Специальные численные методы для сингулярно возмущенных задач при моделировании процессов сварки и наплавки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМЕНИ H.H. КРАСОВСКОГО

■

На правах рукописи

Першин Игорь Викторович

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССОВ СВАРКИ И НАПЛАВКИ

01.01.07 — Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

12 ДЕК 2013

Екатеринбург 2013

005543366

005543366

Работа выполнена в отделе уравнений математической физики Федерального государственного бюджетного учреждения науки Институт математики и механики имени H.H. Красовского Уральского отделения Российской академии наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Шишкин Григорий Иванович.

Официальные оппоненты: Вабищевич Петр Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией, ФГБУН Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, г. Москва;

Задорин Александр Иванович доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией математического моделирования в механике, ФГБУН Институт математики им. С.Л. Соболева (Омский филиал) СО РАН, г. Омск.

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики, г. Москва.

Защита состоится 25 декабря 2013 года в 14 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 004.006.04 в Институте математики и механики им. H.H. Красовского УрО РАН по адресу: 620990, г. Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики им. H.H. Красовского УрО РАН.

Автореферат разослан ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук

В.Д. Скарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время сварка и наплавка являются одним из наиболее эффективных и широко распространенных процессов получения' прочных и качественных соединений для изделий различной конфигурации во многих отраслях промышленности. .

Важным условием дальнейшего совершенствования технологий сварки и наплавки, является разработка высокоэффективных методов моделирования сварочных процессов, что весьма актуально в связи с бурным развитием компьютерной техники и вычислительных методов.

Сварка и наплавка - это сложные технологические процессы, которые характеризуются наличием мощных тепловых полей, потоков тепла и вещества, при этом одновременно существуют твердая и жидкая фазы, возникают сложные гидродинамические течения, протекают различные химические реакции. Большую роль играет сложная геометрия изделий, разнородность свариваемых и наплавляемых деталей, наличие малых включений (пор). В этих процессах часто применяются сосредоточенные тепловые источники большой мощности, имеющие высокую скорость движения.

Физические, химические и другие процессы в металле, определяющие производительность сварки и качество сварных соединений, протекают под действием тепла в условиях быстро меняющейся температуры. Поэтому ведущую роль в процессах сварки и наплавки играют теплообменные процессы, которые определяют протекание всех остальных процессов: химических, кинетических, диффузионных, гидродинамических. Поэтому одним из главных направлений при изучении процессов сварки и наплавки является моделирование тепловых процессов.

Проблемами моделирования тепловых процессов при сварке занимались Б.Е. Патон, В.Ф. Демченко, H.H. Рыкалин, A.A. Углов, В.И. Махненко.

Значительную роль в развитии методов решения соответствующих уравнений математической физики сыграли A.A. Самарский, А.Н. Тихонов, Г.С. Карслоу, В. Вазов, A.B. Лыков, А. Фридман, в развитии численных методов решения — С.К. Годунов, A.A. Самарский, Н.С. Бахвалов, H.H. Яненко.

В современной сварочной литературе практически нет работ, посвященных методологии применения вычислительного эксперимента, которая достаточно подробно разработана в математической физике и вычислительной математике. Большой вклад в разработку методов вычислительного эксперимента внес A.A. Самарский. Возникла потребность на основе накопленного опыта обобщить имеющиеся результаты, конкретизировать подходы и методы использования современной вычислительной техники и компьютерных технологий моделирования применительно к исследованию проблем сварки.

Для задач сварки, наплавки, а также многих других тепловых (диффузионных) процессов характерной особенностью поведения является то. что решение (тепловые поля), а тем более его производные (потоки тепла или вещества) могут очень сильно меняться на небольшом участке. В таких случаях говорят, что имеют место физические процессы (задачи), решения которых, как правило, имеют особенности, в частности, особенности типа пограничных или переходных слоев.

Большинство вышеназванных задач при переходе от физической модели к математической постановке задачи приводят к классу задач с переходными или пограничными слоями, называемых также сингулярно возмущенными задачами. Наиболее часто по-

добные задачи сводятся путем преобразования исходного дифференциального уравнения к задачам, содержащим малый параметр при старших производных. Параметр при старших производных (величина, обратная критерию Пекле, критерий Фурье) принимает произвольные значения в зависимости от параметров исходной физической задачи.

