Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукрхшси

Шишкин Андрей Борисович

Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Уфа - 2004

Работа выполнена в Армавирском государственном педагогическом университете

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Красичков-Терновский И. Ф.

Официальные опоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Абанин А.В.

доктор физико-математических наук,

профессор Маергойз Л.С.

доктор физико-математических наук,

профессор Хабибулин Б.Н.

Ведущая организация:

Саратовский государственный университет

Защита состоится 22 октября 2004 года в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН по адресу: 450077, г Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан 21 сентября 2004 г. - _ //

совета Д 002.057.01, к.ф.-м.н. / Попенов С В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы исследования. Пусть Н— произвольное локально выпуклое пространство, А : Н —► Н — линейный непрерывный оператор. Основной вопрос по отношению к произвольному замкнутому Л-инвариантному подпространству Иг С^ Н состоит в описании этого подпространства в терминах корневых подпространств оператора А. Задача спектрального синтеза для оператора А состоит в нахождении условий, при которых замыкание линейной оболочки корневых элементов оператора Л, лежащих в IV, совпадает с Ж

Из линейной алгебры известно, что если Н — конечномерное пространство, то любое инвариантное подпространство является прямой суммой конечного множества корневых подпространств. Из известной теоремы Гильберта - Шмидта о спектральном разложении самосопряженного компактного оператора в гильбертовом пространстве вытекает, что любое инвариантное подпространство такого оператора является прямой суммой не более чем счетного множества корневых подпространств. Этим столь общие примеры исчерпываются. Известно, что уже среди компактных операторов, действующих даже в сепарабельном гильбертовом пространстве, есть такие, которые не имеют пи одного корневого элемента. Поэтому понятно, что дальнейшие исследования по спектральному синтезу связаны с изучением конкретных операторов и даже конкретных инвариантных подпространств.

Пусть П — односвязная область в С; Н = 7/(П) — пространство функций, аналитических в П, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах; Б : Н —* Н — оператор дифференцирования. Инвариантные подпространства оператора дифференцирования возникают естественным образом в той части комплексного анализа, которая имеет дело с задачами аппроксимации аналитических функций линейными которая

возникла в классической теории рядов Дирихле. Эта задача представляет собой перенос на ситуацию аналитических функций известной задачи Берлинга1 о гармоническом синтезе на вещественной прямой. Впервые задача спектрального синтеза для оператора D была сформулирована в 1947 г. Л. Шварцем2 в его известной работе о периодических в среднем функциях. В этой монографии, в частности, автор показывает, что любое замкнутое D-инвариантное подпространство Я(С) допускает спектральный синтез. Центральная тема спектрального синтеза для оператора D — задача аппроксимации для однородной системы сверточных уравнепий: можно ли каждое решение такой системы аппроксимировать линейными комбинациями элементарных решений. Уравнения свертки и, в частности, уравнения бесконечного порядка, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами были предметом изучения многих математиков: Дж. Рит, Полна, Валирон, А. Ф. Леонтьев, А. О. Гельфонд, Л. Эренпрайс, Д. Диксон, И: Ф Красичков-Терновский и др. Это объясняется, с одной стороны, прикладными задачами и, с другой стороны, тем, что многие теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки.

Систематические исследования по спектральному синтезу в комплексной области инициированы в 1971 г. И.Ф.Красичковым-Тер-новским3. С этим именем связаны: первый пример замкнутого D-инвариантного подпространства, не допускающего спектральный синтез; обобщение результата Л. Шварца на случай неограниченных выпуклых областей положительное решение аппроксимационной задачи для однородного уравнения свертки в случае выпуклой и др. По характеру результатов с задачей спектрального синтеза для оператора D тесно связана задача спектрального синтеза для,

'Beurling А. Acta Math. 1949. V.81, №3-4. Р.225-238.

'Schwartz L. Ann. Math. 1947. V.48. P.657-929.

»Красичгов-ТсрновскиЯ И.Ф. Man», сб. 1972. Т.87(129), JM. C.45SM89; Матсм. об. 1972. Т.88, »I. С.3-30; Матсм. сб. 1972. ТЛ8, »3. С.331-362.

i ^

так называемого, оператора, порождаемого умножением на степепь независимой переменной. Речь идет об операторе Л*, сопряжепном оператору Р —* Р\Ф(Х) А^(А), где Р — специальное локально выпуклое пространство целых функций, с ограничением на рост. Если Р = Т(Я*), где Н* — топологическое сопряженное к Н,Т — преобразование Лапласа, то задачи спектрального синтеза для операторов ДиЛ* совпадают. Постановка задачи для оператора Л* и ее исследование проведено в работе В. А. Ткаченко4. По методам исследования и форме изложения эта статья близка к классическим работам по спектральной теории операторов в банаховых пространствах.

Параллельно с этими исследованиями изучалась задача спектрального синтеза для оператора покомпонентного дифференцирования, действующего в топологическом произведении — односвяз-ная область в С. Эта задача перекликается с известной задачей М. В. Келдыша5 о кратной полноте корневых (собственпых и присоединенных) элементов компактного оператора в гильбертовом пространстве. Опуская специальные формулировки, отметим, что задача о кратной полноте, перенесенная в условия локально выпуклого пространства Н, является сужением задачи спектрального синтеза для оператора покомпонентного дифференцирования, на запас замкнутых инвариантных подпространств вида Ж" = х... х XV, где IV — произвольное замкнутое D-инвариантное подпространство Н — Я(П). Здесь Н" — топологическая ГА-степень Н.

Задача спектрального синтеза для оператора покомпонентного дифференцирования (иначе — задача спектрального синтеза на системах областей) впервые подвергнута обстоятельному исследова-

'Ткачснко В .А. Матси. сб. 1980. Т.112(154). Л»3(7). С.421-166.

'Кслдьпп М.В. ДАН СССР. 1951. Т.77, ЛН. С.11-14.

нию в работах И.Ф. Красичкова-Териовского6. К этим результатам примыкает положительное решение аппроксимационной задачи для однородных сверточных уравнений на системах криволинейных полос С.Г. Мерзлякова7.

Дальнейшие исследования, по спектральному синтезу в комплексной области связаны с переходом от оператора дифференцирования к оператору кратного дифференцирования D4 : H —» H\f —♦ Первое исследование задачи спектрального синтеза для оператора кратного дифференцирования проведено С. Г. Мерзляковым8. Более полное исследование .О'—инвариантные подпространства получили в работах А. Б. Шишкина9. Исследования по спектральному синтезу для оператора кратного дифференцирования завершает серия из четырех работ И.Ф. Красичкова Терновского10, посвященных более общей задаче — задаче спектрального синтеза для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами, действующего в Н покомпонентно.

Цель работы. Настоящее исследование посвящено спектральному синтезу для системы дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Задача спектрального синтеза для системы операторов состоит в определении условий, при которых замкнутое инвариантное относительно каждого оператора из данной системы подпространство совпадает с замыканием линейной оболочки совместных корневых элементов операторов лежащих в

еКрасичков-Тсрковский И.Ф. Матсм. сб. 1980. Т.111(153), №1. С.3-41; Матсм. сб. 1980. Т.111(153), »3. С.384—401.

тМсраляков С.Г. Мат сб. 1995. Т.186, №5. С.85-102.

• Мерзляков С.Г. Мат. заметки. 1983. Т.ЗЗ, №. С701-713; Marren, заметки. 1986. Т.40, .V5. С.635-639.

'Шишкин A.B. М.: ЫОПИ, 1987. Дсп. в ВИНИТИ 22.06.87. № 4489. С.117-133; Mai сб. 1991. Т.182, №6. С.828-848; Краагоао-ТсриовсхиЯ И.Ф., Шишкин A.B. Докл. АН СССР. 1989. TJ07, .VI. С.24-27.

'"Краагчхов-Тсряолагай И.Ф. Матсн. сб. 1991. Т.182, №11. С.1559-1588; Матсм. сб. 1992. Т.183, *1. СЛ-19; Матсм. сб. 1992. Т.183, №6. С.55-86; Матсм. сб. 1992. Т.183, »8. С.23-46.

Такая постановка задачи является новой даже в классической ситуации. Однако, именно в такой постановке задача спектрального синтеза приобретает завершенность формы и допускает естественное обобщение на случай многих переменных. Случай многих переменных здесь не рассматривается. Но следует отметить, что многие из представленных здесь результатов допускают развитие на ситуацию с несколькими переменными.

Используемый метод. Основной метод решения задач спектрального синтеза в комплексной области — метод аннуляторных подмодулей, развитый в работах И. Ф Красичкова-Терновского еще в 1971 году. Этот метод предполагает переход от задачи спектрального синтеза к эквивалентной двойственной задаче — задаче локального описания подмодулей целых функций.

Подобно тому, как при исследовании решений однородных дифференциальных уравнений конечного или бесконечного порядка основным инструментом являются характеристические функции, так и при исследовании инвариантных подпространств роль инструмента выполняют аннуляторные подмодули инвариантных подпространств — специальные классы целых функций, связанные с рассматриваемыми инвариантными подпространствами и обладающими алгебраической структурой подмодулей в модуле целых функций экспоненциального типа над кольцом многочленов. Каждому инвариантному подпространству определенным образом ставится в соответствие его аннуляторный подмодуль. Аналитические задачи, относящиеся к инвариантному подпространству, сводятся к задачам алгебраического характера, относящимся к аннуляторному подмодулю, т. о. исследование инвариантных подпространств сводится к исследованию аналитико-алгебраических свойств целых функций.

