Стабилизация неопределенных систем по выходу тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

академия наук ссср всесоюзный научно-исследовательскии институт

системных исследований Специализированный Совет К 003.63.01

На правах рукописи

НИСЕНЗОН Юрий Ефимович

УДК 62-50

СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ ПО ВЫХОДУ

Специальность 01.01.11—системный анализ и автомагическое управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

м о с к в а -1 д 9 1

Работа выполнена в Московском Институте Стали и Сплавов.

Научный руководитель — доктор технических наук профессор С. К. Коровин

Официальные оппоненты — доктор технических наук, доцент Г. И, Лозгачев, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник И. Г. Мамедов

Ведущая организация: Московский Институт Радиотехники, Электроники и Автоматики

Защита состоится -»—года в /^ часов на заседании

специализированного совета К 003.63.01 во Всесоюзном Научно-Исследовательском Институте Системных Исследований АН СССР по адресу: 117312, г. Москва, проспект 60-летия Октября, 9, ауд. 905.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Всесоюзного Научно-Исследовательского Института Системных исследований АН СССР (проспект 60-летия Октября, 9).

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Одно из центральных мест в современней теории управления'занимает проблема стабилизации неопреде-[внных объектов, т.о. объектов, математическая модель которых [эвестна с точностью до класса. В частности, к этому типу отмоются задача стабилизации в случае, когда параметры объекта меняйся произвольным образом в заданных диапазонах. При этом состояло объекта, как правило, недоступно измерению, а известна лишь иформация о выходном сигнале. Для решения таких задач пришняют-¡я различные методы. При использовании ляпуновского подхода удает-¡я добиться, вообще говоря, диссипагивности, замкнутой системы. !втоды' // - оптимизации обычно применяются при линейных стационарных неопределенных возмущениях и обеспечивают диссипатив-:ость либо асимптотическую устойчивость замкнутой системы в том лучае, если действующие на объект возмущения удовлетворяют усло-иям малости специальной информативной нормы. Применение методов еории адаптации связано с предположением о квазистационарности :арамвтров объекта; кроме того, в некоторых случаях качество поре-здных процессов не удовлетворяет заданным требованиям. Глубокая братная связь решает задачу стабилизации по выходу с использова-иеы больших коэффициентов усшгекия, что не всегда допустимо при аличии ограничений на величину сигнала управления; использована таких алгоритмов подчеркивает неадекватность модели объекту правления. Методы теории систем переметой структуры (СПС), эф-вктивно применяющиеся при решении задачи стабилизации' неопреде-онных систем по Состоянию, не получили широкого систематическо-'0 использования для стабилизации по выходу.

Существуют условия разрешимости задачи стабилизации неопре-

деленных систем по выходу, которые упоминаются практически во всех тлеющихся работах. Это - устойчивость нулевой динамики объекта, а также условие согласования возмущений,

В настоящее время актуальна задача построения алгоритмов управления, обладающих следующими свойствами:

а) асимптотической устойчивостью либо .диссипативностыо в шаре сколь угодно малого радиуса, замкнутой системы управления, в том числе при наличии нэисчезащих, зависящих только от времени неопределенных возмущений;

б) ограниченностью стабилизирующего управления.

Поль работы состоит в разработке методов синтеза в классе СПС управления, стабилизирующего неопределенные системы по выходу, в создании процедур и методик, а также синтезе конкретных алгоритмов стабилизации.

Методы исследования. В качестве основных инструментов иссле дования использовались методы и формальный аппарат теорий систем переменной структуры, обыкновенных дифференциальных уравнений, устойчивости движения, автоматического управления.

Научная новизна. Теоретическая ценность. Описан метод синтеза СПС-ного управления, решающего задачу стабилизации по выходу широкого класса объектов, в обобщенной постановке. Предлагаемы алгоритмы обеспечивают асимптотическую устойчивость либо диссипа-тивность замкнутой системы с помощью ограниченного разрывного управления, в том члсле и при наличии неисчезающих, зависящих только от времени возмущений..

Решена задача стабилизации по выходу динамических систем с выделенной линейной частью и лшшшцевой нелинейностью.

Решена задача стабилизации по выходу динамических систем с выделенной линейной частью и неопределенностью линейного роста.

Решена задача стабилизации по выходу для одного класса не-1нейных неопределенных систем. При этом обоспечпвается экспо-энциальная устойчивость замкнутой системы с любым наперед заделам показателем.

