литературы состоит из 181 наименования Общий объем диссертации составляет 122 страницы

Содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, указаны научная новизна, научная и практическая значимость результатов работы, сделан краткий обзор по проблематике диссертации, перечислены результаты, выносимые на защиту, приведены структура и содержание диссертации

Первая глава носит обзорный характер и призвана обеспечить основу для дальнейшего изложения материала диссертации В ней приводятся общие положения теории штеккелевых пространств, рассмотрена теория разделения переменных в уравнешш Гамильтона-Якоби, Клейна-Гордона-Фока и основные свойства изотропных штеккелевых пространств

В общей теории относительности движение пробной частицы в гравитационном поле описывается уравнениями геодезических

x'+I>V=0, (1)

которые представляют собой систему дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными Здесь i,j,k,I-l п, Г^ -символы Кристоффеля, точкой обозначена производная по каноническому параметру т

Здесь и далее по тексту будем придерживаться следующих обозначений

1 Функции, зависящие только от одной переменной х' (и, возможно, от параметров Яу) обозначаются малыми буквами с обязательным единичным правым нижним индексом, в этом случае производные по х' обозначаются точками Примеры

й =«(«',фА, VIР)

ах dur

2 Множество координатных индексов j,k = 1 п разбивается двумя фиксированными целыми неотрицательными числами N,Nt на три подмножества Индексы из этих подмножеств обозначаются следующим образом

p,q,r = 1 N /4,,v„,r0=JV + l N +N„ ¿i,v,t = N +1 и Vj,//,, r, = N + iV0 + l и

3 Применяется правило суммирования Эйнштейна, согласно которому

V-ZV

р-1

Решение уравнения Гамильтона-Якоби

ffS.S, =>»2 (4)

удовлетворяющее условию полноты

52S

del II—= const, (5)

дЛ,(к

позволяет свести проблему интегрирования уравнений движения к

решению алгебраических уравнений вида — = </-const Здесь Я, - п

дЛ,

существенных параметров Па данный момент эффективным методом построения таких интегралов движения является метод разделения переменных

Идея метода разделения переменных в линейных дифференциальных уравнениях в частных производных была высказана Фурье в начале ХТХ века Позднее метод был усовершенствован и испочьзован для решения уравнения теплопроводности в работах Пуассона, Дирихле, Остроградского

Для уравнения Гамильтона-Якоби проблема полного разделения переменных была поставлена Штеккелем В серии работ он решил проблему для случая, когда в привилегированной системе координат метрика пространства задается диагональным метрическим тензором Необходимые и достаточные условия полного разделения, записанные в виде нелинейных дифференциальных уравнений на компоненты метрического тензора, были получены (но не решены) в работе Леви-Чивита Яров-Яровой обобщил метод Штеккеля на случай недиагональных метрических тензоров Окончательно теория разделения (вещественных) переменных в уравнении Гамильтона-Якоби была построена Шаповаловым В Н По предложению Шаповалова пространства, в которых уравнения геодезических можно проинтегрировать методом полного разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби, называются штеккелевыми пространс гвами Общий вид метрики штеккелева пространства был опубликован им в 1973 г После этого были опубчикованы работы, в которых авторы в той или иной форме повторили результаты Шаповалова Новым можно признать результат Бененти, заметившего связь между операторами симметрии уравнения Гамильтона-Якоби и симметрией самого пространства, содержащего набор, состоящий из коммутирующих векторных и тензорных полей Киллинга

Согласно определению уравнение (4) допускает полное разделение переменных, если существует система координат, называемая привилегированной, в которой полный интеграл уравнения (4) имеет вид

S = ^(^(х'.ЛД Я, = const, ЛГ=Е (6)

Данное соотношение достигается в том и только в том случае, если существует привилегированная система координат х', в которой метрический тензор имеет вид

у" = (Ф-');/!« = (ф-')^/','^, = i?^1' (Ф-1 Л;/1 (7)

В формулах (7) по индексам v„,v, суммирование отсутствует (Ф~ -элементы n-го столбца матрицы, обратной к так называемой матрице Штеккеля, имеющей вид

Ф;=Ф;(*"), det®;#o (8)

При этом функции Фу Д /;, - произвольные функции от своих аргументов

Первые N переменных в привилегированной системе координат л' не входят явно в компоненты метрического тензора и поэтом)' называются

игнорируемыми (,V = '' т ^ <д(х',А;))

Пространство с метрическим тензором (7) допускает N параметрическую абелеву группу движений Из множества полных наборов штеккелева пространства принято всегда рассматривать только набор, векторные поля которого образуют абелеву группу максимально возможного ранга Тогда имеется инвариантная характеристика набора, задаваемая числами N и Nn = N-rauk(gii}iytl'), где Y'r - векторные поля, входящие в полный набор интегралов движения уравнения Гамильтона-Якоби Числа N и А'р задают тип штеккелева пространства (и тип полного разделения переменных, а также тип полного набора) Соответствующее штеккелево пространство принято называть штеккелевым пространством типа {N,N0) (или просто - пространством типа (N,Лг„) в тех случаях, когда это не вызывает недоразумений)

В искривленном пространстве N <11 Если задана лоренцевская сигнатура (-,-,-,+), то в этом случае Nb может принимать одно из двух значений - 0,1 Если NB =1, одна из компонент метрического тензора g" в (7) обращается в нуль Соответствующая переменная называется изотропной, само же пространство - изотропным штеккелевым пространством, при Л;(, = 0 все компоненты £■"' отличны от нуля, пространство называется неизотопным штеккелевым пространством В теории гравитации именно изотропные штеккелевы пространства представляют наибольший интерес, поскольку онн описывают пространство - время с гравитационным излучением Гиперповерхности

уровня изотропной переменной совладают с фронтом гравитационной волны, в случае пространств с электромагнитным изчучением также с фронтом электромагнитной волны (пространства электровакуума)

То, что уравнения I еодезических могут быть проинтегрированы методом полного разделения переменных, дает возможность не только изучить поведение пробных тез в данных пространствах, но и осуществить переход к синхронным системам отсчета (которые существуют всегда), в явном виде возможный лишь при усчовии, что уравнение геодезических можно точно проинтегрировать В синхронных системах отсчета можно дать ответы на важные физические вопросы, связанные, например, с нахождением источников гравитационного поля Синхронные системы отсчета можно использовать для физической интерпретации точных решений уравнений Эйнштейна Известны примеры, когда интерпретацию удле гея провести для штеккелевых пространств

В первой главе так же приведен общий вид метрик штеккелевых пространств в 4-мерном пространстве-времени с лоренцевской сигнатурой, на основе введенной общей классификации штеккелевых пространств по типам

В параграфе 1 3 приведены основные своиства изотропных штеккечевых пространств

Во второй главе решается задача о классификации метрик конформио-пчоских штеккелевых пространств типа (1 1) и типа (2 1) для вакуумных уравнений Эйнштейна с А - членом и без А - ччена На базе решения вакуумных уравнений Эйнштейна можно проверить возможности испочьзования конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств, на базе которых возможно нахождение аналитических решении в более сложных и физически интересных космологических задачах Полученные при этом решения можно анализировать и физически интерпретировать, что немаловажно

Рассмотрение начато с класса конформно-плоских штеккелевых пространств типа (11), по классификации штеккелевых пространств имеется один вектор Киллинга и одна изотропная переменная Так же рассматривается класс конформно-плоских штеккелевых пространств типа (2 1), имеющий два коммутирующих вектора Киллинга и одну изотропную переменную Метрики конформно-плоских штеккелевых пространств записаны в привилегированной системе координат, пространства типа (11) зависят от трех переменных, пространства типа (2 1) зависят от двух переменных Исследование пространств допускающих наличие изотропных переменных обусловлено возможностью изучения волновых явлений (электромагнитные, гравитационные и д волны), что представляет интерес для построения космологических моделей Использование

классической теории гравитации Эйнштейна позволило отладить предлагаемую методику

При наложении на исходную метрику штеккелевых пространств типа (1 1) и типа (2 1) условия принадлежности к классу конформно-плоских пространств возникает несколько классов

Конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1 1) содержат 2 класса

С,(х2, х1) = (/, (л:2) + i, (х'))[г + q(—r - -Lrfl

J___1_

'/2(х2) /,(х'У где /2(х2) и /,(х') удовлетворяют уравнениям

U" = t2(at2 + bL+c\ t," = t2(-at,2 (10)