Необходимо указать, что большинство современных технологических задач сварки и наплавки не может быть решено с требуемой точностью при использовании классических аналитических и конечно-разностных методов, которые применяются в большинстве прикладных программ, так как в силу физических особенностей этих процессов наиболее часто математические задачи являются сингулярно возмущенными (с малым параметром при старших производных).

При решении задач сварки применение классических аналитических и численных методов дает большую неконтролируемую погрешность. Погрешности решения и особенно его производных, полученные при использовании этих методов, соизмеримы по величине, а нередко значительно превосходят искомое решение. При этом невозможно сказать заранее, при каких значениях параметров задачи произойдет резкое возрастание величины погрешности.

Для большого круга задач, например, таких как закалка, определение производных (потоков тепла) с приемлемой для практики точностью имеет определяющее значение. Скорость охлаждения в процессе сварки является решающим фактором в формировании конечных структур и свойств сварных соединений. При этом необходимо выполнение ряда условий: разность температур на различных участках не должна превышать наперед заданных величин, температура не должна быть больше заданной, пребывание материала при заданной температуре в течение требуемого времени и т. д. Проведение численных расчетов с точностью ниже требуемой, не позволит получить решение прикладных задач сварки и наплавки.

В последнее время разработаны специальные аналитические и численные методы решения задач, которые не зависят от особенностей конкретного физического процесса сварки, не только являются устойчивыми к изменению исходных параметров задачи и различным особенностям поведения решения, но и включают в себя эти особенности. Такие методы позволяют решать задачи сварки и наплавки с необходимой, заранее заданной точностью.

Значительный вклад в разработку таких методов внесли A.M. Ильин и его научная школа, А.Б. Васильева, А.Ф. Бутузов, Г.И. Шишкин, Дж. Миллер, П.Н. Вабищевич, В.Б. Андреев.

Таким образом, исследование тепловых процессов при сварке и наплавке на основе разработки современных численно-аналитических методов математического моделирования, позволяющих получать решение и его производные с гарантированной точностью, для совершенствования и повышения эффективности сварочных технологий по-прежнему остается актуальной задачей.

Цель диссертации. Диссертация посвящена вопросам развития методологии вычислительного эксперимента в технологиях сварки и наплавки, основанного на асимптотическом анализе решения задач математической физики, в постановке которых присутствует малый параметр. Особое внимание уделяется проблемам применения аналитических и конечно-разностных методов решения дифференциальных уравнений, входящих в математические модели тепловых процессов сварки и наплавки.

Для достижения указанной цели в настоящей работе были поставлены следующие основные задачи:

1. Систематизировать методы решении тепловых задач при математическом моделировании процессов сварки и наплавки с высокотемпературными, концентрированными подвижными источниками тепла, определение областей их применения для задач сварки.

2. Разработать специальные аналитические методы, позволяющие получить точное решение ряда тепловых задач с высококонцентрированными источниками тепла с произвольным законом распределения теплового потока, в непосредственной близости от источника энергии.

3. Разработать методику проведения численных исследований с целью определения точности приближенного решения и его производных в зависимости от параметров исследуемой задачи сварки и параметров применяемого численного метода. Определить области применимости существующих конечно-разностных методов для решения различных классов задач сварки и наплавки.

4. Разработать специальные численные и аналитических методы решения тепловых задач, при использовании которых точность результатов не зависит от параметров исходной физической задачи сварки и наплавки, таких как мощность источника тепла, скорость его движения, теплофизические характеристики используемых материалов.

Методы выполнения работы.

При разработке аналитических методов применялись методы математического моделирования, интегральных преобразований и метод функций Грина.

При исследовании аналитических решений применялись асимптотические методы анализа, включая метод согласования асимптотических разложений, математическое обоснование и разработка которого принадлежит A.M. Ильину и его научной школе.

При разработке и исследовании численных методов использовались методы вычислительного эксперимента, численные конечно-разностные методы решения дифференциальных уравнений и специальные разностные схемы, разработанные и обоснованные Шишкиным Г.И..

Научная новизна. Основные результаты являются новыми.