Практическая ценность работы. Разработанные в диссертации лгорятш применимы 'при решении тех научно-технических задач, где ребуется обеспечить заданный режим функционирования объекта, араштры которого меняются произвольным образом в сколь угодно ольших диапазонах с известны™ граница,а!. Полученные в диссер-ации результаты носят конструктивный характер, а приведенные работе соотношения и расчетные формулы позволяют осуществить роцедуру параметрического синтеза закона управления.

Реализация получении результатов. Разработана система уп-авления однозвешшм роботом-манипулятором о гибким упругим сое-инепием, поводение которого описывается обыкновенным диффврен-иалыши уравнением 4-го порядка с ноопределенными параметрами, казанная модель адекватно описывает работу элементарного звена, вляющегося составной частью робототизированннх комплексов. Син-ез управления осуществляется согласно разработанной в диссер-ации методике и с использованием приведенных алгоритмов, а так-:е с учетом имеющихся ограничений на переменные состояния, вели-зшу управляющего сигнала и время переходного процесса. Указанная ¡истома управления вошла в состав внедренной в НИАТ САПР систем лэтоматичоского управления специальными технологическими объек-ами, Получен экономический эффект.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладыва-ись и обсуждались на научных семинарах Всесоюзного НИИ системна исследований АН СССР, Московского Института Огали и Сплавов,

1-2

на Всесоюзной научно-технической конференции "Контроль и управление в современном производстве" (г. Ереван, 1988 г.), на 1-ой Мездународной школе по СПС (Сараево, 1990 г.).

Публикации. По материалам проведенных исследований опубликовано 5 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы из Ю1 наименования. Основная часть работы содержит 173 страницы машинописного текста.

Содержание работы

Во введении показана актуальность темы исследования, представлены существующие подходы к решению задачи стабилизации по выходу в условиях неопределенности, обсуждены особенности, связанные с их применением п получаемая! результатами. Приводится постановка рассматриваемой задачи, описана развиваемая в диссертации методика еа решения п полученные результаты по главам. Сформулированы основные положения и результаты, составляющие предмет защиты. Даются основные определения и обозначения, испол зуемые в тексте диссертации.

В работе рассматриваются объекты, движение которых описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений в простра стве состояний вида

^¿М* ¿У, (I)

. (2) где _ состояние системы, ^- время-

вшсод, ¿/¿/Р"7 - управление,//^ ¿Л^/^^ъ ¿/Ф -известные вектор-функции соответствующих размерностей,

- & -

неизвестные возмущения. Ставится задача синтеза обратной связи

(ОС) по выводу обеспечивающей стабилизацию системы

(1)-(2) в смысла удовлетворения одного из двух следующих определений.

Определение I. Система (1)-(2).замкнутая ОС г/* ¿/¿¡е&Л . называется у? - устойчивой, осли, начиная с некоторого момента времени ■¿/

Определение 2. Система (1)-(2), эашнутая ОС называется^ - ограниченной'при'некотором, если ■ЭТС&о, ф>0 такое, что //¿¿^//¿¿^ гае

Предлагаемый метод решения указанной задаш основан на использовании нелинейной динамической обратной связи .

V* г/сэ>

- "А

где , Выбор закона управления (3) и вектор-функции '

в (4) осуществляется таким образом, чтобы обеспечить в замкнутой системе (1)~(2) требуемые динамические свойотва. Уравнение (4) называется уравнением динамического компенсатора. Синтез управления осуществляется в классе СПС.

Определение 3. Нулевой динамикой по выходу

объекта (1)-(2) называется двикение систеш при выполнении на ее решениях соотношения а О.

Если в определении ; то будем говорить просто о

нулевой динамике объекта (1)-(2).

— 6 -

Определение 4. Нулевая динамика (по выходу ) объекта

(1)-(2) называется сЛ - устойчивой, если при выполнении соотношения У=0 () система является Л -устойчивой,

Л>о •

Следующие предположения об объеме управления являются основными в работе.

Предположение I. Нулевая динамика (по выходу^/- ) объекта (1)-(2) является Ла - устойчивой при некотором Л0>0

Предположение 2. Условие согласования возмущений:

-^Р J ^ - неизвестше возмущения

Задача стабилизации по выходу решается в диссертации для объектов с ™ А + З^ж)/?^

-¿(¿С) ~ липшицева вектор-функция, ^ ¿^/^^еСр/^ь-'С/У-'-оС^.

В главе I приводятся каноничэскиа формы представления в пространстве состояний линейных динамических систем

¿Ь = //«гг •» 3г/ (5)

У* , (6),

Л /17 /О

<XG.jP переход к которым осуществ-

ляется при помощи невырожденных преобразований координат, а также входа и выхода (в случае многомерной системы):

с/еб Г, ¿о^ ^ Т; о.