Содержание основных результатов и их новизна. Глава 1 содержит изложение новой схемы двойственного перехода и основанное па этой схеме доказательство теоремы двойственности,

утверждающей эквивалентность задачи спектрального синтеза для системы дифференциальных операторов 7r(jD) и задачи локального описания замкнутых СЭД-подмодулеи Схема двойственности, рассмотренная в параграфе 1.2, находит применение в условиях многих переменных. Ее потенциальные возможности еще предстоит раскрыть. Вторая глава посвящена доказательству ключевого результата по локальному описанию — теоремы редукции. Эта теорема устанавливает связь задачи локального описания замкнутых С[7г]-подмодулей с задачей локального описания замкнутых -подмодулей. Здесь I — так называемый, многочлен Люрота системы многочленов 7Г1,..., 7г?. Третья глава содержит полномасштабное исследование замкнутых -подмодулей в случае выпуклых Она включает: критерий обильности замкнутого С[?г]-подмодуля (§3.2); доказательство обильности главных С [^-подмодулей (предложение 3.2.9); характеризацию обильных СЭД-подмодулей 7г-ранга 1 (предложение 3.2.10); критерий обильности конечно порожденного С[7г]-подмодуля (предложение 3.2.14); характеризацию обильных -подмодулей в случае неограниченных (предложение 3.2.18). Четвертая глава содержит приложение результатов третьей главы к задаче спектрального синтеза для системы дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Она включает: построение и исследование свойств оператора 7г-свертки (§2.2); исследование однородного уравнения 7г-свертки (§2.3) двойственный эквивалент критерия обильности (теорема 4.4.1); критерий допустимости спектрального синтеза для системы однородных уравнений свертки и пересечений инвариантных подпространств (теорема 4.4.3, теорема 4.4.4); двойственный эквивалент теоремы редукции (теорема 4.4.5) и ее основные следствия (теоремы 4.4.6 - 4.4.7, предложения 4.4.2 - 4.4.4)

Теоретическая и практическая значимости. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и допол-

няют многочисленные исследования задач спектрального синтеза в комплексной области и локального описания аналитических функций, проводившиеся ранее. Теоретическая значимость полученных результатов подчеркивается тем, что все они получены на основе широкого использования методов функционального анализа. Как следствие, ключевые результаты диссертации (теорема двойственности, теорема редукции и др.) остаются справедливыми при существенном ослаблении начальный условий, очерченных темой диссертации. В частности,- многие из них остаются справедливыми или допускают аналоги при переходе в условия многих комплексных переменных. Практическая значимость предопределена многочисленными связями рассмотренных задач с различными областями комплексного анализа.

Апробация работы. Основные результаты излагались на, Уфимском городском семинаре по теории функций им. А.Ф. Леонтьева, на семинаре под руководством A.M. Седлецкого в Московском государственном университете, на семинаре под руководством Ю.Ф. Коробейника в Ростовском-на-Дону государственном университете, на семинаре в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН (Уфа), на семинаре в Институте прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН (Нальчик). Отдельные результаты докладывались на международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложепия> (Уфа, 1996 год), на Международной конференции по комплексному анализу и смежным вопросам, посвященной памяти чл.-корр. АН СССР А.Ф. Леонтьева (Нижний Новгород, 1997 год), па Международной конференции по комплексному анализу (Уфа, 2000 год), на шестой Казанской международной летней школе-конференции (Казань, 2003 год), на двенадцатой Саратовской зимней школе (Саратов, 2004).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]- [14], [18], [21], [22]. В работах [15]- [17] опублико-

ваны результаты примыкающие к теме диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 80 наименований. Общий объем диссертации — 209 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Выделим в кольце С [г] многочленов от одной переменной совокупность из <7 элементов щ,..., тгд и условимся отождествлять в обозначениях многочлены и ими осуществляемые отображения. Следуя этому соглашению, символом п будем обозначать д-многочлен (ях,...,7г?) и отображение С —» С5, осуществляемое этим д-мно-гочленом. Обозначим Л образ С при отображении яг. Считаем, что среди многочленов тгх,___, тг? есть хотя бы один, отличный от константы. При этом условии отображение 7г имеет конечные слои А = 7г_1(Л), А = (Ах,-.-.А,) € Л. Если д > 1, то Л — собственное подмножество С®.

Пусть О — {Пх,..., П„} — некоторая система односвязных областей в С; Н] — 0(И]) — пространство функций голоморфных в с топологией компактной сходимости; Н — топологическое произведение Н\,..., #„; О — оператор дифференцирования, действующий в И покомпонентно; 7г(/3) = {тгх(£)),..., 7Г?(£))} — система линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Вектором собственных значений системы операторов п(р) назовем вектор А = (Ар) 6 С®, удовлетворяющий системе уравнений (жр(Б) — Ар)/ = 0, р — 1,...,д, при каком-либо ненулевом / = (/,) € Н. Алгебраический спектр системы операторов тг(й) — совокупность всех векторов собственных значений. Корневое подпространство Е\ системы операторов тг(£), соответствующее вектору собственных значений А = (Ар) 6 С®, - подпространство Н, состоящее из элементов, каждый из которых при некотором натуральном к удовлетворяет системе уравнений (жp(p)—Xv)kf = 0, р = 1,..., д.

Алгебраический спектр системы операторов совпадает

с Л. Любой корневой элемент системы операторов 7г(£?), соответствующий вектору собственных значений Л € Л, можно представить в виде £ где а(п,ш— некоторая

комплексная функция на — х А х'{1,..., 1/} с конечным носителем.

Подпространство IV С Н называем инвариантным, если оно инвариантно относительно каждого из операторов системы к(£>): тгр{р)у/ С IV, р = 1,..., ц. Говорят, что замкнутое инвариантное подпространство №СН допускает спектральный синтез, если оно совпадает с замыканием в Н линейной оболочки множества

Задача спектрального сивтсза относительно системы операторов 7г(£)): найти условия, при которых замкнутое инвариантное подпространство IV С Н допускает спектральный синтез.

С другой стороны, пусть {Hj)* — сильное сопряженное к пространству Н5 = = Н* = (Ях)* х ... х (//„)* -сильное сопряженное к Н. Обозначим 3} преобразование, которое каждому функционалу 5 € (Я;)* ставит в соответствие целую функцию экспоненциального роста <р(г) ~ (5,ехр а Р] — полный образ отображения Ту Отображение 7} : (Я7)* —+ Р3 является взаимно однозначным; оно индуцирует в Р} отделимую локально выпуклую топологию. Обозначим Р — топологическое произведение Р\ х ... х Р„\ Т: Ы* —♦ Р — отображение, которое каждому функционалу 5 = (¿у) 6 (//7)* ставит в соответствие ¿»-функцию (р = (<р/), <Р] = Т}{Б]). Отображение Т : Н* —» Р — топологический изоморфизм, значит, Р — отделимое рефлексивное локально выпуклое про-

(пМ)егЛ

странство с непрерывным покомпонентным умножением на многочлены. Кольцо С(тг] = С[я"1,..., 7г?] многочленов от ni,..., тгя является подкольцом.кольца С [г]. Это позволяет рассматривать Р как топологический модуль над кольцом С[7г].

Топологию, которую образуют в С открытые 7г-симмстричные множества (7г-прообразы открытых в С® множеств), обозначим т„. Пусть U € тт; 0(U) — кольцо голоморфных на U функций; 0(<7) — декартово произведение v копий 0(U); 0„(U) — множество всех 7г-симметричных на U функций, т.е. голоморфных функций, пред-ставимых в виде Фотг, где Ф — локально голоморфная на множестве 7r(í/) функция. Очевидно, что Q>(U) — модуль над кольцом 0(U), a 0„(U) — подкольцо 0(U). Рассматриваем О(U) как модуль над кольцом 0„(U).

Совокупность {Ox((J)}, U Е г„, вместе с гомоморфизмами сужения ри,и> ■ 0„{U') —► Ox(U), U С U', образует предпучок колец над (С, ту). Аналогично, совокупность. {0(Í7)}, U G ту, вместе с гомоморфизмами сужения ojjjj' : O(U') —+ 0(í/), U С U\ образует предпучок абелсвых групп над (С,ту). Легко убедиться, что отображение otyu', U С U\ является гомоморфизмом 01,{Ur)-модуля Щи') в 0„(17)-модуль 0(U), следовательно, предпучок абелевых групп {0(í/)}, U 6 ту, является предпучком модулей над пред пучком колец.{0»(Í7)}, U е т».

Выберем.А е А. Пусть А = 7Г-1(А). Слой предпучка {0(£/)}, U € -ту (— индуктивный предел групп 0(U), А С U 6 т„, относительно гомоморфизмов cuy, U С U') обозначим символом О(А). Аналогично, слой предпучка {£?*(?/)}, U 6 ту (— индуктивный предел колец Оя([/), А С U € ту, относительно гомоморфизмов pu,v, U С Í/7) обозначим символом От(А). Слой 0„(А) обладает структурой кольца, а слой О(А) — структурой модуля над этим кольцом. Элементы О (А) называются ростками ^-функций, голоморфных в окрестностях А, а элементы О,(А) — ростками 7г-симметричных функций,

голоморфных в тг-симметричных окрестностях А.

Пусть I — замкнутый подмодуль в Р. Обозначим /(А) минимальный подмодуль О,(А) -модуля О(А), включающий /. Ясно, что /(А) состоит из всевозможных конечных сумм АУ«» гДе Ч € ^^(А), щ е I. Говорят, что подмодуль / допускает локальное описание, если справедлива следующая импликация:

Задача локального описания: найти условия, при которых замкнутый подмодуль I СР допускаетлокальное описание.

Отметим, что импликация (1) была введена впервые И.Ф. Кра-сичковым—Терновским11. Замкнутые подмодули, удовлетворяющие этой импликации названы им обильными.

Пусть Ш — замкнутое инвариантное подпространство Н; — аннулятор № в Н*. Подпространство I = Т(И/Ю) С Р обладает структурой замкнутого С[7г]-подмодуля в Р. Соотношения I = IV = Т-^/)0, где Т~г(1)° - апнулятор Т~1(1) в Н, устанавливают взаимно однозначное соответствие между замкнутыми инвариантными подпространствами № С Ни замкнутыми С[7г]-подмодулями / СР. Подпространство I -- Т(1У°) С Р принято называть аннуляторным подмодулем подпространства №.

Теорема двойственности. Замкнутое инвариантное подпространство IV С Н допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда его аннуляторный подмодуль I СР является обильным.

Эта теорема вскрывает двойственный характер задач спектрального синтеза и локального описания. Переход от первой задачи ко второй лежит в основе большинства известных работ по спектральному синтезу в комплексной области. Этот переход, как правило, осуществляется в рамках специальных условий и вызывает значительные трудности. В первой главе развивается общий метод,

11 Краенчкоэ-Тсрновский И.Ф. Известия АН СССР. Сери матск. 1979. Т.43, Л»1. С.44-66.

предполагающий разбивку двойственного перехода на три отдельных шага. Два из них связаны с классическими задачами теории аналитических функций и один — с общей теорией двойственности. Это позволяет говорить о выделении аналитической составляющей, в вопросах перехода от задач спектрального синтеза к эквивалентным задачам локального описания.