1. Для ряда прикладных задач сварки и наплавки построены математические модели и решены задачи о нагреве полубесконечного тела и цилиндра поверхностным полосовым источником тепла большой мощности, задача о нагреве полубесконечного тела поверхностным круговым источником тепла. Для этих прикладных задач найдены точные аналитические решения, из которых получены формулы, удобные для практического применения.

2. Разработана методика математического моделирования тепловых процессов сварки и наплавки, использующих мощные высококонцентрированные источники энергии, основанная на современных методах асимптотического анализа и специальных конечно-разностных методах. Найдена и обоснована асимптотика решений, рассматриваемых задач

3. Определена возможность использования выбранного численного метода для решения конкретных задач сварки и наплавки на основе исследования характера поведения и зависимости величины погрешности решения и производных от исходных данных изучаемой задачи сварки, и применяемых конечно-разностных методов.

4. Выделен широкий класс прикладных задач сварки и наплавки, для численного решения которых доказана непригодность классических разностных схем для решения задач сварки и наплавки, так как погрешность приближенного решения и его производных могут неконтролируемо возрастать.

5. Показано, что для этого круга задач сварки и наплавки разработка и использование специальных разностных методов является необходимым. Разработан численный метод на основе, специальным образом сгущающихся сеток, точность которого не зависит от параметров исходной задачи.

6. Для ряда задач сварки и наплавки разработан численный метод определения и исследования областей применимости классических и специальных конечно-разностных схем. основанный на методике определения порядка равномерной сходимости разностных схем.

7. Проведено математическое моделирование процесса диффузии водорода в сварных швах при наличии включений. Предложена специальная разностная схема, численный алгоритм и программа для расчета концентрации водорода в порах металла. Результаты расчетов показали, что величина давления водорода не зависит от диаметра поры и не превышает 200 кПа, тогда как ранее считалось, что давление водорода в порах малого размера может достигать десятков мегапаскалей.

Основные положения, выносимые на защиту и личный вклад автора.

Основные положения, выносимые на защиту, состоят в разработке научных и практических основ технологии применения методов вычислительного эксперимента при моделировании процессов сварки и наплавки:

1. Получены и математически исследованы аналитические решения для тепловых задач сварки и наплавки дня полубесконечного тела и цилиндра вблизи особенности.

.2. Определен класс процессов сварки и наплавки, для моделирования которых необходимо применять специальные аналитические и численные методы, исследовано поведение погрешности решения и его производных при использовании классических и специальных численных методов.

3. ПолУчепо и исследовано решение задачи о диффузии водорода в сварных швах при наличии включений, рассчитана величина давления водорода в порах металла.

Автору принадлежат:

1. Постановка задач, разработка математических моделей, получение точных аналитических решений, их асимптотическое исследование и анализ для ряда тепловых задач сварки с мощными концентрированными источниками энергии.

2. Разработка численных алгоритмов, их программная реализация, разработка методики вычислительных экспериментов, их проведение и анализ результатов при исследовании поведения приближенного решения, его погрешностей, а также при исследовании порядка равномерной сходимости разностных схем.

3. Разработка численных алгоритмов и программная реализация, проведение вычислительных экспериментов при исследовании процесса диффузии водорода в сварных швах при наличии включений.

Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты работы развивают и дополняют метод вычислительного эксперимента при математическом моделировании процессов сварки и наплавки.

Найденные аналитические решения для ряда задач в непосредственной близости источника тепла позволяют исследовать влияние конкретного закона распределения теплового потока источника тепла на распределение температуры и потоки тепла.

Разработанные математические модели, методы решения и алгоритмы позволяют определять и исследовать с необходимой точностью тепловые поля, потоки тепла или вещества, скорости охлаждения и другие параметры; проводить анализ технологических режимов сварки и наплавки, оптимизацию этих режимов с целью уменьшения

дефектов и повышения качества сварных соединений.