а, Ь, с, г, q - константы, А(х°, х1, х', х1) - произвольная функция

ds2 = -(2pdx°dx] + G(x2,x')(dx1)2-r0(x")(dx2)2-(p-rJx0))^)2), (11) Д

О(х2,хг) = -т(^) + г„(г0)и',(х<)-х2(х2)), (12)

где r0(x°) удовлетворяет уравнениям

(г,')2=У(т0) (13)

2х2 (х-pf [х2(а-Р) + 2рРх - p2/J] + Зр(2х - p)Y(х) - рх(х - р)! '(л) = 0 (14) - константы, g2(x2) и ¿,',(х') определяются условием

g2\x2 ) = const = lp2, g- "(х1) - const = sp2. l,S-LOH\l, (15)

Д(х°,х',х2,х1) - произвольная функция

Данные метрики используются при решении вакуумных уравнений Эйнштейна без А - члена

1%= 0 (16)

где R, - тензор Риччи

Также получены решения вакуумных уравнений Эйнштейна с Л -членом

0, (17)

где Л - космологическая постоянная

Конформно-плоские штеккелевы пространства типа (2 1) содержат 3 класса

ds2 = -(o}(x'i)(dx°)2 + 2p,(x')d^dx' +2dx"dx2 + cJx")(dx')2 +(Л')2), (18) Д

где Д(г", г') - произвольная функция, другие функции имеют вид

2/ +21Ьх' +1а{х')-

(ах +Ь)

2(ахл+Ь)'

(2 иг-lb2)1 , , nn ----- - +к(ах f h)- I s (21 )

' AaHax'+b) 2)

its1 =-(al(Y,)(iiv")2 ^2p,(x")clx"Jx' +2Jx'ch2 +c(Jx'f +(cfe')2), (22)

где A(x',x\x-,x')- произвольная функция, другие функции имеют вид

р, =p\3+q, p,q—const, (23)

=—(л')2+лх3+А, a, t>-const (24)

А2 + 2pclxaih? +2éc°dx2 +c2(x2)(tfc')2 +(c&'f), (25)

где А(х',х\х\х') - произвольная функция, другие функции имеют вид

а, = ¿'(х')2 +Ьх} + с, с1' = -4<1, и, Л, с, (/-сот/ (26)

Для конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1 1) и (2 1) найдены все решения для вакуумных уравнений гравитации Эйнштейна (16) и (17)

Для полученных классов метрик бьпо проведено разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби (4) и уравнении эйконала

(27)

В третьей главе решается задача о классификации метрик конформно-пюских штеккелевых пространств типа (1 1) в задаче Вайдья

Задача интегрирования уравнений Энштейна, в которых тензор энергии-импульса имеет вид

//=0 (28)

Ал '

носит название задачи Вандья 0(х'\х\х\х'') - плотность потока излучения, /, - изотропный вектор

К задаче Вайдья, в частности сводятся уравнения Эйнштейна, описывающие высокочастотное излучение (гравитационное, электромагнитное, и т д) малой амплитуды, распространяющиеся на фоне искривленного пространства-времени

Эта задача построена на основе модели, в которой тензор энергии-импульса высокочастотного низко-амплитудного излучения сводится к

виду (28) Изучение движения безмассовых частиц является эффективным средством изучения структуры пространства-времени и процессов, проходящих в нем В связи с этим представляет интерес использование штеккелевых пространств в задаче Вайдья, что позволяет получить аналитические решения для движения безмассовых частиц

В диссертационной работе задача Вайдья исследуется с целью апробации конформно-плоских изотропных штеккелевых задач в решении космологических задач с излучением

Рассматриваются метрики (9), (11) с условиями на функции, приведенные выше Решаются полевые уравнения

(29)

При этом отметим, что изотропные векторы заданы в виде

/, ^(»"Х^'Ш^Ш*')} (30)

Следствие условия изотропности из (28)

1< = 0 (31)

Исходя из вида компонент полевых уравнений (29), можно провести ряд преобразований метрического тензора приводящих к упрощению исследуемых уравнений

В итоге мы получаем метрики

¿ь2 = А2 (2+С(с1х' У + Т(ск2 )2 + (1 - Т^еК')2), (32)

где функции О, Т имеют различный вид для (9) и (11)

где r2,t, имеют вид (10)

с=ч\гт} (33)

Г = г0> « = -Ча(*2)2+в1*2+а2)г0-(/?(*,)2+Дд,)(1-г0), (34)

где т0 удовлетворяет уравнениям (13) и (14)

В итоге построена классификация конформно-плоских штеккелевых пространств типа (11) в задаче Вайдья (Вселенная с излучением) Получено 4 класса решений

В четвертом главе решается задача о классификации метрик конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1 1) в скалярно-тензорной теории гравитации Бранса-Дикке

В свое время скалярно-тензорная теория гравитации Бранса-Дикке рассматривалась как весьма перспективное обобщение ОТО

Имеющиеся на данный момент наблюдательные данные показывают, что рамок ОТО недостаточно для построения адекватных космологических

моделей Позтому в настоящее время идет поиск альтернативных теорий гравитации Теория гравитации Бранса-Дикке является одной из первых альтернативных скалярно-тензорных теорий гравитации и интерес к ней сейчас значительно вырос

Теория Бранса-Дикке отличается от ОТО видом полевых уравнений, но воздействие гравитации на физические системы в теории Бранса-Дикке и ОТО эквивалентно и определяется метрическим тензором В теории Бранса-Дикке как и в ОТО, пробные частицы движутся но геодезическим, поэтому в теории Бранса-Дикке представляют интерес штеккелевы пространства которые допускают по определению интегрирование уравнений движения пробных частиц в форме уравнений Гамильтона-Якоби методом полного разделения переменных С другой стороны, при нахождении точных решений уравнений поля в теории Бранса-Дикке штеккелевы пространства играют более важную роль, чем в ОТО, поскольку в этих пространствах имеется возможность найти общее решение скалярного уравнения, входящего в систему полевых уравнений теории Бранса-Дикке В настоящее время скалярно-тензорные теории вызывают интерес как низкоэнергетические приближения квантово-полевых теорий Поэтому интерес к теории Бранса-Дикке как модепыюи теории значительно вырос (в частности, в теории суперструн Грина-Шварца возникают уравнения, аналогичные уравнениям теории Бранса-Дикке)

Интерес к этой теории в диссертационном исследовании вызван тем, что на основе скалярно-тензорной теории Бранса-Дикке можно проиллюстрировать предлагаемый в диссертации подход нахождения аналитических решений для альтернативных (метрических) теорий гравитации

Метрики конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1 1) заданы в виде (2) и (4) с условиями на функции, приведенными выше

В диссертационной работе используются полевые уравнения теории Бранса-Дикке для вакуума имеющие вид

Здесь ф - скалярное поле, о> - константа Разделение переменных в скалярном уравнении приводит к следующему виду функции ф

(мультипликативное разделение переменных) Вид уравнений (35) можно упростить, если исключить скалярную кривизну и вместо ф ввести новую величину

(35)

(36)

Ф = /я!«Ч=£Ф,(Г'), (37)

1-1

допускающую разделение переменных аддитивного типа

Тогда уравнения (35) примут вид

Ф:-ф-Ф.=О

Для упрощения решаемых уравнений делается преобразование метрики, аналогичное преобразованиям задачи Вайдья В итоге получим метрику вида (32) с условиями на функции (33) и (34) Проведем дополнительное преобразование, выбираем вид конформного фактора

Д = ДДФ), Ф = £Ф,

1-0

Полученные в результате уравнения значительно проще исходных, в итоге была построена классификация конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1 1) в скалярно-тензорной теории гравитации Бранса-Дикке Таким образом, было получено 9 классов решений

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации

1 Найдены все метрики для вакуумных конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1 1) с Л - членом, найдены все метрики для вакуумных конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1 1) без Л - члена

2 Найдены все метрики для вакуумных конформно-плоских штеккелевых пространств типа (2 1) с Л - членом, найдены все метрики для вакуумных конформно-плоских штеккелевых пространств типа (2 1) без Л - члена

3 Получены решения уравнения Гамилътона-Якоби и уравнения эйконала для найденных классов метрик вакуумных конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1 1) и типа (2 1)

4 Найдены все метрики конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1 1) в задаче Вайдья (гравитация с излучением)

5 Найдены все метрики конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1 1) в скалярно-тензорной теории гравитации Бранса-Дикке