Сведение задачи спектрального синтеза к эквивалентной задаче локального описания опирается на два предложения - принцип двойственности и схему двойственности. Эти предложения носят общий характер и допускают формулировку в терминах абстрактных локально выпуклых пространств. Пусть Н — отделимое полурефлексивное локально выпуклое пространство над полем С; Н* — его сильное сопряженное пространство. Из теоремы о бипешяре вытекает

Принцип двойственности. Между совокупностью {№} замкнутых подпространств в Н и совокупностью {V} замкнутых подпространств в Н* можно установить взаимно однозначное соответствие по правилу ортогональности: И^0 — V, V0 = где

аннулятор подпространства IV С Не пространстве Я*, V0 — аннулятор подпространства V С Н* в пространстве Я.

Пусть — отделимые полурефлексивные локально

выпуклые пространства над полем С; тд : М\ —»Я, А 6 Л, — линейные непрерывные отображения. Выберем произвольное замкнутое подпространство и каждому поставим в соответствие замкнутое подпространство И^д = С Л/д. Очевидно, что \Ух — максимальное замкнутое подпространство ЛТд, образ которого при отображении тд лежит в IV. Говорят, что IV допускает индуктивное описание (относительно семейства отображений тд, А 6 Л), если оно совпадает с замыканием в Я подпространства, натянутого на объединение и ДбА тд(ИЛд). Согласно принципу аппроксимации, для проверки допустимости замкнутым подпространством

IV индуктивного описания достаточно убедиться в выполнимости вложения: Г) дел (тал(И'д)) 0 С IV0.

Обозначим: — сильное сопряженное к — оператор, сопряженный к тд. Выберем произвольное замкнутое подпространство V С Я* и каждому Л. € Л поставим в соответствие замкнутое подпространство совпадающее с замыканием подпространства Л/д, натянутого па тп'х(У). Ух — минимальное замкнутое подпространство Л/д включающее множество тп'д(У). Говорят, что V допускает проективное описание (относительно семейства отображений тп'х, А 6 Л), если оно совпадает с пересечением (") ДеА тпд1(У'д). Для проверки допустимости замкнутым подпространством проективного описания достаточно убедиться в справедливости импликации:

5 е Я*,т'д(5) е^АУЛбЛ=>5€К

Схема двойственности. Для того чтобы замкнутое подпространствоИ^ С II допускало индуктивное описание, необходимо и достаточно, чтобы его аннулятор V С Н" допускал проективное описание.

Постановка задач индуктивного и проективного описаний приводит к разбиению двойственного перехода на три отдельные части:

1) от спектрального синтеза к индуктивному описанию;

2) от индуктивного описания к проективному описанию;

3) от проективного описания к локальному описанию.

Переход 1) связан с изучением корневых подпространств систем дифференциальных операторов. Переход 2) осуществляется в рамках теории двойственности и требует лишь общих сведепий о локально выпуклых пространствах. Переход 3) использует замкнутость подмодулей в топологизированных локальных модулях и основан на предложении типа леммы Круля.

В случае 9=1, система операторт^^^остоит из одного оператора дифференцирования теорема двойственности доказа-

на И.Ф. Красичковым-Терновским12 (случай П = С неявно содержится в работе Л. Шварца13). Для оператора кратного дифференцирования Dm теорема двойственности доказана автором14. Для произвольного дифференциального оператора Dm+aiDm~l+.. .+amD° два различных доказательства теоремы двойственности даны И.Ф. Красичковым-Терновским15. Нужно сказать, что используемая при доказательстве схема двойственности оказывается эффективной и в случае многих комплексных переменных. Удается убедиться16 в справедливости этой теоремы в условиях задачи спектрального синтеза для системы дифференциальных операторов:

4\D!),.... «g^), . . ., *{">(/?„),..., ТГ^Д,).

Здесь Di,...tD„ — операторы частного дифференцирования, тг^ — многочлены от одной переменной. В ситуации с многими переменными теорема двойственности ранее не доказана. Однако, близкие по характеру утверждения содержатся в работах Л. Эренпрайса, Б. Мальгранжа, В. В. Напалкова.

Перейдем к содержанию второй главы. В первой главе задача спектрального синтеза для системы дифференциальных опе-

раторов с постоянными коэффициентами была сведена к задаче локального описания замкнутых -подмодулей в Подмодули в исследуются давно и по этому вопросу имеется обширная литература. Основные результаты получены И.Ф. Красичковым-Терновским, С.Г. Мерзляковым, В.А. Ткаченко и др. Вместе с тем, все известные результаты касаются ситуации, когда кольцо симметричных многочленов порождено одним элементом. Возможность приложения известных результатов по локальному описанию к рассматриваемой

"Краогааш-ТсргаясхийИ.Ф. Матсм. сб. 1972.Т.87(129),№4. С.459-489.'

"Schwarte L. Ann. Math. 1947. V.48. РЛ57-829..

"Шишкин A3. М.: МОПИ, 1987. Дел. в ВИНИТИ 22.06.87. JM489. C.117-13J.

"Краскчкав-ТсрновскнЯ И.Ф. Матсм. сб. 1991. Т.182, №11. 0.1559-1583.

"Шишкин A.B. Матсм. сб. 1998. Т.189, Л»9. С.143-160.

задаче является центральным вопросом настоящей главы и всей работы в целом. Эту возможность предоставляет известная теорема о полях рациональных функций — теорема Люрота17.

Указанная теорема системе многочленов ^(г),..., ставит в соответствие так называемый многочлен Люрота Основной результат настоящей главы осуществляет редукцию задачи локального описания замкнутых С[7г]-подмодулей в Р к задаче локального описания замкнутых С [^-подмодулей в Р. Здесь С[/] — подколь-цо кольца многочленов СИ, порождаемое многочленом Люрота.

Точнее, пусть — произвольное множество в — сово-

купность конечных комбинаций вида

Множество /оМ обладает структурой С [тг] -подмодуля в Р.Посколь-ку — топологический модуль над кольцом многочленов, замыкание I множества /0[7г] в топологии Р по-прежнему обладает структурой

-подмодуля в Множество называется -подмодулем в порождаемым множеством /о. Аналогичным образом определяется С [^-подмодуль 3 С Р, порождаемый множеством /0; это замыкание конечных линейных комбинаций вида

Нас интересует вопрос, как связаны свойства обильности подмодулей

Основной результат второй главы: подмодули I и J обильны или нет одновременно (теорема редукции).

Очертим контуры доказательства теоремы редукции. Элементом Люрота называется всякий элемепт для которого выполняется соотношение С(тг) = С(/), где С(7г) поле частных кольца — поле частных кольца Известно, что в качестве элемента Люрота может быть выбран многочлен - многочлен Лю-рота. Среди отличных от нуля многочленов из кольца существует многочлен В свою очередь, среди многочленов s, для которых выполняются эти вклю-

1'Чеботарев Н.Г. Ленинград: ОГИЗ, 1948.

чения, имеется многочлен минимальной степени. Этот многочлен определен однозначно с точнгостью до постоянного множителя и называется многочленом, ассоциированным с многочленом Люрота. Включения С С[7г] С <С[/] выражают важное свойство симметричных многочленов, являющееся ключевым для проведенного в настоящей главе исследования. Этим свойством, в известной мере, обладают и симметричные функции.

Прообразы 1~1{у) открытых множеств называются 1-симмет-ричными множествами. Функция у», голоморфная в открытом 1-симметричном множестве и, называется 1-симметричной, если <р представляется в виде — некоторая функция, голоморф-

ная в /(£/)• Простейшие 1-симметричные функции — это отображения, осуществляемые элементами кольца С[/]. Пусть и — открытое /-симметричное подмножество С. Кольцо /-симметричных на и функций обозначается О^Щ. Из включения С[7г] С С[/] вытекает, что всякое открьпое 7г - с и м м етр и ч н ое множество и является 1-симметричным. Поэтому, наряду с кольцом мы можем рассматривать и кольцо Пусть — многочлен, ассоциированный с многочленом Люрота /; тогда для любого открытого 7г-симметричного множества имеют место вложения

Пусть£ € С, £ = /-1(0> ^МО — кольцоростков 1-симметричных функций, голоморфныхв1-симметричныхокрестностях1-слоя £; 0(£) — кольцо ростков ¿^-функций, голоморфных в 1-симметричных окрестностях /-слоя С <0(£) —локальный 0/(£)-подмодуль

I, ассоциированный с 1-слое\£. Согласно определению замкнутый С[/)--подмодуль / называется обильным, если справедлива импликация:

Выберем произвольный В общем случае он составлен

из конечного множества попарно не пересекающихся /-слоев. Вложения (2) позволяют доказать, что для всякого тг-слоя А, составленного из попарно не пересекающихся ¿-слоев ..., справедливы следующие вложения

Эти вложения лежат в основе сравнения импликаций (1) и (3), и значит, в основе доказательства теоремы редукции.

В ходе доказательства теоремы потребовались специальные представления симметричных функций. Этим представлениям посвящен отдельный параграф (§2.4).

В заключение отметим, что, как уже сказано выше, доказанная теорема сводит вопрос обильности -подмодулей в к аналогичному вопросу по отношению к подмодулям уже исследованным ранее18. Это делает ее источником конкретных результатов по спектральному синтезу для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Нужно сказать, что доказанная теорема носит общий характер и допускает ослабление начальных условий. Например, она остается справедливой, если предположить лишь, что: IP — подпространство И, наделенное отделимой локально выпуклой топологией, мажорирующей топологию компактной сходимости; Р — устойчивый топологический модуль над кольцом многочленов.

Раскроем содержание третьей главы. Практически все известные результаты по локальному описанию замкнутых -подмодулей в связаны с ограничением: — выпуклые области в С. Это объясняется тем, что все известные исследования замкнутых подмодулей в опираются на предположение, что в модуле Р выполнены следующие аксиомы:

"Краогчюв-ТсршяскяЯ И.Ф. Maren, сб. 1972. Т.88, №1. СЛ-30; Матеы. сб. 1992. Т.183, №6. С.55-86; Шишкин A.B. Мате*, заыстжи. 1989. T.4S, №6. С 94-100; Мат. сб. 1991. Т.182,

Аксиома сходимости. Топология Р мажорирует топологию поточечной сходимости.

Аксиома равномерной устойчивости. Для любой окрестности пуля V С Р существует окрестность нуля и С Р такая, что справедлива импликация

Здесь (г — А)|/ означает, что двучлен г — А делит / = (/¡), т.е. голоморфны в окрестности точки А.

Выполнимость аксиомы сходимости не связана с условием: П},...,^ — выпуклые области. Эта аксиома выполняется, если Г21,...,Г2„ — односвязные области. В то же время, для выполнимости аксиомы равномерной устойчивости выпуклость областей Пх»..., £2„ является принципиальной19.