Численное моделирование процесса диффузии водорода в сварных швах при наличии включений с использованием специальной разностной схемы позволило провести анализ некоторых технологических режимов (определение величины давления водорода в поре) сварки и термообработки деталей.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены на 30-ти Международных. Всероссийских научных конференциях и семинарах, в том числе:

на Международной конференции "Комплесный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы", Уфа, 2000; Международной конференция "Математическое моделирование и информационные технологии в сварке и родственных процессах", Ка-цивели (Крым), 2002: Second International Conference on Mathematical Modeling and Computer Simulation of Metal Technologies. MMT-2002, College of Judea and Samaria. Israel, 2002; Third International Conference on Mathematical Modeling and Computer Simulation of Metal Technologies. MMT-2004, College of Judea and Samaria, Israel. 2004; Fourth Israeli-Russian bi-national workshop 2005: The optimization of composition, structure and properties of metal, oxides, composites, nano- and amorphous materials, Jerusalem-Tel-Aviv, 2005; Шестнадцатой международной конференции "Компьютерные технологии в сварке и производстве", Третьей международной конференции "Математическое моделирование и информационные технологии в сварке и родственных процессах", Киев, 2006; Fourth International Conference on Mathematical Modeling and Computer Simulation of Metal Technologies, MMT-2006, College of Judea and Samaria, Israel, 2006; Sixths Israeli-Russian bi-national workshop 2007: The optimization of composition, structure and properties of metal, oxides, composites, nano- and amorphous materials, Jerusalem-Tel-Aviv, 2007; Fifth International Conference on Mathematical Modeling and Computer Simulation of Materials Technologies, MMT-2008, Ariel University Center of Samaria, Israel, September 08-12, 2008; The Tenth Israeli-Russian Bi-National Workshop 2011, "The optimization of composition, structure and properties of metals, oxides, composites, nano and amorphous materials", Jerusalem, Israel, June 20-23, 2011; The Seventh International Conference on Material Technologies and Modeling MMT-2012, Ariel University Center of Samaria, Ariel, Israel, August 20 - 23, 2012; Шестой Международной конференции "Математическое моделирование и информационные технологии в сварке и родственных процессах", 29 мая - 1 июня 2012 г., Кацивели, "Украина;

Также результаты докладывались в Института Математики и Механики УрО РАН на научных семинарах отдела уравнений математической физики, руководимых академиком РАН A.M. Ильиным.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [1] - [12] (см. список). Работы [1] - [5] опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК.

В совместных работах [1], [2] автору принадлежат разработка численных алгоритмов и программных средств, проведение численных экспериментов, анализ полученых результатов.

В совместных работах [4], [6] - [12] автору принадлежат разработка математических моделей, получение аналитических решений, анализ поведения этих решений вблизи особенностей, исследование применения методов вычислительного эксперимента к задачам сварки и наплавки.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, основ-

ных выводов и списка литературы. Основное содержание изложено на 138 страницах, список использованной литературы из 131 наименований. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы диссертации, данные по современному: состоянию исследуемой проблемы, цель, задачи и методы исследования, научная новизна, теоретическая и практическая ценность полученных результатов, показан личный вклад автора и основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена аналитическим методам решения некоторых тепловых задач сварки и наплавки. Она состоит из шести параграфов, в каждом из которых получено явное аналитическое решение некоторой задачи теплопроводности с различными -граничными условиями, проводится исследование поведения этого решения вблизи особой точки (источника тепла) и обоснование его асимптотики.

В параграфе 1.1 рассматривается построение асимптотики функции Грина для второй краевой задачи.

При < > 0 ищется решение следующего уравнения

.дЮ .дв

<ю т

дх

в{х,у, 0) = 0 .

в области:

0 < х < оо, —ос < у < оо,

где Л; В,СеС°°, А > О, В > 0.

Не ограничивая общности, можно считать что Л(0) = 1,В(0) = 1. При малых х, у,1 и т? = 0 асимптотику функции Грина будем искать в виде формального ряда

в(х, у, 0, г) = ^ехр { ^ ^¡(х, У) ) .

где ш^х, у) - неизвестные функции, подлежащие определению.

Предложен итерационный метод нахождения функций и){(х, у), которые являются однородными полиномами. Доказана теорема о виде асимптотики функции Грина:

¡Теорема 1.1.1. Существует ограниченное решение задачи для которого при í —> О справедливо соотношение

С(х,у,0,^ = Сп(х,у,0^) + 0(П, равномерное относительно х и у, где

У, О

^ / п 2п+2 \

Л) = ¿ехр е ^ 1%(£,?/) j .