Основные результаты диссертации опубликованы в работах-

[1] Рыбалов Ю А Конформно-плоские пространства, допускающие разделения переменных в уравнении Эйконала //Труды Российской школы-семинара по гравитации и космологи

Современные теоретические проблемы гравитации и космологии Казань-Яльчик 2007 С 147-151

[2] Obukhov V V, Osetrin К Е, Rybalov Yu A Conformally flat spaces admitting complete separation of variables in the Eikonal equation//GRAVITATION & COSMOLOGY 2008 Vol 14,№1,P 104-108

[3] Задача Вайдья в конформно-плоских штеккепевых пространствах типа (1 1) / В В Обухов, К Е Осетрин, А Е Фитшшов, 10 А Рыбалов//Известия ВУЗов Физика 2009 т 52 №1 С 12-14

[4] Конформно-плоские штеккелевы пространства в теории Бранса-Дикке / В В Обухов, К Е Осетрин, А Е Филиппов, Ю А Рыбалов // Известия ВУЗов Физика 2009 т 52 №2 С 54-58

[5] Conformally flat Stackel space in Brans-Dicke theory / V V Obukhov, К E Osetrin, A E Filippov, Yu A Rybalov Problems of modern Gravity A volume in honor of Professor S D Odintsov in the occasion of his 50th birthday Tomsk State Pedagogical Univeisity Press, 2009 P 228-232

Подписано в печать 14 08 2009 г Бумага офсетная Тираж 100 экз Печать трафаретная

Формат 60x84/16 Уел печ л 1,16

Заказ 443/Н

Издательство

Томского государственного педагогического университета

г Томск, ул Герцена, 49 Тел (3822)52-12-93 И!

e-mail tipograf@tspu edu ru щШШШ"'щШ!

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Рыбалов, Юрий Александрович

Введение

1 Обзор теории штеккелевых пространств

1.1 Разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби.

1.2 Разделение переменных в уравнении Клейна-Гордона-Фока.

1.3 Общие сведения о изотропных штеккелевых пространствах.

2 Конформно—плоские изотропные штеккелевы пространства в теории Эйнштейна с А — членом

2.1 Конформно-плоские штеккелевы пространства Эйнштейна типа (1.1)

2.1.1 Конформно-плоские штеккелевы пространства типа (1.1).

2.1.2 Вакуумные конформно-плоские штеккелевы пространства типа (1.1) с А - членом.

2.1.3 Вакуумные конформно-плоские штеккелевы пространства типа (1.1) без А - члена.

2.2 Конформно-плоские штеккелевы пространства Эйнштейна типа (2.1)

2.2.1 Конформно-плоские штеккелевы пространства типа (2.1).

2.2.2 Вакуумные конформно-плоские штеккелевы пространства типа (2.1) с А - членом.

2.2.3 Вакуумные конформно-плоские штеккелевы пространства типа (2.1) без А - члена.

2.3 Интегрирование уравнения Гамильтона-Якоби и уравнения эйконала.

3 Конформно-плоские изотропные штеккелевы пространства в задаче Вайдья

3.1 Постановка задачи.

3.2 Преобразование метрики конформно-плоского штеккелева пространства типа (1.1).

3.3 Решение задачи Вайдья для конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1.1)

4 Конформно-плоские изотропные штеккелевы пространства в теории Бранса-Дикке

4.1 Постановка задачи.

4.2 Полевые уравнения теории Бранса-Дикке для конформно-плоских штеккелевых пространств

4.3 Преобразования метрики конформно-плоского штеккелева пространства типа (1.1).

4.4 Решение полевых уравнений в классе t'2 = t'z =

Введение диссертация по физике, на тему "Штеккелевы пространства в некоторых космологических задачах"

Актуальность темы

Одной из актуальных проблем современной физики является построение реалистичных моделей развития Вселенной. Современные наблюдательные данные противоречат стандартным космологическим моделям в рамках общей теории относительности. Решение этой проблемы идет через построение альтернативных (модифицированных) теорий гравитации. Эти теории используют новые подходы и методы (теории гравитации с высшим производными, со специальным гравитационными условиями, с высшими размерностями), в этих подходах используются дополнительные объекты для описания гравитационных эффектов (темная энергия и материя со специальными свойствами, дилатон и т.п.). При построении современных космологических моделей используются самые последние достижения различных физических теорий, таких как теории струн, теории бран, теории с лагранжианами, нелинейными по кривизне пространства. При этом полагается что жизнеспособная и физически обоснованная теория должна являться метрической теорией.

Усложнение появившихся при этом теорий и моделей приводит к трудности интегрирования полевых уравнений даже при рассмотрении самых простых моделей. Число точно решаемых моделей в таких теориях невелико (см. например [1-3]). Невозможность аналитического исследования приводят к необходимости использования численных методов интегрирования, что связано с изучением проблем сходимости и контроля точности расчета, где для выверки методов большую роль играют точно решаемые задачи. При квантовании теории также значительную роль играют точно решаемые классические модели. Имеется ряд аналитических решений для классических моделей см. [4-20]. Но численные методы не всегда подходят для понимания физических свойств пространств, в которых рассматриваются космологические задачи. Для этого необходимо получение аналитических решений полевых уравнений. В связи с чем существует проблема точного интегрирования и классификации полученных решений для полевых уравнений в различных моделях в рамках модифицированных теорий. Классификация решений - это нахождение всех неэквивалентных решений полевых уравнений относительно определенной группы преобразований. По этой причине выбираются пространства, в которых рассматриваются метрики, обладающие какой-либо симметрией. Системное исследование проблемы аналитического интегрирования полевых уравнений Эйнштейна было связано с классификацией пространств, допускающих группы движения (см. [21-23]). Обобщением таких пространств являются пространства, содержащие более сложные геометрические объекты (тензорные и векторные поля Киллинга). На эти объекты обычно накладываются дополнительные условия. Проблема построения классификации для пространственно-временных метрик, допускающих наборы таких геометрических объектов, удовлетворяющих дополнительным условиям, имеющим физический смысл рассматривалась в работах [24-34]. Пространства, которые допускают существование так называемых полных наборов взаимно коммутирующих векторов и тензоров Киллинга относятся к штеккелевым пространствам.

Пространства Римана, позволяющие проинтегрировать уравнения геодезических методом полного разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби для незаряженной массивной частицы, называются штеккелевыми пространствами. Теория полного разделения переменных в одночастичных уравнениях движения разработана усилиями многих исследователей, начиная с Фурье, Остроградского, Якоби. В настоящее время найдены условия полного разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби в произвольном искривленном пространстве [32,35-42]. Первые примеры штеккелевых пространств, удовлетворяющих полевым уравнениям Эйнштейна получил еще Шварцшильд. К штеккелевым пространствам относятся широко известные решения, такие как решения Керра, Казнера, де Ситтера и т.д. (см. например [16,17,43-45]). Установлено, что принадлежность пространства к классу штеккелевых является необходимым условием для полного разделения переменных во всех основных уравнениях математической физики: Клейна-Гордона, Дирака, Вейля и других (см., например [46-61]). Этим объясняется тот факт, что все известные аналитические решения уравнений математической физики получены в классе штеккелевых пространств [62]. В настоящее время классификационные задачи для штеккелевых пространств в достаточной мере изучены как видно из приведенной выше литературы. Решены проблемы классификации штеккелевых метрик в пространствах Эйнштейна, Риччи-плоских пространствах, пространствах электровакуума и т.д. Так же данная проблема исследовалась для однородных пространств, и получено множество точных решений самых различных полевых уравнений (к примеру [63-68]). При изучении штеккелевых пространств были установлены ковариантные критерии принадлежности пространств к классу штеккелевых, этим критерием является наличие в пространстве так называемого полного набора взаимно коммутирующих векторов и тензоров Киллинга. При этом разделение переменных возможно только в специальных системах координат, называемых привилегированными. Так же штеккелевы пространства характеризуются наличием (или отсутствием) в привилегированной системе координат изотропных переменных, в связи с чем введено обозначение штеккелевых пространств с помощью пары чисел: (N.N0), число N размерность группы движений пространства, образованной взаимно коммутирующими векторами Киллинга, входящими в так называемый полный набор, Nq - число изотропных переменных. Пространства, допускающие привилегированную систему координат, в которых присутствуют изотропные переменные, называются изотропными штеккелевыми пространствами. Интерес к таким пространствам вызван тем, что они могут быть использованы для рассмотрения задач о распространении гравитационных волн и других видов излучения. Таким образом штеккелевы пространства вызывают к себе интерес в связи с тем, что в них возможно аналитическое интегрирование различных полевых уравнений метрических теорий гравитации. Вместе с тем широкое примеиение таких пространств осложнено тем, что они заданы с достаточно большим произволом, и метрики этих пространств в общем случае имеют достаточно сложный вид. Поэтому возникает необходимость сформулировать физически и геометрически обоснованные дополнительные условия, ограничивающие этот произвол. Изучение дополнительных симметрий в пространствах призвано помочь в наложении дополнительных условий, что решает проблему большого произвола в метриках штеккелевых пространств.