Пусть Пх,.. — выпуклые области в С, д = 1, то есть 7г(.г) — многочлен. Согласно известному критерию И.Ф. Красичкова-Терновского свойство обильности С[7г]--подмодуля в Р расщепляется на два свойства — устойчивость и насыщенность. Другими словами, проверка обильности замкнутого С[тг]-подмодуля в Р сводится к проверке его устойчивости и насыщенности. Параграф 3.1 содержит выборку известных результатов по проверке устойчивости и насыщенности различных -подмодулей в относящиеся к случаю д = 1. Все приведенные результаты принадлежат И.Ф. Красичкову-Терновскому20. Ситуация 7г(г) —гт исследована автором21.

Параграф 3.2 посвящен доказательству критерия обильности. Как и в случае обильность замкнутого -подмодуля

равносильна его устойчивости и насыщенности.

"Красичхов-Тсрноваснй И.Ф. Метем, сб. 1980. Т.111(153), .VI. СЛ-41.

'"Красичков-ТсрновскиЯ И Ф. Матсм. сб. 1992. Т. 183, ЛМ.С. 3-19; Мате», сб. 1992. Т.183, №6. С.55-86.

"Шишкин А. Б. Матсм. заметки. 1989. Т«, ДЧ. С 94-100; Мат. сб. 1991. Т.182, №6. С.828-848.

С[тг]-подмодуль /СР называется устойчивым, если для любого г б С[тг] справедлива импликация -

/е/,£е/(А)УА€Л=>£е/.

Замыканиеусгойчивош С[7г]-подмодуля в Р — устойчивый С[7г]-подмодуль (предложение 3.2.3). Замкнутый С [я-]--подмодуль I С Р, порожденный ^-независимой системой /W 6 Р, является

устойчивым (предложение 3.2.5).

Система элементов «W,..., € О(А) называется независимой над кольцом О*(А), если

Система элементов /W,..., /W g р — -^-независима, если эта система независима над каждым кольцом Оя(А), А € Л. Максимальное число элементов в ^-независимых системах ...,/W g I называется 7г -рангом множества / СР (в обозначениях 7r — Rank I). Система элементов /О 6 Р — ir-независима тогда и только

тогда, когда она 1-независима (предложение 3.2.4). Из предложение 3.2.4 вытекает, что 7Г — Rank I совпадает с I — Rank I, в частности, 7г-ранг множества I С Р не превосходит произведения и на степень многочлена 1.

Пусть С[7г]--подмодуль / С Р имеет 7г-ранг равный к и / Е Р. Рассмотрим произвольную непрерывную полунорму р на Р. Положим

р/(*,л=Ы{1+Е

где infimum берется по всевозможным локальным представлениям

к

/=Х>(0> *€£?„(*). (4)

i=l

А — тг-слой, содержащий z, uW,... е Р — тт-независимаясистема элементов из I, < 1 (если представление (4) не существует,

то Pi(z, /) = +00). С[я} -подмодуль I С Рет-ранга к насыщен относительно элемента f € Р, если для любой непрерывной полунормы р справедлива импликация:

Ф 6 0(С), [Ф(г)| < pj(z, /)=>Ф = const.

С[7г]-подмодуль /С Р насыщен, если он насыщен относительно любого элемента / € Р, удовлетворяющего условию / € /(A) VA €Е

Критерий обильности. Для того чтобы замкнутый С[7г]-подмодуль I С Р был обильным, необходимо и достаточно, чтобы он был устойчив и насыщен.

В параграфе 3.3 рассмотрены основные следствия критерия обильности и теоремы редукции. Приведем некоторые из них.

Пусть iix,..., П„ — выпуклые области в С. Замкнутый <С[7г]-подмодуль I С Р называется главным, с образующей ip € Р, если I есть замыкание в Р множества элементов вида pip, где р € C[ir].

Главные С[тг]-подмодули в Р являются обильными (предложение 3.2.9).

Пусть I — замкнутый С[тс]-подмодуль в Р я--ранга 1. Для того чтобы подмодуль I был обильным, необходимо и достаточно, чтобы он был устойчив (предложение 3.2.10).

Условие 7Г — Rank I = 1 выполняется всегда, если степень многочлена Люрота / равна 1. Из предложения 3.2.10 вытекает, что при условии deg/ = 1 теория локального описания замкнутых С[7г]-подмодулей в Р повторяет соответствующую теорию для С[г]-под-модулей в Р. Отметим, что это условие выполняется, например, если наибольший общий делитель чисел deg7Ti,..., deg7r9 равен 1.

Замкнутый С[7г]-подмодуль / С Р порожден элементами tpW,..., £ Р, если / есть замыкание в Р множества элементов вида Pi<fW +... + Pk^k\ где р; е C[ir\.

Пусть замкнутый С[я]-подмодуль 1С Р порожден системой ipW,... ,<pW € Р 7г-ранга 1. Для того чтобы подмодуль I

был обильным, необходимо и достаточно, чтобы он был устойчив (предложение 3.2.12).

Замкнутый С[п]-подмодуль I С Р, порожденный тг-независимой системой элементов, является обильным тогда и только тогда, когда он насыщен (предложение 3.2.13).

Элемент tp б Р делит элемент ф € Р в классе целых 7г-симмет-ричных функций, если существует целая 7г-симметричная функция / такая, что ftp — ф.

Пусть l(z) = zm, m е N, и каждый из элементов ..., у?^ е Р делит.некоторый элемент,ф € Р,ф ф 0, в классе целых п-симметричных функций. Тогда С(я-)-подмодуль 1С Р, порожденный элементами • • •, v5^» является обильным • (предложение 3.2.15).

Отметим, что условие i(z) = zm выполняется, если кольцо С[7г] содержит хотя бы один одночлен. Если 7ri(z) = zm',..., 7r4(z) = ттц € N, то ш — наибольший общий делитель натуральных чисел пи,..., яг,.

Пусть fii = С,..., f2„ = С . Обильные С[тг]-подмодули в этом случае описываются исчерпывающим образом: всякий замкнутый С[7г] -подмодуль в Р = Р(С) х... х Р(С) является обильным (предложение 3.2.17).

Если v — 1, l(z) = zm, m G N, то предложение 3.2.17 допускает существенное развитие. Пусть П — неограниченная выпуклая область. Обозначим 6(G) — множество направлений звездности области G, и> — оператор поворота комплексной плоскости на угол

Пусть для некоторого целого числа n,0 ^ п < т, выполня-

п

ется следующее условие П Ф 0- Если I — замкнутый

Jt=0

С[7г] —подмодуль в Р = Р(П) и ж — Rank I ^п+1, то подмодуль I является обильным (предложение 3.2.18).

Сформулируем основные следствия этого предложения.

Пусть £1 — неограниченная выпуклая область. Тогда замкну-

тый С[7г]-лодмодулъ IС P(ft) я"-ранга 1 является обильным (предложение 3.2.19).

Предложение 3 2.19 остается справедливым, если одночлен I заменить произвольным мпогочленом не выше второй степени.

Пусть ÍÍ — неограниченная выпуклая область, содержащая угол раствора Тогда всякий замкнутый С[тт]-подмодуль в Р(П) тг-ранга < п + 1 является обильным (предложение 3.2.20).

Пусть I — многочлен второй степени, Q — плоскость, полуплоскость или прямолинейная полоса. Тогда всякий замкнутый С[х] -подмодуль в Р(О) является обильным (предложение 3.2.20).

Четвертая глава посвящена переносу результатов по локальному описанию в условия задачи спектрального синтеза. Этот перенос связан с описанием замкнутых 7г(0)-инвариантных подпространств в терминах однородных сверточных уравпений. Эта задача, допускающая относительно простое решение22 в случае оператора кратного дифференцирования ir(D) = Dm, неожиданно оказалась сложной уже в ситуации, когда система состоит из одного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Основная трудность заключалась в нахождении аналога оператора т--стороннего сдвига - 7г-сдвига, которая, в свою очередь, была связана с невозможностью определить оператор 7Г-сдвига как «симметризацию» обычного сдвига. Выход из создавшегося положения был предложен И.Ф. Красичковым-Терновским23. В этой работе определен оператор 7г-сдвига, соблюдающий преемственность и, как оказалось, допускающий развитие на случай систем дифференциальных операторов.

Оператору чг-сдвига и связанному с ним оператору 7Г-свертки посвящен параграф 4.2. Однородное уравнение тг-свертки изучено в параграфе 4.3.

"Шишкин А. Б. Мат. сб. 1991. Т182, М. С 828-848.

"Крагачхов-Тсрновагай И.Ф. Матсм. сб. 1992 Т.183, №8. С.23-46.

Понятие 7г-симметризации для одного многочлена тг введено И.Ф. Красичковым-Терновским24. Ниже вводится развитие этого понятия для случая системы многочленов 7Гх,...,7г?. Пусть Ф = Ф(А) — целая функция q переменных Ах.—.А,. Выберем С € С и обозначим (£) декартово произведение (С)х х ... х {£)„ упорядоченное произвольным образом, где (С)р — произвольное упорядочение 7гр-слоя, содержащего причем каждая точка слоя присутствует в (£}р столько раз какова ее кратность. Рассмотрим функцию

где т = тп\х...хтпд,тпр— степень многочлена пр. Эта функция является ж -симметричной на С. Следуя И.Ф. Красичкову-Терновскому, функцию называем 7Г-симметризацией функции Ф и обозначаем (зутФ(А))(£) или (5утЛФ(А))(С), если необходимо указать переменный вектор, по которому осуществляется симметризация.

Оператор 7г-симметризации 8уш : .Р(О) Р(0) является линейным и непрерывным (предложение 4.2.1). Здесь О — открытая круговая окрестность начала в С; О — открытая поликруговая окрестность начала в С столь <малая>, что {£ : С = Ах + ... + Ад, А = При этом полирадиус поликруга О

и радиус р круга О связаны неравенством: aq ^ р.

Пусть С, П односвязные области в С. При этом б+ОСП. 7г-симметризация -тг7 одночлена А7 = А^1 х ... х А^* совпадает с произведением ^ х... Xгде — яу-симметризация одночлена Ар". Функция тг7 является многочленом одной переменной и его степень не превосходит числа |7| = 71 +... +7«- Для каждого / 6 Н(0) ряд

сходится равномерно на компактах из С х О, и, следовательно, его

"Краогаюв-Тфноваснб И.Ф. Мжгсы. сб. 1991. Т.Ш, №11.0.1559-1588.