Далее показано, как построить асимптотику функции Грина, при произвольном значении параметра г]. Доказана теорема:

Теорема 1.1.2. В окрестности особой точки функция Грина имеет аси.>лптотику вида

в{х,у,г},г) = |ехр ?пз'(х,у,г))^ ,

где и'*(х,у,Г]) - полиномы по переменным х, (у — Т)) с коэффициентами, зависящими от. г] как от параметра.

В параграфе 1.2 рассматривается задача определения температурных полей для второй краевой задачи, когда на границе полупространства находится полосовой источник тепла.

Источник распределен в полосе заданной ширины, эффективная мощность постоянна во времени и обратно пропорциональна ширине полосы. Исследуется случай, когда ширина полосы нагрева источника стремится к нолю, а максимальная величина плотности теплового потока стремится к бесконечности. В предельном случае такой источник тепла вырождается в дельта-функцию.

При £ > О ищется решение следующего уравнения с граничным и начальным условиями:

дТ Л/ Лд2Т ,Э2Т .дТ

=4-)'

ох Ь=0 £ \е/

Т(х,у, 0) = 0 . Задача решается в области:

О < х < оо, —оо < у < оо, { > 0 ,

где А(у), В(у), С(у) 6 А > О, В > 0. Решение задачи ищем в виде:

( оо

Т(х, У<*) = и ! СОс, у, 77, Т1)ф (5) ¿т]йт ,

О -оо

где Ох, у, г], т) - функция Грина, асимптотика которой была исследована в предыдущем параграфе.

Доказана теорема:

Теорема 1.2.1. Существует единственное решение задачи, которое в окрестности особой точки имеет асимптотику вида

N

г=° -со

2

где Н0 = и

т % 2

С, *.«*!)= Е ! е-Ьт^-Чт.

з=-ЛМ о

Здесь а2 = С2 + (С-к)2'Л (О и Уг(») — некоторые константы, <?у(£,С, я) — однородные полиномы степени j по переменным С с коэффициентами, зависящими от е. Главный член внутреннего разложения имеет вид:

—ос

В параграфе 1.3 рассматривается задача определения температурных полей для уравнения теплопроводности в полупространстве, когда на поверхности тела задано граничное условие третьего рода, которое задает конвективный теплообмен между поверхностью тела и окружающей средой.

Решение уравнения теплопроводности строится вблизи подвижного полосового источника тепла малой ширины, при условии, что мощность источника стремится к бесконечности, а ширина полосы источника стремится к нолю.

Рассматривается предельный случай, когда источник тепла вырождается в дельта-функцию. Решая задачу в подвижной системе координат, строится ее явное решение и его асимптотика вблизи источника тепла. Доказаны соответствующие теоремы.

Главным результатом этого параграфа является формула главного члена асимптотики решения исходной задачи вблизи источника тепла:

В параграфе 1.4 исследуются решения уравнения теплопроводности в цилиндре.

В этом параграфе предложен один из подходов, позволяющий получить решение расчета температуры в цилиндре, по которому движется сосредоточенный кольцевой источник тепла большой мощности, при этом на границе задано граничное условие третьего рода.

Задача описывается двумерным уравнением теплопроводности в цилиндрических координатах и граничными условиями

Функция ф определяет плотность распределения источника тепла.

Получено явное аналитическое решение в виде интегрального представления, показана невозможность его практического применения.

1 &Т

Разложив в соответствующем уравнении теплопроводности величину -—— в ряд в _ ~ г дг

окрестности г = Я , получим новую задачу, которую можно свести к задаче, исследованной в параграфе 1.3.

С использованием результатов параграфа 1.3, доказана теорема:

Теорема 1.4.2. Вблизи подвижного кольцевого источника тепла главный член решения исходной задачи равен:

Т0(¥,

где

~-г\ Г v а2 + AVer (г, z, ¿) = — + —2" Н--=—t.

2R 2а 4аД2

В параграфе 1.5 рассматривается решение уравнения теплопроводности на полупространстве с подвижным полосовым источником тепла, заданным на полосе малой ширины. В отличии от предыдущих параграфов, здесь строится асимптотика решения во всей области определения, а не только вблизи источника тепла.