Преобразование координат интерпретируется как структурная декомпозиция системы (5)-(6) на совокупность взаимосвязанных подсистем, одна из которых описывает нулевую динамику объекта,

I другие являются: управляемыми и наблюдаемыми подсистемами максимального относительного порядка. Кроме того, в случав /Я?/? [ополнительно возникает управляемая, но ненаблюдаемая (/V >& ) гибо наблюдаемая, но неуправляемая (р>/т? ) подсистемы. Приве-(ение системы к указанному каноническому виду является составной щстью развиваемой в работе методики синтеза управления.

В работе рассматриваются следующие классы систем типа :5)-(6):

I. Скалярные )),'

а) относительный порядок

б) относительный порядок /7-У > ¿> > /

в) относительный порядок /) = /72. Векторные^-

. а) относительный порядок равен ^^ ^

б) равномерный относительный порядок равен ^

У¿13* ЪМГ £ = **

I ранговым столбцом матрицы $ соответствуют ранговые строки аатрицы С ;

в) системы с равномерным рангом ( ^

г) квадратично-обратимые системы ( /тУе^ ^¿у^ (£ ;

'её

д) лево-рбратимыэ систеш (уС о? £ <£

е) празо-обратимые систеш ( ^ ^ .*

{<? £„ -л;

В главах 2-3 решается задача стабилизации по выходу объ-

- 8 -

актов, описывающихся следующими уравнениями

¿Ь ^УУ^У^^ (7>

§/= С(6)

ад^/Г -из

вестное, а - неизвестные отображения,

Отдельно рассматриваются скалярные и векторные системы,

I. Скалярные системы В этом случае уравнения объекта (7)-(8) приводятся я ввду

<9>

' и с ¿?'гл (Ю)

где ^ ^/р

¿хЪ ^

о / о

Ой*

4г

о о

О

-сл

4

'3

. О ' ' б

. о 6'- о

• •

о

/

>■■ У

я,

/

о о ... .0

о , о /

о

О о о ... /

У<* "Гг "*</з •••"*</ г

В силу предположения I матрица /¡^ - гурввдева. Для «теш (9)—£10) строится наблюдатель состояния

% = _ (Ш

- ОЦ0НКИ состояния,

- выбирается из условия наличия у матрицы/^ -

7"

эданного гурвипввого спектра,¿? = 2 ) Т_У ' ♦ В дис-

эртации показано, что при ^/''г? - —

утцествует ^¿Р ^ такой, что система уравнений для ошибки ценивания 2-2 является о -устойчивой.

В пространства состояний системы (9)-(II) выберем линей-ую комбинацию

является

работе показано, что существуют такие

то система (9)-(И) при наличии связи .=-¿7

а) - устойчивой при ;

б) сГ - ограниченной при любом наперед заданном ели .

Отсвда следует, что достаточно выбрать управление ¿У ак, чтобы обеспечить решение задач попадания и инвариантности

для многообразия <о - О . Дня этого выберем управление так, чтобы начиная с некоторого конечного момента времени -¿°>0 на решениях (9)-(II) было выполнено неравенство

еСб+Яа^^о.. аз)

В атом случае, начиная с конечного момента времени

системе (9)-(П) возникает скользящий режим на многообразии 6 = 0 . Для обеспечения (12) достаточно положить

-л/г уф" ^ (13)

где= ^/чл ¿/^ ¿А^Л/Ч ^гА^^с Л - -ЯоЛ V* У, с^г ^

¿'= 9 . Выбор коэффициентов/1*^.: осуществляет, ся в соответствии с полученными в работе соотношениями и определяется параметрами объекта и диапазонами изменения возмущений. При этом

^ ¿ег>0^ тют^^^г^ё) -ограничены .

' Полученные результаты суммирует

Теорема I. а) Пусть 'У/'-ё^з.О^ тогда ^ такие ' /у >0 ¿'-¿.-¿З,410 система (9)-(10), замкнутая об-

ратной связью (13), является Л - устойчивой, Л, в = /У7//7 <^/tJ^ Л - сколь угодно большое число.

б) Пусть тогда />#>¿7 такие

^ '{-■•у 9 ) что система (9)-(Ю),

замкнутая обратной связью (13), является - ограниченной. Заметим, что если относительный поредок система (9)-(10)

О = го » +

- II -

ли относительный порядок , то

п. а) теоремы I остаётся справедливым и при .Кроме того,

ли то можно всегда положить О^ .