Как дополнительное ограничение на метрики штеккелевых пространств можно рассматривать условие их принадлежности к классу конформно-плоских пространств. Конформно-плоские пространства являются наиболее простым обобщением плоских пространств и представляют интерес как наиболее простой класс пространств, имеющих отношение к построению космологических моделей. С их помощью можно строить физически интересные космологические модели (напомним, что пространства де Ситтера, Фридмана-Робертсопа-Уокера относятся к конформно-плоским).

Конформно-штеккелевы пространства возникают например при рассмотрении конформного отображения штеккелевых пространств на пространства Эйнштейна. Проблема конформного отображения римановых пространств па пространства Эйнштейна впервые изучалась в работе Бринкмана [69] (см. также [70]), где была получена первая серия уравнений совместности (условия Бринкмана). При рассмотрении метрик пространств с учетом условий совместности в метрический тензор пространства включается конформный фактор. Конформно-плоские штеккелевы пространства - это штеккелевы пространства на которые накладывается дополнительное условие - равенство нулю тензора конформной кривизны Вейля. Метрику конформно-плоского пространства можно записать в виде: ds2 = - dx1 - dx2 - dx3). (1)

Тензор конформной кривизны Вейля определяется в виде:

1 R

С abed = Rabcd+^(9adRbc+9bcRad — 9acRbd—9bdRac) + -pr(9ac9bd—gad9bc), (2)

2 b где Rabcd - тензор Римана, Rab - тензор Риччи, R - скалярная кривизна, даь - метрический тензор пространства. Условие Caicd — 0 показывает, что конформно-плоские вакуумные решения (.Rab = 0 — R) являются плоскими. Все конформно-плоские решения в рамках теории Эйнштейна для идеальной жидкости, электромагнитного поля или поля чистого излучения известны (см. обзор [11]).

Конформно-плоские решения в случае идеальной жидкости являются или обобщенные внутренние решения Шварцшильда:

Нг2 ds2 = , ' , + г2И2 + sin20dtp2) - (u4)2dt2-, (3)

1 — С lrl щ = гfi{t)sinOsin^+rf2{t)sin6cos(p+rf^{t)cos0^f^{t)y I — C2r2—С-1;

Kofi — 3 С2 = const

Kqp = —K0fi + 2Си4] A = u4(^ const), где /i(i), /2(^)1 /з(0> /з(0 " произвольные функции, или обобщенные решения Фридмана ds2 = V~2(dx2 + dy2 + dz2) - (^ fdi2 (4)

V = + C2(04VO (l)t)/9{[X - X°{t)]2 + [У- уМ?+ +[z - z0{t)}2}; KQfi = 3C2(t);

KQp = -кф + 2CCAV/VA = С(2.A - 3C), где x0(t), yo(t), z0(t), C(t), Vq(t), 9(t) - произвольные функции; для пыли решениями будут только модели Фридмана, а единственным стационарным решением является статистическое внутренне решение Шварцшильда оо-2 36v/l — r2/R2 — а ад = ЗД- = coruf; = ^ ^ ^ ; (5) ds2 = rW + dr2{ 1 - r2/R2) - (a - by/1 - r2/R2)2dt2.

Конформно-плоские поля Эйнштейна-Максвелла дают либо метрику Бертотти-Робинсона ds2 = dx2 + cos2(yrк^Фx)dy2 + cos2(v^$t)dz2 - dt2, (6) соответствующее поле Максвелла может быть записано как

Fab = $V2{uazb-zzub), (7)

Щ = -64i, Zi = д\соз(у/к^ФЬ) с не изотропным электромагнитным полем), либо они являются специальными плоскими волнами ds2 = dx2 + dy2 - 2аЫи - дс0Ф2(п)(ж2 + y2)du2/2, (8) соответствующее поле Максвелла определяется выражением аЬ = ФСи)(йаРЬ-Р<А), (9) ра = (cos</?, sine/?, О, 0). у? = <р{и) с изотропным электромагнитным полем). Конформно-плоские поля чистого излучения содержатся в (8); их всегда можно интерпретировать в терминах изотропного электромагнитного поля.

Конформно-штеккелевы пространства рассматривались в работах [71-73]. Классификация изотропных конформно-штеккелевых метрик рассматривалась в работах [70,74-89].

В диссертации рассматривается класс конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств, интересующих нас с точки зрения возможности получения аналитических решений полевых уравнений различных гравитационных теорий, при этом полученные решения можно физически интерпретировать, что является немаловажным критерием для анализа альтернативных теорий гравитации.

Класс конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств является инструментом для исследования альтернативных теорий гравитации. В диссертации изучение конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств начинается с наиболее простых космологических моделей: вакуумной конформно-плоской Вселенной, а так же вакуумной конформно-плоской Вселенной, заполненной постоянной (вакуумной) энергией. В итоге получены все неэквивалентные решения для вакуумных уравнений гравитации Эйнштейна (с учетом А - члена) в конформно-плоских штеккелевых пространствах. Все решения вакуумных уравнений гравитации Эйнштейна для конформно-плоских пространств найдены в более ранних исследованиях, но в работе ставилась задача проведения классификации, исходя из принадлежности полученных решений к классу штеккелевых пространств, а так же исследование возможности использования конформно-плоских штеккелевых пространств для нахождения аналитических решений в некоторых задачах теории гравитации.

В настоящее время проблема поиска новых точных решений уравнений гравитации Эйнштейна не относится к наиболее популярным задачам общей теории относительности, поскольку число известных решений и без того внушительно. Классификация же осуществляется с целью перечисления всех неэквивалентных метрик штеккелевых пространств для конкретной задачи.

Следующим этапом в диссертации является получение всех метрик для конформно-плоских штеккелевых пространств в задаче Вай-дья. Задача Вайдья удобна для изучения движения безмассовых частиц и является более сложной и в тоже время физически интересной моделью с излучением (гравитационным, электромагнитным и т.д.). Задача Вайдья посути является задачей о конформно-плоских полях чистого излучения решения, для которой найдены и представлены в обзоре [11], но в диссертации задача Вайдья рассматривалась с целью построения классификации для конформно-плоских штеккелевых пространств.

Логичным завершением исследования конформно-плоских штеккелевых пространств как класса штеккелевых пространств в рамках диссертационной работы является нахождение всех метрик конформно-плоских штеккелевых пространств в скалярно-тензорной теории гравитации Браиса-Дикке. Скалярно-тензорная теория гравитации Бранса-Дикке является одной из первых модифицированных теорий гравитации. В настоящее время скалярно-тензорные теории вызывают интерес как низкоэнергетические приближения квантово-полевых теорий. На основе этого можно сделать вывод о возможности применения метода полного разделения переменных на основе конформно-плоских штеккелевых пространств к более сложным космологическим моделям получаемым в рамках метрических теорий гравитации.

Штеккелевы пространства могут быть использованы для рассмотрения следующих физических аспектов изучаемых в работах из следующих областей:

1. Построение на базе штеккелевых пространств моделей Большего взрыва, исследование начальных сингулярностей и построение инфляционных моделей. Исследование космологических моделей с целью выяснения механизма изотропизации Вселенной, (см. примеры: [90-94]).

2. Исследование поведения космологических моделей для различных современных теорий гравитации с целью выяснения общих закономерностей в картине развития Вселенной, (см. например: [95-100]). Хорошие результаты получены для теории Бранса-Дикке с использованием метода полного разделения переменных [74,78,101-106].

В рамках этих направлений лежат результаты исследований диссертационной работы:

1. Построение классификации конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств в задаче Вайдья в привилегированной системе координат. Найдены метрические тензоры и излучение, отвечающие уравнениям Эйнштейна и допускающие интегрирование уравнений движения пробной частицы в форме Гамильтона-Якоби методом полного разделения переменных.