сумма /(г, Л) является аналитической функцией на <3 х О. Функция /(г, Л) называется -к-сдвигом / на шаг Л, а отображение Т/, : Я(П) —» Н(р), которое функции / е Я(П) ставит в соответствие функцию /(г, Л) € //(С) (Л фиксировано в О) называется оператором тг-сдвига па шаг Л. Оператор 7г-одвига в ситуации д = 1 введен И.Ф.Красичковым-Терновским23.

Наиболее простой вид 7г-одвиг функции / € #(П) на шаг Л приобретает в условиях, когда Т1(С) = Ст,,."»7Г«(С) = С4« где (1 = (т1,...,т9) — фиксированный вектор из с пенулевыми компонентами. В этом случае операция 7г~сдаига / на шаг Л превращается в операцию т-стороннего сдвига / на шаг И:

ш *—

а<т

Ч

где < е?Н > = £ £р = схр Р = 1| • • •) Я- Операция т-

р= 1

стороннего сдвига введена и изучена автором26 в ситуации <7 = 1. При ГП1 = ... = та, = 1 тг-сдвиг функции / на шаг Л — это обычный сдвиг функции на шаг Л: /(г, Л) = /(г + Л).

Свойства оператора 7г-одвига 7), изучены в пункте 4.2.4. Пусть / 6 Я(О), 5 € Н*(С1). Действие функционала 5 на элемент / осуществляется по правилу < 5, / > = / /ф где — неко-

к

торая комплексная мера, сосредоточенная на компакте К С П. Подберем односвязную область С, круговую окрестность начала О в С и поликруговую окрестность начала О в О так, чтобы имели место

вложения К ей, Д+О С П, {С : С = Аа +.. . + А,, А = (Ах.....А,) €

О} С О. Функция /(г, Л) является аналитической на множестве

С? X О. Поэтому имеет смысл выражение (5 * /)(Л) = / /(г, Л) ¿р..

к

Это выражение представляет собой функцию Л, голоморфную в О, и называется ж-сверткой функционала 5 и функции /.

"Красичхов-ТсрнавскиЯ И.Ф. Матсм. сб. 1992.Т.183, №8. С.23-46. "Шишкин Л.В. Мат. сб. 1991. Т.182, №6. С.828-848.

Если-7г(.г) = (г™1,...,г™*), где т = (тп1,...,тпр) — фиксированный вектор из с ненулевыми компонентами, то 7г-свертка превращается в т-стороннюю свертку

(5 * /)(/,) = < 5,/(*+ < >) >,

т'—'

а при тг = (гь..., 2„) — в обычную свертку (5 * /)(Л) =< 5, /(г + Л) > .

Оператор тг-свертки Я(П) —» Я(0)|/ —» 5 * / является линейным и непрерывным. Свойства этого оператора исследованы в пункте 4.2.5.

Пусть = ..., П„} — некоторая система выпуклых областей в€,5= (5х,..., 5^) — фиксированный элемент Н*. Действие функционала 5 на элемент / = (/ь..., /„) 6 Н осуществляется по

V с

правилу: < 5,/ >= < /;> = ]£ / /¿^/Ъ" гДе Н ~ неко-

¿=1 7=1 к,

торая комплексная мера, сосредоточенная на компакте А} С

Подберем односвязные области С^, круговую окрестность начала О в С и поликруговую окрестность начала О в С® так, чтобы имели место вложения ^ С Gj, + О С П, {С : С = Аа + ... + А?, Л = (Ах,..., А9) б О} С О. Сумма 5* / := * +... + £?„ * /„ представляет собой функцию Л, голоморфную в О, и называется я--сверткой функционала 5 и элемента /.

Рассмотрим однородное уравнение -к-свертки

5*/ = 0,/еН. (5)

Множество И^ решений / £ Н однородного уравнения (5) есть замкнутое к(0)-инвариантное подпространство в Н (предложение 4.2.3).

Аннуляторный подмодуль замкнутого -к(р)-инвариантного подпространства решений однородгюго уравнения п-свертки (4.3.1) — главный С[п¡-подмодуль в Р, порожденный элементом у? = Т(5) (предложение 4.2.4).

Пусть ..., — фиксированные элементы И". Аннуля-торный подмодуль инвариантного подпространства решений системы однородных уравнений Ж-свертки

- конечно порожденный С[ж]~подмодулъ вР, порожденный элементами вида ч^, где = Т(S^),= T(S^) (предложение 4.2.4, следствие).

Из предложения 4.2.4 вытекает, что любое замкнутое ж{1У)— инвариантное подпространство является множеством решений системы (возможно бесконечной) однородных уравнений 7г-свертки. Таким образом, это предложение решает задачу описания замкнутых тг(.0)-инвариантных подпространств в терминах однородных сверточных уравнений.

В параграфе 4.4 сформулированы двойственный эквивалент критерия обильности (теорема 4.4.1), двойственный эквивалент теоремы редукции (теорема 4.4.5) и основные следствия этих теорем в терминах задачи спектрального синтеза.

Замкнутое ж(1)\-инвариантное подпространство W С Н, допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда его ан-нуляторный подмодуль I С Р устойчив и насыщен (теорема 4.4.1).

Замкнутое -инвариантное подпространство

аннуляторный подмодуль которого имеет ж-ранг равный 1, допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда его аннуляторный подмодуль / СР устойчив (теорема 4.4.2).

Из теоремы 4.4.2 вытекает, что теория спектрального синтеза для системы дифференциал ьных операторов в слу-

чае ж—Rank 1=1 (например, при НОД(т1,..., тп?) = 1) повторяет теорию спектрального синтеза для оператора дифференцирования в скалярном случае

Рассмотрим два следствия теоремы 4.4.2. Пусть О — выпуклая область в С; пц = ...,тпч =

Если наибольший общий делитель чисел тх, ...,тя равен 1, то всякое замкнутое я-(О) -инвариантноеподпространство IV С

допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда его аннуляторный подмодуль является устойчивым, (теорема 4.4.2, следствие 1).

Пусть система элементов из Р имеет ж-ранг

1. Замкнутого)-инвариантное подпространство СШреше-ний системы однородных уравнений- свертки (6) допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда его аниуляторный подмодуль IС Р устойчив (предложение 4.4.2, следствие 2).

С другой стороны,

Пусть система элементов из Р является тг-

независимой. Замкнутое я(-О) -инвариантное подпространство IV С Ы решений системы однородныхуравненийтг-свертки (6) допускает спектральный синтезтогда итолькотогда, когда его аннуляторный подмодуль I СР насыщен (предложение 4.4.1).

Пусть I — многочлен Люрота системы многочленов я-!,..., тгч; 1(0) — соответствующий дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, действующий в Н покомпонентно. Выберем произвольное замкнутое подпространство ИЬ в И. Обозначим Ж замкнутое 7г(Л)-инвариантное подпространство в И, содержащееся в И'о и обладающее свойством максимальности: всякое замкпутое 7г(£?)-инвариантное подпространство в И, вложенное в И'о, вложено и в Ж. Аналогично, обозначим ^замкнутое /(£)) -инвариантное подпространство в Н, содержащееся в №о и обладающее свойством максимальности: всякое замкнутое ¿(£>)-инвариантное подпространство в Н, вложенное в И^о, вложено и в Ж.

Замкнутое п{р)-инвариантное подпространство Ж допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда допуска-

ет спектральный синтез замкнутое ¡(Б)-инвариантное подпространство V (теорема 4.4.5).

Пусть й®,..., ЗУ1) — фиксированные элементы И*;

где у^1) = Т(5<1)),... ,<р(*> = Тогда I — замкнутый конеч-

но порожденный С [я-] -подмодуль в 1Р с образующими ..., J — замкнутый конечно порожденный С[/]-подмодуль в Р с образующими <р(1\..., <р(к\ V/ — подпространство решений системы однородных уравнений 7г-свертки (7), V — подпространство решений системы однородных уравнений 1-свертки

Каждое решение системы, однородныхуравненишсвертки (6) можно аппроксимировать линейными комбинациями элемен-тарныхрешенийтогда итолько тогда, когда аналогичную аппроксимацию допускает каждоерешение системы однородныхуравне-ний 1-свертки (7) (теорема 4.4.6).

Отсюда вытекает, что

Каждое решение однородного уравнениясвертки(5) можно аппроксимироватьлинейными комбинациями элементарныхреше-ний (теорема 4.4.7)-

Согласно определению элемент уз е Р делит элемент ф € Р в классе целых /-симметричных функций, если существует целая /-симметричная функция / такая, что /у? = ф.

Пусть1(г) — гт, т. € М, икаждыйизэлементов ..., 6 Р делит некоторый элемент ф 6 Р, ф ф 0, в классе целых I-симметричныхфункций. Тогда каждоерешение системы однородных уравнений^-свертки (6)можно аппроксимироватьлинейными комбинациями элементарныхрешений (предложение 4.4.2).

В случае одного дифференциального оператора это предложе-

27

ние доказано ранее .

Пусть iii = С,...,0,, = С. Тогда всякое замкнутое n(D)-инвариантноеподпространство IVCH допускаетспектральный

синтез (предложение 4.4.3).

Для случая v = 1, q = l,ir(D) = D этот результат получен Л. Шварцем28, для случая v = 1, q — 1, tt(.D) =■ Dm — С.Г. Мерзляко-вым29. Случай q = 1 принадлежит И.Ф. Красичкову-Терновскому30.

Пусть и = 1, l{z) = zm, т € N, ii — неограниченная выпуклая область. Обозначим 0(G) — множество направлений звездности

области G, и) — оператор поворота комплексной плоскости на угол

2* т'

Пусть для некоторого целого числа п, 0 ^.п<т, выполняется следующее условие

n e(wkJi) +0-

Если аннуляторный подмодуль I С P(Q) замкнутого тт(0)-инва-риантного подпространства удовлетворяет условию

7г — Rank I ^п+1, то подпространствдопускаетспектраль-ный синтез (предложение 4.4.4).

Для случая q— 1 предложение 4.4.4 доказано И.Ф. Красичко-вым-Терновским 31. Сформулируем основные следствия этого предложения.

Пусть П — неограниченная выпуклая область. Тогда всякое замкнутоех{р)-инвариантное подпространство С Н(О), аннуляторный подмодуль которого имеетранг 1, допускает спектральный синтез (предложение 4.4.4, следствие 1).

"Шишкин А. В. Мат. сб. 1991. Т.182, №6. С.828-848. "Schwartz L. Aim. Math. 1947. V.48. Р-857-929. "Мерзляков С.Г. Mat заметки. 1983. ТЛЗ, »5. С.701-713. ®°Красичков-Тсрновски11 И.Ф. Матсм. сб. 1972. Т.88, №1. С.3-30. " Краен чкав-Тсрновскла И.Ф. Матсм. об. 1972. Т.88, №1. СЛ-30.