2..Векторные системы

В этом случае уравнения объекта (7)-(8) приводятся к виду

^^ '

¿¿у.

7 ¿у */> 5 ф

¿4$. ^ а - ^

^ - • - ^ ГЪ/мГУ;

, если. £>>/77 *>т~\о? есл. ¿/т?-у? ^ если

' * « ■ ■ V /'Я/; ■ •

4=

Ж

0 0 4 \ '

О 0 0

-а.

У

- г- -

. ..о О i О . . . . О

- • О О о /.. . ! * Ф ' ?

• / ' ? А = "ж » • / а 0 0... 4 * . /

[-¿г,,----- •

4*, г-

Пусть выполнены основные предположения 1-2 и дополнительные. Предположение 3. т^ /^Цу - -

Предположение 4. Пулевая динамика системы <14)—(15) по выходу ^ является Л^ - устойчивой, > О .

Из предположений 1-4 следует, что матрицы ^

я^м -гурвицевы,

Л

А}

Д ¿/2

А

«

В представлении (14)-(15) подсистемы, определяемые тройками () и параш ( ) являются скалярными с

максимальным относительным' порядком. Это позволяет осуществить

декомпозицию задачи синтеза управления, использовав методику, развитую для скалярных систем.

Для системы (14)—(15) построим наблюдатель состояния

&I

оценки состой, ^/Г^^^^/^Г

¿Л* ^ /у- ^ - выбираются по наперед заданным, гурницевым спектрам матриц /4~ "^/У

соответственно. В работе показано, что, если существуют такие </ ~ ^ • / 410 систеыа уравнений для сшибки оценивания €-¿-¿1 является а/2» - устойчивой,

Выберем управление так, чтобы, начиная с некоторо-

го конечного момента времени >- ¿? било выполнено неравен-

(7 У

ство

_ (17)

ГД0 9 - ^^ ^.....*

£ ■ а управление ¿/^ так, чтобы, начиная о конечного момента

времени ^ 0 > р ,

аз)

где + ......* ^¿Ы^Ъ ,

Показано, что существуют такие -¿"ру^

• ^-7^ 410 система (14)^)15) при на-

личии связей <5/ = ^ ^" ^^^явля-

ется:

а) У г - устойчивой, если 'У^/'^ г О^у

б) сГ - ограниченной при любом наперед заданном С^^С

если

Для того, чтобы на решениях (14)-(15) были выполнены указа] ные связи, достаточно выбрать управления из условий (17)-(18). Положим

Аб*-Ла^^о///^ -о,

где . ✓ р

Коэффициенты уг; . ^^^^.с/б^^г"- выбираются

на основе приведенных в диссертации соотношений, при этом

Г^/^/^-^М' ^ о,

'Ц^уж^

ЬУ4*^{¿)-^

функции ^^/¿Ло/^ - ограничены.

Приведенные результаты подытоживает Теорема 2.

а) Д гсх'ь У^^О^ тогда ^ такие ~ ^■ • V;

7о> V «О у ** 1 Ъ

ь/ /. 5. что система (14)-(15), замкнутая обратной

связью (19)-(20), является ./с^ - устойчивой.

б) Пусть 17^ тогда \/<Я~0 3 такие ^

£ ¿/У*Р> '

К<£ ^ ^ что система (14)-(15), замкну-

тая обратной связью (19)-(20), является сГ - ограниченной. .

Заметим, что в случае систем относительного порядка I и равномерного относительного порядка I п. а) теоремы 2 остается справедливыми при ) ^ 0/г? . Если ^О-/7?^ то

Кроме того, если в (14)-(15) О^ то в (16)

модно положить ' #'=0 ¿Г =¿7

/ " Т А- '

- 16 -

В главе 4 решается задача стабилизации по выходу для класса нелинейных объектов, списываемых системой уравнений

(21) (22)

¿с*//*» ✓ /

где ЯГ*^

^ ¿Р/ /з - гладкие известные отображе-

ния, ^{¿С? ,- неизвестное отображение. Процедуре синтеза управления здесь предшествует линеаризация уравнений объекта (48)-(49) при помощи нелинейного диффеоморфного преобразования координат а нелинейного преобразования входа

2/" /7 , в результате которых уравнения

объекта принимают ввд

Л?

о

■ ^

(23 (24

О ✓ 0. . .. 0 о

О ¥ О ' 1" • .. о \ о

• • • г

О О о.. .. / о

0 о 0.. . 0 ✓

Дальнейшая процедура синтеза осуществляется -аналогично тому, как это было сделано в главе 3. В диссертации приведены условия существования указанного линеаризующего преобразования, а также условия, обеспечивающие корректность обратного переход« что позволяет решить задачу синтеза в первоначальных координа-

-1? -

с. В результате удастся добиться асимптотической устойчивоо-замкнутой системы.