2. Построена классификация конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств в теории Бранса-Дикке со скалярным полем дилатонного типа, то есть найдены метрические тензоры и скалярное поле, отвечающие полевым уравнениям скалярно-тензорной теории Бранса-Дикке и допускающие интегрирование уравнений Гамильтона-Якоби для пробной частицы методом полного разделения переменных.

3. Построена классификация конформно-плоских штеккелевых пространств Эйнштейна, то есть найдены метрические тензоры и конформный фактор, отвечающий уравнениям Эйнштейна и позволяющий интегрирование уравнений эйконала для безмассовой пробной частицы методом полного разделения переменных.

Все полученные результаты являются оригинальными. Для аналитических расчетов использовалась система компьютерной алгебры

Mathematical которая является мощной средой для проведения аналитических и численных расчетов, позволяя намного ускорить процесс вычислений. Применялись программы собственной разработки для получения полевых уравнений и расчета геометрических величин.

Апробация результатов

Результаты диссертации излагались на следующих конференциях:

1. Рыбалов Ю.А. Конформно-плоские пространства допускающие полное разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби //International School/Seminar QUANTUM FIELD THEORY AND GRAVITY, Tomsk State Pedagogical University, July 2 - 7, 2007, Tomsk, Russia.

2. Рыбалов Ю.А. Конформно-плоские пространства, допускающие разделения переменных в уравнении Эйконала //Российской летняя школа - семинара "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии"GRACOS-2007, 9-16 сентября 2007г., Казань-Яльчик, Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет.

3. Conformally flat models in modified gravity theories admitting a separation of variables in the Hamilton-Jacobi equation /V.G. Bagrov, V.V. Obukhov, K.E. Osetrin, Yu.A. Rybalov //RUSGRAV-13, 13-я Российская Гравитационная Конференция - международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике, 23-28 июня 2008 г., РУДН, Москва, Россия.

Результаты диссертации изложены в следующих статьях:

1. Рыбалов ЮА. Конформно-плоские пространства, допускающие разделения переменных в уравнении Эйконала //Труды Российской школы-семинара по гравитации и космологии. GRACOS-2007.

Казань. Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет. ООО "Фолиантъ". 2007. С.147-151.

2. Obukhov V.V., Osetrin К.Е., Rybalov Yu.A. Conformally flat spaces admitting complete separation of variables in the Eikonal equation //GRAVITATION к COSMOLOGY. 2008. Vol. 14. N1. P. 104-108.

3. Задача Вайдья в конформно-плоских штеккелевых пространствах типа (1.1) /В.В. Обухов, К.Е. Осетрин, А.Е. Филиппов, Ю.А. Ры-балов //Известия ВУЗов. Физика. 2009. т. 52. N1. С. 12-14.

4. Конформно-плоские штеккелевы пространства в теории Вранса-Дикке /В.В. Обухов, К.Е. Осетрин, А.Е. Филиппов, Ю.А. Рыбалов //Известия ВУЗов. Физика. 2009. т. 52. N2. С. 54-58.

5. Conformally flat Stackel space in Brans - Dicke theory /V.V. Obukhov, K.E. Osetrin, A.E. Filippov, Yu.A. Rybalov // Problems of modern Gravity. A volume in honour of Professor S.D. Odintsov in the occasion of his 50th birthday. Tomsk State Pedagogical University Press. 2009, P. 228-232.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Список литературы состоит из 181 наименования. Общий объем диссертации составляет 122 страницы.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации

1. Найдены все метрики для вакуумных конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1.1) с Л - членом, найдены все метрики для вакуумных конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1.1) без Л - члена.

2. Найдены все метрики для вакуумных конформно-плоских штеккелевых пространств типа (2.1) с Л - членом, найдены все метрики для вакуумных конформно-плоских штеккелевых пространств типа (2.1) без Л - члена.

3. Получены решения уравнения Гамильтона-Якоби и уравнения эйконала для найденных классов метрик вакуумных конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1.1) и типа (2.1).

Вид метрик приведен в сводках результатов соответствующих разделов главы 2.

4. Найдены все метрики конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1.1) в задаче Вайдья (гравитация с излучением).

Вид метрик приведен в сводке результатов главы 3.

5. Найдены все метрики конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1.1) в скалярно-тензорной теории гравитации Бранса-Дикке.

Вид метрик приведен в сводке результатов главы 4.

В заключение считаю своим приятным долгом выразить благодарность доктору физико-математических наук, профессору Осетрену Константину Евгеньевичу за научное руководство, всестороннюю помощь в работе и сотрудничество.

Я глубоко признателен доктору физико-математических наук, профессору Обухову Валерию Владимировичу, доктору физико-математических наук, профессору Багрову Владиславу Гавриловичу и кандидату физико-математических наук Филиппову Альтаиру Евгеньевичу за всестороннюю помощь в работе и сотрудничество. Я признателен всем сотрудникам кафедры теоретической физики Томского государственного педагогического университета за предоставленные условия работы и внимание к проводимым исследованиям.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Рыбалов, Юрий Александрович, Томск

1. L. Randall and R. Sandrum, Phys.Rev.Lctt. 83 (1999)3370, hep-th/9905221.

2. Обухов В.В., Осетрин К.Е. Классификационные проблемы в теории гравитации: Монография. Томск: Издательство Томского государственного педагогического университета, 2007. 265 с.

3. Moffat, J. W. Gravitational theory, galaxy rotation curves and cosmology without dark matter, 2005, qr-qg/0412195, arXiv.

4. Обухов В.В. Классы точных решений уравнения Эйнштейна: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Москва, МГУ, 1978. 99 с.

5. Багров В.Г., Обухов В.В. Классы точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла //Изв. вузов СССР. Физика. 1982. N 4. С. 13-16.

6. Bagrov V.G., Obukhov V.V. Classes of exact solutions of the Einstein-Maxwell equations //Ann.Phys. 1983. F.7. Vol. 40. N 4/5. P. 181-188.

7. Обухов В.В. О некоторых классах точных решений уравнения Эйнштейна. II //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. N 5. С. 56-59.

8. Friedman A. Uber die Kriimmung des Raumes //Zs Phys. 1922. Vol. 10. P. 377 380.

9. Friedman A. Uber die Moglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Kriimmung des Raumes //Zs Phys. 1924. Vol. 21. P. 326.

10. Taub A.H. Empty space-time admitting a three parameter group of motions //Ann. Math. 1951. Vol. 53. P. 472.

11. Точные решения уравнений Эйнштейна /Д. Крамер, X. Штефани, Э. Херльт, М. Мак-Каллум. Москва: Энергоиздат, 1982. 416 с.

12. Schwarzschild К. Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie //Sitzungsber. Acad. Wis. 1916. P. 195.

13. Kottler F. Uber die physikalishen Grundlagen der Einsteinschen gravitations theorie //Ann. Phys. 1918. S. 4. Vol. P. 401-462.

14. Kasner E. Geometrical theorems on Einsteins cosmological equations //Amet. Journ. Math. 1921. Vol. 43.

15. Nordstrem C. On the energy of gravitational field in Einsthein theory //Proc. K. Acad. Wet. Amsterdam. 1918. P. 1238.

16. Kerr R.P. Gravitational field of a spinning mass as example of algebraically special metrics //Phys. Rev. Lett. 1963. Vol. II. P. 237328.

17. Newman E. Tamburino L., Unti T. Empty space generalization of the Schwarzshild metric //J. Math. Phys. 1963. Vol. 4. N 7. P. 915-927.

18. Demianski M., Newman E.A. Combined Kerr-NUT solution of the Einstein field equations //Bull. Acad. Polon Sci. Ser. sci. math, astronom at ptys. 1966. Vol. Г4. N II. P. 653-670

19. Takweno H. On geometrikal properties of someplane wave solutionin general relativity //Tensor. 1959. Vol. 9. N 2. P. 79-93

20. Garter B. New family of Einstein spaces //Phys. Lett. 1968. A. 29. N 9. P. 399-400.

21. Петров A. 3. Новые методы в общей теории относительности. Москва: Наука, 1966. 496 с.

22. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов А.В. О полях тяготения III типа по классификации Петрова //Изв. вузов СССР. Физика. 1981. N 10. С. 102-103.

23. Kinnersley W. Type D vacuum metrics //J.Phys. A.: Vath. Gen. 1977. Vol. 10. N 7. P. 1195-1203.

24. Шаповалов B.H. Разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка //Дифф. ур-ия. 1980. Т. XYI. N 10. С. 1864-1874.