Это следствие остается справедливым, если / — произвольный многочлен не выше второй степени.

Пусть О. —неограниченная выпуклая область, содержащая угол раствору• Тогда всякое замкнутоеп(П)инвариантное подпространство7 С Н(р), аннуляторныйподмодуль которого имеет тг-ранг ^ п + 1, допускаетспектральныйсинтез (предложение 4.4.4, следствие 2).

Пусть I —многочлен второй степени, П — плоскость, по -луплоскость или прямолинейная полоса. Тогда, всякое замкнутое. я(0) -инвариантное подпространство С 7/(П) допускает спек -тральный синтез (предложение 4.4.4, следствие 3).

Последнее предложение для случая 7г(г) = г2 получено впервые С.Г. Мерзляковым32.

Список работ автора по теме диссертации

[1] Красичков-Терновский И.Ф., Шишкин А.Б. Спектральный синтез оператора кратного дифференцирования //Докл. АН СССР. 1989. Т.307, №1. С.24-27.

[2] Шишкин А.Б. Вопросы двойственности, связанные с задачей спектрального синтеза для оператора Б4. Современные проблемы математического анализа / М.: МОПИ, 1987. Деп. в ВИНИТИ 22.06.87. № 4489. С.117-133.

[3] Шишкин А.Б. Локальное описание замкнутых подмодулей в специальном модуле целых функций экспоненциального типа //Мат. заметки. 1989. Т.46, М. С.94-100.

[4] Шишкин А.Б. Спектральный синтез для оператора, порождаемого умножением на степень независимой переменной //Мат. сб. 1991. Т.182, М. С.828-848.

[5! Шишкин А.Б. Проективное и индуктивное описание. Деп. в ВИНИТИ 11.02.93. .№326 - В93,12 с.

"Мерзляков С. Г. Магом. заметки. 1986. Т.40, №5. С.635-639.

[6] Шишкин А.Б. Экспоненциальный синтез и локальное описание. Теорема двойственности. Деп. в ВИНИТИ 11.02.93. №328 -В93, 10 с.

[7] Шишкин А.Б. Спектральный синтез и локальное описание аналитических функций. Теоремы двойственности. Деп. в ВИНИТИ 04.08.95, №2395 - В95, 34 с.

[8] Шишкин А.Б. Спектральный синтез и локальное описание аналитических функций. Изоморфизмы. Деп. в ВИНИТИ 04.08.95, №2396 - В95, 33 с.

[9] Шишкин А.Б. Спектральный синтез и локальное описание аналитических функций. Обильные подмодули, Деп. в ВИНИТИ 04.08.95, №2397 - В95.40 с.

[10] Шишкин А.Б. Спектральный синтез и локальное описание аналитических функций. Синтез. Деп. в ВИНИТИ 04.08.95, №2398 - В95. 41 с.

[11] Шишкин А.Б. Спектральный синтез для системы операторов, порождаемых умножением на степени независимых переменных. Деп. в ВИНИТИ 01.02.96 №355 - В96, 23 с.

[12] Шишкин А.Б. Однородное уравнение ^-сторонней свертки /Комплексный анализ, дифференциальные уравнения численные методы и приложения. I. Комплексный анализ. Уфа, 1996 - С. 132135.

[13] Шишкин А.Б. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами //ДАН РАН. 1997. Т.355, №1. С.2&-30.

[14] Шишкин А.Б. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности //Мат. сб. 1998. Т.189, №9. С.Ш-160.

[15] ШишкинА.Б. х-свертка на выпуклых областях в С1//Наука Кубани, 1999. №6. С.61-64..

[16] Шишкин А.Б., Шевцов Н.Н. Индуктивное и проективное

описания. Схема двойственности //Труды ФОРА, 1999,№4 С.54-60.

[171 Шишкин А. Б. тг-свертка на выпуклых областях в Сп /Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы (Труды международной конференции). I. Комплексный анализ. Уфа, ИМ с ВЦ УНЦ РАН. 2000. С. 201 - 206.

[18] Красичков-Терновский И.Ф., Шишкин А.Б. Локальное описание замкнутых подмодулей в специальном модуле целых функций экспоненциального типа //Мат. сб. 2001. Т. 192, № 11. С.35-54.

[191 Шишкин А. Б. Инвариантные подпространства аналитических функций и однородные уравнения типа свертки //Доклады АМАН 2002. Т.6. №. С.48-52.

[20] Шишкин А.Б. Подмодули аналитических функций над конечно порожденным кольцом многочленов //Казань: Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. 2003. Т.19. С.241-242.

[21] Шишкин А. Б. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. //Матем. сб. 2003. Т. 194. № 12. С. 123-160

[22] Шишкин А.Б. Операторы преобразования для систем дифференциальных операторов //Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Коледж", 2004. С. 109-110.

Подписано в печать 26. 08.2004 г. Формат 60x84/16. Бумага типографская. Гарнитура «Таймс». Объем 15 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 33.

Отпечатано в Издат ельском центре С Г ПИ 353563г. Славянск-на-Кубаниул. Коммунистическая, 2

№ 1709^

Введение

Глава 1. Теорема двойственности

1.1 О структуре двойственных переходов.

1.2 Схема двойственности.

1.3 7г-симметричные множества и 7г-симметричные функции

1.4 Спектральный синтез.

1.5 Локальное описание.

1.6 Теорема двойственности.

Глава 2. Локальное описание. Теорема редукции

2.1 Суть и контуры доказательства теоремы редукции

2.2 Симметричные многочлены.

2.3 Симметричные функции.

2.4 О представлениях симметричных функций.

2.5 Теорема редукции.

Глава 3. Локальное описание. Критерий обильности

3.1 Устойчивость, насыщенность, обильность.ИЗ

3.2 Критерий обильности.

3.3 Обильные подмодули.

Глава 4. Спектральный синтез

4.1 Мотивация

4.2 7г-симметризация и 7Г-свертка.

4.3 Однородные уравнения типа свертки

4.4 Спектральный синтез.

1. Пусть Н — произвольное локально выпуклое пространство, А : Н —> Н — линейный непрерывный оператор. Подпространство Иг С Н называется инвариантным относительно оператора А, если АШ С V/. Основной вопрос по отношению к произвольному замкнутому инвариантному относительно оператора А (далее, часто, просто инвариантному или А-инвариантному) подпространству IV С Н состоит в описании этого подпространства, например, в терминах корневых подпространств оператора А. Корневым подпространством оператора А, отвечающим собственному значению Л £ С, называется непустое подпространство хеН:(А-\)пх = 0,пеЩ.

Элементы этого подпространства принято называть корневыми. Говорят, что замкнутое инвариантное относительно оператора А подпространство IV С Н допускает спектральный синтез, если замыкание линейной оболочки корневых элементов оператора А, лежащих в \¥, совпадает с IV. Задача спектрального синтеза для оператора А состоит в нахождении условий, при которых замкнутое инвариантное подпространство V/ С Н допускает спектральный синтез.

Из элементарной линейной алгебры известно, что если Н — конечномерное пространство, то любое инвариантное подпространство является прямой суммой конечного множества корневых подпространств. Из известной теоремы Гильберта - Шмидта о спектральном разложении самосопряженного компактного оператора в гильбертовом пространстве (Гильберт, Шмидт - пространство Ь2, Л. Нейман - сепарабельное гильбертово пространство [75], Г. Реллих - общий случай [77]) вытекает, что любое инвар иантное подпространство такого оператора является прямой суммой не более чем счетного множества корневых подпространств. Этим столь общие примеры исчерпываются. Известно, что уже среди компактных операторов, действующих даже в сепарабель-ном гильбертовом пространстве, есть такие, которые не имеют ни одного корневого элемента. Поэтому понятно, что дальнейшие исследования по спектральному синтезу связаны с изучением конкретных операторов и даже конкретных инвариантных подпространств.

Пусть — односвязная область в С; Н = Я(П) — пространство функций, аналитических в О, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах; Б : Н —» Н — оператор дифференцирования. Инвариантные подпространства IV С Н оператора дифференцирования возникают естественным образом в той части комплексного анализа, которая имеет дело с задачами аппроксимации аналитических функций линейными комбинациями экспонент и которая возникла в классической теории рядов Дирихле. Задача спектрального синтеза для оператора И в комплексной области представляет собой перенос на ситуацию аналитических функций известной задачи Берлинга о гармоническом синтезе на вещественной прямой [70]. Вместе с тем, сравнение результатов по спектральному синтезу в комплексной области с известными фактами гармонического синтеза на прямой обнаруживает лишь частичную аналогию.

Впервые задача спектрального синтеза для оператора И была сформулирована в 1947 г. Л. Шварцем в его известной монографии о периодических в среднем функциях [80]. Указанная монография содержит первый результат по спектральному синтезу в комплексной области: при условии О, = С любое замкнутое

О-инвариантное подпространство в Н допускает спектральный синтез.

Центральная тема спектрального синтеза для оператора И — задача аппроксимации для однородной системы сверточных уравнений: можно ли каждое решение такой системы аппроксимировать линейными комбинациями элементарных решений. Уравнения свертки и, в частности, уравнения бесконечного порядка, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами были предметом изучения многих математиков: Дж. Рит [78], Полиа [76], Валирон [79], А.Ф. Леонтьев [27] - [30], А.О. Гельфонд [7], Л. Эренпрайс [72], [73], Д. Диксон [71], И.Ф Красич-ков-Терновский [12] - [14] и др. Это объясняется, с одной стороны, прикладными задачами и, с другой стороны, тем, что многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки. Например, вопросы полноты систем экспоненциальных функций тесно связаны с задачей изучения решений однородного уравнения свертки.

Систематические исследования по спектральному синтезу в комплексной области инициированы в 1971 г. И.Ф. Красичковым-Терновским [12] - [14]. С этим же именем связаны: первый пример замкнутого ^-инвариантного подпространства, не допускающего спектральный синтез [13]; обобщение результата Л. Шварца на случай неограниченных выпуклых областей !Г2 [13]; положительное решение аппроксимационной задачи для однородного уравнения свертки в случае выпуклой П [13]; продолжение спектрального синтеза с выпуклой области [14] и др. Среди последующих результатов следует отметить результат А.Ф. Леонтьева: любое замкнутое .О-инвариантное подпространство в Н, О, — выпуклая область типа полуплоскости, является множеством решений системы из двух однородных уравнений свертки [31]; результат С. Г. Мерзлякова: положительное решение аппроксимационной задачи для однородного уравнения свертки для некоторого класса криволинейных полос [35]; результат С. И. Калинина по продолжению спектрального синтеза для однородного уравнения свертки [10]; свежий результат А.Н. Абузяровой, обобщающий результат А.Ф. Леонтьева на случай произвольной выпуклой области [2].