Задача описывается двумерным уравнением теплопроводности в декартовых координатах и граничным условием второго рода. Решение этой задачи имеет вид свертки функции Грина с правой частью. Для исследования этого решения строятся внешнее и внутреннее асимптотические разложения.

В результате проведенного асимптотического анализа доказана следующая теорема:

Теорема 1.5.1. Внешнее асимптотическое разложение для задачи в неподвижной системе координат вне области влияния источника тепла имеет вид:

где:

Т(х, у, t) = Т0(х, у, t) + еЩх, у, t) + 0{е2).

ОС

—оо

v^/x2+(y - Vt)2

Ко

2

\<1т\

т - \ 4т 4 )

Здесь К0 - функция Макдональда нулевого порядка. Функция (ж, у, í) выглядит аналогично.

Был проведен асимптотический анализ поведения этого решения вблизи источника тепла, построены пулевой и первый члены внутреннего разложения, доказана соответствующая теорема.

Получен вид главного члена внутреннего разложения. В случае равномерно распределенного источника тепла (функция ф~ 1) он имеем следующий вид:

Т0{х,у,г) = Г{х,у,г)/2х,

где

Т-(х, у, I) = -21п ^ - 27 + 2 - 2»7 (агс*д +

/ 0.5 + г\Л

- (1—2г) 1п(т72+(0.5-г)2)-(1+2г) 1п(т)2+(0.5+г)2) -

ОО

щ

где г — —— и т] = х/е.

Показаны области применения формул внешнего и внутреннего резложения. В параграфе 1.6 рассматривается задача о нагреве полубесконечного тела круговым источником тепла. В отличие от предыдущих параграфов, где задачи в силу симметрии по одной из пространственных переменных сводились к двумерному случаю, в данном случае задача является трехмерной по существу.

Изучается следующая задача: па поверхности полубесконечного тела действует источник тепла, заданный в круге, радиус которого много меньше размеров нагреваемого тела. Эффективная мощность источника постоянна во времени и обратно пропорциональна радиусу круга.

Задача описывается трехмерным уравнением теплопроводности в декартовых координатах и граничными условиями:

' 5Т_ /сРТ &Т д2Т\

Ш. ~ Чэг2 + + ¿Ш'

Т(х,у,г, 0) = 0.

в области:

О < х < оо, -оо < у < оо, —оо < г < оо, < > 0;

где £ - радиус пятна нагрева источника тепла. Решение задачи явно выписывается в виде:

(

—оо —ОС

XV (7. 7) <*ЧК*С1&;.

Проведено исследование поведения решения задачи в случае, когда мощность источника тепла постоянна, а площадь нагрева стремится к нулю. Вблизи источника тепла при £ —► 0 найден вид решения.

Теорема 1.6.1. Решение исходной задачи в окрестности источника тепла имеет следующий вид:

Т{х,у,г,1) =

—ОС -ОО

Стационарное решение(при больших временах)имеет вид:

ОС 00

v ; 8 У У л/i2 + (s - «)2 + - V?

-ос—эс

Вторая глава посвящена численным методам приближенного решения тепловых задач для процессов сварки и наплавки.

В ней исследуются проблемы, возникающим при использовании классических численных методов и способам их преодоления. Разработана специальная методика проведения вычислительного эксперимента с целью определения точности приближенного решения. Создана схема для определения и исследования областей применимости разностных схем; доказана непригодность классических разностных методов и необходимость разработки и применения специальных разностных схем с целью получения решения и его производных с заранее заданной точностью,

Разработанная методика проведения вычислительных экспериментов с использованием стандартных и специальных разностных схем была применена к исследованию и решению задачи о математическом моделировании процесса диффузии водорода в сварных швах при наличии малых включений.

В параграфе 2.1 на примере решения тепловых (диффузионных) задач современных технологий сварки и наплавки исследуются особенности, возникающие при их численной реализации, и предлагается специальный численный метод решения задачи сварки с быстродвижущимся тепловым источником.

На примере одномерного стационарного уравнения теплопроводности с параметром £ > 0 при старшей производной было доказано, что при использовании классических разностных схем решение разностной задачи при шаге равномерной сетки h —► 0, не стремится к решению дифференциальной задачи равномерно относительно параметра е.