25. Robertson Н.Р. Bemerkung iieber separierbare systeme in der Wellenmechanik //Ann. Math. 1928. Vol. 98. N 52, P. 749- 752.

26. Eisenhart L.P. Separable systems of Stackel //Ann. Math. 1934. Vol. 35. N 2. P. 284-305.

27. Eisenhart L.P. Separable systems in Euclidean 3 space //Phys.Rev. 1934. Vol. 45. P. 427-428.

28. Eisenhart L.P. Separation of variables in one particle Schrodinger equation 3 space //Proc. Nat. Acad. Sci. of USA. 1949. Vol. 35. P. 412-418.

29. Carter B. Hamilton-Jacobi and Schrodinger separable solutions of Einsteins equations //Comm. math. phys. 1968. Vol. 10. P. 280-310.

30. Bagrov V.G., Obukhov V.V. Separation of variables for the Klein-Gordon equation in special Stackel spacetimes //Quant, and Ciass. Grav. 1989.

31. Багров В.Г., Обухов В.В. Классы точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла //Изв. вузов СССР. Физика. 1981. N 12. С. 33-36.

32. Точные решения релятивистских волновых уравнений /В.Г. Багров, Д.М. Гитман, И.М. Тернов, В.Р. Халилов, В.Н. Шаповалов. Новосибирск: Наука, 1982. 143 с.

33. Bagrov V.G., Obukhov V.V. Complexification of the complete varialble separation method in Hamilton—Jacobi equation //II Int. Conference on Gen. Relat. Grav. (Stokholm) Abstracts of contr. pap. 1986. Vol. И. P.531.

34. Багров В.Г., Обухов В.В. Комплексификация метода полного разделения переменных в уравнении Гамильтона—Якоби //Изв. вузов СССР. Физика. 1988. N 9. С. 23-27.

35. Agostinelli S. Sulle equazioni di Hamilton-J acobi integrabili per separazione di variabili //Atti del R. Intituto. Veneto Scienze. Lettere ed Arti. Anno acc. 1936. 96. p. II. P. 151-161.

36. Разделение переменных в уравнении Клейна-Гордона /В.Г. Багров, А.Г. Мешков, В.Н. Шаповалов, А.В. Шаповалов. //Изв. вузов СССР. Физика. 1973. N 11. С. 66-72.

37. Шаповалов В.Н. Симметрия уравнений движения свободной частицы в римановом пространстве. //Изв. вузов СССР. Физика. 1975. N 12. С. 14-19.

38. Шаповалов В. Пространства Штеккеля //Сиб.мат. журнал. 1979. т. 20. С. 1117-1130.

39. Collinson C.D., Fugere J. Conditions for the separation of the Hamilton-Jacobi equation //J.Phys. A.: Vath. Gen. 1977. Vol. 10. N II. P. 1877-1884.

40. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в уравнение Гамильтона—Якоби I //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. N 9. С. 18-24.

41. Panagiotis M.P. Separabilite et integrales premieres des equations de Klein—Gordon et Hamiltin—Jacobi en espace courbe //Phys. Mag. 1977. Vol. 7. N 1. P.41-46.

42. Точные решения релятивистских волновых уравнений /В.Г. Багров, Д.М. Гитман, И.М. Тернов, В.Р. Халилов, Шаповалов В.Н. Новосибирск: Наука, 1982. 143 с.

43. Воуег С.P., Kalnins E.G., Miller Jr.W. Separable coordinates for four-dimensional riemannian spaces //Comm. math phys. 1978. Vol. 59. P. 285-302.

44. Воуег C.P., Kalninse E., Miller Jr.W. Separation of variables in Einsteins spaces //J.Phys. A.: Vath. Gen. 1981. Vol. 14. P. 1675-1684.

45. Debever R., McLenaghan R.G. Orthogonal transitivity, invertibility and null geodesic separability in type D electrovac solution of Einstein's field equations with cosmological constant //J. Math. Phys. 1981. Vol. 22, N 8. P. 1711-1726.

46. Teukolsky S. Perturbation of a rotating black holl. I. Fundamental equations for gravitational electromagnetic and neutrino-field perturbation //Astroph. Journ. 1975. Vol.185. P. 635-647.

47. McLenaghan R.G., Spindel Ph. Quantum numbers for Dirac spinor fields on a curved space.time //Phys. Rev. D. 1971. Vol.20. P. 409413.

48. Kamran N., McLenaghan R.G. Separation of variables and quantum numbers for Weyl neutrino field on curved space, time //Lett. Math. Phys. 1983. Vol.7. P.38I-386.

49. Kalnins E.G., Miller W.J., Williams G.C. Matrix operator symmetries of the Dirac equation and separation of variables //J. Math. Phys. 1986. Vol. 27. N 7. P. 1893-1900.

50. Giiven R. The solution of Dirac's equation in a class of type D vacuum space-times //Proc. R. Soc. London. 1977. A.356. P. 465-470.

51. Багров В.Г., Шаповалов А.В. Симметрия уравнения Дирака с внешним неабелевым калибровочным полем //Изв. вузов СССР. Физика. 1986. N 3. С. 95-103.

52. Багров В.Г., Обухов В.В. Разделение переменных в квадрирован-ном уравнении Дирака-Фока для изотропных штеккелевых пространств //Препринт ТО СО АН СССР. 1988. N 11. 11 С.

53. Мешков А.Г. Об одном методе решения уравнения Дирака //Изв. вузов СССР. Физика. 1980. N 12. С. 41-44.

54. Багров В.Г., Обухов В.В. Метод интегрирования уравнения Дирака //Препринт ТНЦ СО АН СССР. 1989. N 57. 11 С.

55. Багров В.Г., Обухов В.В. Нестандартный пример в проблеме разделения переменных в уравнении Дирака-Фока //Труды ИФАН. 1989. т.65. С. 137-143.

56. Багров В.Г., Обухов В.В. Разделение переменных в уравнении Клейна-Фока //В кн. Гравитация и электромагнетизм. Минск.: БГУ. 1988. С. 11-14.

57. Шаповалов В.П., Экле Г.Г. Алгебраические свойства уравнений Дирака. Элиста: КГУ, 1972. 90 с.

58. Шаповалов В.Н. Симметрия уравнения Дирака-Фока //Изв. вузов СССР. Физика. 1975. N 6. С. 57-63.

59. Carter В., McLenaghan R.G. Generalized total angular momentum operator for the Dirac equation in curved space-times //Phys. Rev. D. 1979. Vol.19. P. 1093 1097.

60. Unruh W.G. Separability of the neutrino equations in a Kerr background //Phys. Rev. Lett. 1977. Vol.31. P. 1265. 126.

61. Обухов В.В. Разделение переменных в скалярных и спинорных уравнениях в общей теории относительности: Дис. . докт. физ.-мат. наук. Томск, 1990. 99 с.

62. Обухов В.В., Осетрин К.Е., Филиппов А.Е. Метрики однородных пространств, допускающие полные наборы типа (3.1) //Изв. вузов. Физика. 2002. N 1. С. 42-50.

63. Штеккелевы пространства с дополнительными симметриями /В.Г. Багров, В.В. Обухов, К.Е. Осетрин, А.Е. Филиппов // Gravitation & Cosmsology. Vol 5. No 4(20), Supplement, 1999. С. 10-16.

64. Обухов В.В., Осетрин К.Е., Филиппов А.Е. Однородные пространства, допускающие интегрирование уравнений Гамильтона-Якоби //Gravitation & Cosmsology. Vol 5. No 4(20). Supplement. 1999. С. 20-27.

65. Brinkman H.W. //Ann.Math. 1924. 91.

66. Bagrov V.G., Obukhov V.V., Osetrin K.E. Classification of the null Stackel electrovac space times with cosmological constants //Gen. Rel. Grav. 1988. Vol.20. N 10. P. 1141-1154.

67. Bagrov V.G., Obukhov V.V., Osetrin K.E. The problem of exact integration of mathematical physics equations in curved space-times //In „Gravity, Particles and Space-Time". World Scientific. Singapore. 1996. P. 1-18.

68. Bagrov V.G., Obukhov V.V., Osetrin K.E. Nontrivial Conformally-Stackel metrics of Einstein spaces //Russian Physics Journal. 1997. N 10. P. 995-999.

69. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Штеккелевы пространства в теории Бранса-Дикке //В кн. Проблемы теории гравитации, релятивистской кинетики и эволюции вселенной. Казань. 1988. С. 105-110.

70. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Штеккелевы пространства электровакуума с изотропными полными наборами типа (1.1) //В кн. „Гравитация и фундаментальные взаимодействия": М. 1988. С. 42-43.

71. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Штеккелевы пространства электровакуума с изотропными полными наборами типа (1.1) //Изв. вузов СССР. Физика. 1988. N 10. С. 79-83.

72. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Штеккелевы пространства вакуума в теории Бранса-Дикке //В кн. Точные решения уравнений гравитационного поля и их физическая интерпретация. Тарту. ТГУ. 1988. С. 82-84.

73. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Изотропные штеккелевы пространства Бранса-Дикке //В кн. Современн. теоретические и эксперементал. проблемы теории относительности и гравитации. Докл. Всесоюзной конф. Ереван. 1988. С. 160-162.

74. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Штеккелевы пространства электровакуума типа (2.1) //Изв. вузов. Физика. 1989. Т. 32. N 2. С 54-56.

75. Кетов С.В., Осетрин К.Е., Прагер Я.С. Дуальность и бета-функции в двумерной теории Фридмана Таунседа //Письма в ЖЭТФ. Т.50. вып.6. 1989. С. 270-272.

76. Кетов С.В., Осетрин К.Е., Прагер Я.С. Геометрия дуально двумерной нелинейной сигма-модели //Теоретическая и математическая физика. Т.84. N 2. 1990. С. 173-180.

77. Bagrov V.G., Osetrin К.Е. Use SAC „Reduce" for classifying the Stckel spaces in theory of gravity //В кн. Аналитические вычисления на ЭВМ в физических исследованиях. Докл. IV международного совещания. Дубна. 1990.

78. Осетрин К.Е., Шапиро И.Л. Асимптотическая свобода в скалярной теории, взаимодействующей с квантовой R2 гравитацией. //Изв. вузов. Физика. 1991. N 11. С. 112-116.

79. Обухов В.В., Осетрин К.Е. Интегрирование классических уравнений движения методом полного разделения переменных //Депонировано через Известия ВУЗов. Физика в ВИНИТИ. N 2675-В94 от 22.11.1994. 18 с.

80. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Конформно-Штеккелевы пространства Эйнштейна //В кн. Метрологические проблемы физики. Тр. междунородного семинара. С.Петербург. 1994.

81. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Тетрадная формулировка условия Бринкмана //Труды VI семинара Гравитационная энергия и гравитационные волны (Дубна, 26-30 октября 1993). ОИЯИ. Дубна. 1994. С. 54-59.

82. Проблема классификации конформно-штеккелевых пространств в задаче Вайдья /В.Г. Багров, А.Д. Истомин, В.В. Обухов, К.Е. Осетрин //Изв. вузов. Физика. 1996. N 8. С. 48-53.

83. Byland S., Scialom D. //Phys.Rev. D57. 1998. P. 6065-6074.

84. Chiba Т., Mukohyama S., Nakamura T. //Phys.Lett. B408. 1997. P. 47-51.

85. Bergamini R., Sedici P., Verrocchio P. //Phys.Rev. D55. 1997. P. 1896-1900.

86. Rendall A.D. //J.Math.Phys. 37. 1996. P. 1763-1796.

87. Chauvet P., Cervantes-Cota J.L. //Phys.Rev. D52. 1995. P. 34163423.

88. Cheng A.D.Y., D'Eath P.D. //Class.Quant.Grav. 13. 1996. P. 31513162.

89. Cho H.T., Speliotopoulos A.D. //Phys.Rev. D52. 1995. P. 5445-5458.

90. Aguirregabiria J.M., Feinstein A., Ibanes J. //Phys.Rev. D48. 1993. P. 4662-4668.

91. Rugh S.E., Jones B.J.T. //Phys.Lett. A147. 1990. P. 353-359.

92. King D.H. //Phys.Rev. D44. 1991. P. 2356-2368.

93. Graham R. //Phys.Rev.Lett. 67. 1991. P. 1381-1383.

94. Vaidya P.C. Nonstatic solutions of Einstein s field theory equations for spheres of fluids radiating energy //Phys. Rev. 1951. Vol.83. P. 10 -17.

95. Isaacson R.A. Gravitational radiation in the limit of high treottency //Phys. Rev. 1968. Vol.166. N 5. P. 1263-1280.

96. Benerjel A., Santos N.O. Conformalli fiat static space-time in BDT. //J. Math. Phys. 1981. Vol.22. N 5. P. 1075 1080.

97. Benerjel A., Santos И.О. Static perfect fluid in BDT. //Int. J. Theor. Phys. 1981. Vol.20. N 5. P. 315-329.

98. Benerjel A., Bhattacharya D. Plane symmetric static field in BDI. //J. Math. Phys. 1979. Vol. 20. N 9. P. 1908-1910.

99. Rao P.P., Tiwari R.N. Stationary Brans-Dicke vacuum solutions in BDT. //Acta Phys. Acad. Sci. Hung. 1979 (1980). Vol.47. N 4. P. 281-291.

100. Stackel P. Uber die Integration der Hamiltion Jacobischen Differentialgleichung mittelst Separation der Variabeln //Habilitations - schrift. Halle. 1891.

101. Stackel P. Uber die Bewegung eines Punktes in einer n—fachen Mannigfaltigkeit //Math. Ann. 1893. 42. P. 537-563.

102. Stakel P. Sur I'integration de I'equation differentialle de Hamilton //C. R. Acad. Sc. Paris. 1895. 121. P. 489-492.

103. Stakel P. Sur des problem de dynamique se reduisent a des quadratures //Comptes rendus hebd. S. Acad. Sci. (Paris). 1893. Vol. 116. P. 1284 1286.

104. Stakel P. Sur une classe de problemes de dynamique //Comptes rendus hebd. S. Acad. Sci. 1893. Vol. 116. P. 485-487.

105. Stackel P. Uber die Integration der Hamiltionschen differentialgleichung mittelst Separation der Variabeln //Math. Ann. 1897. Vol. 49. P. 145-147.

106. Levi—Chivita T. Sulla integrazione della equazione di Hamilton -Jacobi per separazione di variabili //Math. Ann. 1904. 59. P. 383397.

107. Levi—Chivita Т. Sulle trasformazioni delle equazioni dinamiche //Ann. Mat. 1896. S. 2. 24. P. 255-300.

108. Levi-Chivita T. Integrar. della equar. di Hamilton-Jacobi per separatione di variabili //Math. Ann. 1908. Vol. 66. P. 398-415

109. Яров-Яровой M.C. Об интегрировании уравнения Гамильтона-Якоби методом разделения переменных //П.М.М. 1963. Т. 27. N 6. С. 973-219.

110. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в линейном дифференциальном уравнение второго порядка I. //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. N 5. С. 116-122.

111. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка II. //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. N 6. С. 7-10.

112. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби II. //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. N 9. С. 25-27.

113. Havas P. Separation of variables in the Hamilton—Jacobi, Schrd— dinger and related equations. II Partial separatin //J. Math. Phys. 1975. 16. N 2. P. 2476-2483.

114. Kalnins E.G., Miller Jr.W. Separation of varibles on n—dimensional riemannian manifolds //J.Mfth. Phys. 1986. Vol. 27. N 7. P. 17211731.

115. Воуег C.P., Kalnins E.G., Miller Jr.W. Stackel—equivalent integrable Hamiltonian systems //Siam J. Math. Anal. 1986. Vol. 17. N 4. P. 778-797.

116. Benenti S. Separable dinamical systems: Characterization of separability structures on riemannian mani folds //Reports Math. Phys. 1977. Vol. 12. N 3. P. 311-316.

117. Захоров В.Д. Гравитационные волны в общей теории относительности. Москва: Наука. 1972. 200 с.

118. Lichnerovicz A. Theories relativistes de la gravitation et de 1 electromagnetism. Relativite generate et theories. Paris. 1955. 299 P.

119. Штеккелевы пространства электровакуума с изотропными полными наборами. Постановка задачи и основные соотношения /В.Г. Багров , А.А. Евсеевич, В.В. Обухов, К.Е. Осетрин //Изв. вузов СССР. Физика. 1987. N 5. С. 17-21.

120. Штеккелевы пространства электровакуума с изотропными полными наборами. Интегрирование уравнений поля для метрик, обобщающих пространства типа (I.I) /В.Г. Багров, А.А. Евсеевич, В.В. Обухов, К.Е. Осетрин //Изв. вузов СССР. Физика. 1987. N 12. С. 17-20.

121. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Штеккелевы пространства электровакуума типа (I I) //Гравитация и теория относительности. 1987. N 24. С. 3-11.

122. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Классификация изотропных штеккелевых пространств электровакуума //Препринт ТФ СО АН СССР. 1986. N 25. 19 с.

123. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов А.В. Поля тяготения в проблеме Вайдья, допускающие разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби //Изв. вузов СССР. Физика. 1986. N 10. С. 3-8.

124. Электровакуумные пространства Штеккеля-Вайдья типа (N.1) /В.Г. Багров, В.В. Обухов, А.В. Шаповалов, К.Е. Осетрин //В кн. Проблемы гравитации. М.: МГУ. 1986. С. 159-167.

125. Ландау JI.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика в десяти томах: Том 2. Теория поля. Москва: Наука, 1988. 512 с.

126. Керес X. Принцип соответствия в общей теории относительности //ЖЭТФ. 1965. Т. 46. N 5. С. 1741-1754.

127. Керес X. К физической интерпретации решений уравнений Эйнштейна //ЖЭТФ. 1965. Т. 52. N 3. С. 758-779.

128. Обухов В.В. О физической интерпретации пространств Эйнштейна //Изв. вузов СССР. Физика. 1979. N 3. С. 121-134.

129. Логунов А.А., Мествиришвили. Основы релятивисткой теории гравитации //ЭЧАЯ. 1986. Т. 17. N 17. С. 5-159.

130. Iwata G. Emptynspeces of Stackel //Natur. Sci. Rept. Ochonomisu univ. 1969. Vol. 9. N 2. P. 79-93

131. Вайнберг С. Гравитация и космология. Москва: Мир. 1975. 696 с.

132. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Изотропные конформно-штеккелевы метрики конформно-плоских пространств //Изв. вузов. Физика. 1998. N И. С. 92-96.

133. Макаренко А.Н., Осетрин К.Е. Конформно-штеккелевы метрики пространств Эйнштейна //Изв. вузов. Физика. 1999. N 10. С.34-43.

134. Schwarz J.H. Superstring theory //Phys. Reports. 1982. Vol. 89. N 3. P. 223-322.

135. Benerjel A., Santos N.O. Conformant flat static space-time in BDT //J.Math.Phys. 1981. Vol.22. N 5. P. 1075-1080.

136. Benerjel A., Santos N.O. Static perfect fluid in BDT //Int.J.Theor.Phys. 1981. Vol.20. N 5. P. 315-329.

137. Pandey S.N. Scalar tensor theory in p space-time //Acta Phys.Pol. 1981. Vol. B.12. N 2. P.77-88.

138. Benerjel A., Bhattacharya D. Plane symmetric static field in BDT //J.Math.Phys. 1979. Vol.20. N 9. P.1908-1910.

139. Rao P.P., Tiwari R.N. Stationary Brans-Dicke vacuum solutions in BDT //Acta Phys. Acad. Sci. Hung. 1979 (1980). Vol. 47. N 4. P. 281-291.

140. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Штеккелевы пространства электровакуума с изотропными полными наборами //Гравитация и фундаментальные взаимодействия. М.: УДН. 1988. С. 42-43.

141. Обухова В.В. Штеккелевы пространства в теории гравитации: Монография. Томск: Издательство Томского государственного педагогического университета, 2006. 269 с.

142. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка II //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. N 6. С. 7-10.

143. Шаповалов В.Н. Разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка II //Дифф. ур-ия. 1980. Т. XVI. N 10. С. 1864-1874.

144. Robertson Н.Р. Bemerkung uber separierbare systeme in der Wellenmechanik //Ann. Math. 1928. Vol.98. N 5. P.749-752.

145. Eisenhart L.P. Separable systems of Stackel //Ann. Math. 1934. Vol.35. N 2. P.284-305.

146. Eisenhart L.P. Separable systems in Euclidean 3 space //Phys. Rev. 1934. Vol.45. P. 427-428.

147. Eisenhart L.P. Separable of variables in one particle Schrodinger equation in 3 space //Proc. Nat. Acad. Sci. of USA. 1949. Vol.35. P. 412-418.

148. Carter В. Hamilton-Jacobi and Schrodinger separable solutions of Einstein equations //Comm. Math. Phys. 1968. Vol.10. P.280-310.

149. Chernikov N.A. Quantum theory for scalar field in the De-Sitter's spacetime //Ann. Inst. H. Poincare Sect. A. Phys. theor. 1968. Vol.IX. N 2. P. 109-141.

150. Bagrov V.G., Obukhov V.V. Separation of variables for the Klein-Gordon equation in special Stackel spacetimes //Quant, and Class. Grav. 1989.

151. Багров В.Г., Обухов В.В. Классы точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла //Изв. вузов СССР. Физика. 1981. N 12. С. 33-36.

152. Воуег С.P., Kalnins E.G., Miller Jr.W. Separable coordinates for four-dimensional riemannian spaces //Comm. Math. Phys. 1978. Vol.59. P. 285-302.

153. Описание структуры аморфного состояния и термодинамики плавления кристалла на основе моделей с искривлением пространства /В.И. Воробьев, С.Г. Псахье, В.В. Обухов, В.Е. Панин // Расплавы. 1987. T.l. N 2. С. 13-19.

154. The discription of the structure of amorphous state and thermodynamics of oristal metring by the using of curved space model /V.I. Vorobyev, S.G. Psakhie, V.V. Obukhov, V.E. Panin // Melt. Vol.11. N 2. P. 87-93.

155. Kepec X. Принцип соответствия в общей теории относительности //ЖЭТФ. 1964. Т.46. N 5. С. 1741-1754.

156. Коппель А. Нерелятивистский анализ релятивистских гравитационных полей. Тарту: ТГУ. 1977. 85 с.

157. Коппель А. Нерелятивистские гравитационные поля в общей теории относительности. Тарту: ТГУ. 1977. 82 с.

158. Коппель А. Ньютоновские и неньютоновские пределы гравитационных полей типа Keppa-NUT //Изв. вузов СССР. Физика. 1975. N 9. С.29-34.

159. Коппель А. Мультипольные моменты и гармонические системы координат для асимптотически плоских стационарных аксиально-симметричных электровакуумных 4-пространств //В кн. Гравитация и электромагнетизм. Минск. БГУ. 1987. С. 54-61.

160. Обухов В.В. О физической интерпретации пространств Эйнштейна //Изв. вузов СССР. Физика. 1979. N 3. С. 121-123.

161. Логунов А.А., Мествиришвили Основы релятивистской теории гравитации //ЭЧАЯ. 1986. Т.17. N 1. С. 5-159.

162. Шишкин Г.В., Тимощенко А.И. Разделение переменных в матрично-дифференциальном операторе первого порядка //В кн. Точные решения уравнений гравитационного поля и их физическая интерпретация. Тарту: ТГУ. 1988. С. 100-102.

163. Benenti S. Separable dinamical systems: Characterization of separability structures on riemannian manifolds //Reports Math. Phys. 1977. Vol.12. N 3. P. 311-316.

164. Шаповалов B.H. Пространства Штеккеля //Сиб. мат. журнал. 1979. Т.20. С. 1117-1130.

165. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка I //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. N 5. С. 116-122.

166. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби I //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. N 9. С. 18-24.

167. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби II //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. е9. С. 25-27.

168. Смородинский Я.А., Тугов И.И. О полных наборах наблюдаемых //ЖЭТФ. 1966. Т.50. Вып.З. С. 653-658.

169. Stackel P. Sur une classe de problemes de dynamique //Comptes rendus hebd. S. Acad. Sci. 1893. Vol.116. P. 485-487.

170. Kepec X. К физической интерпретации решений уравнений Эйнштейна //ЖЭТФ. 1965. Т.52. N 3. С. 768-779.

171. Demianski М., Newman Е.А. Combined Kerr-NUT solution of the Einstein field equations //Bull. Acad. Polon Sci. Ser. sci. math, astronom at phys. 1966 Vol.14. N 11. P. 653-670.

172. Фролов В.П. Метод Ньюмана Пенроуза в общей теории относительности //Труды ИФАН. 1977. Т. 96. С. 72-180.

173. Алексеев Г.А., Хлебников В.И. Формализм Ньюмана Пенроуза и его применение в Общей теории относительности //ЭЧАЯ. 1978. Т. 9. N 5. С. 790-870.

174. Яро-Яровой М.С. //Прикладная Мат. и Мех. 1963. 27. С. 173-219.