По характеру результатов с задачей спектрального синтеза для оператора В тесно связана задача спектрального синтеза для, так называемого, оператора, порождаемого умножением на независимую переменную. Речь идет об операторе Л*, сопряженном оператору

РР\ф(\)\ф{\), где Р — специальное локально выпуклое пространство целых функций, с ограничением на рост. Если Р = Т(Н*), где Н* — топологическое сопряженное к Н, Т — преобразование Лапласа, то задачи спектрального синтеза для операторов Б и Л* совпадают. Постановка задачи для оператора Л* и ее исследование проведено в работе В. А. Ткаченко [40]. По методам исследования и форме изложения статья [40] близка к классическим работам по спектральной теории операторов в банаховых пространствах.

Параллельно с этими исследованиями изучалась задача спектрального синтеза для оператора

Л,.(/{,.'., Л) покомпонентного дифференцирования, действующего в топологическом произведении Н = Н\ х . х НН) = Qj — односвязная область в С. Эта задача перекликается с известной задачей М. В. Келдыша о кратной полноте корневых (собственных и присоединенных) элементов компактного оператора в гильбертовом пространстве [11]. Опуская точные формулировки, отметим, что задача о кратной полноте, перенесенная в условия локально выпуклого пространства Н, является сужением задачи спектрального синтеза для оператора я"я"|(/ь.,л)->(/{,. покомпонентного дифференцирования, на запас замкнутых инвариантных подпространств вида ]¥" = х . х где IV — произвольное замкнутое ^-инвариантное подпространство Н = Здесь Ни — топологическая ^-степень Н.

Постановка задачи спектрального синтеза для оператора покомпонентного дифференцирования (иначе — задача спектрального синтеза на системах областей) впервые подвергнута обстоятельному исследованию в работах И.Ф. Красичкова-Терновского [17], [18]. Центральное место в этих работах занимает критерий допустимости спектрального синтеза (критерий обильности - в условиях двойственной задачи), позволивший автору перенести ряд результатов по спектральному синтезу для оператора дифференцирования на векторный случай. Среди этих результатов отметим: положительное решение аппроксимационной задачи для однородного сверточного уравнения на системе выпуклых областей; положительное решение задачи спектрального синтеза для любого замкнутого инвариантного подпространства в случае системы односвязных областей, звездных в одном общем направлении. К этим результатам примыкает положительное решение аппроксимационной задачи для однородных сверточных уравнений на системах криволинейных полос С. Г. Мерзлякова [35].

Дальнейшие исследования по спектральному синтезу в комплексной области связаны с переходом от оператора дифференцирования к оператору кратного дифференцирования

Первое исследование задачи спектрального синтеза для оператора кратного дифференцирования проведено С. Г. Мерзляковым в работах [33], [34]. В этих работах показано, что любое замкнутое 1)9-инвариантное подпространство Н = Н(С) допускает спектральный синтез (то же утверждение справедливо, если д = 2, О - полуплоскость или прямолинейная полоса). Здесь же построен пример замкнутого £>2-инвариантного подпространства Н = $7 - неограниченная выпуклая область, не допускающего спектральный синтез. Отметим, что этот пример опровергает гипотезу В. А. Ткаченко из [1]. Более полное исследование £>9-инвариантные подпространства получили в работах А. Б. Шишкина [44], [46] (см. также [19]) и в работе И.Ф. Красичкова Терновского [24]. Последняя работа и работы [21], [22], [23] посвящены более общей задаче — задаче спектрального синтеза для дифференциального оператора тт(В) = В4 + агВ4'1 + . + аяВ° с постоянными коэффициентами, действующего в Н покомпонентно. В работе [24] показано, например, что для выпуклых областей инвариантных относительно поворота на угол ^ задача спектрального синтеза для оператора тг(В) равносильна задаче спектрального синтеза для оператора кратного дифференцирования Вя, действующего в Ш покомпонентно. Для случая произвольных выпуклых областей, даже в скалярном случае, возможность такой редукции остается под вопросом. Однако, характер известных результатов по спектральному синтезу для оператора 7Г(В) позволяет считать ее весьма вероятной.

Настоящее исследование посвящено спектральному синтезу для системы ^(И),., 7тд(В) дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Задача спектрального синтеза для системы операторов 7Г1(1)),.,7тч{Б) состоит в определении условий, при которых замкнутое инвариантное относительно каждого оператора из данной системы подпространство ЖСМ совпадает с замыканием линейной оболочки совместных корневых элементов операторов 7Г1(£)),., 7ГЯ(Б), лежащих в IV.

Такая постановка задачи является новой даже в классической ситуации. Однако, именно в такой постановке задача спектрального синтеза приобретает завершенность формы и допускает естественное обобщение на случай многих переменных. Случай многих переменных здесь не рассматривается. Но следует отметить, что многие из представленных здесь результатов допускают перенос на ситуацию с многими переменными.

2. Основной метод решения задач спектрального синтеза в комплексной области — метод аннуляторных подмодулей, развитый в работах И.Ф. Красичкова-Терновского еще в 1971 году. Этот метод предполагает переход от задачи спектрального синтеза к эквивалентной двойственной задаче — задаче локального описания подмодулей целых функций.

Подобно тому, как при исследовании решений однородных дифференциальных уравнений конечного или бесконечного порядка основным инструментом являются характеристические функции, так и при исследовании инвариантных подпространств роль инструмента выполняют аннуляторные подмодули инвариантных подпространств — специальные классы целых функций, связанные с рассматриваемыми инвариантными подпространствами и обладающими алгебраической структурой подмодулей в модуле целых функций экспоненциального типа над кольцом многочленов. Каждому инвариантному подпространству определенным образом ставится в соответствие его аннуляторный подмодуль. Аналитические задачи, относящиеся к инвариантному подпространству, сводятся к задачам алгебраического характера, относящимся к аннуляторному подмодулю, т. о. исследование инвариантных подпространств сводится к исследованию аналитико-алгебраических свойств целых функций.

Приведем общую постановку задачи локального описания. Пусть т — какая-либо топология в С; К = {K(U)} — произвольный предпучок колец над (С, г), с гомоморфизмами сужения киси> К(U1) -> K(U)\ М = {M(U)} — произвольный предпучок абелевых групп над (С, г), с гомоморфизмами сужения rriucu' M(ZJ') —> M(U). Считаем, что М — предпучок модулей над предпучком колец К, другими словами, для любого U € г абелева группа M(U) является модулем над кольцом K{U). Индуктивный предел К\ колец K(U), U Э А, относительно системы гомоморфизмов kucu'i обладает структурой кольца и называется локальным кольцом в точке А. Индуктивный предел Мд абелевых групп M(U), U Э А, относительно системы гомоморфизмов тписи'-, обладает структурой модуля над кольцом Кх и называется локальным модулем в точке А. Естественный модульный гомоморфизм М(С) —» Мд обозначим т\.

Пусть G £ т. Выделим в M{G) множество Р, наделенное структурой локально выпуклого пространства. Подмодуль /д С Мд, порождаемый множеством шд(/), I — замкнутое подпространство Р, называется локальным подмодулем подпространства I в точке А. Говорят, что подпространство / С Р допускает локальное описание, если оно совпадает с пересечением

ГиСЛтдЧЛ)).

Задача локального описания состоит в определении условий при которых замкнутое подпространство I С Р допускает локальное описание. Для проверки допустимости локального описания замкнутым подпространством / С Р достаточно убедиться в выполнимости импликации еР,тА(Л €/аУАее =»/е/.

Пусть т — обычная топология в С, Сг = С, М(11) = К{и) = 0(и) — кольцо голоморфных в и функций, М\ = 0\ — кольцо ростков голоморфных в точке А функций. Идеалы в локальном кольце 0\ однозначно определяются наименьшей кратностью обращения в нуль в точке А их элементов. Таким образом, задача локального описания развивает классическую задачу восстановления целой функции по ее нулям. Например, если Р — пространство всех целых функций порядка не выше р < 1, с любой локально выпуклой топологией, то положительное решение задачи локального описания по отношению к подпространству вида {с/(.г) : с £ С}, где / — фиксированный элемент Р, следует из теоремы Адамара. Из той же теоремы вытекает, что это подпространство не допускает локальное описание при р ^ 1.

Понятно, что задача локального описания имеет самостоятельное значение и может исследоваться вне зависимости от спектрального синтеза. Вместе с тем, связь этой задачи с задачей спектрального синтеза в комплексной области имеет для последней решающее значение. Теоремы двойственности, осуществляющие переходы от одной задачи к другой, лежат в основе всех современных исследований по спектральному синтезу. Задача локального описания, двойственная задаче спектрального синтеза для системы операторов 7Г1(£>),., тг9(1)), действующих в Н покомпонентно, вполне характеризуется следующим выбором параметров: тж — прообраз топологии из С9 при голоморфном отображении С —У С9, осуществляемом ^-многочленом (7Г1,., тгд), К (и) = Ож(и) — кольцо локально голоморфных функций от 7Г, М(и) = ©(£7) — декартова ^-степень кольца 0(и) голоморфных функций, О = С, Р — интерпретация сильного сопряженного Ш* в терминах преобразований ЛаПласа. Пространство Р — специальное локально выпуклое пространство целых функций с ограничениями на рост. Это пространство обладает структурой топологического модуля над кольцом многочленов и может рассматриваться как топологический модуль над кольцом С[7г] многочленов от 7тд. Замкнутые (С[7г]-подмодули в Р, допускающие локальное описание в смысле этой задачи называются обильными.

Постановка и детальное исследование этой задачи для случая = г, и = 1, осуществлены в работах И.Ф. Красичкова-Терновского [12], [13]. В этих работах вскрыта связь задачи с задачей спектрального синтеза, построен пример необильного замкнутого С[г]-подмодуля в Р, доказана обильность главных (порожденных одним элементом) С[.г]-подмодулей в случае выпуклой £1; доказана обильность всех замкнутых С[.г:]-подмодулей в случае неограниченной выпуклой сформулирован критерий обильности конечно порожденного подмодуля и др. К этим работам примыкает работа А. Н Абузяровой [2], в которой доказано, что всякий обильный С[.г]-подмодуль в случае выпуклой О является конечно порожденным и имеет не более двух образующих.