Были проведены исследования поведение погрешности приближенного решения и его производных для задачи с параметром е при старших производных в зависимости от типа вырожденного уравнения, величины параметров дифференциальной задачи и параметров разностной схемы, проведена классификация разностных задач по поведению погрешности приближенного решения.

Была проведена серия численных экспериментов с использованием классических разностных схем, при различных значениях параметра е и шага сетки h, которые позволили исследовать поведение погрешности приближенного решения и его производных.

В результате численного эксперимента был сделан вывод:

Классические разностные схемы имеют ограниченную область применения, размеры и граница которой зависят от соотношения между параметрами дифференциальной задачи и параметрами выбранного численного метода и точности. Вне пределов этой области классические разностные схемы не дают разумной точности решения и, при данных соотношениях параметров, необходимо применение специальных методов.

Анализ численных экспериментов показал, что при использовании специальной схемы погрешность приближенного решения является достаточно малой величиной при различных соотношениях Nue — приближенное решение аппроксимирует решение дифференциальной задачи и его производные равномерно относительно е.

В параграфе 2.2 разработана и описана методика, которая на базе проведения цикла специальных численных расчетов позволяет определить пригодность разностной

схемы для решения конкретной исследуемой задачи или класса задач сварки, указаны границы их применимости.

Основа метода заключается в определении порядка равномерной сходимости конечно-разностных схемы путем проведения цикла численных экспериментов на вложенных сетках. Суть метода заключается в следующем: если при численном решении задачи сварки с использованием конкретной конечно-разностной схемы, величина порядка равномерной сходимости становится много меньше единицы или отрицательной, то эта схема непригодна для решения, либо применима только в небольшом диапазоне изменения параметров исходной задачи сварки. Область применимости данной схемы также определяется по характеру поведения порядка равномерной сходимости.

В параграфе 2.3 методика проведения вычислительных экспериментов с использованием стандартных и специальных разностных схем была применена к исследованию и решению задачи о математическом моделировании процесса диффузии водорода в сварных швах при наличии малых включений.

Знание закономерностей взаимодействия газов с металлом необходимо для обеспечения заданного качества сварных изделий, так как газы оказывают большое влияние на склонность швов к образованию горячих и холодных трещин. Экспериментально исследовать это взаимодействие крайне затруднительно.

В математическом плане задача исследования процесса диффузии водорода при наличии включений (пор достаточно малого диаметра) относится к задачам с особенностями решения. Погрешность приближенного решения, полученного с помощью стандартных разностных методов, зависит от размера включения и становится сколь угодно большой при стремлении размера включения к нулю.

Необходимо отметить, что при конечном размере поры (порядка миллиыет-ра)величина давления водорода в поре, рассчитанная по стандартным численным методам, хорошо согласуется с экспериментом. Это дает уверенность исследователям, проводя аналогичные расчеты по стандартным методам и для пор малых диаметров, считать правильными полученные результаты.

Так, по результатам некоторых исследований, выполненных в 70-х годах давление в порах размера 10~7 м достигает нескольких тысяч атмосфер.

В данном параграфе предложена специальная разностная схема для решения задачи определения концентрации водорода в порах металла, равномерно относительно размера поры сходящаяся к точному решению. Расчеты, проведенные по предложенной методике, показывают, что давление водорода в порах металлах любого размера не превышает десятка атмосфер.

Основные выводы и результаты

1. Построены математические модели и разработаны аналитические методы решения для ряда дву- и трехмерных тепловых задач с граничными условиями 2-го и 3-го рода и произвольным распределением источника тепла.

2. Проведено обоснование объекта исследования и проблем, возникающих при математическом моделировании процессов сварки и наплавки с использованием мощных высококонцентрированных источников энергии. Разработана методика математического моделирования и проведения вычислительных экспериментов при исследовании этих процессов.

3. Выполнено исследование погрешностей приближенного решения ряда задач сварки и наплавки в зависимости от исходных данных физической задачи, и от параметров применяемых конечно-разностных методов. Доказана непригодность классических раз-

ностных схем для решения большого круга задач сварки и наплавки. Выделен класс задач, для решения которых разработка и использование специальных разностных методов являются необходимыми.

