Спектральные свойства краевых задач с параметром в краевом условии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава I. Асимптотические формулы

§ I. Асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций краевой задачи

Штурма-Лиувилля

§ 2. Регуляризованный след краевой задачи

Штурма-Лиувилля .1.

§ 3. Асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций системы Дирака

Глава П. Одномерная система Дирака с периодическим потенциалом

§ I. Непрерывные решения системы (I.I)

§ 2. Решение, принадлежащее X [о,.

§ 3. Исследование нулей функции 3(Х)±Х

§ 4. Спектр системы Дирака

§ 5. Распределение чисел

§ 6. 0 лакунах в непрерывном спектре системы

Дирака.

Глава Ш. Спектр краевой задачи Штурма-Лиувилля

§ I. Функция Вейля краевой задачи

§ 2. Вспомогательные утверждения

§ 3. Основные определения

§ 4. Теорема о резольвентном множестве

§ 5. Теорема о точечном спектре

§ 6. Теорема о непрерывном спектре

§ 7. Теорема о точечно-непрерывном спектре

§ 8. Пример

§ 9. Спектр системы Дирака.

§ 10. Зависимость спектра от функции 0"(Д)

Краевые задачи,порождаемые некоторым дифференциальным выражением, содержащие спектральный параметр в краевых условиях,возникают во многих задачах физики. Например, задачу вибрации с различными видами нагрузок рассматривали С.Пуассон [19] , Ж.Дюа-мель [20] , Дж.Рэлей [21] , А.Кнезер [22] .С.Тимошенко и Д.Янг [23] , С.Тимошенко [24] ,Р.Курант [25] ,Р.Дейвис [2б] ,Г.Морган [27], Ф.Черчилль [28J, задачу теплопроводности между твердым телом и жидкостью рассматривали У.Педди [29] , Р.Лангер [30] , Р.Гаскелл [31] , Ф.Бауэр [32] , Г.Морган [27] ; диффузию водного пара через пористую мембрану рассмотрел Р.Пик [33] . Некоторые задачи об электрических цепях изучал К.Вангер [34] .

С точки зрения спектральной теории краевые задачи с функцией спектрального параметра в краевом условии были рассмотрены в работах А.В.Штрауса [б] и [9 J .В [9] для краевой задачи

-CPtfj+W-JLV, т-тШжт)1оО, / где 1КД) - функция, регулярная в <С+ , О при , выведено равенство Парсеваля ос 2 иМ^ЩШЩМ) , сию, сз, где to jjQ)-[i(m/jjyx (j-ax

Ч-/Ш) С J-и)

- решения уравнения (1^, удовлетворяющие начальным условиям

UXOJhi ШШЩ^О,

ШОЛУО, Ul(XAW0t)U~1.

В статье [б] для более узкого класса функций [}(Х) в краевом условии (2), т.е. функций вида (б), получено следующее равенство Парсеваля: со - Шщах «>

ОС где 4£%г[о}*о)^ ja>Jtfrw^dx,тл>тщ(хлу$№2щ о* сзо °

Tq^ - целые функции, не имеющие общих нулей, $СО - спектральная функция краевой задачи.

С 1973 по 1981 год был опубликован ряд работ ( [il] - |15] [l8j ), в которых рассматривается краевая задача,порождаемая дифференциальным выражением второго порядка с краевым условием вида хымаыт, <4> где Л - спектральный параметр. Если переписать условие (4) в виде (2), то мы видим,что (XX) в этом случае является дробно-линейной функцией. В работах [ilj - fl5j строится подходящее гильбертово пространство и оператор в нем определяется так, чтобы краевую задачу можно было рассматривать,как задачу на собственные значения этого оператора. Вальтер в [il] дал теоретико-операторную формулировку краевой задачи и получил теорему разложения,ссылаясь на самосопряженность соответствующего оператора. Фултон в [l2j получает более прямое доказательство теоремы разложения,пользуясь методом книги [5] Э.Ч.Титчмарша для построения резольвенты. Метод Титчмарша дал возможность получить в [l2] асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций. Хинтон в работе [l3] получил теоремы разложения в смысле равномерной сходимости для более широкого класса функций,чем в [12] . Для случая,когда все собственные значения неотрицательны, этот класс есть область определения оператора А ^ ,где /\ - самосопряженный оператор,ассоциированный с краевой задачей. В работе [14] методы статей [и] , [12 ] применяются для получения теоремы разложения в случае краевой задачи т>о, (5) где t(x) - непрерывная,вещественная функция. Задача (5) является частным случаем краевой задачи

-СРУУ+ %у=лу жакт f сру'хсош£~о, demi

В статье 18 А.Шнейдер показал,как теория 3 - эрмитовых граничных задач,построенная им совместно с Шефке в [15] -[l?J ,применяется для получения теорем разложения в случае краевых условий вида (4).

Перейдем к обзору содержания диссертации. В данной работе рассматриваются краевые задачи двух видов - задачи,порождаемые дифференциальным уравнением Штурма-Лиувилля,и задачи,связанные с одномерными системами Дирака. При этом в краевое условие входит функция (XU) спектрального параметра,которая является мероморфной функцией вида мп-а'М где Д/сО,(к- < . ), OL, в> О - вещественные постоянные,

- б оо

1. Гасымов М.Г.Далилова Р.З . О лакунах в спектре одной периодической задачи.- Ученые записки Азербайджанского университета. Серия физмат.наук, 1977,№3, с.42-46.

2. Левитан Б.М.,Саргасян И.С. Введение в спектральную теорию. - М.:Наука,1970- 672 с.

3. Левитан Б.М, Вычисление регуляризованного следа для оператора Штурма-Лиувилля. Успехи мат.наук, 1964,т.19,№1 (II5>, с.25-30.

4. Аткинсон Ф. Дискретрше и непрерывные граничные задачи.- М.: Мир, 1968- 749 с.

5. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям,связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. - М.: Ш1, .^ I960,T.I - 276 с. - М.:ЙЯ,1961,т.2.-430 с.

6. Штраус А.В. О расширениях и характеристической функции симметрического оператора.-Известия АН СССР,сер.матем.,1968, т.32, №1,0.168-207.

7. Штраус А.В. О спектральных функциях дифференциальных операторов. - Известия АН СССР,сер.матем.,1955,т.19,№4.с.201-220.

9. Жсп-Ьп^.З. (d/t ^хралнсугь ifizcrmni- fin. OJV ec^e.fb(pa.iu£. fywi&rrv uKtfi ec^m(fa&ce pMajmim. In Ifia imndM^ coTiddcmy. - QuiMi. J. Mi. Oxfcrid(l), iS79, 30, c.35-U.

15. Копылов В.И. Асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля. —В сб. Функциональный анализ. Спектральная теория. Ульяновск , 1982 , с . 85-91 . - 104 -

16. Копылов В.И. Асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций системы Дирака,—В сб. Шункцио-нальный анализ_^ Гармонический анализ и теория меры. Ульяновск,1982,с.73-78.

17. Копылов В.И. Спектр задачи Штурма-Лиувилля с параметром в краевом условии. - В сб. Функциональный анализ. Линейные операторы. Ульяновск, 1^83, с. 84-93.