Случай 7г(.г) — г, V ^ 1, Р — произвольное равномерно устойчивое пространство функций из О (С), С? — открытое множество в (С, изучен в работах [15], [16]. В этих работах разработан метод резольвентной функции, позволивший автору, в условиях векторного Р, доказать критерий обильности замкнутого С[2:]-подмодуля, доказать обильность главных С[г]-подмодулей в случае выпуклых ., доказать обильность всех замкнутых С[.г]-подмодулей в случае системы односвязных областей, звездных в одном общем направлении и др. Критерий обильности замкнутого (С[.г]-подмодуля в Р получил свое развитие в работе [20] (см. также [56]).

Дальнейшие исследования по локальному описанию связаны с переходом к случаю 7г(.г) = г9, V = 1, О — выпуклая область. Первое исследование этой задачи осуществлено А. Б. Шишкиным в работах [45], [46] (см. также [19]). В этих работах на основе метода резольвентной функции доказан критерий обильности замкнутого С[л9]-подмодуля, доказана обильность главных С[гд]~ подмодулей, охарактеризованы обильные подмодули ранга 1 и др.

Случай тг(г) = ^ + а^9-1 + . + ад,

01,., — выпуклые, исследован в работах [21] - [23]. В этих работах показано, в частности, что для выпуклых областей инвариантных относительно поворота на угол рассматриваемый случай сводится к случаю тг(г) = доказана обильность главных С[7г]-подмодулей; охарактеризованы обильные С[7г]-подмодули в случае неограниченных . Пх,., и др.

Ситуации

Ф) = (7Г1(20>--->7Г<7(20)> 7Г](г) — многочлены, посвящены работы [47] - [64] и две главы этой диссертации.

3. Изложение проводится по следующему плану.

1. Исследования по линейным операторам и теории функций. 99 нерешенных задач линейного и комплексного анализа // J1. :, Наука, Ленингр. отд-ние. 1978.

2. Абузярова Н.Ф. Об одном свойстве подпространств, допускающих спектральный синтез // Мат. сб. 1999. Т. 190, № 4. С. 3-22.

3. Александрян P.A., Мирзаханян Э.А. Общая топология. М. : Высшая школа, 1979.

4. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. М. : ИЛ. 1959.

5. Ван-дер-Варден В.Л. Алгебра. М. : Наука, 1979.

6. Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. М. : Мир, 1969.

7. Гельфонд А.О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и асимптотические периоды целых функций // Тр. МИАН. 1951. Т. 38. С. 42 67.

8. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука. 1967.

9. Дьедонне Ж., Шварц Л. Двойственность в пространствах (F) и (LF) // Математика. 1958. Т.2 № 2. С. 77 102.

10. Калинин С.И. К вопросу об аппроксимации решения однородного уравнения свертки посредством элементарных // Мат. заметки. 1982. Т. 32, № 2. С. 199 211.

11. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // ДАН СССР. 1951. Т. 77, № 1. С. И 14.

12. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. Т. 87(129), № 4. С. 459 -489.

13. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. Т. 88, № 1. С. 3 30.

14. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. III. О распространении спектрального синтеза // Матем. сб. 1972. Т. 88, № 3. С. 331 362.

15. Красичков-Терновский И.Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. I // Известия АН СССР. Серия матем. 1979. Т. 43, № 1. С. 44 66.

16. Красичков-Терновский И.Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. II // Известия АН СССР. Серия матем. 1979. Т. 43, № 2. С. 309 341.

17. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез аналитических функций на системах выпуклых областей // Матем. сб. 1980. Т. 111(153), № 1. С. 3 41.

18. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез на системах неограниченных выпуклых областей // Матем. сб. 1980. Т. 111(153), № 3. С. 384 401.

19. Красичков-Терновский И.Ф., Шишкин А.Б. Спектральный синтез оператора кратного дифференцирования // Докл. АН СССР. 1989. Т. 307, № 1. С. 24 27.

20. Красичков-Терновский И.Ф. Абстрактные приемы локального описания замкнутых подмодулей аналитических функций // Матем. сб. 1990. Т. 181, № 12. С. 1640 1658.

21. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. I. Теорема двойственности // Матем. сб. 1991. Т. 182, № 11. С. 1559 1588.

22. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. И. Метод модулей // Матем. сб. 1992. Т. 183, № 1. С. 3 19.

23. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. III. Обильные подмодули // Матем. сб. 1992. Т. 183, № 6. С. 55 86.

24. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. IV. Синтез // Матем. сб. 1992. Т. 183, № 8. С. 23 46.

25. Красичков-Терновский И.Ф. Фундаментальный принцип дляинвариантных подпространств аналитических функций. II // Матем. сб. 1997. Т. 188, № 6. С. 57 98.

26. Кривошеев А.С., Напалков В.В. Комплексный анализ и операторы свертки // УМН. 1992. Т. 47, № 6(288). С. 3 58.

27. Леонтьев А.Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения // Тр. МИАН. 1951. Т. 39.

28. Леонтьев А.Ф. Об одном функциональном уравнении // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1965. Т. 29. С. 725 756.

29. Леонтьев А.Ф. О представлении функций рядами полиномов Дирихле // Мат. сб. 1966. Т. 70. С. 132 144.

30. Леонтьев А.Ф. О суммировании ряда Дирихле с комплексными показателями и его применениии // Тр. матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1971. Т. 112. С. 300 326.

31. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент // М. : Наука. 1983. 175 с.

32. Мергелян С.Н. Равномерное приближение функций комплексного переменного // УМН. 1952. Т. 7, № 2.

33. Мерзляков С.Г. Инвариантные подпространства оператора кратного дифференцирования // Мат. заметки. 1983. Т. 33, № 5. С 701 713.

34. Мерзляков С.Г. О подпространствах аналитических функций, инвариантных относительно оператора кратного дифференцирования // Матем. заметки. 1986. Т. 40, JY2 5. С. 635 639.

35. Мерзляков С.Г. Спектральный синтез для оператора дифференцирования на системах криволинейных полос // Мат. сб. 1995. Т. 186, № 5. С. 85 102.

36. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М. : Наука, 1982.

37. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М. : Мир, 1967.

38. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из С". М. : Мир, 1984.

39. Себастьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Математика (сб. переводов). Т.1, т. С. 60 77.

40. Ткаченко В.А. Спектральная теория в пространствах аналитических функционалов для операторов, порождаемых умножением на независимую переменную // Матем. сб. 1980. Т. 112(154). С. 421 466.

41. Хермандер JI. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М. : Мир, 1968.

42. Чеботарев Н.Г. Теория алгебраических функций. Ленинград: ОГИЗ, 1948.

43. Чирка Е.М. Комплексные аналитические множества. М. : Наука, 1985.

44. Шишкин A.B. Вопросы двойственности, связанные с задачей спектрального синтеза для оператора Dq. Современные проблемы математического анализа / М. : МОПИ, 1987. Деп. в ВИНИТИ 22. Об. 87. К0- 4489. С. 117 133.

45. Шишкин A.B. Локальное описание замкнутых подмодулей в специальном модуле целых функций экспоненциального типа // Матем. заметки. 1989. Т. 46, № 6. С. 94 100.

46. Шишкин А.Б. Спектральный синтез для оператора, порождаемого умножением на степень независимой переменной // Мат. сб. 1991. Т. 182, № 6. С. 828 848.

47. Шишкин A.B. Проективное и индуктивное описание. Деп. в ВИНИТИ 11. 02. 93. № 326 В93, 12 с.

48. Шишкин A.B. Спектральный синтез и локальное описание на областях в Сп. Деп. в ВИНИТИ 11. 02. 93. № 327 В93, 11 с.

49. Шишкин A.B. Экспоненциальный синтез и локальное описание. Теорема двойственности. Деп. в ВИНИТИ 11. 02. 93. № 328 -В93, Юс.

50. Шишкин A.B. Системы дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Развитие непрерывного педагогического образования в новых социально-экономических условиях на Кубани. Армавир: АГПИ, 1995.

51. Шишкин А.Б. Спектральный синтез и локальное описание аналитических функций. Обильные подмодули. Деп. в ВИНИТИ 04. 08. 95, № 2397 В95. 40 с.

52. Шишкин A.B. Спектральный синтез и локальное описание аналитических функций. Синтез. Деп. в ВИНИТИ 04. 08. 95, № 2398 В95. 41 с.

53. Шишкин A.B. Спектральный синтез и локальное описание аналитических функций -Армавир: Издательский центр АГ-ПИ. 1995. 188 с.

54. Шишкин А.Б. Спектральный синтез для системы операторов, порождаемых умножением на степени независимых переменных. Деп. в ВИНИТИ 01. 02. 96 № 355 В96, 23 с.

55. Шишкин А.Б. Локальное описание в индуктивных пределах равномерно устойчивых пространств. Деп. в ВИНИТИ 01. 02. 96 № 356 В96, 16 с.

56. Шишкин А.Б. Однородное уравнение ç-сторонней свертки /Комплексный анализ, дифференциальные уравнения численные методы и приложения. I. Комплексный анализ. Уфа, 1996 С. 132 - 135.

57. Шишкин А.Б. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами // ДАН РАН. 1997. Т. 355, № 1. С. 28 30.

58. Шишкин А.Б., Шевцов H.H. Индуктивное и проективное описания с общих позиций /Развитие непр. пед. образования в новых соц.-эк. условиях на Кубани (научные труды). Армавир, 1998. С. 125 126.

59. Шишкин A.B. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности // Матем. сб. 1998. Т. 189, № 9. С. 143 -160.

60. Шишкин A.B. 7Г-свертка на выпуклых областях в С" // Наука Кубани, 1999. № 6. С 61 64.

61. Шишкин A.B., Шевцов H.H. Индуктивное и проективное описания. Схема двойственности // Труды ФОРА, 1999, № 4. С. 54 60.

62. Шишкин A.B. 7г-свертка на выпуклых областях в С" /Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы (Труды международной конференции). I. Комплексный анализ. Уфа, ИМ с ВЦ УНЦ РАН. 2000. С. 201 206.

63. Шишкин A.B., Шевцов H.H. Представление функций, аналитических в конечносвязной области рядами Дирихле Лорана / Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания (сб. научных трудов), Пензенский ГПУ им. Белинского, 2001, ч.1, С. 131 - 137.

64. Красичков-Терновский И.Ф., Шишкин A.B. Локальное описание замкнутых подмодулей в специальном модуле целых функций экспоненциального типа //Мат. сб. 2001. Т. 192, JY2 11. С. 35 54.

65. Шишкин A.B. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. // Матем. сб. 200 .Т. , К0- . С. .

66. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969.69 7071