4. Разработан экспериментальный численный метод определения и исследования областей применимости конечно-разностных методов для решения прикладных задач при широком диапазоне изменения параметров процессов сварки и наплавки.

5. Выполнено математическое моделирование процесса диффузии водорода в свар-кых швах при наличии включений. По результатам численных экспериментов определена концентрации водорода и давление в порах металла.

' Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, д.ф.-м.н. Шишкину Григорию Ивановичу, за постановку задач и помощь в работе.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных ВАК:

[1] Першин И.В., Титов В.А., Шишкин Г.И. Хрипунов А.П., Яковлев В.В.

Математическое моделирование процесса диффузии водорода в сварных швах при наличии включения // Мат. моделирование.- 1991- Т.З, №3, С.27-35.

[2] Першин И.В., Титов В.А., Шишкин Г.И. Экспериментальное определение порядка равномерной сходимости специальных разностных схем // Мат. моделирование-1995.- Т.7, №6, С.85-94.

[3] Першин И.В. Построение асимптотики функции Грина в окрестности особой точки. //Дифференциальные уравнения, 2001,т.37, №6, с.842-843.

[4] Яковлев В.В Першин И.В. Проблемы численного решения тепловых задач сварки. Автоматизация и современные технологии. №9, 2007 г., с. 26-29.

[5] И.В. Першин. Асимптотика решения уравнения теплопроводности с особенностью на границе. /7 Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Vol. 18, №1. С. 268-272.

Другие публикации:

[6] Яковлев В.В., Титов В.А., Шишкин Г.И., Першин И.В. К проблеме численного решения тепловых задач сварки // Сборник трудов НИИТяжмаша. Екатеринбург, 1991. С. 25-48.

[7] Pershin I.V., Shanchurov S.M., Jakovlev V.V. About solution of heat problems in welding and cladding. //Second International Conference on Mathematical Modelling and Computer Simulation of Metal Technologies, MMT-2002, College of Judea and Samaria, Israel, September 30-0ctober 4, 2002, pp 82-87.

[8] Yakovlev V.V., Shishkin G.I., Pershin I.V., Shanchurov S.M. The features arising at the numerical modeling of thermal problems of welding and cladding. //Third International Conference on Mathematical Modeling and Computer Simulation of Metal Technologies, MMT-2004, College of Judea and Samaria, Israel, September 06-10, 2004, pp 134-144.

[9] Pershin I.V., Shanchurov S.M., Shishkin G.I., Yakovlev V.V. The account of unsteady conditions at the modeling of heat-transfer with using of finite-difference methods. // Fourth Israeli-Russian bi-national workshop 2005: The optimization of composition, structure and properties of metal, oxides, composites, nano- and amorphous materials, Jerusalem-Tel-Aviv, June 19-25, 2005, pp 212-226.

[10] Yakovlev V.V., Shanchurov S.M., Pershin I.V. Methodology of numerical experiments as applied to welding processes. //Fourth International Conference on Mathematical Modeling and Computer Simulation of Metal Technologies, MMT-2006. College of Judea and Samaria, Israel, September 11-15, 2006, pp (2) 31-38.

[11] I.V. Pershin, S.M. Shanchurov, V.V. Yakovlev Physical image and mathematical model of heat-transfer in welding. /7 The Tenth Israeli-Russian Bi-National Workshop

2011, "The optimization of composition, structure and properties of metals, oxides, composites, nano and amorphous materials Jerusalem, Israel, June 20-23, 2011. pp. 4549.

[12] V. Yakovlev, I. Pershin, S. Shanchurov // Modelling of surfacing process for heavy sections // The Seventh International Conference on Material Technologies and Modeling MMT-2012, Ariel University Center of Samaria, Ariel. Israel, August 20 - 23,

2012, pp. (1-161) -(1-163).

Подписано в печать 18.11.2013 Формат 60x84 1/16

Бумага писчая. Печать на ризографе. Усл.печ.л. 1,3 Тираж 100 экз. Заказ 4932.

Отпечатано в типографии ООО «Издательство УМЦ УПИ» г. Екатеринбург, ул. Гагарина, 35а, оф. 2 Тел.: (343) 362-91-16, 362-91-17