В Приложении I рассмотрена практическая реализация получен-£ результатов. Рассматривается задача управления однозвенным 5отом-манипулятором с гибким соединением, модель которого опивается системой линейных дифференциальных уравнений 4-го попка с неопределенными коэффициентами. Задача управления сво-гся к решению задачи стабилизации указанной системы с учетом зических ограничений на время и качество переходных процессов, личину управляющего сигнала. Предложенный в диссертации под-ц позволяет эффективно решить поставлеяяув задачу с учетом еюцихоя ограничений. '

Указанная система управления вошла в состав САПР систем ав-матического управления специальными технологическими объекта, внедренной в НИАТ. Получен экономический эффект.

Созданы программные средства дая анализа, синтеза и имита-и спстем автоматического управления на персональных ЭШ. Пользование этой системы позволяет проводить имитационные ис-едования на полной модели объекта с учетом всей его специфики, очнить значения параметров алгоритма управления, при которых .рактеристики замкнутой системы удовлетворяют заданным показа-лям качества переходных процессов. Разработан интерфейс псдь-сателя на естественном языке.

В Приложении 2 приводятся результаы моделирования на ЭШ »едложенных алгоритмов управления на конкретных примерах. При ом проведено сравнение с алгоритмами, подученными на основе ¡пользования метода -глубокой обратной связи.

В Заключении работы формулируются основные выводы.

- 18 -

,ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Разработан метод синтеза стабилизирующего управления, базирующийся на предположении об устойчивости нулевой динамик системы; решена задача выбора устойчивого разделяющего многообразия в расширенном пространстве состоянии "объект + компен сатор"; для указанного многообразия решается задача попадания на него, обеспечения свойства устойчивости и инвариантности.

2. Решена задача стабилизации по выходу динамических сис тем с выделенной линейной частью и лхшшицевой нелинейностью; выбор управления осуществляется в рамках систем переменной структуры; в контуре обратной связи используются оценки состо ния, долученнда о помощью асимптотического наблюдателя, ой вся чивающего экспоненциальную устойчивость сшибки оценивания.

3. Решена задача стабилизации по выходу линейных динамических систем с неопределенностью линейного роста; в контуре обратной связи используется динамический компенсатор; синтез управления осуществляется в классе систем переменной структур: задача стабилизации решается при выполнении условий согласова ния возмущений, в том числе при наличии неисчезающих, зависят только от времени ограниченных возмущениях.

4. Репена задача стабилизации по выходу класса нелинейны, неопределенных динамических систем; сформулированы условия, п зволяюцие осуществить глобальную линеаризацию управлений объе та, включая преобразование входа а выхода; .синтез управления, стабилизирующего-линеаризованную систему, осуществляется с применением разработанного в диссертации подхода; доказана асимптотическая устойчивость замкнутой системы в исходных координатах.

- 19 -

5. Результаты теоретических исследований использованы при эаботке алгоритмов стабилизации движения однозвенного эта - манипулятора, система управления которым вошла в состав ? систем автоматического управления специальными технологичес-I объектами, внедренной в НИАТ. Получен экономический эффект.

Основные результаты были изложены в следующих публикациях:

1. Коровин O.K., Нерсисян А.Л., Нисензон Ю.Е. авлениэ по выходу линейными неопределенными объектами. -эстия АН СССР, Техническая кибернетика, 1990, Ji I, с. 67-73.

2.'Коровин O.K., Нерсисян A.I., Нисензон Ю.Е. Зилизация по выходу.одного класса неопределенных систем. -п.: сборник трудов ВНИИСЙ. - М.: ВНИИСИ, 1989.

3. Емельянов C.B..Коровин O.K., Нерсисян А.Л., Нисензон Ю.Е. Зиллзеция неопределенных систем по выходу разрывным управле-

и. - Доклады АН СССР, 1990, т.311, # 3, с. 544-549.

4. Емельянов C.B., Коровин O.K., Нерсисян А.Л., Нисензон Ю.Е. Зилизация многомерных неопределенных объектов по выходу. -лада АН СССР, 1990, т.311, Я 5, с. 1062-1067.

5. Емельянов C.B., Коровин O.K., Нерсисян A.Jh, Нисензон Ю.Е, мптотические наблюдатели для класса нелинейных динамических ектов. - Доклада АН СССР, 1990, т.313, Л 5, с. 1052-1056.